Dans cette leçon, les élèves ont la possibilité de répéter les cas tabulaires de multiplication et de division, de se familiariser avec la règle de division d'une somme par un nombre et de s'entraîner à effectuer diverses tâches sur le sujet de la leçon.

Lisez et comparez les expressions au tableau.

(6 + 4) + 2

(6 + 4) - 2

(6 + 4) * 2

(6 + 4) : 2

Vous avez remarqué que dans chaque expression il y a une somme de nombres 6 + 4.

Lisons les expressions.

(6 + 4) + 2

La somme des nombres 6 + 4 est augmentée de 2.

(6 + 4) - 2

La somme des nombres 6 + 4 est réduite de 2.

(6 + 4) * 2

La somme des nombres 6 + 4 est doublée.

(6 + 4) : 2

La somme des nombres 6 + 4 est réduite de 2 fois

Pensez-vous que les valeurs de ces sommes seront les mêmes ?

Allons vérifier. Calculons les valeurs des expressions. Rappelez-vous que la première action est effectuée entre parenthèses.

(6 + 4) + 2 = 12

(6 + 4) - 2 = 8

(6 + 4) * 2 = 20

(6 + 4) : 2 = 5

Nous avons des valeurs différentes.

Considérez comment la division d'une somme par un nombre peut être effectuée.

Riz. 1. Divisez la somme par le nombre

Méthode 1.

Tout d'abord, nous avons ajouté les carrés bleus et rouges, puis nous avons divisé leur nombre en deux parties égales.

(6 + 4) : 2 = 10: 2 = 5

Méthode 2.

Nous pouvons d'abord diviser les carrés bleus en deux parties égales, puis diviser les carrés rouges en deux parties égales, puis additionner les résultats.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2 = 3 + 2 = 5

Lorsque vous effectuez des actions de différentes manières, le résultat est le même. Par conséquent, nous pouvons conclure.

Pour diviser une somme par un nombre, vous pouvez diviser chaque terme par ce nombre,

et ajouter les quotients obtenus.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2

Appliquons les connaissances acquises dans la pratique. Calculons les valeurs des expressions.

(64 + 72) : 8

(36 + 81) : 9

(80 + 16) : 4

Pour diviser la somme par un nombre, nous divisons chaque terme par ce nombre, et additionnons les valeurs résultantes de privates.

(64 + 72) : 8 = 64: 8 + 72: 8 = 8 + 9 = 17

(36 + 81) : 9 = 36: 9 + 81: 9 = 4 + 9 = 13

(80 + 16) : 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24

Considérez les expressions. Qu'est-ce qu'ils ont en commun?

(36 + 6) : 6

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

(24 + 18) : 6

Droit. Dans chaque expression, il faut diviser la somme par le nombre 6.

Divisons les expressions en deux groupes.

Dans le premier, nous écrivons les expressions où la propriété de diviser la somme par un nombre peut être appliquée. Dans ces expressions, chaque somme est divisible par 6.

(36 + 6) : 6

(24 + 18) : 6

Dans le deuxième groupe, nous écrivons des expressions où les termes de la somme ne sont pas divisibles par 6, ce qui signifie que la propriété de diviser la somme par un nombre ne peut pas leur être appliquée.

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

Terminons la tâche.

Lequel de ces nombres peut être écrit comme une somme de deux termes, dans laquelle chacun des termes est divisible par 7 ?

35, 43, 28, 14, 7, 47, 56, 49, 63, 26, 70

Tout d'abord, écrivez les nombres qui sont divisibles par le nombre 7 sans reste.

35, 28, 14, 7, 56, 49, 63, 70

Faisons des expressions et trouvons leurs valeurs.

(35 + 28) : 7 = 35: 7 + 28: 7 = 5 + 4 = 9

(70 + 14) : 7 = 70: 7 + 14: 7 = 10 + 2 = 12

(56 + 49) : 7 = 56: 7 + 49: 7 = 8 + 7 = 15

Faisons la tâche suivante.

Complétez les nombres manquants en utilisant la règle de division d'une somme par un nombre.

(… + …) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

On raisonne comme ça.

(… + …) : 8 = 8 + 6

Le premier terme a été divisé par 8 et a obtenu le nombre 8. Donc c'était le nombre 64. Le deuxième terme a été divisé par 8 et a obtenu le nombre 6. Donc c'était le nombre 48. Écrivons la solution.

(64 + 48) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

Le premier terme a été divisé par 9 et a obtenu le nombre 9. Donc c'était le nombre 81. Le deuxième terme a été divisé par 9 et a obtenu le nombre 5. Donc c'était le nombre 45. Écrivons la solution.

(81 + 45) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

Le premier terme a été divisé par 3 et a obtenu le nombre 8. Donc c'était le nombre 24. Le deuxième terme a été divisé par 3 et a obtenu le nombre 5. Donc c'était le nombre 15. Écrivons la solution.

(24 + 15) : 3 = 8 + 5

Aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec la règle de division d'une somme par un nombre, nous nous sommes entraînés à résoudre des exemples sur le sujet de la leçon.

Bibliographie

1. MI. Moro, MA Bantova et autres Mathématiques: Manuel. Grade 3: en 2 parties, partie 1. - M.: "Lumières", 2012.
2. MI. Moro, MA Bantova et autres Mathématiques: Manuel. Grade 3: en 2 parties, partie 2. - M.: "Lumières", 2012.
3. MI. Moreau. Cours de mathématiques : lignes directrices pour les enseignants. 3e année - M. : Éducation, 2012.
4. Acte réglementaire. Suivi et évaluation des résultats d'apprentissage. - M. : "Lumières", 2011.
5. "School of Russia": Programmes pour l'école primaire. - M. : "Lumières", 2011.
6. SI. Volkov. Mathématiques : travail d'évaluation. 3e année - M. : Éducation, 2012.
7. V.N. Roudnitskaïa. Essais. - M. : « Examen », 2012.

Dans cet article, nous étudierons les représentations générales associées à la division des nombres naturels. On les appelle propriétés du processus de fission. Nous analyserons les principales, expliquerons leur signification et appuierons notre raisonnement par des exemples.

Division de deux nombres naturels égaux

Pour comprendre comment diviser un nombre naturel par un autre égal à lui, vous devez revenir à la compréhension de la signification du processus de division lui-même. Le résultat final dépend du sens que nous donnons au diviseur. Examinons deux options possibles.

Nous avons donc a éléments (a est un nombre naturel arbitraire). Distribuons les objets en groupes de manière égale, tandis que le nombre de groupes doit être égal à a. Évidemment, dans ce cas, il n'y aura qu'un seul sujet dans chaque groupe.

Reformulons un peu différemment : comment répartir un items en groupes d'un items dans chacun ? Combien y aura-t-il de groupes au final ? Bien sûr, un seul.

Résumons et dérivons la première propriété de diviser des nombres naturels de même taille :

Définition 1

Diviser un nombre naturel par son égal donne un comme résultat. En d'autres termes, a : a = 1 (a est n'importe quel nombre naturel).

Prenons deux exemples pour illustrer :

Exemple 1

Si 450 est divisé par 450 , ce sera 1 . Si 67 est divisé par 67 , vous obtenez 1 .

Comme vous pouvez le voir, rien ne dépend des nombres spécifiques ici, le résultat sera le même, à condition que le dividende et le diviseur soient égaux.

Division d'un nombre naturel par un

Comme dans le paragraphe précédent, commençons par les tâches. Disons que nous avons des éléments d'un montant égal à a . Il est nécessaire de les diviser en plusieurs parties, d'un sujet chacune. Il est clair que nous aurons des parties.

Et si nous demandons : combien d'objets seront dans le groupe si un objet y est placé ? La réponse est évidente - a.

Ainsi, nous abordons la formulation de la propriété de diviser les nombres naturels par 1 :

Définition 2

En divisant un nombre naturel par un, vous obtenez le même nombre, c'est-à-dire a : 1 = a.

Prenons 2 exemples :

Exemple 2

Si vous divisez 25 par 1, vous obtenez 25.

Exemple 3

Si vous divisez 11 345 par 1, le résultat est 11 345.

Absence de propriété commutative pour la division des nombres naturels

Dans le cas de la multiplication, nous pouvons librement échanger les facteurs et obtenir le même résultat, mais cette règle ne s'applique pas à la division. L'échange du dividende et du diviseur n'est possible que s'il s'agit de nombres naturels égaux (nous avons déjà considéré cette propriété dans le premier paragraphe). Autrement dit, nous pouvons dire que la propriété commutative ne s'applique qu'au cas où des nombres naturels égaux participent à la division.

Dans d'autres cas, il est impossible d'échanger le dividende avec le diviseur, car cela conduira à une distorsion du résultat. Expliquons plus en détail pourquoi.

On ne peut pas toujours diviser n'importe quel nombre naturel en d'autres, également pris arbitrairement. Par exemple, si le dividende est inférieur au diviseur, nous ne pouvons pas résoudre un tel exemple (nous analyserons comment diviser les nombres naturels avec un reste dans un matériau séparé). En d'autres termes, si un nombre naturel est égal à a , peut-on diviser par b ? Et leurs valeurs ne sont pas égales, alors a sera supérieur à b , et l'entrée b : a n'aura pas de sens. Dérivons la règle :

Définition 3

Division de la somme de 2 nombres naturels par un autre nombre naturel

Pour mieux expliquer cette règle, prenons quelques exemples illustratifs.

Nous avons un groupe d'enfants parmi lesquels nous devons répartir équitablement les mandarines. Les fruits sont empilés dans deux sacs. Prenons la condition que le nombre de mandarines soit tel que vous puissiez les diviser en tous les enfants sans laisser de trace. Vous pouvez verser les mandarines dans un emballage commun, puis diviser et distribuer. Et vous pouvez d'abord diviser les fruits d'un paquet, puis d'un autre. Évidemment, dans les deux cas, personne ne sera offensé et tout sera partagé également. Par conséquent, nous pouvons dire :

Définition 4

Le résultat de la division de la somme de 2 nombres naturels par un autre nombre naturel est égal au résultat de l'addition des quotients de la division de chaque terme par le même nombre naturel, c'est-à-dire (a + b) : c = a : c + b : c . Dans ce cas, les valeurs de toutes les variables sont des nombres naturels, la valeur de a peut être divisée par c, et b peut également être divisé par c sans reste.

Nous avons une égalité, sur le côté droit de laquelle la division est effectuée en premier et l'addition est effectuée en second (rappelez-vous comment effectuer correctement les opérations arithmétiques dans l'ordre).

Prouvons la validité de l'égalité résultante avec un exemple.

Exemple 4

Prenons pour cela des nombres naturels convenables : (18 + 36) : 6 = 18 : 6 + 36 : 6 .

Maintenant, nous calculons et découvrons si c'est vrai. Calculons la valeur du côté gauche : 18 + 36 = 54 , et (18 + 36) : 6 = 54 : 6 .

Nous nous souvenons du résultat de la table de multiplication (si vous l'avez oublié, trouvez-y la valeur souhaitée): 54 : 6 = 9.

On se souvient combien ce sera 18 : 6 \u003d 3 et 36 : 6 \u003d 6. Donc 18 : 6 + 36 : 6 = 3 + 6 = 9.

Il s'avère que l'égalité est correcte : (18 + 36) : 6 = 18 : 6 + 36 : 6 .

La somme des nombres naturels, qui est dans l'exemple sous forme de dividende, peut être non seulement 2, mais aussi 3 ou plus. Cette propriété, combinée à la propriété associative d'addition des nombres naturels, nous permet également d'effectuer de tels calculs.

Exemple 5

Ainsi, (14 + 8 + 4 + 2) : 2 sera égal à 14 : 2 + 8 : 2 + 4 : 2 + 2 : 2 .

Division de la différence de 2 nombres naturels par un autre nombre naturel

De même, nous pouvons dériver une règle pour la différence des nombres naturels, que nous diviserons par un autre nombre naturel :

Définition 5

Le résultat de la division de la différence de deux nombres naturels par le tiers est égal à ce que nous obtenons en soustrayant du quotient de la diminution et du troisième nombre le quotient de la soustraction et du troisième nombre.

Celles. (a - b) : c = a : c - b : c . Les valeurs des variables sont des nombres naturels, tandis que a est supérieur ou égal à b, a et b peuvent être divisés par c .

Nous démontrons la validité de cette règle par un exemple.

Exemple 6

Remplacez les valeurs appropriées dans l'équation et calculez : (45 - 25) : 5 = 45 : 5 - 25 : 5 . 45 - 25 = 20 (nous avons déjà écrit sur la façon de trouver la différence entre les nombres naturels). (45 - 25) : 5 = 20 : 5 .

D'après la table de multiplication, on rappelle que le résultat sera égal à 4.

On considère le côté droit : 45 : 5 - 25 : 5. 45 : 5 = 9, et 25 : 5 = 5, résultant en 45 : 5 - 25 : 5 = 9 - 5 = 4. 4 \u003d 4, il s'avère que (45 - 25) : 5 \u003d 45 : 5 - 25 : 5 est la bonne égalité.

Division du produit de deux nombres naturels par un autre nombre naturel

Rappelons quel lien existe entre division et multiplication, alors la propriété de diviser un produit par un nombre naturel égal à l'un des facteurs nous apparaîtra évidente. Dérivons la règle :

Définition 6

Si nous divisons le produit de deux nombres naturels par un tiers égal à l'un des facteurs, nous obtenons un nombre égal à l'autre facteur.

Sous forme littérale, cela peut s'écrire (a b) : a = b ou (a b) : b = a (les valeurs a et b sont des nombres naturels).

Exemple 7

Ainsi, le résultat de la division du produit de 2 et 8 par 2 sera égal à 8, et (3 7) : 7 = 3.

Mais que se passe-t-il si le diviseur n'est égal à aucun des facteurs qui forment le dividende ? Ensuite, une autre règle s'applique ici :

Définition 7

Le résultat de la division du produit de deux nombres naturels par un troisième nombre naturel est égal à ce qui se passe si l'un des facteurs est divisé par ce nombre et que le résultat est multiplié par un autre facteur.

Nous avons reçu une déclaration très peu évidente à première vue. Cependant, si l'on tient compte du fait que la multiplication des nombres naturels se réduit en fait à l'addition de termes égaux en valeur (voir le matériel sur la multiplication des nombres naturels), alors cette propriété peut être dérivée d'une autre, que nous parlé un peu plus haut.

Écrivons cette règle sous forme littérale (les valeurs de toutes les variables sont des nombres naturels).

Si nous pouvons diviser a par c , alors ce sera vrai (a b) : c = (a : c) b .

Si b est divisible par c, alors (a b) est vrai : c = a (b : c) .

Si a et b sont tous deux divisibles par c, alors nous pouvons assimiler une égalité à une autre : (a b) : c = (a : c) b = a (b : c) .

En tenant compte de la propriété ci-dessus de diviser un produit par un autre nombre naturel, les égalités (8 6) : 2 = (8 : 2) 6 et (8 6) : 2 = 8 (6 : 2) seront vraies.

On peut les écrire sous la forme d'une double égalité : (8 6) : 2 = (8 : 2) 6 = 8 (6 : 2) .

Division d'un nombre naturel par le produit de 2 autres nombres naturels

Encore une fois, nous allons commencer par un exemple. Nous avons un certain nombre de prix, appelons cela un . Ils doivent être équitablement répartis entre les membres de l'équipe. Notons le nombre de participants par la lettre c, et le nombre d'équipes par la lettre b. Dans ce cas, nous prenons de telles valeurs des variables pour lesquelles l'enregistrement de division aura un sens. Le problème peut être résolu de deux manières différentes. Considérons les deux.

1. Vous pouvez calculer le nombre total de participants en multipliant b par c, puis en divisant tous les prix par le nombre obtenu. Sous forme littérale, cette solution peut s'écrire a : (b c) .

2. Vous pouvez d'abord diviser les prix par le nombre d'équipes, puis les répartir au sein de chaque équipe. Écrivons-le sous la forme (a: b) : c .

Évidemment, les deux méthodes nous donneront des réponses identiques. Par conséquent, nous pouvons assimiler les deux égalités entre elles : a : (b c) = (a : b) : c . Ce sera l'enregistrement littéral de la propriété de division que nous considérons dans ce paragraphe. Formulons la règle :

Définition 8

Le résultat de la division d'un nombre naturel par un produit est égal au nombre obtenu en divisant ce nombre par l'un des facteurs et en divisant le quotient résultant par un autre facteur.

Exemple 8

Donnons un exemple de tâche. Montrons que l'égalité 18 est vraie : (2 3) = (18 : 2) : 3 .

Calculons le côté gauche : 2 3 = 6, et 18 : (2 3) est 18 : 6 = 3.

On considère le côté droit : (18 : 2) : 3 . 18 : 2 = 9, et 9 : 3 = 3, puis (18 : 2) : 3 = 3.

Nous avons fini avec 18 : (2 3) = (18 : 2) : 3 . Cette égalité nous illustre la propriété de division que nous avons donnée dans ce paragraphe.

Division de zéro par un nombre naturel

C'est quoi nul ? Plus tôt, nous avons convenu que cela signifie l'absence de quelque chose. Zéro n'est pas un nombre naturel. Il s'avère que si nous divisons zéro par un nombre naturel, cela reviendra à essayer de diviser le vide en parties. Il est clair qu'à la fin nous n'obtiendrons toujours "rien", peu importe en combien de parties nous le diviserons. Nous en déduisons la règle :

Définition 9

Lorsque nous divisons zéro par n'importe quel nombre naturel, nous obtenons zéro. Sous forme littérale, cela s'écrit 0 : a = 0 , tandis que la valeur de la variable peut être n'importe laquelle.

Exemple 9

Ainsi, par exemple, 0:19 = 0 et 0:46869 serait également égal à zéro.

Division d'un nombre naturel par zéro

Cette action ne peut pas être effectuée. Découvrons exactement pourquoi.

Prenez un nombre arbitraire a et supposez qu'il peut être divisé par 0 pour obtenir un certain nombre b en conséquence. Écrivons-le sous la forme a : 0 = b . Rappelons-nous maintenant comment la multiplication et la division sont liées, et nous dérivons l'égalité b · 0 = a, qui devrait également être valide.

Mais plus tôt, nous avons déjà expliqué la propriété de multiplier les nombres naturels par zéro. Selon lui b · 0 = 0 . Si nous comparons les égalités résultantes, nous obtenons qu'un \u003d 0, et cela contredit la condition d'origine (après tout, zéro n'est pas un nombre naturel). Il s'avère que nous avons une contradiction, ce qui prouve l'impossibilité d'une telle action.

Définition 10

Vous ne pouvez pas diviser un nombre naturel par zéro.

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Diviser un nombre par un produit. Apprenez à connaître et pratiquez les techniques de division d'un nombre par un produit.

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Division d'entiers, règles, exemples.

Dans cet article, nous allons analyser la division d'entiers sans reste. Ici, nous ne parlerons que de la division de tels entiers, dont les valeurs absolues sont divisées par un entier (voir la signification de la division des nombres naturels sans reste). Nous parlerons de la division des nombres entiers avec un reste dans un article séparé.

Tout d'abord, nous introduisons les termes et la notation que nous utiliserons pour décrire la division des nombres entiers. Ensuite, nous indiquons la signification de la division des nombres entiers, ce qui nous aidera à obtenir les règles de division des nombres entiers positifs, des nombres entiers négatifs et des nombres entiers de signes différents. Ici, nous examinerons des exemples d'application des règles de division des nombres entiers. Enfin, nous montrerons comment vérifier le résultat de la division d'entiers.

Termes et notation

Pour décrire la division des nombres entiers, nous utiliserons les mêmes termes et notations que nous avons utilisés pour décrire la division des nombres naturels (voir la section sur la théorie du dividende, du diviseur, du quotient et du signe de division). Rappelons-leur.

Le nombre entier qui est divisé s'appelle divisible. L'entier par lequel la division est effectuée est appelé diviseur. Le résultat de la division d'entiers s'appelle privé.

La division est désignée par un symbole de la forme :, qui est situé entre le dividende et le diviseur (il y a parfois un symbole ÷, qui désigne également la division). La division d'un entier a par un entier b peut s'écrire à l'aide du symbole : as a:b . Si le résultat de la division d'un entier a par un entier b est le nombre c , alors ce fait s'écrit commodément comme l'égalité a:b=c . Une expression de la forme a:b est aussi appelée private, tout comme la valeur de cette expression.

La signification de la division entière

Nous connaissons l'existence d'un lien entre la multiplication et la division des nombres naturels. De cette connexion, nous avons conclu que la division trouve un facteur inconnu lorsque le deuxième facteur et le produit sont connus. Donnons le même sens à la division des nombres entiers. C'est-à-dire que la division d'entiers est la découverte d'un produit donné et de l'un des facteurs entiers d'un autre facteur entier.

Sur la base de la signification de la division d'entiers, nous pouvons dire que si le produit de deux entiers a et b est égal à c , alors le quotient de division de c par a est b , et le quotient de division de c par b est a . Prenons un exemple. Disons que nous savons que le produit de deux entiers 5 et −7 est −35 , alors nous pouvons dire que le quotient (−35):5 est −7 , et le quotient (−35):(−7) est 5 .

Notez que le quotient d'un entier a divisé par un entier b est un entier (si a est divisible par b sans reste).

Règles de division entière

Le sens de la division des nombres entiers, indiqué au paragraphe précédent, permet d'affirmer que l'un des deux facteurs est le quotient de la division de leur produit par l'autre facteur. Mais cela ne permet pas de trouver le facteur inconnu à partir du facteur connu et du produit. Par exemple, l'égalité 6·(−7)=−42 permet de dire que les quotients (−42):6 et (−42):(−7) valent respectivement −7 et 6 . Cependant, si nous savons que le produit de deux facteurs est 45 et que l'un des facteurs est −5, alors le sens de la division des nombres entiers ne nous donne pas une réponse directe à la question de savoir quel est l'autre facteur.

Ces considérations nous amènent à la conclusion suivante : nous avons besoin de règles qui nous permettent de diviser un entier par un autre. Maintenant, nous allons les obtenir. Ces règles vont nous permettre de réduire la division des nombres entiers à la division des nombres naturels.

Division d'entiers positifs

Les nombres entiers positifs sont des nombres naturels, donc la division des nombres entiers positifs est effectuée selon toutes les règles de division des nombres naturels. Il n'y a rien de plus à ajouter ici, cela vaut seulement la peine de considérer la solution de quelques exemples dans lesquels la division d'entiers positifs est effectuée.

Divisez l'entier positif 104 par l'entier positif 8 .

Le dividende 104 dans ce cas peut être représenté comme la somme 80 + 24, puis utiliser la règle de division de la somme par un nombre donné. Nous obtenons 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13 .

Calculez le quotient 308 716:452 .

Dans ce cas, le quotient de division de ces entiers positifs est plus facile à obtenir en divisant en une colonne :

Règle de division d'entiers négatifs, exemples

Le raisonnement suivant nous aidera à formuler la règle de division des nombres entiers négatifs.

Disons que nous devons diviser un entier négatif a par un entier négatif b . Désignons par la lettre c le quotient souhaité en divisant a par b , c'est-à-dire a:b=c . Cherchons d'abord quelle est la valeur absolue du nombre c.

En vertu de la signification de division d'entiers, l'égalité b·c=a devrait être vraie. Puis . Les propriétés du module d'un nombre permettent d'écrire l'égalité , donc . De l'égalité obtenue, il résulte que, c'est-à-dire la valeur absolue du quotient de la division est égale au quotient de la division des modules du dividende et du diviseur.

Il reste à déterminer le signe du nombre c. En d'autres termes, découvrez si un entier positif ou négatif est le résultat de la division d'entiers négatifs.

Au sens de la division des nombres entiers, l'égalité b·c=a est vraie. Alors il découle des règles de multiplication des nombres entiers que le nombre c doit être positif. Sinon, b c sera le produit d'entiers négatifs, qui, selon la règle de multiplication, sera égal au produit des modules de facteurs, donc ce sera un nombre positif, et notre nombre a est un entier négatif. De cette façon, le quotient c de la division d'entiers entiers négatifs est un entier positif.

Combinons maintenant les conclusions tirées dans la règle de division des nombres entiers négatifs. Pour diviser un entier négatif par un entier négatif, il faut diviser le module du dividende par le module diviseur. Autrement dit, si a et b sont des entiers négatifs, alors .

Considérez l'application de la règle de division des nombres entiers négatifs lors de la résolution d'exemples.

Divisez l'entier négatif −92 par l'entier négatif −4 .

Selon la règle de division des nombres entiers négatifs, le résultat souhaité est égal au quotient de la division du module du divisible par le module du diviseur. Nous recevons.

Division des nombres naturels : règles, exemples et solutions.

Dans cet article, nous traiterons des règles selon lesquelles division de nombres naturels. Ici, nous ne considérerons que division de nombres naturels sans reste, ou, comme on l'appelle aussi, division entière(c'est-à-dire uniquement les cas dans lesquels le sens de la division des nombres naturels est préservé). La division des nombres naturels avec reste> mérite un article à part.

Les règles de division des nombres naturels ne peuvent être formulées que si nous traçons le lien entre la division et la multiplication, ce qui a été fait au tout début de cet article. De plus, les règles de division les plus simples sont analysées, qui découlent directement des propriétés de cette action - il s'agit de la division de nombres naturels égaux et de la division d'un nombre naturel par un. Après cela, la division à l'aide de la table de multiplication est examinée en détail avec des exemples. Ce qui suit montre comment s'effectue la division par dix, cent, mille, etc., division des nombres naturels dont les entrées se terminent par le chiffre 0, et tous les autres cas. Tout le matériel est fourni avec des exemples avec une description détaillée des solutions. À la fin de l'article, il est montré comment le résultat de la division est vérifié à l'aide de la multiplication. En conséquence, vous aurez toutes les compétences nécessaires pour diviser des nombres naturels arbitraires.

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Relation entre division et multiplication

Explorons la relation entre la division et la multiplication. Pour ce faire, rappelons que la division est associée à la représentation de l'ensemble que nous divisons comme une union de plusieurs ensembles identiques dans lesquels nous divisons l'ensemble d'origine (nous en avons parlé dans la section sur l'idée générale de division) . À son tour, la multiplication est associée à l'union d'un certain nombre d'ensembles identiques en un seul (si nécessaire, reportez-vous à la section théorie pour une idée générale de la multiplication). De cette façon, la division est l'inverse de la multiplication.

Expliquons ce que signifie la dernière phrase.

Pour ce faire, considérez la situation suivante. Disons que nous avons b ensembles de c éléments chacun, et nous les fusionnons en un seul ensemble qui donne a éléments. Sur la base de la signification de la multiplication des nombres naturels, on peut affirmer que l'action décrite correspond à l'égalité c·b=a . Maintenant, l'ensemble résultant est à nouveau divisé en b ensembles identiques. Il est clair que dans ce cas il y aura c objets dans chaque ensemble résultant. Ensuite, en se souvenant de la signification de la division des nombres naturels, nous pouvons écrire l'égalité a:b=c .

Nous arrivons à l'énoncé suivant : si le produit des nombres naturels c et b est égal à a, alors le quotient de diviser a par b est égal à c.

Donc, si c b=a , alors a:b=c . Cependant, en raison de la propriété commutative de la multiplication des nombres naturels, nous pouvons réécrire l'égalité c·b=a sous la forme b·c=a , d'où il s'ensuit que a:c=b . Ainsi, si nous savons que le produit de deux nombres naturels c et b est égal à a , c'est-à-dire c b=a , alors nous pouvons dire que les quotients a:b et a:c sont respectivement égaux à c et b.

Sur la base de toutes les informations fournies, il est possible de définir la division des nombres naturels basée sur la multiplication.

Division- c'est une opération par laquelle on trouve un facteur, alors que le produit et l'autre facteur sont connus.

Sur la base de cette définition, nous allons construire les règles de division des nombres naturels.

Division de nombres naturels sous forme de soustraction successive

En principe, savoir que la division est l'inverse de la multiplication suffit pour apprendre à effectuer cette opération. Cependant, je voudrais parler d'une autre approche de la division des nombres naturels, dans laquelle la division est considérée comme une soustraction séquentielle. Cela est dû à sa simplicité et à son évidence.

Pour que tout soit aussi clair que possible, regardons un exemple.

Quel est le résultat de la division de 12 par 4 ?

Sur la base de la signification de la division des nombres naturels, la tâche peut être modélisée comme suit : il y a 12 éléments, ils doivent être divisés en piles égales de 4 éléments chacune, le nombre de piles obtenues nous donnera une réponse à la question, ce qui est le quotient 12 : 4.

Prenons séquentiellement, étape par étape, 4 éléments parmi les éléments source et formons les piles requises à partir d'eux jusqu'à épuisement des éléments source. Le nombre d'étapes que nous devons suivre nous indiquera le nombre de piles résultantes, et donc la réponse à la question posée.

Ainsi, sur les 12 éléments de départ, nous en mettons 4 de côté, ils forment la première pile. Après cette action, 12−4=8 éléments restent dans le tas d'origine (si nécessaire, souvenez-vous de la signification de soustraire des nombres naturels). De ces 8 objets, nous prenons 4 autres objets et formons une deuxième pile à partir d'eux. Après cette action, 8−4=4 objets restent dans la pile d'objets d'origine. Évidemment, à partir des éléments restants, il est possible de former un troisième tas d'affilée, après quoi nous n'aurons plus un seul élément dans le tas d'origine (c'est-à-dire que nous aurons 4−4=0 éléments dans le tas d'origine ). Ainsi, nous avons obtenu 3 tas, et nous pouvons dire que nous avons divisé le nombre naturel 12 par le nombre naturel 4 , tout en obtenant 3 .

Maintenant, éloignons-nous des objets et voyons ce que nous avons fait avec les nombres naturels 12 et 4 ? Nous avons effectué la soustraction séquentielle du diviseur 4 jusqu'à ce que nous obtenions zéro, tout en comptant le nombre d'actions requises, ce qui nous a donné le résultat de la division.

Sortir: la division d'un nombre naturel par un autre peut se faire en effectuant des soustractions successives.

Pour consolider le contenu de ce paragraphe de l'article, considérons la solution d'un autre exemple.

Calculez le quotient 108:27 en soustrayant séquentiellement.

Première action : 108−27=81 (pour les problèmes de soustraction, voir l'article soustraction de nombres naturels).

Deuxième action : 81−27=54 .

Troisième action : 54−27=27 .

Donc, nous avons obtenu zéro en soustrayant successivement 4 fois, donc, 108:27=4 .

Il convient de noter que la division des nombres naturels de cette manière n'est pratique à utiliser que lorsqu'un petit nombre de soustractions consécutives est nécessaire pour obtenir un résultat. Dans d'autres cas, les règles de division des nombres naturels sont utilisées, que nous analyserons en détail ci-dessous.

Division de nombres naturels égaux

Le quotient de la division d'un nombre naturel par son nombre naturel égal est égal à un. Cette déclaration est une propriété de diviser des nombres naturels égaux.

Par exemple, 1:1=1 , 143:143=1 , le résultat de la division des nombres naturels 10555 et 10555 est également un.

Division d'un nombre naturel par un

La propriété de diviser un nombre naturel par un nous permet de formuler immédiatement la règle de division correspondante. Cela ressemble à ceci : le quotient de la division de tout nombre naturel par un est égal au nombre naturel divisible.

Par exemple, 21:1=21, 13003:1=13003, de même, le résultat de la division du nombre naturel 555987 par un est le nombre 555987.

Division de nombres naturels à l'aide de la table de multiplication

Comme vous le savez, la table de multiplication permet de trouver le produit de deux nombres naturels à un chiffre.

À l'aide de la table de multiplication, vous pouvez également trouver l'un des deux facteurs à valeur unique si le produit et l'autre facteur sont connus. Et nous avons découvert dans le premier paragraphe de cet article que la division consiste à trouver l'un des facteurs par le produit et un autre facteur. Ainsi, à l'aide de la table de multiplication, vous pouvez diviser n'importe lequel des nombres naturels situés dans la table de multiplication sur fond rose par un nombre naturel à un chiffre.

Par exemple, divisons 48 par 6 . Avec la table de multiplication, cela peut être fait de deux manières. Nous donnerons d'abord une illustration graphique, après quoi nous donnerons une description.

La première voie (correspond à la figure ci-dessus à gauche). Nous trouvons le dividende (dans notre exemple, il s'agit d'un nombre naturel 48) dans la colonne dans laquelle se trouve le diviseur dans la cellule supérieure (pour notre exemple, le nombre 6). Le résultat de la division se trouve dans la cellule la plus à gauche de la ligne dans laquelle se trouve le dividende trouvé. Pour notre exemple, il s'agit du chiffre 8 , qui est entouré de bleu.

La deuxième voie (correspond à la figure ci-dessus à droite). Nous trouvons le dividende 48 dans la ligne, dans la cellule de gauche dont le diviseur est 6. Le quotient souhaité dans ce cas est situé dans la cellule supérieure de la colonne dans laquelle se trouve le dividende trouvé 48. Le résultat est entouré en bleu.

Donc, en utilisant la table de multiplication, nous avons divisé 48 par 6 et avons obtenu 8.

Pour consolider le matériel, nous présentons un dessin montrant le processus de division du nombre naturel 7 par 1.

Division par 10 , 100 , 1000 etc.

Nous donnerons immédiatement la formulation de la règle de division des nombres naturels par 10, 100, 1000, ... (nous supposerons qu'une telle division est possible) et donnerons un exemple, puis nous donnerons les explications nécessaires.

Le résultat de la division d'un nombre naturel par 10, 100, 1000, etc. est un nombre naturel, dont l'enregistrement est obtenu à partir de l'enregistrement du dividende, si un, deux, trois, etc. zéros sont supprimés à droite (c'est-à-dire, autant de chiffres 0 sont supprimés qu'il y en a dans l'enregistrement du dividende).

Par exemple, le quotient de la division du nombre 30 par 10 est 3 (un chiffre 0 a été supprimé du dividende 30 à droite) et le quotient 120 000: 1 000 est 120 (trois chiffres 0 ont été supprimés de la droite de 120 000).

La règle énoncée est assez simple à justifier. Pour ce faire, il suffit de rappeler les règles de multiplication d'un nombre naturel par dix, cent, mille, etc. Prenons un exemple. Supposons que nous devions calculer le quotient 10 200:100 . Puisque 102 100 = 10 200 , alors, en raison du lien entre l'addition et la multiplication, le résultat de la division du nombre naturel 10 200 par 100 est le nombre naturel 102 .

Représentation du dividende en tant que produit

Parfois, la division des nombres naturels permet la représentation du dividende comme un produit de deux nombres, dont au moins un est divisible par un diviseur. Cette méthode de division est basée sur la propriété de diviser le produit de deux nombres par un nombre naturel.

Prenons l'un des exemples typiques les plus simples.

Divisez 30 par 3.

Évidemment, le dividende 30 peut être représenté comme un produit des nombres naturels 3 et 10. Nous avons 30:3=(3 10):3 . Utilisez la propriété de diviser le produit de deux nombres par un nombre naturel. Nous avons (3 10):3=(3:3) 10=1 10=10 . Ainsi, le quotient de la division de 30 par 3 est de 10.

Donnons des solutions à quelques exemples similaires.

Divisez 7200 par 72.

Dans ce cas, le dividende 7200 peut être considéré comme le produit des nombres 72 et 100. Dans ce cas, nous obtenons le résultat suivant : 7 200:72=(72 100):72= (72:72) 100=1 100=100 .

Divisez 1 600 000 par 160.

Évidemment, 1 600 000 est le produit de 160 et 10 000 , donc 1 600 000:160=(160 10 000):160= (160:160) 10 000=1 10 000=10 000 .

1 600 000:160=10 000 .

Dans des exemples plus complexes, lors de la représentation du dividende en tant que produit, il faut se concentrer sur la table de multiplication. D'après les exemples suivants, il sera clair ce que nous voulons dire.

Divisez le nombre naturel 5400 par 9.

D'après la table de multiplication, on peut diviser 54 par 9, il est donc logique de représenter le divisible 5400 comme un produit de 54 100 et de terminer la division : 5 400:9=(54 100):9= (54:9) 100=6 100 =600 .

Pour consolider le matériel, considérons la solution d'un autre exemple.

Calculons le quotient 120:4.

Pour ce faire, nous représentons le dividende 120 comme un produit de 12 et 10, après quoi nous utilisons la propriété de diviser le produit de deux nombres par un nombre naturel. Nous avons 120:4=(12 10):4=(12:4) 10=3 10=30 .

Division de nombres naturels dont les entrées se terminent par les chiffres 0

Ici, nous devons rappeler la propriété de diviser un nombre naturel par le produit de deux nombres. Expliquons pourquoi. Pour effectuer la division des nombres naturels dont les entrées se terminent par les chiffres 0 , le diviseur est représenté comme un produit de deux nombres naturels, après quoi la propriété de division mentionnée est appliquée.

Traitons cela avec des exemples. Prenons deux nombres naturels dont les entrées se terminent par les chiffres zéro et divisons-les.

Divisez 490 par 70.

Puisque 70=10 7 , alors 490:70=490:(10 7) . La dernière expression, due à la propriété de diviser un nombre naturel par un produit, est égale à (490:10):7. Nous avons appris à diviser par 10 dans l'un des paragraphes précédents, nous obtenons (490:10):7=49:7. Nous trouvons le quotient résultant de la table de multiplication, nous obtenons ainsi 490:70=7.

Pour consolider le matériel, considérons la solution d'un autre exemple plus complexe.

Calculons le quotient 54 000:5 400 .

Nous représentons 5400 comme un produit de 100 54 et divisons l'entier naturel par le produit : 54 000:5 400=54 000:(100 54)= (54 000:100):54=540:54 . Il reste ici à représenter 540 par 54 10 (si nécessaire, revenir au paragraphe précédent) et à compléter les calculs : 540:6=(54 10):54= (54:54) 10=1 10=10 . Donc 54000:5400=10 .

Les informations de ce paragraphe peuvent être résumées par la déclaration suivante : si les nombres à droite du dividende et du diviseur sont 0, alors dans les enregistrements, vous devez vous débarrasser du même nombre de zéros à droite, puis diviser les nombres obtenus. Par exemple, la division des nombres naturels 818 070 000 et 201 000 est réduite à la division des nombres 818 070 et 201 après avoir supprimé trois chiffres 0 dans les entrées du dividende et du diviseur à droite.

Sélection de privé

Soit les nombres naturels a et b tels que a soit divisible par b, et si b est multiplié par 10, alors vous obtenez un nombre supérieur à a. Dans ce cas, le quotient a:b est un nombre naturel à un chiffre, c'est-à-dire un nombre de 1 à 9 , et est le plus facile à saisir. Pour ce faire, le diviseur est successivement multiplié par 1, 2, 3, et ainsi de suite jusqu'à ce que le produit soit égal au divisible. Dès qu'une telle égalité est obtenue, le quotient a:b sera trouvé.

Trouvons le quotient 108:27 .

Évidemment, le diviseur 108 est inférieur à 27 10=270 (si besoin se référer à l'article comparaison des nombres naturels). Choisissons-en un privé. Pour ce faire, nous allons multiplier séquentiellement le diviseur 27 par 1, 2, 3, ... jusqu'à obtenir le dividende 108. Allons-y : 27 1=27 , 27 2=54 , 27 3=81 , 27 4=108 (si besoin, voir l'article multiplication de nombres naturels). Par conséquent, 108:27=4.

En concluant ce paragraphe, nous notons que dans de tels cas le quotient ne peut pas être sélectionné, mais trouvé par soustraction successive.

Représenter le dividende comme une somme de nombres naturels

Si toutes les méthodes discutées ci-dessus ne permettent pas la division des nombres naturels, alors le dividende doit être représenté comme la somme de plusieurs termes, dont chacun est facilement divisible par un diviseur. Ensuite, vous devrez utiliser la propriété de diviser la somme des nombres naturels par un nombre donné et terminer les calculs. La question principale demeure : « Sous la forme de quels termes représenter le dividende » ?

Décrivons un algorithme pour obtenir des termes qui s'additionnent au dividende. Pour une plus grande accessibilité, nous considérerons simultanément un exemple dans lequel le dividende est 8551 , et le diviseur est 17 .

Tout d'abord, nous calculons de combien le nombre de caractères dans l'entrée de dividende est supérieur au nombre de caractères dans l'entrée de diviseur, et nous nous souvenons de ce nombre.

Par exemple, si le dividende est un nombre naturel 8 551 et que le diviseur est le nombre 17, alors l'enregistrement du dividende contient 2 caractères de plus (8 551 est un nombre à quatre chiffres, 17 est un nombre à deux chiffres, donc la différence du nombre de caractères est déterminée par la différence 4−2=2) . C'est-à-dire, rappelez-vous le numéro 2.

Maintenant, dans l'entrée du diviseur à droite, nous ajoutons les nombres 0 au montant déterminé par le nombre obtenu au paragraphe précédent. De plus, si le nombre écrit est supérieur au dividende, alors soustrayez 1 du nombre mémorisé au paragraphe précédent.

Revenons à notre exemple. Dans l'enregistrement du diviseur 17, nous ajoutons deux chiffres 0 à droite, et nous obtenons le nombre 1 700. Ce nombre est inférieur au dividende 8 551 , donc le nombre mémorisé au paragraphe précédent n'a PAS besoin d'être réduit de 1 . Ainsi, nous avons le chiffre 2 en mémoire.

Après cela, au numéro 1 à droite, nous attribuons les numéros 0 dans la quantité déterminée par le numéro mémorisé dans le paragraphe précédent. Dans ce cas, nous obtenons une unité de décharge, avec laquelle nous travaillerons plus loin.

Dans notre exemple, nous attribuons 2 zéros au nombre 1, nous avons le nombre 100, c'est-à-dire que nous allons travailler avec la place des centaines.

Maintenant, nous multiplions successivement le diviseur par 1, 2, 3, ... unités du chiffre de travail jusqu'à obtenir un nombre supérieur au divisible.

Dans notre exemple, le chiffre de travail est le chiffre des centaines. Par conséquent, nous multiplions d'abord le diviseur par une unité de la place des centaines, c'est-à-dire que nous multiplions 17 par 100, nous obtenons 17 100=1 700 . Le nombre résultant 1 700 est inférieur au dividende 8 551, nous procédons donc à la multiplication du diviseur par deux unités de la place des centaines, c'est-à-dire que nous multiplions 17 par 200. Nous avons 17 200=3 400 8 551 .

Le nombre obtenu à l'avant-dernière étape lors de la multiplication est le premier des termes requis.

Dans l'exemple analysé, le terme recherché est le nombre 8 500 (ce nombre est égal au produit 17 500 , d'où l'on voit que 8 500:17=500 , nous utiliserons cette égalité plus loin).

Après cela, nous trouvons la différence entre le dividende et le premier terme trouvé. Si le nombre résultant n'est pas égal à zéro, passez à la recherche du deuxième terme. Pour ce faire, nous répétons toutes les étapes décrites de l'algorithme, mais nous prenons déjà le nombre obtenu ici comme dividende. Si à ce stade, nous obtenons à nouveau un nombre autre que zéro, nous procédons à la recherche du troisième terme, en répétant une fois de plus les étapes de l'algorithme, en prenant le nombre résultant comme un dividende. Et donc nous allons plus loin, en trouvant les quatrième, cinquième et suivants termes, jusqu'à ce que le nombre obtenu dans ce paragraphe soit égal à zéro. Dès que nous obtenons 0 ici, tous les termes sont trouvés et nous pouvons passer à la dernière partie du calcul du quotient d'origine.

Revenons à notre exemple. A cette étape, nous avons 8 551−8 500=51 . Puisque 51 n'est pas égal à 0, nous prenons ce nombre comme un dividende et répétons toutes les étapes de l'algorithme avec lui.

Le nombre de caractères dans les enregistrements des nombres 51 et du diviseur 17 est le même, alors souvenez-vous du nombre 0.

Dans l'enregistrement du diviseur, vous n'avez pas besoin d'ajouter un seul chiffre 0 à droite, puisque nous avons mémorisé le nombre 0. Autrement dit, le nombre 17 reste tel quel. Ce nombre est inférieur à 51 , il n'est donc pas nécessaire de soustraire un au nombre 0 mémorisé. Ainsi, nous avons le chiffre 0 en mémoire.

Au chiffre 1, nous n'attribuerons pas un seul chiffre 0 à droite, puisque nous avons le chiffre 0 en mémoire. C'est-à-dire que nous travaillerons avec la décharge des unités.

Maintenant, nous multiplions successivement le diviseur 17 par 1, 2, 3, et ainsi de suite, jusqu'à obtenir un nombre supérieur à 51. Nous avons 17 1=17 51 . À l'avant-dernière étape, nous avons obtenu le nombre 51 (ce nombre est égal au produit de 17 3 , et nous l'utiliserons plus loin). Par conséquent, le deuxième terme est le nombre 51.

Trouvez la différence entre le nombre 51 et le nombre 51 obtenu au paragraphe précédent. Nous avons 51−51=0 . Par conséquent, nous arrêtons la recherche de termes.

Nous savons maintenant que le dividende 8551 doit être représenté comme la somme de deux termes 8500 et 51.

Finissons de trouver le privé. Nous avons 8551:17=(8500+51):17 . Rappelons maintenant la propriété de diviser la somme de deux nombres par un nombre naturel, ce qui nous amène à l'égalité (8 500 + 51) : 17 = 8 500 : 17 + 51 : 17 . Nous avons découvert ci-dessus que 8500:17=500 et 51:17=3 . Donc 8500:17+51:17=500+3=503 . Donc, 8551:17=503 .

Pour consolider les compétences de représentation du dividende comme une somme de termes, considérons la solution d'un autre exemple.

Divisez 64 par 2.

1) Dans l'enregistrement du dividende, il y a un signe de plus que dans l'enregistrement du diviseur, alors souvenez-vous du chiffre 1.

2) Si nous ajoutons un chiffre 0 dans l'enregistrement du diviseur à droite, nous obtiendrons le nombre 20, qui est inférieur au dividende 64. Par conséquent, le nombre 1 mémorisé n'a pas besoin d'être réduit de un.

3) Maintenant à 1 nous attribuons un (puisque nous avons le chiffre 1 en mémoire) chiffre 0 à 1, nous obtenons le chiffre 10, c'est-à-dire que nous allons travailler avec des dizaines.

4) On commence le diviseur 2 en multipliant successivement par 10, 20, 30, etc. Nous avons : 2 10=20 64 . Ainsi, le premier terme est le nombre 60 (puisque 2 30 \u003d 60, puis 60 : 2 \u003d 30, cette égalité nous sera utile plus tard).

5) Calculez la différence 64−60 , qui est égale à 4 . Nous pouvons facilement diviser ce nombre par le diviseur 2, nous prendrons donc ce nombre comme deuxième (et dernier) terme. (Sans aucun doute, il était possible de prendre ce nombre comme un dividende, et de refaire toutes les étapes de l'algorithme, elles nous conduiront au fait que le deuxième terme est le nombre 4.)

Ainsi, nous avons présenté le dividende 64 comme la somme de deux termes 60 et 4. Il reste à terminer les calculs : 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32 .

Résolvons un autre exemple.

Calculons le quotient 1 178:31 .

1) Il y a 2 caractères de plus dans l'enregistrement du dividende que dans l'enregistrement du diviseur. Par conséquent, rappelez-vous le numéro 2.

2) Si nous ajoutons deux chiffres 0 à l'entrée du diviseur à droite, nous obtiendrons le nombre 3 100, qui est supérieur au dividende. Par conséquent, le nombre 2 mémorisé dans le paragraphe précédent doit être réduit de un : 2−1=1, retenez ce nombre.

3) Maintenant, au nombre 1, nous ajoutons un nombre 0 à droite, nous obtenons le nombre 10, puis nous travaillons avec des dizaines.

4) On multiplie successivement le diviseur par 10, 20, 30, etc. On obtient 31 10=310 1 178 . Nous avons donc trouvé le premier terme. Il est égal à 930 (de plus nous aurons besoin de l'égalité 930:31=30 , qui découle de l'égalité 31 30=930).

5) Calculez la différence : 1 178−930=248 . Puisque nous avons obtenu un nombre qui n'est pas égal à zéro, nous le prenons comme un dividende et commençons à rechercher le deuxième terme en utilisant le même algorithme.

1) Dans l'entrée du nombre 248, il y a 1 signe de plus que dans l'entrée du diviseur 31. Par conséquent, rappelez-vous le numéro 1.

2) Nous ajoutons un chiffre 0 à l'enregistrement du diviseur à droite, nous obtenons le nombre 310, qui est supérieur au nombre 248. Par conséquent, du nombre 1 mémorisé, vous devez soustraire 1, pendant que nous obtenons le nombre 0 et que nous nous en souvenons.

3) Puisque nous avons le chiffre 0 en mémoire, il n'est pas nécessaire d'ajouter des zéros au chiffre 1 à droite. Ainsi, nous travaillons avec des unités.

4) On multiplie successivement le diviseur 31 par 1, 2, 3 et ainsi de suite. Nous avons 31 1=31 248 . Le second terme est égal à 248 (de l'égalité 248=31 8 il s'ensuit que 248:31=8 , nous en aurons besoin plus tard).

5) Calculez la différence entre le nombre 248 et le nombre résultant 248 , nous avons 248−248=0 . Par conséquent, la recherche de termes se termine ici.

Ainsi, 1 178 est représenté comme la somme 930 + 248 . Il ne reste plus qu'à compléter les calculs : 1 178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (nous avons fait attention aux résultats de 930:31=30 et 248 : 31=8 ci-dessus) .

20/01/2016. Sujet: Division d'un produit par un nombre.

Cible: introduire une nouvelle propriété de division.

Tâches

matière:

Revoir et renforcer les propriétés de la multiplication et de la division

Améliorer les compétences en informatique;

Renforcer la capacité à résoudre des problèmes, des exemples, des équations, lire des expressions

activité-système

Savoir appliquer les propriétés de la multiplication et de la division.

personnel :

Cultiver l'amour de la Patrie, le patriotisme, l'activité cognitive.

Type de leçon : assimilation de nouvelles connaissances

Ressources matérielles : manuel de mathématiques 3e année Almatykі robinet 2014 , cartes avec exemples, tâche, règle, présentation, émoticônes, autocollants..

Pendant les cours :

1 . Org. moment

Dites bonjour avec vos yeux

Dites bonjour avec vos mains

Disons bonjour par la bouche

Cela deviendra un cercle joyeux.

Nous commençons notre leçon

Réponse amicale et rapide

Et souhaite sur le chemin

Tous les obstacles à franchir

2. Compte mental

Aujourd'hui, nous n'avons pas une simple leçon, mais une leçon-voyage. Nous partirons en voyage dans l'une des villes du Kazakhstan. Et vous apprendrez quelque chose de la ville lorsque vous découvrirez le sens des expressions.

6*3*2=36 15:3*2=10 20*2:8=5

90:3=30 4(5-2)=12 12*2:3=8

Chaque numéro correspond à une lettre, mettez-les dans le bon ordre et vous lirez le nom de la ville où nous allons faire un tour

Nous allons donc dans la capitale de notre pays, Astana

Baiterek est un symbole de notre état. Cette tour est montée sur 500 colonnes, au sommet se trouve une boule - un modèle de la sphère terrestre pesant 300 tonnes. Pas un pays au monde ne possède ce bâtiment

La hauteur de Baiterek est de 150 mètres À une hauteur de 97 mètres, il y a une terrasse d'observation qui vous permet de voir la ville à vol d'oiseau. Le nombre 97 n'a pas été choisi par hasard. Il symbolise l'année où la ville d'Astana a reçu le statut de capitale.

Aujourd'hui, nous n'avons pas un simple récit oral, chaque figure qui y figure racontera un fait intéressant de la ville d'Astana.

Ajouter 4=19 au produit de 3 et 5.

19 années joué cette année dans la capitale de la République du Kazakhstan, Astana. En si peu de temps, Astana a réussi à devenir reconnaissable dans le monde entier.

2. 50 x 3==150

Le centre commercial et de divertissement "Khan Shatyr" a également réussi à entrer dans le Livre Guinness des records - c'est le plus grand bâtiment en forme de tente au monde. La hauteur de cette merveille architecturale, avec la flèche, est de 150 mètres.

3. Trouvez le quotient de 8 et 2. Zoomez 100 fois == 400

3 400 étudiants d'Astana ont participé à la plus grande représentation de la danse Kara Zhorga, qui a été incluse dans le livre Guinness des records

4. Augmenter 60 par 2 == 120

. 120 ans de peuplier noir. Cele plus vieil arbre d'Astana. Le peuplier "vit" dans le parc de la capitale

5. Multipliez le quotient des nombres 25 et 5 par 9.

45 monuments d'histoire et de culture sont situés à Astana.

3. Écrire un nombre, travail en classe dans un cahier

4. Une minute de calligraphie (diapo 10)

Rappelons-nous comment écrire correctement les nombres.

5. Travaillez sur le sujet de la leçon

Astana signifie "capitale" en kazakh. Il y a une autre ville dans le monde qui a une telle traduction - Séoul. Du coréen, "âme" est traduit par "capitale"

Astana est une très belle ville.

Du haut du vol d'un aigle

Mon pays est bien visible.

Sur les étendues steppiques brillaient

Gemme Astana

diapositive 11

Trouvez le sens des expressions et vous apprendrez un autre fait intéressant sur notre capitale.

27:(24-15)*10=30

56:7+4*3+ 6*5=42

9*9-7*9=18

12:4+7= 10

Cette tâche peut être complétée sur 5 en résolvant tous les exemples, sur 4 -3 expressions et sur 3 2 dernières expressions.

Comment avons-nous résolu les expressions ? (par des actions)

Pourquoi est-il nécessaire de décider des actions ? (la réponse sera incorrecte)

Est-il toujours commode de décider des actions ?

Comment pouvez-vous décider différemment? (en utilisant les propriétés de la multiplication)

slide12

2. Répétition des propriétés de la multiplication.

Il y a un bel immeuble à Astana où travaille notre gouvernement.

Qui est à la tête de notre Etat ? (Le président)

Comment s'appelle le président ? (N. A. Nazarbaev)

diapositive 13

Toutes les décisions sont prises dans la Résidence du Président "Aқ - horde»

Pour voir à quoi ressemble ce bâtiment, effectuons la tâche suivante.

Maintenant, je vous invite à vous souvenir de toutes les propriétés de la multiplication et de la division que nous avons apprises dans la leçon (distribuez des cartes).

Sur les cartes, reliez les formules de multiplication ou de division avec son nom.

a * b \u003d b * une combinaison

Vérification du conseil.

Pourquoi avons-nous besoin de connaître les propriétés de la multiplication ?

(faire glisser)

Les gars, regardez-la, elle a une carte supplémentaire (a * c) : c

Devinez quelle est la formule?

Qui peut nommer le sujet de la leçon)

Quels sont nos objectifs pour cette leçon ?

Pour le concours, nous avons acheté 5 ensembles de stylos, 3 dans chacun. Ces ensembles ont été divisés en 3 équipes. Combien d'enclos chaque équipe a-t-elle arrosé ?

Toboggan à sens unique16
(3*5):3= 15:3=5
2 voies
(3*5):3=(3:3)*5=5

diapositive17

Diviser un produit par un nombre : (a b) : c = (a : c) b = a (b : c).

Lisez cette règle sur une feuille de papier, apprenez-la par cœur à la maison.

Eh bien, vérifions maintenant si nous comprenons comment utiliser cette propriété de division. Si nous faisons tout correctement, je vous montrerai une autre vue intéressante d'Astana.

Vérification initiale de la compréhension

.(8*6):2=(8:")*6=24

(6*6):3=(6:3)*6=12

(9*8):2=(8:2)*9=36

Quel est le nom de la propriété de division que nous avons rencontrée dans la leçon ? (diviser un produit par un nombre)

Pourquoi avons-nous besoin de connaître cette propriété ?

Peut-on toujours utiliser 2 voies ? Pourquoi ? (les nombres ne sont pas divisibles)

Dans quel état vivons-nous ?(Indépendant, libre, pacifique, prospère)

Il y a un bâtiment à Astana qui symbolise l'amitié, l'unité du monde de tous les peuples sur la terre du Kazakhstan.

Le bâtiment a la forme d'une pyramide

Voir.

Ce bâtiment s'appelle le Palais de la Paix et du Consentement, sa hauteur est de 62 m, construit en 2006

Fizminutka

Heureusement que le soleil brille ! Bien!

Heureusement que le vent souffle ! Bien!

C'est bon de danser ! Bien!

Est-ce bien d'être kazakh ? Bien!

4. Résolution du problème

Qui aime le sport ? Pourquoi avez-vous besoin de faire du sport ?(être en bonne santé et fort)

Un grand stade couvert "Astana - Arena" a été construit à Astana. Pour "y arriver", nous devons résoudre le problème.

30 filles et 40 garçons sont allés à Astana pour des compétitions d'athlétisme. Il y avait 10 personnes dans chaque voiture. Combien de wagons les enfants occupaient-ils ?

Que sait-on du problème ?

Que trouver ?

Comment allons-nous écrire une courte entrée ? (dans le tableau)

Quel tableau allons-nous dessiner ? (3,5 cellules)

Que va-t-on écrire dans 1, 2, 3, colonne ? (dans 1 voiture, quantité, total)

Comment allons-nous résoudre le problème ?

Que trouverons-nous comme première action ?

Que trouve-t-on avec l'action 2 ?

Écrivez le problème sous forme d'expression.

Quelle propriété peut être appliquée pour résoudre cette expression? (divisant la somme par un nombre)

1) 30+40=70 (personnes) - total

2) 70:10 \u003d 7 (c) - enfants occupés

(30+40):10=7

Bravo, regardez à quoi ressemble ce stade. Le toit du stade s'ouvre. En plus des concours, des concerts d'artistes célèbres y sont organisés.

5. Solution d'équations. Travail au tableau noir.

Il y a aussi un bâtiment à Astana avec une forme inhabituelle. Des compétitions de hockey sur glace et de patinage artistique y sont organisées.

Résolvez les équations du manuel avec 36 n ° 6, (, 3)

X=368, x=205

Bravo, voici à quoi ressemble ce bâtiment.

Résumé de la leçon

De quel sujet parle-t-on ?

Qui se souvient de la loi de division ?

Pourquoi avons-nous besoin de connaître les lois de la multiplication et de la division ?

RÉFLEXION

Avez-vous apprécié le voyage?

Montrez votre attitude envers la leçon (attachez des autocollants aux émoticônes)

– Quelles choses nouvelles et intéressantes avez-vous apprises ? -

Dans quelle ville de notre république aimeriez-vous en savoir plus ?

c définitive

déplaçable

distributif

division

sommes par nombre

un * b \u003d b * un

(a * b) * c \u003d (a * c) * c

(a+b):c=a:c+b:c

(un + c) * c \u003d un * c + c *

(a*b):c=

Division

produits par numéro

. Division

produits par numéro

( une · b ) : c = ( une : c ) · b

(a b) : c = a (b : c).

a * b \u003d b * une combinaison

(a * c) * c \u003d (a * c) * au commutatif

(a + b): c \u003d a: c + c: c distributif

(a + c) * c \u003d a * c + c * c division de la somme par un nombre

a * b \u003d b * une combinaison

(a * c) * c \u003d (a * c) * au commutatif

(a + b): c \u003d a: c + c: c distributif

(a + c) * c \u003d a * c + c * c division de la somme par un nombre

a * b \u003d b * une combinaison

(a * c) * c \u003d (a * c) * au commutatif

(a + b): c \u003d a: c + c: c distributif

(a + c) * c \u003d a * c + c * c division de la somme par un nombre

a * b \u003d b * une combinaison

(a * c) * c \u003d (a * c) * au commutatif

(a + b): c \u003d a: c + c: c distributif

(a + c) * c \u003d a * c + c * c division de la somme par un nombre

Division d'un produit par un nombre .

Pour diviser le produit de deux facteurs par un nombre, vous pouvez diviser par ce nombre n'importe lequel des facteurs (si la division est faisable) et multiplier le quotient par le deuxième facteur.

Dans le cours élémentaire de mathématiques, les théorèmes sur la divisibilité d'une somme sont « représentés » sous la forme de la propriété « Division d'une somme par un nombre ». Cette propriété est utilisée lors de la division d'un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre.

Dans le manuel M2M, la méthode pour initier les enfants à cette propriété est similaire à la méthode pour étudier la propriété de multiplier une somme par un nombre. A savoir: d'abord, les élèves analysent deux manières de résoudre le problème, en utilisant un dessin à cet effet, puis, à l'aide d'un exemple précis, deux manières d'action sont expliquées lors de la division de la somme par un nombre, c'est-à-dire que le cas est considéré lorsque chaque terme est divisible par un nombre donné.

Considérez deux façons de résoudre l'exemple : (6+9):3 ;

Calculez la somme et divisez le résultat par le nombre : (6+9):3=15:3=5;

Divisez chaque terme par un nombre, puis additionnez les résultats : (6+9):3=6:3+9:3=2+3=5. Comparez les résultats.

Le nouveau mode d'action est fixé dans le processus de réalisation des exercices : Nettoyer le sens de chaque expression de deux manières : (10+4):2, (8+12):4, (12+15):3.

Dans le manuel M2I, une approche méthodologique différente a été utilisée pour initier les élèves à la propriété de diviser une somme par un nombre.

Les élèves ont la tâche suivante : Devinez ! Quelle est la règle d'écriture des expressions dans chaque colonne ? Calculez leurs valeurs : 54:9 (36+18):9 36:9+18:9 ; 63:7 (49+14):7 49:7+14:7.

Au cours de la réalisation de cette tâche, les élèves prennent conscience d'une nouvelle façon de faire les choses. A savoir : le dividende est représenté comme la somme de deux termes dont chacun est divisible par un nombre donné, puis chaque terme est divisé par ce nombre et les résultats sont additionnés. Pour apprendre un nouveau mode d'action, diverses tâches sont effectuées. Dans le même temps, les expressions utilisées dans les tâches ne comprennent que des cas de division tabulaires, de sorte que les élèves n'éprouvent pas de difficultés à appliquer la nouvelle méthode d'action.

24. Méthodes de familiarisation avec le concept "d'équation".

Expression numérique ;

Expression variable ;

Égalité et inégalité;

L'équation.

2) Révélez leur contenu.

Le concept d'équation est l'un des concepts algébriques de base étudiés dans un cours de mathématiques au primaire. Au primaire, seules les équations du 1er degré à une inconnue sont considérées, et selon la plupart des méthodes, il est recommandé de familiariser les enfants exclusivement avec les équations les plus simples.

Les équations les plus simples sont celles où un seul pas suffit pour trouver la racine. Mais selon certaines autres méthodes, en plus de ces équations, il est recommandé d'initier les élèves à des équations plus complexes du type :

La base de la résolution d'une équation à l'école primaire est la relation entre les composants des opérations arithmétiques et leur résultat.

Tâches pour le professeur :

Initier les élèves au concept d'équation et à sa solution;

Former une habileté consciente à résoudre des équations.

Travail préparatoire:

Proposer aux élèves du primaire de résoudre l'équation sous une forme implicite, c'est-à-dire proposer un enregistrement de la forme :

Remplissez le nombre manquant dans la case pour obtenir la bonne équation.

Une telle tâche peut être offerte à divers stades de la scolarité au primaire. Selon le stade de la formation auquel les tâches spécifiées sont proposées, les étudiants peuvent agir de 2 manières :

1. Si les enfants ne connaissent pas encore les liens entre les composants des actions et leurs résultats, ils effectuent les tâches indiquées par sélection. Celles. substituez différents nombres dans la case et vérifiez si l'égalité est vraie.

2. Si les tâches indiquées sont proposées alors que les enfants sont déjà familiarisés avec les liens entre les composantes des actions et leurs résultats, alors ils trouvent en utilisant ce lien.

De ce qui précède, nous pouvons conclure qu'au stade de la préparation des étudiants à se familiariser avec le concept d'une équation, ils se familiarisent avec l'équation sous une forme implicite et la méthode de résolution des équations par la méthode de sélection => 2ème manière de résoudre équations - la méthode de sélection.

De plus, l'étape préparatoire devrait inclure la familiarisation des élèves du primaire avec les composants de diverses opérations arithmétiques, leurs résultats et la relation entre eux. Si la connaissance des étudiants avec ces concepts n'a pas lieu au niveau approprié et que les enfants n'apprennent pas consciemment les règles pour trouver des termes inconnus, soustraits, réduits, etc., alors la familiarisation avec la solution de l'équation n'aura pas lieu à le bon niveau. Pendant tout le processus d'étude des mathématiques au niveau élémentaire jusqu'au moment de la prise de connaissance de l'équation, il est nécessaire d'effectuer des travaux visant à développer les solides compétences et capacités des élèves à trouver des composants inconnus des opérations arithmétiques.

Introduction au concept d'équation.

Les enfants sont invités à s'inscrire :

Ensuite, il est rapporté qu'en mathématiques, il est d'usage de désigner un nombre inconnu avec des lettres spéciales, dont la principale est " X».

et on rapporte que l'égalité représentée s'appelle une équation. Pour que les enfants forment le concept d'une équation, il est nécessaire de proposer un certain nombre d'expressions:

Les enfants doivent identifier parmi les objets indiqués ceux qui sont des équations, en expliquant leur choix. En même temps, ils doivent indiquer les propriétés essentielles des équations (l'égalité, il y a X).

Simultanément au concept d '«équation», les enfants se font une idée de ce que signifie résoudre une équation. Ils doivent être pleinement conscients du fait que résoudre une équation, c'est trouver un nombre qui, lorsqu'il est substitué dans l'équation de l'inconnue, transforme cette dernière en une véritable égalité numérique. Le concept de "racine de l'équation" n'est pas introduit, bien que certaines méthodes permettent l'introduction du terme spécifié (selon Elkonin-Davydov).

Déjà au stade de l'étude de l'équation au départ, il est bon de faire de la propédeutique du concept de « domaine de l'équation ». C'est particulièrement efficace...

X-10=2 (ne peut pas être 9, car ...)

15 : x = 5 (ne peut pas être 5, car ...)

Lors de l'examen de telles équations, il est conclu que tous les nombres ne peuvent pas être une solution à ces équations.

Pour que l'étude des équations soit efficace, il faut proposer aux enfants des équations avec une variété de tâches:

Résolvez l'équation et vérifiez;

Vérifiez les équations résolues, trouvez l'erreur ;

Faire des équations avec des nombres : x, 10, 12

12-x=10 etc...

Parmi les équations données, résolvez uniquement celles qui sont résolues à l'aide de l'action de soustraction :

10 = 8 etc.

Parmi les équations données, ne résolvez que celles qui peuvent être résolues par addition ;

Les enfants reçoivent une équation dans laquelle le signe d'action est omis

et donné une solution

Lors de l'examen du concept d'équation, une attention particulière doit être accordée à la vérification. Il est très important que lors de la vérification de la solution des équations, les élèves abordent ce travail non pas formellement, mais consciemment. Pour ce faire, ils doivent proposer des situations problèmes dans lesquelles ils doivent effectuer des actions spécifiques pour vérifier les équations résolues, à savoir proposer une équation déjà résolue et demander, sans la résoudre, d'établir si une erreur a été commise ou non. Pour contrôler les actions des élèves dans ce processus, il est nécessaire de les inviter à parler de leurs actions à haute voix.

25. Méthodes de familiarisation avec le concept d '"expression" (expressions numériques et expressions avec une variable).

Dans le cours de mathématiques à l'école primaire, les enfants sont initiés aux concepts algébriques suivants :

Expression numérique ;

Expression variable ;

Égalité et inégalité;

L'équation.

Tâches pour le professeur :

1) Se faire une idée parmi les élèves sur ces concepts.

2) Révélez leur contenu.

EXPRESSION NUMÉRIQUE.

Tâches:

2) Connaître les règles de l'ordre d'exécution des actions dans les expressions. Apprenez à les utiliser dans les calculs.

3) Apprenez aux enfants à effectuer des transformations identiques d'expressions.

La familiarisation des élèves avec le concept d'expression numérique se produit dès les premiers jours d'école avec l'introduction de l'une ou l'autre opération arithmétique.

Familiarisation des enfants du primaire avec le concept de l'action d'addition: on montre aux enfants l'expression numérique, qui s'appelle la somme. L'enseignant doit se rappeler que le signe d'action placé entre les chiffres a un double sens. D'une part, il montre les actions à effectuer sur les nombres, et d'autre part, il montre la désignation d'une expression numérique donnée. Par conséquent, le concept d'"expressions numériques" est inextricablement lié au concept d'"opérations arithmétiques" et dans la formation de ces concepts, l'un contribue à la formation de l'autre.

La familiarisation avec les expressions numériques se fait progressivement et les élèves se familiarisent d'abord avec les expressions les plus simples (avec un signe d'action), puis avec les expressions plus complexes (2 actions ou plus). Une étape très importante est l'étape de comparaison des expressions. Grâce à la comparaison d'expressions, les enfants se familiarisent avec des concepts tels que l'égalité et l'inégalité.

Au fur et à mesure que les expressions deviennent plus complexes pour trouver leurs valeurs, il devient nécessaire de familiariser les élèves du primaire avec les règles d'exécution des actions dans les expressions.

La mise en place de la prise de connaissance de ces règles se fait également progressivement :

1) Tout d'abord, les enfants se familiarisent avec la règle pour effectuer des actions dans une expression qui comprend des actions d'une étape, et il n'y a pas de parenthèses.

2) Ensuite, les élèves se familiarisent avec les règles d'exécution des actions dans les expressions avec des actions d'une étape et des parenthèses.

3) Alors - expressions avec des actions de différentes étapes, mais sans parenthèses.

4) Alors - expressions avec actions de deux étapes et parenthèses.

La familiarisation avec toutes les règles est la suivante: l'enseignant dit aux enfants de se souvenir.

Pour que les enfants apprennent les règles introduites, il convient de leur proposer une variété de tâches:

1) Calculer la valeur de cette expression, après avoir précisé la procédure.

2) Disposez les parenthèses pour obtenir les bonnes égalités.

3) Parmi les paires d'exemples données, n'écrivez que ceux dans lesquels les calculs sont effectués selon les règles de l'ordre des opérations.

Après avoir expliqué les erreurs, vous pouvez donner la tâche : à l'aide de parenthèses, modifiez l'expression pour qu'elle ait la valeur donnée.

4) Les enfants sont invités à indiquer la procédure dans les entrées suivantes :

Une attention particulière dans la formation des concepts d'expressions numériques doit être portée à la réalisation de transformations identiques par les enfants (une transformation est identique si une autre expression est obtenue à partir d'une expression qui lui est identiquement égale).

Transformations identiques que les élèves du primaire effectuent :

1) Remplacer +, -, :, x par leurs valeurs.

2) Permutation des termes.

3) Supports d'ouverture.

Au cœur de toutes les transformations à l'identique qu'effectuent les élèves du primaire se trouvent les règles d'exécution des opérations sur les nombres et les propriétés de certaines opérations arithmétiques (commutative, associative, distributive, la règle de multiplication d'une somme par un nombre, la règle de soustraction d'un somme à partir d'un nombre, actions avec 0 et 1, etc. .d.)

Lors de l'étude de chaque propriété, les étudiants sont convaincus que dans les expressions d'un certain type, les actions peuvent être effectuées de différentes manières, mais les valeurs des expressions ne changeront pas.

À l'avenir, les élèves utiliseront certaines propriétés pour des transformations identiques d'expressions.

1) l'élève lit l'expression ;

2) rappelle la propriété correspondante ;

3) en s'appuyant sur cette propriété, effectue la transformation de l'expression.

Afin de s'assurer que les transformations effectuées sont correctes, les élèves sont invités à trouver la valeur de la même expression d'une autre manière.

Si la valeur résultante correspond à la première, la conversion est correcte.

Pour le développement du discours mathématique et la mise en œuvre consciente des transformations, il est nécessaire de proposer aux enfants une explication des actions effectuées.

EXPRESSION AVEC VARIABLES.

Tâches:

1) Donnez une idée des expressions contenant une variable.

2) Apprenez à trouver la valeur de l'expression pour différentes valeurs de la variable.

Lorsqu'ils étudient les mathématiques à l'école élémentaire, les élèves à divers stades rencontrent des expressions avec des variables. La connaissance de ces concepts mathématiques et leur travail permettent aux élèves de généraliser le concept d'expression.

Une bonne préparation est une tâche où la variable est présentée sous une forme implicite (case vide, points)

Par exemple: 3+

Insérez dans la case chacun des nombres suivants 1, 2, 3, trouvez la somme.

Peu à peu, les enfants sont amenés à l'idée qu'en mathématiques, au lieu d'un nombre manquant, vous pouvez écrire une lettre et, en donnant à la lettre certaines significations, obtenir différentes significations de l'expression.

De plus, des valeurs avec des variables sont utilisées pour se familiariser avec les formules permettant de trouver le périmètre et l'aire.

Il convient de noter que la quantité de connaissances acquises par les élèves sur ce sujet diffère les unes des autres en fonction du manuel de mathématiques.

Par exemple:

Peterson, Istomina, Aleksandrova - le volume et le contenu des expressions avec une variable sont considérablement élargis, activement utilisés (la formation des propriétés des opérations arithmétiques chez les étudiants)