हम दोहरे समाकलन की गणना की वास्तविक प्रक्रिया पर विचार करना शुरू करते हैं और इसके ज्यामितीय अर्थ से परिचित होते हैं।

दोहरा समाकलन संख्यात्मक रूप से समतल आकृति (एकीकरण का क्षेत्र) के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह दोहरे समाकलन का सबसे सरल रूप है, जब दो चरों का फलन एक के बराबर होता है: .

आइए पहले समस्या को सामान्य शब्दों में देखें। अब आपको आश्चर्य होगा कि यह वास्तव में कितना आसान है! आइए रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें। निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि अंतराल पर। इस आकृति का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है:

आइए चित्र में क्षेत्र को चित्रित करें:

आइए क्षेत्र को बायपास करने का पहला तरीका चुनें:

इस प्रकार से:

और तुरंत एक महत्वपूर्ण तकनीकी चाल: पुनरावृत्त इंटीग्रल को अलग से माना जा सकता है. पहले आंतरिक समाकलन, फिर बाह्य समाकलन। टीपोट्स विषय में शुरुआती लोगों के लिए इस विधि की अत्यधिक अनुशंसा की जाती है।

1) आंतरिक अभिन्न की गणना करें, जबकि एकीकरण चर "y" पर किया जाता है:

यहां अनिश्चितकालीन अभिन्न सबसे सरल है, और फिर साधारण न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग किया जाता है, केवल अंतर के साथ एकीकरण की सीमाएँ संख्याएँ नहीं हैं, बल्कि कार्य हैं. सबसे पहले, हमने ऊपरी सीमा को "y" (एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन) में प्रतिस्थापित किया, फिर निचली सीमा

2) पहले पैराग्राफ में प्राप्त परिणाम को बाहरी अभिन्न में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए:

पूरे समाधान के लिए एक अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन इस तरह दिखता है:

परिणामी सूत्र - "साधारण" निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक सपाट आकृति के क्षेत्र की गणना के लिए यह बिल्कुल कार्य सूत्र है! सबक देखें एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करना, वहाँ वह हर मोड़ पर है!

अर्थात, डबल इंटीग्रल का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करने की समस्या थोड़ा अलगएक निश्चित समाकल का प्रयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या से!वास्तव में, वे एक ही हैं!

तदनुसार, कोई कठिनाई उत्पन्न नहीं होनी चाहिए! मैं बहुत सारे उदाहरणों पर विचार नहीं करूंगा, क्योंकि वास्तव में, आप बार-बार इस समस्या का सामना कर चुके हैं।

उदाहरण 9

समाधान:आइए चित्र में क्षेत्र को चित्रित करें:

आइए क्षेत्र के ट्रैवर्सल के निम्नलिखित क्रम को चुनें:

यहाँ और नीचे, मैं इस बात पर ध्यान नहीं दूंगा कि किसी क्षेत्र को कैसे पार किया जाए क्योंकि पहला पैराग्राफ बहुत विस्तृत था।

इस प्रकार से:

जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, शुरुआती लोगों के लिए अलग से पुनरावृत्त इंटीग्रल की गणना करना बेहतर है, मैं उसी विधि का पालन करूंगा:

1) सबसे पहले, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करते हुए, हम आंतरिक समाकलन से निपटते हैं:

2) पहले चरण में प्राप्त परिणाम को बाहरी समाकलन में प्रतिस्थापित किया जाता है:

बिंदु 2 वास्तव में एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कर रहा है।

उत्तर:

यहाँ ऐसा मूर्खतापूर्ण और भोला काम है।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक जिज्ञासु उदाहरण:

उदाहरण 10

दोहरे समाकलन का प्रयोग करते हुए, रेखाओं से घिरे समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

पाठ के अंत में अंतिम समाधान का एक उदाहरण।

उदाहरण 9-10 में, क्षेत्र को दरकिनार करने की पहली विधि का उपयोग करना अधिक लाभदायक है; जिज्ञासु पाठक, वैसे, बाईपास के क्रम को बदल सकते हैं और दूसरे तरीके से क्षेत्रों की गणना कर सकते हैं। यदि आप कोई गलती नहीं करते हैं, तो स्वाभाविक रूप से, समान क्षेत्र मान प्राप्त होते हैं।

लेकिन कुछ मामलों में, क्षेत्र को बायपास करने का दूसरा तरीका अधिक प्रभावी है, और एक युवा बेवकूफ के पाठ्यक्रम के निष्कर्ष में, हम इस विषय पर कुछ और उदाहरणों पर विचार करेंगे:

उदाहरण 11

दोहरे समाकलन का प्रयोग करते हुए, रेखाओं से घिरे समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

समाधान:हम एक हवा के साथ दो परवलयों की प्रतीक्षा कर रहे हैं जो उनकी तरफ हैं। मुस्कुराने की जरूरत नहीं है, कई तरह की चीजों में समान चीजें अक्सर सामने आती हैं।

चित्र बनाने का सबसे आसान तरीका क्या है?

आइए परवलय को दो कार्यों के रूप में निरूपित करें:
- ऊपरी शाखा और - निचली शाखा।

इसी तरह, एक परवलय को ऊपरी और निचले के रूप में कल्पना करें शाखाएँ।

अगला, बिंदु-दर-बिंदु प्लॉटिंग ड्राइव, जिसके परिणामस्वरूप ऐसी विचित्र आकृति होती है:

आकृति के क्षेत्र की गणना सूत्र के अनुसार दोहरे अभिन्न का उपयोग करके की जाती है:

यदि हम क्षेत्र को बायपास करने का पहला तरीका चुनते हैं तो क्या होगा? पहले इस क्षेत्र को दो भागों में बांटना होगा। और दूसरी बात, हम इस दुखद तस्वीर को देखेंगे: . इंटीग्रल्स, निश्चित रूप से, सुपर-कॉम्प्लेक्स स्तर के नहीं हैं, लेकिन ... एक पुरानी गणितीय कहावत है: जो कोई भी जड़ों के अनुकूल है, उसे सेट-ऑफ की आवश्यकता नहीं है।

इसलिए, स्थिति में दी गई गलतफहमी से, हम व्युत्क्रम कार्यों को व्यक्त करते हैं:

इस उदाहरण में व्युत्क्रम कार्यों का यह फायदा है कि वे बिना किसी पत्ते, एकोर्न, शाखाओं और जड़ों के तुरंत पूरे परवलय को सेट कर देते हैं।

दूसरी विधि के अनुसार, क्षेत्र ट्रैवर्सल इस प्रकार होगा:

इस प्रकार से:

जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें।

1) हम आंतरिक अभिन्न से निपटते हैं:

हम परिणाम को बाहरी अभिन्न में प्रतिस्थापित करते हैं:

चर "y" पर एकीकरण शर्मनाक नहीं होना चाहिए, अगर कोई अक्षर "ज़ीयू" होता - तो इसे एकीकृत करना बहुत अच्छा होगा। हालांकि पाठ के दूसरे पैराग्राफ को कौन पढ़ता है क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें, वह अब "y" पर एकीकरण के साथ थोड़ी सी भी शर्मिंदगी का अनुभव नहीं करता है।

पहले चरण पर भी ध्यान दें: इंटीग्रैंड सम है, और इंटीग्रेशन सेगमेंट शून्य के बारे में सममित है। इसलिए, खंड को आधा किया जा सकता है, और परिणाम को दोगुना किया जा सकता है। इस तकनीक पर पाठ में विस्तार से टिप्पणी की गई है। निश्चित इंटीग्रल की गणना के लिए कुशल तरीके.

क्या जोड़ना है.... हर चीज़!

उत्तर:

अपनी एकीकरण तकनीक का परीक्षण करने के लिए, आप गणना करने का प्रयास कर सकते हैं . जवाब बिल्कुल वैसा ही होना चाहिए।

उदाहरण 12

दोहरे समाकलन का उपयोग करते हुए, रेखाओं द्वारा परिबद्ध समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

यह स्वयं का उदाहरण है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि आप क्षेत्र को बायपास करने के लिए पहले तरीके का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो आंकड़ा अब दो में नहीं, बल्कि तीन भागों में विभाजित होगा! और, तदनुसार, हमें पुनरावृत्त समाकलों के तीन जोड़े मिलते हैं। कभी - कभी ऐसा होता है।

मास्टर वर्ग समाप्त हो गया है, और यह ग्रैंडमास्टर स्तर पर आगे बढ़ने का समय है - डबल इंटीग्रल की गणना कैसे करें? समाधान उदाहरण. मैं दूसरे लेख में इतना उन्मत्त नहीं होने की कोशिश करूँगा =)

आपकी सफलता की कामना करते है!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2:समाधान: एक क्षेत्र ड्रा करें ड्राइंग पर:

आइए क्षेत्र के ट्रैवर्सल के निम्नलिखित क्रम को चुनें:

इस प्रकार से:
आइए उलटा कार्यों पर चलते हैं:


इस प्रकार से:
उत्तर:

उदाहरण 4:समाधान: आइए प्रत्यक्ष कार्यों पर चलते हैं:


आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

आइए क्षेत्र के ट्रैवर्सल के क्रम को बदलें:

उत्तर:

लेकिन)

समाधान।

निर्णय का पहला और सबसे महत्वपूर्ण क्षण एक चित्र का निर्माण है.

आइए एक चित्र बनाएं:

समीकरण वाई = 0 एक्स-अक्ष सेट करता है;

- एक्स = -2 और एक्स = 1 - सीधे, अक्ष के समानांतर कहां;

- वाई \u003d एक्स 2 +2 - एक परवलय जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, एक बिंदु (0; 2) पर एक शीर्ष के साथ।

टिप्पणी।एक परवलय का निर्माण करने के लिए, निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजने के लिए पर्याप्त है, अर्थात। डाल एक्स = 0 अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए कहां और संबंधित द्विघात समीकरण को हल करते हुए, अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करें ओह .

एक परवलय का शीर्ष सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

आप रेखाएँ खींच सकते हैं और बिंदु से बिंदु बना सकते हैं।

अंतराल पर [-2;1] फलन का ग्राफ वाई = एक्स 2 +2 स्थित अक्ष के ऊपर ऑक्स , इसीलिए:

उत्तर: एस \u003d 9 वर्ग इकाइयां

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किए जाएंगे, यह सच लगता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि अगर हमारे पास, उत्तर, कहते हैं: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो, जाहिर है, कहीं न कहीं एक गलती की गई थी - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से एक दर्जन से अधिक प्रश्न में आकृति में फिट नहीं होती हैं। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

अगर कर्विलिनियर ट्रेपोजॉइड स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे ओह?

बी)रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए वाई=-ई एक्स , एक्स = 1 और कुल्हाड़ियों का समन्वय करें।

समाधान।

आइए एक ड्राइंग बनाएं।

यदि एक वक्रीय समलम्बाकार पूरी तरह से धुरी के नीचे ओह , तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

उत्तर: एस = (ई -1) वर्ग इकाई" 1.72 वर्ग इकाई

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

1) यदि आपको बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकल को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह ऋणात्मक हो सकता है।

2) यदि आपको एक निश्चित समाकल का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है! यही कारण है कि माइनस अभी विचार किए गए फॉर्मूले में दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले आधे विमानों दोनों में स्थित होता है।

से)रेखाओं द्वारा परिबद्ध समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x।

समाधान।

सबसे पहले आपको एक ड्राइंग बनाने की जरूरत है। सामान्यतया, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। परवलय के चौराहे के बिंदु खोजें और प्रत्यक्ष इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है।

हम समीकरण हल करते हैं:

तो एकीकरण की निचली सीमा ए = 0 , एकीकरण की ऊपरी सीमा ख = 3 .

हम दी गई रेखाओं का निर्माण करते हैं: 1. परवलय - बिंदु पर शीर्ष (1;1); अक्ष चौराहा ओह -अंक (0;0) और (0;2)। 2. सीधी रेखा - दूसरे और चौथे समन्वय कोणों का द्विभाजक। और अब ध्यान! यदि खंड पर [ ए;बी] कुछ निरंतर कार्य एफ (एक्स)किसी सतत फलन से बड़ा या उसके बराबर जी (एक्स), तो सूत्र द्वारा संबंधित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है: . और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आंकड़ा कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, लेकिन यह महत्वपूर्ण है कि कौन सा चार्ट उच्च है (दूसरे चार्ट के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है। विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

बिंदु-दर-बिंदु रेखाओं का निर्माण संभव है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं" के रूप में पाई जाती हैं। फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि अभी भी कभी-कभी उपयोग की जानी चाहिए, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)।

वांछित आंकड़ा ऊपर से एक परवलय और नीचे से एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।

खंड पर , इसी सूत्र के अनुसार:

उत्तर: एस \u003d 4.5 वर्ग इकाइयाँ

इस लेख में, आप सीखेंगे कि अभिन्न गणनाओं का उपयोग करके रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है। पहली बार, हम हाई स्कूल में इस तरह की समस्या के निर्माण का सामना करते हैं, जब कुछ इंटीग्रल का अध्ययन अभी-अभी पूरा हुआ है और अभ्यास में प्राप्त ज्ञान की ज्यामितीय व्याख्या शुरू करने का समय है।

तो, इंटीग्रल का उपयोग करके एक आकृति के क्षेत्र को खोजने की समस्या को सफलतापूर्वक हल करने के लिए क्या आवश्यक है:

• सही ढंग से चित्र बनाने की क्षमता;
• प्रसिद्ध न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न को हल करने की क्षमता;
• अधिक लाभदायक समाधान "देखने" की क्षमता - अर्थात। यह समझने के लिए कि इस या उस मामले में एकीकरण करना अधिक सुविधाजनक कैसे होगा? x-अक्ष (OX) या y-अक्ष (OY) के अनुदिश?
• खैर, सही गणना के बिना कहाँ?) इसमें यह समझना शामिल है कि अन्य प्रकार के इंटीग्रल को कैसे हल किया जाए और संख्यात्मक गणनाओं को सही किया जाए।

रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म:

1. हम एक ड्राइंग बनाते हैं। इसे बड़े पैमाने पर एक पिंजरे में कागज के टुकड़े पर करने की सलाह दी जाती है। हम प्रत्येक ग्राफ के ऊपर एक पेंसिल से इस फ़ंक्शन के नाम पर हस्ताक्षर करते हैं। रेखांकन के हस्ताक्षर पूरी तरह से आगे की गणना की सुविधा के लिए किए जाते हैं। वांछित आंकड़े का ग्राफ प्राप्त करने के बाद, ज्यादातर मामलों में यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा कि कौन सी एकीकरण सीमा का उपयोग किया जाएगा। इस प्रकार, हम समस्या को आलेखीय रूप से हल करते हैं। हालाँकि, ऐसा होता है कि सीमाओं के मान भिन्नात्मक या अपरिमेय होते हैं। इसलिए, आप अतिरिक्त गणना कर सकते हैं, चरण दो पर जाएं।

2. यदि एकीकरण सीमा स्पष्ट रूप से निर्धारित नहीं की जाती है, तो हम एक दूसरे के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन के बिंदु पाते हैं, और देखते हैं कि हमारा ग्राफिकल समाधान विश्लेषणात्मक के साथ मेल खाता है या नहीं।

3. अगला, आपको ड्राइंग का विश्लेषण करने की आवश्यकता है। कार्यों के रेखांकन कैसे स्थित हैं, इसके आधार पर, आकृति के क्षेत्र को खोजने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण हैं। इंटीग्रल का उपयोग करके एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के विभिन्न उदाहरणों पर विचार करें।

3.1. समस्या का सबसे क्लासिक और सरल संस्करण तब होता है जब आपको एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता होती है। एक वक्रीय समलम्बाकार क्या है? यह एक सपाट आकृति है जो x-अक्ष से घिरा है (वाई = 0), सीधा एक्स = ए, एक्स = बीऔर अंतराल पर निरंतर कोई वक्र एइससे पहले बी. साथ ही, यह आंकड़ा गैर-ऋणात्मक है और एक्स-अक्ष से कम नहीं स्थित है। इस मामले में, घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके गणना किए गए निश्चित अभिन्न के बराबर है:

उदाहरण 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

कौन सी रेखाएं आकृति को परिभाषित करती हैं? हमारे पास एक परवलय है वाई = x2 - 3x + 3, जो अक्ष के ऊपर स्थित है ओह, यह गैर-ऋणात्मक है, क्योंकि इस परवलय के सभी बिंदु सकारात्मक हैं। अगला, सीधी रेखाएँ दी गई हैं एक्स = 1और एक्स = 3जो अक्ष के समानांतर चलता है कहां, बाएँ और दाएँ आकृति की सीमा रेखाएँ हैं। कुंआ वाई = 0, वह x-अक्ष है, जो नीचे से आकृति को सीमित करती है। परिणामी आकृति छायांकित है, जैसा कि बाईं ओर की आकृति में देखा गया है। इस मामले में, आप तुरंत समस्या को हल करना शुरू कर सकते हैं। हमारे सामने एक वक्रीय समलंब चतुर्भुज का एक सरल उदाहरण है, जिसे हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके हल करते हैं।

3.2. पिछले पैराग्राफ 3.1 में, मामले का विश्लेषण किया गया था जब वक्रीय समलम्बाकार x-अक्ष के ऊपर स्थित होता है। अब उस स्थिति पर विचार करें जब समस्या की स्थितियाँ समान हों, सिवाय इसके कि फलन x-अक्ष के अंतर्गत आता है। मानक न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र में एक माइनस जोड़ा जाता है। ऐसी समस्या को कैसे हल किया जाए, हम आगे विचार करेंगे।

उदाहरण 2 . रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

इस उदाहरण में, हमारे पास एक परवलय है y=x2+6x+2, जो धुरी के नीचे से निकलती है ओह, सीधा x=-4, x=-1, y=0. यहां वाई = 0ऊपर से वांछित आंकड़े को सीमित करता है। सीधे एक्स = -4और एक्स = -1ये वे सीमाएँ हैं जिनके भीतर निश्चित समाकलन की गणना की जाएगी। एक आकृति के क्षेत्र को खोजने की समस्या को हल करने का सिद्धांत लगभग पूरी तरह से उदाहरण संख्या 1 से मेल खाता है। अंतर केवल इतना है कि दिया गया फ़ंक्शन सकारात्मक नहीं है, और अंतराल पर भी सब कुछ निरंतर है। [-4; -1] . सकारात्मक नहीं का क्या अर्थ है? जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, दिए गए x के भीतर स्थित आकृति में विशेष रूप से "नकारात्मक" निर्देशांक होते हैं, जिसे हमें समस्या को हल करते समय देखने और याद रखने की आवश्यकता होती है। हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की तलाश कर रहे हैं, केवल शुरुआत में एक ऋण चिह्न के साथ।

लेख पूरा नहीं हुआ है।

अब हम समाकलन कलन के अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं। इस पाठ में, हम एक विशिष्ट और सबसे सामान्य कार्य का विश्लेषण करेंगे। एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक सपाट आकृति के क्षेत्र की गणना करना. अंत में, वे सभी जो उच्च गणित में अर्थ की तलाश करते हैं - वे इसे पा सकें। आपको कभी नहीं जानते। वास्तविक जीवन में, आपको प्राथमिक कार्यों के साथ एक ग्रीष्मकालीन कुटीर का अनुमान लगाना होगा और एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके अपना क्षेत्र ढूंढना होगा।

सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) कम से कम एक मध्यवर्ती स्तर पर अनिश्चितकालीन अभिन्न को समझें। इस प्रकार, डमी को पहले पाठ पढ़ना चाहिए नहीं.

2) न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने और निश्चित समाकलन की गणना करने में सक्षम हो। आप पृष्ठ पर कुछ अभिन्न के साथ मधुर मैत्रीपूर्ण संबंध स्थापित कर सकते हैं समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरण. कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करें" में हमेशा एक ड्राइंग का निर्माण शामिल होता हैइसलिए, आपका ज्ञान और ड्राइंग कौशल भी एक जरूरी मुद्दा होगा। कम से कम व्यक्ति को एक सीधी रेखा, एक परवलय और एक अतिपरवलय बनाने में सक्षम होना चाहिए।

आइए एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज से शुरू करते हैं। एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज एक सपाट आकृति है जो किसी फ़ंक्शन के ग्राफ से घिरा होता है आप = एफ(एक्स), एक्सिस बैलऔर रेखाएं एक्स = ए; एक्स = बी.

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकल के बराबर होता है

कोई भी निश्चित समाकल (जो मौजूद है) का बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है। सबक पर समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरणहमने कहा कि एक निश्चित समाकल एक संख्या है। और अब एक और उपयोगी तथ्य बताने का समय आ गया है। ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकल क्षेत्र है. अर्थात, निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से किसी आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है. निश्चित अभिन्न पर विचार करें

इंटीग्रैंड

विमान पर एक वक्र को परिभाषित करता है (यदि वांछित हो तो इसे खींचा जा सकता है), और निश्चित अभिन्न स्वयं संख्यात्मक रूप से संबंधित वक्रीय समलम्ब के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण 1

, , , .

यह एक विशिष्ट कार्य विवरण है। निर्णय का सबसे महत्वपूर्ण बिंदु एक चित्र का निर्माण है. इसके अलावा, ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

ब्लूप्रिंट बनाते समय, मैं निम्नलिखित आदेश की अनुशंसा करता हूं: सर्वप्रथमसभी लाइनों (यदि कोई हो) का निर्माण करना बेहतर है और केवल फिर- परवलय, अतिपरवलय, अन्य कार्यों के रेखांकन। संदर्भ सामग्री में बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक पाई जा सकती है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. वहां आप ऐसी सामग्री भी पा सकते हैं जो हमारे पाठ के संबंध में बहुत उपयोगी है - कैसे जल्दी से एक परवलय का निर्माण करें।

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है।

आइए एक चित्र बनाएं (ध्यान दें कि समीकरण आप= 0 अक्ष निर्दिष्ट करता है बैल):

हम घुमावदार ट्रेपोजॉइड नहीं बनाएंगे, यह स्पष्ट है कि हम यहां किस क्षेत्र की बात कर रहे हैं। समाधान इस तरह जारी है:

अंतराल पर [-2; 1] फ़ंक्शन ग्राफ आप = एक्स 2 + 2 स्थित अक्ष के ऊपरबैल, इसीलिए:

उत्तर: .

निश्चित समाकल की गणना करने और न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने में किसे कठिनाई होती है

,

व्याख्यान का संदर्भ लें समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरण. कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किए जाएंगे, यह सच लगता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि अगर हमारे पास उत्तर होता: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो, जाहिर है, कहीं न कहीं एक गलती हुई थी - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से एक दर्जन से अधिक, प्रश्न में आकृति में फिट नहीं होती हैं। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए xy = 4, एक्स = 2, एक्स= 4 और अक्ष बैल.

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

अगर कर्विलिनियर ट्रेपोजॉइड स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचेबैल?

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए आप = भूतपूर्व, एक्स= 1 और निर्देशांक अक्ष।

समाधान: आइए एक चित्र बनाते हैं:

यदि एक वक्रीय समलम्बाकार पूरी तरह से धुरी के नीचे बैल , तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

इस मामले में:

.

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए:

1) यदि आपको बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकल को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह ऋणात्मक हो सकता है।

2) यदि आपको एक निश्चित समाकल का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है! यही कारण है कि माइनस अभी विचार किए गए फॉर्मूले में दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले आधे विमानों दोनों में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूली समस्याओं से, हम अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं द्वारा परिबद्ध समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए आप = 2एक्स – एक्स 2 , आप = -एक्स.

उपाय: सबसे पहले आपको एक ड्राइंग बनाने की जरूरत है। क्षेत्र की समस्याओं में एक रेखाचित्र का निर्माण करते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। परवलय के चौराहे के बिंदु खोजें आप = 2एक्स – एक्स 2 और सीधे आप = -एक्स. इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है। हम समीकरण हल करते हैं:

तो एकीकरण की निचली सीमा ए= 0, एकीकरण की ऊपरी सीमा बी= 3. बिंदु-दर-बिंदु रेखाएँ बनाना अक्सर अधिक लाभदायक और तेज़ होता है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं" के रूप में पाई जाती हैं। फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि अभी भी कभी-कभी उपयोग की जानी चाहिए, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)। हम अपने कार्य पर लौटते हैं: पहले एक सीधी रेखा और उसके बाद ही एक परवलय का निर्माण करना अधिक तर्कसंगत है। आइए एक चित्र बनाएं:

हम दोहराते हैं कि बिंदुवार निर्माण में, एकीकरण की सीमाएं अक्सर "स्वचालित रूप से" पाई जाती हैं।

और अब कार्य सूत्र:

यदि खंड पर [ ए; बी] कुछ निरंतर कार्य एफ(एक्स) से बड़ा या बराबरकुछ निरंतर कार्य जी(एक्स), तो सूत्र द्वारा संबंधित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है:

यहां यह सोचने की आवश्यकता नहीं है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, लेकिन यह मायने रखता है कि कौन सा चार्ट ऊपर है(दूसरे ग्राफ के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है.

विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए 2 से एक्स – एक्स 2 घटाया जाना चाहिए - एक्स.

समाधान का पूरा होना इस तरह दिख सकता है:

वांछित आंकड़ा एक परवलय द्वारा सीमित है आप = 2एक्स – एक्स 2 ऊपर और सीधे आप = -एक्सनीचे की ओर से।

खंड 2 . पर एक्स – एक्स 2 ≥ -एक्स. संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर: .

वास्तव में, निचले आधे तल में एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (उदाहरण संख्या 3 देखें) सूत्र का एक विशेष मामला है

.

धुरी के बाद से बैलसमीकरण द्वारा दिया गया है आप= 0, और फलन का ग्राफ जी(एक्स) अक्ष के नीचे स्थित है बैल, फिर

.

और अब एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ उदाहरण

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना के लिए समस्याओं को हल करने के दौरान, कभी-कभी एक मजेदार घटना होती है। ड्राइंग सही ढंग से बनाई गई थी, गणना सही थी, लेकिन, असावधानी के कारण, ... गलत आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात किया।

उदाहरण 7

आइए पहले ड्रा करें:

जिस आकृति का क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग में छायांकित है।(हालत को ध्यान से देखें - कैसे आंकड़ा सीमित है!) लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, वे अक्सर यह निर्णय लेते हैं कि उन्हें हरे रंग में छायांकित आकृति का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता है!

यह उदाहरण इस मायने में भी उपयोगी है कि इसमें दो निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की गणना की जाती है। सच में:

1) खंड पर [-1; 1] धुरा के ऊपर बैलग्राफ सीधा है आप = एक्स+1;

2) अक्ष के ऊपर के खंड पर बैलअतिपरवलय का आलेख अवस्थित होता है आप = (2/एक्स).

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और चाहिए), इसलिए:

उत्तर:

उदाहरण 8

रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

आइए समीकरणों को "स्कूल" रूप में प्रस्तुत करें

और रेखा आरेखण करें:

यह चित्र से देखा जा सकता है कि हमारी ऊपरी सीमा "अच्छी" है: बी = 1.

लेकिन निचली सीमा क्या है? यह स्पष्ट है कि यह एक पूर्णांक नहीं है, लेकिन क्या है?

शायद, ए=(-1/3)? लेकिन इस बात की गारंटी कहां है कि ड्राइंग सही सटीकता के साथ बनाई गई है, यह अच्छी तरह से पता चल सकता है ए=(-1/4). क्या होगा अगर हमें ग्राफ बिल्कुल सही नहीं मिला?

ऐसे मामलों में, व्यक्ति को अतिरिक्त समय बिताना पड़ता है और विश्लेषणात्मक रूप से एकीकरण की सीमाओं को परिष्कृत करना पड़ता है।

ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए

ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं:

.

फलस्वरूप, ए=(-1/3).

आगे का समाधान तुच्छ है। मुख्य बात प्रतिस्थापन और संकेतों में भ्रमित नहीं होना है। यहां गणना सबसे आसान नहीं है। खंड पर

, ,

संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

पाठ के अंत में, हम दो कार्यों को और अधिक कठिन मानेंगे।

उदाहरण 9

रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

हल : इस आकृति को चित्र में खींचिए।

बिंदु से एक ड्राइंग बिंदु बनाने के लिए, आपको साइनसॉइड की उपस्थिति को जानना होगा। सामान्य तौर पर, सभी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन, साथ ही साइन के कुछ मूल्यों को जानना उपयोगी होता है। उन्हें मूल्यों की तालिका में पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय कार्य. कुछ मामलों में (उदाहरण के लिए, इस मामले में), इसे एक योजनाबद्ध ड्राइंग बनाने की अनुमति है, जिस पर रेखांकन और एकीकरण सीमा को सिद्धांत रूप से सही ढंग से प्रदर्शित किया जाना चाहिए।

यहां एकीकरण सीमा के साथ कोई समस्या नहीं है, वे सीधे शर्त से पालन करते हैं:

- "x" शून्य से "pi" में बदल जाता है। हम एक और निर्णय लेते हैं:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ आप= पाप 3 एक्सअक्ष के ऊपर स्थित बैल, इसीलिए:

(1) आप पाठ में देख सकते हैं कि कैसे साइन और कोसाइन को विषम शक्तियों में एकीकृत किया गया है त्रिकोणमितीय कार्यों के समाकलन. हम एक साइन को चुटकी बजाते हैं।

(2) हम मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग फॉर्म में करते हैं

(3) आइए हम चर बदलते हैं टी= कोस एक्स, फिर: अक्ष के ऊपर स्थित है, इसलिए:

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ध्यान दें:ध्यान दें कि घन में स्पर्शरेखा का समाकल कैसे लिया जाता है, यहाँ मूल त्रिकोणमितीय पहचान के परिणाम का उपयोग किया जाता है

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कार्य संख्या 3. एक चित्र बनाएं और रेखाओं से बंधे हुए आकृति के क्षेत्र की गणना करें

लागू समस्याओं को हल करने के लिए अभिन्न का अनुप्रयोग

क्षेत्र गणना

एक सतत गैर-ऋणात्मक फलन f(x) का निश्चित समाकल संख्यात्मक रूप से के बराबर होता हैवक्र y \u003d f (x), O x अक्ष और सीधी रेखाओं x \u003d a और x \u003d b से घिरा एक वक्रीय समलम्ब का क्षेत्र। तदनुसार, क्षेत्र सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना के कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य संख्या 1. y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 रेखाओं से घिरे क्षेत्र की गणना करें।

समाधान।आइए एक आकृति बनाएं, जिसका क्षेत्रफल हमें गणना करना होगा।

y \u003d x 2 + 1 एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और परवलय को O y अक्ष (चित्र 1) के सापेक्ष एक इकाई द्वारा ऊपर की ओर स्थानांतरित किया जाता है।

चित्र 1. फलन का ग्राफ y = x 2 + 1

कार्य संख्या 2. 0 से 1 की सीमा में y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 से घिरे क्षेत्र की गणना करें।

समाधान।इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखा का परवलय है, जिसे ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, और परवलय को O y अक्ष के सापेक्ष एक इकाई द्वारा नीचे स्थानांतरित किया जाता है (चित्र 2)।

चित्र 2. फ़ंक्शन का ग्राफ़ y \u003d x 2 - 1

कार्य संख्या 3. एक चित्र बनाएं और रेखाओं से बंधे हुए आकृति के क्षेत्र की गणना करें

y = 8 + 2x - x 2 और y = 2x - 4।

समाधान।इन दो पंक्तियों में से पहली एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर इशारा करती हैं, क्योंकि x 2 पर गुणांक ऋणात्मक है, और दूसरी रेखा एक सीधी रेखा है जो दोनों समन्वय अक्षों को पार करती है।

परवलय की रचना के लिए, आइए इसके शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करें: y'=2 – 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - शीर्ष भुज; y(1) = 8 + 2∙1 - 1 2 = 9 इसकी कोटि है, N(1;9) इसका शीर्ष है।

अब हम समीकरणों की प्रणाली को हल करके परवलय और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं:

एक समीकरण के दाहिने पक्षों की बराबरी करना जिसकी बाएँ भुजाएँ समान हों।

हमें 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 या x 2 - 12 \u003d 0 मिलता है, जहां से .

तो, बिंदु परवलय और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं (चित्र 1)।

चित्र 3 फलनों के रेखांकन y = 8 + 2x - x 2 और y = 2x - 4

आइए एक सीधी रेखा y = 2x - 4 बनाते हैं। यह निर्देशांक अक्षों पर स्थित बिंदुओं (0;-4), (2; 0) से होकर गुजरती है।

एक परवलय बनाने के लिए, आपके पास 0x अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु भी हो सकते हैं, यानी समीकरण 8 + 2x - x 2 = 0 या x 2 - 2x - 8 = 0 की जड़ें। वीटा प्रमेय द्वारा, यह है इसकी जड़ों को खोजना आसान है: x 1 = 2, x 2 = 4।

चित्र 3 इन रेखाओं से घिरी एक आकृति (परवलयिक खंड M 1 N M 2) को दर्शाता है।

समस्या का दूसरा भाग इस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। इसका क्षेत्रफल सूत्र का प्रयोग करके एक निश्चित समाकलन का प्रयोग करके ज्ञात किया जा सकता है .

इस स्थिति के संबंध में, हम अभिन्न प्राप्त करते हैं:

2 क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना

O x अक्ष के चारों ओर वक्र y \u003d f (x) के घूर्णन से प्राप्त शरीर के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

O y अक्ष के चारों ओर घूमते समय, सूत्र इस तरह दिखता है:

टास्क नंबर 4. सीधी रेखाओं x \u003d 0 x \u003d 3 और O x अक्ष के चारों ओर एक वक्र y \u003d से बंधे हुए एक वक्रीय समलम्ब के रोटेशन से प्राप्त शरीर की मात्रा निर्धारित करें।

समाधान।आइए एक ड्राइंग बनाएं (चित्र 4)।

चित्र 4. फलन का ग्राफ y =

वांछित मात्रा बराबर है

टास्क नंबर 5. एक वक्र y = x 2 और सीधी रेखाओं y = 0 और y = 4 से अक्ष O y के चारों ओर घिरे एक वक्रीय समलम्ब के घूर्णन से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान।हमारे पास है:

समीक्षा प्रश्न