Un calculateur de limite en ligne sur le site pour la consolidation complète du matériel couvert par les étudiants et les écoliers et la formation de leurs compétences pratiques. Comment utiliser le calculateur de limite en ligne sur notre ressource ? Cela se fait même très facilement, il vous suffit d'entrer la fonction d'origine dans le champ existant, de sélectionner la valeur limite requise pour la variable dans le sélecteur et de cliquer sur le bouton "Solution". Si, à un moment donné, vous devez calculer la valeur limite, vous devez entrer la valeur de ce point même - numérique ou symbolique. Le calculateur de limite en ligne vous aidera à trouver la valeur limite en un point donné, la limite dans l'intervalle de définition de la fonction, et cette valeur, où la valeur de la fonction étudiée se précipite lorsque son argument tend vers un point donné, est la solution à la limite. Selon le calculateur de limite en ligne sur notre ressource, le site peut dire ce qui suit - il existe un grand nombre d'analogues sur Internet, vous pouvez en trouver d'intéressants, vous devez rechercher celui-ci avec difficulté. Mais ici, vous rencontrerez le fait qu'un site à un autre site est différent. Beaucoup d'entre eux n'offrent pas du tout de calculateur de limite en ligne, contrairement à nous. Si dans un moteur de recherche bien connu, que ce soit Yandex ou Google, vous recherchez des sites en utilisant la phrase "Calculateur de limite en ligne", alors le site sera sur les premières lignes des résultats de la recherche. Cela signifie que ces moteurs de recherche nous font confiance, et sur notre site il n'y a que du contenu de haute qualité, et surtout, utile pour les étudiants scolaires et universitaires ! Continuons à parler des calculateurs de limite et en général de la théorie du passage à la limite. Très souvent, dans la définition de la limite d'une fonction, la notion de voisinages est formulée. Ici, les limites des fonctions, ainsi que la solution de ces limites, ne sont étudiées qu'aux points limitant pour le domaine de définition des fonctions, sachant qu'à chaque voisinage d'un tel point il y a des points du domaine de définition de cette fonction. Cela nous permet de parler de la tendance d'une fonction variable à un point donné. S'il y a une limite à un certain point du domaine de la fonction et que le calculateur de limite en ligne donne une solution limite détaillée de la fonction à un point donné, alors la fonction est continue à ce point. Laissez notre calculateur de limite en ligne avec une solution donner un résultat positif, et nous le vérifierons sur d'autres sites. Cela peut prouver la qualité de notre ressource et, comme beaucoup le savent déjà, elle est à son meilleur et mérite les plus grands éloges. Parallèlement à cela, il existe la possibilité de limites de calculatrice en ligne avec une solution détaillée pour étudier et de manière indépendante, mais sous la supervision étroite d'un enseignant professionnel. Souvent, cette action conduira aux résultats escomptés. Tous les étudiants rêvent que le calculateur de limite en ligne avec la solution décrirait en détail leur tâche difficile, donnée par l'enseignant au début du semestre. Mais ce n'est pas si simple. Vous devez d'abord étudier la théorie, puis utiliser la calculatrice gratuite. Comme les limites en ligne, la calculatrice vous donnera le détail des entrées dont vous avez besoin, et vous serez satisfait du résultat. Mais le point limite du domaine de définition peut ne pas appartenir à ce même domaine de définition, et cela est prouvé par un calcul détaillé par le calculateur de limite en ligne. Exemple : on peut considérer la limite d'une fonction aux extrémités d'un segment ouvert sur lequel notre fonction est définie. Dans ce cas, les frontières du segment elles-mêmes ne sont pas incluses dans le domaine de définition. En ce sens, le système de voisinages de ce point est un cas particulier d'une telle base de sous-ensembles. Le calculateur de limite en ligne avec une solution détaillée est produit en temps réel et des formules lui sont appliquées sous une forme analytique explicite donnée. La limite d'une fonction utilisant le calculateur de limite en ligne avec une solution détaillée est une généralisation de la notion de limite d'une suite : initialement, la limite d'une fonction en un point était comprise comme la limite d'une suite d'éléments de la plage d'une fonction composée d'images de points d'une suite d'éléments du domaine d'une fonction convergeant vers un point donné (dont on considère la limite) ; si une telle limite existe, on dit que la fonction converge vers la valeur spécifiée ; si une telle limite n'existe pas, alors la fonction est dite divergente. D'une manière générale, la théorie du passage à la limite est le concept de base de toute analyse mathématique. Tout est basé précisément sur les transitions limites, c'est-à-dire qu'une solution détaillée des limites est la base de la science de l'analyse mathématique, et le calculateur de limites en ligne jette les bases de l'apprentissage des élèves. Le calculateur de limite en ligne avec une solution détaillée sur le site est un service unique pour obtenir une réponse précise et instantanée en temps réel. Il n'est pas rare, ou plutôt très souvent, que les étudiants aient immédiatement des difficultés à résoudre les limites lors de l'étude initiale de l'analyse mathématique. Nous garantissons que résoudre le calculateur de limite en ligne sur notre service est une garantie de précision et d'obtenir une réponse de haute qualité.Vous recevrez la réponse à une solution détaillée de la limite avec un calculateur en quelques secondes, vous pouvez même dire instantanément . Si vous spécifiez des données incorrectes, c'est-à-dire des caractères qui ne sont pas autorisés par le système, ce n'est pas grave, le service vous informera automatiquement d'une erreur. Corrigez la fonction (ou le point limite) précédemment saisie et obtenez la solution détaillée correcte avec le calculateur de limite en ligne. Faites-nous confiance et nous ne vous laisserons jamais tomber. Vous pouvez facilement utiliser le site et le calculateur de limite en ligne avec la solution décrira en détail les étapes étape par étape pour calculer le problème. Il vous suffit d'attendre quelques secondes et d'obtenir la réponse tant convoitée. Pour résoudre les limites avec une calculatrice en ligne avec une solution détaillée, toutes les techniques possibles sont utilisées, en particulier la méthode de L'Hospital est utilisée très souvent, car elle est universelle et conduit à une réponse plus rapide que les autres méthodes de calcul de la limite d'une fonction . Souvent, une solution détaillée en ligne par un calculateur de limite est nécessaire pour calculer la somme d'une séquence de nombres. Comme vous le savez, pour trouver la somme d'une suite numérique, il suffit d'exprimer correctement la somme partielle de cette suite, et ensuite tout est simple grâce à notre service de site gratuit, puisque le calcul de la limite à l'aide de notre calculateur de limite en ligne de la somme partielle sera la somme finale de la séquence numérique. Une solution détaillée avec un calculateur de limites en ligne utilisant le service du site offre aux étudiants un moyen de voir la progression de la résolution de problèmes, ce qui rend la compréhension de la théorie des limites facile et accessible à presque tout le monde. Restez concentré et ne laissez pas de mauvaises actions vous attirer des ennuis avec de mauvaises notes. Comme toute solution détaillée avec un calculateur de limite de service en ligne, le problème sera présenté sous une forme pratique et compréhensible, avec une solution détaillée, dans le respect de toutes les règles et réglementations pour obtenir une solution.. En même temps, vous pouvez économiser du temps et de l'argent, puisque nous n'en demandons absolument rien. Sur notre site Web, une solution détaillée de calculateurs de limites en ligne est toujours disponible 24 heures sur 24. En fait, tous les calculateurs de limites en ligne avec une solution peuvent ne pas donner en détail la progression d'une solution étape par étape, vous ne devez pas l'oublier et suivre tout le monde. Dès que les limites du calculateur en ligne avec une solution détaillée vous invitent à cliquer sur le bouton "Solution", veuillez d'abord tout vérifier. c'est-à-dire vérifier la fonction saisie, ainsi que la valeur limite et ensuite seulement procéder à l'action. Cela vous évitera des expériences douloureuses pour des calculs infructueux. Et puis les limites du calculateur en ligne avec une loi détaillée donneront la représentation factorielle correcte de l'action pas à pas. Si le calculateur de limite en ligne n'a soudainement pas donné de solution détaillée, il peut y avoir plusieurs raisons à cela. Tout d'abord, vérifiez l'expression écrite de la fonction. Elle doit contenir la variable "x", sinon toute la fonction sera traitée par le système comme une constante. Ensuite, vérifiez la valeur limite si vous avez spécifié un point donné ou une valeur symbolique. Il ne doit également contenir que des lettres latines - c'est important ! Ensuite, vous pouvez réessayer de trouver une solution détaillée des limites en ligne sur notre excellent service, et utiliser le résultat. Dès qu'ils disent que les limites de la solution en ligne dans le détail sont très difficiles - n'y croyez pas, et surtout, ne paniquez pas, tout est permis dans le cadre de la formation. Nous vous recommandons, sans panique, de consacrer quelques minutes à notre service et de vérifier l'exercice proposé. Si, néanmoins, les limites de la solution en ligne ne peuvent pas être résolues en détail, alors vous avez fait une faute de frappe, car sinon le site résout presque tous les problèmes sans trop de difficulté. Mais il n'est pas nécessaire de penser que vous pouvez obtenir le résultat souhaité immédiatement sans travail ni effort. Sur tout besoin de consacrer suffisamment de temps pour étudier le matériel. Il est possible pour chaque calculateur de limite en ligne avec une solution de se démarquer en détail au stade de la construction de la solution exposée et de supposer le contraire. Mais peu importe comment l'exprimer, puisque nous sommes préoccupés par le processus même de l'approche scientifique. En conséquence, nous montrerons comment le calculateur de limite de solution en ligne est basé en détail sur l'aspect fondamental des mathématiques en tant que science. Identifiez cinq principes fondamentaux et commencez à aller de l'avant. On vous demandera si la solution de calcul de limite est disponible en ligne avec une solution détaillée pour tout le monde, et vous répondrez - oui, c'est le cas ! Peut-être qu'en ce sens, il n'y a pas d'accent particulier sur les résultats, mais la limite en ligne a une signification légèrement différente dans le détail de ce qu'elle pourrait sembler au début de l'étude de la discipline. Avec une approche équilibrée, avec le bon alignement des forces, vous pouvez rapidement déduire vous-même la limite en ligne en détail. ! En réalité, ce sera que le calculateur de limite en ligne avec la solution en détail commencera à représenter proportionnellement toutes les étapes d'un calcul pas à pas plus rapidement.
La théorie des limites est l'une des branches de l'analyse mathématique. La question de la résolution des limites est assez vaste, car il existe des dizaines de méthodes pour résoudre les limites de différents types. Il existe des dizaines de nuances et d'astuces qui vous permettent de résoudre l'une ou l'autre limite. Néanmoins, nous essaierons tout de même de comprendre les principaux types de limites que l'on rencontre le plus souvent en pratique.
Commençons par le concept même de limite. Mais d'abord, un bref rappel historique. Il était une fois un Français, Augustin Louis Cauchy, au XIXe siècle, qui posa les bases de l'analyse mathématique et donna des définitions strictes, notamment la définition de la limite. Il faut dire que ce même Cauchy a rêvé, rêve et rêvera dans des cauchemars de tous les étudiants des facultés physiques et mathématiques, puisqu'il a prouvé un grand nombre de théorèmes d'analyse mathématique, et un théorème est plus dégoûtant que l'autre. À cet égard, nous n'envisagerons pas une définition stricte de la limite, mais essaierons de faire deux choses :
1. Comprendre ce qu'est une limite.
2. Apprenez à résoudre les principaux types de limites.
Je m'excuse pour certaines explications non scientifiques, il est important que le matériel soit compréhensible même pour une théière, ce qui, en fait, est la tâche du projet.
Quelle est donc la limite ?
Et tout de suite un exemple de pourquoi baiser sa grand-mère....
Toute limite se compose de trois parties:
1) L'icône de limite bien connue.
2) Entrées sous l'icône de limite, dans ce cas . L'entrée se lit "x tend vers l'unité". Le plus souvent - exactement, bien qu'au lieu de "x" dans la pratique, il existe d'autres variables. Dans les tâches pratiques, à la place d'une unité, il peut y avoir absolument n'importe quel nombre, ainsi que l'infini ().
3) Fonctionne sous le signe limite, dans ce cas .
Le dossier lui-même 
se lit comme suit : "la limite de la fonction lorsque x tend vers l'unité".
Analysons la prochaine question importante - que signifie l'expression "x chercheà l'unité ? Et qu'est-ce que "s'efforcer" de toute façon ?
Le concept de limite est un concept, pour ainsi dire, dynamique. Construisons une suite : d'abord , puis , , …, 
, ….
Autrement dit, l'expression "x chercheà un" doit être compris comme suit - "x" prend systématiquement les valeurs qui sont infiniment proches de l'unité et coïncident pratiquement avec elle.
Comment résoudre l'exemple ci-dessus? Sur la base de ce qui précède, il vous suffit de remplacer l'unité dans la fonction sous le signe limite :
Donc la première règle est : Lorsqu'une limite est donnée, essayez d'abord de brancher le nombre dans la fonction.
Nous avons considéré la limite la plus simple, mais on en trouve aussi dans la pratique, et pas si rarement !
Exemple d'infini :
Comprendre ce que c'est ? C'est le cas lorsqu'il augmente indéfiniment, c'est-à-dire : d'abord, puis, puis, puis, et ainsi de suite à l'infini.
Et qu'advient-il de la fonction à ce moment?
, , 
, …
Donc : si , alors la fonction tend vers moins l'infini:
En gros, selon notre première règle, nous substituons l'infini dans la fonction au lieu de "x" et obtenons la réponse .
Autre exemple avec l'infini :
Encore une fois, nous commençons à augmenter jusqu'à l'infini et regardons le comportement de la fonction : 
Conclusion : pour , la fonction croît indéfiniment:
Et une autre série d'exemples :
Veuillez essayer d'analyser mentalement ce qui suit par vous-même et rappelez-vous les types de limites les plus simples :
, , , , 
, , , , 
,
En cas de doute quelque part, vous pouvez prendre une calculatrice et vous entraîner un peu.
Dans le cas où , essayez de construire la séquence , , . Si donc , , .
Remarque : à proprement parler, cette approche consistant à construire des séquences de plusieurs nombres est incorrecte, mais elle est tout à fait adaptée pour comprendre les exemples les plus simples.
Faites également attention à la chose suivante. Même si une limite est donnée avec un grand nombre en haut, ou au moins avec un million : , alors tout de même 
, car tôt ou tard "x" prendra des valeurs si gigantesques qu'un million par rapport à eux sera un véritable microbe.
Que faut-il retenir et comprendre de ce qui précède ?
1) Lorsqu'une limite est donnée, nous essayons d'abord simplement de substituer un nombre dans la fonction.
2) Vous devez comprendre et résoudre immédiatement les limites les plus simples, telles que 
, , etc.
Considérons maintenant le groupe de limites, quand , et la fonction est une fraction, dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes
Exemple:
Calculer la limite 
Selon notre règle, nous allons essayer de substituer l'infini dans une fonction. Qu'obtenons-nous au sommet? Infini. Et que se passe-t-il en dessous ? L'infini aussi. Ainsi, nous avons ce qu'on appelle l'indétermination de la forme. On pourrait penser que , et la réponse est prête, mais dans le cas général ce n'est pas du tout le cas, et une solution doit être appliquée, que nous allons maintenant considérer.
Comment résoudre les limites de ce type ?
Nous regardons d'abord le numérateur et trouvons la puissance la plus élevée : 
La puissance la plus élevée du numérateur est deux.
Maintenant, nous regardons le dénominateur et trouvons également le degré le plus élevé : 
La plus grande puissance du dénominateur est deux.
Ensuite, nous choisissons la puissance la plus élevée du numérateur et du dénominateur : dans cet exemple, ils sont identiques et égaux à deux.
Ainsi, la méthode de résolution est la suivante : pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par au degré le plus élevé.
La voici, la réponse, et pas l'infini du tout.
Qu'est-ce qui est essentiel pour prendre une décision ?
Tout d'abord, nous indiquons l'incertitude, le cas échéant.
Deuxièmement, il est souhaitable d'interrompre la solution pour des explications intermédiaires. J'utilise habituellement le signe, il n'a aucune signification mathématique, mais signifie que la solution est interrompue pour une explication intermédiaire.
Troisièmement, à la limite, il est souhaitable de marquer quoi et où il tend. Lorsque le travail est rédigé à la main, il est plus pratique de le faire comme ceci: 
Pour les notes, il est préférable d'utiliser un simple crayon.
Bien sûr, vous ne pouvez rien faire de cela, mais alors, peut-être que l'enseignant notera les lacunes de la solution ou commencera à poser des questions supplémentaires sur le devoir. Et en avez-vous besoin ?
Exemple 2
Trouver la limite 
Toujours au numérateur et au dénominateur on retrouve au plus haut degré : 
Degré maximum au numérateur : 3
Degré maximum au dénominateur : 4
Choisir le plus grand valeur, dans ce cas quatre.
Selon notre algorithme, pour révéler l'incertitude, nous divisons le numérateur et le dénominateur par .
Un devoir complet pourrait ressembler à ceci :
Diviser le numérateur et le dénominateur par
Exemple 3
Trouver la limite 
Le degré maximum de "x" au numérateur : 2
La puissance maximale de "x" au dénominateur : 1 (peut s'écrire)
Pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par . Une solution propre pourrait ressembler à ceci :
Diviser le numérateur et le dénominateur par
Le record ne signifie pas division par zéro (il est impossible de diviser par zéro), mais division par un nombre infiniment petit.
Ainsi, en révélant l'indétermination de la forme, on peut obtenir nombre fini, zéro ou infini.
Limites avec incertitude de type et une méthode pour leur solution
Le groupe de limites suivant est quelque peu similaire aux limites que nous venons de considérer : il y a des polynômes au numérateur et au dénominateur, mais "x" ne tend plus vers l'infini, mais vers nombre final.
Exemple 4
Résoudre la limite 
Essayons d'abord de substituer -1 dans une fraction : 
Dans ce cas, la soi-disant incertitude est obtenue.
Règle générale: s'il y a des polynômes dans le numérateur et le dénominateur, et il y a une incertitude de la forme , alors pour sa divulgation factoriser le numérateur et le dénominateur.
Pour ce faire, vous devez le plus souvent résoudre une équation quadratique et (ou) utiliser des formules de multiplication abrégées. Si ces choses sont oubliées, alors visitez la page Formules et tableaux mathématiques et se familiariser avec le matériel méthodologique Formules mathématiques de l'école chaude. Soit dit en passant, il est préférable de l'imprimer, il est nécessaire très souvent et les informations sur papier sont mieux absorbées.
Alors résolvons notre limite 
Factoriser le numérateur et le dénominateur
Pour factoriser le numérateur, vous devez résoudre l'équation quadratique : 
On trouve d'abord le discriminant :
Et sa racine carrée : .
Si le discriminant est grand, par exemple 361, on utilise une calculatrice, la fonction racine carrée est sur la calculatrice la plus simple.
! Si la racine n'est pas complètement extraite (un nombre fractionnaire avec une virgule est obtenu), il est très probable que le discriminant ait été mal calculé ou qu'il y ait une faute de frappe dans la tâche.
Ensuite, nous trouvons les racines: 
Ainsi:
Tout. Le numérateur est factorisé.
Dénominateur. Le dénominateur est déjà le facteur le plus simple, et il n'y a aucun moyen de le simplifier.
Évidemment, il peut être raccourci en :
Maintenant, nous substituons -1 dans l'expression qui reste sous le signe limite :
Naturellement, dans un test, sur un test, un examen, la solution n'est jamais peinte avec autant de détails. Dans la version finale, le design devrait ressembler à ceci :
Factorisons le numérateur. 
Exemple 5
Calculer la limite 
D'abord une solution "propre"
Factorisons le numérateur et le dénominateur.
Numérateur:
Dénominateur: 
, 
Qu'est-ce qui est important dans cet exemple ?
Tout d'abord, vous devez bien comprendre comment le numérateur est révélé, d'abord nous avons mis 2 entre parenthèses, puis nous avons utilisé la formule de la différence des carrés. C'est la formule que vous devez connaître et voir.
À partir de l'article ci-dessus, vous pouvez découvrir quelle est la limite et avec quoi il est consommé - c'est TRÈS important. Pourquoi? Vous pouvez ne pas comprendre ce que sont les déterminants et les résoudre avec succès, vous pouvez ne pas comprendre du tout ce qu'est un dérivé et les trouver sur les "cinq". Mais si vous ne comprenez pas ce qu'est une limite, il sera difficile de résoudre des tâches pratiques. De plus, il ne sera pas superflu de vous familiariser avec les exemples de conception de décisions et mes recommandations en matière de conception. Toutes les informations sont présentées de manière simple et accessible.
Et pour les besoins de cette leçon, nous avons besoin du matériel méthodologique suivant : Limites remarquables et Formules trigonométriques. Ils peuvent être trouvés sur la page. Il est préférable d'imprimer les manuels - c'est beaucoup plus pratique, de plus, ils doivent souvent être consultés hors ligne.
Qu'y a-t-il de remarquable dans les limites merveilleuses ? La particularité de ces limites réside dans le fait qu'elles ont été prouvées par les plus grands esprits de mathématiciens célèbres, et les descendants reconnaissants n'ont pas à souffrir de terribles limites avec un tas de fonctions trigonométriques, de logarithmes et de degrés. Autrement dit, lors de la recherche des limites, nous utiliserons des résultats prêts à l'emploi qui ont été prouvés théoriquement.
Il existe plusieurs limites remarquables, mais en pratique, les étudiants à temps partiel dans 95% des cas ont deux limites remarquables : Première limite merveilleuse, La deuxième merveilleuse limite. Il convient de noter que ce sont des noms historiquement établis, et quand, par exemple, ils parlent de la "première limite merveilleuse", ils entendent par là une chose très précise, et non une limite aléatoire prise au plafond.
Première limite merveilleuse
Considérez la limite suivante: (au lieu de la lettre native "il", j'utiliserai la lettre grecque "alpha", c'est plus pratique en termes de présentation du matériel).
Selon notre règle de recherche des limites (voir article Limites. Exemples de solutions) nous essayons de substituer zéro dans la fonction : au numérateur, nous obtenons zéro (le sinus de zéro est zéro), au dénominateur, évidemment, également zéro. Ainsi, nous sommes face à une indétermination de la forme qui, heureusement, n'a pas besoin d'être dévoilée. Au cours de l'analyse mathématique, il est prouvé que:
Ce fait mathématique est appelé Première limite merveilleuse. Je ne donnerai pas une preuve analytique de la limite, mais nous considérerons sa signification géométrique dans la leçon sur fonctions infinitésimales.
Souvent dans les tâches pratiques, les fonctions peuvent être agencées différemment, cela ne change rien :
– la même première limite merveilleuse.
Mais vous ne pouvez pas réorganiser vous-même le numérateur et le dénominateur ! Si une limite est donnée sous la forme , alors elle doit être résolue sous la même forme, sans rien réarranger.
En pratique, non seulement une variable peut jouer le rôle de paramètre, mais aussi une fonction élémentaire, une fonction complexe. Il est seulement important qu'il tende vers zéro.
Exemples:
, , 
, 
Ici , , , 
, et tout bourdonne - la première limite merveilleuse est applicable.
Et voici la prochaine entrée - hérésie :
Pourquoi? Parce que le polynôme ne tend pas vers zéro, il tend vers cinq.
Soit dit en passant, la question est pour le remblayage, mais quelle est la limite 
? La réponse se trouve à la fin de la leçon.
En pratique, tout n'est pas si fluide, presque jamais un étudiant ne se verra proposer de résoudre une limite gratuite et d'obtenir un crédit facile. Hmmm... J'écris ces lignes, et une pensée très importante m'est venue à l'esprit - après tout, il semble préférable de retenir par cœur les définitions et formules mathématiques "libres", cela peut être d'une aide précieuse dans le test, quand le problème sera tranché entre "deux" et "trois", et l'enseignant décide de poser à l'élève une question simple ou de proposer de résoudre l'exemple le plus simple ("peut-être qu'il (a) sait encore quoi ?!").
Passons aux exemples pratiques :
Exemple 1
Trouver la limite
Si nous remarquons un sinus dans la limite, cela devrait immédiatement nous amener à réfléchir à la possibilité d'appliquer la première limite remarquable.
Premièrement, nous essayons de substituer 0 dans l'expression sous le signe limite (nous le faisons mentalement ou sur un brouillon):
On a donc une indétermination de la forme , sa n'oubliez pas d'indiquer dans la prise de décision. L'expression sous le signe limite ressemble à la première limite merveilleuse, mais ce n'est pas tout à fait cela, elle est sous le sinus, mais dans le dénominateur.
Dans de tels cas, nous devons organiser nous-mêmes la première limite merveilleuse, en utilisant un dispositif artificiel. Le raisonnement peut être le suivant : « sous le sinus on a, ce qui veut dire qu'il faut aussi rentrer dans le dénominateur ».
Et cela se fait très simplement :
Autrement dit, le dénominateur est artificiellement multiplié dans ce cas par 7 et divisé par les mêmes sept. Maintenant, le disque a pris une forme familière.
Lorsque la tâche est rédigée à la main, il est conseillé de marquer la première merveilleuse limite avec un simple crayon :
Qu'est-il arrivé? En fait, l'expression encerclée est devenue une unité et a disparu dans le produit : 
Il ne reste plus qu'à se débarrasser de la fraction à trois étages: 
Qui a oublié la simplification des fractions à plusieurs étages, veuillez rafraîchir le matériel dans le livre de référence Formules mathématiques de l'école chaude .
Prêt. Réponse finale:
Si vous ne souhaitez pas utiliser de marques de crayon, la solution peut être formatée comme suit :
“
On utilise la première limite remarquable 
“
Exemple 2
Trouver la limite
Encore une fois, nous voyons une fraction et un sinus dans la limite. Nous essayons de substituer zéro au numérateur et au dénominateur :
En effet, nous avons une incertitude et, par conséquent, nous devons essayer d'organiser la première limite remarquable. Sur la leçon Limites. Exemples de solutions nous avons considéré la règle selon laquelle lorsque nous avons une incertitude , nous devons alors factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs. Ici - même chose, nous présenterons les degrés sous forme de produit (multiplicateurs) :
Comme dans l'exemple précédent, on trace au crayon les merveilleuses limites (ici il y en a deux), et on indique qu'elles tendent vers une :
En fait, la réponse est prête :
Dans les exemples suivants, je ne ferai pas d'art dans Paint, je pense comment rédiger correctement une solution dans un cahier - vous comprenez déjà.
Exemple 3
Trouver la limite
Nous substituons zéro dans l'expression sous le signe limite :
Une incertitude a été obtenue qui doit être divulguée. S'il y a une tangente à la limite, elle est presque toujours convertie en sinus et cosinus selon la formule trigonométrique bien connue (d'ailleurs, ils font à peu près la même chose avec la cotangente, voir le matériel méthodologique Formules trigonométriques chaudes Sur la page Formules mathématiques, tableaux et documents de référence).
Dans ce cas:
Le cosinus de zéro est égal à un, et il est facile de s'en débarrasser (n'oubliez pas de marquer qu'il tend vers un) :
Ainsi, si à la limite le cosinus est un MULTIPLICATEUR, alors, grosso modo, il doit être transformé en une unité, qui disparaît dans le produit.
Ici, tout s'est avéré plus simple, sans multiplications ni divisions. La première limite remarquable se transforme également en unité et disparaît dans le produit :
En conséquence, l'infini est obtenu, cela arrive.
Exemple 4
Trouver la limite
Nous essayons de substituer zéro au numérateur et au dénominateur :
Incertitude obtenue (le cosinus de zéro, rappelons-le, est égal à un)
Nous utilisons la formule trigonométrique. Prendre note! Pour une raison quelconque, les limites utilisant cette formule sont très courantes.
Nous retirons les multiplicateurs constants au-delà de l'icône de limite :
Organisons la première limite remarquable :
Ici nous n'avons qu'une merveilleuse limite, qui se transforme en une seule et disparaît dans le produit :
Débarrassons-nous des trois étages :
La limite étant effectivement résolue, nous indiquons que le sinus restant tend vers zéro :
Exemple 5
Trouver la limite 
Cet exemple est plus compliqué, essayez de le comprendre vous-même :
Certaines limites peuvent être réduites à la 1ère limite remarquable en changeant la variable, vous pourrez lire cela un peu plus loin dans l'article Méthodes de résolution de limites.
La deuxième merveilleuse limite
Dans la théorie de l'analyse mathématique, il est prouvé que:
Ce fait est appelé deuxième limite remarquable.
Référence: 
est un nombre irrationnel.
Non seulement une variable peut agir comme un paramètre, mais aussi comme une fonction complexe. Il est seulement important qu'il s'efforce d'atteindre l'infini.
Exemple 6
Trouver la limite
Lorsque l'expression sous le signe limite est au pouvoir - c'est le premier signe que vous devez essayer d'appliquer la deuxième limite merveilleuse.
Mais d'abord, comme toujours, nous essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression, selon quel principe cela est fait, il a été analysé dans la leçon Limites. Exemples de solutions.
Il est facile de voir que lorsque la base du degré, et l'exposant - , c'est-à-dire qu'il y a une incertitude de la forme :
Cette incertitude vient d'être révélée à l'aide de la deuxième limite remarquable. Mais, comme cela arrive souvent, la deuxième merveilleuse limite ne se trouve pas sur un plateau d'argent, et elle doit être artificiellement organisée. Vous pouvez raisonner ainsi : dans cet exemple, le paramètre signifie qu'il faut aussi s'organiser dans l'indicateur. Pour cela, on élève la base à une puissance, et pour que l'expression ne change pas, on l'élève à une puissance :
Lorsque la tâche est rédigée à la main, on marque au crayon :
Presque tout est prêt, le terrible diplôme s'est transformé en une jolie lettre :
Dans le même temps, l'icône de limite elle-même est déplacée vers l'indicateur:
Exemple 7
Trouver la limite
Attention! Ce type de limite est très courant, veuillez étudier cet exemple très attentivement.
On essaie de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression sous le signe limite :
Le résultat est une incertitude. Mais la deuxième limite remarquable concerne l'incertitude de la forme. Que faire? Vous devez convertir la base du diplôme. Nous raisonnons ainsi : au dénominateur, nous avons , ce qui signifie que nous devons également organiser au numérateur.
Limite de fonction- Numéro un sera la limite d'une valeur variable si, au cours de son changement, cette variable se rapproche indéfiniment un.
Ou en d'autres termes, le nombre UN est la limite de la fonction y=f(x)à ce point x0, si pour toute suite de points du domaine de définition de la fonction , différent de x0, et qui converge vers le point x 0 (lim x n = x0), la séquence de valeurs correspondantes de la fonction converge vers le nombre UN.
Graphe d'une fonction dont la limite avec un argument qui tend vers l'infini est L:
Sens MAIS est un limite (valeur limite) de la fonction f(x)à ce point x0 si pour toute suite de points 
, qui converge vers x0, mais qui ne contient pas x0 comme l'un de ses éléments (c'est-à-dire dans le voisinage perforé x0), la séquence de valeurs de fonction 
converge vers UN.
La limite d'une fonction selon Cauchy.
Sens UN sera limite de fonction f(x)à ce point x0 si pour tout nombre non négatif pris en avant ε un nombre correspondant non négatif sera trouvé δ = δ(ε) tel que pour chaque argument X, remplissant la condition 0 < | x - x0 | < δ , l'inégalité | f(x) UNE |< ε .
Ce sera très simple si vous comprenez l'essence de la limite et les règles de base pour la trouver. que la limite de la fonction F(X)à X aspirant à unéquivaut à UN, s'écrit ainsi :
De plus, la valeur vers laquelle tend la variable X, peut être non seulement un nombre, mais aussi l'infini (∞), parfois +∞ ou -∞, ou il peut n'y avoir aucune limite du tout.
Pour comprendre comment trouver les limites d'une fonction, il est préférable de voir des exemples de solutions.
Il faut trouver les limites de la fonction F(x) = 1/Xà:
X→ 2, X→ 0, X→ ∞.
Trouvons la solution de la première limite. Pour ce faire, vous pouvez simplement remplacer X le nombre auquel il aspire, c'est-à-dire 2, on obtient :
Trouver la deuxième limite de la fonction. Ici, substituez sous forme pure 0 au lieu de X c'est impossible, car ne peut pas être divisé par 0. Mais on peut prendre des valeurs proches de zéro, par exemple 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; 0.00001 et ainsi de suite, avec la valeur de la fonction F(X) augmentera : 100 ; 1000 ; 10000 ; 100000 et ainsi de suite. Ainsi, on peut comprendre que lorsque X→ 0 la valeur de la fonction qui est sous le signe limite augmentera indéfiniment, c'est-à-dire viser l'infini. Ce qui signifie:
Concernant la troisième limite. La même situation que dans le cas précédent, il est impossible de substituer ∞ dans sa forme la plus pure. Il faut considérer le cas d'une augmentation illimitée X. Nous substituons alternativement 1000; 10000 ; 100000 et ainsi de suite, nous avons que la valeur de la fonction F(x) = 1/X diminuera : 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 ; et ainsi de suite, tendant vers zéro. Alors:
Il faut calculer la limite de la fonction 
En commençant à résoudre le deuxième exemple, nous voyons l'incertitude. De là, nous trouvons le degré le plus élevé du numérateur et du dénominateur - c'est x3, nous le sortons des parenthèses au numérateur et au dénominateur, puis nous le réduisons :
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La première étape dans trouver cette limite, remplacez la valeur 1 au lieu de X, ce qui entraîne l'incertitude. Pour le résoudre, nous décomposons le numérateur en facteurs , nous le ferons en trouvant les racines de l'équation quadratique x2 + 2x-3:
D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.
Donc le numérateur serait :
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Il s'agit de la définition de sa valeur spécifique ou d'une zone spécifique où tombe la fonction, qui est limitée par la limite.
Pour décider des limites, suivez les règles :
Ayant compris l'essence et le principal limiter les règles de décision, vous obtiendrez une compréhension de base de la façon de les résoudre.