Les angles mixtes et leurs propriétés. Coins verticaux et adjacents

Dans cette leçon, nous examinerons et comprendrons par nous-mêmes le concept d'angles adjacents. Considérons le théorème qui les concerne. Introduisons le concept "d'angles verticaux". Considérez les faits à l'appui concernant ces angles. Ensuite, nous formulons et prouvons deux corollaires sur l'angle entre les bissectrices des angles verticaux. À la fin de la leçon, nous examinerons plusieurs problèmes consacrés à ce sujet.

Commençons notre leçon avec le concept de "coins adjacents". La figure 1 montre l'angle développé ∠AOC et le rayon OB, qui divise cet angle en 2 angles.

Riz. 1. Angle∠AOC

Considérons les angles ∠AOB et ∠BOC. Il est bien évident qu'ils ont un côté commun VO, alors que les côtés AO et OS sont opposés. Les rayons OA et OS se complètent, ce qui signifie qu'ils se trouvent sur la même ligne droite. Les angles ∠AOB et ∠BOC sont adjacents.

Définition : Si deux angles ont un côté commun et que les deux autres côtés sont des rayons complémentaires, alors ces angles sont appelés en relation.

Théorème 1 : La somme des angles adjacents est de 180 o.

Riz. 2. Dessin pour le théorème 1

∠MOL + ∠LON = 180o. Cette affirmation est vraie car le rayon OL divise l'angle droit ∠MON en deux angles adjacents. Autrement dit, nous ne connaissons pas les mesures en degrés d'aucun des angles adjacents, mais nous ne connaissons que leur somme - 180 o.

Considérez l'intersection de deux lignes. La figure montre l'intersection de deux droites au point O.

Riz. 3. Angles verticaux ∠BOA et ∠COD

Définition : si les côtés d'un angle sont la continuation du deuxième angle, ces angles sont appelés verticaux. C'est pourquoi la figure montre deux paires d'angles verticaux : ∠AOB et ∠COD, ainsi que ∠AOD et ∠BOC.

Théorème 2 : Les angles verticaux sont égaux.

Utilisons la Figure 3. Considérons l'angle développé ∠AOC. ∠AOB \u003d ∠AOC - ∠BOC \u003d 180 o - β. Considérons l'angle développé ∠DBO. ∠COD = ∠DBO - ∠BOC = 180 o - β.

De ces considérations, nous concluons que ∠AOB = ∠COD = α. De même, ∠AOD = ∠BOC = β.

Corollaire 1 : L'angle entre les bissectrices d'angles adjacents est de 90°.

Riz. 4. Dessin pour la conséquence 1

Puisque OL est la bissectrice de l'angle ∠BOA, alors l'angle ∠LOB = , de même que ∠BOK = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . La somme des angles α + β est égale à 180 o, puisque ces angles sont adjacents.

Corollaire 2 : L'angle entre les bissectrices des angles verticaux est de 180°.

Riz. 5. Dessin pour la conséquence 2

KO est la bissectrice de ∠AOB, LO est la bissectrice de ∠COD. Évidemment, ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . La somme des angles α + β est égale à 180 o, puisque ces angles sont adjacents.

Considérons quelques tâches :

Trouvez l'angle adjacent à ∠AOC si ∠AOC = 111 o.

Faisons un dessin pour la tâche:

Riz. 6. Dessin par exemple 1

Puisque ∠AOC = β et ∠COD = α sont des angles adjacents, alors α + β = 180 o. Soit 111 o + β \u003d 180 o.

Par conséquent, β = 69 o.

Ce type de problème exploite le théorème de la somme des angles adjacents.

L'un des angles adjacents est un angle droit, lequel (aigu, obtus ou droit) est l'autre angle ?

Si l'un des angles est droit et que la somme des deux angles est de 180°, alors l'autre angle est aussi droit. Cette tâche teste les connaissances sur la somme des angles adjacents.

Est-il vrai que si les angles adjacents sont égaux, alors ce sont des angles droits ?

Faisons une équation : α + β = 180 o, mais puisque α = β, alors β + β = 180 o, ce qui signifie β = 90 o.

Réponse : Oui, la déclaration est vraie.

Étant donné deux angles égaux. Est-il vrai que les angles qui leur sont adjacents seront également égaux ?

Riz. 7. Dessin par exemple 4

Si deux angles sont égaux à α, alors leurs angles adjacents correspondants seront 180 o - α. Autrement dit, ils seront égaux les uns aux autres.

Réponse : L'énoncé est vrai.

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. etc. Géométrie 7. - M. : Lumières.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et autres Géométrie 7. 5e éd. - M. : Lumières.
\Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Géométrie 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, édité par V.A. Sadovnichy. - M. : Éducation, 2010.

Mesure des segments ().
Cours général de géométrie en 7ème ().
Ligne droite, segment ().

N ° 13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Géométrie 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, édité par V.A. Sadovnichy. - M. : Éducation, 2010.
Trouver deux angles adjacents si l'un d'eux est 4 fois l'autre.
Étant donné un angle. Construisez des angles adjacents et verticaux pour cela. Combien de coins de ce type peut-on construire ?
* Dans quel cas obtient-on plus de paires d'angles verticaux : lorsque trois droites se coupent en un point ou en trois points ?

1. Coins adjacents.

Si nous continuons le côté d'un angle au-delà de son sommet, nous obtenons deux angles (Fig. 72): ∠ABC et ∠CBD, dans lesquels un côté de BC est commun, et les deux autres, AB et BD, forment une ligne droite .

Deux angles qui ont un côté en commun et les deux autres forment une droite sont appelés angles adjacents.

Des angles adjacents peuvent également être obtenus de cette manière : si nous dessinons un rayon à partir d'un point sur une ligne droite (ne reposant pas sur une ligne droite donnée), nous obtenons alors des angles adjacents.

Par exemple, ∠ADF et ∠FDВ sont des angles adjacents (Fig. 73).

Les coins adjacents peuvent avoir une grande variété de positions (Fig. 74).

Les angles adjacents s'additionnent pour former un angle droit, donc la somme de deux angles adjacents est de 180°

Par conséquent, un angle droit peut être défini comme un angle égal à son angle adjacent.

Connaissant la valeur de l'un des angles adjacents, on peut trouver la valeur de l'autre angle adjacent.

Par exemple, si l'un des angles adjacents est de 54°, alors le deuxième angle sera :

180° - 54° = 126°.

2. Angles verticaux.

Si nous prolongeons les côtés d'un angle au-delà de son sommet, nous obtenons des angles verticaux. Sur la figure 75, les angles EOF et AOC sont verticaux ; les angles AOE et COF sont également verticaux.

Deux angles sont dits verticaux si les côtés d'un angle sont des prolongements des côtés de l'autre angle.

Soit ∠1 = $\frac(7)(8)$ ⋅ 90° (Fig. 76). ∠2 qui lui est adjacent sera égal à 180° - $\frac(7)(8)$ ⋅ 90°, soit 1$\frac(1)(8)$ ⋅ 90°.

De la même manière, vous pouvez calculer ce que sont ∠3 et ∠4.

∠3 = 180° - 1$\frac(1)(8)$ ⋅ 90° = $\frac(7)(8)$ ⋅ 90° ;

∠4 = 180° - $\frac(7)(8)$ ⋅ 90° = 1$\frac(1)(8)$ ⋅ 90° (Fig. 77).

On voit que ∠1 = ∠3 et ∠2 = ∠4.

Vous pouvez résoudre plusieurs autres problèmes identiques, et à chaque fois vous obtenez le même résultat : les angles verticaux sont égaux les uns aux autres.

Cependant, pour s'assurer que les angles verticaux sont toujours égaux entre eux, il ne suffit pas de considérer des exemples numériques individuels, car les conclusions tirées d'exemples particuliers peuvent parfois être erronées.

Il est nécessaire de vérifier la validité de la propriété des angles verticaux par preuve.

La preuve peut être effectuée comme suit (Fig. 78):

∠un +∠c= 180° ;

∠b +∠c= 180° ;

(puisque la somme des angles adjacents est de 180°).

∠un +∠c = ∠b +∠c

(puisque le côté gauche de cette égalité est de 180°, et son côté droit est aussi de 180°).

Cette égalité comprend le même angle avec.

Si nous soustrayons également des valeurs égales, alors il restera également. Le résultat sera : ∠un = ∠b, c'est-à-dire que les angles verticaux sont égaux entre eux.

3. La somme des angles qui ont un sommet commun.

Dans le dessin 79, ∠1, ∠2, ∠3 et ∠4 sont situés du même côté de la droite et ont un sommet commun sur cette droite. En somme, ces angles forment un angle droit, c'est-à-dire

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Dans le dessin 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 et ∠5 ont un sommet commun. Ces angles s'additionnent pour former un angle complet, c'est-à-dire ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Autres matériaux

La géométrie est une science aux multiples facettes. Il développe la logique, l'imagination et l'intelligence. Bien sûr, en raison de sa complexité et du grand nombre de théorèmes et d'axiomes, les écoliers ne l'aiment pas toujours. De plus, il est nécessaire de prouver constamment leurs conclusions en utilisant des normes et des règles généralement acceptées.

Les angles adjacents et verticaux font partie intégrante de la géométrie. De nombreux écoliers les adorent simplement parce que leurs propriétés sont claires et faciles à prouver.

Formation de coins

Tout angle est formé par l'intersection de deux lignes ou en traçant deux rayons à partir d'un point. Ils peuvent être appelés soit une lettre, soit trois, qui désignent successivement les points de construction du coin.

Les angles sont mesurés en degrés et peuvent (selon leur valeur) être appelés différemment. Donc, il y a un angle droit, aigu, obtus et déployé. Chacun des noms correspond à une certaine mesure de degré ou son intervalle.

Un angle aigu est un angle dont la mesure ne dépasse pas 90 degrés.

Un angle obtus est un angle supérieur à 90 degrés.

Un angle est dit droit lorsque sa mesure vaut 90.

Dans le cas où il est formé par une ligne droite continue et que sa mesure en degrés est de 180, il est dit déployé.

Les angles qui ont un côté commun, dont le deuxième côté se continue, sont appelés adjacents. Ils peuvent être tranchants ou émoussés. L'intersection de la ligne forme des angles adjacents. Leurs propriétés sont les suivantes :

La somme de ces angles sera égale à 180 degrés (il existe un théorème le prouvant). Par conséquent, l'un d'eux peut être facilement calculé si l'autre est connu.
Il résulte du premier point que des angles adjacents ne peuvent être formés par deux angles obtus ou deux angles aigus.

Grâce à ces propriétés, on peut toujours calculer la mesure en degrés d'un angle étant donné la valeur d'un autre angle, ou du moins le rapport entre eux.

Angles verticaux

Les angles dont les côtés sont des prolongements les uns des autres sont appelés verticaux. N'importe laquelle de leurs variétés peut agir comme une telle paire. Les angles verticaux sont toujours égaux entre eux.

Ils se forment lorsque les lignes se croisent. Avec eux, les coins adjacents sont toujours présents. Un angle peut être à la fois adjacent pour l'un et vertical pour l'autre.

Lors du franchissement d'une ligne arbitraire, plusieurs autres types d'angles sont également pris en compte. Une telle ligne s'appelle une sécante et forme les angles correspondants, unilatéraux et croisés. Ils sont égaux les uns aux autres. Ils peuvent être considérés à la lumière des propriétés des angles verticaux et adjacents.

Ainsi, le sujet des coins semble être assez simple et compréhensible. Toutes leurs propriétés sont faciles à retenir et à prouver. Résoudre des problèmes n'est pas difficile tant que les angles correspondent à une valeur numérique. Déjà plus loin, lorsque l'étude du péché et du cos commencera, vous devrez mémoriser de nombreuses formules complexes, leurs conclusions et leurs conséquences. Jusque-là, vous pouvez simplement profiter de puzzles faciles dans lesquels vous devez trouver des coins adjacents.

CHAPITRE I.

CONCEPTS DE BASE.

§Onze. ANGLES ADJACENTS ET VERTICAUX.

1. Coins adjacents.

Si nous continuons le côté d'un coin au-delà de son sommet, nous obtiendrons deux coins (Fig. 72): / Un soleil et / SVD, dans lequel un côté BC est commun et les deux autres AB et BD forment une ligne droite.

Deux angles qui ont un côté en commun et les deux autres forment une droite sont appelés angles adjacents.

Les coins adjacents peuvent avoir une grande variété de positions (Fig. 74).

Les angles adjacents s'additionnent pour former un angle droit, donc la somme de deux angles adjacents est 2ré.

Par conséquent, un angle droit peut être défini comme un angle égal à son angle adjacent.

Connaissant la valeur de l'un des angles adjacents, on peut trouver la valeur de l'autre angle adjacent.

Par exemple, si l'un des angles adjacents est de 3/5 ré, alors le deuxième angle sera égal à :

2ré- 3 / 5 ré= l 2 / 5 ré.

2. Angles verticaux.

Si nous prolongeons les côtés d'un angle au-delà de son sommet, nous obtenons des angles verticaux. Au dessin 75, les angles EOF et AOC sont verticaux ; les angles AOE et COF sont également verticaux.

Deux angles sont dits verticaux si les côtés d'un angle sont des prolongements des côtés de l'autre angle.

Laisser être / 1 = 7 / 8 ré(Fig. 76). À côté de celui-ci / 2 égalera 2 ré- 7 / 8 ré, soit 1 1/8 ré.

De la même manière, vous pouvez calculer ce qui est égal à / 3 et / 4.
/ 3 = 2ré - 1 1 / 8 ré = 7 / 8 ré; / 4 = 2ré - 7 / 8 ré = 1 1 / 8 ré(Fig. 77).

On voit ça / 1 = / 3 et / 2 = / 4.

Vous pouvez résoudre plusieurs autres problèmes identiques, et à chaque fois vous obtenez le même résultat : les angles verticaux sont égaux les uns aux autres.

Il faut vérifier la validité de la propriété des angles verticaux par un raisonnement, par une preuve.

La preuve peut être effectuée comme suit (Fig. 78):

/ un +/ c = 2ré;
/ b +/ c = 2ré;

(puisque la somme des angles adjacents vaut 2 ré).

/ un +/ c = / b +/ c

(puisque le côté gauche de cette égalité est égal à 2 ré, et son côté droit est aussi égal à 2 ré).

Cette égalité comprend le même angle avec.

Si nous soustrayons également des valeurs égales, alors il restera également. Le résultat sera : / un = / b, c'est-à-dire que les angles verticaux sont égaux entre eux.

Lors de l'examen de la question des angles verticaux, nous avons d'abord expliqué quels angles sont appelés verticaux, c'est-à-dire que nous avons donné définition coins verticaux.

Ensuite, nous avons fait un jugement (déclaration) sur l'égalité des angles verticaux et nous avons été convaincus de la validité de ce jugement par preuve. De tels jugements, dont la validité doit être prouvée, sont appelés théorèmes. Ainsi, dans cette section, nous avons donné la définition des angles verticaux, et également énoncé et prouvé un théorème sur leur propriété.

À l'avenir, lors de l'étude de la géométrie, nous aurons constamment à rencontrer des définitions et des preuves de théorèmes.

3. La somme des angles qui ont un sommet commun.

Sur le dessin 79 / 1, / 2, / 3 et / 4 sont situés d'un même côté d'une droite et ont un sommet commun sur cette droite. En somme, ces angles forment un angle droit, c'est-à-dire
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2ré.

Sur le dessin 80 / 1, / 2, / 3, / 4 et / 5 ont un sommet commun. En somme, ces angles forment un angle complet, c'est-à-dire / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ré.

Des exercices.

1. L'un des angles adjacents est de 0,72 ré. Calculer l'angle formé par les bissectrices de ces angles adjacents.

2. Démontrer que les bissectrices de deux angles adjacents forment un angle droit.

3. Démontrer que si deux angles sont égaux, alors leurs angles adjacents sont également égaux.

4. Combien y a-t-il de paires de coins adjacents dans le dessin 81 ?

5. Une paire d'angles adjacents peut-elle être constituée de deux angles aigus ? de deux coins obtus? des angles droits et obtus? d'un angle droit et aigu?

6. Si l'un des angles adjacents est droit, que peut-on dire de la valeur de l'angle qui lui est adjacent ?

7. Si à l'intersection de deux lignes droites il y a un angle droit, que peut-on dire de la taille des trois angles restants ?

Présentation des coins

Donnons-nous deux rayons arbitraires. Mettons-les les uns sur les autres. Puis

Définition 1

Un angle est un nom donné à deux rayons qui ont la même origine.

Définition 2

Le point, qui est le début des rayons dans le cadre de la définition 3, est appelé sommet de cet angle.

Un angle sera désigné par ses trois points suivants : un sommet, un point sur l'un des rayons et un point sur l'autre rayon, et le sommet de l'angle est écrit au milieu de sa désignation (Fig. 1).

Définissons maintenant la valeur de l'angle.

Pour ce faire, vous devez choisir une sorte d'angle "de référence", que nous prendrons comme une unité. Le plus souvent, un tel angle est un angle égal à $\frac(1)(180)$ d'une partie d'angle droit. Cette valeur s'appelle un degré. Après avoir choisi un tel angle, nous comparons les angles avec lui, dont la valeur doit être trouvée.

Il existe 4 types de coins :

Définition 3

Un angle est dit aigu s'il est inférieur à $90^0$.

Définition 4

Un angle est dit obtus s'il est supérieur à $90^0$.

Définition 5

Un angle est dit droit s'il est égal à $180^0$.

Définition 6

Un angle est dit droit s'il est égal à $90^0$.

En plus de tels types d'angles, qui sont décrits ci-dessus, il est possible de distinguer des types d'angles les uns par rapport aux autres, à savoir des angles verticaux et adjacents.

Coins adjacents

Considérons un angle droit $COB$. Dessine un rayon $OA$ à partir de son sommet. Ce rayon divisera celui d'origine en deux angles. Puis

Définition 7

Deux angles seront dits adjacents si une paire de leurs côtés est un angle droit et que l'autre paire coïncide (Fig. 2).

Dans ce cas, les angles $COA$ et $BOA$ sont adjacents.

Théorème 1

La somme des angles adjacents est $180^0$.

Preuve.

Considérez la figure 2.

Par définition 7, l'angle $COB$ qu'il contient sera égal à $180^0$. Puisque la deuxième paire de côtés d'angles adjacents coïncide, alors le rayon $OA$ divisera l'angle droit par 2, donc

$∠COA+∠BOA=180^0$

Le théorème a été démontré.

Considérez la solution du problème en utilisant ce concept.

Exemple 1

Trouvez l'angle $C$ à partir de la figure ci-dessous

Par la définition 7, on obtient que les angles $BDA$ et $ADC$ sont adjacents. Donc, d'après le théorème 1, on obtient

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Par le théorème sur la somme des angles dans un triangle, on aura

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Réponse : 40 $^0 $.

Angles verticaux

Considérons les angles développés $AOB$ et $MOC$. Faisons correspondre leurs sommets entre eux (c'est-à-dire, mettons le point $O"$ sur le point $O$) de sorte qu'aucun des côtés de ces angles ne coïncide. Alors

Définition 8

Deux angles seront dits verticaux si les paires de leurs côtés sont des angles droits et leurs valeurs sont les mêmes (Fig. 3).

Dans ce cas, les angles $MOA$ et $BOC$ sont verticaux et les angles $MOB$ et $AOC$ sont également verticaux.

Théorème 2

Les angles verticaux sont égaux entre eux.

Preuve.

Considérons la figure 3. Prouvons, par exemple, que l'angle $MOA$ est égal à l'angle $BOC$.