Des exemples courants avec des modules sont module de type équation dans module. Le module double peut s'écrire sous la forme d'une formule
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Si k = 0, alors une telle équation avec un module est plus facile à résoudre en utilisant une méthode graphique. La divulgation classique des modules dans de telles situations est lourde et ne donne pas l'effet escompté (gain de temps) sur le contrôle et les tests. La méthode graphique vous permet de construire des fonctions modulaires en peu de temps et de trouver le nombre de racines de l'équation.
L'algorithme de construction d'un module double, triple est assez simple et beaucoup aimeront les exemples ci-dessous. Pour consolider la méthodologie ci-dessous sont des exemples d'auto-calcul.
Exemple 1 Résolvez le module d'équation dans le module ||x-3|-5|=3.
Solution : On résout l'équation aux modules par la méthode classique et graphiquement. Trouver le zéro du module interne
x-3=0 x=3.
Au point x=3, l'équation avec module est divisée par 2 . De plus, le zéro du module interne est un point de symétrie du graphique des modules, et si le côté droit de l'équation est constant, alors les racines se trouvent à la même distance de ce point. Autrement dit, vous pouvez résoudre une équation sur deux et calculer les racines restantes à partir de cette condition.
Développons le module interne pour x>3
|x-3-5|=3 ; |x-8|=3 .
L'équation résultante lors de l'expansion du module est divisée par 2
Fonction sous-modulaire >0
x-8=3 ; x=3+8=11 ;
et pour les valeurs< 0
получим
-(x-8)=3 ; x=8-3=5.
Les deux racines de l'équation satisfont la condition x>3, c'est-à-dire qu'elles sont solutions.
Compte tenu de la règle de symétrie des solutions de l'équation à modules écrite ci-dessus, on ne peut pas chercher les racines de l'équation pour x< 3,
которое имеет вид
|-(x-3)-5|=3 ; |-x-2|=3 ,
et les calculer.
La valeur est symétrique autour de x=3 pour x=11 soit
x=3-(11-3)=6-11=-5.
En utilisant la même formule, on trouve la deuxième solution
x=3-(5-3)=6-5=1.
L'équation de module donnée dans le module a 4 solutions
x=-5 ; x=1 ; x=5 ; x=11.
Trouvons maintenant des solutions équations avec modules méthode graphique. Depuis le module interne |x-3| Il s'ensuit que le graphe du module standard de la fonction est décalé le long de l'axe Ox vers la droite de 3 .
De plus - soustraire 5 signifie que le graphique doit être abaissé de 5 cellules le long de l'axe Oy. Pour obtenir le module de la fonction résultante, on réfléchit symétriquement tout ce qui se trouve en dessous de l'axe Ox.
Et enfin, on construit une droite y=3 , parallèle à l'axe Ox . Il est préférable d'utiliser graphiquement un cahier dans une boîte pour calculer des équations avec des modules, car il est pratique d'y créer des graphiques.
La forme finale du graphe de module ressemble à
Les points d'intersection du module de la fonction et de la droite y=3 et sont les solutions recherchées x=-5;x=1; x=5;x=11 .
Avantage de la méthode graphique par rapport à l'extension du module pour les équations simples est évidente. Cependant, il est graphiquement gênant de rechercher des racines lorsque le côté droit ressemble à k*x+m , c'est-à-dire qu'il s'agit d'une ligne droite inclinée par rapport à l'axe des abscisses sous un angle.
Nous ne considérerons pas de telles équations ici.
Exemple 2 Combien de racines l'équation ||2x-3|-2|=2 a-t-elle ?
Solution : Le côté droit est égal à une constante, il est donc plus probable de trouver une solution en utilisant une méthode graphique. Le module interne passe à zéro
|2x-3|=0 x=3/2=1.5
au point x=1,5.
Nous déplaçons donc le graphe de la fonction y=|2x| vers ce point. Pour le construire, remplacez quelques points et tracez des lignes droites à travers eux. Nous soustrayons 2 de la fonction résultante, c'est-à-dire que nous abaissons le graphique de deux vers le bas et, afin d'obtenir le module, nous transférons des valeurs négatives (y< 0)
симметрично относительно оси Ox
.
On voit que l'équation donnée admet trois solutions.
Exemple 3 Pour quelle valeur du paramètre a l'équation de module |||x+1|-2|-5|=a a-t-elle 5 solutions ?
Solution : Nous avons une équation avec trois modules imbriqués. Trouvons la réponse avec une analyse graphique. Commençons, comme toujours, par le module interne. Il va à zéro
|x+1|=0 x=-1
au point x=-1 .
Nous traçons le module de la fonction à ce point
Décalons à nouveau le graphique du module de la fonction vers le bas de 5 et transférons symétriquement les valeurs négatives de la fonction. En conséquence, nous obtenons le côté gauche de l'équation avec les modules
y=|||x+1|-2|-5| .
Le paramètre a correspond à la valeur de la droite parallèle, qui doit traverser le graphique du module de la fonction en 5 points. On trace d'abord une telle droite, puis on cherche le point d'intersection avec l'axe Oy.
Il s'agit d'une droite y=3 , c'est-à-dire que le paramètre requis est égal à a=3 .
Par la méthode des modules révélateurs, ce problème pourrait être résolu pendant toute une leçon, sinon plus. Ici, tout se résume à quelques graphiques.
Réponse : a=3 .
Exemple 4 Combien de solutions l'équation |||3x-3|-2|-7|=x+5 a-t-elle ?
Solution : développer le module interne de l'équation
|3x-3|=0<=>x=3/3=1.
Nous construisons un graphe de la fonction y=|3x-3|. Pour ce faire, pour qu'une cellule de x change par rapport au point trouvé, ajoutez 3 cellules en y. Effectuez la construction des racines de l'équation dans un cahier dans une boîte, et je vous dirai comment cela peut être fait dans l'environnement Maple.
Redémarrer ; avec (parcelles) : définissez toutes les variables égales à zéro et connectez le module pour travailler avec des graphiques.
> plot(abs(3*x-3),x=-2..4):
Ensuite, nous abaissons le graphique de 2 cellules vers le bas et transférons symétriquement les valeurs négatives (y<0)
.
Obtenons un graphe de deux modules internes Nous abaissons le graphe résultant d'un deux et le reflétons symétriquement. obtenir un graphique
y=||3x-3|-2|.
Dans le paquet de mathématiques érable cela équivaut à écrire un autre module
>plot(abs(abs(3*x-3)-2),x=-2..4):
Redécalez le graphique vers le bas de sept unités et transférez-le symétriquement. Obtenir le graphique de la fonction
y=|||3x-3|-2|-7|
Dans Maple, cela équivaut à la bande de code suivante
> plot(abs(abs(abs(3*x-3)-2)-7),x=-5..7):
On construit une droite y=x+5 par deux points. La première est l'intersection d'une droite avec l'axe des abscisses
Le signe modulo est peut-être l'un des phénomènes les plus intéressants en mathématiques. À cet égard, de nombreux écoliers se posent la question de savoir comment construire des graphes de fonctions contenant un module. Examinons cette question en détail.
1. Fonctions graphiques contenant un module
Exemple 1
Tracez la fonction y = x 2 – 8|x| + 12.
Solution.
Définissons la parité de la fonction. La valeur de y(-x) est la même que la valeur de y(x), donc cette fonction est paire. Alors son graphe est symétrique par rapport à l'axe Oy. Nous construisons un graphique de la fonction y \u003d x 2 - 8x + 12 pour x ≥ 0 et affichons symétriquement le graphique par rapport à Oy pour x négatif (Fig. 1).
Exemple 2
Le graphique suivant est y = |x 2 – 8x + 12|.
– Quelle est la portée de la fonction proposée ? (y ≥ 0).
- Comment est le tableau ? (Au-dessus ou touchant l'axe des x).
Cela signifie que le graphique de la fonction est obtenu comme suit: ils tracent la fonction y \u003d x 2 - 8x + 12, laissent inchangée la partie du graphique située au-dessus de l'axe Ox et la partie du graphique située en dessous l'axe des abscisses est représenté symétriquement par rapport à l'axe Ox (Fig. 2).
Exemple 3
Pour tracer la fonction y = |x 2 – 8|x| + 12| effectuer une combinaison de transformations :
y = X 2 - 8x + 12 → y = X 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Réponse : figure 3.
Les transformations considérées sont valables pour tous les types de fonctions. Faisons un tableau :
2. Fonctions de traçage contenant des "modules imbriqués" dans la formule
Nous avons déjà pris connaissance d'exemples de fonction quadratique contenant un module, ainsi que des règles générales de construction de graphes de fonctions de la forme y = f(|x|), y = |f(x)| et y = |f(|x|)|. Ces transformations nous aideront dans l'examen de l'exemple suivant.
Exemple 4
Considérons une fonction de la forme y = |2 – |1 – |x|||. L'expression qui définit la fonction contient des "modules imbriqués".
Solution.
Nous utilisons la méthode des transformations géométriques.
Ecrivons une chaîne de transformations successives et faisons le dessin correspondant (Fig. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Considérons les cas où les transformations de symétrie et de translation parallèle ne sont pas la principale technique de traçage.
Exemple 5
Construire un graphique d'une fonction de la forme y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.
Solution.
Avant de construire un graphique, nous transformons la formule qui définit la fonction et obtenons une autre définition analytique de la fonction (Fig. 5). 
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Développons le module au dénominateur :
Pour x > -2, y = x - 2, et pour x< -2, y = -(x – 2).
Domaine D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Plage E(y) = (-4 ; +∞).
Points d'intersection du graphique avec l'axe des coordonnées : (0 ; -2) et (2 ; 0).
La fonction diminue pour tout x de l'intervalle (-∞; -2), augmente pour x de -2 à +∞.
Ici, nous avons dû révéler le signe du module et tracer la fonction pour chaque cas.
Exemple 6
Considérons la fonction y = |x + 1| – |x – 2|.
Solution.
En développant le signe du module, il est nécessaire de considérer toutes les combinaisons possibles de signes d'expressions de sous-module.
Il y a quatre cas possibles :
(x + 1 - x + 2 = 3, avec x ≥ -1 et x ≥ 2 ;
(-x - 1 + x - 2 = -3, avec x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, pour x ≥ -1 et x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, avec x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Ensuite, la fonction d'origine ressemblera à :
(3, pour x ≥ 2 ;
y = (-3, à x< -1;
(2x – 1, avec -1 ≤ x< 2.
Nous avons obtenu une fonction donnée par morceaux, dont le graphique est représenté sur la figure 6.
3. Algorithme de construction de graphes de fonctions de la forme
y = une 1 | X – X 1 | + un 2 |x – x 2 | + … + une n |x – x n | + hache + b.
Dans l'exemple précédent, il était assez facile de développer les signes du module. S'il y a plus de sommes de modules, alors il est problématique de considérer toutes les combinaisons possibles de signes d'expressions de sous-modules. Comment représenter graphiquement la fonction dans ce cas ?
Notez que le graphe est une polyligne, avec des sommets aux points ayant des abscisses -1 et 2. Pour x = -1 et x = 2, les expressions de sous-module sont égales à zéro. De manière pratique, nous avons abordé la règle de construction de tels graphes :
Représentation graphique d'une fonction de la forme y = a 1 |x – x 1 | + un 2 |x – x 2 | + … + une n |x – x n | + ax + b est une ligne brisée avec des liens d'extrémité infinis. Pour construire une telle polyligne, il suffit de connaître tous ses sommets (les abscisses des sommets sont les zéros des expressions de sous-module) et un point de contrôle chacun sur les liens infinis gauche et droit. 
Une tâche.
Tracez la fonction y = |x| + |x – 1| + |x + 1| et trouver sa plus petite valeur.
Solution:
Zéros des expressions de sous-module : 0 ; -une; 1. Sommets de la polyligne (0 ; 2) ; (-13); (13). Point de contrôle à droite (2 ; 6), à gauche (-2 ; 6). Nous construisons un graphe (Fig. 7). min f(x) = 2.
Avez-vous des questions? Vous ne savez pas comment représenter graphiquement une fonction avec un module ?
Pour obtenir de l'aide d'un tuteur -.
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transcription
1 Conférence scientifique et pratique régionale des travaux d'enseignement et de recherche des élèves de la 6e à la 11e année "Questions appliquées et fondamentales des mathématiques" Aspects méthodologiques de l'étude des mathématiques Construction de graphiques de fonctions contenant le module Gabova Anzhela Yurievna, 10e année, MOBU "Gymnasium 3 " Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, professeur de mathématiques, MOBU "Gymnasium 3", Kudymkar, Perm, 2016
2 Sommaire : Introduction...3 p. I. Partie principale... 6 p. 1.1 Rappel historique.. 6 p. 2. Définitions de base et propriétés des fonctions p. .8 p. 2.3 Fonction fractionnaire-rationnelle 8 p. 3. Algorithmes pour tracer des graphiques avec le module 9 p. 3.1 Détermination du module .. 9 p. dans la formule "modules imbriqués".10 p. 3.4 Algorithme pour construire des graphiques de fonctions de la forme y = a 1 xx 1 + a 2 xxanxxn + ax + b...13 p.3.5 Algorithme pour construire un graphe d'une fonction quadratique avec modulus.14 p.3.6 Algorithme traçant une fonction fractionnellement rationnelle avec un modulo. 15p. 4. Changements dans le graphique d'une fonction quadratique en fonction de l'emplacement du signe de la valeur absolue ..17str. II. Conclusion ... 26 p.III. Liste des références et sources...27 p.IV. Candidature....28p. 2
3 Introduction La représentation graphique des fonctions est l'un des sujets les plus intéressants en mathématiques scolaires. Le plus grand mathématicien de notre temps, Israel Moiseevich Gelfand, a écrit : « Le processus de traçage est un moyen de transformer des formules et des descriptions en images géométriques. Ce traçage est un moyen de voir les formules et les fonctions et de voir comment ces fonctions changent. Par exemple, si y \u003d x 2 est écrit, alors vous voyez immédiatement une parabole; si y = x 2-4, vous voyez une parabole abaissée de quatre unités ; si y \u003d - (x 2 4), alors vous voyez la parabole précédente refusée. Cette capacité à voir la formule à la fois et son interprétation géométrique est importante non seulement pour l'étude des mathématiques, mais également pour d'autres matières. C'est une compétence qui vous accompagne toute votre vie, comme apprendre à faire du vélo, à écrire ou à conduire une voiture." Les bases de la résolution d'équations avec des modules ont été acquises en 6ème 7ème année. J'ai choisi ce sujet particulier parce que je crois qu'il nécessite une étude plus approfondie et plus approfondie. Je souhaite approfondir mes connaissances sur le module d'un nombre, les différentes manières de tracer des graphiques contenant le signe de la valeur absolue. Lorsque les équations "standard" des droites, des paraboles, des hyperboles incluent le signe du module, leurs graphiques deviennent insolites et même beaux. Pour apprendre à construire de tels graphiques, vous devez maîtriser les techniques de construction de figures de base, ainsi que connaître et comprendre fermement la définition du module d'un nombre. Dans le cours de mathématiques de l'école, les graphiques avec un module ne sont pas suffisamment approfondis, c'est pourquoi j'ai voulu approfondir mes connaissances sur ce sujet, pour mener mes propres recherches. Sans connaître la définition du module, il est impossible de construire même le graphe le plus simple contenant une valeur absolue. Un trait caractéristique des graphes de fonctions contenant des expressions avec un signe de module, 3
4 est la présence de plis aux points où l'expression sous le signe du module change de signe. Objectif du travail : considérer la construction d'un graphe de fonctions linéaires, quadratiques et fractionnellement rationnelles contenant une variable sous le signe du module. Tâches : 1) Étudier la littérature sur les propriétés de la valeur absolue des fonctions linéaires, quadratiques et fractionnelles-rationnelles. 2) Étudiez les changements dans les graphiques des fonctions en fonction de l'emplacement du signe de la valeur absolue. 3) Apprenez à tracer des graphiques d'équations. Objet d'étude : graphes de fonctions linéaires, quadratiques et fractionnellement rationnelles. Sujet d'étude : évolution du graphe des fonctions linéaires, quadratiques et fractionnellement rationnelles en fonction de l'emplacement du signe de la valeur absolue. La signification pratique de mon travail réside dans : 1) l'utilisation des connaissances acquises sur ce sujet, ainsi que leur approfondissement et leur application à d'autres fonctions et équations ; 2) dans l'utilisation des compétences de recherche dans d'autres activités éducatives. Pertinence : Les devoirs graphiques sont traditionnellement l'un des sujets les plus difficiles en mathématiques. Nos diplômés sont confrontés au problème de la réussite du GIA et de l'examen d'État unifié. Problème de recherche : tracer des fonctions contenant le signe du module de la deuxième partie du GIA. Hypothèse de recherche : l'application de la méthodologie de résolution de tâches de la deuxième partie du GIA, élaborée à partir des méthodes générales de construction de graphes de fonctions contenant le signe du module, permettra aux élèves de résoudre ces tâches 4
5 sur une base consciente, choisissez la méthode de solution la plus rationnelle, appliquez différentes méthodes de solution et réussissez mieux le GIA. Méthodes de recherche utilisées dans le travail : 1. Analyse de la littérature mathématique et des ressources Internet sur ce sujet. 2. Reproduction reproductive du matériel étudié. 3. Activité de recherche cognitive. 4. Analyse et comparaison des données à la recherche d'une solution aux problèmes. 5. Énoncé des hypothèses et leur vérification. 6. Comparaison et généralisation des faits mathématiques. 7. Analyse des résultats obtenus. Lors de la rédaction de ce travail, les sources suivantes ont été utilisées : ressources Internet, tests OGE, littérature mathématique. cinq
6 I. Partie principale 1.1 Contexte historique. Dans la première moitié du XVIIe siècle, le concept de fonction a commencé à prendre forme en tant que dépendance d'une variable par rapport à une autre. Ainsi, les mathématiciens français Pierre Fermat () et René Descartes () ont imaginé une fonction comme une dépendance de l'ordonnée d'un point de la courbe sur son abscisse. Et le scientifique anglais Isaac Newton () a compris la fonction comme une coordonnée d'un point mobile qui change en fonction du temps. Le terme "fonction" (du latin fonction performance, commission) a été introduit pour la première fois par le mathématicien allemand Gottfried Leibniz (). Il a associé une fonction à une image géométrique (un graphique d'une fonction). Plus tard, le mathématicien suisse Johann Bernoulli () et membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, le célèbre mathématicien du XVIIIe siècle Leonard Euler () ont considéré la fonction comme une expression analytique. Euler a également une compréhension générale d'une fonction comme la dépendance d'une variable sur une autre. Le mot "module" vient du mot latin "modulus", qui signifie "mesure" en traduction. Il s'agit d'un mot à valeurs multiples (homonyme) qui a de nombreuses significations et qui est utilisé non seulement en mathématiques, mais aussi en architecture, physique, ingénierie, programmation et autres sciences exactes. En architecture, c'est l'unité de mesure initiale établie pour une structure architecturale donnée et utilisée pour exprimer les rapports multiples de ses éléments constitutifs. En ingénierie, c'est un terme utilisé dans divers domaines de la technologie qui n'a pas de sens universel et sert à désigner divers coefficients et quantités, par exemple, le module d'engagement, le module d'élasticité, etc. 6
7 Le module de compressibilité (en physique) est le rapport de la contrainte normale dans le matériau à l'allongement relatif. 2.Définitions et propriétés de base des fonctions La fonction est l'un des concepts mathématiques les plus importants. Une fonction est une telle dépendance de la variable y sur la variable x, dans laquelle chaque valeur de la variable x correspond à une seule valeur de la variable y. Modes de définition d'une fonction : 1) méthode analytique (la fonction est définie à l'aide d'une formule mathématique) ; 2) méthode tabulaire (la fonction est spécifiée à l'aide du tableau) ; 3) méthode descriptive (la fonction est donnée par une description verbale) ; 4) méthode graphique (la fonction est définie à l'aide d'un graphique). Le graphique d'une fonction est l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées, dont les abscisses sont égales à la valeur de l'argument et les ordonnées aux valeurs correspondantes de la fonction. 2.1 Fonction quadratique La fonction définie par la formule y=ax 2 +in+c, où x et y sont des variables, et les paramètres a, b et c sont des nombres réels quelconques, et a = 0, est dite quadratique. Le graphique de la fonction y \u003d ax 2 + in + c est une parabole; l'axe de symétrie de la parabole y \u003d axe 2 + en + c est une droite, pour a> 0 les "branches" de la parabole sont dirigées vers le haut, pour a<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7
8 (pour les fonctions d'une variable). La principale propriété des fonctions linéaires est que l'incrément de la fonction est proportionnel à l'incrément de l'argument. Autrement dit, la fonction est une généralisation de la proportionnalité directe. Le graphique d'une fonction linéaire est une droite, d'où son nom. Il s'agit d'une fonction réelle d'une variable réelle. 1) A, la droite forme un angle aigu avec la direction positive de l'axe des abscisses. 2) Lorsque, la droite forme un angle obtus avec la direction positive de l'axe des abscisses. 3) est un indicateur de l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. 4) Lorsque, la droite passe par l'origine. , 2.3 Une fonction fractionnaire-rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Il a la forme où, polynômes dans n'importe quel nombre de variables. Les fonctions rationnelles d'une variable sont un cas particulier : où et sont des polynômes. 1) Toute expression pouvant être obtenue à partir de variables à l'aide de quatre opérations arithmétiques est une fonction rationnelle. 8
9 2) L'ensemble des fonctions rationnelles est fermé par les opérations arithmétiques et l'opération de composition. 3) Toute fonction rationnelle peut être représentée comme une somme de fractions simples - ceci est utilisé dans l'intégration analytique .., 3. Algorithmes graphiques avec un module si a est négatif. a = 3.2 Algorithme de construction d'un graphe d'une fonction linéaire avec un module Pour tracer les graphes des fonctions y= x, il faut savoir que pour x positif on a x = x. Cela signifie que pour les valeurs positives de l'argument, le graphique y=x coïncide avec le graphique y=x, c'est-à-dire que cette partie du graphique est un rayon émergeant de l'origine à un angle de 45 degrés par rapport à x- axe. Pour x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9
10 Pour la construction, on prend les points (-2 ; 2) (-1 ; 1) (0 ; 0) (1 ; 1) (2 ; 2). Construisons maintenant un graphe y= x-1. Si A est le point du graphe y= x avec les coordonnées (a; a), alors le point du graphe y= x-1 avec la même valeur de l'ordonnée Y sera le point A1 (a+1; a). Ce point du deuxième graphique peut être obtenu à partir du point A(a; a) du premier graphique en se déplaçant parallèlement à l'axe Ox vers la droite. Cela signifie que tout le graphe de la fonction y= x-1 est obtenu à partir du graphe de la fonction y= x en décalant parallèlement à l'axe Ox vers la droite de 1. Construisons des graphes : y= x-1 Pour construire, on prend les points (-2 ; 3) (-1 ; 2) (0 ; 1) (1 ; 0) (2 ; 1). 3.3 Construction de graphes de fonctions contenant des "modules imbriqués" dans la formule Considérons l'algorithme de construction à l'aide d'un exemple précis.
11 y \u003d i-2-ix + 5ii 1. Nous construisons un graphique de la fonction. 2. Nous affichons le graphique du demi-plan inférieur vers le haut symétriquement par rapport à l'axe OX et obtenons le graphique de la fonction. Onze
12 3. Nous affichons le graphique de la fonction symétriquement autour de l'axe OX et obtenons le graphique de la fonction. 4. Nous affichons le graphique de la fonction vers le bas symétriquement par rapport à l'axe OX et obtenons le graphique de la fonction 5. Affichez le graphique de la fonction par rapport à l'axe OX et obtenons le graphique. 12
13 6. En conséquence, le graphique de la fonction ressemble à ceci 3.4. Un algorithme pour construire des graphiques de fonctions de la forme y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. Dans l'exemple précédent, il était assez facile de développer les signes du module. S'il y a plus de sommes de modules, alors il est problématique de considérer toutes les combinaisons possibles de signes d'expressions de sous-modules. Comment représenter graphiquement la fonction dans ce cas ? Notez que le graphe est une polyligne, avec des sommets aux points ayant des abscisses -1 et 2. Pour x = -1 et x = 2, les expressions de sous-module sont égales à zéro. De manière pratique, nous avons abordé la règle de construction de tels graphes: Le graphe d'une fonction de la forme y \u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b est une polyligne avec des liens extrêmes infinis. Pour construire une telle polyligne, il suffit de connaître tous ses sommets (les abscisses des sommets sont des zéros d'expressions de sous-modules) et un point de contrôle chacun sur les liens infinis gauche et droit. 13
14 Tâche. Tracez la fonction y = x + x 1 + x + 1 et trouvez sa plus petite valeur. Solution : 1. Zéros des expressions de sous-module : 0 ; -une; Sommets de polyligne (0 ; 2 ); (-13); (1 ; 3). (les zéros des expressions de sous-module sont remplacés dans l'équation) Nous construisons un graphe (Fig. 7), la plus petite valeur de la fonction est Algorithme pour tracer un graphe d'une fonction quadratique avec le module Élaboration d'algorithmes pour convertir des graphes de fonctions. 1.Construction d'un graphe de la fonction y= f(x). Selon la définition du module, cette fonction se décompose en un ensemble de deux fonctions. Ainsi, le graphe de la fonction y= f(x) est constitué de deux graphes : y= f(x) dans le demi-plan droit, y= f(-x) dans le demi-plan gauche. Sur cette base, nous pouvons formuler une règle (algorithme). Le graphe de la fonction y= f(x) est obtenu à partir du graphe de la fonction y= f(x) comme suit : en x 0 le graphe est conservé, et en x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14
15 3. Pour construire un graphe de la fonction y= f(x), il faut d'abord représenter graphiquement la fonction y= f(x) pour x> 0, puis pour x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15
16 Pour obtenir ce graphique, il suffit juste de décaler le graphique précédemment obtenu de trois unités vers la droite. Notez que si le dénominateur de la fraction était x + 3, alors nous décalerions le graphique vers la gauche : Nous devons maintenant multiplier par deux toutes les ordonnées pour obtenir le graphique de la fonction Enfin, nous décalons le graphique de deux unités vers le haut : La dernière chose qu'il nous reste à faire est de tracer la fonction donnée si elle est enfermée sous le signe du module. Pour ce faire, on réfléchit symétriquement vers le haut toute la partie du graphique dont les ordonnées sont négatives (la partie située en dessous de l'axe des abscisses) : Fig.4 16
17 4. Changements dans le graphique d'une fonction quadratique en fonction de l'emplacement du signe de la valeur absolue. Tracez la fonction y \u003d x 2 - x -3 1) Puisque x \u003d x à x 0, le graphique requis coïncide avec la parabole y \u003d 0,25 x 2 - x - 3. Si x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Donc, je complète pour x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17
18 Fig. 4 Le graphique de la fonction y \u003d f (x) coïncide avec le graphique de la fonction y \u003d f (x) sur l'ensemble des valeurs non négatives de l'argument et lui est symétrique par rapport à y -axe sur l'ensemble des valeurs négatives de l'argument. Preuve : Si x 0, alors f (x) = f (x), c'est-à-dire sur l'ensemble des valeurs non négatives de l'argument, les graphiques des fonctions y = f (x) et y = f (x) coïncident. Puisque y \u003d f (x) est une fonction paire, alors son graphique est symétrique par rapport au système d'exploitation. Ainsi, le graphique de la fonction y \u003d f (x) peut être obtenu à partir du graphique de la fonction y \u003d f (x) comme suit : 1. tracer la fonction y \u003d f (x) pour x>0 ; 2. Pour x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0 ; 2. Pour x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х
19 Si x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 et partie réfléchie symétriquement y \u003d f (x) en y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, puis f (x) \u003d f (x), ce qui signifie que dans cette partie le graphique de la fonction y \u003d f (x) coïncide avec le graphique de la fonction elle-même y \u003d f (x). Si f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19
20 Fig.5 Conclusion : Pour tracer la fonction y= f(x) 1. Tracer la fonction y=f(x) ; 2. Dans les zones où le graphique est situé dans le demi-plan inférieur, c'est-à-dire où f (x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20
21 Travaux de recherche sur le traçage des graphes de fonctions y \u003d f (x) En appliquant la définition de la valeur absolue et les exemples précédemment considérés, nous allons tracer les graphes de fonctions : y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 xy \ u003d x 2-2 et a tiré des conclusions. Pour construire un graphe de la fonction y = f (x) il faut : 1. Construire un graphe de la fonction y = f (x) pour x>0. 2. Construire la deuxième partie du graphe, c'est-à-dire refléter le graphe construit symétriquement par rapport à l'OS, car cette fonction est paire. 3. Les sections du graphique résultant situées dans le demi-plan inférieur doivent être converties dans le demi-plan supérieur symétriquement à l'axe OX. Construire un graphique de la fonction y \u003d 2 x - 3 (1ère méthode pour déterminer le module) X< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3, pour x>0 b) pour x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) pour x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) On construit une droite symétrique à celle construite par rapport à l'axe OS. 3) Les sections du graphique situées dans le demi-plan inférieur sont affichées symétriquement autour de l'axe OX. En comparant les deux graphiques, nous voyons qu'ils sont identiques. 21
22 Exemples de problèmes Exemple 1. Considérons le graphique de la fonction y = x 2 6x +5. Puisque x est au carré, quel que soit le signe du nombre x après la mise au carré, il sera positif. Il en résulte que le graphique de la fonction y \u003d x 2-6x +5 sera identique au graphique de la fonction y \u003d x 2-6x +5, c'est-à-dire graphique d'une fonction qui ne contient pas de signe de valeur absolue (Fig. 2). Fig.2 Exemple 2. Considérons le graphique de la fonction y \u003d x 2 6 x +5. En utilisant la définition du module d'un nombre, nous remplaçons la formule y \u003d x 2 6 x +5 Nous avons maintenant affaire à une affectation de dépendance par morceaux qui nous est bien connue. Nous allons construire un graphique comme celui-ci: 1) construire une parabole y \u003d x 2-6x +5 et encercler cette partie, qui est 22
23 correspond à des valeurs x non négatives, c'est-à-dire la partie à droite de l'axe y. 2) dans le même plan de coordonnées, nous construisons une parabole y \u003d x 2 +6x +5 et encerclons la partie de celle-ci qui correspond aux valeurs négatives de x, c'est-à-dire la partie à gauche de l'axe y. Les parties encerclées des paraboles forment ensemble un graphique de la fonction y \u003d x 2-6 x +5 (Fig. 3). Fig.3 Exemple 3. Considérons le graphique de la fonction y \u003d x 2-6 x +5. Parce que le graphique de l'équation y \u003d x 2 6x +5 est le même que le graphique de la fonction sans le signe du module (considéré dans l'exemple 2), il s'ensuit que le graphique de la fonction y \u003d x 2 6 x +5 est identique au graphique de la fonction y \u003d x 2 6 x +5 , considérée dans l'exemple 2 (Fig. 3). Exemple 4. Construisons un graphique de la fonction y \u003d x 2 6x +5. Pour ce faire, nous construisons un graphique de la fonction y \u003d x 2-6x. Pour en obtenir le graphique de la fonction y \u003d x 2-6x, vous devez remplacer chaque point de la parabole par une ordonnée négative par un point avec la même abscisse, mais avec l'ordonnée opposée (positive). Autrement dit, la partie de la parabole située en dessous de l'axe des abscisses doit être remplacée par une droite symétrique par rapport à l'axe des abscisses. Parce que nous devons construire un graphique de la fonction y \u003d x 2-6x +5, puis le graphique de la fonction que nous avons considérée y \u003d x 2-6x doit juste être élevé le long de l'axe y de 5 unités (Fig . 4). 23
24 Fig.4 Exemple 5. Construisons un graphique de la fonction y \u003d x 2-6x + 5. Pour ce faire, nous utilisons la fonction bien connue par morceaux. Trouvez les zéros de la fonction y \u003d 6x +5 6x + 5 \u003d 0 à. Considérons deux cas : 1) Si, alors l'équation prend la forme y = x 2 6x -5. Construisons cette parabole et encerclons cette partie où. 2) Si, alors l'équation prend la forme y \u003d x 2 + 6x +5. Construisons cette parabole et encerclons la partie située à gauche du point de coordonnées (Fig. 5). 24
25 Fig.5 Exemple6. Traçons la fonction y \u003d x 2 6 x +5. Pour ce faire, nous tracerons la fonction y \u003d x 2-6 x +5. Nous avons tracé ce graphique dans l'exemple 3. Puisque notre fonction est complètement sous le signe du module, pour tracer le graphique de la fonction y \u003d x 2 6 x +5, vous avez besoin de chaque point du graphique de la fonction y \u003d x 2 6 x + 5 d'ordonnée négative, remplacer par un point de même abscisse, mais d'ordonnée opposée (positive), c'est-à-dire la partie de la parabole située sous l'axe Ox doit être remplacée par une droite symétrique par rapport à l'axe Ox (Fig. 6). Fig.6 25
26 II.Conclusion "L'information mathématique ne peut être utilisée habilement et utilement que si elle est maîtrisée de manière créative, de sorte que l'étudiant voit par lui-même comment il serait possible d'y parvenir de manière autonome." UNE. Kolmogorov. Ces tâches sont d'un grand intérêt pour les élèves de neuvième année, car elles sont très courantes dans les tests OGE. La possibilité de construire ces graphiques de fonctions vous permettra de réussir l'examen avec plus de succès. Les mathématiciens français Pierre Fermat () et René Descartes () ont imaginé une fonction comme une dépendance de l'ordonnée d'un point de courbe sur son abscisse. Et le scientifique anglais Isaac Newton () a compris la fonction comme une coordonnée d'un point mobile qui change en fonction du temps. 26
27 III Liste des références et sources 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Collection de problèmes d'algèbre pour les années 8 9: Proc. allocation pour les élèves de l'école. et des cours avec approfondissement. étude Mathématiques 2e éd. M.: Lumières, Dorofeev G.V. Mathématiques. Algèbre. Les fonctions. L'analyse des données. 9e année : m34 Proc. pour les études d'enseignement général. gestionnaire 2e éd., stéréotype. M.: Outarde, Solomonik V.S. Collection de questions et problèmes de mathématiques M.: "École supérieure", Yashchenko I.V. GIA. Mathématiques : options d'examen type : A propos des options.m. : « Education nationale », p. 5. Yashchenko I.V. OGE. Mathématiques : options d'examen type : A propos des options.m. : « Education nationale », p. 6. Yashchenko I.V. OGE. Mathématiques : options d'examen type : A propos des options.m. : « Education nationale », p.
28 Annexe 28
29 Exemple 1. Tracez la fonction y = x 2 8 x Solution. Définissons la parité de la fonction. La valeur de y(-x) est la même que la valeur de y(x), donc cette fonction est paire. Alors son graphe est symétrique par rapport à l'axe Oy. Nous construisons un graphique de la fonction y \u003d x 2 8x + 12 pour x 0 et affichons le graphique symétriquement par rapport à Oy pour x négatif (Fig. 1). Exemple 2. Le graphique suivant de la forme y \u003d x 2 8x Cela signifie que le graphique de la fonction est obtenu comme suit: ils construisent un graphique de la fonction y \u003d x 2 8x + 12, quittent la partie du graphique qui se trouve au-dessus de l'axe Ox inchangé, et la partie du graphique qui se trouve sous l'axe des abscisses, est affichée symétriquement par rapport à l'axe Ox (Fig. 2). Exemple 3. Pour tracer la fonction y \u003d x 2 8 x + 12, une combinaison de transformations est effectuée: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y \u003d x 2 8 x Réponse : Figure 3. Exemple 4 L'expression placée sous le signe du module, change de signe au point x=2/3. À x<2/3 функция запишется так: 29
30 Pour x>2/3, la fonction s'écrira ainsi : c'est-à-dire que le point x=2/3 divise notre plan de coordonnées en deux régions, dans l'une desquelles (à droite) on construit la fonction et dans la autre (à gauche) le graphe de la fonction On construit : Exemple 5 Ensuite le graphe est aussi brisé, mais a deux points d'arrêt, puisqu'il contient deux expressions sous les signes modules :
31 Développez les modules sur le premier intervalle : Sur le deuxième intervalle : Sur le troisième intervalle : Ainsi, sur l'intervalle (- ; 1,5] on a le graphe écrit par la première équation, sur l'intervalle le graphe écrit par la deuxième équation, et sur l'intervalle )