Argumentų modulis ir funkcijų modulis
Dėmesio: mažos nuotraukos padidinamos spustelėjus kairįjį pelės mygtuką.
Jei į šį puslapį patekote iš paieškos variklio, apeidami ankstesnes temos „Funkcijų grafikai ir jų transformacijos“ skyrius, rekomenduoju pirmiausia pakartoti ir bendrai
Modulis kintamasis (absoliuti reikšmės vertė) apibrėžiamas taip:
- |x| = x
,
jeigu X ≥ 0
,
|x| = −x , jeigu X < 0 .
Braižybos kontekste tai reiškia naudojimą simetrijos transformacijos apie koordinačių ašis.
- Sklypo funkcija y = f(x) .
- Išskirkite jo dalį, esančią neigiamoje abscisių ašies pusėje. (Pavyzdžiui, tiesiog ištrinkite trintuku, jei diagrama buvo nupiešta pieštuku.)
- Sukurkite kairiąją grafiko šaką (su neigiamu x) simetriškai atvaizduojant jos dešinę šaką apie ašį Oy .
- Sklypo funkcija y = f(x) .
- Sklypo plotas, esantis žemiau abscisių ašies (su neigiamu y) išplėskite iki viršutinės koordinačių tinklelio pusės transformuodami simetriją apie ašį Jautis .
Šiame pavyzdyje abu grafikai gaunami iš funkcijos grafiko y = x − 3 . Pirmasis yra transformacija Gf(x) → Gf(| x| ) , antrasis – transformuojant Gf(x) → G| f(x)| .
III Braižant funkciją y = f(x) sudėtingesni grafikai, pavyzdžiui, formos y = k f(a|x| + b) + c arba y = k·| f(kirvis + b)| + c atidžiai stebėti.Žemiau pateikiami įvairių funkcijų, turinčių modulį, grafikų pavyzdžiai, gauti iš funkcijos grafiko y = √|x|__
.
| 1. y = √x_ | 2. y = √|x|__ | 3. y = √|x − 1|_____ | 4. y = √|x| − 1 _____ | 5. y = |√x − 1_ | |
IV Požiūrių lygybė |y| = f (x)
pagal apibrėžimą nėra funkcija, nes ji leidžia neaiškiai skaičiuoti reikšmę y... Tačiau ji nustato liniją koordinačių plokštumoje, ir ši linija taip pat gali būti sudaryta remiantis funkcijos grafiku y = f(x)
.
Tam jums reikia:
- Sklypo funkcija y = f(x) .
- Neįtraukite jos dalies, esančios žemiau abscisių ašies, nes nurodyta lygybė įmanoma tik teigiamoms reikšmėms f(x).
- Sukurkite eilutės apačią (su neigiamu y) simetrinį atvaizdavimą apie ašį Jautis .
| 1. |y| = √x_ | 2. |y| = |√x_ − 1| |
1 pavyzdys.
Nustatytas funkcijų grafikas y = x 2
.
Nubraižykite kreives, kurios tenkina lygtį |y| = x 2 − 2|x| − 5
.
pastebėti, kad x 2 = |x| 2 (lyginio laipsnio reikšmė, kaip ir modulio reikšmė, visada yra neneigiama). Todėl funkciją transformuojame į formą |y| = (|x| − 1) 2 − 6 ir sudaryti jo grafiką nuosekliomis transformacijomis.
Funkcijos braižymas f(x) = (x − 1) 2 − 6
vertimas 1 į dešinę išilgai ašies Jautis, o tada paslinkdami žemyn 6 vienetais išilgai ašies Oy.
Funkcijos braižymas f(|x|) = (|x| − 1) 2 − 6
Oy.
Nubrėžiame tieses, kurios tenkina lygtį |y| = (|x| − 1) 2 − 6
naudojant simetrijos transformaciją apie ašį Jautis.
| 1. y = x 2 | 2. y = (x − 1) 2 | 3. y = (x − 1) 2 − 6 | 4. y = (|x| − 1) 2 − 6 | 5. |y| = (|x| − 1) 2 − 6 |
Sukurkite toliau pateiktą grafiką patys, kad įsitikintumėte, jog jis teisingas.
2 pavyzdys.
Nustatytas funkcijų grafikas y = x 2
.
Sklypo funkcija y = |x 2 − 2x − 5|
.
Parodyk atsakyma
Modulių suma
Jei funkcijos formulėje yra kelių modulių suma arba skirtumas, tai koordinačių plokštuma turi būti padalinta į dalis ir kiekviena grafiko šaka turi būti statoma atskirai. Aikštelių ribos nustatomos kiekvieną modulį prilyginant nuliui ir išsprendžiant atitinkamą lygtį. Galima pamatyti išsamų šio metodo pavyzdį
Įprasti modulių pavyzdžiai yra modulio tipo lygtis modulyje. Dvigubas modulis gali būti parašytas kaip formulė
|| a * x-b | -c | = k * x + m.
Jei k = 0, tai tokią lygtį su moduliu lengviau išspręsti grafiškai. Klasikinis modulių atskleidimas tokiose situacijose yra sudėtingas ir nesuteikia norimo efekto (taupo laiko) valdymui ir bandymams. Grafinis metodas leidžia per trumpą laiką sukurti modulines funkcijas ir rasti lygties šaknų skaičių.
Dvigubo, trigubo modulio konstravimo algoritmas yra gana paprastas ir daugeliui patiks žemiau pateikti pavyzdžiai. Norėdami sustiprinti techniką, žemiau pateikiami savarankiško skaičiavimo pavyzdžiai.
1 pavyzdys. Išspręskite lygties modulį modulyje || x-3 | -5 | = 3.
Sprendimas: Išspręskime lygtį moduliais klasikiniu metodu ir grafiškai. Raskite patalpų modulio nulį
x-3 = 0 x = 3.
Taške x = 3 modulio lygtis padalinama iš 2. Be to, vidinio modulio nulis yra modulio grafiko simetrijos taškas, o jei dešinioji lygties pusė yra pastovi, tai šaknys yra tokiu pat atstumu nuo šio taško. Tai yra, galite išspręsti vieną lygtį iš dviejų ir apskaičiuoti likusias šaknis pagal šią sąlygą.
Atidarykime vidinį modulį, skirtą x> 3
x-3-5 | = 3; | x-8 | = 3.
Gauta lygtis išplečiant modulį yra padalinta iš 2
Submodulinė funkcija> 0
x-8 = 3; x = 3 + 8 = 11;
ir už vertybes< 0
получим
- (x-8) = 3; x = 8-3 = 5.
Abi lygties šaknys tenkina sąlygą x> 3, tai yra, jos yra sprendiniai.
Atsižvelgiant į aukščiau parašytą lygties su moduliais sprendinių simetrijos taisyklę, galima x lygties šaknų neieškoti< 3,
которое имеет вид
| - (x-3) -5 | = 3; | -x-2 | = 3,
bet apskaičiuokite juos.
Simetriška x = 3 atžvilgiu, kai x = 11 yra
x = 3- (11-3) = 6-11 = -5.
Naudodami tą pačią formulę randame antrąjį sprendimą
x = 3- (5-3) = 6-5 = 1.
Duota modulio lygtis modulyje turi 4 sprendinius
x = -5; x = 1; x = 5; x = 11.
Dabar ieškokime sprendimų lygtys su moduliais grafiniu metodu... Iš vidaus modulio | x-3 | iš to seka, kad funkcijos standartinio modulio grafikas išilgai Ox ašies perkeliamas į dešinę 3.
Toliau – atimti 5 reiškia, kad grafikas turi būti sumažintas 5 langeliais išilgai Oy ašies. Norėdami gauti gautos funkcijos modulį, simetriškai atspindėkite viską, kas yra žemiau Ox ašies.
Ir galiausiai, mes statome tiesę y = 3, lygiagrečią Ox ašiai. Skaičiuoti lygtis su moduliais geriausia grafiškai naudoti kvadratinį sąsiuvinį, nes jame patogu braižyti grafikus.
Galutinis modulio grafiko vaizdas yra
Funkcijos modulio ir tiesės susikirtimo taškai y = 3 ir yra ieškomi sprendiniai x = -5;x = 1; x = 5; x = 11.
Grafinio metodo pranašumas prieš modulių išplėtimą paprastoms lygtims yra akivaizdu. Tačiau grafiškai nepatogu ieškoti šaknų, kai dešinioji pusė turi formą k * x + m, tai yra, tai yra tiesė, kampu pasvirusi į abscisių ašį.
Čia tokių lygčių nenagrinėsime.
2 pavyzdys. Kiek šaknų turi lygtis || 2x-3 | -2 | = 2?
Sprendimas: Dešinė pusė lygi konstantai, todėl labiau tikėtina, kad sprendimas bus rastas grafiškai. Vidinis modulis išnyksta
| 2x-3 | = 0 x = 3/2 = 1,5
taške x = 1,5.
Taigi funkcijos y = | 2x | grafiką perkeliame į šį tašką. Norėdami jį sukurti, pakeiskite kelis taškus ir per juos nubrėžkite tiesias linijas. Iš gautos funkcijos atimame 2, tai yra, sumažiname grafiką dviem žemyn ir, norėdami gauti modulį, perkeliame neigiamas reikšmes (y< 0)
симметрично относительно оси Ox
.
Matome, kad duotoji lygtis turi tris sprendinius.
3 pavyzdys. Kuriai parametro a vertei lygtis su moduliu ||| x + 1 | -2 | -5 | = a turi 5 sprendinius?
Sprendimas: turime lygtį su trimis įdėtais moduliais. Raskime atsakymą iš grafinės analizės. Pradėkime, kaip visada, nuo vidinio modulio. Tai išnyksta
| x + 1 | = 0 x = -1
taške x = -1.
Šioje vietoje nubraižome funkcijos modulį
Pakartokime funkcijos modulio grafiko poslinkį žemyn 5 ir simetriškai perkelkime neigiamas funkcijos reikšmes. Dėl to gauname kairę lygties pusę su moduliais
y = ||| x + 1 | -2 | -5 | ...
Parametras a atitinka lygiagrečios tiesės reikšmę, kuri turi kirsti funkcijos modulio grafiką 5 taškuose. Pirmiausia nubrėžiame tokią tiesią liniją, tada ieškome susikirtimo taško su Oy ašimi.
Tai yra tiesė y = 3, tai yra, reikalingas parametras yra lygus a = 3.
Išplėtus modulius šią problemą būtų galima išspręsti visai pamokai, jei ne daugiau. Viskas susivedė į kelis grafikus.
Atsakymas: a = 3.
4 pavyzdys. Kiek sprendinių turi lygtis ||| 3x-3 | -2 | -7 | = x + 5?
Sprendimas: atidarykime vidinį lygties modulį
| 3x-3 | = 0<=>x = 3/3 = 1.
Nubraižykite funkciją y = | 3x-3 |. Norėdami tai padaryti, pridėkite 3 langelius y prie vieno x pokyčio nuo rasto taško langelio. Atlikite lygties šaknų konstravimą bloknote dėžutėje, o aš jums pasakysiu, kaip tai galima padaryti Maple aplinkoje.
Paleiskite iš naujo; su (plots): nustatykite visus kintamuosius į nulį ir prijunkite modulį darbui su grafika.
> diagrama (abs (3 * x-3), x = -2..4):
Tada nuleidžiame 2 grafiko langelius žemyn ir perkeliame neigiamas reikšmes (y<0)
.
Gausime dviejų vidinių modulių grafiką.Gautas grafikas nuleidžiamas dviem ir simetriškai atspindimas. gauti grafiką
y = || 3x-3 | -2 |.
Matematikos pakete klevas tai tolygu kito modulio rašymui
> diagrama (abs (abs (3 * x-3) -2), x = -2..4):
Dar kartą perkelkite grafiką septyniais vienetais žemyn ir perkelkite jį simetriškai. Gauname funkcijos grafiką
y = ||| 3x-3 | -2 | -7 |
„Maple“ programoje tai atitinka šią kodo juostą
> diagrama (abs (abs (abs (3 * x-3) -2) -7), x = -5..7):
Dviejuose taškuose nubrėžkite tiesę y = x + 5. Pirmasis yra tiesios linijos susikirtimas su abscisių ašimi
Modulio ženklas yra bene vienas įdomiausių matematikos reiškinių. Šiuo atžvilgiu daugeliui moksleivių kyla klausimas, kaip sudaryti funkcijų, kuriose yra modulis, grafikus. Panagrinėkime šią problemą atidžiau.
1. Grafiko funkcijos, turinčios modulį
1 pavyzdys.
Nubraižykite funkciją y = x 2 - 8 | x | + 12.
Sprendimas.
Apibrėžkime funkcijos paritetą. Y (-x) reikšmė yra tokia pati kaip y (x) reikšmė, todėl ši funkcija yra lygi. Tada jo grafikas yra simetriškas Oy ašiai. Sudarome funkcijos y = x 2 - 8x + 12 grafiką, kai x ≥ 0, ir simetriškai atvaizduojame grafiką Oy atžvilgiu neigiamam x (1 pav.).
2 pavyzdys.
Kitas grafikas yra formos y = | x 2 - 8x + 12 |.
– Koks yra siūlomos funkcijos verčių diapazonas? (y ≥ 0).
– Kaip suplanuotas grafikas? (Virš arba liečiant abscisę).
Tai reiškia, kad funkcijos grafikas gaunamas taip: sudaromas funkcijos y = x 2 - 8x + 12 grafikas, grafiko dalis, esanti virš Ox ašies, paliekama nepakeista, o grafiko dalis. kuri yra po abscisėmis, rodoma simetriškai Ox ašies atžvilgiu (2 pav.).
3 pavyzdys.
Norėdami nubrėžti funkciją y = | x 2 - 8 | x | + 12 | atlikti transformacijų derinį:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | x | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.
Atsakymas: 3 pav.
Apsvarstytos transformacijos galioja visų tipų funkcijoms. Padarykime lentelę:
2. Funkcijos, turinčios "įdėtus modulius" formulėje, braižymo
Jau matėme kvadratinės funkcijos, turinčios modulį, pavyzdžius, taip pat bendrąsias y = f (| x |), y = | f (x) formos funkcijų grafikų sudarymo taisykles | ir y = | f (| x |) |. Šios transformacijos mums padės kitame pavyzdyje.
4 pavyzdys.
Apsvarstykite funkciją, kurios forma yra y = | 2 - | 1 - | x |||. Funkcijos išraiška apima „įdėtus modulius“.
Sprendimas.
Pasinaudokime geometrinių transformacijų metodu.
Užrašykime nuoseklių transformacijų grandinę ir padarykime atitinkamą brėžinį (4 pav.):
y = x → y = | x | → y = - | x | → y = - | x | + 1 → y = | - | x | + 1 | → y = - | - | x | + 1 | → y = - | - | x | + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x |||.
Apsvarstykite atvejus, kai simetrija ir lygiagrečios vertimo transformacijos nėra pagrindinė braižymo technika.
5 pavyzdys.
Nubraižykite y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 formos funkciją.
Sprendimas.
Prieš braižydami grafiką, paverčiame formulę, kuriai priskirta funkcija, ir gauname kitą funkcijos analitinę užduotį (5 pav.). 
y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x– 2) (x + 2) / | x + 2 |.
Išplėskime modulį vardiklyje:
Jei x> -2, y = x - 2 ir x< -2, y = -(x – 2).
Domenas D (y) = (-∞; -2) ᴗ (-2; + ∞).
Vertybių diapazonas E (y) = (-4; + ∞).
Taškai, kuriuose grafikas kertasi su koordinačių ašimi: (0; -2) ir (2; 0).
Funkcija mažėja visiems x nuo intervalo (-∞; -2), didėja x nuo -2 iki + ∞.
Čia turėjome atskleisti modulio ženklą ir kiekvienam atvejui nubraižyti funkciją.
6 pavyzdys.
Apsvarstykite funkciją y = | x + 1 | - | x - 2 |.
Sprendimas.
Išplečiant modulio ženklą, reikia atsižvelgti į visas galimas submodulio išraiškų ženklų kombinacijas.
Galimi keturi atvejai:
(x + 1 - x + 2 = 3, jei x ≥ -1 ir x ≥ 2;
(-x - 1 + x - 2 = -3, x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, jei x ≥ -1 ir x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Tada pradinė funkcija atrodys taip:
(3, jei x ≥ 2;
y = (-3, jei x< -1;
(2x - 1, jei -1 ≤ x< 2.
Gavome dalimis nurodytą funkciją, kurios grafikas parodytas 6 paveiksle.
3. Formos funkcijų grafikų konstravimo algoritmas
y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | +… + A n | x - x n | + kirvis + b.
Ankstesniame pavyzdyje buvo pakankamai lengva išplėsti modulio ženklus. Jei modulių sumų yra daugiau, tai sunku apsvarstyti visas galimas submodulinių išraiškų ženklų kombinacijas. Kaip šiuo atveju nubraižyti funkcijos grafiką?
Atkreipkite dėmesį, kad grafikas yra polilinija, kurios viršūnės yra taškuose, kurių abscisės yra -1 ir 2. Jei x = -1 ir x = 2, submodulių išraiškos yra lygios nuliui. Praktiškai priartėjome prie tokių grafikų sudarymo taisyklės:
Pagal y = a 1 | x - x 1 | formos funkcijos grafiką + a 2 | x - x 2 | +… + A n | x - x n | + ax + b yra polilinija su begalinėmis ekstremaliomis nuorodomis. Norint sukurti tokią poliliniją, pakanka žinoti visas jos viršūnes (viršūnių abscisės yra submodulių išraiškų nuliai) ir po vieną valdymo tašką kairėje ir dešinėje begalinėse nuorodose. 
Užduotis.
Nubraižykite funkciją y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | ir rasti mažiausią jo vertę.
Sprendimas:
Submodulių išraiškų nuliai: 0; - vienas; 1. Polilinijos viršūnės (0; 2); (-trylika); (trylika). Kontrolinis taškas dešinėje (2; 6), kairėje (-2; 6). Sudarome grafiką (7 pav.). min f (x) = 2.
Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip pavaizduoti funkciją naudojant modulį?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
tinklaraštį., visiškai ar iš dalies nukopijuojant medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
Nuorašas
1 Regioninė 6-11 klasių mokinių edukacinių ir tiriamųjų darbų mokslinė-praktinė konferencija „Matematikos taikomieji ir esminiai klausimai“ Matematikos studijų metodiniai aspektai Funkcijos, kuriose yra modulis Gabova Angela Yurievna, 10 klasė, MOBU „Gimnazija 3“ Kudymkar, Pikuleva Nadežda Ivanovna, matematikos mokytoja, MOBU „Gymnasium 3“, Kudymkar Permė, 2016 m.
2 Turinys: Įvadas ... 3 p. I. Pagrindinė dalis ... 6 p. 1.1 Istorinis pagrindas .. 6 p. 2. Pagrindiniai funkcijų apibrėžimai ir savybės 2.1 p. Kvadratinė funkcija ... 7 p. 2.2 Tiesinė funkcija .. .8 p. 2.3 Trupmeninė racionalioji funkcija 8 psl 3. Grafikų braižymo su moduliu algoritmai 9 p 3.1 Modulio apibrėžimas .. 9 p 3.2 Tiesinės funkcijos braižymo su moduliu algoritmas ... 9 p. 3.3 Grafiko funkcijos, kurių formulė yra "įdėtieji moduliai" .10 p. 3.4 Algoritmas y = a 1 xx 1 + a 2 xxanxxn + ax + b ... 13 psl. 3.5 Kvadratinės formos braižymo algoritmas funkcija su moduliu 14 p. 3.6 Algoritmas trupmeninės racionalios funkcijos su moduliu braižymas. 15 p. 4. Kvadratinės funkcijos grafiko pokyčiai priklausomai nuo absoliučios reikšmės ženklo vietos .. 17 p. II. Išvada ... 26 p. III. Literatūra ir šaltiniai ... 27 psl. IV. Priedas .... 28 p. 2
3 Įvadas Grafiko funkcijos yra viena įdomiausių mokyklinės matematikos temų. Didžiausias mūsų laikų matematikas Izraelis Moiseevičius Gelfandas rašė: „Grafų braižymo procesas yra būdas formules ir aprašymus paversti geometriniais vaizdais. Šis braižymas yra būdas pamatyti formules ir funkcijas bei stebėti, kaip tos funkcijos keičiasi. Pavyzdžiui, jei parašyta y = x 2, tada iškart pamatysite parabolę; jei y = x 2-4, matote parabolę, sumažintą keturiais vienetais; jei y = - (x 2 4), tada matote, kad ankstesnė parabolė yra atsukta. Šis gebėjimas matyti formulę iš karto, jos geometrinė interpretacija yra svarbi ne tik matematikos, bet ir kitų dalykų studijoms. Tai įgūdis, kuris išliks su tavimi visą gyvenimą, kaip ir važiuoti dviračiu, rašyti mašinėles ar vairuoti automobilį. Lygčių sprendimo moduliais pagrindai buvo įgyti 6 7 klasėse. Pasirinkau šią temą, nes manau, kad ji reikalauja gilesnių ir išsamesnių tyrimų. Noriu gauti platesnių žinių apie skaičiaus modulį, įvairius grafikų, kuriuose yra absoliučios reikšmės ženklas, braižymo būdus. Kai į „standartines“ tiesių, parabolių, hiperbolių lygtis įtraukiamas modulio ženklas, jų grafikai tampa neįprasti ir net gražūs. Norėdami išmokti sudaryti tokius grafikus, turite įsisavinti pagrindinių formų kūrimo būdus, taip pat tvirtai žinoti ir suprasti skaičiaus modulio apibrėžimą. Mokykliniame matematikos kurse grafika su moduliu nėra giliai nagrinėjama, todėl norėjau praplėsti žinias šia tema, atlikti savo tyrimą. Nežinant modulio apibrėžimo, neįmanoma sukurti net paprasčiausio grafiko, kuriame būtų absoliuti reikšmė. Būdinga funkcijų grafikų, turinčių išraiškas su modulio ženklu, ypatybė, 3
4 yra vingių buvimas tuose taškuose, kuriuose išraiška po modulio ženklu keičia ženklą. Darbo tikslas: išnagrinėti tiesinių, kvadratinių ir trupmeninių racionalių funkcijų, turinčių kintamąjį po modulio ženklu, grafiką. Uždaviniai: 1) Išstudijuoti literatūrą apie tiesinių, kvadratinių ir trupmeninių racionaliųjų funkcijų absoliučios reikšmės savybes. 2) Ištirti funkcijų grafikų pokyčius priklausomai nuo absoliučios reikšmės ženklo vietos. 3) Išmokite brėžti lygtis. Tyrimo objektas: tiesinių, kvadratinių ir trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafikai. Tyrimo objektas: tiesinių, kvadratinių ir trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafiko pokyčiai priklausomai nuo absoliučios reikšmės ženklo vietos. Praktinė mano darbo reikšmė: 1) panaudojant įgytas žinias šia tema, taip pat jas gilinant ir pritaikant kitoms funkcijoms ir lygtims; 2) tiriamųjų gebėjimų panaudojime tolesnėje ugdomojoje veikloje. Aktualumas: Tradiciškai grafinės užduotys yra viena iš sudėtingiausių matematikos temų. Mūsų abiturientai susiduria su sėkmingo valstybinio egzamino ir egzamino išlaikymo problema. Tyrimo problema: funkcijų, turinčių modulio ženklą, grafikų braižymas iš antrosios GIA dalies. Tyrimo hipotezė: GIA antrosios dalies uždavinių sprendimo metodikos, sukurtos remiantis bendraisiais modulio ženklą turinčių funkcijų grafikų braižymo metodais, taikymas leis studentams išspręsti šias užduotis 4
5 sąmoningai pasirinkti racionaliausią sprendimo būdą, taikyti skirtingus sprendimo būdus ir sėkmingiau išlaikyti GIA. Darbe taikyti tyrimo metodai: 1. Matematinės literatūros ir interneto šaltinių šia tema analizė. 2. Tirtos medžiagos reprodukcinis atgaminimas. 3. Pažinimo ir paieškos veikla. 4. Duomenų analizė ir palyginimas ieškant problemų sprendimo būdų. 5. Hipotezių išdėstymas ir jų patikrinimas. 6. Matematinių faktų palyginimas ir apibendrinimas. 7. Gautų rezultatų analizė. Rašant šį darbą buvo naudojami šie šaltiniai: interneto šaltiniai, OGE testai, matematinė literatūra. 5
6 I. Pagrindinė dalis 1.1 Istorinis pagrindas. Pirmoje XVII amžiaus pusėje pradėjo formuotis idėjos apie funkciją kaip vieno kintamojo priklausomybę nuo kito. Pavyzdžiui, prancūzų matematikai Pierre'as Fermat'as () ir Rene'as Dekartas () funkciją įsivaizdavo kaip kreivės taško ordinatės priklausomybę nuo jos abscisės. O anglų mokslininkas Isaacas Newtonas () šią funkciją suprato kaip judančio taško koordinatę, kuri keičiasi laikui bėgant. Terminą „funkcija“ (iš lotynų kalbos funkcijos vykdymas, atlikimas) pirmasis įvedė vokiečių matematikas Gottfriedas Leibnicas (). Jo funkcija buvo siejama su geometriniu vaizdu (funkcijos grafiku). Vėliau šveicarų matematikas Johanas Bernoulli () ir garsus XVIII amžiaus matematikas Leonardas Euleris (), Sankt Peterburgo mokslų akademijos narys, šią funkciją laikė analitine išraiška. Euleris taip pat bendrai supranta funkciją kaip vieno kintamojo priklausomybę nuo kito. Žodis „modulis“ kilęs iš lotyniško žodžio „modulus“, kuris vertime reiškia „matuoti“. Tai daug reikšmių turintis polisemantinis žodis (homonimas), vartojamas ne tik matematikos, bet ir architektūros, fizikos, inžinerijos, programavimo ir kituose tiksliuosiuose moksluose. Architektūroje tai yra pradinis matavimo vienetas, nustatytas tam tikrai architektūrinei struktūrai ir naudojamas išreikšti kelis jos sudedamųjų dalių santykius. Technologijoje tai įvairiose technologijos srityse vartojamas terminas, neturintis universalios reikšmės ir skirtas įvairiems koeficientams bei dydžiams žymėti, pavyzdžiui, įsitraukimo moduliui, tamprumo moduliui ir kt. 6
7 Tūrinio suspaudimo modulis (fizikoje) yra normalaus įtempio medžiagoje ir santykinio pailgėjimo santykis. 2. Pagrindiniai funkcijų apibrėžimai ir savybės Funkcija yra viena iš svarbiausių matematinių sąvokų. Funkcija yra tokia kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kurioje kiekviena kintamojo x reikšmė atitinka vieną kintamojo y reikšmę. Funkcijos nustatymo būdai: 1) analitinis metodas (funkcija nustatoma naudojant matematinę formulę); 2) lentelių metodas (funkcija nustatoma naudojant lentelę); 3) aprašomasis būdas (funkcija suteikiama žodiniu aprašymu); 4) grafinis metodas (funkcija nustatoma naudojant grafiką). Funkcijos grafikas yra visų koordinačių plokštumos taškų, kurių abscisės yra lygios argumento reikšmei, o ordinatės - atitinkamoms funkcijos reikšmėms, rinkinys. 2.1 Kvadratinė funkcija Funkcija, apibrėžta formule y = ax 2 + bx + c, kur x ir y yra kintamieji, o parametrai a, b ir c yra bet kokie realieji skaičiai, kai a = 0, vadinama kvadratine. Funkcijos y = ax 2 + in + c grafikas yra parabolė; parabolės simetrijos ašis y = ax 2 + bx + c yra tiesi linija, kai a> 0 parabolės "šakos" nukreiptos į viršų,<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7
8 (vieno kintamojo funkcijoms). Pagrindinė tiesinių funkcijų savybė: funkcijos prieaugis yra proporcingas argumento prieaugiui. Tai yra, funkcija yra tiesioginio proporcingumo apibendrinimas. Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija, dėl kurios atsirado jos pavadinimas. Tai susiję su realia vieno tikrojo kintamojo funkcija. 1) Tiesi linija sudaro smailųjį kampą su teigiama abscisių ašies kryptimi. 2) Tiesi linija sudaro bukąjį kampą su teigiama abscisių ašies kryptimi. 3) yra tiesės ir ordinačių ašies susikirtimo taško ordinatės rodiklis. 4) Kai tiesė eina per pradžią. , 2.3 Trupmeninė racionalioji funkcija yra trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Jis turi formą, kur yra bet kokio skaičiaus kintamųjų daugianariai. Vieno kintamojo racionalios funkcijos yra ypatingas atvejis:, kur ir yra daugianariai. 1) Bet kuri išraiška, kurią galima gauti iš kintamųjų naudojant keturias aritmetines operacijas, yra racionali funkcija. aštuoni
9 2) Racionaliųjų funkcijų aibė uždara aritmetinių operacijų ir kompozicijos operacijos atžvilgiu. 3) Bet kurią racionaliąją funkciją galima pavaizduoti kaip paprasčiausių trupmenų sumą – tai naudojama analitinėje integracijoje .., 3. Grafų konstravimo algoritmai su moduliu 3.1 Modulio nustatymas Realiojo skaičiaus a modulis yra skaičius a pats, jei jis yra neneigiamas, ir skaičius, priešingas a, jei a yra neigiamas. a = 3.2 Tiesinės funkcijos su moduliu grafiko sudarymo algoritmas Norėdami sudaryti funkcijų y = x grafikus, turite žinoti, kad teigiamam x turime x = x. Tai reiškia, kad esant teigiamoms argumento reikšmėms, grafikas y = x sutampa su grafiku y = x, tai yra, ši grafiko dalis yra spindulys, išeinantis iš pradžios 45 laipsnių kampu abscisių ašies atžvilgiu. . Už x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9
10 Konstravimui paimkite taškus (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Dabar nubraižykime grafiką y = x-1. Jei A yra grafiko y = x taškas su koordinatėmis (a; a), tai grafiko y = x-1 taškas su ta pačia ordinatės Y reikšme būti tašku A1 (a + 1; a). Šį antrojo grafiko tašką galima gauti iš pirmojo grafiko taško A (a; a), pasislinkus lygiagrečiai Ox ašiai į dešinę. Tai reiškia, kad visas funkcijos y = x-1 grafikas gaunamas iš funkcijos y = x grafiko, pasislinkus lygiagrečiai Ox ašiai į dešinę 1. Sukurkime grafikus: y = x-1 Nubraižyti , paimkite taškus (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Funkcijų, turinčių "įdėtus modulius", grafikų konstravimas formulėje Panagrinėkime konstravimo algoritmą naudodami konkretų pavyzdį Sukurkite funkcijos grafiką: 10
11 y = i-2-ix + 5ii 1. Sudarykite funkcijos grafiką. 2. Apatinės pusplokštumos grafikas rodomas aukštyn simetriškai apie OX ašį ir gauname funkcijos grafiką. vienuolika
12 3. Funkcijos grafikas rodomas žemyn simetriškai apie OX ašį ir gauname funkcijos grafiką. 4. Funkcijos grafikas rodomas žemyn simetriškai apie OX ašį ir gauname funkcijos grafiką 5. Parodome funkcijos grafiką OX ašies atžvilgiu ir gauname grafiką. 12
13 6. Dėl to funkcijų grafikas atrodo taip 3.4. Formos y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b grafinių funkcijų algoritmas. Ankstesniame pavyzdyje buvo pakankamai lengva išplėsti modulio ženklus. Jei modulių sumų yra daugiau, tai sunku apsvarstyti visas galimas submodulinių išraiškų ženklų kombinacijas. Kaip šiuo atveju nubraižyti funkcijos grafiką? Atkreipkite dėmesį, kad grafikas yra polilinija, kurios viršūnės yra taškuose, kurių abscisės yra -1 ir 2. Jei x = -1 ir x = 2, submodulių išraiškos yra lygios nuliui. Praktiškai priartėjome prie tokių grafikų sudarymo taisyklės: y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b formos funkcijos grafikas yra trūkinė linija su begalinėmis kraštutinėmis nuorodomis. Norint sukurti tokią poliliniją, pakanka žinoti visas jos viršūnes (viršūnių abscisės yra submodulinių išraiškų nuliai) ir vieną valdymo tašką kairėje ir dešinėje begalinėse nuorodose. trylika
14 Problema. Nubraižykite funkciją y = x + x 1 + x + 1 ir raskite jos mažiausią reikšmę. Sprendimas: 1. Submodulių išraiškų nuliai: 0; - vienas; Poliline viršūnės (0; 2); (-trylika); (1; 3) (Submodulio išraiškų nuliai pakeičiami lygtyje) 3 Valdymo taškas dešinėje (2; 6), kairėje (-2; 6). Sudarome grafiką (7 pav.), mažiausia funkcijos reikšmė lygi Kvadratinės funkcijos grafiko sudarymo algoritmas su moduliu Funkcijų grafikų transformavimo algoritmų sudarymas. 1.Funkcijos y = f (x) braižymas. Pagal modulio apibrėžimą ši funkcija yra padalinta į dviejų funkcijų rinkinį. Todėl funkcijos y = f (x) grafikas susideda iš dviejų grafikų: y = f (x) dešinėje pusplokštumoje, y = f (-x) kairėje pusplokštumoje. Remiantis tuo, galima suformuluoti taisyklę (algoritmą). Funkcijos y = f (x) grafikas gaunamas iš funkcijos y = f (x) grafiko taip: esant x 0, grafikas išsaugomas, o esant x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14
15 3. Norėdami nubrėžti funkciją y = f (x), pirmiausia turite nubraižyti funkciją y = f (x), kai x> 0, tada x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15
16 Norėdami gauti šį grafiką, tereikia anksčiau gautą grafiką perkelti trimis vienetais į dešinę. Atkreipkite dėmesį, kad jei trupmenos vardiklis būtų išraiška x + 3, tada grafiką perkeltume į kairę: Dabar visas ordinates reikia padauginti iš dviejų, kad gautume funkcijos grafiką. Galiausiai grafiką perkelsime dviem aukštyn. vienetai: Paskutinis dalykas, kurį turime padaryti, yra nubraižyti duotosios funkcijos grafiką, jei jis yra po modulio ženklu. Norėdami tai padaryti, simetriškai į viršų atspindėkite visą grafiko dalį, kurios ordinatės yra neigiamos (dalį, kuri yra žemiau x ašies): 4 pav. 16
17 4. Kvadratinės funkcijos grafiko pokyčiai priklausomai nuo absoliučios reikšmės ženklo vietos. Nubraižykite funkciją y = x 2 - x -3 1) Kadangi x = x ties x 0, reikalingas grafikas sutampa su parabole y = 0,25 x 2 - x - 3. Jei x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0.b) Todėl užbaigiu x konstrukciją<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17
18 pav 4 Funkcijos y = f (x) grafikas sutampa su funkcijos y = f (x) grafiku argumento neneigiamų reikšmių aibėje ir yra simetriškas jai apie OY ašį aibėje. neigiamų argumento verčių. Įrodymas: Jei x yra 0, tai f (x) = f (x), t.y. argumento neneigiamų reikšmių rinkinyje funkcijos y = f (x) ir y = f (x) grafikai sutampa. Kadangi y = f (x) yra lygi funkcija, jos grafikas yra simetriškas OU atžvilgiu. Taigi funkcijos y = f (x) grafiką galima gauti iš funkcijos y = f (x) grafiko taip: 1. sudaryti funkcijos y = f (x) grafiką, kai x> 0; 2. Už x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Už x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х
19 Jei x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 ir simetriškai atspindėta dalis y = f (x) ties y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, tada f (x) = f (x), taigi šioje dalyje funkcijos y = f (x) grafikas sutampa su pačios funkcijos y = f (x) grafiku. Jei f (x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19
20 5 pav. Išvada: Funkcijos y = f (x) grafiko sudarymas 1. Sudarykite funkcijos y = f (x) grafiką; 2. Srityse, kur grafikas yra apatinėje pusplokštumoje, t.y., kur f (x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20
21 Funkcijos y = f (x) grafikų konstravimo tiriamasis darbas Taikydami absoliučios reikšmės apibrėžimą ir anksčiau nagrinėtus pavyzdžius, sudarysime funkcijos grafikus: y = 2 x - 3 y = x 2- 5 xy = x 2-2 ir padarė išvadas. Norint sukurti funkcijos y = f (x) grafiką, reikia: 1. Sukurti funkcijos y = f (x) grafiką, kai x> 0. 2. Sukurkite antrąją grafiko dalį, ty atspindėkite sudarytą grafiką simetriškai OA atžvilgiu, nes ši funkcija yra lygi. 3. Gauto grafiko atkarpos, esančios apatinėje pusplokštumoje, simetriškai OX ašiai transformuojasi į viršutinę pusplokštumą. Sukurkite funkcijos y = 2 x - 3 grafiką (1-as modulio nustatymo metodas) 1. Pastatome y = 2 x - 3, kai 2 x - 3> 0, x> 1,5 t.y. X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, jei x> 0 b) x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Nubrėžkite tiesią liniją, simetrišką OU ašies atžvilgiu. 3) Apatinėje pusplokštumoje esančios grafiko dalys rodomos simetriškai aplink OX ašį. Palyginę abu grafikus, matome, kad jie yra vienodi. 21
22 Užduočių pavyzdžiai 1 pavyzdys. Apsvarstykite funkcijos y = x 2 6x +5 grafiką. Kadangi x yra kvadratas, tai nepriklausomai nuo skaičiaus x ženklo po kvadratūros, jis bus teigiamas. Iš to išplaukia, kad funkcijos y = x 2-6x +5 grafikas bus identiškas funkcijos y = x 2-6x +5 grafikui, t.y. funkcijos, kurioje nėra absoliučios reikšmės ženklo, grafikas (2 pav.). 2 pav. 2 pavyzdys. Apsvarstykite funkcijos y = x 2 6 x +5 grafiką. Naudodami skaičiaus modulio apibrėžimą, pakeičiame formulę y = x 2 6 x +5 Dabar susiduriame su gerai žinoma dalimis priklausomybės problema. Sukursime tokį grafiką: 1) sukursime parabolę y = x 2-6x +5 ir apibraukime jos dalį, kuri yra 22
23 atitinka neneigiamas x reikšmes, t.y. dalis, esanti į dešinę nuo Oy ašies. 2) toje pačioje koordinačių plokštumoje sukonstruokite parabolę y = x 2 + 6x +5 ir apibrėžkite jos dalį, atitinkančią neigiamas x reikšmes, t.y. dalis, esanti kairėje nuo Oy ašies. Nubrėžtos parabolių dalys kartu sudaro funkcijos y = x 2-6 x +5 grafiką (3 pav.). 3 pav. 3 pavyzdys. Apsvarstykite funkcijos y = x 2-6 x +5 grafiką. Nes lygties y = x 2 6x +5 grafikas yra toks pat kaip funkcijos grafikas be modulio ženklo (žr. 2 pavyzdį), tai reiškia, kad funkcijos y = x 2 6 x +5 grafikas yra identiškas į 2 pavyzdyje nagrinėjamos funkcijos y = x 2 6 x +5 grafiką (3 pav.). 4 pavyzdys. Sukurkime funkcijos y = x 2 6x +5 grafiką. Norėdami tai padaryti, sukurkite funkcijos y = x 2-6x grafiką. Norint gauti iš jo funkcijos y = x 2-6x grafiką, kiekvieną parabolės tašką reikia pakeisti neigiama ordinate tašku su ta pačia abscise, bet su priešinga (teigiama) ordinate. Kitaip tariant, parabolės dalis, esanti žemiau x ašies, turi būti pakeista linija, simetriška x ašies atžvilgiu. Nes turime sudaryti funkcijos y = x 2-6x +5 grafiką, tada funkcijos, kurią laikėme y = x 2-6x, grafiką tereikia pakelti išilgai y ašies 5 vienetais aukštyn (1 pav.). 4). 23
24 pav.4 Pavyzdys 5. Sudarykime funkcijos y = x 2-6x + 5 grafiką. Norėdami tai padaryti, naudosime gerai žinomą gabalų funkciją. Raskime funkcijos y = 6x +5 6x + 5 = 0 at nulius. Apsvarstykite du atvejus: 1) Jei, tada lygtis bus y = x 2 6x -5. Sukurkime šią parabolę ir nubrėžkime jos dalį. 2) Jei, tada lygtis yra y = x 2 + 6x +5. Pastatykime šią parabolę ir nubrėžkime jos dalį, esančią kairėje nuo taško su koordinatėmis (5 pav.). 24
25 5 pav. 6 pavyzdys. Sukurkime funkcijos y = x 2 6 x +5 grafiką. Norėdami tai padaryti, pavaizduosime funkciją y = x 2-6 x +5. Šį grafiką sukūrėme 3 pavyzdyje. Kadangi mūsų funkcija yra visiškai po modulio ženklu, norint nubraižyti funkciją y = x 2 6 x +5, jums reikia kiekvieno funkcijos grafiko y = x 2 6 x + 5 taško su neigiama ordinatė, pakeiskite tašku su ta pačia abscise, bet priešinga (teigiama) ordinate, t. parabolės dalis, esanti žemiau Ox ašies, turi būti pakeista tiese, simetriška Ox ašies atžvilgiu (6 pav.). 6 25 pav
II Išvada "Matematinę informaciją galima sumaniai ir naudingai pritaikyti tik kūrybiškai įvaldžius, kad mokinys pats pamatytų, kaip jis galėtų pats prie jų prieiti." A.N. Kolmogorovas. Šios užduotys labai domina devintos klasės mokinius, nes jos labai dažnai randamos OGE testuose. Galimybė sudaryti šiuos funkcijų grafikus leis sėkmingiau išlaikyti egzaminą. Prancūzų matematikai Pierre'as Fermat () ir Rene Descartes () funkciją įsivaizdavo kaip taško ordinatės priklausomybę nuo kreivės nuo jo abscisės. O anglų mokslininkas Isaacas Newtonas () šią funkciją suprato kaip judančio taško koordinatę, kuri keičiasi laikui bėgant. 26
27 III Literatūra ir šaltiniai 1. Galitskiy ML, Gol'dman AM, Zvavich LI Algebros uždavinių rinkinys 8 9 klasėms: Vadovėlis. vadovas mokyklos mokiniams. ir nuodugnias klases. studijuoti matematika 2 leidimas. M .: Apšvietimas, Dorofejevas G.V. Matematika. Algebra. Funkcijos. Duomenų analizė. 9 klasė: m34 Vadovėlis. bendrojo lavinimo studijoms. įstaigos 2-asis leidimas, stereotipas. M .: Bustardas, Solomonikas V.S. Matematikos klausimų ir problemų rinkinys M .: „Vidurinė mokykla“, Yashchenko I.V. GIA. Matematika: tipiniai egzaminų variantai: Apie pasirinkimus.m .: „Tautinis ugdymas“, p. 5. Jaščenka I.V. OGE. Matematika: tipiniai egzaminų variantai: Apie pasirinkimus.m .: „Tautinis ugdymas“, p. 6. Yaschenko I.V. OGE. Matematika: tipiniai egzaminų variantai: Apie pasirinkimus.m .: „Tautinis ugdymas“, p.
28 28 priedas
Pavyzdys 1. Nubraižykite funkciją y = x 2 8 x Sprendimas. Apibrėžkime funkcijos paritetą. Y (-x) reikšmė yra tokia pati kaip y (x) reikšmė, todėl ši funkcija yra lygi. Tada jo grafikas yra simetriškas Oy ašiai. Sudarome funkcijos y = x 2 8x + 12 grafiką, kai x 0, ir simetriškai atvaizduojame grafiką Oy atžvilgiu neigiamam x (1 pav.). 2 pavyzdys. Šis grafikas formos y = x 2 8x Tai reiškia, kad funkcijos grafikas gaunamas taip: sudaromas funkcijos y = x 2 8x + 12 grafikas, grafiko dalis, esanti aukščiau Ox ašis paliekama nepakeista, o grafiko dalis, esanti po abscisių ašimi, simetriškai rodoma Ox ašies atžvilgiu (2 pav.). Pavyzdys 3. Funkcijos y = x 2 8 x + 12 brėžiniui nubraižyti, atliekama transformacijų kombinacija: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Atsakymas: 3 pav. 4 pavyzdys Išraiška stovinti po modulio ženklu, keičia ženklą taške x = 2/3. Prie x<2/3 функция запишется так: 29
30 Jei x> 2/3, funkcija bus parašyta taip: Tai yra, taškas x = 2/3 padalija mūsų koordinačių plokštumą į dvi sritis, iš kurių viename (dešinėje) nubraižome funkciją ir kitas (kairėje) funkcijos grafikas Plot: 5 pavyzdys Toliau grafikas taip pat yra laužta linija, bet turi du lūžio taškus, nes jame yra dvi išraiškos po modulio ženklais: Pažiūrėkime, kuriuose taškuose keičiasi submodulių išraiškos ženklas: Sudėkime pomodulio išraiškų ženklus koordinačių eilutėje: 30
31 Atidarome pirmojo intervalo modulius: Antrame intervale: Trečiajame intervale: Taigi intervale (-; 1,5] turime grafiką, parašytą pagal pirmą lygtį, intervale grafiką, parašytą antrąja lygtimi , ir intervalu)