Аргументен модул и функционален модул
внимание:малките снимки се увеличават с щракване с левия бутон на мишката.
Ако сте стигнали до тази страница от търсачка, заобикаляйки предишните раздели на темата "Графики на функции и техните трансформации", тогава ви препоръчвам първо да повторите и общо
модул променлива (абсолютната стойност на стойността) се дефинира, както следва:
- |х| = х
,
ако х ≥ 0
,
|х| = −х , ако х < 0 .
В контекста на начертаването това означава използване трансформации на симетрия около координатните оси.
- Функция Plot г = е(х) .
- Изключете частта му, разположена в отрицателната половина на оста на абсцисата. (Например, просто изтрийте с гума, ако графиката е нарисувана с молив.)
- Изградете левия клон на графиката (с отрицателен х) чрез симетрично преобразуване на десния му клон около оста ой .
- Функция Plot г = е(х) .
- Площта на участъка, разположена под оста на абсцисата (с отрицателна г) се разширява до горната половина на координатната мрежа чрез трансформиране на симетрия около оста вол .
В този пример и двете графики са получени от графиката на функцията г = х − 3 . Първият е трансформация ге(х) → ге(| х| ) , вторият е чрез трансформация ге(х) → г| е(х)| .
III При изобразяване на функцията г = е(х) по-сложни графики, например във формата г = k f(а|х| + б) + ° С или г = к·| е(брадва + б)| + ° С наблюдавайте внимателно.По-долу са дадени примери за графики на различни функции, съдържащи модул, които са получени от графиката на функция г = √|х|__
.
| 1. г = √х_ | 2. г = √|х|__ | 3. г = √|х − 1|_____ | 4. г = √|х| − 1 _____ | 5. г = |√х − 1_ | |
IV Равенство на възгледите |г| = е (х)
по дефиниция не е функция, тъй като позволява неяснота при изчисляване на стойност г... Въпреки това, той задава линия в координатната равнина и тази линия може да бъде построена и въз основа на графиката на функцията г = е(х)
.
За това ви трябва:
- Функция Plot г = е(х) .
- Изключете неговата част, разположена под оста на абсцисата, тъй като посоченото равенство е възможно само за положителни стойности е(х).
- Изградете долната част на реда (с отрицателно г) симетрично картографиране около оста вол .
| 1. |г| = √х_ | 2. |г| = |√х_ − 1| |
Пример 1.
Графиката на функциите е зададена г = х 2
.
Начертайте криви, които отговарят на уравнението |г| = х 2 − 2|х| − 5
.
забележи това х 2 = |х| 2 (стойността на четната степен, както и стойността на модула, винаги е неотрицателна). Следователно преобразуваме функцията във формата |г| = (|х| − 1) 2 − 6 и да изгради неговата графика чрез последователни трансформации.
Начертаване на функция е(х) = (х − 1) 2 − 6
превод с 1 надясно по оста вол, а след това преместване надолу с 6 единици по оста ой.
Начертаване на функция е(|х|) = (|х| − 1) 2 − 6
ой.
Начертаваме линии, които отговарят на уравнението |г| = (|х| − 1) 2 − 6
използвайки трансформация на симетрия около оста вол.
| 1. г = х 2 | 2. г = (х − 1) 2 | 3. г = (х − 1) 2 − 6 | 4. г = (|х| − 1) 2 − 6 | 5. |г| = (|х| − 1) 2 − 6 |
Изградете сами следната графика, за да сте сигурни, че я правите правилно.
Пример 2.
Графиката на функциите е зададена г = х 2
.
Функция Plot г = |х 2 − 2х − 5|
.
Покажи отговора
Сума от модули
Ако формулата на функцията включва сумата или разликата на няколко модула, тогава координатната равнина трябва да бъде разделена на секции и всеки клон на графиката трябва да бъде изграден отделно. Границите на обектите се определят чрез приравняване на всеки модул към нула и решаване на съответното уравнение. Може да се види подробен пример за този подход
Често срещани примери с модули са уравнение от модулен тип в модул.Двойният модул може да се запише като формула
|| a * x-b | -c | = k * x + m.
Ако k = 0, тогава такова уравнение с модул е по-лесно за графично решаване. Класическото разкриване на модули в такива ситуации е тромаво и не дава желания ефект (спестяване на време) върху контролите и тестовете. Графичният метод позволява за кратко време да се изградят модулни функции и да се намери броят на корените на уравнението.
Алгоритъмът за конструиране на двоен, троен модул е доста прост и мнозина ще харесат примерите по-долу. За да консолидирате техниката, по-долу са дадени примери за самостоятелно изчисляване.
Пример 1. Решете уравнението модул по модул || x-3 | -5 | = 3.
Решение: Да решим уравнението с модули по класическия метод и графично. Намерете нулата на вътрешния модул
x-3 = 0 x = 3.
В точката x = 3 уравнението на модула е разделено на 2. В допълнение, нулата на вътрешния модул е точката на симетрия на графиката на модула и ако дясната страна на уравнението е постоянна, тогава корените лежат на същото разстояние от тази точка. Тоест можете да решите едно от две уравнения и да изчислите останалите корени от това условие.
Нека отворим вътрешния модул за x> 3
|x-3-5 | = 3; | x-8 | = 3.
Полученото уравнение при разширяване на модула се разделя на 2
Подмодуларна функция> 0
х-8 = 3; х = 3 + 8 = 11;
и за ценности< 0
получим
- (x-8) = 3; х = 8-3 = 5.
И двата корена на уравнението отговарят на условието x> 3, тоест те са решения.
Като се вземе предвид правилото за симетрия на решенията на уравнение с модули, написани по-горе, е възможно да не се търсят корените на уравнението за x< 3,
которое имеет вид
|- (x-3) -5 | = 3; | -x-2 | = 3,
но ги изчисли.
Симетрично по отношение на x = 3 за x = 11 е
х = 3- (11-3) = 6-11 = -5.
Използвайки същата формула, намираме второто решение
x = 3-(5-3) = 6-5 = 1.
Даденото уравнение на модула в модула има 4 решения
х = -5; х = 1; х = 5; х = 11.
Сега нека намерим решения уравнения с модули по графичен метод... От вътрешен модул | x-3 | от това следва, че графиката на стандартния модул на функцията е изместена по оста Ox надясно с 3.
Освен това - изваждане 5 означава, че графиката трябва да бъде намалена с 5 клетки по оста Oy. За да получите модула на получената функция, отразете симетрично всичко, което е под оста Ox.
И накрая, ние изграждаме права линия y = 3, успоредна на оста Ox. Най-добре е да използвате графично тетрадка на квадрат за изчисляване на уравнения с модули, тъй като е удобно да рисувате графики в него.
Крайният изглед на графиката на модула е
Пресечните точки на модула на функцията и правата y = 3 и са търсените решения x = -5;x = 1; х = 5; х = 11.
Предимството на графичния метод пред разширяването на модулитеза прости уравнения е очевидно. Въпреки това е графично неудобно да се търсят корени, когато дясната страна има формата k * x + m, тоест е права линия, наклонена към оста на абсцисата под ъгъл.
Тук няма да разглеждаме такива уравнения.
Пример 2. Колко корени има уравнението || 2x-3 | -2 | = 2?
Решение: Дясната страна е равна на константа, така че е по-вероятно решението да бъде намерено графично. Вътрешният модул изчезва
| 2x-3 | = 0 x = 3/2 = 1,5
в точката x = 1,5.
Така че изместваме графиката на функцията y = | 2x | към тази точка. За да го изградите, заменете няколко точки и начертайте прави линии през тях. Изваждаме 2 от получената функция, тоест намаляваме графиката с две надолу и, за да получим модула, прехвърляме отрицателни стойности (y< 0)
симметрично относительно оси Ox
.
Виждаме, че даденото уравнение има три решения.
Пример 3. При каква стойност на параметъра a уравнението с модул ||| x + 1 | -2 | -5 | = a има 5 решения?
Решение: Имаме уравнение с три вложени модула. Нека намерим отговора от графичен анализ. Нека започнем, както винаги, от вътрешния модул. То изчезва
| x + 1 | = 0 x = -1
в точката x = -1.
В този момент начертаваме модула на функцията
Нека повторим изместването на графиката на функционалния модул надолу с 5 и симетрично прехвърлим отрицателните стойности на функцията. В резултат на това получаваме лявата част на уравнението с модули
y = ||| x + 1 | -2 | -5 | ...
Параметър a съответства на стойността на успоредната права линия, която трябва да пресича графиката на модула на функцията в 5 точки. Първо, начертаваме такава права линия, след това търсим пресечната точка с оста Oy.
Това е правата линия y = 3, тоест необходимият параметър е равен на a = 3.
Чрез разширяване на модулите този проблем може да бъде решен за цял урок, ако не и повече. Всичко се свеждаше до няколко графики.
Отговор: а = 3.
Пример 4. Колко решения има уравнението ||| 3x-3 | -2 | -7 | = x + 5?
Решение: Нека отворим вътрешния модул на уравнението
| 3x-3 | = 0<=>х = 3/3 = 1.
Начертайте графика на функцията y = | 3x-3 |. За да направите това, добавете 3 клетки по y към една клетка на промяната в x от намерената точка. Извършете конструирането на корените на уравнението в тетрадка в кутия и ще ви кажа как това може да се направи в средата на Maple.
Рестартиране; с (графики): Задайте всички променливи на нула и свържете модула за работа с графики.
> график (abs (3 * x-3), x = -2..4):
След това спускаме графиката 2 клетки надолу и прехвърляме отрицателни стойности (y<0)
.
Ще получим графика от два вътрешни модула. Получената графика се намалява с два и се отразява симетрично. вземете графика
y = || 3x-3 | -2 |.
В пакета по математика клентова е еквивалентно на писане на друг модул
> график (abs (3 * x-3) -2), x = -2..4):
Преместете графиката надолу със седем единици и я прехвърлете симетрично. Получаваме графиката на функцията
y = ||| 3x-3 | -2 | -7 |
В Maple това е еквивалентно на следната кодова лента
> график (abs (abs (3 * x-3) -2) -7), x = -5..7):
Изградете права линия y = x + 5 в две точки. Първият е пресечната точка на права линия с оста на абсцисата
Знакът на модула е може би едно от най-интересните явления в математиката. В тази връзка много ученици имат въпроса как да изградят графики на функции, съдържащи модул. Нека да разгледаме по-отблизо този въпрос.
1. Графични функции, съдържащи модул
Пример 1.
Начертайте графика на функцията y = x 2 - 8 | x | + 12.
Решение.
Нека дефинираме четността на функцията. Стойността за y (-x) е същата като стойността за y (x), така че тази функция е четна. Тогава неговата графика е симетрична спрямо оста Oy. Изграждаме графика на функцията y = x 2 - 8x + 12 за x ≥ 0 и показваме симетрично графиката по отношение на Oy за отрицателно x (фиг. 1).
Пример 2.
Следващата графика е от вида y = | x 2 - 8x + 12 |.
- Какъв е диапазонът от стойности на предложената функция? (y ≥ 0).
- Как е подреден графикът? (Над или докосвайки абсцисата).
Това означава, че графиката на функцията се получава, както следва: изградена е графиката на функцията y = x 2 - 8x + 12, частта от графиката, която лежи над оста Ox, се оставя непроменена, а частта от графиката която лежи под абсцисата е показана симетрично спрямо оста Ox (фиг. 2).
Пример 3.
Да се начертае функцията y = | x 2 - 8 | x | + 12 | извършете комбинация от трансформации:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | x | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.
Отговор: Фигура 3.
Разгледаните трансформации са валидни за всички видове функции. Нека направим таблица:
2. Начертаване на функции, съдържащи "вложени модули" във формулата
Вече видяхме примери за квадратична функция, съдържаща модул, както и с общите правила за изграждане на графики на функции от вида y = f (| x |), y = | f (x) | и y = | f (| x |) |. Тези трансформации ще ни помогнат със следващия пример.
Пример 4.
Да разгледаме функция от вида y = | 2 - | 1 - | x |||. Функционалният израз съдържа "вложени модули".
Решение.
Нека използваме метода на геометричните трансформации.
Нека запишем веригата от последователни трансформации и направим съответния чертеж (фиг. 4):
y = x → y = | x | → y = - | x | → y = - | x | + 1 → y = | - | x | + 1 | → y = - | - | x | + 1 | → y = - | - | x | + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x |||.
Помислете за случаите, когато симетрията и паралелните транслационни трансформации не са основната техника за начертаване.
Пример 5.
Начертайте функция от вида y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.
Решение.
Преди да начертаем графиката, трансформираме формулата, на която е приписана функцията, и получаваме друга аналитична задача на функцията (фиг. 5). 
y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x– 2) (x + 2) / | x + 2 |.
Нека разширим модула в знаменателя:
За x> -2, y = x - 2, а за x< -2, y = -(x – 2).
Домейн D (y) = (-∞; -2) ᴗ (-2; + ∞).
Диапазон от стойности E (y) = (-4; + ∞).
Точките, в които графиката се пресича с координатната ос: (0; -2) и (2; 0).
Функцията намалява за всички x от интервала (-∞; -2), нараства за x от -2 до + ∞.
Тук трябваше да разкрием знака на модула и да начертаем функцията за всеки случай.
Пример 6.
Да разгледаме функцията y = | x + 1 | - | x - 2 |.
Решение.
Разширявайки знака на модула, е необходимо да се разгледат всички възможни комбинации от знаци на подмодулни изрази.
Има четири възможни случая:
(x + 1 - x + 2 = 3, за x ≥ -1 и x ≥ 2;
(-x - 1 + x - 2 = -3, за x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, за x ≥ -1 и x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, за x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Тогава оригиналната функция ще изглежда така:
(3, за x ≥ 2;
y = (-3, за x< -1;
(2x - 1, за -1 ≤ x< 2.
Получихме частично определена функция, графиката на която е показана на фигура 6.
3. Алгоритъм за изграждане на графики на функции от вида
y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | +… + A n | x - x n | + брадва + b.
В предишния пример беше достатъчно лесно да се разширят знаците на модула. Ако има повече суми от модули, тогава е проблематично да се разгледат всички възможни комбинации от знаци на субмодуларни изрази. Как в този случай да се начертае графиката на функцията?
Забележете, че графиката е полилиния с върхове в точки с абсцис -1 и 2. За x = -1 и x = 2 изразите на подмодула са равни на нула. На практичен начин се приближихме до правилото за изграждане на такива графики:
Чрез графиката на функция от вида y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | +… + A n | x - x n | + ax + b е полилиния с безкрайни крайни връзки. За да се изгради такава полилиния, е достатъчно да се знаят всички нейни върхове (абсцисите на върховете са нули на изразите на подмодула) и по една контролна точка на лявата и дясната безкрайни връзки. 
Задача.
Начертайте графика на функцията y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | и намерете най-малката му стойност.
Решение:
Нули на подмодулни изрази: 0; -един; 1. Върхове на полилинията (0; 2); (-тринадесет); (тринадесет). Контролна точка отдясно (2; 6), отляво (-2; 6). Изграждаме графика (фиг. 7). мин. f (x) = 2.
Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да изобразите функция с модул?
За да получите помощ от преподавател -.
блог.сайт, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
Препис
1 Регионална научно-практическа конференция по учебни и изследователски работи на ученици от 6-11 клас "Приложни и фундаментални въпроси на математиката" Методически аспекти на изучаването на математиката Построителни функции, съдържащи модула Габова Анжела Юриевна, 10 клас, МОБУ "Гимназия 3" Кудимкар, Пикулева Надежда Ивановна, учител по математика, MOBU "Гимназия 3", Кудимкар Перм, 2016 г.
2 Съдържание: Въведение ... 3 стр. I. Основна част ... 6 стр. 1.1 Историческа справка .. 6 стр. 2. Основни дефиниции и свойства на функциите стр. 2.1 Квадратична функция ... 7 стр. 2.2 Линейна функция .. .8 стр. 2.3 Дробна рационална функция 8 стр. 3. Алгоритми за изчертаване на графики с модул 9 стр. 3.1 Дефиниция на модул .. 9 стр. 3.2 Алгоритъм за изобразяване на линейна функция с модул ... 9 стр. 3.3 Построяване на функции, съдържащи се във формулата "вложени модули" .10 стр. 3.4 Алгоритъм за изобразяване на функции от вида y = a 1 xx 1 + a 2 xxanxxn + ax + b ... 13 стр. 3.5 Алгоритъм за изобразяване на квадрат функция с модул 14 стр. 3.6 Алгоритъм за изобразяване на дробно рационална функция с модул. 15 стр. 4. Промени в графиката на квадратичната функция в зависимост от местоположението на знака на абсолютната стойност.. 17 p. II. Заключение ... 26 стр. III. Литература и източници ... 27 с. IV. Приложение .... 28 стр. 2
3 Въведение Функциите за начертаване е една от най-интересните теми в училищната математика. Най-големият математик на нашето време Израел Моисеевич Гелфанд пише: „Процесът на начертаване на графики е начин за трансформиране на формули и описания в геометрични изображения. Това изчертаване е начин да видите формули и функции и да проследите как се променят тези функции. Например, ако е написано y = x 2, тогава веднага виждате парабола; ако y = x 2-4, виждате парабола, спусната с четири единици; ако y = - (x 2 4), тогава виждате предишната парабола обърната надолу. Тази способност да виждате формулата наведнъж и нейната геометрична интерпретация е важна не само за изучаването на математика, но и за други предмети. Това е умение, което остава с вас за цял живот, точно като каране на колело, писане или шофиране на кола." Основите за решаване на уравнения с модули са получени в 6-7 клас. Избрах тази тема, защото смятам, че изисква по-задълбочено и по-подробно проучване. Искам да получа по-широки познания за модула на число, различни начини за начертаване на графики, съдържащи знака на абсолютната стойност. Когато "стандартните" уравнения на прави линии, параболи, хиперболи включват знака на модула, техните графики стават необичайни и дори красиви. За да научите как да изграждате такива графики, трябва да овладеете техниките за изграждане на основни форми, както и твърдо да знаете и разбирате дефиницията на модула на число. В училищния курс по математика графиките с модула не се разглеждат задълбочено, поради което исках да разширя познанията си по тази тема, да проведа собствено изследване. Без да се знае дефиницията на модул, е невъзможно да се изгради дори най-простата графика, съдържаща абсолютна стойност. Характерна особеност на графики на функции, съдържащи изрази със знак за модул, 3
4 е наличието на извивки в онези точки, в които изразът под знака на модула сменя знака. Цел на работата: да се разгледа изграждането на графика на линейни, квадратни и дробно рационални функции, съдържащи променлива под знака на модула. Задачи: 1) Изучаване на литературата за свойствата на абсолютната стойност на линейни, квадратни и дробни рационални функции. 2) Изследвайте промените в графиките на функциите в зависимост от местоположението на знака на абсолютната стойност. 3) Научете се да изобразявате уравнения. Обект на изследване: графики на линейни, квадратни и дробно рационални функции. Предмет на изследване: промени в графиката на линейни, квадратни и дробно рационални функции в зависимост от местоположението на знака на абсолютната стойност. Практическата значимост на моята работа е: 1) да използвам придобитите знания по тази тема, както и да ги задълбоча и да ги приложим към други функции и уравнения; 2) в използването на изследователски умения в по-нататъшни образователни дейности. Уместност: Традиционно задачите за изобразяване на графики са една от най-трудните теми в математиката. Нашите възпитаници се сблъскват с проблема с успешното полагане на Държавен изпит и изпит. Изследователски проблем: начертаване на графики на функции, съдържащи знака на модула от втората част на GIA. Изследователска хипотеза: прилагането на методологията за решаване на задачите от втората част на GIA, разработена на базата на общи методи за изобразяване на графиките на функции, съдържащи знака на модула, ще позволи на студентите да решават тези задачи 4
5 на съзнателна основа, изберете най-рационалния метод за решение, приложете различни методи за решаване и преминете GIA по-успешно. Използвани в работата методи на изследване: 1. Анализ на математическа литература и интернет ресурси по тази тема. 2. Репродуктивно възпроизвеждане на изучавания материал. 3. Познавателна и търсеща дейност. 4. Анализ и съпоставяне на данни при търсене на решения на проблеми. 5. Излагане на хипотези и тяхната проверка. 6. Сравнение и обобщение на математически факти. 7. Анализ на получените резултати. При написването на тази работа са използвани следните източници: Интернет ресурси, OGE тестове, математическа литература. 5
6 I. Основна част 1.1 Историческа справка. През първата половина на 17-ти век започва да се оформя идеята за функция като зависимост на една променлива от друга. Например френските математици Пиер Ферма () и Рене Декарт () са си представили функция като зависимост на ординатата на точка на крива от нейната абсцис. И английският учен Исак Нютон () разбира функцията като координата на движеща се точка, която се променя с времето. Терминът "функция" (от латински функция изпълнение, изпълнение) е въведен за първи път от немския математик Готфрид Лайбниц (). Неговата функция беше свързана с геометрично изображение (графика на функция). Впоследствие швейцарският математик Йохан Бернули () и известният математик от 18-ти век Леонард Ойлер (), член на Санкт Петербургската академия на науките, разглеждат функцията като аналитичен израз. Ойлер също има общо разбиране за функция като зависимост на една променлива от друга. Думата "модул" идва от латинската дума "modulus", което означава "мярка" в превод. Това е многозначна дума (омоним), която има много значения и се използва не само в математиката, но и в архитектурата, физиката, инженерството, програмирането и други точни науки. В архитектурата това е първоначалната мерна единица, установена за дадена архитектурна структура и използвана за изразяване на множество съотношения на съставните й елементи. В технологиите това е термин, използван в различни области на техниката, който няма универсално значение и служи за обозначаване на различни коефициенти и величини, например модул на ангажираност, модул на еластичност и др. 6
7 Модулът на обемна компресия (по физика) е съотношението на нормалното напрежение в материала към относителното удължение. 2. Основни дефиниции и свойства на функциите Функцията е едно от най-важните математически понятия. Функция е такава зависимост на променливата y от променливата x, при която всяка стойност на променливата x съответства на една стойност на променливата y. Методи за задаване на функция: 1) аналитичен метод (функцията се задава по математическа формула); 2) табличен метод (функцията се задава с помощта на таблица); 3) описателен начин (функцията се дава чрез словесно описание); 4) графичен метод (функцията се задава с помощта на графика). Графиката на функция е множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абциси са равни на стойността на аргумента, а ординатите на съответните стойности на функцията. 2.1 Квадратична функция Функция, дефинирана от формулата y = ax 2 + bx + c, където x и y са променливи, а параметрите a, b и c са всякакви реални числа, с a = 0, се нарича квадратична. Графиката на функцията y = ax 2 + in + c е парабола; оста на симетрия на параболата y = ax 2 + bx + c е права линия, за a> 0 "клоните" на параболата са насочени нагоре, за a<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7
8 (за функции на една променлива). Основното свойство на линейните функции: нарастването на функцията е пропорционално на увеличението на аргумента. Тоест, функцията е обобщение на пряката пропорционалност. Графиката на линейна функция е права линия, което е причината за нейното име. Това се отнася до реална функция на една реална променлива. 1) При правата линия образува остър ъгъл с положителната посока на оста на абсцисата. 2) При правата линия образува тъп ъгъл с положителната посока на оста на абсцисата. 3) е индикатор на ординатата на точката на пресичане на правата линия с оста на ординатата. 4) Когато правата минава през началото. , 2.3 Дробна рационална функция е дроб, чиито числител и знаменател са полиноми. Той има формата където, са полиноми в произволен брой променливи. Рационалните функции на една променлива са специален случай:, където и са полиноми. 1) Всеки израз, който може да бъде получен от променливи с помощта на четири аритметични операции, е рационална функция. осем
9 2) Множеството от рационални функции е затворено по отношение на аритметичните операции и композиционната операция. 3) Всяка рационална функция може да бъде представена като сбор от най-простите дроби - това се използва при аналитичното интегриране .., 3. Алгоритми за изграждане на графики с модул 3.1 Определяне на модул Модулът на реално число a е числото a себе си, ако е неотрицателно, и числото, противоположно на а, ако а е отрицателно. a = 3.2 Алгоритъм за изграждане на графика на линейна функция с модул За да изградите графики на функции y = x, трябва да знаете, за положително x имаме x = x. Това означава, че при положителни стойности на аргумента графиката y = x съвпада с графиката y = x, тоест тази част от графиката е лъч, излизащ от началото под ъгъл от 45 градуса спрямо оста на абсцисата . За х< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9
10 За конструиране вземете точките (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Сега нека начертаем графиката y = x-1. Ако A е точката на графиката y = x с координати (a; a), тогава точката на графиката y = x-1 със същата стойност на ординатата Y ще бъде точка A1 (a + 1; a). Тази точка от втората графика може да бъде получена от точка A (a; a) на първата графика чрез изместване успоредно на оста Ox вдясно. Това означава, че цялата графика на функцията y = x-1 се получава от графиката на функцията y = x чрез изместване успоредно на оста Ox надясно с 1. Нека построим графиките: y = x-1 За да начертаем , вземете точките (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Построяване на графики на функции, съдържащи "вложени модули" във формулата Нека разгледаме алгоритъма за конструиране с помощта на конкретен пример Конструиране на графика на функция: 10
11 y = i-2-ix + 5ii 1. Изградете графика на функцията. 2. Графиката на долната полуравнина се показва нагоре симетрично около оста OX и получаваме графиката на функцията. единадесет
12 3. Графиката на функцията се показва надолу симетрично около оста OX и получаваме графиката на функцията. 4. Графиката на функцията се показва надолу симетрично около оста OX и получаваме графиката на функцията 5. Показваме графиката на функцията спрямо оста OX и получаваме графиката. 12
13 6. В резултат на това функционалната графика изглежда както следва 3.4. Алгоритъм за изобразяване на функции от вида y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. В предишния пример беше достатъчно лесно да се разширят знаците на модула. Ако има повече суми от модули, тогава е проблематично да се разгледат всички възможни комбинации от знаци на субмодуларни изрази. Как в този случай да се начертае графиката на функцията? Забележете, че графиката е полилиния с върхове в точки с абсцис -1 и 2. За x = -1 и x = 2 изразите на подмодула са равни на нула. На практичен начин се приближихме до правилото за изграждане на такива графики: Графиката на функция от вида y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b е прекъсната линия с безкрайни крайни връзки. За да се изгради такава полилиния, е достатъчно да се знаят всички нейни върхове (абсцисите на върховете са нули на субмодуларни изрази) и една контролна точка в лявата и дясната безкрайни връзки. тринадесет
14 Проблем. Начертайте графиката на функцията y = x + x 1 + x + 1 и намерете нейната най-малка стойност. Решение: 1. Нули на подмодулни изрази: 0; -един; Върхове на полилиния (0; 2); (-тринадесет); (1; 3) (В уравнението се заменят нулите на изразите на подмодула) 3 Контролна точка отдясно (2; 6), отляво (-2; 6). Изграждаме графика (фиг. 7), като най-малката стойност на функцията е равна на Алгоритъм за изграждане на графика на квадратична функция с модула Съставяне на алгоритми за преобразуване на графики на функции. 1. Начертаване на функцията y = f (x). По дефиниция на модул тази функция е разделена на набор от две функции. Следователно графиката на функцията y = f (x) се състои от две графики: y = f (x) в дясната полуравнина, y = f (-x) в лявата полуравнина. Въз основа на това може да се формулира правило (алгоритъм). Графиката на функцията y = f (x) се получава от графиката на функцията y = f (x), както следва: при x 0 графиката се записва, а при x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14
15 3. За да начертаете функцията y = f (x), първо трябва да начертаете функцията y = f (x) за x> 0, след това за x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15
16 За да получите тази графика, просто трябва да изместите получената преди това графика с три единици вдясно. Обърнете внимание, че ако знаменателят на дроба беше изразът x + 3, тогава щяхме да изместим графиката наляво: Сега трябва да умножим всички ординати по две, за да получим графиката на функцията Накрая изместваме графиката нагоре с две единици: Последното нещо, което ни остава да направим, е да начертаем графиката на дадената функция, ако тя е затворена под знака на модула. За да направите това, отразете симетрично нагоре цялата част от графиката, чиито ординати са отрицателни (частта, която лежи под оста x): Фиг. 4 16
17 4. Промени в графиката на квадратичната функция в зависимост от местоположението на знака на абсолютната стойност. Начертайте графиката на функцията y = x 2 - x -3 1) Тъй като x = x при x 0, необходимата графика съвпада с параболата y = 0,25 x 2 - x - 3. Ако x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0.b) Следователно завършвам конструкцията за x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17
Фиг. 18 4 Графиката на функцията y = f (x) съвпада с графиката на функцията y = f (x) върху множеството неотрицателни стойности на аргумента и е симетрична спрямо нея около оста OY на множеството на отрицателни стойности на аргумента. Доказателство: Ако x е 0, тогава f (x) = f (x), т.е. на набора от неотрицателни стойности на аргумента, графиките на функцията y = f (x) и y = f (x) съвпадат. Тъй като y = f (x) е четна функция, нейната графика е симетрична по отношение на OU. Така графиката на функцията y = f (x) може да се получи от графиката на функцията y = f (x), както следва: 1. построете графиката на функцията y = f (x) за x> 0; 2. За х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. За х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х
19 Ако x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и симетрично отразена част y = f (x) при y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, тогава f (x) = f (x), така че в тази част графиката на функцията y = f (x) съвпада с графиката на самата функция y = f (x). Ако f (x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19
20 Фиг.5 Заключение: За изграждане на графика на функцията y = f (x) 1. Построяване на графика на функцията y = f (x); 2. В области, където графиката е разположена в долната полуравнина, т.е. където f (x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20
21 Изследователска работа по изграждане на графики на функцията y = f (x) Прилагайки дефиницията на абсолютната стойност и разгледаните по-рано примери, ще построим графиките на функцията: y = 2 x - 3 y = x 2- 5 xy = x 2-2 и направиха изводи. За да построите графика на функцията y = f (x), трябва да: 1. Построите графика на функцията y = f (x) за x> 0. 2. Изградете втората част на графиката, тоест отразете построената графика симетрично спрямо ОА, тъй като тази функция е четна. 3. Секциите на получената графика, разположени в долната полуравнина, се трансформират в горната полуравнина симетрично спрямо оста OX. Построете графика на функцията y = 2 x - 3 (1-ви метод за определяне на модула) 1. Изграждаме y = 2 x - 3, за 2 x - 3> 0, x> 1,5 т.е. х< -1,5 и х>1,5 а) y = 2x - 3, за x> 0 б) за x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 б) за x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Изградете права линия, симетрична, построена спрямо оста OU. 3) Секциите на графиката, разположени в долната полуравнина, се показват симетрично около оста OX. Сравнявайки и двете графики, виждаме, че те са еднакви. 21
22 Примери за задачи Пример 1. Разгледайте графиката на функцията y = x 2 6x +5. Тъй като x е на квадрат, то независимо от знака на числото x след квадратурата, то ще бъде положително. От това следва, че графиката на функцията y = x 2-6x +5 ще бъде идентична с графиката на функцията y = x 2-6x +5, т.е. графиката на функция, която не съдържа знака на абсолютната стойност (фиг. 2). Фиг.2 Пример 2. Разгледайте графиката на функцията y = x 2 6 x +5. Използвайки дефиницията на модула на число, заменяме формулата y = x 2 6 x +5 Сега се занимаваме с добре познатия проблем на зависимостта на парчета. Ще изградим графика по следния начин: 1) построете парабола y = x 2-6x +5 и заобиколете частта от нея, която е 22
23 съответства на неотрицателни стойности на x, т.е. частта, разположена вдясно от оста Oy. 2) в същата координатна равнина построете парабола y = x 2 + 6x +5 и обградете частта от нея, която съответства на отрицателни стойности на x, т.е. частта, разположена вляво от оста Oy. Очертаните части на параболите заедно образуват графиката на функцията y = x 2-6 x +5 (фиг. 3). Фиг.3 Пример 3. Разгледайте графиката на функцията y = x 2-6 x +5. Защото графиката на уравнението y = x 2 6x +5 е същата като графиката на функцията без знака за модул (разгледана в пример 2), от което следва, че графиката на функцията y = x 2 6 x +5 е идентична към графиката на функцията y = x 2 6 x +5, разгледана в пример 2 (фиг. 3). Пример 4. Да построим графика на функцията y = x 2 6x +5. За да направите това, изградете графика на функцията y = x 2-6x. За да получите от него графиката на функцията y = x 2-6x, трябва да замените всяка точка на параболата с отрицателна ордината с точка със същата абсциса, но с противоположна (положителна) ордината. С други думи, частта от параболата, разположена под оста x, трябва да бъде заменена с линия, симетрична спрямо оста x. Защото трябва да изградим графика на функцията y = x 2-6x +5, след което графиката на функцията, която разгледахме y = x 2-6x, просто трябва да се повдигне по оста y с 5 единици нагоре (фиг. 4). 23
24 Фиг.4 Пример 5. Да построим графика на функцията y = x 2-6x + 5. За да направим това, ще използваме добре познатата функция на парчета. Нека намерим нулите на функцията y = 6x +5 6x + 5 = 0 at. Помислете за два случая: 1) Ако, тогава уравнението ще приеме формата y = x 2 6x -5. Нека построим тази парабола и да очертаем частта от нея, където. 2) Ако, тогава уравнението приема формата y = x 2 + 6x +5. Нека застанем тази парабола и очертаем частта от нея, която се намира вляво от точката с координати (фиг. 5). 24
25 Фиг. 5 Пример 6. Нека построим графика на функцията y = x 2 6 x +5. За да направим това, ще начертаем функцията y = x 2-6 x +5. Построихме тази графика в пример 3. Тъй като нашата функция е изцяло под знака на модула, за да начертаем функцията y = x 2 6 x +5, трябва всяка точка от графиката на функцията y = x 2 6 x + 5 с отрицателна ордината, заместете с точка със същата абциса, но с противоположна (положителна) ордината, т.е. частта от параболата, разположена под оста Ox, трябва да бъде заменена с линия, симетрична спрямо оста Ox (фиг. 6). Фиг. 6 25
II.Заключение „Математическата информация може да се прилага умело и с полза само ако се овладява творчески, така че ученикът сам да види как би могъл сам да стигне до тях“. A.N. Колмогоров. Тези задачи представляват голям интерес за учениците от девети клас, тъй като много често се срещат в тестовете за OGE. Възможността за изграждане на тези графики от функции ще ви позволи да преминете по-успешно изпита. Френските математици Пиер Ферма () и Рене Декарт () си представят функция като зависимост на ординатата на точка от крива върху нейната абсцис. И английският учен Исак Нютон () разбира функцията като координата на движеща се точка, която се променя с времето. 26
27 III Литература и източници 1. Галицки М.Л., Голдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задачи по алгебра за 8 9 клас: Учебник. помагало за учениците на училището. и класове с задълбочени. проучване математика 2-ро изд. М .: Просвещение, Дорофеев G.V. Математика. алгебра. Функции. Анализ на данни. 9 клас: m34 Учебник. за общообразователни изследвания. заведения 2-ро изд., стереотип. М .: Дропла, Соломоник V.S. Колекция от въпроси и задачи по математика М.: "Гимназия", Яшченко И.В. GIA. Математика: типични изпитни варианти: За опциите.м .: „Национално образование”, стр. 5. Яшченко И.В. OGE. Математика: типични изпитни варианти: За опциите.м .: „Национално образование”, стр. 6. Ященко И.В. OGE. Математика: типични изпитни варианти: За опциите.м .: „Национално образование”, стр.
28 Приложение 28
Пример 1. Начертайте графика на функцията y = x 2 8 x Решение. Нека дефинираме четността на функцията. Стойността за y (-x) е същата като стойността за y (x), така че тази функция е четна. Тогава неговата графика е симетрична спрямо оста Oy. Изграждаме графика на функцията y = x 2 8x + 12 за x 0 и показваме симетрично графиката по отношение на Oy за отрицателно x (фиг. 1). Пример 2. Следната графика от вида y = x 2 8x Това означава, че графиката на функцията се получава, както следва: построена е графиката на функцията y = x 2 8x + 12, частта от графиката, която се намира по-горе оста Ox остава непроменена, а частта от графиката, която лежи под оста на абсцисата, се показва симетрично спрямо оста Ox (фиг. 2). Пример 3. За начертаване на функцията y = x 2 8 x + 12 се извършва комбинация от трансформации: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Отговор: Фигура 3. Пример 4 Израз, стоящ под знака на модула, променя знака в точката x = 2/3. При х<2/3 функция запишется так: 29
30 За x> 2/3 функцията ще бъде записана по следния начин: Тоест точката x = 2/3 разделя нашата координатна равнина на две области, в една от които (вдясно) изобразяваме функцията, а в друго (вляво) графиката на функцията Plot: Пример 5 Следващата графика също е прекъсната линия, но има две точки на прекъсване, тъй като съдържа два израза под знаците за модул: Да видим в кои точки се променят изразите на подмодула знак: Нека подредим знаците за изразите на подмодула на координатната линия: 30
31 Отваряме модулите на първия интервал: На втория интервал: На третия интервал: Така на интервала (-; 1.5] имаме графиката, написана от първото уравнение, на интервала графиката, написана от второто уравнение и на интервала)