Отношение количества теплоты , полученного телом при бесконечно малом изменении его состояния, к связанному с этим изменению температуры тела , называется теплоемкостью тела в данном процессе:
Обычно теплоемкость относят к единице количества вещества и в зависимости от выбранной единицы различают:
удельную массовую теплоемкость c , отнесенную к 1 кг газа,
Дж/(кг·К);
удельную объемную теплоемкость c´ , отнесенную к количеству газа, содержащегося в 1 м 3 объема при нормальных физических условиях, Дж/(м 3 ·К);
удельную мольную теплоемкость , отнесенную к одному киломолю, Дж/(кмоль·К).
Зависимость между удельными теплоемкостями устанавливается очевидными соотношениями: ;
Здесь - плотность газа при нормальных условиях.
Изменение температуры тела при одном и том же количестве сообщаемой теплоты зависит от характера происходящего при этом процесса, поэтому теплоемкость является функцией процесса. Это означает, что одно и то же рабочее тело в зависимости от процесса требует для своего нагревания на 1 К различного количества теплоты. Численно величина с изменяется в пределах от +∞ до -∞.
В термодинамических расчетах большое значение имеют:
теплоемкость при постоянном давлении
равная отношению количества теплоты , сообщенной телу в процессе при постоянном давлении, к изменению температуры тела dT
теплоемкость при постоянном объеме
равная отношению количества теплоты , подведенной к телу в процессе при постоянном объеме, к изменению температуры тела .
В соответствии с первым законом термодинамики для закрытых систем, в которых протекают равновесные процессы , и
Для изохорного процесса (v =const) это уравнение принимает вид , и, учитывая (1.5), получаем, что
,
т. е. теплоемкость тела при постоянном объеме равна частной производной от его внутренней энергии по температуре и характеризует темп роста внутренней энергии в изохорном процессе с увеличением температуры.
Для идеального газа
Для изобарного процесса () из уравнения (2.16) и (2.14) получаем
Это уравнение показывает связь между теплоемкостями с р и сv . Для идеального газа оно значительно упрощается. Действительно, внутренняя энергия идеального газа определяется только его температурой и не зависит от объема, поэтому и, кроме того, из уравнения состояния следует , откуда
Это соотношение называется уравнением Майера и является одним из основных в технической термодинамике идеальных газов.
В процессе v =const теплота, сообщаемая газу, идет лишь на изменение его внутренней энергии, тогда как в процессе р = const теплота расходуется и на увеличение внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил. Поэтому с р больше сv на величину этой работы.
Для реальных газов, поскольку при их расширении (при p =const) совершается работа не только против внешних сил, но и против сил притяжения, действующих между молекулами, что вызывает дополнительный расход теплоты.
Обычно теплоемкости определяются экспериментально, но для многих веществ их можно рассчитать методами статистической физики.
Числовое значение теплоемкости идеального газа позволяет найти классическая теория теплоемкости, основанная на теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул. Согласно этой теореме внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна числу степеней свободы молекул и энергии kТ/2, приходящейся на одну степень свободы. Для 1 моля газа
,
где Nо - число Авогадро; i - число степеней свободы (число независимых координат, которые нужно задать для того, чтобы полностью определить положение молекулы в пространстве) .
Молекула одноатомного газа имеет три степени свободы соответственно трем составляющим в направлении координатных осей, на которые может быть разложено поступательное движение. Молекула двухатомного газа имеет пять степеней свободы, так как помимо поступательного движения она может вращаться около двух осей, перпендикулярных линии, соединяющей атомы (энергия вращения вокруг оси, соединяющей атомы, равна нулю, если атомы считать точками). Молекула трехатомного и вообще многоатомного газа имеет шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных.
Поскольку для идеального газа, то мольные теплоемкости одно-, двух- и многоатомных газов равны соответственно:
;; .
Результаты классической теории теплоемкости достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными в области комнатных температур (табл. 2.1), однако основной вывод о независимости от температуры эксперимент не подтверждает. Расхождения, особенно существенные в области низких и достаточно высоких температур, связаны с квантовым поведением молекул и находят объяснения в рамках квантовой теории теплоемкости.
Теплоемкость некоторых газов при t= 0°С в идеально-газовом состоянии
Где А – атомная масса; m ед - атомная единица массы; N А - число Авогадро; моль μ – количество вещества, в котором содержится число молекул, равное числу атомов в 12 г изотопа углерода 12 С.
Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы при нагревании.
Если газ нагревать при постоянном объёме , то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа, то есть изменение его внутренней энергии. Теплоёмкость при этом обозначается С V .
С Р – теплоемкость при постоянном давлении. Если нагревать газ при постоянном давлении Р в сосуде с поршнем, то поршень поднимется на некоторую высоту h , то есть газ совершит работу (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Следовательно, проводимое тепло затрачивается и на нагревание и на совершение работы. Отсюда ясно, что .
Итак, проводимое тепло и теплоёмкость зависят от того, каким путём осуществляется передача тепла. Значит, Q и С не являются функциями состояния.
Величины С Р и С V оказываются связанными простыми соотношениями. Найдём их.
Пусть мы нагреваем один моль идеального газа при постоянном объёме(dA = 0). Тогда первое начало термодинамики запишем в виде:
, | (4.2.3) |
Т.е. бесконечно малое приращение количества теплоты равно приращению внутренней энергии dU .
Теплоемкость при постоянном объёме будет равна:
Так как U может зависеть не только от температуры. Но в случае идеального газа справедлива формула (4.2.4).
Из (4.2.4) следует, что
, |
При изобарическом процессе, кроме увеличения внутренней энергии, происходит совершение работы газом:
. |
Цель работы : Изучение тепловых процессов в идеальном газе, ознакомление с методом Клемана-Дезорма и экспериментальное определение отношения молярных теплоемкостей воздуха при постоянном давлении и постоянном объеме.
Описание установки и метода изучения процесса
Внешний вид рабочей панели и принципиальная схема экспериментальной установки ФПТ1-6н представлена на рис. 8: 1 – включатель «СЕТЬ» для питания установки; 2 – включатель «Компрессор» для нагнетания воздуха в рабочий сосуд (емкость объемом V = 3500 см 3), расположенный в полости корпуса; 3 – кран К1, необходимый для предотвращения сброса давления из рабочего сосуда после остановки компрессора; 4 – пневмотумблер «Атмосфера», позволяющий на короткое время соединять рабочий сосуд с атмосферой; 5 – измеритель давления с помощью датчика давления в рабочем сосуде;
Рис. 8. Внешний вид рабочей панели
6 – двухканальный измеритель температуры, позволяющий измерить температуру внутри окружающей среды и температуру внутри рабочего сосуда.
Состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р , объемом V и температурой Т . Уравнение, устанавливающее связь между этими параметрами, называется уравнением состояния. Для идеальных газов таким уравнением является уравнение Клапейрона-Менделеева:
где m – масса газа; μ – молярная масса; R = 8,31 Дж/моль∙К – универсальная газовая постоянная.
Любое изменение состояния термодинамической системы, связанное с уменьшением или увеличением хотя бы одного из параметров р, V, Т, называется термодинамическим процессом.
Изопроцессы – это процессы, протекающие при одном постоянном параметре:
изобарический – при р = const ;
изохорический – при V = const ;
изотермический – при Т = const .
Адиабатический процесс совершается без теплообмена с окружающей средой, поэтому для его осуществления систему теплоизолируют или ведут процесс так быстро, чтобы теплообмен не успел произойти. При адиабатическом процессе изменяются все три параметра р , V , Т .
При адиабатическом сжатии идеального газа температура его повышается, а при расширении понижается. На рис. 9 в системе координат р и V изображены изотерма (рV = const ) и адиабата (рV γ = const ). Из рисунка видно, что адиабата проходит круче изотермы. Объясняется это тем, что при адиабатическом сжатии увеличение давления газа происходит не только из-за уменьшения его объема, как при изотермическом сжатии, но и за счет повышения температуры.
Рис. 9. рV = const; рV γ = const
Теплоемкостью вещества (тела) называется величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания его на один Кельвин. Она зависит от массы тела, его химического состава и вида процесса теплоты. Теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью С μ .
Согласно первому началу термодинамики количество теплоты dQ , сообщенное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии dU системы и совершение системой работы dA против внешних сил
dQ = dU + dA . (2)
Используя первое начало термодинамики (2) и уравнение Клапейрона-Менделеева (1), можно вывести уравнение, описывающее адиабатический процесс, – уравнение Пуассона
рV γ = const,
или в других параметрах:
TV γ -1 = const,
T γ p 1-γ = const.
В этих уравнениях - показатель адиабаты
γ = С р / С v ,
где С v и С p – молярные теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно.
Для идеального газа расчет теплоемкостей С р и С v можно провести теоретически. При нагревании газа при постоянном объеме (изохорический процесс) работа газа dA = рdV равна нулю, поэтому молярная теплоемкость
, (3)
где i – число степеней свободы – количество независимых координат, с помощью которых однозначно можно задать положение молекулы; индекс V означает изохорический процесс.
При изобарном нагревании (p = const ) количество теплоты, подведенное к газу, расходуется на увеличение внутренней энергии и на совершение работы расширения газа:
.
Теплоемкость моля газа при этом равна
Уравнение (5) называется уравнением Майера. Следовательно, разность молярных теплоемкостей С р – С v = R численно равна работе расширения одного моля идеального газа при нагревании его на один Кельвин при постоянном давлении. В этом заключается физический смысл универсальной газовой постоянной R.
Для идеальных газов отношение γ = С р / С v = (i + 2) / i зависит только от числа степеней свободы молекул газа, которое, в свою очередь, определяется структурой молекулы, т.е. количеством атомов, из которых состоит молекула. Одноатомная молекула имеет 3 степени свободы (инертные газы). Если молекула состоит из двух атомов, то число степеней свободы складывается из числа степеней свободы поступательного движения (i пост = 3) центра масс и вращательного (i вр = 2) движения системы вокруг двух осей, перпендикулярных к оси молекулы, т.е. равно 5. Для трех- и многоатомных молекул i = 6 (три поступательные и три вращательные степени свободы).
В данной работе коэффициент γ для воздуха определяется опытным путем.
Если при помощи насоса в сосуд накачать некоторое количество воздуха, то давление и температура воздуха внутри сосуда повысятся. Вследствие теплообмена воздуха с окружающей средой через некоторое время температура воздуха, находящегося в сосуде, сравняется с температурой T 0 внешней среды.
Давление, установившееся в сосуде, равно р 1 = р 0 + р′ , где р 0 – атмосферное давление, р′ – добавочное давление. Таким образом, воздух внутри сосуда характеризуется параметрами (р 0 + р′ ), V 0 , Т 0 , а уравнение состояния имеет вид
. (6)
Если на короткое время (~3с) открыть тумблер «АТМОСФЕРА», то воздух в сосуде будет расширяться. Этот процесс расширения можно рассматривать как подключение к сосуду дополнительного объема V′ . Давление в сосуде станет равным атмосферному Р 0 , температура понизится до Т 1 , а объем будет равен V 0 + V′ . Следовательно, в конце процесса уравнение состояния будет иметь вид
. (7)
Разделив выражение (7) на выражение (6), получим
. (8)
Расширение происходит без теплообмена с внешней средой, т.е. процесс является адиабатическим, поэтому для начального и конечного состояний системы справедливо соотношение
. (9)
Идеальный газ - математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.
2. Что такое степени свободы молекул? Как число степеней свободы связано с коэффициентом Пуассона γ?
Числом степеней свободы тела называется число независимых координат, которые необходимо задать для того, чтобы полностью определить положение тела в пространстве. Так, например, материальная точка, произвольно движущаяся в пространстве, обладает тремя степенями свободы (координаты x, y, z).
Молекулы одноатомного газа можно рассматривать как материальные точки на том основании, что масса такой частицы (атома) сосредоточена в ядре, размеры которого очень малы (10 -13 см). Поэтому молекула одноатомного газа может иметь лишь три степени свободы поступательного движения.
Молекулы, состоящие из двух, трех и большего числа атомов, не могут быть уподоблены материальным точкам. Молекула двухатомного газа в первом приближении представляет собой два жестко связанных атома, находящихся на некотором расстоянии друг от друга
3. Чему равна теплоемкость идеального газа при адиабатическом процессе?
Теплоемкостью называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить веществу, чтобы повысить его температуру на один кельвин.
4. В каких единицах измеряются в системе си давление, объем, температура, молярные теплоемкости?
Давление – кПа, объем – дм 3 , температура – в Кельвинах, молярные теплоемкости – Дж/(мольК)
5. Что такое молярные теплоемкости Ср и Сv?
У газа различают теплоемкость при постоянном объеме С v и теплоемкость при постоянном давлении С р.
При постоянном объеме работа внешних сил равна нулю, и все сообщаемое газу извне количество теплоты идет целиком на увеличение его внутренней энергии U. Отсюда молярная теплоемкость газа при постоянном объеме С v численно равна изменению внутренней энергии одного моля газа ∆Uпри повышении его температуры на 1К:
∆U=i/2*R(T+1)-i/2RT=i/2R
Таким образом, молярная теплоемкость газа при постоянном объеме
С v =i/2R
удельная теплоемкость при постоянном объеме
С v =i/2*R/µ
При нагревании газа при постоянном давлении газ расширяется, сообщаемое ему извне количество теплоты идет не только на увеличение его внутренней энергии U, но и на совершение работыAпротив внешних сил. Следовательно, теплоемкость газа при постоянном давлении больше теплоемкости при постоянном объеме на величину работыA, которую совершает один моль газа при расширении, происходящем в результате повышения его температуры на 1Kпри постоянном давленииP:
С р = С v +A
Можно показать, что для моля газа работа A=R, тогда
С р = С v +R=(i+2)/2*R
Пользуясь соотношением между удельными в молярными теплоемкостями, находим для удельной теплоемкости:
С р = (i+2)/2*R
Непосредственное измерение удельных и молярных теплоемкостей затруднительно, так как теплоемкость газа составит ничтожную долю теплоемкости сосуда, в котором находится газ, и поэтому измерение будет чрезвычайно неточно.
Проще измерить отношение величии С р / С v
γ=С р / С v =(i+2)/i.
Это отношение зависит только от числа степеней свободы молекул, из которых состоит газ.
ВВЕДЕНИЕ
Согласно I начала термодинамики, количество энергии, сообщенное системе в процессе теплообмена dQ, идет на изменение ее внутренней энергии dU и на совершение системой работы dA против внешних сил:
Количество теплоты, необходимое для нагревания одного (кило)моля газа на один градус, определяется молярной теплоемкостью - С.
Величина теплоемкости зависит от условий нагревания. Различают два вида теплоемкостей: С p - молярная теплоемкость при постоянном давлении и С v - молярная теплоемкость при постоянном объеме, связанных между собой уравнением:
С p =С v +R, (2)
где R - универсальная газовая постоянная, численно равная работе, совершаемой при нагревании одного моля идеального газа на один кельвин при постоянном давлении.
Процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (dQ=0), называется адиабатическим. Он описывается уравнением Пуассона:
Работа адиабатического процесса, как следует из I начала термодинамики (3), совершается только за счет изменения внутренней энергии:
Полная работа адиабатического процесса может быть вычислена по формуле:
(5)
Приборы и принадлежности: жидкостный манометр, закрытый стеклянный баллон с трехходовым краном, насос.
ТЕОРИЯ МЕТОДА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.
Метод определения С p /С v , используемый в работе, основан на процессе адиабатического расширения воздуха.
Установка (рис. 22) состоит из толстостенного баллона 2, соединенного с нагнетательным насосом 3 и открытым U-образным водяным манометром 1. Трехходовой кран 4 позволяет соединить баллон с насосом или атмосферой.
Обозначим массу газа в баллоне при атмосферном давлении - m 1 .
Если соединить баллон с насосом и накачать воздух, то давление в баллоне повысится и станет равным p 1 =p 0 +h 1 , где h 1 - избыток над атмосферным давлением р 0 , измеряемый манометром, (р 0 , и h 1 должны быть выражены в одинаковых единицах).
Примечание. Так как при нагнетании воздух в баллоне нагревается, измерять избыток давления h 1 следует тогда, когда температура воздуха в баллоне станет равной комнатной (спустя 1-2 мин).
Газ массой m 1 теперь будет занимать объем V 1 , меньший объема баллона.
Его состояние характеризуется параметрами: p 1 , V 1 , T 1 (рис. 23). Если на короткое время с помощью крана сообщить баллон с атмосферой, то воздух будет быстро (т. е. адиабатически) расширяться. Часть воздуха массой m выйдет из баллона. Оставшийся воздух массой m 1 , который занимал перед открытием крапа часть объема баллона, снова займет весь объем V k = V 2 . Давление в баллоне станет равным атмосферному (р 2 =p 0). Температура воздуха в результате его адиабатического расширения окажется ниже комнатной. Таким образом, в момент закрытия крана воздух находится в состояния II (р 2 , V 2 , T 2).
Для массы газа m 1 , согласно закону Пуассона (3), получим:
Так как температура в состоянии I и III одинаковая, то по закону Бойля-Мариотта:
Сравнивая равенства (6) и (7), получим:
Логарифмируем это выражение
и решаем его относительно
Учитывая, что p 1 =p 0 +h 1; p 2 = p 0 ; p 3 =p 0 +h 2 получим:
Так как давления незначительно отличаются друг от друга, то приближенно в последнем выражении можно логарифмы заменить числами:
или
Для вычисления работы адиабатического расширения воспользуемся формулой (5). Так как по закону Пуассона
то формула (5) примет вид:
A=
где V≈V к, указанный на установке.
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
1. С помощью крана соединить баллон с насосом и нагнетать воздух до тех пор, пока разность уровней жидкости в манометре не станет равной 20-30 см.
2. Закрыть кран, подождать до тех пор, пока уровни жидкости в манометре не установятся. Отсчитать разность уровней жидкости в коленах манометра h 1 (отсчет производить по нижнему краю мениска).
3. Открыть кран и в тот момент, когда уровни жидкости в обоих коленах манометра сравняются, быстро закрыть его.
4. Выждав 1-2 мин пока воздух в баллоне нагреется до комнатной температуры, измерить разность уровней жидкости в обоих коленах манометра h 2
5. По барометру измерить атмосферное давление р 0 .
6. Данные занести в таблицу.
7. Опыт (пункты 1-4) повторить не менее пяти раз.
№№ п/п | h 1, мм вод. ст. | h 2, мм вод. ст. | h 1 -h 2, мм вод. Ст. | |||
ВЫЧИСЛЕНИЯ
1. Вычислить по формуле (8) значение для каждого измерения.