Ši tema yra viena nekenčiamiausių tarp studentų. Dar blogiau, ko gero, tik determinantai.
Apgaulė ta, kad pati atvirkštinio elemento sąvoka (šiuo metu kalbu ne tik apie matricas) nurodo daugybos operaciją. Netgi mokyklos programoje daugyba laikoma sudėtinga operacija, o matricinė daugyba paprastai yra atskira tema, kuriai turiu visą pastraipą ir video pamoką.
Šiandien mes nesigilinsime į matricos skaičiavimus. Tiesiog atsiminkite: kaip žymimos matricos, kaip jos dauginamos ir kas iš to išplaukia.
Apžvalga: Matricos daugyba
Pirmiausia susitarkime dėl žymėjimo. $A$ dydžio matrica $\left[ m\times n \right]$ yra tiesiog skaičių lentelė su tiksliai $m$ eilučių ir $n$ stulpelių:
\=\underbrace(\left[ \begin(matrica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & (a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\pabaiga (matrica) \right])_(n)\]
Kad netyčia nesupainiotumėte eilučių ir stulpelių vietomis (patikėkite, egzamine galite supainioti vieną su dvitaškiu - ką čia pasakyti apie kai kurias eilutes), tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:
Matricinių ląstelių indeksų nustatymas Kas vyksta? Jei standartinę koordinačių sistemą $OXY$ patalpinsime viršutiniame kairiajame kampe ir nukreipsime ašis taip, kad jos apimtų visą matricą, tai kiekvienas šios matricos langelis gali būti unikaliai susietas su koordinatėmis $\left(x;y \right) $ – tai bus eilutės ir stulpelio numeris.
Kodėl koordinačių sistema yra tiksliai viršutiniame kairiajame kampe? Taip, nes nuo ten mes pradedame skaityti bet kokius tekstus. Tai labai lengva prisiminti.
Kodėl $x$ ašis nukreipta žemyn, o ne į dešinę? Vėlgi, viskas paprasta: paimkite standartinę koordinačių sistemą ($x$ ašis eina į dešinę, $y$ – aukštyn) ir pasukite ją taip, kad ji apimtų matricą. Tai sukimasis 90 laipsnių pagal laikrodžio rodyklę – jo rezultatą matome paveikslėlyje.
Apskritai, mes supratome, kaip nustatyti matricos elementų indeksus. Dabar pakalbėkime apie daugybą.
Apibrėžimas. Matricos $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$, kai stulpelių skaičius pirmojoje atitinka eilučių skaičių antroje, yra vadinamas nuosekliu.
Tai tokia tvarka. Galima dviprasmiškai sakyti, kad matricos $A$ ir $B$ sudaro tvarkingą porą $\left(A;B \right)$: jei jos yra nuoseklios šia tvarka, tai visai nebūtina, kad $B $ ir $ A $, tie. pora $\left(B;A \right)$ taip pat yra nuosekli.
Galima padauginti tik nuoseklias matricas.
Apibrėžimas. Nuosekliųjų matricų $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$ sandauga yra nauja matrica $C=\left[ m\times k \right ]$ , kurio elementai $((c)_(ij))$ apskaičiuojami pagal formulę:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Kitaip tariant: norint gauti matricos $C=A\cdot B$ elementą $((c)_(ij))$, reikia paimti pirmosios matricos $i$ eilutę, $j$ antrosios matricos stulpelį, o tada padauginkite šios eilutės ir stulpelio elementus poromis. Sudėkite rezultatus.
Taip, tai griežtas apibrėžimas. Iš to iš karto išplaukia keli faktai:
- Matricos daugyba, paprastai kalbant, yra nekomutacinė: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Tačiau daugyba yra asociatyvi: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- Ir netgi paskirstymo: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- Ir vėl paskirstymas: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Daugybos pasiskirstymas turėjo būti aprašytas atskirai kairiojo ir dešiniojo daugiklio sumai vien dėl daugybos operacijos nekomitatyvumo.
Jei vis dėlto paaiškėja, kad $A\cdot B=B\cdot A$, tokios matricos vadinamos permutacinėmis.
Tarp visų matricų, kurios yra padaugintos iš kažko, yra specialių - tų, kurias padauginus iš bet kurios matricos $A$, vėl gaunama $A$:
Apibrėžimas. Matrica $E$ vadinama tapatybe, jei $A\cdot E=A$ arba $E\cdot A=A$. Kvadratinės matricos $A$ atveju galime parašyti:
Tapatybės matrica yra dažnas svečias sprendžiant matricos lygtis. Ir apskritai dažnas svečias matricų pasaulyje. :)
Ir dėl šio $E$ kažkas sugalvojo visą žaidimą, kuris bus parašytas toliau.
Kas yra atvirkštinė matrica
Kadangi matricos dauginimas yra labai daug laiko reikalaujanti operacija (reikia padauginti daugybę eilučių ir stulpelių), atvirkštinės matricos sąvoka taip pat nėra pati trivialiausia. Ir tam reikia paaiškinimo.
Rakto apibrėžimas
Na, laikas sužinoti tiesą.
Apibrėžimas. Matrica $B$ vadinama atvirkštine matricos $A$, jei
Atvirkštinė matrica žymima $((A)^(-1))$ (nepainioti su laipsniu!), todėl apibrėžimą galima perrašyti taip:
Atrodytų, viskas labai paprasta ir aišku. Tačiau analizuojant tokį apibrėžimą iš karto kyla keli klausimai:
- Ar atvirkštinė matrica visada egzistuoja? Ir jei ne visada, tai kaip nustatyti: kada jis egzistuoja, o kada ne?
- Ir kas sakė, kad tokia matrica yra būtent viena? O jei kokiai nors originaliai matricai $A$ yra visa minia atvirkštinių?
- Kaip atrodo visi šie „atvirkščiai“? Ir kaip jūs iš tikrųjų juos suskaičiuojate?
Kalbant apie skaičiavimo algoritmus - apie tai kalbėsime šiek tiek vėliau. Tačiau į kitus klausimus atsakysime dabar. Išdėstykime juos atskirų teiginių-lemų pavidalu.
Pagrindinės savybės
Pradėkime nuo to, kaip turėtų atrodyti matrica $A$, kad joje būtų $((A)^(-1))$. Dabar įsitikinsime, kad abi šios matricos turi būti kvadratinės ir vienodo dydžio: $\left[ n\times n \right]$.
1 lema. Duota matrica $A$ ir jos atvirkštinė $((A)^(-1))$. Tada abi šios matricos yra kvadratinės ir turi tą pačią tvarką $n$.
Įrodymas. Viskas paprasta. Tegul matrica $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Kadangi produktas $A\cdot ((A)^(-1))=E$ egzistuoja pagal apibrėžimą, matricos $A$ ir $((A)^(-1))$ yra nuoseklios tokia tvarka:
\[\begin (lygiuoti) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( lygiuoti)\]
Tai tiesioginė matricos daugybos algoritmo pasekmė: koeficientai $n$ ir $a$ yra „tranzitiniai“ ir turi būti lygūs.
Tuo pačiu apibrėžiamas ir atvirkštinis daugyba: $((A)^(-1))\cdot A=E$, taigi matricos $((A)^(-1))$ ir $A$ yra taip pat dera tokia tvarka:
\[\begin (lygiuoti) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( lygiuoti)\]
Taigi, neprarasdami bendrumo, galime daryti prielaidą, kad $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Tačiau pagal $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ apibrėžimą, todėl matricų matmenys yra visiškai vienodi:
\[\begin (lygiuoti) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end (lygiuoti)\]
Taigi paaiškėja, kad visos trys matricos – $A$, $((A)^(-1))$ ir $E$ – yra kvadrato dydžio $\left[ n\times n \right]$. Lema įrodyta.
Na, tai jau gerai. Matome, kad apverčiamos tik kvadratinės matricos. Dabar įsitikinkime, kad atvirkštinė matrica visada yra tokia pati.
2 lema. Duota matrica $A$ ir jos atvirkštinė $((A)^(-1))$. Tada ši atvirkštinė matrica yra unikali.
Įrodymas. Pradėkime nuo priešingos pusės: tegul matricoje $A$ yra bent du atvirkštiniai atvejai – $B$ ir $C$. Tada pagal apibrėžimą yra teisingos šios lygybės:
\[\begin(lygiuoti) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(lygiuoti)\]
Iš 1 lemos darome išvadą, kad visos keturios matricos $A$, $B$, $C$ ir $E$ yra tos pačios eilės kvadratai: $\left[ n\times n \right]$. Todėl produktas apibrėžiamas:
Kadangi matricos daugyba yra asociatyvi (bet ne komutacinė!), galime rašyti:
\[\begin(lygiuoti) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rodyklė dešinėn B=C. \\ \end(lygiuoti)\]
Gavome vienintelį įmanomą variantą: dvi atvirkštinės matricos kopijos yra lygios. Lema įrodyta.
Aukščiau pateiktas samprotavimas beveik pažodžiui pakartoja atvirkštinio elemento unikalumo įrodymą visiems realiesiems skaičiams $b\ne 0$. Vienintelis reikšmingas papildymas yra matricų matmenų įvertinimas.
Tačiau mes vis dar nieko nežinome, ar kokia nors kvadratinė matrica yra apverčiama. Čia mums į pagalbą ateina determinantas – tai pagrindinė visų kvadratinių matricų charakteristika.
3 lema. Duota matrica $A$. Jei egzistuoja atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$, tada pradinės matricos determinantas yra nulis:
\[\left| A \right|\ne 0\]
Įrodymas. Jau žinome, kad $A$ ir $((A)^(-1))$ yra $\left[ n\times n \right]$ dydžio kvadratinės matricos. Todėl kiekvienam iš jų galima apskaičiuoti determinantą: $\left| A \right|$ ir $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Tačiau sandaugos determinantas yra lygus determinantų sandaugai:
\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]
Bet pagal $A\cdot ((A)^(-1))=E$ apibrėžimą, o $E$ determinantas visada yra lygus 1, taigi
\[\begin(lygiuoti) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(lygiuoti)\]
Dviejų skaičių sandauga yra lygi vienetui, tik jei kiekvienas iš šių skaičių skiriasi nuo nulio:
\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
Taigi paaiškėja, kad $\left| A \right|\ne 0$. Lema įrodyta.
Tiesą sakant, šis reikalavimas yra gana logiškas. Dabar išanalizuosime atvirkštinės matricos paieškos algoritmą – ir bus visiškai aišku, kodėl iš esmės negali egzistuoti atvirkštinė matrica su nuliniu determinantu.
Bet pirmiausia suformuluokime „pagalbinį“ apibrėžimą:
Apibrėžimas. Degeneruota matrica yra kvadratinė matrica, kurios dydis yra $\left[ n\times n \right]$, kurios determinantas yra nulis.
Taigi galime teigti, kad bet kuri apverčiama matrica yra neišsigimusi.
Kaip rasti atvirkštinę matricą
Dabar apsvarstysime universalų atvirkštinių matricų paieškos algoritmą. Apskritai yra du visuotinai pripažinti algoritmai, šiandien mes taip pat apsvarstysime antrąjį.
Matrica, kuri bus svarstoma dabar, yra labai efektyvi matricoms, kurių dydis yra $\left[ 2\time 2 \right]$ ir, iš dalies, yra $\left[ 3\time 3 \right]$. Bet pradedant nuo dydžio $\left[ 4\time 4 \right]$, geriau jo nenaudoti. Kodėl – dabar jūs viską suprasite.
Algebriniai priedai
Pasiruošk. Dabar bus skausmas. Ne, nesijaudink: graži seselė su sijonu, kojinėmis su nėriniais neateina pas tave ir nesuleis tau į sėdmenį. Viskas daug proziškiau: pas jus ateina algebriniai papildymai ir Jos Didenybė „Sąjungos matrica“.
Pradėkime nuo pagrindinio. Tegu yra $A=\left[ n\times n \right]$ dydžio kvadratinė matrica, kurios elementai pavadinti $((a)_(ij))$. Tada kiekvienam tokiam elementui galima apibrėžti algebrinį papildinį:
Apibrėžimas. Matricos $A=\left elemento $((a)_(ij))$ algebrinis papildinys $((A)_(ij))$ $i$-oje eilutėje ir $j$-oje stulpelyje [ n \times n \right]$ yra formos konstrukcija
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Kur $M_(ij)^(*)$ yra matricos, gautos iš pradinio $A$, išbraukus tą pačią $i$-ąją eilutę ir $j$-ąją stulpelį, determinantas.
Vėlgi. Matricos elemento algebrinis papildymas koordinatėmis $\left(i;j \right)$ žymimas $((A)_(ij))$ ir apskaičiuojamas pagal schemą:
- Pirmiausia iš pradinės matricos ištriname $i$ eilutę ir $j$-tą stulpelį. Gauname naują kvadratinę matricą ir jos determinantą pažymime kaip $M_(ij)^(*)$.
- Tada padauginame šį determinantą iš $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - iš pradžių ši išraiška gali atrodyti pribloškianti, bet iš tikrųjų mes tiesiog išsiaiškiname ženklą prieš $ M_(ij)^(*) $.
- Skaičiuojame – gauname konkretų skaičių. Tie. algebrinis sudėjimas yra tik skaičius, o ne kokia nors nauja matrica ir pan.
Pati matrica $M_(ij)^(*)$ vadinama elemento $((a)_(ij))$ komplementaria minora. Ir šia prasme aukščiau pateiktas algebrinio papildinio apibrėžimas yra ypatingas sudėtingesnio apibrėžimo atvejis – to, kurį nagrinėjome pamokoje apie determinantą.
Svarbi pastaba. Tiesą sakant, „suaugusiųjų“ matematikoje algebriniai priedai apibrėžiami taip:
- Kvadratinėje matricoje paimame $k$ eilutes ir $k$ stulpelius. Jų sankirtoje gauname $\left[ k\times k \right]$ dydžio matricą – jos determinantas vadinamas $k$ eilės mažuoju ir žymimas $((M)_(k))$.
- Tada išbraukiame šias „pasirinktas“ $k$ eilutes ir $k$ stulpelius. Vėlgi, gauname kvadratinę matricą – jos determinantas vadinamas komplementariuoju minoru ir žymimas $M_(k)^(*)$.
- Padauginkite $M_(k)^(*)$ iš $((\left(-1 \right)))^(t))$, kur $t$ yra (dėmesio dabar!) visų pasirinktų eilučių skaičių suma ir stulpeliai . Tai bus algebrinis papildymas.
Pažvelkite į trečiąjį žingsnį: iš tikrųjų yra 2 000 USD terminų suma! Kitas dalykas, kad $k=1$ gauname tik 2 terminus - tai bus tie patys $i+j$ - elemento $((a)_(ij))$ "koordinatės", kuriai mes esame ieško algebrinio papildinio.
Taigi šiandien naudojame šiek tiek supaprastintą apibrėžimą. Bet kaip matysime vėliau, to bus daugiau nei pakankamai. Daug svarbiau yra tai:
Apibrėžimas. Jungties matrica $S$ į kvadratinę matricą $A=\left[ n\times n \right]$ yra nauja $\left[ n\times n \right]$ dydžio matrica, gaunama iš $A$ pakeičiant $(( a)_(ij))$ algebriniais papildiniais $((A)_(ij))$:
\\Rodyklė dešinėn S=\left[ \begin(matrica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\pabaiga (matrica) \right]\]
Pirmoji mintis, kylanti suvokus šį apibrėžimą, yra „šitai kiek tu turi suskaičiuoti iš viso! Atsipalaiduokite: reikia skaičiuoti, bet ne tiek daug. :)
Na, visa tai labai gražu, bet kam to reikia? Bet kodėl.
Pagrindinė teorema
Grįžkime šiek tiek atgal. Atminkite, kad 3 lema teigė, kad apverčiama matrica $A$ visada yra ne vienaskaita (ty jos determinantas yra ne nulis: $\left| A \right|\ne 0$).
Taigi, tiesa ir atvirkščiai: jei matrica $A$ nėra išsigimusi, tai ji visada yra apverčiama. Ir netgi yra paieškos schema $((A)^(-1))$. Pasižiūrėk:
Atvirkštinės matricos teorema. Tegu duota kvadratinė matrica $A=\left[ n\times n \right]$, o jos determinantas nėra nulis: $\left| A \right|\ne 0$. Tada egzistuoja atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$ ir apskaičiuojama pagal formulę:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
O dabar – viskas taip pat, bet įskaitoma rašysena. Norėdami rasti atvirkštinę matricą, jums reikia:
- Apskaičiuokite determinantą $\left| A \right|$ ir įsitikinkite, kad jis nėra nulis.
- Sudarykite sąjungos matricą $S$, t.y. suskaičiuokite 100500 algebrinių priedų $((A)_(ij))$ ir įdėkite juos į vietą $((a)_(ij))$.
- Transponuokite šią matricą $S$ ir padauginkite iš kažkokio skaičiaus $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.
Štai ir viskas! Rasta atvirkštinė matrica $((A)^(-1))$. Pažiūrėkime į pavyzdžius:
\[\left[ \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right]\]
Sprendimas. Patikrinkime grįžtamumą. Apskaičiuokime determinantą:
\[\left| A \right|=\left| \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Determinantas skiriasi nuo nulio. Taigi matrica yra apverčiama. Sukurkime sąjungos matricą:
Apskaičiuokime algebrinius priedus:
\[\begin(lygiuoti) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\dešinė|=3. \\ \end(lygiuoti)\]
Atkreipkite dėmesį: determinantus |2|, |5|, |1| ir |3| yra $\left[ 1\times 1 \right]$ dydžio matricų determinantai, o ne moduliai. Tie. jei determinantuose buvo neigiami skaičiai, „minuso“ pašalinti nebūtina.
Iš viso mūsų sąjungos matrica atrodo taip:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(masyvas) \right])^(T))=\left[ \begin (masyvas)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(masyvas) \right]\]
Viskas. Problema išspręsta.
Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(masyvas) \right]$
Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:
\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right] \]
Sprendimas. Vėlgi, mes atsižvelgiame į lemiamą veiksnį:
\[\begin(lygiuoti) & \left| \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right|=\begin(matrica) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrica)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(lygiuoti)\]
Determinantas skiriasi nuo nulio - matrica yra apverčiama. Bet dabar jis bus pats skardiausias: reikia suskaičiuoti net 9 (devynis, po velnių!) algebrinius priedus. Ir kiekviename iš jų bus $\left[ 2\times 2 \right]$ kvalifikatorius. Skraidė:
\[\begin(matrica) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrica) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrica) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrica) \right|=2; \\ \end(matrica)\]
Trumpai tariant, sąjungos matrica atrodys taip:
Taigi atvirkštinė matrica bus tokia:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\pabaiga(matrica) \right]=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(masyvas) \right]\]
Na, tai viskas. Štai atsakymas.
Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(masyvas) \right ]$
Kaip matote, kiekvieno pavyzdžio pabaigoje atlikome patikrinimą. Šiuo atžvilgiu svarbi pastaba:
Nepatingėkite patikrinti. Padauginkite pradinę matricą iš rastos atvirkštinės vertės – turėtumėte gauti $E$.
Daug lengviau ir greičiau atlikti šį patikrinimą, nei ieškoti klaidos tolimesniuose skaičiavimuose, kai, pavyzdžiui, sprendžiate matricinę lygtį.
Alternatyvus būdas
Kaip jau sakiau, atvirkštinės matricos teorema puikiai tinka dydžiams $\left[ 2\time 2 \right]$ ir $\left[ 3\times 3 \right]$ (pastaruoju atveju tai nėra tokia „puiku“). daugiau).“), tačiau didelėms matricoms prasideda liūdesys.
Tačiau nesijaudinkite: yra alternatyvus algoritmas, kurį galima naudoti norint ramiai rasti atvirkštinę vertę net ir $\left[ 10\times 10 \right]$ matricai. Tačiau, kaip dažnai būna, norint apsvarstyti šį algoritmą, mums reikia šiek tiek teorinio pagrindo.
Elementariosios transformacijos
Tarp įvairių matricos transformacijų yra keletas ypatingų – jos vadinamos elementariomis. Yra tiksliai trys tokios transformacijos:
- Daugyba. Galite paimti $i$-ąją eilutę (stulpelį) ir padauginti ją iš bet kurio skaičiaus $k\ne 0$;
- Papildymas. Prie $i$-os eilutės (stulpelio) pridėkite bet kurią kitą $j$-ąją eilutę (stulpelį), padaugintą iš bet kurio skaičiaus $k\ne 0$ (žinoma, $k=0$ taip pat galima, bet kokia prasmė Tačiau niekas nepasikeis).
- Permutacija. Paimkite $i$-ąją ir $j$-ąją eilutes (stulpelius) ir pakeiskite jas.
Kodėl šios transformacijos vadinamos elementariomis (didelėse matricose jos neatrodo tokios elementarios) ir kodėl jų yra tik trys – šie klausimai nepatenka į šios dienos pamokos sritį. Todėl į detales nesileisime.
Kitas dalykas yra svarbus: mes turime atlikti visus šiuos iškrypimus susijusioje matricoje. Taip, taip, jūs išgirdote teisingai. Dabar bus dar vienas apibrėžimas – paskutinis šios dienos pamokoje.
Pridedama Matrica
Žinoma, mokykloje jūs sprendėte lygčių sistemas pridėjimo metodu. Na, iš vienos eilutės atimkite kitą, padauginkite kurią nors eilutę iš skaičiaus – tiek.
Taigi: dabar viskas bus taip pat, bet jau „suaugusiųjų būdu“. Pasiruošę?
Apibrėžimas. Tegu pateikta matrica $A=\left[ n\times n \right]$ ir tapatumo matrica $E$ tokio pat dydžio $n$. Tada susijusi matrica $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$ yra nauja $\left[ n\times 2n \right]$ matrica, kuri atrodo taip:
\[\left[ A\left| E\dešinė. \right]=\left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(masyvas) \right]\]
Trumpai tariant, paimame matricą $A$, dešinėje jai priskiriame reikiamo dydžio tapatybės matricą $E$, jas atskiriame vertikalia juostele dėl grožio - štai ir prisegėte. :)
Koks laimikis? Ir štai kas:
Teorema. Tegul matrica $A$ yra apverčiama. Apsvarstykite adjunktinę matricą $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$. Jei naudojate elementariosios stygų transformacijos perkelkite jį į formą $\left[ E\left| B\right. \right]$, t.y. padauginus, atimant ir pertvarkant eilutes, kad iš $A$ gautumėte matricą $E$ dešinėje, tada kairėje gauta matrica $B$ yra atvirkštinė $A$:
\[\left[ A\left| E\dešinė. \dešinėn]\į \kairę[ E\kairė| B\right. \right]\RightArrow B=((A)^(-1))\]
Tai taip paprasta! Trumpai tariant, atvirkštinės matricos paieškos algoritmas atrodo taip:
- Parašykite susietą matricą $\left[ A\left| E\dešinė. \right]$;
- Atlikite elementarius eilutės konvertavimus, kol dešinėje vietoje $A$ pasirodys $E$;
- Žinoma, kažkas atsiras ir kairėje – tam tikra matrica $B$. Tai bus atvirkščiai;
- PELNAS! :)
Žinoma, daug lengviau pasakyti nei padaryti. Taigi pažvelkime į kelis pavyzdžius: dydžiams $\left[ 3\time 3 \right]$ ir $\left[ 4\time 4 \right]$.
Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:
\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\ ]
Sprendimas. Mes sudarome pridedamą matricą:
\[\left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 ir 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]
Kadangi paskutinis pradinės matricos stulpelis užpildytas vienetais, pirmąją eilutę atimkite iš likusios:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \į \kairę [ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right] \\ \end (lygiuoti)\]
Daugiau vienetų nėra, išskyrus pirmąją eilutę. Bet mes jo neliečiame, kitaip naujai pašalinti vienetai pradės „daugintis“ trečiame stulpelyje.
Tačiau antrąją eilutę galime atimti du kartus iš paskutinės - apatiniame kairiajame kampe gauname vienetą:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\begin (matrica) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \left [ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right] \\ \end (lygiuoti)\]
Dabar galime atimti paskutinę eilutę iš pirmosios ir du kartus iš antrosios - tokiu būdu pirmąjį stulpelį „nuliuosime“:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\į \\ & \ į \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Antrąją eilutę padauginkite iš –1, tada iš pirmosios atimkite 6 kartus ir prie paskutinės pridėkite 1 kartą:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(masyvas) \right]\begin(matrica) -6 \\ \rodyklė aukštyn žemyn \\ +1 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Belieka tik sukeisti 1 ir 3 eilutes:
\[\left[ \begin(masyvas)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 ir 32 ir -13 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]
Pasiruošę! Dešinėje yra reikiama atvirkštinė matrica.
Atsakymas. $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(masyvas) \right ]$
Užduotis. Raskite atvirkštinę matricą:
\[\left[ \begin(matrica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\pabaiga (matrica) \right]\]
Sprendimas. Dar kartą sudarome pridedamą:
\[\left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right]\]
Truputį pasiskolinkime, susirūpinkime, kiek dabar turime suskaičiuoti... ir pradėkime skaičiuoti. Pirmiausia pirmąjį stulpelį „nuliuojame“ iš 2 ir 3 eilučių atimdami 1 eilutę:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\pabaiga(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin (masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Per daug „minusų“ pastebime 2-4 eilutėse. Visas tris eilutes padauginkite iš –1, o trečiąjį stulpelį išdeginkite iš likusios 3 eilutę:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(masyvas) \right]\begin(matrica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \pabaiga (masyvas) \right]\begin (matrica) -2 \\ -1 \\ \rodyklė aukštyn žemyn \\ -2 \\\pabaiga (matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin (masyvas)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Dabar atėjo laikas „kepti“ paskutinį pradinės matricos stulpelį: atimkite 4 eilutę iš likusios:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas ) \right]\begin(matrica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \to \left[ \begin (masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Galutinis ritinys: „sudeginkite“ antrąjį stulpelį, atimdami 2 eilutę iš 1 ir 3:
\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end( masyvas) \right]\begin(matrica) 6 \\ \rodyklė aukštyn žemyn \\ -5 \\ \ \\\pabaiga(matrica)\į \\ & \į \kairę[ \begin(masyvas)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(masyvas) \right] \\ \end(lygiuoti)\]
Ir vėl tapatybės matrica kairėje, taigi atvirkštinė dešinėje. :)
Atsakymas. $\left[ \begin(matrica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\pabaiga (matrica) \right]$
Mes ir toliau kalbame apie veiksmus su matricomis. Būtent, studijuodami šią paskaitą, išmoksite rasti atvirkštinę matricą. Mokytis. Net jei matematika įtempta.
Kas yra atvirkštinė matrica? Čia galime padaryti analogiją su reciprokais: panagrinėkime, pavyzdžiui, optimistinį skaičių 5 ir jo abipusį skaičių. Šių skaičių sandauga lygi vienetui: . Tas pats ir su matricomis! Matricos sandauga ir jos atvirkštinė sandauga yra tapatybės matrica, kuris yra skaitinio vieneto matricinis analogas. Tačiau pirmiausia išspręsime svarbų praktinį klausimą, būtent, išmoksime rasti šią labai atvirkštinę matricą.
Ką reikia žinoti ir mokėti rasti atvirkštinę matricą? Turite mokėti apsispręsti determinantai. Jūs turite suprasti, kas yra matrica ir sugebėti su jais atlikti kai kuriuos veiksmus.
Yra du pagrindiniai atvirkštinės matricos radimo būdai:
per algebriniai priedai ir naudojant elementarias transformacijas.
Šiandien mes išnagrinėsime pirmąjį, lengvesnį būdą.
Pradėkime nuo pačių baisiausių ir nesuprantamų dalykų. Apsvarstykite kvadratas matrica . Atvirkštinę matricą galima rasti naudojant šią formulę:
Kur yra matricos determinantas, yra atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų transponuota matrica.
Atvirkštinės matricos sąvoka egzistuoja tik kvadratinėms matricoms, matricos „du po du“, „trys iš trijų“ ir kt.
Žymėjimas: Kaip tikriausiai jau pastebėjote, matricos atvirkštinė vertė žymima viršutiniu indeksu
Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – matricos du po du. Dažniausiai, žinoma, reikia „trys iš trijų“, tačiau, nepaisant to, primygtinai rekomenduoju išstudijuoti paprastesnę užduotį, kad sužinotumėte bendrą sprendimo principą.
Pavyzdys:
Raskite atvirkštinę matricos vertę
Mes nusprendžiame. Veiksmų seka patogiai išskaidoma į taškus.
1) Pirmiausia randame matricos determinantą.
Jei šio veiksmo supratimas nėra geras, perskaitykite medžiagą Kaip apskaičiuoti determinantą?
Svarbu! Jei matricos determinantas yra NULIS– atvirkštinė matrica NEEGZISTUOJA.
Nagrinėjamame pavyzdyje, kaip paaiškėjo, , o tai reiškia, kad viskas tvarkoje.
2) Raskite nepilnamečių matricą.
Norint išspręsti mūsų problemą, nebūtina žinoti, kas yra nepilnametis, tačiau patartina perskaityti straipsnį Kaip apskaičiuoti determinantą.
Nepilnamečių matrica turi tokius pačius matmenis kaip matrica , tai yra šiuo atveju .
Korpusas mažas, belieka surasti keturis skaičius ir įdėti juos vietoj žvaigždučių.
Grįžkime prie mūsų matricos
Pirmiausia pažiūrėkime į viršutinį kairįjį elementą:
Kaip jį rasti nepilnametis?
Ir tai daroma taip: PROTINIAI perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra šis elementas:
Likęs skaičius yra duoto elemento minoras, kurią rašome savo nepilnamečių matricoje:
Apsvarstykite šį matricos elementą:
Protiškai perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra šis elementas:
Lieka šio elemento minorinė dalis, kurią įrašome į savo matricą:
Panašiai atsižvelgiame į antrosios eilės elementus ir randame jų nepilnamečius:
Paruošta.
Tai paprasta. Nepilnamečių matricoje jums reikia PAKEISTI ŽENKLUS dviem skaičiams:
Būtent šiuos skaičius aš ir apbraukiau ratu!
yra atitinkamų matricos elementų algebrinių papildinių matrica .
Ir tik kažkas…
4) Raskite perkeltą algebrinių priedų matricą.
yra atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų transponuota matrica .
5) Atsakymas.
Prisiminkite mūsų formulę
Viskas rasta!
Taigi atvirkštinė matrica yra tokia: 
Geriausia palikti atsakymą tokį, koks yra. NEREIKALINGA Padalinkite kiekvieną matricos elementą iš 2, nes bus gauti trupmeniniai skaičiai. Šis niuansas išsamiau aptariamas tame pačiame straipsnyje. Veiksmai su matricomis.
Kaip patikrinti sprendimą?
Taip pat turi būti atliktas matricos dauginimas
Egzaminas: 
jau minėta tapatybės matrica yra matrica su įjungtais vienetais pagrindinė įstrižainė o kitur nuliai.
Taigi atvirkštinė matrica randama teisingai.
Jei atliksite veiksmą, rezultatas taip pat bus tapatybės matrica. Tai vienas iš nedaugelio atvejų, kai matricos daugyba yra keičiama, daugiau informacijos rasite straipsnyje Veiksmų su matricomis savybės. Matricos išraiškos. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tikrinimo metu konstanta (trupmena) pakeliama į priekį ir apdorojama pačioje pabaigoje – po matricos daugybos. Tai yra standartinis variantas.
Pereikime prie praktikoje įprastesnio atvejo – matricos „trys iš trijų“:
Pavyzdys:
Raskite atvirkštinę matricos vertę 
Algoritmas yra lygiai toks pat kaip ir du kartus du atveju.
Atvirkštinę matricą randame pagal formulę: , kur yra atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų transponuota matrica .
1) Raskite matricos determinantą.
Čia atskleidžiamas determinantas pirmoje eilutėje.
Taip pat nepamirškite to, o tai reiškia, kad viskas gerai - atvirkštinė matrica egzistuoja.
2) Raskite nepilnamečių matricą.
Nepilnamečių matrica turi matmenis „trys iš trijų“ 
, ir turime rasti devynis skaičius.
Išsamiai apžvelgsiu porą nepilnamečių:
Apsvarstykite šį matricos elementą: 
PROTINIAI perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra šis elementas: 
Likę keturi skaičiai rašomi determinante „du po du“ 
Šis du po dviejų determinantas ir yra nurodyto elemento minoras. Jį reikia apskaičiuoti: 
Viskas, nepilnametis rastas, įrašome į savo nepilnamečių matricą: 
Kaip jau turbūt atspėjote, reikia apskaičiuoti devynis du po du determinantus. Procesas, žinoma, nuobodus, bet atvejis nėra pats sunkiausias, gali būti ir blogesnis.
Na, o konsoliduoti - nuotraukose radus kitą nepilnametį: 
Likusius nepilnamečius pabandykite apskaičiuoti patys.
Galutinis rezultatas: 
yra atitinkamų matricos elementų nepilnamečių matrica .
Tai, kad visi nepilnamečiai pasirodė neigiami, yra grynas atsitiktinumas.
3) Raskite algebrinių priedų matricą.
Nepilnamečių matricoje tai būtina PAKEISTI ŽENKLUS griežtai šiems elementams: 
Tokiu atveju:
Atvirkštinės matricos radimas „keturi iš keturių“ matricai nesvarstomas, nes tokią užduotį gali duoti tik sadistas mokytojas (mokiniui apskaičiuoti vieną „keturi iš keturių“ determinantą ir 16 determinantų „trys iš trijų“) . Mano praktikoje toks atvejis buvo tik vienas, o testo užsakovas už mano kančias sumokėjo gana brangiai =).
Daugelyje vadovėlių, vadovų galite rasti šiek tiek kitokį požiūrį į atvirkštinės matricos radimą, tačiau aš rekomenduoju naudoti aukščiau pateiktą sprendimo algoritmą. Kodėl? Nes tikimybė susipainioti skaičiavimuose ir ženkluose daug mažesnė.
Paprastai atvirkštinės operacijos naudojamos sudėtingoms algebrinėms išraiškoms supaprastinti. Pavyzdžiui, jei užduotyje yra dalybos iš trupmenos operacija, galite ją pakeisti daugybos iš atsakomojo skaičiaus operacija, kuri yra atvirkštinė operacija. Be to, matricos negalima padalyti, todėl reikia padauginti iš atvirkštinės matricos. Apskaičiuoti atvirkštinę 3x3 matricos vertę yra gana nuobodu, tačiau jūs turite tai padaryti rankiniu būdu. Taip pat galite rasti abipusį koeficientą naudodami gerą grafinį skaičiuotuvą.
Žingsniai
Naudojant pridedamą matricą
Perkelkite pradinę matricą. Perkėlimas yra eilučių pakeitimas stulpeliais pagrindinės matricos įstrižainės atžvilgiu, tai yra, reikia sukeisti elementus (i, j) ir (j, i). Šiuo atveju pagrindinės įstrižainės elementai (prasideda viršutiniame kairiajame kampe ir baigiasi apatiniame dešiniajame kampe) nesikeičia.
- Norėdami sukeisti eilutes į stulpelius, pirmame stulpelyje parašykite pirmosios eilutės elementus, antrame stulpelyje - antros eilutės elementus, o trečiame stulpelyje - trečios eilutės elementus. Elementų padėties keitimo tvarka parodyta paveikslėlyje, kuriame atitinkami elementai apibraukti spalvotais apskritimais.
Raskite kiekvienos 2x2 matricos apibrėžimą. Kiekvienas bet kurios matricos elementas, įskaitant perkeltą, yra susietas su atitinkama 2x2 matrica. Norėdami rasti 2x2 matricą, atitinkančią tam tikrą elementą, perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra šis elementas, tai yra, turite išbraukti penkis pradinės 3x3 matricos elementus. Keturi elementai, kurie yra atitinkamos 2x2 matricos elementai, liks neperbraukti.
- Pavyzdžiui, norėdami rasti 2x2 matricą elementui, esančiam antros eilutės ir pirmojo stulpelio sankirtoje, išbraukite penkis elementus, esančius antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje. Likę keturi elementai yra atitinkamos 2x2 matricos elementai.
- Raskite kiekvienos 2x2 matricos determinantą. Norėdami tai padaryti, iš pagrindinės įstrižainės elementų sandaugos atimkite antrinės įstrižainės elementų sandaugą (žr. pav.).
- Išsamią informaciją apie 2x2 matricas, atitinkančias tam tikrus 3x3 matricos elementus, galima rasti internete.
Sukurkite kofaktorių matricą.Įrašykite anksčiau gautus rezultatus į naują kofaktorių matricą. Norėdami tai padaryti, parašykite rastą kiekvienos 2x2 matricos determinantą, kur buvo atitinkamas 3x3 matricos elementas. Pavyzdžiui, jei elementui (1,1) laikoma 2x2 matrica, užrašykite jos determinantą (1,1) padėtyje. Tada pakeiskite atitinkamų elementų ženklus pagal tam tikrą modelį, kuris parodytas paveikslėlyje.
- Ženklo keitimo schema: pirmos eilutės pirmojo elemento ženklas nesikeičia; pirmosios eilutės antrojo elemento ženklas yra apverstas; pirmos eilutės trečiojo elemento ženklas nesikeičia ir taip eilutė po eilutės. Atkreipkite dėmesį, kad schemoje pavaizduoti ženklai „+“ ir „-“ (žr. pav.) nerodo, kad atitinkamas elementas bus teigiamas ar neigiamas. Šiuo atveju „+“ ženklas rodo, kad elemento ženklas nesikeičia, o „-“ ženklas rodo, kad elemento ženklas pasikeitė.
- Išsamią informaciją apie kofaktorių matricas galima rasti internete.
- Taip rasite susietą pradinės matricos matricą. Kartais ji vadinama kompleksine konjuguota matrica. Tokia matrica žymima kaip adj(M).
Kiekvieną adjungtinės matricos elementą padalinkite iš determinanto. Matricos M determinantas buvo apskaičiuotas pačioje pradžioje, siekiant patikrinti, ar atvirkštinė matrica egzistuoja. Dabar padalykite kiekvieną jungtinės matricos elementą šiuo determinantu. Užrašykite kiekvienos padalijimo operacijos, kurioje yra atitinkamas elementas, rezultatą. Taigi jūs rasite matricą, atvirkštinę originalo.
- Paveiksle parodytos matricos determinantas yra 1. Taigi čia susietoji matrica yra atvirkštinė (nes bet kurį skaičių padalijus iš 1 jis nekeičia).
- Kai kuriuose šaltiniuose dalybos operacija pakeičiama daugybos operacija iš 1/det(M). Tokiu atveju galutinis rezultatas nesikeičia.
Užrašykite atvirkštinę matricą. Elementus, esančius dešinėje didelės matricos pusėje, parašykite kaip atskirą matricą, kuri yra atvirkštinė matrica.
Įveskite originalią matricą į skaičiuotuvo atmintį. Norėdami tai padaryti, spustelėkite mygtuką Matrica, jei yra. „Texas Instruments“ skaičiuoklei gali tekti paspausti 2 ir Matrix mygtukus.
Pasirinkite meniu Redaguoti. Atlikite tai naudodami rodyklių mygtukus arba atitinkamą funkcijos mygtuką, esantį skaičiuotuvo klaviatūros viršuje (mygtuko vieta priklauso nuo skaičiuotuvo modelio).
Įveskite matricos pavadinimą. Dauguma grafinių skaičiuotuvų gali dirbti su 3-10 matricų, kurios gali būti žymimos raidėmis A-J. Paprastai tiesiog pasirinkite [A], kad žymėtumėte pradinę matricą. Tada paspauskite Enter mygtuką.
Įveskite matricos dydį.Šiame straipsnyje kalbama apie 3x3 matricas. Tačiau grafiniai skaičiuotuvai gali dirbti su didelėmis matricomis. Įveskite eilučių skaičių, paspauskite Enter mygtuką, tada įveskite stulpelių skaičių ir dar kartą paspauskite Enter mygtuką.
Įveskite kiekvieną matricos elementą. Skaičiuotuvo ekrane bus rodoma matrica. Jei matrica jau buvo įvesta į skaičiuotuvą anksčiau, ji bus rodoma ekrane. Žymeklis paryškins pirmąjį matricos elementą. Įveskite pirmojo elemento reikšmę ir paspauskite Enter. Žymeklis automatiškai pereis prie kito matricos elemento.
Tebūnie n-osios eilės kvadratinė matrica
Matrica A -1 vadinama atvirkštinė matrica matricos A atžvilgiu, jei A * A -1 = E, kur E yra n-osios eilės tapatumo matrica.
Tapatybės matrica- tokia kvadratinė matrica, kurioje visi elementai išilgai pagrindinės įstrižainės, einantys iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį kampą, yra vienetai, o likusieji yra nuliai, pavyzdžiui:
atvirkštinė matrica gali egzistuoti tik kvadratinėms matricoms tie. toms matricoms, kuriose yra tiek pat eilučių ir stulpelių.
Atvirkštinės matricos egzistavimo sąlygos teorema
Kad matrica turėtų atvirkštinę matricą, būtina ir pakanka, kad ji būtų neišsigimusi.
Vadinama matrica A = (A1, A2,...A n). neišsigimęs jei stulpelių vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Tiesiškai nepriklausomų matricos stulpelių vektorių skaičius vadinamas matricos rangu. Todėl galime teigti, kad atvirkštinei matricai egzistuoti būtina ir pakanka, kad matricos rangas būtų lygus jos matmeniui, t.y. r = n.
Atvirkštinės matricos radimo algoritmas
- Lentelėje įrašykite matricą A lygčių sistemų sprendimui Gauso metodu ir dešinėje (vietoj dešiniųjų lygčių dalių) priskirkite jai matricą E.
- Naudodami Jordano transformacijas, perkelkite matricą A į matricą, susidedančią iš pavienių stulpelių; šiuo atveju būtina tuo pačiu metu transformuoti matricą E.
- Jei reikia, paskutinės lentelės eilutes (lygtis) pertvarkykite taip, kad tapatumo matrica E būtų gauta pagal pradinės lentelės matricą A.
- Parašykite atvirkštinę matricą A -1, kuri yra paskutinėje lentelėje po pradinės lentelės matrica E.
Matricai A raskite atvirkštinę matricą A -1
Sprendimas: Užrašome matricą A ir dešinėje priskiriame tapatybės matricą E. Naudodami Jordano transformacijas, matricą A redukuojame iki tapatybės matricos E. Skaičiavimai pateikti 31.1 lentelėje.
Skaičiavimų teisingumą patikrinkime pradinę matricą A ir atvirkštinę matricą A padauginę -1.
Dėl matricos dauginimo gaunama tapatybės matrica. Todėl skaičiavimai yra teisingi.
Atsakymas: 
Matricinių lygčių sprendimas
Matricos lygtys gali atrodyti taip:
AX = B, XA = B, AXB = C,
kur A, B, C yra pateiktos matricos, X yra norima matrica.
Matricinės lygtys sprendžiamos lygtį padauginus iš atvirkštinių matricų.
Pavyzdžiui, norėdami rasti matricą iš lygties, šią lygtį turite padauginti iš kairėje esančios.
Todėl norėdami rasti lygties sprendimą, turite rasti atvirkštinę matricą ir padauginti ją iš matricos, esančios dešinėje lygties pusėje.
Kitos lygtys sprendžiamos panašiai.
Išspręskite lygtį AX = B, jei 
Sprendimas: Kadangi matricos atvirkštinė vertė yra lygi (žr. 1 pavyzdį)
Matricos metodas ekonominėje analizėje
Kartu su kitais jie taip pat randa pritaikymą matricos metodai. Šie metodai yra pagrįsti tiesine ir vektorine matrica algebra. Tokie metodai naudojami sudėtingiems ir daugiamačiams ekonominiams reiškiniams analizuoti. Dažniausiai šie metodai taikomi, kai reikia palyginti organizacijų ir jų struktūrinių padalinių funkcionavimą.
Matricinių analizės metodų taikymo procese galima išskirti keletą etapų.
Pirmajame etape formuojama ekonominių rodiklių sistema ir jos pagrindu sudaroma pradinių duomenų matrica, kuri yra lentelė, kurios atskirose eilutėse rodomi sistemos numeriai (i = 1,2,....,n), o išilgai vertikalių grafikų – rodiklių skaičiai (j = 1,2,....m).
Antrame etape kiekvienam vertikaliam stulpeliui atskleidžiama didžiausia iš turimų rodiklių verčių, kuri laikoma vienetu.
Po to visos šioje skiltyje atsispindinčios sumos dalijamos iš didžiausios reikšmės ir susidaro standartizuotų koeficientų matrica.
Trečiajame etape visi matricos komponentai yra kvadratiniai. Jei jie turi skirtingą reikšmę, kiekvienam matricos rodikliui priskiriamas tam tikras svorio koeficientas k. Pastarojo vertę nustato ekspertas.
Ant paskutinio ketvirtasis etapas rastos reitingų reikšmės Rj sugrupuoti didėjimo arba mažėjimo tvarka.
Minėti matriciniai metodai turėtų būti naudojami, pavyzdžiui, atliekant įvairių investicinių projektų lyginamąją analizę, taip pat vertinant kitus organizacijų ūkinės veiklos rodiklius.
Apsvarstykite operacijos atvirkštinės matricos daugybos apibrėžimo problemą.
Tegu A yra n eilės kvadratinė matrica. Matrica A^(-1) , kuri kartu su duota matrica A tenkina šias lygybes:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
paskambino atvirkščiai. Matrica A vadinama grįžtamasis, jei yra atvirkštinė reikšmė, kitaip - negrįžtamas.
Iš apibrėžimo išplaukia, kad jei egzistuoja atvirkštinė matrica A^(-1), tada ji yra tos pačios eilės kvadratas kaip A . Tačiau ne kiekviena kvadratinė matrica turi atvirkštinę reikšmę. Jei matricos A determinantas yra lygus nuliui (\det(A)=0) , tada jai nėra atvirkštinės reikšmės. Iš tiesų, pritaikę teoremą tapatumo matricos E=A^(-1)A matricų sandaugos determinantui, gauname prieštaravimą
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
kadangi tapatumo matricos determinantas yra lygus 1. Pasirodo, kvadratinės matricos determinanto skirtumas nuo nulio yra vienintelė atvirkštinės matricos egzistavimo sąlyga. Prisiminkime, kad kvadratinė matrica, kurios determinantas lygus nuliui, vadinama išsigimusia (vienaskaita), kitu atveju – nevienskaita (nevienaskaita).
4.1 teorema apie atvirkštinės matricos egzistavimą ir unikalumą. kvadratinė matrica A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vtaškai&\dtaškai&\vtaškai\\ a_(n1)&\ctaškai&a_(nn) \end(pmatrica), kurio determinantas yra ne nulis, turi atvirkštinę matricą ir, be to, tik vieną:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vtaškai&\vtaškai&\dtaškai&\vtaškai\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
čia A^(+) yra matrica, transponuota matricai, sudarytai iš matricos A elementų algebrinių komplementų.
Matrica A^(+) vadinama pridedama matrica matricos A atžvilgiu.
Tikrai, matrica \frac(1)(\det(A))\,A^(+) egzistuoja su sąlyga \det(A)\ne0 . Turime parodyti, kad jis yra atvirkštinis A , t.y. atitinka dvi sąlygas:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(sulygiuotas)
Įrodykime pirmąją lygybę. Pagal 2.3 pastabų 4 punktą iš determinanto savybių išplaukia, kad AA^(+)=\det(A)\cdot E. Taigi
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
kuri turėjo būti parodyta. Antroji lygybė įrodyta panašiai. Todėl, esant sąlygai \det(A)\ne0, matrica A turi atvirkštinę reikšmę
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Atvirkštinės matricos unikalumą įrodome prieštaravimu. Tegu be matricos A^(-1) egzistuoja dar viena atvirkštinė matrica B\,(B\ne A^(-1)), kad AB=E . Abi šios lygybės kairėje puses padauginus iš matricos A^(-1) , gauname \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Taigi B=A^(-1) , o tai prieštarauja prielaidai B\ne A^(-1) . Todėl atvirkštinė matrica yra unikali.
Pastabos 4.1
1. Iš apibrėžimo matyti, kad matricos A ir A^(-1) yra keičiamos.
2. Matrica, atvirkštinė nedegeneruotai įstrižai, taip pat yra įstrižainė:
\Bigl[\operatoriausvardas(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatoriaus vardas(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.
3. Matrica, atvirkštinė nedegeneruotai apatinei (viršutinei) trikampei matricai, yra apatinė (viršutinė) trikampė.
4. Elementariosios matricos turi atvirkštines vertes, kurios taip pat yra elementarios (žr. 1.11 pastabų 1 punktą).
Atvirkštinės matricos savybės
Matricos inversijos operacija turi šias savybes:
\begin (lygiuotas)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \pabaiga (sulygiuota)
jei 1-4 lygybėse nurodyti veiksmai turi prasmę.
Įrodykime 2 savybę: jei tos pačios eilės vienaskaitos kvadratinių matricų sandauga AB turi atvirkštinę matricą, tai (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
Iš tiesų, matricų AB sandaugos determinantas nėra lygus nuliui, nes
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), kur \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Todėl atvirkštinė matrica (AB)^(-1) egzistuoja ir yra unikali. Pagal apibrėžimą parodykime, kad matrica B^(-1)A^(-1) yra atvirkštinė matricos AB atžvilgiu. Tikrai.