Часто на просторах интернета можно найти насмешки по поводу того, как знания по математике - интегралы, дифференциалы, тригонометрические функции и прочие разделы предмета - не помогают облегчить жизнь человека. Такие шутки напрасны, ведь как выручает умение правильно рассчитывать периметр квадрата, прямоугольника и других геометрических фигур в строительных работах. Расход материала: плитки, обоев, напольного покрытия - не определить без понимания элементарных математических формул и геометрических фигур.
Прямоугольник и тригонометрические функции
Вышеприведенное уравнение можно записать следующим образом. Два последовательных целых числа имеют вид. Сумма их квадратов равна 145. Разверните и сгруппируйте подобные термины в приведенном выше уравнении и напишите в стандартной форме. Разделим все члены в приведенном выше уравнении на.
Два последовательных номера. Площадь равна длине раз ширины. Гипотенуза на 3 см длиннее длинной ноги. Следовательно, длина гипотенузы равна. Теперь мы используем теорему Пифагора. Переписать уравнение в стандартной форме. Предполагая длину длиннее ширины, два измерения.
Свойства квадрата
Любые вычисления в математике базируются на свойствах объекта. Чтобы ответить на вопрос: «Чему равен периметр квадрата?» - рекомендуется вспомнить отличительные характеристики этой фигуры.
- Равенство всех сторон.
- Наличие четырех углов величиной 90 градусов.
- Параллельность сторон.
- Поворотная симметрия. При вращении фигуры ее вид остается неизменным.
- Возможность описать и вписать окружность.
- Диагонали при пересечении делят друг друга пополам.
- Площадь фигуры характеризует заполненное квадратом место в двухмерном пространстве.
- Периметр фигуры не что иное, как сумма длин его сторон.
- Из предыдущего свойства вытекает, что единицами измерения величины периметра будут единицы длины: м, см, дм и другие.
Для подсчета плинтусов для завершения ремонта в квадратном помещении, необходимо знать длину комнаты. Для этого необходимо посчитать ее периметр.
Переменные площади Квадрат имеет четыре равные стороны. Две стороны встречаются в одном углу и перпендикулярны друг другу. Квадратные числа Вы получаете квадратные числа, если сами умножаете натуральные числа. Разделите квадрат пополам. Существует много возможностей вдвое уменьшить площадь квадрата. Вот пять. К 1 и 2: общий способ - деление квадрата на диагональ или медианную. Таким образом, вы можете сложить квадратный лист бумаги. К 3: каждая прямая, проходящая через центр квадрата, разрезает ее в две конгруэнтные трапеции.
К 4: вы также можете использовать другие линии, например, полукруги вместо прямых. К 5: фигура посередине состоит из четырех конгруэнтных треугольников, всего из 8. Важность этой фигуры заключается в том, что внешний квадрат имеет рациональную, внутреннюю иррациональную длину. Плитка площади. Легко разделить квадрат на равные квадраты. Трудно найти разные квадраты, которые могут это сделать.
Периметр
В переводе с греческого языка слово означает «измерять вокруг». Термин применим ко всем замкнутым фигурам: квадрату, окружности, прямоугольнику, треугольнику, трапеции и прочим. Знания по определению периметра элементарных фигур необходимы для решения сложных геометрических задач с объектами неправильной формы. Например, для расчета плинтусов в комнату планировкой типа «Г», или как еще называют, «сапожком», потребуется определить периметр квадрата и прямоугольника. Ведь форма помещения состоит из этих элементарных фигур.
Крупнейшие и наименьшие прямоугольники. Квадрат - это особый прямоугольник. Вы можете видеть это в следующих решениях экстремальных задач. Вы найдете наибольшую площадь внутри куба на моей странице куба. Матрица квадратов. Оптические иллюзии Вы видите: квадраты слева разные по бокам, а справа - в их областях.
Возможно, вам захочется разместить наклейку на заметку по длине в подсказке, чтобы студенты испытали большую проблему. Многие примут вызов, потому что знают, что могут заглянуть, если вызов кажется слишком большим. С наклейкой или без нее первое, что нужно сделать, чтобы поднять поиск решения выше угадывания и проверки, - это рассчитать площадь прямоугольника. Это не сразу станет очевидным для всех, что это будет суммой площадей площадей. Фактически, поскольку область и периметр неправильно поняты некоторыми учениками, некоторым может быть и не очевидно, что площадь каждого квадрата может рассчитываться по его длине стороны.
Общепринятое обозначение такой величины - буква Р. Каждой фигуре с учетом ее свойств присуща своя формула для определения периметра.
Свойства прямоугольника
- Равенство противоположных сторон.
- Равенство диагоналей.
- Возможность описать окружность.
- Высоты прямоугольника равны его сторонам.
- Сумма углов равна 360 градусов, и все углы прямые.
- Параллельность противоположных сторон.
- Перпендикулярность прилегающих сторон.
- Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов его сторон.
- Пересекаясь, диагонали делят друг друга пополам.
- Невозможность вписать в фигуру окружность.
Периметр квадрата
В зависимости от установленных (известных) параметров квадрата, существуют разные формулы для определения его периметра. Простой задачей является расчет периметра при установленной длине его стороны (с). В этом случае Р=с+с+с+с или 4*с. Например, длина стороны квадрата 7 см, тогда периметр фигуры буде 28 см (4*7).
Эта фаза может быть возможностью для точного изучения этих понятий. Поэтому числа, которые измеряют длину и ширину прямоугольника тайны, должны умножаться на равные. И есть, по крайней мере, еще одно ограничение. Обе стороны прямоугольника должны быть не менее 18 см, так как это длина стороны самого большого прямоугольника.
Например, если мы начнем с извлечения 11, наивысшего основного фактора, во-первых, получим. Один из способов выяснить это - сначала решить все пары факторов, которые могут работать, а затем попытаться создать соответствующий прямоугольник. Есть ли другой набор квадратов, который создает прямоугольник. Поскольку все квадраты являются прямоугольниками, самым простым случаем является.
В первом случае все понятно, но как найти периметр квадрата, зная его площадь? И тут все предельно ясно. Поскольку площадь фигуры определяется умножением одной стороны на другую, а у квадрата все стороны равны, необходимо извлечь корень из известной величины. Пример: есть квадрат с площадью 25 дм 2 . Корень из 25 равен 5 - эта величина характеризует длину стороны квадрата. Теперь, подставляя найденную величину - 5 дм 2 - в первоначальную формулу периметра, можно решить задачу. Ответом будет значение в 20 дм. То есть 4 умножили на 5, получили искомую величину.
Как найти периметр: все формулы в одном месте
Может быть, немного тривиально, но начинается следующий простейший случай, который. Но это подразумевает бесконечное число решений, потому что каждый прямоугольник может состоять из единичных квадратов. Можем ли мы продолжать строить прямоугольники из квадратов, но использовать квадраты разных размеров?
Теперь 3-квадратный слева или справа от текущей модели. Но давайте быть последовательными и продолжать размещать в направлении против часовой стрелки, которое было установлено в местах размещения выше. Каждый шаг представляет собой прямоугольник, созданный из квадратов - все разные, за исключением единичных квадратов, - и они создают визуальный шаблон, который вращается наружу. Там, где есть визуальный паттерн, будет отображаться числовое изображение. Числа Фибоначчи Существует еще одна визуальная подсказка.
Квадрат и окружность
Из свойств рассматриваемой фигуры выплывает, что в квадрат можно вписать окружность и также ее описать вокруг фигуры.
Первый вариант - нахождение периметра по радиусу описанной окружности. Вписанным считается квадрат, вершины которого находятся на окружности. Радиус окружности равен 1/2 длине диагонали. Выходит, что диаметр равен диагонали. Теперь необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник, который получился в результате деления диагональю квадрата. Решение задачи сводится к нахождению сторон этого треугольника. ВС - это известная величина, диаметр описанной окружности. Допустим, он равен 3 см. Теорема Пифагора в случае с равными сторонами треугольника, будет выглядеть так: 2с 2 =3 2 . В формуле обозначение с - это длина стороны треугольника и квадрата; 3 - известная величина гипотенузы. Отсюда, с=√9/2. Зная сторону квадрата, его периметр посчитать не проблема.
Особенностью вписанной окружности является деление сторон квадрата пополам. Поэтому радиус равняется половине длины стороны квадрата. Тогда сторона с=2*радиус. Периметр квадрата в этом случае равен 4*2*радиус или 8 радиусам окружности.
Периметр прямоугольника
Самая элементарная формула определения периметра прямоугольника через известные величины его сторон выглядит так: Р=2(а+b), где а и b - длины сторон фигуры.
Диагональ прямоугольника аналогично квадрату делит фигуру пополам, образуя прямоугольный треугольник. Однако задача усложняется тем, что стороны этого треугольника неравные. В случае с известной величиной одной из сторон и диагонали, вторую можно найти, следуя теореме Пифагора: д 2 =а 2 +в 2 , где а и в - стороны фигуры, а д - диагональ.
Если неизвестна ни одна из сторон, тогда в дело вступают знания тригонометрии: синусы, косинусы и другие функции.
Нахождение периметра по описанной окружности и известному диаметру сводится к тому, что диаметр равен длине диагонали фигуры. Дальше решение задачи определяется по наличию известных величин. Если даны углы, тогда через тригонометрические функции. Если дана сторона, ответ будет найден через теорему Пифагора.
Прямоугольник и тригонометрические функции
Для наглядности приведен пример решения задачи. Дано: прямоугольник АВСД; длина диагонали (d ) 20 см; угол ф - 30°. Найти периметр фигуры.
Из тригонометрии необходимо вспомнить следующее: синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Синус 30° (существуют таблицы, по которым можно определить значения тригонометрических функций для правильных углов) равен 1/2. Получается 1/2 = отношению в к d . Неизвестная величина в будет равна d /2=20/2=10 см.
Для расчета периметра следует найти вторую сторону фигуры. Можно через теорему Пифагора, так как известны длины гипотенузы и одного из катетов или опять через отношение сторон для косинуса угла.
Косинус угла ф выражается как отношение прилежащего катета к гипотенузе и равен √3/2.
√3/2=n/d , n=(d *√3)/2 или 10*√3. После извлечения корня из 3, получаем длину стороны треугольника: 10*1,73=17,3 см.
Периметр равен 2(17,3+10)=2*27,3=54,6 см.
Периметр и отношение сторон
В школьной программе встречаются задачи по геометрии, когда длины сторон прямоугольника выражены их отношением друг к другу. Рассмотрение решения подобной задачи представлено ниже.
Известно, что сумма длин всех сторон прямоугольника, то есть его периметр, равен 84 см. Отношение длины (д) к ширине (ш) - 3:2. Найти стороны фигуры.
Решение: пусть длина будет 3х, а ширина 2х, согласно соотношению из условия задачи. Формула периметра прямоугольника с полученными данными длин сторон будет следующей: 3х+3х+2х+2х = 84. Далее, 10х = 84, х=8,4 см. Подставив х в выражение длины и ширины прямоугольника, можно найти искомые величины. Длина будет: 3*8,4 = 25,2 см; ширина: 2*8,4 = 16,8 см.
Статья посвящена решению наиболее часто встречаемых задач в школьной программе. И это далеко не все способы нахождения периметра квадрата и прямоугольника.
Для вычисления площади и периметра квадрата нужно разобраться в понятиях этих величин. Квадрат представляет собой прямоугольник только с четырьмя одинаковыми сторонам, которые имеют между собой угол в 90°. Периметр - это сумма длин всех сторон. Площадь - это произведение длины прямоугольной фигуры на ее ширину.
Площадь квадрата и как ее найти
Как было сказано выше, квадрат - это прямоугольник, имеющий 4 равные стороны, поэтому ответом на вопрос: «как найти площадь квадрата» является формула: S = a*a или S = a 2 , где а - сторона квадрата. Исходя из этой формулы, легко находится сторона квадрата, если известна площадь. Для этого необходимо извлечь квадрат из указанной величины.
Например, S = 121, следовательно, а = √121 = 11. Если заданное значение отсутствует в таблице квадратов, то можно воспользоваться калькулятором: S = 94, а = √94 = 9,7.
Как найти периметр квадрата
Периметр квадрата находится по легкой формуле: Р = 4а, где а - сторона квадрата.
Пример:
- сторона квадрата = 5, следовательно, P = 4*5 = 20
- сторона квадрата = 3, следовательно, Р = 4*3 = 12
Но существуют такие задачи, где заведомо обозначена площадь, а нужно найти периметр. При решении нужны формулы, которые представлены ранее.
Например: как найти периметр квадрата, если известна площадь, равная 144?
Шаги решения:
- Выясняем длину одной стороны: а = √144 = 12
- Находим периметр: Р = 4*12 = 48.
Нахождение периметра вписанного квадрата
Существуют еще несколько способов нахождения периметра квадрата. Рассмотрим один из них: нахождение периметра через радиус описанной окружности. Здесь появляется новый термин «вписанный квадрат» - это квадрат, чьи вершины лежат на окружности.
Алгоритм решения:
- так как на рассмотрении квадрат, формулу можно выразить таким образом: a 2 + a 2 = (2r) 2 ;
- затем следует уравнение сделать проще: 2a 2 = 4(r) 2 ;
- делим уравнение на 2: (a 2 ) = 2(r) 2 ;
- извлекаем корень: a = √(2r).
В итоге получаем последнюю формулу: а (сторона квадрата) = √(2r).
- Найденная сторона квадрата умножается на 4, далее применяется стандартная формула по нахождению периметра: P = 4√(2r).
Задача:
Дан квадрат, который вписан в окружность, ее радиус равен 5. Значит, диагональ квадрата равняется 10. Применяем теорему Пифагора: 2(a
2
) = 10
2
, то есть 2a
2
= 100. Делим полученное на два и в результате: a
2
= 50. Так как это не табличное значение, используем калькулятор: а = √50 = 7,07. Умножаем на 4: Р = 4*7,07 = 28,2. Задача решена!
Рассмотрим еще один вопрос
Часто в задачах встречается другое условие: как найти площадь квадрата, если известен периметр?
Мы уже рассмотрели все необходимые формулы, поэтому для решения задач подобного типа, необходимо умело их применять и связывать между собой. Перейдем сразу к наглядному примеру: Площадь квадрата равна 25 см
2
, найдите его периметр.
Шаги решения:
- Находим сторону квадрата: а = √25 = 5.
- Находим сам периметр: Р = 4*а = 4*5 = 20.
Подводя итог, важно напомнить, что такие легкие формулы применимы не только в учебной деятельности, но и повседневной жизни. Периметр и площадь фигуры дети учатся находить еще в начальной школе. В средних классах появляется новый предмет - геометрия, где теорема Пифагора находится в самом начале изучения. Эти азы математики проверяются и по окончанию школы ОГЭ и ЕГЭ, поэтому важно знать эти формулы и правильно их применять.