Квадратна L формаот нпроменливи е сума, всеки член от която е или квадрат на една от тези променливи, или продукт на две различни променливи.
Ако приемем, че в квадратна форма ЛРедукцията на подобни членове вече е направена, нека въведем следното обозначение за коефициентите на тази форма: коефициентът за е означен с , а коефициентът в произведението за е означен с . Тъй като , коефициентът на този продукт може да се означи и с , т.е. Нотацията, която въведохме, предполага валидността на равенството. Терминът вече може да бъде записан във формата
и цялата квадратна форма Л– под формата на сбор от всички възможни членове, където iИ йвече приемат стойности независимо един от друг
от 1 до н:
(6.13)
Коефициентите могат да се използват за конструиране на квадратна матрица от порядък n; нарича се матрица от квадратна форма L, а неговият ранг е рангтази квадратна форма. Ако, по-специално, , т.е. матрицата е неизродена, тогава тя е квадратна форма ЛНаречен неизродени. Тъй като , то елементите на матрица A, симетрични спрямо главния диагонал, са равни помежду си, т.е. матрица А – симетричен. Обратно, за всяка симетрична матрица A нот ред може да се посочи добре дефинирана квадратна форма (6.13) на нпроменливи, които имат елементи от матрица A с техните коефициенти.
Квадратната форма (6.13) може да бъде представена в матрична форма с помощта на матричното умножение, въведено в раздел 3.2. Нека означим с X колона, съставена от променливи
X е матрица с n реда и една колона. Транспонирайки тази матрица, получаваме матрицата 
, съставен от един ред. Квадратната форма (6.13) с матрица вече може да бъде записана като следния продукт:
Наистина:
и се установява еквивалентността на формули (6.13) и (6.14).
Запишете го в матрична форма.
○ Да намерим матрица с квадратична форма. Диагоналните му елементи са равни на коефициентите на квадратите на променливите, т.е. 4, 1, –3, а други елементи – към половините на съответните коефициенти на квадратната форма. Ето защо
. ●
Нека разберем как се променя квадратичната форма при неизродена линейна трансформация на променливи.
Обърнете внимание, че ако матриците A и B са такива, че техният продукт е дефиниран, тогава равенството е в сила:
(6.15)
Всъщност, ако продуктът AB е дефиниран, тогава продуктът също ще бъде дефиниран: броят на колоните на матрицата е равен на броя на редовете на матрицата. Матричен елемент, стоящ в него iти ред и йколона, в матрицата AB се намира в йти ред и iта колона. Следователно то е равно на сумата от произведенията на съответните елементи й-ти ред на матрица A и iта колона на матрица B, т.е. равна на сумата от произведенията на съответните елементи на линията йта колона на матрицата и iред на матрицата. Това доказва равенството (6.15).
Нека променливите матрица-колона 
И 
са свързани с линейната връзка X = CY, където C = ( c ij) 
има някаква неособена матрица н-та поръчка. След това квадратната форма
или 
, Където .
Матрицата ще бъде симетрична, тъй като с оглед на равенството (6.15), което очевидно е валидно за произволен брой фактори, и равенството , което е еквивалентно на симетрията на матрица A, имаме:
И така, с неизродена линейна трансформация X=CY, матрицата на квадратна форма приема формата
Коментирайте. Рангът на квадратична форма не се променя при извършване на неизродена линейна трансформация.
Пример. Дадена е квадратна форма
Намерете квадратичната форма, получена от дадената линейна трансформация
, .
○ Матрица на дадена квадратна форма 
, и матрицата на линейната трансформация 
. Следователно, съгласно (6.16), матрицата на желаната квадратна форма
и квадратната форма има формата . ●
С някои добре подбрани линейни трансформации формата на квадратната форма може значително да се опрости.
Квадратна форма 
Наречен каноничен(или има каноничен изглед), ако всички негови коефициенти при i≠ й:
,
и неговата матрица е диагонална.
Следната теорема е вярна.
Теорема 6.1. Всяка квадратична форма може да бъде редуцирана до канонична форма с помощта на неизродена линейна трансформация на променливи.
Пример. Редуцирайте квадратичната форма до канонична форма
○ Първо избираме пълния квадрат на променливата, чийто коефициент на квадрат е различен от нула:
.
Сега нека изберем квадрата на променливата, чийто квадратен коефициент е различен от нула:
И така, неизродена линейна трансформация
намалява тази квадратна форма до канонична форма
.●
Каноничната форма на квадратична форма не е еднозначно дефинирана, тъй като същата квадратна форма може да бъде намалена до каноничната форма по много начини. Въпреки това, каноничните форми, получени по различни методи, имат редица общи свойства. Нека формулираме едно от тези свойства като теорема.
Теорема 6.2.(закон за инерцията на квадратичните форми).
Броят на членовете с положителни (отрицателни) коефициенти на квадратичната форма не зависи от метода за редуциране на формата до тази форма.
Например квадратната форма
който в примера, разгледан на стр. 131, доведохме до формата
беше възможно чрез прилагане на неизродена линейна трансформация
довеждам до ума
.
Както можете да видите, броят на положителните и отрицателните коефициенти (съответно два и един) е запазен.
Обърнете внимание, че рангът на квадратична форма е равен на броя на ненулевите коефициенти на каноничната форма.
Квадратна форма 
се нарича положително (отрицателно) определено, ако за всички стойности на променливите, поне една от които е различна от нула,
(
).
Концепцията за квадратна форма. Матрица с квадратна форма. Канонична форма на квадратна форма. Метод на Лагранж. Нормален изглед на квадратна форма. Ранг, индекс и сигнатура на квадратна форма. Положително определена квадратна форма. Квадрика.
Понятие за квадратна форма:функция върху векторно пространство, определено от хомогенен полином от втора степен в координатите на вектора.
Квадратна форма от ннеизвестен 
се нарича сбор, всеки член от който е или квадрат на едно от тези неизвестни, или продукт на две различни неизвестни.
Квадратна матрица:Матрицата се нарича матрица с квадратична форма в дадена основа. Ако характеристиката на полето не е равна на 2, можем да приемем, че матрицата с квадратична форма е симетрична, т.е.
Напишете матрица с квадратна форма:
следователно
Във формата на векторна матрица квадратната форма е:
А, къде 
Канонична форма на квадратна форма:Квадратната форма се нарича канонична, ако всички 
т.е.
Всяка квадратна форма може да бъде редуцирана до канонична форма с помощта на линейни трансформации. На практика обикновено се използват следните методи.
Метод на Лагранж : последователен избор на цели квадрати. Например ако
След това се извършва подобна процедура с квадратната форма 
и т.н. Ако в квадратна форма всичко е но 
тогава след предварително преобразуване въпросът се свежда до разглежданата процедура. Така че, ако, например, тогава предполагаме 
Нормална форма на квадратна форма:Нормалната квадратна форма е канонична квадратна форма, в която всички коефициенти са равни на +1 или -1.
Ранг, индекс и сигнатура на квадратна форма:Ранг на квадратична форма Асе нарича ранг на матрицата А. Рангът на квадратична форма не се променя при неизродени трансформации на неизвестни.
Броят на отрицателните коефициенти се нарича индекс на отрицателна форма.
Броят на положителните членове в канонична форма се нарича положителен индекс на инерция на квадратичната форма, броят на отрицателните членове се нарича отрицателен индекс. Разликата между положителните и отрицателните индекси се нарича сигнатура на квадратичната форма
Положително определена квадратна форма:Реална квадратна форма 
се нарича положително определено (отрицателно определено), ако за всякакви реални стойности на променливите, които не са едновременно нула,
. (36)
В този случай матрицата се нарича още положително определена (отрицателна определена).
Класът на положително определените (отрицателно определени) форми е част от класа на неотрицателните (респ. неположителни) форми.
Квадрика:Квадрик - н-дименсионална хиперповърхност в н+1-мерно пространство, дефинирано като набор от нули на полином от втора степен. Ако въведете координатите ( х 1 , х 2 , x n+1 ) (в евклидово или афинно пространство), общото уравнение на квадрика е
Това уравнение може да бъде пренаписано по-компактно в матрична нотация:
където x = ( х 1 , х 2 , x n+1 ) — ред вектор, х T е транспониран вектор, Q— матрица на размера ( н+1)×( н+1) (приема се, че поне един от елементите му е различен от нула), Пе ред вектор и Р— постоянен. Най-често се разглеждат квадрики върху реални или комплексни числа. Дефиницията може да бъде разширена до квадрики в проективно пространство, вижте по-долу.
По-общо, наборът от нули на система от полиномиални уравнения е известен като алгебрично разнообразие. По този начин квадриката е (афинно или проективно) алгебрично многообразие от втора степен и коразмерност 1.
Трансформации на равнина и пространство.
Дефиниция на равнинна трансформация. Датчик за движение. свойства на движението. Два вида движения: движение от първи вид и движение от втори вид. Примери за движения. Аналитично изразяване на движението. Класификация на равнинните движения (в зависимост от наличието на фиксирани точки и инвариантни линии). Група равнинни движения.
Дефиниция на равнинна трансформация: Дефиниция.Равнинна трансформация, която запазва разстоянието между точките, се нарича движение(или движение) на самолета. Равнинната трансформация се нарича афинен, ако трансформира всякакви три точки, лежащи на една и съща права, в три точки, също лежащи на същата права и в същото време запазвайки простото отношение на трите точки.
Определение на движението:Това са трансформации на формата, които запазват разстоянията между точките. Ако две фигури са точно подравнени една спрямо друга чрез движение, тогава тези фигури са еднакви, равни.
Свойства на движението:Всяко запазващо ориентацията движение на равнина е или паралелно преместване, или въртене, всяко движение на равнина, променящо ориентацията, е или аксиална симетрия, или плъзгаща симетрия. При движение точките, лежащи на права линия, се трансформират в точки, лежащи на права линия, като редът на взаимното им разположение се запазва. При движение ъглите между полуправите се запазват.
Два вида движения: движение от първи вид и движение от втори вид:Движения от първи вид са тези движения, които запазват ориентацията на основите на определена фигура. Те могат да се реализират чрез непрекъснати движения.
Движенията от втория вид са тези движения, които променят ориентацията на основите към противоположната. Те не могат да се реализират чрез непрекъснати движения.
Примери за движения от първи вид са транслация и въртене около права линия, а движения от втори вид са централна и огледална симетрия.
Композицията от произволен брой движения от първи вид е движение от първи вид.
Съставът на четен брой движения от втори род е движение от 1-ви вид, а съставът на нечетен брой движения от 2-ри род е движение от 2-ри род.
Примери за движения:Паралелен трансфер. Нека a е дадения вектор. Паралелният трансфер към вектор a е преобразуване на равнината върху себе си, при което всяка точка M се преобразува в точка M 1, така че вектор MM 1 е равен на вектор a.
Паралелният превод е движение, защото е картографиране на равнината върху себе си, като се запазват разстоянията. Това движение може да бъде визуално представено като изместване на цялата равнина по посока на даден вектор a по дължината му.
Завъртете.Нека означим точката O на равнината ( център за обръщане) и задайте ъгъла α ( ъгъл на завъртане). Завъртане на равнината около точка O с ъгъл α е преобразуване на равнината върху себе си, при което всяка точка M се преобразува в точка M 1, така че OM = OM 1 и ъгълът MOM 1 е равен на α. В този случай точка O остава на мястото си, т.е. тя се нанася върху себе си, а всички останали точки се въртят около точка O в същата посока - по или обратно на часовниковата стрелка (фигурата показва въртене обратно на часовниковата стрелка).
Въртенето е движение, защото представлява преобразуване на равнината върху себе си, при което разстоянията се запазват.
Аналитичен израз на движението:аналитичната връзка между координатите на прообраза и образа на точката има вида (1).
Класификация на равнинни движения (в зависимост от наличието на фиксирани точки и инвариантни линии): Определение:
Точка на равнина е инвариантна (фиксирана), ако при дадено преобразуване се трансформира в себе си.
Пример: При централна симетрия точката на центъра на симетрия е инвариантна. При завъртане точката на центъра на въртене е инвариантна. При аксиалната симетрия инвариантната линия е права линия - оста на симетрия е права линия от инвариантни точки.
Теорема: Ако движението няма нито една инвариантна точка, то има поне една инвариантна посока.
Пример: Паралелен трансфер. Наистина, правите линии, успоредни на тази посока, са инвариантни като фигура като цяло, въпреки че не се състои от инвариантни точки.
Теорема: Ако лъч се движи, лъчът се преобразува в себе си, тогава това движение е или идентична трансформация, или симетрия по отношение на правата линия, съдържаща дадения лъч.
Следователно въз основа на наличието на инвариантни точки или фигури е възможно да се класифицират движенията.
| Име на движението | Инвариантни точки | Инвариантни линии |
| Движение от първи вид. | ||
| 1. - завой | (център) - 0 | Не |
| 2. Трансформация на идентичността | всички точки на равнината | всичко направо |
| 3. Централна симетрия | точка 0 - център | всички прави, минаващи през точка 0 |
| 4. Паралелен трансфер | Не | всичко направо |
| Движение от втори вид. | ||
| 5. Аксиална симетрия. | набор от точки | ос на симетрия (права линия) всички прави линии |
Група за движение на равнина:В геометрията важна роля играят групите от самокомпозиции на фигури. Ако е определена фигура в равнина (или в пространство), тогава можем да разгледаме набора от всички онези движения на равнината (или пространството), по време на които фигурата се превръща в себе си.
Този набор е група. Например, за равностранен триъгълник, групата от равнинни движения, които трансформират триъгълника в себе си, се състои от 6 елемента: завъртания през ъгли около точка и симетрии около три прави линии.
Те са показани на фиг. 1 червени линии. Елементите от групата самоподравнявания на правилен триъгълник могат да бъдат зададени по различен начин. За да обясним това, нека номерираме върховете на правилен триъгълник с числата 1, 2, 3. Всяко самоподравняване на триъгълника отвежда точки 1, 2, 3 до същите точки, но взети в различен ред, т.е. може условно да се запише под формата на една от тези скоби:
и т.н.
където числата 1, 2, 3 показват номерата на онези върхове, в които върховете 1, 2, 3 отиват в резултат на разглежданото движение.
Проективни пространства и техните модели.
Концепцията за проективно пространство и модел на проективно пространство. Основни факти от проективната геометрия. Куп прави с център в точка O е модел на проективната равнина. Проективни точки. Разширената равнина е модел на проективната равнина. Разширеното триизмерно афинно или евклидово пространство е модел на проективно пространство. Изображения на плоски и пространствени фигури в паралелен дизайн.
Концепцията за проективно пространство и модел на проективно пространство:
Проективно пространство над поле е пространство, състоящо се от линии (едномерни подпространства) на някакво линейно пространство над дадено поле. Директни пространства се наричат точкипроективно пространство. Това определение може да се обобщи за произволно тяло
Ако има размерност, тогава размерността на проективното пространство се нарича число, а самото проективно пространство се обозначава и се нарича свързано с (за да се посочи това, нотацията се приема).
Преходът от векторно пространство на размерност към съответното проективно пространство се нарича проективизацияпространство.
Точките могат да бъдат описани с хомогенни координати.
Основни факти от проективната геометрия:Проективната геометрия е клон на геометрията, който изучава проективни равнини и пространства. Основната характеристика на проективната геометрия е принципът на дуалността, който добавя елегантна симетрия към много дизайни. Проективната геометрия може да се изучава както от чисто геометрична гледна точка, така и от аналитична (използвайки хомогенни координати) и алгебрична гледна точка, разглеждайки проективната равнина като структура над поле. Често и в исторически план истинската проективна равнина се счита за евклидовата равнина с добавянето на "права в безкрайност".
Докато свойствата на фигурите, с които работи евклидовата геометрия, са показател(специфични стойности на ъгли, сегменти, области), а еквивалентността на фигурите е еквивалентна на техните конгруентност(т.е. когато фигурите могат да бъдат преобразувани една в друга чрез движение, като същевременно се запазват метричните свойства), има по-„дълбоко разположени“ свойства на геометричните фигури, които се запазват при трансформации от по-общ тип от движението. Проективната геометрия се занимава с изучаването на свойства на фигури, които са инвариантни в класа проективни трансформации, както и самите тези трансформации.
Проективната геометрия допълва евклидовата геометрия, като предоставя красиви и прости решения на много проблеми, усложнени от наличието на успоредни прави. Проективната теория на коничните сечения е особено проста и елегантна.
Има три основни подхода към проективната геометрия: независима аксиоматизация, допълване на евклидовата геометрия и структура върху поле.
Аксиоматизиране
Проективното пространство може да бъде дефинирано с помощта на различен набор от аксиоми.
Coxeter предоставя следното:
1. Има права линия и точка извън нея.
2. Всяка права има поне три точки.
3. През две точки можете да начертаете точно една права линия.
4. Ако А, Б, ° С, И д- различни точки и ABИ CDпресичат се, тогава A.C.И BDпресичат се.
5. Ако ABCе равнина, тогава има поне една точка извън равнината ABC.
6. Две различни равнини пресичат поне две точки.
7. Трите диагонални точки на пълен четириъгълник не са колинеарни.
8. Ако три точки са на права х х
Проективната равнина (без третото измерение) се определя от малко по-различни аксиоми:
1. През две точки можете да начертаете точно една права линия.
2. Всякакви две прави се пресичат.
3. Има четири точки, от които три не са колинеарни.
4. Трите диагонални точки на пълните четириъгълници не са колинеарни.
5. Ако три точки са на права хса инвариантни по отношение на проективността на φ, тогава всички точки от хинвариантен по отношение на φ.
6. Теорема на Дезарг: Ако два триъгълника имат перспектива през точка, то те имат перспектива и през права.
При наличието на трето измерение теоремата на Дезарг може да бъде доказана без въвеждане на идеална точка и права.
Разширена равнина - модел на проективна равнина:В афинното пространство A3 вземаме сноп от прави S(O) с център в точка O и равнина Π, която не минава през центъра на снопа: O 6∈ Π. Сноп от прави в афинно пространство е модел на проективната равнина. Нека дефинираме преобразуване на множеството от точки на равнината Π върху множеството от прави линии на съединителната S (По дяволите, молете се, ако имате този въпрос, извинете ме)
Разширено триизмерно афинно или евклидово пространство - модел на проективно пространство:
За да направим картографирането сюръективно, ние повтаряме процеса на формално разширяване на афинната равнина Π до проективната равнина, Π, допълвайки равнината Π с набор от неправилни точки (M∞), така че: ((M∞)) = P0(O). Тъй като в картата обратният образ на всяка равнина от снопа от равнини S(O) е права в равнината d, очевидно е, че множеството от всички неправилни точки на разширената равнина: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), представлява неправилна права d∞ на разширената равнина, която е обратен образ на сингулярната равнина Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Нека се съгласим, че тук и занапред ще разбираме последното равенство P0(O) = Π0 в смисъл на равенство на множества от точки, но снабдени с различна структура. Чрез допълване на афинната равнина с неправилна права, ние гарантирахме, че картографирането (I.21) става биективно върху множеството от всички точки на разширената равнина:
Изображения на плоски и пространствени фигури по време на паралелен дизайн:
В стереометрията се изучават пространствени фигури, но на чертежа те се изобразяват като плоски фигури. Как трябва да се изобрази една пространствена фигура на равнина? Обикновено в геометрията за това се използва паралелен дизайн. Нека p е някаква равнина, л- пресичаща го права линия (фиг. 1). През произволна точка А, непринадлежащи на линията л, начертайте линия, успоредна на правата л. Пресечната точка на тази права с равнината p се нарича успоредна проекция на точката Акъм равнината p по посока на правата л. Нека го обозначим А". Ако точката Апринадлежи на линията л, след това чрез паралелна проекция Аточката на пресичане на правата се счита за равнина p лс равнина p.
Така всяка точка Апространство неговата проекция се сравнява А" върху равнината p. Това съответствие се нарича успоредна проекция върху равнината p по посока на правата л.
Група проективни трансформации. Приложение за решаване на проблеми.
Концепцията за проективна трансформация на равнина. Примери за проективни трансформации на равнината. Свойства на проективните трансформации. Хомология, свойства на хомологията. Група проективни трансформации.
Концепцията за проективна трансформация на равнина:Концепцията за проективна трансформация обобщава концепцията за централна проекция. Ако извършим централна проекция на равнината α върху някаква равнина α 1, тогава проекцията на α 1 върху α 2, α 2 върху α 3, ... и накрая, някаква равнина α нотново върху α 1, тогава съставът на всички тези проекции е проективната трансформация на равнината α; В такава верига могат да се включат и паралелни проекции.
Примери за проективни равнинни трансформации:Проективна трансформация на завършена равнина е нейното едно-към-едно преобразуване върху себе си, при което се запазва колинеарността на точките, или, с други думи, образът на всяка права е права линия. Всяка проективна трансформация е композиция от верига от централни и паралелни проекции. Афинната трансформация е частен случай на проективна трансформация, при която правата в безкрайност се превръща в себе си.
Свойства на проективните трансформации:
По време на проективна трансформация три точки, които не лежат на права, се трансформират в три точки, които не лежат на права.
По време на проективна трансформация рамката се превръща в рамка.
По време на проективна трансформация линията преминава в права линия и моливът преминава в молив.
Хомология, свойства на хомологията:
Проективна трансформация на равнина, която има права от инвариантни точки и следователно молив от инвариантни прави, се нарича хомология.
1. Права, минаваща през несъвпадащи съответни точки на хомология, е инвариантна права;
2. Правите, минаващи през несъвпадащи съответни точки на хомология, принадлежат на един и същи молив, чийто център е инвариантна точка.
3. Точката, нейният образ и центърът на хомоложността лежат на една права.
Група проективни трансформации:разгледайте проективното преобразуване на проективната равнина P 2 върху себе си, т.е. проективната трансформация на тази равнина (P 2 ’ = P 2).
Както и преди, композицията f от проективни трансформации f 1 и f 2 на проективната равнина P 2 е резултат от последователно изпълнение на трансформации f 1 и f 2: f = f 2 °f 1 .
Теорема 1: множеството H от всички проективни трансформации на проективната равнина P 2 е група по отношение на композицията на проективните трансформации.
Въведение…………………………………………………………….......................... ......... .................3
1 Теоретична информация за квадратичните форми……………………………4
1.1 Дефиниция на квадратна форма……………………………………….…4
1.2 Редуциране на квадратна форма до канонична форма……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...6
1.3 Закон за инерцията…………………………………………………………….….11
1.4 Положителни определени форми……………………………………...18
2 Практическо приложение на квадратни форми …………………………22
2.1 Решаване на типични проблеми…………………………………………………………………22
2.2 Задачи за самостоятелно решаване………………………….………...26
2.3 Тестови задачи…………………………………………………………………...27
Заключение………………………………………………………………………29
Списък на използваната литература……………………………………………………...30
ВЪВЕДЕНИЕ
Първоначално теорията на квадратичните форми се използва за изследване на криви и повърхности, определени от уравнения от втори ред, съдържащи две или три променливи. По-късно тази теория намира други приложения. По-специално, при математическо моделиране на икономически процеси, целевите функции могат да съдържат квадратични членове. Многобройни приложения на квадратни форми изискват изграждането на обща теория, когато броят на променливите е равен на всяка
, а коефициентите на квадратичната форма не винаги са реални числа.Теорията на квадратичните форми е разработена за първи път от френския математик Лагранж, който притежава много идеи в тази теория, по-специално той въвежда важната концепция за намалена форма, с помощта на която доказва крайността на броя на класовете на; двоични квадратични форми на даден дискриминант. След това тази теория беше значително разширена от Гаус, който въведе много нови концепции, въз основа на които той успя да получи доказателства за трудни и дълбоки теореми на теорията на числата, които убягваха на неговите предшественици в тази област.
Целта на работата е да се изучат видовете квадратични форми и начините за намаляване на квадратичните форми до канонична форма.
Тази работа поставя следните задачи: подбор на необходимата литература, разглеждане на определения, решаване на редица проблеми и подготовка на тестове.
1 ТЕОРЕТИЧНА ИНФОРМАЦИЯ ЗА КВАДРАТИЧНИТЕ ФОРМИ
1.1 ДЕФИНИЦИЯ НА КВАДРАТИЧНА ФОРМА
Квадратна форма
на неизвестни е сбор, всеки член от който е или квадрат на едно от тези неизвестни, или продукт на две различни неизвестни. Квадратната форма се предлага в две форми: реална и комплексна, в зависимост от това дали нейните коефициенти са реални или комплексни числа.Означавайки коефициента при
през , и при производство
, през 
, квадратната форма може да бъде представена като: . От коефициентите
възможно е да се построи квадратна матрица от ред; тя се нарича матрица на квадратична форма, а нейният ранг се нарича ранг на квадратичната форма. Ако, по-специално, , където , тоест матрицата е неизродена, тогава квадратната форма се нарича неизродена. За всяка симетрична матрица от ред може да се определи в напълно дефинирана квадратна форма:
(1.1) - неизвестни, имащи матрични елементи с техните коефициенти. Нека сега обозначим с
колона, съставена от неизвестни: . е матрица с редове и една колона. Транспонирайки тази матрица, получаваме матрицата:
, съставен от един ред. Квадратична форма (1.1) с матрица
вече може да се запише като продукт:.1.2 РЕДУКЦИЯ ДО КВАДРАТИЧНА ФОРМА
КЪМ КАНОНИЧНИЯ ГЛЕД
Да предположим, че квадратната форма
от неизвестните вече е намален чрез неизродена линейна трансформация до каноничната форма, където са новите неизвестни. Някои от коефициентите може да са нула. Нека докажем, че броят на ненулевите коефициенти е задължително равен на ранга на формата. Матрицата на тази квадратна форма има диагонална форма
,
и изискването тази матрица да има ранг
, е еквивалентно на предположението, че неговият главен диагонал съдържа точно ненулеви елементи.Теорема.Всяка квадратна форма може да бъде редуцирана до канонична форма чрез някакво неизродено линейно преобразуване. Ако се разглежда реална квадратна форма, тогава всички коефициенти на посочената линейна трансформация могат да се считат за реални.
Доказателство. Тази теорема е вярна за случая на квадратни форми с едно неизвестно, тъй като всяка такава форма има формата
, което е канонично. Нека въведем доказателство чрез индукция, тоест да докажем теоремата за квадратни форми с неизвестни, като се има предвид, че тя вече е доказана за форми с по-малък брой неизвестни.Нека квадратичната форма (1.1) на
Цел на услугата. Онлайн калкулатор, използван за намиране Хесиански матриции определяне на вида на функцията (изпъкнала или вдлъбната) (виж примера). Решението се изготвя във формат Word. За функция на една променлива f(x) се определят интервали на изпъкналост и вдлъбнатост.Правила за въвеждане на функции:
Два пъти непрекъснато диференцируема функция f(x) е изпъкнала (вдлъбната) тогава и само ако Хесианова матрицафункцията f(x) по отношение на x е положителна (отрицателна) полуопределена за всички x (виж точките на локални екстремуми на функция на няколко променливи).
Функционални критични точки:
- ако хесианът е положително определен, тогава x 0 е локалната минимална точка на функцията f(x),
- ако Хесианът е отрицателно определен, тогава x 0 е локалната максимална точка на функцията f(x),
- ако хесианът не е знакоопределен (приема както положителни, така и отрицателни стойности) и не е изроден (det G(f) ≠ 0), тогава x 0 е седловата точка на функцията f(x).
Критерии за определеност на матрица (теорема на Силвестър)
Положителна сигурност:- всички диагонални елементи на матрицата трябва да са положителни;
- всички водещи главни квалификации трябва да са положителни.
Положителна полуопределеност:
- всички диагонални елементи са неотрицателни;
- всички основни детерминанти са неотрицателни.
Квадратна симетрична матрица от ред n, чиито елементи са частни производни на целевата функция от втори ред, наречена матрица на Хесиани се обозначава:
За да бъде една симетрична матрица положително определена, е необходимо и достатъчно всички нейни диагонални минори да са положителни, т.е. 
за матрицата A = (a ij) са положителни.
Отрицателна сигурност.
За да бъде една симетрична матрица отрицателно определена, е необходимо и достатъчно да са изпълнени следните неравенства:
(-1) k D k > 0, к=1,.., n.
С други думи, за да бъде квадратната форма отрицателно определено, е необходимо и достатъчно знаците на ъгловите минори на матрица с квадратична форма да се редуват, започвайки със знака минус. Например, за две променливи, D 1< 0, D 2 > 0.
Ако Хесианът е полуопределен, тогава това също може да е инфлексна точка. Необходими са допълнителни изследвания, които могат да се извършат по един от следните варианти:
- Намаляващ ред. Извършва се промяна на променливите. Например, за функция на две променливи е y=x, като резултат получаваме функция на една променлива x. След това изследваме поведението на функцията на линиите y=x и y=-x. Ако в първия случай функцията в изследваната точка ще има минимум, а в другия случай максимум (или обратното), тогава изследваната точка е седлова точка.
- Намиране на собствените стойности на Хесиан. Ако всички стойности са положителни, функцията в изследваната точка има минимум, ако всички стойности са отрицателни, има максимум.
- Изследване на функцията f(x) в околността на точка ε. Променливите x се заменят с x 0 +ε. След това е необходимо да се докаже, че функцията f(x 0 +ε) на една променлива ε е или по-голяма от нула (тогава x 0 е минималната точка) или по-малка от нула (тогава x 0 е максималната точка).
Забележка. Да намеря обратен Хесиандостатъчно е да се намери обратната матрица.
Пример №1. Кои от следните функции са изпъкнали или вдлъбнати: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Решение. 1. Да намерим частни производни. 
2. Да решим системата от уравнения.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
Получаваме:
а) От първото уравнение изразяваме x 1 и го заместваме във второто уравнение:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
Където x 2 = 4
Ние заместваме тези стойности x 2 в израза за x 1. Получаваме: x 1 = 9 / 2
Броят на критичните точки е 1.
М 1 (9 / 2 ;4)
3. Да намерим частните производни от втори ред.
4. Нека изчислим стойността на тези частни производни от втори ред в критичните точки M(x 0 ; y 0).
Изчисляваме стойностите за точка M 1 (9 / 2; 4) 
Изграждаме матрицата на Хесиан:
D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Тъй като диагоналните минори имат различни знаци, нищо не може да се каже за изпъкналостта или вдлъбнатостта на функцията.
Хомогенен полином от степен 2 на няколко променливи се нарича квадратна форма.
Квадратната форма на променливите се състои от членове от два вида: квадрати на променливи и техните произведения по двойки с някои коефициенти. Квадратната форма обикновено се записва като следната квадратна диаграма:
Двойките подобни членове се записват с равни коефициенти, така че всеки от тях да представлява половината от коефициента на съответното произведение на променливите. По този начин всяка квадратна форма е естествено свързана със своята матрица на коефициента, която е симетрична.
Удобно е да се представи квадратната форма в следната матрична нотация. Нека обозначим с X колона от променливи през X - ред, т.е. матрица, транспонирана с X. Тогава
Квадратните форми се срещат в много клонове на математиката и нейните приложения.
В теорията на числата и кристалографията квадратичните форми се разглеждат при допускането, че променливите приемат само цели числа. В аналитичната геометрия квадратната форма е част от уравнението на крива (или повърхност) от ред. В механиката и физиката изглежда, че квадратичната форма изразява кинетичната енергия на система чрез компонентите на обобщените скорости и т.н. Но освен това изучаването на квадратичните форми е необходимо и при анализа, когато се изучават функции на много променливи, при въпроси за което е важно да се установи как тази функция в околността на дадена точка се отклонява от линейната функция, която я апроксимира. Пример за задача от този тип е изследването на функция за нейния максимум и минимум.
Помислете например за проблема за изследване на максимума и минимума за функция на две променливи, която има непрекъснати частни производни до ред. Необходимо условие точката да дава максимум или минимум на функция е частните производни на реда в точката да са равни на нула. Нека дадем на променливите x и y малки увеличения и k и да разгледаме съответното увеличение на функцията. Според формулата на Тейлър, това увеличение до малки по-високи порядъци е равно на квадратната форма, където са стойностите на вторите производни. изчислена в точка Ако тази квадратна форма е положителна за всички стойности на и k (с изключение на), тогава функцията има минимум в точката; ако е отрицателна, тогава има максимум. И накрая, ако една форма приема както положителни, така и отрицателни стойности, тогава няма да има максимум или минимум. Функциите на по-голям брой променливи също се изучават по подобен начин.
Изследването на квадратичните форми се състои главно от изучаване на проблема за еквивалентността на формите по отношение на един или друг набор от линейни трансформации на променливи. Две квадратни форми се наричат еквивалентни, ако едната от тях може да бъде преобразувана в другата чрез едно от преобразуванията на дадено множество. В тясна връзка с проблема за еквивалентността е проблемът за намаляване на формата, т.е. трансформирайки го в някаква възможно най-проста форма.
В различни въпроси, свързани с квадратични форми, също се разглеждат различни набори от допустими трансформации на променливи.
Във въпросите на анализа се използват всякакви неспециални трансформации на променливи; за целите на аналитичната геометрия най-голям интерес представляват ортогоналните трансформации, т.е. тези, които съответстват на прехода от една система от променливи декартови координати към друга. И накрая, в теорията на числата и кристалографията се разглеждат линейни трансформации с цели коефициенти и детерминанта, равна на единица.
Ще разгледаме два от тези проблеми: въпросът за редуциране на квадратична форма до нейната най-проста форма чрез всякакви неособени трансформации и същия въпрос за ортогонални трансформации. Първо, нека разберем как се трансформира матрица с квадратична форма по време на линейна трансформация на променливи.
Нека , където A е симетрична матрица от коефициенти на формата, X е колона от променливи.
Нека направим линейна трансформация на променливи, записвайки я съкратено като . Тук C означава матрицата на коефициентите на тази трансформация, X е колона от нови променливи. Тогава и следователно, матрицата на преобразуваната квадратна форма е
Матрицата автоматично се оказва симетрична, което лесно се проверява. По този начин проблемът за редуциране на квадратна форма до най-простата форма е еквивалентен на проблема за редуциране на симетрична матрица до най-простата форма чрез умножаването й отляво и отдясно на взаимно транспонирани матрици.