Lignes parallèles. Guide visuel (2019)

29. Dessinons quelques zigzags à la main, comme les données du dessin. 31. Dans chacun de ces zigzags on voit 2 coins (ils sont numérotés 1 et 2 dans chaque zigzag du dessin 31). Chaque zigzag est constitué de deux rayons et d'un segment reliant les points d'où émanent les rayons. Par exemple, dans le dernier zigzag nous avons : 1) le rayon AB émanant du point A, 2) le rayon CD émanant du point C et 3) le segment AC. Les angles 1er et 2e sont généralement appelés angles transversaux internes par rapport aux rayons qui composent ce zigzag. Les exercices doivent habituer l’œil à l’emplacement de ces angles.

Construisons maintenant un zigzag pour que ses angles soient égaux les uns aux autres. Pour ce faire, nous commencerons la construction sous un angle arbitraire BDC (dessin 33, I) ou depuis ∠1 ; puis, ayant le point fixe C, on y construit, selon l'étape 28, ∠3 (ou ∠MCD) = ∠1.

Pour plus de clarté, nous reproduisons ici cette construction en dessin. 32.
1) construire ◡α, en prenant le point D comme centre, de rayon arbitraire ;
2) utiliser le même rayon pour construire ◡β, en prenant le point C comme centre ;
3) à l'aide d'un compas on prend la corde de l'arc α correspondant au 1er angle - ses extrémités sont les points d'intersection de l'arc α avec le rayon DB et le segment DC ;
4) on trace cette corde ◡β à partir du point d'intersection de cet arc avec le segment DC, en observant que l'angle au point C correspondant à cette corde s'avère être intérieurement croisé avec ∠1 ;
5) reliant l'extrémité de cette corde au point C, on obtient ∠3 = ∠1, et ces angles sont des angles internes croisés.

Ensuite, nous obtenons le zigzag MCDB requis. Si les rayons MC et DB se poursuivent (CN est une continuation du rayon CM et DA est une continuation de DB), alors on obtient un autre deuxième NCDA en zigzag, dont les angles transversaux internes sont désignés par les chiffres 2 et 4. En général , la figure résultante est constituée de trois droites MN, AB et CD, et dans cette dernière on sait qu'elle coupe MN au point C et AB au point D, c'est pourquoi nous appellerons la droite CD une sécante.

Apprenons le chiffre résultant.

1. On voit que ∠1 et ∠2 sont adjacents, c'est-à-dire qu'on voit que

∠1 + ∠2 = rect. coin.

On voit aussi que ∠3 et ∠4 sont adjacents, c'est-à-dire

∠3 + ∠4 = rect. coin.

Mais nous avons construit ∠3 = ∠1. Par conséquent, nous concluons que ∠4 doit nécessairement être égal à ∠2. Ainsi, il s'est avéré que la deuxième paire d'angles internes croisés (∠2 et ∠4) est également constituée d'angles égaux. Cette circonstance mérite attention, et nous pouvons la résumer en mots : si deux droites sont coupées par une transversale et si deux angles transversaux internes sont égaux entre eux, alors les deux autres angles internes. couché à couvert les angles sont également égaux . (Chaque propriété d'une figure, exprimée en mots et obtenue après un certain raisonnement, est appelée un théorème. Nous avons ici un théorème sur les angles internes croisés.)

2. La figure entière donnée dans le dessin. 33, I, nous le diviserons en 2 figures : la figure MCDA et la figure NCDB - nous les appellerons figures « gauche » et « droite ». Pour plus de clarté, nous présentons ces figures séparément (dessin 33, II). Ils ont chacun un segment égal : négatif. Le CD de la figure de gauche est égal au segment CD de droite, puisque ces segments coïncidaient auparavant. En utilisant cette égalité, nous superposerons la figure de droite à gauche (il faudra faire pivoter la figure de droite, comme sur la figure 33, III, puis l'appliquer vers la gauche) pour que le point D de la figure de droite coïncide avec le point C de gauche et pour que le segment DC de droite longe le segment CD de gauche ; en raison de leur égalité, leurs autres extrémités coïncideront également. Puisque, par construction, ∠3 = ∠1, alors le rayon DB de la figure de droite doit longer le rayon CM de gauche, et en vertu de l'égalité clarifiée de ∠2 et ∠4, le rayon CN de droite La figure doit suivre le rayon DA de gauche. De là, nous concluons que nos figures sont égales (c'est le mot « égal » en géométrie et signifie qu'une figure est combinée lorsqu'elle est superposée à une autre).

3. Revenir au noir. 33, I, on peut demander : est-ce que les lignes MN et AB se coupent ? Si l'on suppose qu'ils se coupent et que le point d'intersection est situé à droite du CD sécant, alors, en raison de l'égalité des figures droite et gauche, nous devons arriver à la conclusion qu'à gauche du CD sécant il doit y avoir être le même qu'à droite, c'est-à-dire et à gauche il doit y avoir un point par lequel passent les deux droites MN et AB. Il s’avérerait alors que deux droites MN et AB passent par 2 points, ce qui est impossible. Par conséquent, l’hypothèse selon laquelle AB et MN se coupent à droite de la sécante n’est pas valide. Il est clair que nous ne pouvons pas non plus supposer qu’elles se coupent à gauche de la sécante. Par conséquent, nous arrivons à la conclusion que nous avons réussi à construire deux droites AB et MN, qui ne se coupent pas du tout.

Deux droites situées sur le même plan et ne se coupant pas sont appelées droites parallèles.

Pour indiquer le parallélisme de deux droites, utilisez le signe || ; nous avons donc MN || AB (MN est parallèle à AB). De la construction précédente il résulte :

tu peux construire des lignes parallèles

des lignes parallèles existent.

Nous pouvons figurer sur le dessin. 33 (I), construire dans un ordre différent : 1) construire une droite arbitraire AB (nous l'appellerons donnée) ; 2) en dehors de lui nous construirons un point arbitraire C (nous l'appellerons aussi point donné) ; 3) passant par le point C, nous construisons un CD sécant, formant avec la droite donnée AB ∠1 et ∠2 ; 4) au point C on construit ∠3 = ∠1 pour que ces angles se révèlent être des angles internes croisés - on obtient le rayon CM ; 5) on continue le rayon CM dans la direction CN - on obtient alors une droite MN parallèle à AB.

Cela conduit à la conclusion :

Par un point donné en dehors d'une droite donnée, il est toujours possible de construire une droite parallèle à celle donnée.

Puisque pour construire des lignes parallèles, il fallait construire des lignes internes égales. angles croisés (∠3 = ∠1), alors nous concluons également que

si deux lignes sont coupées par une transversale et si les angles transversaux internes résultants sont égaux, alors ces lignes sont parallèles.

30. Dans le paragraphe précédent, nous avons appris comment construire une droite parallèle à un point donné passant par un point donné. Maintenant la question se pose : combien de droites parallèles à ce point peuvent être construites passant par un point donné ? La réponse à cette question n'est possible qu'à partir de notre idée de la localisation des droites parallèles : si l'on imagine que la droite MN (dessin 33, I), qui || AB tourne autour du point C dans un sens ou dans un autre, alors il nous est clair que le parallélisme sera rompu et qu'alors MN quelque part d'un côté de la sécante CD coupera AB ; Peut-être que ce point d'intersection sera si éloigné que nous ne pourrons pas le représenter sur le dessin, mais cela ne diminuera pas notre confiance dans le fait que la droite AB et la droite tournée MN se coupent. Il s’avère impossible d’étayer cette confiance par un raisonnement basé sur le précédent. Par conséquent, il est admis, uniquement sur la base de notre compréhension, que

Par un point donné en dehors d'une droite, une seule droite parallèle à celle donnée peut être construite.

Cette position a été introduite pour la première fois dans la science par le célèbre géomètre grec Euclide, qui a donné un cours systématique complet de géométrie (300 ans avant JC). Il a donné à cette propriété le nom « Axiome XI », qui s’exprime un peu différemment qu’ici, mais son idée de base est la même. Parfois cette même propriété est appelée le « postulat V d’Euclide ». La différence entre ces deux noms est la suivante : les axiomes sont des propriétés immédiatement évidentes, et l'idée qu'ils ne peuvent être déduits par le raisonnement à partir d'autres propriétés déjà établies apparaît à la considération attentive du système géométrique ; les postulats sont des hypothèses qu’il faut accepter pour avancer, mais dont la validité n’est pas si évidente. Cependant, la différence entre ces deux concepts est si insignifiante qu’on les confond souvent.

Dans les mots avec lesquels nous avons exprimé ici le postulat d'Euclide sur les parallèles, il y a 2 pensées : 1) à travers un point, vous pouvez construire une ligne droite parallèle à celle donnée - cette pensée n'a rien à voir avec le contenu du postulat : dans au paragraphe 29, nous avons découvert la possibilité d'une telle construction ; 2) un seul parallèle - cette pensée, exprimée par les mots « un seul », est le contenu du postulat.

31. Plusieurs propriétés nouvelles découlent immédiatement du postulat parallèle, que l'on peut donc appeler conséquences du postulat parallèle.

I. Soit construit ce qui suit : 1) AB || CD (projet 34); 2) la droite MN coupant AB au point E. La question se pose : est-ce que MN et CD se coupent ?
La réponse est claire : on ne peut pas supposer que MN ne coupe pas CD - alors par le point E il y aurait deux droites AB et MN parallèles à CD, ce qui contredit le postulat parallèle.

II. Soit construit ce qui suit : 1) EF || AB et 2) CD || AB (dessin 35) (pour cette construction, il convient d'utiliser une seule CEK sécante et de construire ∠2 = ∠1 et ∠3 = ∠1). La question se pose : les droites CD et EF se coupent-elles ou non ?

Supposons que CD et EF se coupent au point M ; il s'avérerait alors que deux droites MDC et MFE sont construites passant par M, séparément parallèles à la droite AB, ce qui contredit le postulat parallèle. Nous arrivons donc à la conclusion que CD || E.F. Il est bien entendu possible que les points donnés C et E soient situés de telle manière que les lignes construites à travers eux, parallèles à AB, se confondent en une seule. Donc nous avons:

Si à travers chacun de deux points donnés nous construisons une ligne parallèle à celle donnée, alors les lignes construites sont soit parallèles les unes aux autres, soit fusionnées en une seule ligne droite.

Partant de là, le cas de coïncidence de deux droites est souvent considéré comme un cas particulier de parallélisme.

III. Soit construit ce qui suit : 1) AB || CD utilisant la sécante MN (dessin 36) et 2) la sécante EF, et ont été formés aux points d'intersection E et F internes. angles superposés, par exemple ∠1 et ∠4. La question se pose : ces angles sont-ils égaux entre eux ?

Considérons le point E. Nous savons (item 29) que par ce point nous pouvons construire une droite parallèle à CD, pour laquelle nous pouvons utiliser la sécante EF et construire un angle au point E égal à ∠1 pour qu'il soit intérieurement croisé. couché avec ∠ 1; par contre, sur la base du postulat (item 30), on sait qu'il n'est possible d'en construire qu'un seul en parallèle, et il a déjà été construit - AB || CD, et le rayon EB se forme avec la sécante EF ∠4, située intérieurement en croix avec ∠1. Nous concluons donc que ce ∠4 doit nécessairement être égal à ∠1. Donc,

Si deux lignes parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles intérieurs transversaux sont égaux.

32. Imaginez que la sécante EF (dessin 36) s'étende dans les deux sens ; on obtient alors le chiffre donné dans le dessin. 37, et aux points E et F nous avons 8 angles (ils sont numérotés de 1 à 8 dans un ordre différent, par rapport au dessin 35). Nous voyons maintenant que 1) ∠1 = ∠4 (comme vertical) = ∠5 (comme croix interne) = ∠8 (comme vertical) ; 2) ∠2 = ∠3 (comme vertical) = ∠6 (comme position transversale interne) = ∠7 (comme vertical).

Ainsi, les 8 angles sont divisés en 2 groupes : 1) ∠1, ∠4, ∠5 et ∠8 et 2) ∠2, ∠3, ∠6 et ∠7. Les angles d’un groupe sont tous égaux les uns aux autres, mais les angles d’un groupe ne sont pas du tout égaux à l’angle d’un autre groupe. Mais on voit que, par exemple,

∠5 + ∠6 = rect. coin.

Puisque chacun des autres angles du premier groupe est égal à ∠5ème et que chacun des angles restants du deuxième groupe est égal à ∠6ème, nous concluons que la somme de tout angle du premier groupe avec n'importe quel angle du deuxième groupe est égal à un angle redressé. Donc:

Si deux parallèles sont coupés par une transversale, alors les 8 angles résultants sont divisés en deux groupes de 4 angles chacun : les angles de chaque groupe sont égaux entre eux et la somme de deux angles, dont un angle appartient à un groupe, et l’autre angle appartient à un autre groupe, est égal à l’angle redressé.

Faisons attention aux paires d'angles individuelles et connectons les angles en paires, dont l'une est au sommet E et l'autre au sommet F.

Nous savons déjà que ∠4 = ∠5 et ∠3 = ∠6, c'est-à-dire que les angles transversaux internes sont égaux.

Du premier groupe, nous avons également ∠1 = ∠8. Ces angles (∠1 et ∠8) sont situés de part et d'autre de la transversale et leurs zones internes sont situées à l'extérieur de la bande marquée par les droites AB et CD. C'est pourquoi on les appelle coins extérieurs transversaux. Dans le 2ème groupe, il existe également une paire de ces angles : ∠2 et ∠7, et ∠2 = ∠7. Donc, pour les lignes parallèles, les angles transversaux externes sont égaux.

Dans le premier groupe, nous avons ∠1 = ∠5. Ces 2 angles sont situés d'un côté de la transversale et l'un d'eux est externe (∠1), et l'autre est interne (∠5). Ces deux angles sont appelés approprié. Nous avons également des paires d'angles correspondants : ∠4 = ∠8 (tous deux dans le groupe I), ∠2 = ∠6 (tous deux dans le groupe II), ∠3 = ∠7 (tous deux dans le groupe II). Donc, les angles correspondants lorsque parallèles sont égaux les uns aux autres.

∠3 appartient au groupe II et ∠5 au groupe I ; donc ∠3 + ∠5 = rectifié. coin. Ces deux angles sont situés du même côté de la sécante et tous deux sont internes. C'est pourquoi on les appelle coins internes unilatéraux. Il existe quelques autres angles identiques : ∠4 et ∠6 ; pour eux (puisqu’ils appartiennent à des groupes différents) nous avons aussi ∠4 + ∠6 = droit. coin. Donc, les angles intérieurs unilatéraux lorsqu'ils sont parallèles totalisent un angle droit.

Paires : 1) ∠1 et ∠7 et 2) ∠2 et ∠8 sont appelés coins extérieurs unilatéraux et pour eux nous avons (puisque les angles de chaque paire appartiennent à des groupes différents) :

∠1 + ∠7 = rect. coin; ∠2 + ∠8 = rect. coin,

c'est à dire. Les angles externes unilatéraux lorsqu'ils sont parallèles s'additionnent pour former une ligne droite. coin.

Enfin, les paires : 1) ∠1 et ∠6, 2) ∠2 et ∠5, 3) ∠3 et ∠8 et 4) ∠4 et ∠7 n'ont pas de nom spécial, mais chaque paire est constituée de deux angles , dont l'un est externe et l'autre interne, et ils sont situés sur les côtés opposés du transect. Puisque les angles de chaque paire appartiennent à des groupes différents, on a :

∠1 + ∠6 = rect. coin; ∠2 + ∠5 = rect. coin; ∠3 + ∠8 = rect. coin; ∠4 + ∠7 = rect. coin,

c'est à dire. lorsqu'ils sont parallèles, une paire d'angles scalènes, l'un interne et l'autre externe, totalisent un angle droit.

33. Il n'est pas difficile de voir maintenant que des lignes parallèles peuvent être construites en utilisant d'autres paires d'angles, et non des angles internes transversaux, comme au paragraphe 29. En fait, au point E (dessin 37) nous construisons ∠1 = ∠5 donc, pour que ces angles correspondent. On trouve alors que ∠1 = ∠4 et, par conséquent, ∠4 = ∠5, c'est-à-dire que AB || CD. Vous pouvez également utiliser des couvertures externes. angles (si ∠1 = ∠8, alors ∠4 = ∠5, c'est-à-dire AB || CD. Vous pouvez également utiliser des angles de couverture externes (∠1 = ∠8, alors ∠4 = ∠5 et les lignes sont parallèles ).Vous pouvez également construire des angles intérieurs unilatéraux de sorte que leur somme soit égale à l'angle redressé (si ∠3 + ∠5 = redressé, alors ∠4 = ∠5, puisque ∠3 + ∠4 = redressé. , – suivant , AB || CD); vous pouvez également utiliser des angles externes unilatéraux. Ainsi :

Si deux droites sont coupées par une transversale et si les angles transversaux internes sont égaux, ou si les angles transversaux externes sont égaux, ou si les angles correspondants sont égaux, ou si la somme des angles internes unilatéraux est égal à celui rectifié, ou si la somme des angles unilatéraux externes est égale à celui redressé, ou si la somme de deux angles scalènes, dont l'un est interne et l'autre externe, est égale à celui redressé, alors les lignes droites sont parallèles.

Pour construire deux lignes parallèles, elles utilisent généralement (et c'est le plus pratique) soit des angles croisés internes, soit des angles correspondants.

Ajout. Le postulat des lignes parallèles (article 30) peut être exprimé sous la forme suivante :

Si la somme d'une paire d'angles internes unilatéraux est inférieure à l'angle rectifié, et donc la somme de l'autre paire est supérieure à l'angle rectifié, alors ces lignes se coupent du côté de la transversale où la somme est inférieure à celui rectifié.

Si par exemple ∠1 + ∠2< выпр. угла (чер. 38), то, следовательно, ∠3 + ∠4 >angle redressé, puisque ∠1 + ∠3 = redressé. coin et ∠2 + ∠4 = droit. coin. Nos lignes se croisent du côté de la transversale où se trouvent ∠1 et ∠2. C'est sous cette forme que le postulat des parallèles fut posé par Euclide.

34. Des exercices. 1. Construire par un point donné (voir les différentes positions données sur la figure 39) une droite parallèle à celle donnée.

Dans le 1er dessin, la construction est terminée : à partir de A on construit la sécante AB ; A partir du point B comme centre, on construit un arc et avec le même rayon (il est plus pratique de prendre ce rayon petit) on décrit l'arc en prenant A comme centre. Puis en A on construit un angle égal à ∠B pour en obtenir 2 internes. couché à couvert coin, etc.

2. Construisez une paire de lignes parallèles dans n’importe quelle position.

3. Étant donné 2 lignes qui se croisent ; construire par un point donné deux nouvelles droites parallèles aux deux données données.

4. Construisez deux paires de droites parallèles dans n'importe quelle position, mais de manière à ce que les 4 droites ne soient pas parallèles entre elles.

35. Deux paires de lignes parallèles ont été construites : 1) c || b et 2) d || a (dessin 40) (chaque ligne est nommée par une lettre minuscule). Au point d'intersection des lignes a et b, on obtient des angles ; considérons l'un d'eux, à savoir ∠1, et comparez-le aux angles 2, 3, 4 et 5, obtenus à l'intersection des lignes c et d.

Continuons la droite c jusqu'à ce qu'elle coupe la droite a, - au point d'intersection on obtient plus d'angles dont l'un est désigné par le chiffre 6. On a alors : 1) ∠2 = ∠6, comme correspondant quand a et d sont parallèles et la sécante c ; 2) ∠6 = ∠1, comme correspondant aux parallèles c et b et sécants a. Par conséquent, ∠2 = ∠1. Puisque ∠4 = ∠2, alors ∠4 = ∠1. Puisque ∠3 + ∠2 = rect. coin. En remarquant que les côtés de ∠1 sont parallèles aux côtés de l’un des angles 2, 3, 4 et 5, on trouve :

Si les côtés de deux angles sont parallèles deux à deux, alors ces angles sont soit égaux, soit leur somme forme un angle droit.

La question se pose : est-il possible d'établir un signe grâce auquel il serait possible de séparer ces 2 cas. Pour cela, nous considérerons l'angle comme résultat de la rotation du rayon et la position initiale sera considérée comme un tel arrangement de rayons lorsqu'ils sont situés parallèlement à ∠1 et dans l'un des angles 2, 3, 4 ou 5, par exemple, selon les droites b et c. Ensuite, les flèches indiquées sur le dessin indiqueront le sens dans lequel le faisceau doit être tourné pour obtenir l'angle souhaité. Il est commode de comparer cette direction avec le mouvement d’une aiguille d’horloge. On voit que pour obtenir ∠1 il faut faire tourner le rayon AX (Fig. 41) dans le sens antihoraire, pour ∠2 il faut faire tourner le rayon BY (BY || AX) dans le sens antihoraire, pour obtenir ∠3 il faut faire tourner le rayon BZ dans le sens des aiguilles d’une montre et à ∠5 – rayon BY dans le sens des aiguilles d’une montre. On peut en déduire que les angles à côtés parallèles sont égaux si leurs sens de rotation sont les mêmes, et que de tels angles sont complémentaires d'un angle droit si leurs sens de rotation sont opposés.

Cet article concerne les lignes parallèles et les lignes parallèles. Tout d'abord, la définition des lignes parallèles dans un plan et dans l'espace est donnée, des notations sont introduites, des exemples et des illustrations graphiques de lignes parallèles sont donnés. Ensuite, les signes et les conditions du parallélisme des lignes sont discutés. En conclusion, des solutions aux problèmes typiques de preuve du parallélisme des droites sont présentées, qui sont données par certaines équations d'une droite dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan et dans un espace tridimensionnel.

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Lignes parallèles - informations de base.

Définition.

Deux droites dans un plan s'appellent parallèle, s'ils n'ont pas de points communs.

Définition.

Deux lignes dans un espace tridimensionnel sont appelées parallèle, s'ils se trouvent dans le même plan et n'ont pas de points communs.

Veuillez noter que la clause « si elles se trouvent dans le même plan » dans la définition des lignes parallèles dans l'espace est très importante. Précisons ce point : deux droites dans l'espace tridimensionnel qui n'ont pas de points communs et ne se situent pas dans le même plan ne sont pas parallèles, mais se coupent.

Voici quelques exemples de lignes parallèles. Les bords opposés de la feuille du cahier se trouvent sur des lignes parallèles. Les lignes droites le long desquelles le plan du mur de la maison coupe les plans du plafond et du sol sont parallèles. Les rails de chemin de fer sur terrain plat peuvent également être considérés comme des lignes parallèles.

Pour désigner des lignes parallèles, utilisez le symbole « ». Autrement dit, si les droites a et b sont parallèles, alors nous pouvons écrire brièvement a b.

Attention : si les lignes a et b sont parallèles, alors on peut dire que la ligne a est parallèle à la ligne b, et aussi que la ligne b est parallèle à la ligne a.

Exprimons une affirmation qui joue un rôle important dans l'étude des droites parallèles sur un plan : par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, passe la seule droite parallèle à celle donnée. Cette affirmation est acceptée comme un fait (elle ne peut être prouvée sur la base des axiomes connus de la planimétrie), et elle est appelée l'axiome des lignes parallèles.

Pour le cas de l'espace, le théorème est valable : par tout point de l'espace qui ne se trouve pas sur une ligne donnée, passe une seule droite parallèle à celle donnée. Ce théorème est facilement prouvé en utilisant l'axiome ci-dessus des lignes parallèles (vous pouvez trouver sa preuve dans le manuel de géométrie pour les classes 10-11, qui est répertorié à la fin de l'article dans la liste des références).

Pour le cas de l'espace, le théorème est valable : par tout point de l'espace qui ne se trouve pas sur une ligne donnée, passe une seule droite parallèle à celle donnée. Ce théorème peut être facilement prouvé en utilisant l’axiome des lignes parallèles ci-dessus.

Parallélisme des lignes - signes et conditions du parallélisme.

Un signe de parallélisme des lignes est une condition suffisante pour que les lignes soient parallèles, c'est-à-dire une condition dont la réalisation garantit que les lignes sont parallèles. En d’autres termes, la réalisation de cette condition suffit à établir le fait que les droites sont parallèles.

Il existe également des conditions nécessaires et suffisantes pour le parallélisme des droites dans un plan et dans un espace tridimensionnel.

Expliquons le sens de l'expression « condition nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles ».

Nous avons déjà traité de la condition suffisante pour les droites parallèles. Qu’est-ce qu’une « condition nécessaire pour les lignes parallèles » ? Du nom « nécessaire », il ressort clairement que le respect de cette condition est nécessaire pour les lignes parallèles. En d’autres termes, si la condition nécessaire pour que les droites soient parallèles n’est pas remplie, alors les droites ne sont pas parallèles. Ainsi, condition nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles est une condition dont la réalisation est à la fois nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles. C'est-à-dire que, d'une part, c'est un signe de parallélisme des lignes, et d'autre part, c'est une propriété que possèdent les lignes parallèles.

Avant de formuler une condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites, il convient de rappeler plusieurs définitions auxiliaires.

Ligne secante est une ligne qui coupe chacune de deux lignes données non coïncidentes.

Lorsque deux lignes droites coupent une transversale, huit lignes non développées se forment. Dans la formulation de la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites, la soi-disant couché en travers, correspondant Et angles unilatéraux. Montrons-les dans le dessin.

Théorème.

Si deux droites dans un plan sont coupées par une transversale, alors pour qu'elles soient parallèles, il faut et suffisant que les angles qui se croisent soient égaux, ou que les angles correspondants soient égaux, ou que la somme des angles unilatéraux soit égale à 180. degrés.

Montrons une illustration graphique de cette condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites sur un plan.

Vous pouvez trouver des preuves de ces conditions pour le parallélisme des droites dans les manuels de géométrie de la 7e à la 9e année.

Notez que ces conditions peuvent également être utilisées dans un espace tridimensionnel - l'essentiel est que les deux droites et la sécante se trouvent dans le même plan.

Voici quelques autres théorèmes souvent utilisés pour prouver le parallélisme des droites.

Théorème.

Si deux droites d’un plan sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles. La preuve de ce critère découle de l'axiome des droites parallèles.

Il existe une condition similaire pour les lignes parallèles dans l’espace tridimensionnel.

Théorème.

Si deux droites dans l’espace sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles. La preuve de ce critère est discutée dans les cours de géométrie en 10e année.

Illustrons les théorèmes énoncés.

Présentons un autre théorème qui permet de prouver le parallélisme des droites sur un plan.

Théorème.

Si deux droites d’un plan sont perpendiculaires à une troisième droite, alors elles sont parallèles.

Il existe un théorème similaire pour les lignes dans l’espace.

Théorème.

Si deux droites dans un espace tridimensionnel sont perpendiculaires au même plan, alors elles sont parallèles.

Dessinons des images correspondant à ces théorèmes.

Tous les théorèmes, critères et conditions nécessaires et suffisantes formulés ci-dessus sont excellents pour prouver le parallélisme des droites en utilisant les méthodes de la géométrie. Autrement dit, pour prouver le parallélisme de deux droites données, vous devez montrer qu'elles sont parallèles à une troisième droite, ou montrer l'égalité des angles transversaux, etc. De nombreux problèmes similaires sont résolus dans les cours de géométrie au lycée. Cependant, il convient de noter que dans de nombreux cas, il est pratique d'utiliser la méthode des coordonnées pour prouver le parallélisme de droites dans un plan ou dans un espace tridimensionnel. Formulons les conditions nécessaires et suffisantes pour le parallélisme des droites spécifiées dans un système de coordonnées rectangulaires.

Parallélisme des lignes dans un système de coordonnées rectangulaires.

Dans ce paragraphe de l'article nous formulerons conditions nécessaires et suffisantes pour les lignes parallèles dans un système de coordonnées rectangulaires, en fonction du type d'équations définissant ces lignes, et nous fournirons également des solutions détaillées aux problèmes caractéristiques.

Commençons par la condition de parallélisme de deux droites sur un plan dans le système de coordonnées rectangulaires Oxy. Sa preuve repose sur la définition du vecteur directeur d'une droite et sur la définition du vecteur normal d'une droite sur un plan.

Théorème.

Pour que deux droites non coïncidentes soient parallèles dans un plan, il faut et suffisant que les vecteurs directeurs de ces droites soient colinéaires, ou que les vecteurs normaux de ces droites soient colinéaires, ou que le vecteur directeur d'une droite soit perpendiculaire à la normale. vecteur de la deuxième ligne.

Évidemment, la condition de parallélisme de deux droites sur un plan se réduit à (vecteurs directeurs des droites ou vecteurs normaux des droites) ou à (vecteur directeur d'une droite et vecteur normal de la deuxième droite). Ainsi, si et sont des vecteurs directeurs des droites a et b, et Et sont des vecteurs normaux des droites a et b, respectivement, alors la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites a et b s'écrira sous la forme , ou , ou , où t est un nombre réel. À leur tour, les coordonnées des guides et (ou) des vecteurs normaux des lignes a et b sont trouvées à l'aide des équations de lignes connues.

En particulier, si la droite a dans le système de coordonnées rectangulaires Oxy sur le plan définit une équation générale de droite de la forme , et la droite b - , alors les vecteurs normaux de ces lignes ont des coordonnées et, respectivement, et la condition de parallélisme des lignes a et b s'écrira sous la forme .

Si la droite a correspond à l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire de la forme , et la droite b - , alors les vecteurs normaux de ces droites ont des coordonnées et , et la condition de parallélisme de ces droites prend la forme . Par conséquent, si les lignes sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaires sont parallèles et peuvent être spécifiées par des équations de lignes avec des coefficients angulaires, alors les coefficients angulaires des lignes seront égaux. Et vice versa : si des lignes non coïncidentes sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaires peuvent être spécifiées par des équations d'une ligne avec des coefficients angulaires égaux, alors ces lignes sont parallèles.

Si une ligne a et une ligne b dans un système de coordonnées rectangulaires sont déterminées par les équations canoniques d'une ligne sur un plan de la forme Et , ou équations paramétriques d'une droite sur un plan de la forme Et par conséquent, les vecteurs directeurs de ces lignes ont des coordonnées et , et la condition de parallélisme des lignes a et b s'écrit .

Examinons les solutions de plusieurs exemples.

Exemple.

Les lignes sont-elles parallèles ? Et ?

Solution.

Réécrivons l'équation d'une droite en segments sous la forme d'une équation générale d'une droite : . Nous pouvons maintenant voir que c'est le vecteur normal de la droite , a est le vecteur normal de la droite. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, puisqu'il n'existe pas de nombre réel t pour lequel l'égalité ( ). Par conséquent, la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites sur un plan n’est pas remplie, donc les droites données ne sont pas parallèles.

Répondre:

Non, les lignes ne sont pas parallèles.

Exemple.

Les lignes droites et parallèles sont-elles ?

Solution.

Réduisons l'équation canonique d'une droite à l'équation d'une droite à coefficient angulaire : . Évidemment, les équations des lignes et ne sont pas les mêmes (dans ce cas, les lignes données seraient les mêmes) et les coefficients angulaires des lignes sont égaux, donc les lignes originales sont parallèles.

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Question 21. Quel est l'angle d'un triangle en un sommet donné ?
Répondre. L'angle d'un triangle ABC au sommet A est l'angle formé par les demi-droites AB et AC. Les angles du triangle aux sommets B et C sont également déterminés.

Question 22. Quels segments sont dits égaux ?
Répondre. Les segments sont dits égaux si leurs longueurs sont égales.
Question 23. Quels angles sont dits égaux ?
Répondre. Les angles sont dits égaux si leurs mesures en degrés sont égales.
Question 24. Quels triangles sont dits égaux ?
Répondre. Les triangles sont dits congrus si leurs côtés correspondants sont égaux et leurs angles correspondants sont égaux. Dans ce cas, les angles correspondants doivent être opposés aux côtés correspondants.
Question 25. Comment les côtés et les angles correspondants sont-ils marqués sur la figure pour des triangles égaux ?
Répondre. Dans le dessin, les segments égaux sont généralement marqués par une, deux ou trois lignes et les angles égaux par un, deux ou trois arcs.

Question 26.À l’aide de la figure 23, expliquez l’existence d’un triangle égal à celui-ci.
Répondre.

Ayons un triangle ABC et un rayon a (Fig. 23, a). Déplaçons le triangle ABC de sorte que son sommet A soit aligné avec le début du rayon a, que le sommet B soit sur le rayon a et que le sommet C soit dans un demi-plan donné par rapport au rayon a et à son extension. Nous désignerons les sommets de notre triangle dans cette nouvelle position par A 1, B 1, C 1 (Fig. 23, b).
Le triangle A 1 B 1 C 1 est égal au triangle ABC.
Question 27. Quelles droites sont dites parallèles ? Quel signe est utilisé pour indiquer des lignes parallèles ?
Répondre. Deux droites sont dites parallèles si elles ne se coupent pas. Pour indiquer le parallélisme des lignes, le signe est utilisé

Question 28.Énoncez la propriété principale des droites parallèles.
Répondre. Par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, il est possible de tracer sur le plan au plus une droite parallèle à celle donnée.
Question 29. Donnez un exemple du théorème.
Répondre. Si une droite qui ne passe par aucun des sommets d’un triangle coupe l’un de ses côtés, alors elle ne coupe qu’un des deux autres côtés.

Signes de parallélisme de deux lignes

Théorème 1. Si, lorsque deux droites coupent une sécante :

les angles croisés sont égaux, ou

les angles correspondants sont égaux, ou

la somme des angles unilatéraux est de 180°, alors

les lignes sont parallèles(Fig. 1).

Preuve. Nous nous limitons à prouver le cas 1.

Soit les lignes sécantes a et b transversales et les angles AB égaux. Par exemple, ∠ 4 = ∠ 6. Montrons que a || b.

Supposons que les droites a et b ne soient pas parallèles. Ensuite, ils se coupent en un point M et, par conséquent, l'un des angles 4 ou 6 sera l'angle externe du triangle ABM. Pour plus de précision, soit ∠ 4 l'angle externe du triangle ABM, et ∠ 6 l'angle interne. Du théorème sur l'angle externe d'un triangle, il s'ensuit que ∠ 4 est supérieur à ∠ 6, et cela contredit la condition, ce qui signifie que les droites a et 6 ne peuvent pas se couper, elles sont donc parallèles.

Corollaire 1. Deux droites différentes dans un plan perpendiculaire à la même droite sont parallèles(Fig.2).

Commentaire. La façon dont nous venons de prouver le cas 1 du théorème 1 est appelée méthode de preuve par contradiction ou réduction à l’absurdité. Cette méthode tire son premier nom du fait qu'au début de l'argumentation, une hypothèse est formulée qui est contraire (opposée) à ce qui doit être prouvé. Cela s'appelle conduire à l'absurdité car, en raisonnant sur la base de l'hypothèse formulée, nous arrivons à une conclusion absurde (à l'absurde). Recevoir une telle conclusion nous oblige à rejeter l’hypothèse formulée au départ et à accepter celle qui devait être prouvée.

Tache 1. Construire une droite passant par un point M donné et parallèle à une droite donnée a, ne passant pas par le point M.

Solution. On trace une droite p passant par le point M perpendiculaire à la droite a (Fig. 3).

Ensuite, nous traçons une ligne b passant par le point M perpendiculaire à la ligne p. La droite b est parallèle à la droite a selon le corollaire du théorème 1.

Une conclusion importante découle du problème considéré :
par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, il est toujours possible de tracer une droite parallèle à celle donnée.

La propriété principale des lignes parallèles est la suivante.

Axiome des droites parallèles. Par un point donné qui ne se trouve pas sur une droite donnée, passe une seule droite parallèle à celle donnée.

Considérons quelques propriétés des droites parallèles qui découlent de cet axiome.

1) Si une ligne coupe l'une des deux lignes parallèles, alors elle coupe également l'autre (Fig. 4).

2) Si deux droites différentes sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles (Fig. 5).

Le théorème suivant est également vrai.

Théorème 2. Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors :

les angles transversaux sont égaux ;

les angles correspondants sont égaux ;

la somme des angles unilatéraux est de 180°.

Corollaire 2. Si une droite est perpendiculaire à l’une des deux droites parallèles, alors elle est également perpendiculaire à l’autre(voir fig. 2).

Commentaire. Le théorème 2 est appelé l'inverse du théorème 1. La conclusion du théorème 1 est la condition du théorème 2. Et la condition du théorème 1 est la conclusion du théorème 2. Tous les théorèmes n'ont pas d'inverse, c'est-à-dire si un théorème donné est vrai, alors le théorème inverse peut être faux.

Expliquons cela en utilisant l'exemple du théorème des angles verticaux. Ce théorème peut être formulé ainsi : si deux angles sont verticaux, alors ils sont égaux. Le théorème inverse serait : si deux angles sont égaux, alors ils sont verticaux. Et ceci, bien entendu, n’est pas vrai. Il n’est pas nécessaire que deux angles égaux soient verticaux.

Exemple 1. Deux lignes parallèles sont traversées par une troisième. On sait que la différence entre deux angles internes unilatéraux est de 30°. Trouvez ces angles.

Solution. Laissez la figure 6 remplir la condition.