Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать задания связанные с исследованием функций. Рекомендую , необходимую для решения задач на нахождение максимального (минимального) значения функции и на нахождение точек максимума (минимума) функции.
Задачи с логарифмами на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции мы . В этой статье рассмотрим три задачи, в которых стоит вопрос нахождения точек максимума (минимума) функций, при чём в заданной функции присутствует натуральный логарифм.
Теоретический момент:
По определению логарифма – выражение стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля. *Это обязательно нужно учитывать не только в данных задачах, но и при решении уравнений и неравенств содержащих логарифм.
Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:
1. Вычисляем производную функции.
2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.
3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой. *Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы, на которых функция возрастает или убывает.
4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из них в производную).
5. Делаем вывод.
Найдите точку максимума функции у = ln (х–11)–5х+2
Сразу запишем, что х–11>0 (по определению логарифма), то есть х > 11.
Рассматривать функцию будем на интервале (11;∞).
Найдем нули производной:
Точка х = 11 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки 11 и 11,2. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (11;11,2) и (11,2;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
Таким образом, в точке х=11,2 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.
Ответ: 11,2
Решите самостоятельно:
Найдите точку максимума функции у=ln (х+5)–2х+9.
Найдите точку минимума функции у=4х– ln (х+5)+8
Сразу запишем, что х+5>0 (по свойству логарифма), то есть х>–5.
Рассматривать функцию будем на интервале (– 5;+∞).
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Точка х = –5 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки –5 и –4,75 . Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (–5;–4,75) и (–4,75;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
Таким образом, в точке х= –4,75 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.
Ответ: – 4,75
Решите самостоятельно:
Найдите точку минимума функции у=2х–ln (х+3)+7.
Найдите точку максимума функции у = х 2 –34х+140lnх–10
По свойству логарифма выражение, стоящее под его знаком больше нуля, то есть х > 0.
Функцию будем рассматривать на интервале (0; +∞).
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Решая квадратное уравнение, получим: D = 9 х 1 = 10 х 2 = 7.
Точка х = 0 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси три точки 0, 7 и 10 .
Ось ох разбивается на интервалы: (0;7), (7;10), (10; +∞).
Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
На этом всё. Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Алгоритм нахождения данных точек оговаривался уже неоднократно, кратко повторюсь:
1. Находим производную функции.
2. Находим нули производной (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).
3. Далее строим числовую ось, на ней отмечаем найденные точки и определяем знаки производной на полученных интервалах. *Это делается путём подстановки произвольных значений из интервалов в производную.
Если вы совсем не знакомы со свойствами производной для исследования функций, то обязательно изучите статью « ». Также повторите таблицу производных и правила дифференцирования (имеются в этой же статье). Рассмотрим задачи:
77431. Найдите точку максимума функции у = х 3 –5х 2 +7х–5.
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
3х 2 – 10х + 7 = 0
у(0) " = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
у(2) " = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0
у(3) " = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0
В точке х = 1 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
Ответ: 1
77432. Найдите точку минимума функции у = х 3 +5х 2 +7х–5.
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
3х 2 + 10х + 7 = 0
Решая квадратное уравнение получим:
Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:
у( –3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0
у( –2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0
у(0 ) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
В точке х = –1 производная меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит это есть искомая точка минимума.
Ответ: –1
77435. Найдите точку максимума функции у = 7+12х–х 3
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
12 – 3х 2 = 0
х 2 = 4
Решая уравнение получим:
*Это точки возможного максимума (минимума) функции.
Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:
у( –3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0
у(0 ) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0
у( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0
В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
Ответ: 2
*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 2.
77439. Найдите точку максимума функции у = 9х 2 – х 3 .
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
18х –3х 2 = 0
3х(6 – х) = 0
Решая уравнение получим:
Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:
у( –1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0
у(1 ) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0
у(7 ) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0
В точке х = 6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
Ответ: 6
*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 0.
77443. Найдите точку максимума функции у = (х 3 /3)–9х–7.
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
х 2 – 9 = 0
х 2 = 9
Решая уравнение получим:
Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:
у( –4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0
у(0 ) "= 0 2 – 9 < 0
у(4 ) "= 4 2 – 9 > 0
В точке х = – 3 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
Ответ: – 3
Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?
Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.
Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.
Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.
Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?
Первое условие:
Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум
Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.
Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:
Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.
Что такое критическая точка функции и как её найти?
Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.
Для примера найдём экстремум параболы .
Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Производная функции: y?(x) = 6x + 2
Решаем уравнение: y?(x) = 0
6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3
В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?
Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.
Для рассмотренного примера:
Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1
При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).
Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1
При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).
Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.
Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.
Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции
y(x) = 3sin(x) — 0,5х
на интервалах:
Итак, производная функции —
y?(x) = 3cos(x) — 0,5
Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
х = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Находим критические точки на интервале [-9; 9]:
х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)
х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687
х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88
х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)
Находим значения функции при критических значениях аргумента:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885
Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:
x = -4,88, у = 5,398,
а наименьшее - при х = 4,88:
x = 4,88, у = -5,398.
На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.
Находим значение функции на концах интервала:
y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077
На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции
у = 5,398 при x = -4,88
наименьшее значение —
у = 1,077 при x = -3
Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?
Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.
Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.
Как найти экстремумы функции двух переменных?
Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:
1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности
для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.
Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.
Какой официальный сайт группы "Бандерос"
Сайты русскоязычных хип-хоп исполнителей: mad-a.ru — официальный сайт рэп артистки MAD-A (фотографии, музыка, биография); st1m.ru - официальный сайт рэп исполнителя St1m (музыка, видео, фото, информация о концертах, новости, форум); all1.ru - официальный сайт творческого объединен
В каких случаях инспектор ДПС имеет право останавливать ТС
Исходя из положения пункта 20 статьи 13 Закона «О полиции», инспектор ДПС имеет право останавливать транспортное средство (далее — ТС), если это необходимо для выполнения возложенных на полицию обязанностей по обеспечению безопасности дорожного движения и в др. случаях (см. полный перечень ниже). Если инспектор визуально
Как защитить трудовую книжку от умышленной потери работодателем
Чтобы защитить трудовую книжку от умышленной потери (порчи) работодателем, сотруднику предприятия рекомендуется любыми законными путями получить копию трудовой, например, используя предлог для оформления кредита, и хранить ее в надежном месте. Если недобросовестный работодатель умышленно уничтожит факты трудоустройства сотрудника на его предприятие (во избежание выявления нарушений трудового законодательства во время провед
Где в интернете найти справочную всех телефонов
Сайты «Жёлтых страниц» в интернете: yellow-pages.ru — онлайн журнал справочной информации «Yellow pages»; ypag.ru — жёлтые страницы СНГ; yellowpages.rin.ru — жёлтые стра
Сколько градусов в радиане
1 минута дуги (1′) = 60 секунд дуги (60″) 1 угловой градус (1°) = 60 минут дуги (60′) = 3600 секунд дуги (3600″) 1 радиан ≈ 57,295779513° ≈ 57°17&prim
Музыка - это вид искусства. Средством передачи настроения и чувства в музыке служат специально организованные звуки. Основными элементами и выразительными средствами музыки являются: мелодия, ритм, метр, темп, динамика, тембр, гармония, инструментовка и другие. Музыка является очень хорошим средством воспитания художественного вкуса у ребенка. Музыка способна влиять на настроение,
В каких странах проводились гран-при Формулы 1 в 2005 году
В 2005 году чемпионат мира состоял из 19 гран-при, которые проводились в следующих странах: Австралия, Малайзия, Бахрейн, Сан-Марино, Испания, Монако, Канада, США, Франция, Великобритания, Германия, Венгрия, Турция, Италия, Бельгия, Бразилия, Япония, Китай. Гран-при Европы проводился в Германии (Нюрбург).Подробнее на сайте http:/
Что такое алоказия
Алоказия (Alocasia) Семейство ароидных. Родина Южная Америка. Редкое растение любящее тепличные условия (влагу и тепло) и поэтому не получившее широкого распространения среди цветоводов. Алоказия красивое комнатное растение, с крупными стреловидно-овальными (или сердцевидными) листьями, которых бывает не более 6-7. Самые распространенные в
Что означает фраза "Этот цветочек мы уже нюхали"
Фраза «Этот цветочек мы уже нюхали» употребляется в том же значении, что и известный фразеологизм «Дважды наступить на одни и те же грабли», т.е. столкнуться с уже знакомой неприятной ситуацией. Это выражение встречается в фельетоне Ильи Ильфа «Молодые дамы» (1929) в следующе
Где найти рецепт панна котты
Панна котта (Panna cotta) — это нежнейший соблазнительный десерт из сливок и желатина, который готовят в Италии, регионе Эмилия-Романья. Дословно название десерта переводится как «вареный крем» или «вареные сливки», но по существу это кремовый пудинг без или с различными добавками.
Чему равен косинус 90 градусов
Косинус — одна из тригонометрических функций, обозначется cos. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла (прилежащего катета), к гипотенузе.Значения косинусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень ква
Поиск точки максимума и минимума функции — довольно распространенная задача в математическом анализе . Иногда требуется экстремум. Многие думают, что под словом «экстремум» подразумевают наибольшее или наименьшее значение функции. Это не совсем верно. Значение может быть наибольшим или минимальным, но не являться экстремумом.
Максимум бывает локальным или глобальным . Точка локального максимума — это аргумент, который при подстановке в f(x) даёт значение не меньше, чем в других точках из области около этого аргумента. Для глобального максимума эта область расширяется до всей области допустимых аргументов. Для минимума всё наоборот. Экстремум — это локальное экстремальное — минимальное или максимальное — значение.
Как правило, если математиков интересует глобально самое большое значение f(x), то в интервале, не на всей оси аргументов. Подобные задачи обычно сформулированы фразой «найдите точку максимума функции на отрезке». Здесь подразумевается, что надо выявить аргумент, при котором она не меньше, чем на всём остальном указанном отрезке. Поиск локального экстремума является одним из шагов решения такой задачи.
Дано y = f(x). Требуется определить пик функции на указанном отрезке. f(x) может достигать его в точке:
- экстремума, если она попадает в указанный отрезок,
- разрыва,
- ограничивающей заданный отрезок.
Исследование
Пик f(x) на отрезке или в интервале находится путём исследования данной функции. План исследования для нахождения максимума на отрезке (или интервале):
Теперь подробно разберем каждый шаг и рассмотрим некоторые примеры.
Область допустимых аргументов
Область допустимых аргументов — это те x, при подстановке которых в f(x) она не престаёт существовать.Область допустимых аргументов ещё называют областью определения. Например, y = x^2 определена на всей оси аргументов. А y = 1/x определена для всех аргументов, кроме x = 0.
Найти пересечение области допустимых аргументов и исследуемого отрезка (интервала) требуется для того, чтобы исключить из рассмотрения ту часть интервала, где функция не определена. Например, требуется найти минимум y = 1/x на отрезке от -2 до 2. На самом деле требуется исследовать два полуинтервала от -2 до 0 и от 0 до 2, так как уравнение у = 1/0 не имеет решения.
Асимптоты
Асимптота — это такая прямая, к которой функция тянется, но не дотягивается. Если f(x) существует на всей числовой прямой и неразрывна на ней, то вертикальной асимптоты у неё нет. Если же она разрывна, то точка разрыва является вертикальной асимптотой. Для y = 1/x асимптота задаётся уравнением x = 0. Эта функция
тянется к нулю
по оси аргументов, но дотянется до него, только устремившись в бесконечность.
Если на исследуемом отрезке имеется вертикальная асимптота, около которой функция стремится в бесконечность с плюсом, то пик f(x) на здесь не определяется. А если бы определялся, то аргумент, при котором достигается максимум, совпал бы с точкой пересечения асимптоты и оси аргументов.
Производная и экстремумы
Производная — это предел изменения функции
при стремящемся к нулю изменении аргумента. Что это значит? Возьмём небольшой участок из области допустимых аргументов и посмотрим как изменится здесь f(x), а потом уменьшим этот участок до бесконечно малого размера, в этом случае f(x) станет изменяться так же, как и некая более простая функция, которая именуется производной.
Значение производной в определенной показывает под каким углом проходит касательная к функции в выбранной точке. Отрицательное значение говорит о том, что функция здесь убывает. Аналогично положительная производная говорит о возрастании f(x). Отсюда появляются два условия.
1) Производная в точке экстремума либо нулевая, либо неопределенная. Это условие необходимое, но недостаточно. Продифференцируем y = x^3, получим уравнение производной: y = 3*x^2. Подставим в последнее уравнение аргумент «0», и производная обратится в нуль. Однако, это не экстремум для y = x^3. У неё не может быть экстремумов, она убывает на всей оси аргументов.
2) Достаточно, чтобы при пересечении точки экстремума у производной менялся знак. То есть, до максимума f(x) растёт, а после максимума она убывает — производная была положительной, а стала отрицательной.
После того как аргументы для локального максимума были найдены их надо подставить в исходное уравнение и получить максимальное значение f(x).
Концы интервала и сравнение результатов
При поиске максимума на отрезке необходимо проверить значение на концах отрезка. Например, для y = 1/x на отрезке максимум будет в точке x = 1. Даже если внутри отрезка есть локальный максимум, нет никакой гарантии, что значение на одном из концов отрезка не будет больше этого максимума.
Теперь необходимо сравнить значения в точках разрыва (если f(x) здесь не стремится в бесконечность), на концах исследуемого интервала и экстремум функции. Наибольшее из этих значений и будет максимумом функции на заданном участке прямой.
Для задачи с формулировкой «Найдите точку минимума функции» необходимо выбрать наименьшее из локальных минимумов и значений на концах интервала и в точках разрыва.
Видео
Значения функции и точки максимума и минимума
Наибольшее значение функции
Наменьшее значение функции
Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!
12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.
12 задание бывает двух видов:
- Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
- Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).
Найти точку максимума / минимума
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
Задания с ЕГЭ:
Найдите точку максимума функции
- Берем производную:
Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает - это точка максимума!
Ответ: −15
Найдите точку минимума функции
- Преобразуем и возьмем производную:
- Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает - это точка минимума!
Найти наибольшее / наименьшее значение функции
- Взять производную от предложенной функции.
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
- В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
- Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.
Задания с ЕГЭ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]
Ответ: −6
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
- Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».
Ответ: 11
Выводы:
- 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y» , а на точку максимума/минимума написать «х».
- Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
- Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
- В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку - можно смело писать в ответ.
- А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.