छात्रों और स्कूली बच्चों द्वारा कवर की गई सामग्री के पूर्ण समेकन और उनके व्यावहारिक कौशल को प्रशिक्षित करने के लिए साइट पर एक ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर। हमारे संसाधन पर सीमा कैलकुलेटर का ऑनलाइन उपयोग कैसे करें? यह बहुत आसानी से किया जाता है, आपको बस मौजूदा फ़ील्ड में मूल फ़ंक्शन दर्ज करने की आवश्यकता है, चयनकर्ता से चर के लिए आवश्यक सीमा मान का चयन करें और "समाधान" बटन पर क्लिक करें। यदि किसी बिंदु पर आपको सीमा मान की गणना करने की आवश्यकता है, तो आपको इस बिंदु का मान दर्ज करना होगा - या तो संख्यात्मक या प्रतीकात्मक। ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर आपको किसी दिए गए बिंदु पर सीमा मान खोजने में मदद करेगा, फ़ंक्शन परिभाषा अंतराल में सीमा, और यह मान, जहां अध्ययन के तहत फ़ंक्शन का मूल्य तब बढ़ता है जब उसका तर्क किसी दिए गए बिंदु पर जाता है, इसका समाधान है सीमा। हमारे संसाधन पर ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर के अनुसार, साइट निम्नलिखित कह सकती है - इंटरनेट पर बड़ी संख्या में एनालॉग हैं, आप योग्य पा सकते हैं, आपको इसे कठिनाई से खोजने की आवश्यकता है। लेकिन यहां आप इस तथ्य का सामना करेंगे कि एक साइट से दूसरी साइट अलग है। उनमें से कई हमारे विपरीत, ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर की पेशकश बिल्कुल नहीं करते हैं। यदि किसी भी प्रसिद्ध खोज इंजन में, चाहे वह यांडेक्स हो या Google, आप "ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर" वाक्यांश का उपयोग करके साइटों की खोज करते हैं, तो साइट खोज परिणामों में पहली पंक्तियों पर होगी। इसका मतलब है कि ये खोज इंजन हम पर भरोसा करते हैं, और हमारी साइट पर केवल उच्च गुणवत्ता वाली सामग्री है, और सबसे महत्वपूर्ण बात, स्कूल और विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए उपयोगी है! आइए सीमा कैलकुलेटर के बारे में और सामान्य रूप से सीमा तक जाने के सिद्धांत के बारे में बात करना जारी रखें। बहुत बार, किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा में, पड़ोस की अवधारणा तैयार की जाती है। यहां कार्यों की सीमाएं, साथ ही इन सीमाओं के समाधान का अध्ययन केवल उन बिंदुओं पर किया जाता है जो कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र के लिए सीमित हैं, यह जानते हुए कि ऐसे बिंदु के प्रत्येक पड़ोस में इसकी परिभाषा के क्षेत्र से बिंदु हैं। समारोह। यह हमें किसी दिए गए बिंदु पर एक चर फलन की प्रवृत्ति के बारे में बात करने की अनुमति देता है। यदि फ़ंक्शन डोमेन के किसी बिंदु पर कोई सीमा है और ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर इस बिंदु पर फ़ंक्शन का विस्तृत सीमा समाधान देता है, तो फ़ंक्शन इस बिंदु पर निरंतर है। समाधान के साथ हमारे ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर को कुछ सकारात्मक परिणाम दें, और हम इसे अन्य साइटों पर जांचेंगे। यह हमारे संसाधन की गुणवत्ता को साबित कर सकता है, और, जैसा कि बहुत से लोग पहले से ही जानते हैं, यह अपने सर्वोत्तम स्तर पर है और सर्वोच्च प्रशंसा का पात्र है। इसके साथ ही, अध्ययन के विस्तृत समाधान के साथ और स्वतंत्र रूप से, लेकिन एक पेशेवर शिक्षक की नज़दीकी देखरेख में ऑनलाइन कैलकुलेटर की सीमा की संभावना है। अक्सर इस क्रिया से अपेक्षित परिणाम प्राप्त होते हैं। सभी छात्र बस यह सपना देखते हैं कि समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर सेमेस्टर की शुरुआत में शिक्षक द्वारा दिए गए उनके कठिन कार्य का विस्तार से वर्णन करेगा। लेकिन यह इतना आसान नहीं है। आपको पहले सिद्धांत का अध्ययन करना चाहिए, और फिर मुफ्त कैलकुलेटर का उपयोग करना चाहिए। ऑनलाइन सीमाओं की तरह, कैलकुलेटर आपको आवश्यक प्रविष्टियों का विवरण देगा, और आप परिणाम से संतुष्ट होंगे। लेकिन परिभाषा के क्षेत्र का सीमा बिंदु परिभाषा के इसी डोमेन से संबंधित नहीं हो सकता है, और यह ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर द्वारा विस्तृत गणना से साबित होता है। उदाहरण: हम एक खुले खंड के सिरों पर एक फ़ंक्शन की सीमा पर विचार कर सकते हैं जिस पर हमारा कार्य परिभाषित किया गया है। इस मामले में, खंड की सीमाएं स्वयं परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं हैं। इस अर्थ में, इस बिंदु के पड़ोस की प्रणाली उपसमुच्चय के ऐसे आधार का एक विशेष मामला है। विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर वास्तविक समय में तैयार किया जाता है और इसके लिए दिए गए स्पष्ट विश्लेषणात्मक रूप में सूत्रों को लागू किया जाता है। एक विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर का उपयोग करने वाले फ़ंक्शन की सीमा एक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है: प्रारंभ में, एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन की सीमा को तत्वों के अनुक्रम की सीमा के रूप में समझा जाता था किसी दिए गए बिंदु (जिस सीमा पर विचार किया जाता है) में परिवर्तित होने वाले फ़ंक्शन के डोमेन के तत्वों के अनुक्रम के बिंदुओं की छवियों से बना फ़ंक्शन की श्रेणी; यदि ऐसी सीमा मौजूद है, तो फ़ंक्शन को निर्दिष्ट मान में अभिसरण करने के लिए कहा जाता है; यदि ऐसी सीमा मौजूद नहीं है, तो फ़ंक्शन को विचलन कहा जाता है। सामान्यतया, सीमा तक पारित होने का सिद्धांत सभी गणितीय विश्लेषणों की मूल अवधारणा है। सब कुछ सटीक रूप से सीमा संक्रमण पर आधारित है, अर्थात, सीमाओं का एक विस्तृत समाधान गणितीय विश्लेषण के विज्ञान का आधार है, और ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर छात्र सीखने की नींव रखता है। साइट पर विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर वास्तविक समय में सटीक और त्वरित उत्तर प्राप्त करने के लिए एक अनूठी सेवा है। अक्सर नहीं, या बहुत बार, गणितीय विश्लेषण के प्रारंभिक अध्ययन के दौरान छात्रों को तुरंत सीमाओं को हल करने में कठिनाई होती है। हम गारंटी देते हैं कि हमारी सेवा पर सीमा कैलकुलेटर को ऑनलाइन हल करना सटीकता की गारंटी है और उच्च गुणवत्ता वाला उत्तर प्राप्त करना है। आपको कुछ ही सेकंड में कैलकुलेटर के साथ सीमा के विस्तृत समाधान का उत्तर प्राप्त होगा, आप तुरंत भी कह सकते हैं . यदि आप गलत डेटा निर्दिष्ट करते हैं, अर्थात्, वर्ण जिन्हें सिस्टम द्वारा अनुमति नहीं है, तो ठीक है, सेवा स्वचालित रूप से आपको एक त्रुटि के बारे में सूचित करेगी। पहले दर्ज किए गए फ़ंक्शन (या सीमा बिंदु) को ठीक करें और ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर के साथ सही विस्तृत समाधान प्राप्त करें। हम पर भरोसा करें और हम आपको कभी निराश नहीं करेंगे। आप आसानी से साइट का उपयोग कर सकते हैं और समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर समस्या की गणना के लिए चरण-दर-चरण चरणों का विस्तार से वर्णन करेगा। आपको बस कुछ सेकंड प्रतीक्षा करने और प्रतिष्ठित उत्तर प्राप्त करने की आवश्यकता है। एक विस्तृत समाधान के साथ एक ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ सीमाओं को हल करने के लिए, सभी संभावित तकनीकों का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से एल'हॉस्पिटल विधि का उपयोग अक्सर किया जाता है, क्योंकि यह सार्वभौमिक है और फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने के अन्य तरीकों की तुलना में तेजी से उत्तर देता है। . संख्या अनुक्रम के योग की गणना के लिए अक्सर एक सीमा कैलकुलेटर द्वारा एक ऑनलाइन विस्तृत समाधान की आवश्यकता होती है। जैसा कि आप जानते हैं, एक संख्यात्मक अनुक्रम का योग खोजने के लिए, आपको केवल इस अनुक्रम के आंशिक योग को सही ढंग से व्यक्त करने की आवश्यकता है, और फिर हमारी मुफ्त साइट सेवा का उपयोग करके सब कुछ सरल है, क्योंकि हमारे ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर का उपयोग करके सीमा की गणना की जाती है। आंशिक योग संख्यात्मक अनुक्रम का अंतिम योग होगा। साइट सेवा का उपयोग करके ऑनलाइन एक सीमा कैलकुलेटर के साथ एक विस्तृत समाधान छात्रों को समस्याओं को हल करने की प्रगति को देखने का एक तरीका प्रदान करता है, जो सीमा के सिद्धांत को समझना आसान और लगभग सभी के लिए सुलभ बनाता है। केंद्रित रहें और गलत कार्यों को खराब ग्रेड के साथ परेशानी में न आने दें। ऑनलाइन सेवा सीमा कैलकुलेटर के साथ किसी भी विस्तृत समाधान की तरह, समस्या को एक सुविधाजनक और समझने योग्य रूप में, एक विस्तृत समाधान के साथ, समाधान प्राप्त करने के लिए सभी नियमों और विनियमों के अनुपालन में प्रस्तुत किया जाएगा। साथ ही, आप समय बचा सकते हैं और पैसा, क्योंकि हम इसके लिए बिल्कुल कुछ नहीं मांगते हैं। हमारी वेबसाइट पर, ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर का विस्तृत समाधान हमेशा चौबीस घंटे उपलब्ध होता है। वास्तव में, समाधान के साथ सभी ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर चरण-दर-चरण समाधान की प्रगति को विस्तार से नहीं बता सकते हैं, आपको इसके बारे में नहीं भूलना चाहिए और सभी का अनुसरण करना चाहिए। जैसे ही विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन कैलकुलेटर की सीमा आपको "समाधान" बटन पर क्लिक करने के लिए प्रेरित करती है, तो कृपया पहले सब कुछ जांचें। यानी दर्ज किए गए फ़ंक्शन की जांच करें, सीमा मान भी और उसके बाद ही कार्रवाई के साथ आगे बढ़ें। यह आपको असफल गणनाओं के लिए दर्दनाक अनुभवों से बचाएगा। और फिर विस्तृत कानून के साथ ऑनलाइन कैलकुलेटर की सीमाएं चरण-दर-चरण कार्रवाई का सही तथ्यात्मक प्रतिनिधित्व देगी। अगर ऑनलाइन लिमिट कैलकुलेटर ने अचानक विस्तृत समाधान नहीं दिया तो इसके कई कारण हो सकते हैं। सबसे पहले, लिखित फ़ंक्शन अभिव्यक्ति की जांच करें। इसमें चर "x" होना चाहिए, अन्यथा पूरे फ़ंक्शन को सिस्टम द्वारा स्थिर माना जाएगा। इसके बाद, यदि आपने किसी दिए गए बिंदु या प्रतीकात्मक मान को निर्दिष्ट किया है, तो सीमा मान की जाँच करें। इसमें केवल लैटिन अक्षर भी होने चाहिए - यह महत्वपूर्ण है! फिर आप हमारी उत्कृष्ट सेवा पर ऑनलाइन सीमाओं का विस्तृत समाधान खोजने के लिए फिर से प्रयास कर सकते हैं, और परिणाम का उपयोग कर सकते हैं। जैसे ही वे कहते हैं कि विस्तार से ऑनलाइन समाधान की सीमाएं बहुत कठिन हैं - विश्वास न करें, और सबसे महत्वपूर्ण बात, घबराएं नहीं, प्रशिक्षण पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर सब कुछ की अनुमति है। हम अनुशंसा करते हैं कि आप घबराए बिना, हमारी सेवा के लिए बस कुछ मिनट समर्पित करें और दिए गए अभ्यास की जांच करें। यदि, फिर भी, ऑनलाइन समाधान की सीमाओं को विस्तार से हल नहीं किया जा सकता है, तो आपने एक टाइपो बनाया है, अन्यथा साइट बिना किसी कठिनाई के लगभग किसी भी समस्या को हल करती है। लेकिन यह सोचने की जरूरत नहीं है कि बिना श्रम और प्रयास के आप तुरंत वांछित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। सामग्री का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त समय देने की आवश्यकता पर। एक समाधान के साथ प्रत्येक ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर के लिए उजागर समाधान के निर्माण के चरण में विस्तार से बाहर खड़े होना और विपरीत मान लेना संभव है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसे कैसे व्यक्त किया जाए, क्योंकि हम वैज्ञानिक दृष्टिकोण की प्रक्रिया के बारे में चिंतित हैं। परिणामस्वरूप, हम दिखाएंगे कि कैसे ऑनलाइन समाधान सीमा कैलकुलेटर एक विज्ञान के रूप में गणित के मूलभूत पहलू पर विस्तार से आधारित है। पांच मूल सिद्धांतों को पहचानें, और आगे बढ़ना शुरू करें। आपसे पूछा जाएगा कि क्या सीमा कैलकुलेटर समाधान सभी के लिए विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन उपलब्ध है, और आप उत्तर देंगे - हाँ, यह है! शायद इस अर्थ में परिणामों पर कोई विशेष ध्यान नहीं दिया गया है, लेकिन ऑनलाइन सीमा का विस्तार से थोड़ा अलग अर्थ है, जैसा कि अनुशासन का अध्ययन करने की शुरुआत में लग सकता है। एक संतुलित दृष्टिकोण के साथ, बलों के उचित संरेखण के साथ, आप अपने आप में विस्तार से ऑनलाइन सीमा को जल्दी से निकाल सकते हैं।! वास्तव में, यह होगा कि समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर तेजी से चरण-दर-चरण गणना के सभी चरणों का आनुपातिक रूप से प्रतिनिधित्व करना शुरू कर देगा।
सीमा का सिद्धांत गणितीय विश्लेषण की शाखाओं में से एक है। सीमाओं को हल करने का प्रश्न काफी व्यापक है, क्योंकि विभिन्न प्रकार की सीमाओं को हल करने के दर्जनों तरीके हैं। दर्जनों बारीकियां और तरकीबें हैं जो आपको एक या दूसरी सीमा को हल करने की अनुमति देती हैं। फिर भी, हम अभी भी उन मुख्य प्रकार की सीमाओं को समझने का प्रयास करेंगे जिनका व्यवहार में अक्सर सामना किया जाता है।
आइए एक सीमा की अवधारणा से शुरू करें। लेकिन पहले, एक संक्षिप्त ऐतिहासिक पृष्ठभूमि। एक बार 19वीं शताब्दी में एक फ्रांसीसी ऑगस्टिन लुई कॉची थे, जिन्होंने गणितीय विश्लेषण की नींव रखी और सख्त परिभाषाएँ दीं, विशेष रूप से सीमा की परिभाषा। यह कहा जाना चाहिए कि यह वही कॉची भौतिक और गणितीय संकायों के सभी छात्रों के बुरे सपने में सपने देखता है, सपने देखता है और सपने देखता है, क्योंकि उन्होंने गणितीय विश्लेषण के प्रमेयों की एक बड़ी संख्या को साबित कर दिया है, और एक प्रमेय दूसरे की तुलना में अधिक घृणित है। इस संबंध में, हम सीमा की एक सख्त परिभाषा पर विचार नहीं करेंगे, लेकिन दो चीजें करने की कोशिश करेंगे:
1. समझें कि एक सीमा क्या है।
2. मुख्य प्रकार की सीमाओं को हल करना सीखें।
मैं कुछ अवैज्ञानिक स्पष्टीकरणों के लिए क्षमा चाहता हूं, यह महत्वपूर्ण है कि सामग्री एक चायदानी के लिए भी समझ में आती है, जो वास्तव में परियोजना का कार्य है।
तो सीमा क्या है?
और तुरंत एक उदाहरण है कि अपनी दादी को क्यों झकझोरना है ....
किसी भी सीमा में तीन भाग होते हैं:
1) प्रसिद्ध सीमा चिह्न।
2) इस मामले में सीमा चिह्न के तहत प्रविष्टियां। प्रविष्टि में लिखा है "x एकता की ओर जाता है।" सबसे अधिक बार - बिल्कुल, हालांकि व्यवहार में "x" के बजाय अन्य चर होते हैं। व्यावहारिक कार्यों में, एक इकाई के स्थान पर, बिल्कुल कोई भी संख्या हो सकती है, साथ ही अनंत ()।
3) इस मामले में सीमा चिह्न के तहत कार्य।
रिकॉर्ड ही 
इस तरह पढ़ता है: "फ़ंक्शन की सीमा जब x एकता की ओर जाता है।"
आइए अगले महत्वपूर्ण प्रश्न का विश्लेषण करें - अभिव्यक्ति "x ." क्या है चाहता हैएकता के लिए? और वैसे भी "प्रयास" क्या है?
एक सीमा की अवधारणा एक अवधारणा है, इसलिए बोलने के लिए, गतिशील. आइए एक अनुक्रम का निर्माण करें: पहले , फिर , , …, 
, ….
अर्थात्, व्यंजक "x चाहता हैटू वन" को इस प्रकार समझा जाना चाहिए - "x" लगातार मान लेता है जो असीम रूप से एकता के करीब हैं और व्यावहारिक रूप से इसके साथ मेल खाते हैं.
उपरोक्त उदाहरण को कैसे हल करें? उपरोक्त के आधार पर, आपको केवल सीमा चिह्न के तहत फ़ंक्शन में इकाई को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:
तो पहला नियम है: जब कोई सीमा दी जाती है, तो पहले केवल संख्या को फ़ंक्शन में प्लग करने का प्रयास करें.
हमने सबसे सरल सीमा पर विचार किया, लेकिन ऐसे भी व्यवहार में पाए जाते हैं, और ऐसा बहुत कम ही होता है!
अनंत उदाहरण:
समझना क्या है? यह तब होता है जब यह अनिश्चित काल के लिए बढ़ता है, अर्थात: पहले, फिर, फिर, फिर, और इसी तरह एड इनफिनिटम।
और इस समय समारोह का क्या होता है?
, , 
, …
तो: यदि , तो फ़ंक्शन शून्य से अनंत तक जाता है:
मोटे तौर पर, हमारे पहले नियम के अनुसार, हम "x" के बजाय फ़ंक्शन में अनंत को प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं।
अनंत के साथ एक और उदाहरण:
फिर से, हम अनंत तक बढ़ना शुरू करते हैं, और फ़ंक्शन के व्यवहार को देखते हैं: 
निष्कर्ष: के लिए , फलन अनिश्चित काल तक बढ़ता है:
और उदाहरणों की एक और श्रृंखला:
कृपया अपने लिए निम्नलिखित का मानसिक रूप से विश्लेषण करने का प्रयास करें और सरलतम प्रकार की सीमाएँ याद रखें:
, , , , 
, , , , 
,
अगर कहीं कोई शंका हो तो आप कैलकुलेटर उठा सकते हैं और थोड़ा अभ्यास कर सकते हैं।
इस घटना में, अनुक्रम बनाने का प्रयास करें,,। तो अगर , , ।
नोट: कड़ाई से बोलते हुए, कई संख्याओं के निर्माण अनुक्रमों के साथ यह दृष्टिकोण गलत है, लेकिन यह सबसे सरल उदाहरणों को समझने के लिए काफी उपयुक्त है।
निम्न बातों पर भी ध्यान दें। भले ही शीर्ष पर बड़ी संख्या के साथ एक सीमा दी गई हो, या कम से कम एक लाख: के साथ, तो सभी समान 
, क्योंकि जल्दी या बाद में "x" ऐसे विशाल मूल्यों पर ले जाएगा कि उनकी तुलना में एक लाख वास्तविक सूक्ष्म जीव होंगे।
ऊपर से क्या याद रखना और समझना चाहिए?
1) जब कोई सीमा दी जाती है, तो पहले हम केवल एक संख्या को फलन में स्थानापन्न करने का प्रयास करते हैं।
2) आपको सरलतम सीमाओं को समझना और तुरंत हल करना चाहिए, जैसे कि 
, , आदि।
अब हम सीमाओं के समूह पर विचार करेंगे, जब और फलन एक भिन्न है, जिसके अंश और हर बहुपद हैं
उदाहरण:
सीमा की गणना करें 
हमारे नियम के अनुसार, हम एक फलन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करेंगे। हमें सबसे ऊपर क्या मिलता है? अनंतता। और नीचे क्या होता है? अनंत भी। इस प्रकार, हमारे पास रूप की तथाकथित अनिश्चितता है। कोई ऐसा सोच सकता है, और उत्तर तैयार है, लेकिन सामान्य स्थिति में ऐसा बिल्कुल नहीं है, और कुछ समाधान लागू किया जाना चाहिए, जिस पर अब हम विचार करेंगे।
इस प्रकार की सीमाओं को कैसे हल करें?
सबसे पहले हम अंश को देखते हैं और उच्चतम शक्ति पाते हैं: 
अंश में उच्चतम शक्ति दो है।
अब हम हर को देखते हैं और उच्चतम डिग्री भी पाते हैं: 
हर की उच्चतम शक्ति दो है।
फिर हम अंश और हर की उच्चतम शक्ति चुनते हैं: इस उदाहरण में, वे समान हैं और दो के बराबर हैं।
तो, समाधान विधि इस प्रकार है: अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, अंश और हर को उच्चतम डिग्री से विभाजित करना आवश्यक है।
यहाँ यह है, उत्तर, और अनंत बिल्कुल नहीं।
निर्णय लेने में क्या आवश्यक है?
सबसे पहले, हम अनिश्चितता का संकेत देते हैं, यदि कोई हो।
दूसरे, मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए समाधान को बाधित करना वांछनीय है। मैं आमतौर पर संकेत का उपयोग करता हूं, इसका कोई गणितीय अर्थ नहीं है, लेकिन इसका मतलब है कि समाधान एक मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए बाधित है।
तीसरा, सीमा में यह चिह्नित करना वांछनीय है कि यह क्या और कहाँ जाता है। जब काम हाथ से तैयार किया जाता है, तो इसे इस तरह करना अधिक सुविधाजनक होता है: 
नोट्स के लिए, एक साधारण पेंसिल का उपयोग करना बेहतर है।
बेशक, आप इसमें से कुछ नहीं कर सकते हैं, लेकिन फिर, शायद, शिक्षक समाधान में कमियों को नोट करेगा या असाइनमेंट पर अतिरिक्त प्रश्न पूछना शुरू कर देगा। और क्या आपको इसकी आवश्यकता है?
उदाहरण 2
सीमा का पता लगाएं 
फिर से अंश और हर में हम उच्चतम अंश में पाते हैं: 
अंश में अधिकतम डिग्री: 3
हर में अधिकतम डिग्री: 4
चुनना महानतममान, इस मामले में चार।
हमारे एल्गोरिथ्म के अनुसार, अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, हम अंश और हर को से विभाजित करते हैं।
एक पूरा असाइनमेंट इस तरह दिख सकता है:
अंश और हर को से भाग दें
उदाहरण 3
सीमा का पता लगाएं 
अंश में "x" की अधिकतम डिग्री: 2
हर में "x" की अधिकतम शक्ति: 1 (इस रूप में लिखा जा सकता है)
अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, अंश और हर को से विभाजित करना आवश्यक है। एक साफ समाधान इस तरह दिख सकता है:
अंश और हर को से भाग दें
रिकॉर्ड का मतलब शून्य से विभाजन नहीं है (शून्य से विभाजित करना असंभव है), लेकिन एक असीम रूप से छोटी संख्या से विभाजन।
इस प्रकार, प्रपत्र की अनिश्चितता का खुलासा करते समय, हम प्राप्त कर सकते हैं समापिका, शून्य या अनंत।
अनिश्चितता के प्रकार और उनके समाधान के लिए एक विधि के साथ सीमाएं
सीमाओं का अगला समूह कुछ हद तक अभी मानी गई सीमाओं के समान है: अंश और हर में बहुपद हैं, लेकिन "x" अब अनंत की ओर नहीं जाता है, लेकिन अंतिम संख्या.
उदाहरण 4
सीमा को हल करें 
सबसे पहले, आइए एक भिन्न में -1 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें: 
इस मामले में, तथाकथित अनिश्चितता प्राप्त की जाती है।
सामान्य नियम: यदि अंश और हर में बहुपद हैं, और रूप की अनिश्चितता है, तो इसके प्रकटीकरण के लिए अंश और हर का गुणनखंड करें.
ऐसा करने के लिए, अक्सर आपको द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है और (या) संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग करते हैं। अगर ये बातें भूल जाते हैं, तो पेज पर जाएं गणितीय सूत्र और टेबलऔर कार्यप्रणाली सामग्री से परिचित हों हॉट स्कूल गणित सूत्र. वैसे, इसे प्रिंट करना सबसे अच्छा है, इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है, और कागज से जानकारी बेहतर अवशोषित होती है।
तो चलिए हल करते हैं हमारी लिमिट 
अंश और हर का गुणन
अंश का गुणनखंड करने के लिए, आपको द्विघात समीकरण को हल करना होगा: 
पहले हम विवेचक पाते हैं:
और इसका वर्गमूल: .
यदि विभेदक बड़ा है, उदाहरण के लिए 361, हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, वर्गमूल फ़ंक्शन सबसे सरल कैलकुलेटर पर होता है।
! यदि रूट पूरी तरह से नहीं निकाला जाता है (अल्पविराम के साथ एक भिन्नात्मक संख्या प्राप्त की जाती है), तो यह बहुत संभावना है कि विवेचक की गणना गलत तरीके से की गई थी या कार्य में कोई टाइपो है।
अगला, हम जड़ें पाते हैं: 
इस तरह:
हर चीज़। अंश गुणनखंड है।
हर। भाजक पहले से ही सबसे सरल कारक है, और इसे सरल बनाने का कोई तरीका नहीं है।
जाहिर है, इसे छोटा किया जा सकता है:
अब हम उस व्यंजक में -1 को प्रतिस्थापित करते हैं जो सीमा चिह्न के अंतर्गत रहता है:
स्वाभाविक रूप से, एक परीक्षण में, एक परीक्षा में, एक परीक्षा में, समाधान को कभी भी इतने विस्तार से चित्रित नहीं किया जाता है। अंतिम संस्करण में, डिज़ाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:
आइए अंश का गुणनखंड करें। 
उदाहरण 5
सीमा की गणना करें 
सबसे पहले, एक "साफ" समाधान
आइए अंश और हर का गुणनखंड करें।
अंश:
हर: 
, 
इस उदाहरण में क्या महत्वपूर्ण है?
सबसे पहले, आपको अच्छी तरह से समझना चाहिए कि अंश कैसे प्रकट होता है, पहले हमने 2 को ब्रैकेट किया, और फिर वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग किया। यह वह सूत्र है जिसे आपको जानना और देखना है।
उपरोक्त लेख से आप पता लगा सकते हैं कि सीमा क्या है और इसके साथ क्या खाया जाता है - यह बहुत महत्वपूर्ण है। क्यों? आप यह नहीं समझ सकते हैं कि निर्धारक क्या हैं और उन्हें सफलतापूर्वक हल करें, हो सकता है कि आप यह बिल्कुल न समझें कि व्युत्पन्न क्या है और उन्हें "पांच" पर खोजें। लेकिन अगर आपको समझ में नहीं आता कि सीमा क्या है, तो व्यावहारिक कार्यों को हल करना मुश्किल होगा। इसके अलावा, निर्णयों के डिजाइन के नमूनों और डिजाइन के लिए मेरी सिफारिशों के साथ खुद को परिचित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। सभी जानकारी सरल और सुलभ तरीके से प्रस्तुत की जाती है।
और इस पाठ के प्रयोजनों के लिए, हमें निम्नलिखित पद्धति संबंधी सामग्रियों की आवश्यकता है: उल्लेखनीय सीमाएंतथा त्रिकोणमितीय सूत्र. वे पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं। मैनुअल प्रिंट करना सबसे अच्छा है - यह बहुत अधिक सुविधाजनक है, इसके अलावा, उन्हें अक्सर ऑफ़लाइन एक्सेस करना पड़ता है।
अद्भुत सीमाओं के बारे में क्या उल्लेखनीय है? इन सीमाओं की उल्लेखनीयता इस तथ्य में निहित है कि वे प्रसिद्ध गणितज्ञों के महानतम दिमागों द्वारा सिद्ध किए गए थे, और आभारी वंशजों को त्रिकोणमितीय कार्यों, लॉगरिदम और डिग्री के ढेर के साथ भयानक सीमाओं से पीड़ित नहीं होना पड़ता है। यही है, सीमा खोजने पर, हम तैयार किए गए परिणामों का उपयोग करेंगे जो सैद्धांतिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं।
कई उल्लेखनीय सीमाएँ हैं, लेकिन व्यवहार में, 95% मामलों में अंशकालिक छात्रों की दो उल्लेखनीय सीमाएँ हैं: पहली अद्भुत सीमा, दूसरी अद्भुत सीमा. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये ऐतिहासिक रूप से स्थापित नाम हैं, और जब, उदाहरण के लिए, वे "पहली अद्भुत सीमा" के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब यह एक बहुत ही विशिष्ट चीज है, न कि छत से ली गई कुछ यादृच्छिक सीमा।
पहली अद्भुत सीमा
निम्नलिखित सीमा पर विचार करें: (मूल अक्षर "वह" के बजाय मैं ग्रीक अक्षर "अल्फा" का उपयोग करूंगा, यह सामग्री की प्रस्तुति के संदर्भ में अधिक सुविधाजनक है)।
सीमा ज्ञात करने के हमारे नियम के अनुसार (लेख देखें .) सीमाएं। समाधान उदाहरण) हम फ़ंक्शन में शून्य को स्थानापन्न करने का प्रयास करते हैं: अंश में हमें शून्य मिलता है (शून्य की साइन शून्य है), हर में, जाहिर है, शून्य भी। इस प्रकार, हम प्रपत्र की अनिश्चितता का सामना कर रहे हैं, जिसे सौभाग्य से, प्रकट करने की आवश्यकता नहीं है। गणितीय विश्लेषण के क्रम में, यह सिद्ध होता है कि:
इस गणितीय तथ्य को कहा जाता है पहली अद्भुत सीमा. मैं सीमा का विश्लेषणात्मक प्रमाण नहीं दूंगा, लेकिन हम इसके ज्यामितीय अर्थ पर पाठ में विचार करेंगे अतिसूक्ष्म कार्य.
अक्सर व्यावहारिक कार्यों में, कार्यों को अलग तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है, इससे कुछ भी नहीं बदलता है:
- वही पहली अद्भुत सीमा।
लेकिन आप अंश और हर को स्वयं पुनर्व्यवस्थित नहीं कर सकते! यदि प्रपत्र में कोई सीमा दी गई है, तो उसे उसी रूप में हल किया जाना चाहिए, बिना कुछ पुनर्व्यवस्थित किए।
व्यवहार में, न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक प्राथमिक कार्य, एक जटिल कार्य भी कर सकता है। यह केवल इतना महत्वपूर्ण है कि यह शून्य हो जाता है.
उदाहरण:
, , 
, 
यहाँ , , , 
, और सब कुछ गुलजार है - पहली अद्भुत सीमा लागू होती है।
और यहाँ अगली प्रविष्टि है - विधर्म:
क्यों? क्योंकि बहुपद शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होता, यह पाँच की ओर प्रवृत्त होता है।
वैसे सवाल बैकफिलिंग का है, लेकिन लिमिट क्या है? 
? उत्तर पाठ के अंत में पाया जा सकता है।
व्यवहार में, सब कुछ इतना आसान नहीं है, लगभग कभी भी एक छात्र को एक मुफ्त सीमा को हल करने और एक आसान क्रेडिट प्राप्त करने की पेशकश नहीं की जाएगी। हम्म्... मैं ये पंक्तियाँ लिख रहा हूँ, और एक बहुत ही महत्वपूर्ण विचार मन में आया - आखिरकार, "मुक्त" गणितीय परिभाषाओं और सूत्रों को दिल से याद रखना बेहतर लगता है, यह परीक्षण में अमूल्य मदद हो सकती है, जब मुद्दा "दो" और "तीन" के बीच तय किया जाएगा, और शिक्षक छात्र से कुछ सरल प्रश्न पूछने या सबसे सरल उदाहरण को हल करने की पेशकश करने का फैसला करता है ("शायद वह (ए) अभी भी जानता है कि क्या?")।
आइए व्यावहारिक उदाहरणों पर चलते हैं:
उदाहरण 1
सीमा का पता लगाएं
यदि हम सीमा में कोई साइन देखते हैं, तो इससे हमें तुरंत पहली उल्लेखनीय सीमा को लागू करने की संभावना के बारे में सोचना चाहिए।
सबसे पहले, हम सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति में 0 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (हम इसे मानसिक रूप से या मसौदे पर करते हैं):
तो, हमारे पास रूप की एक अनिश्चितता है, इसकी इंगित करना सुनिश्चित करेंनिर्णय लेने में। सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति पहली अद्भुत सीमा की तरह दिखती है, लेकिन यह काफी नहीं है, यह साइन के नीचे है, लेकिन हर में है।
ऐसे मामलों में, हमें कृत्रिम उपकरण का उपयोग करके पहली अद्भुत सीमा को स्वयं व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। तर्क की पंक्ति इस प्रकार हो सकती है: "साइन के तहत हमारे पास है, जिसका अर्थ है कि हमें भी हर में आने की आवश्यकता है"।
और यह बहुत ही सरलता से किया जाता है:
अर्थात्, इस मामले में हर को कृत्रिम रूप से 7 से गुणा किया जाता है और उसी सात से विभाजित किया जाता है। अब यह रिकॉर्ड एक जाना-पहचाना आकार ले चुका है।
जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो एक साधारण पेंसिल के साथ पहली अद्भुत सीमा को चिह्नित करने की सलाह दी जाती है:
क्या हुआ? वास्तव में, गोलाकार अभिव्यक्ति एक इकाई में बदल गई है और उत्पाद में गायब हो गई है: 
अब केवल तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाना बाकी है: 
बहुमंजिला भिन्नों का सरलीकरण कौन भूल गया है, कृपया संदर्भ पुस्तक में सामग्री को ताज़ा करें हॉट स्कूल गणित सूत्र .
तैयार। अंतिम उत्तर:
यदि आप पेंसिल के निशान का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, तो समाधान को इस तरह स्वरूपित किया जा सकता है:
“
हम पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हैं 
“
उदाहरण 2
सीमा का पता लगाएं
फिर से हम सीमा में एक भिन्न और एक ज्या देखते हैं। हम अंश और हर में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:
वास्तव में, हमारे पास अनिश्चितता है और इसलिए, हमें पहली उल्लेखनीय सीमा को व्यवस्थित करने का प्रयास करने की आवश्यकता है। सबक पर सीमाएं। समाधान उदाहरणहमने इस नियम पर विचार किया कि जब हमारे पास अनिश्चितता होती है, तो हमें अंश और हर को गुणनखंडों में गुणनखंड करने की आवश्यकता होती है। यहां - वही बात, हम डिग्री को एक उत्पाद (गुणक) के रूप में प्रस्तुत करेंगे:
इसी तरह पिछले उदाहरण के लिए, हम एक पेंसिल के साथ अद्भुत सीमाओं की रूपरेखा तैयार करते हैं (यहां उनमें से दो हैं), और इंगित करते हैं कि वे एक के लिए जाते हैं:
दरअसल, जवाब तैयार है:
निम्नलिखित उदाहरणों में, मैं पेंट में कला नहीं करूंगा, मुझे लगता है कि एक नोटबुक में समाधान को सही तरीके से कैसे तैयार किया जाए - आप पहले ही समझ चुके हैं।
उदाहरण 3
सीमा का पता लगाएं
हम सीमा चिह्न के तहत व्यंजक में शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं:
एक अनिश्चितता प्राप्त हुई है जिसे प्रकट करने की आवश्यकता है। यदि सीमा में एक स्पर्शरेखा है, तो यह लगभग हमेशा प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सूत्र के अनुसार साइन और कोसाइन में परिवर्तित हो जाता है (वैसे, वे कोटेंजेंट के साथ भी ऐसा ही करते हैं, कार्यप्रणाली सामग्री देखें गर्म त्रिकोणमितीय सूत्रपेज पर गणितीय सूत्र, टेबल और संदर्भ सामग्री).
इस मामले में:
शून्य की कोज्या एक के बराबर है, और इससे छुटकारा पाना आसान है (यह चिह्नित करना न भूलें कि यह एक की ओर जाता है):
इस प्रकार, यदि सीमा में कोसाइन एक गुणक है, तो, मोटे तौर पर, इसे एक इकाई में बदल दिया जाना चाहिए, जो उत्पाद में गायब हो जाता है।
यहां सब कुछ सरल हो गया, बिना किसी गुणा और भाग के। पहली उल्लेखनीय सीमा भी एकता में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:
फलतः अनंत प्राप्त होता है, ऐसा होता है।
उदाहरण 4
सीमा का पता लगाएं
हम अंश और हर में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:
प्राप्त अनिश्चितता (शून्य की कोज्या, जैसा कि हमें याद है, एक के बराबर है)
हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं। नोट करें! किसी कारण से, इस सूत्र का उपयोग करने की सीमाएँ बहुत सामान्य हैं।
हम सीमा चिह्न से परे निरंतर गुणकों को निकालते हैं:
आइए पहली उल्लेखनीय सीमा को व्यवस्थित करें:
यहां हमारे पास केवल एक अद्भुत सीमा है, जो एक में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:
आइए तीन मंजिला से छुटकारा पाएं:
सीमा वास्तव में हल हो गई है, हम इंगित करते हैं कि शेष साइन शून्य हो जाता है:
उदाहरण 5
सीमा का पता लगाएं 
यह उदाहरण अधिक जटिल है, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें:
चर को बदलकर कुछ सीमाओं को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है, आप इसके बारे में लेख में थोड़ी देर बाद पढ़ सकते हैं हल करने के तरीके सीमित करें.
दूसरी अद्भुत सीमा
गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में यह सिद्ध होता है कि:
इस तथ्य को कहा जाता है दूसरी उल्लेखनीय सीमा.
संदर्भ: 
एक अपरिमेय संख्या है।
न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक जटिल कार्य भी कर सकता है। यह केवल इतना महत्वपूर्ण है कि यह अनंत के लिए प्रयास करता है.
उदाहरण 6
सीमा का पता लगाएं
जब सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति शक्ति में है - यह पहला संकेत है कि आपको दूसरी अद्भुत सीमा को लागू करने का प्रयास करने की आवश्यकता है।
लेकिन पहले, हमेशा की तरह, हम अभिव्यक्ति में एक असीम रूप से बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, यह किस सिद्धांत के अनुसार किया जाता है, पाठ में इसका विश्लेषण किया गया था। सीमाएं। समाधान उदाहरण.
यह देखना आसान है कि कब डिग्री का आधार, और घातांक - , अर्थात्, प्रपत्र की अनिश्चितता है:
यह अनिश्चितता अभी दूसरी उल्लेखनीय सीमा की सहायता से प्रकट हुई है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, दूसरी अद्भुत सीमा चांदी की थाली पर नहीं होती है, और इसे कृत्रिम रूप से व्यवस्थित किया जाना चाहिए। आप निम्नानुसार तर्क कर सकते हैं: इस उदाहरण में, पैरामीटर का अर्थ है कि हमें संकेतक में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम आधार को एक शक्ति तक बढ़ाते हैं, और ताकि अभिव्यक्ति में बदलाव न हो, हम इसे एक शक्ति तक बढ़ाते हैं:
जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो हम एक पेंसिल से चिह्नित करते हैं:
लगभग सब कुछ तैयार है, भयानक डिग्री एक सुंदर पत्र में बदल गई है:
उसी समय, लिमिट आइकन को ही इंडिकेटर में ले जाया जाता है:
उदाहरण 7
सीमा का पता लगाएं
ध्यान! इस प्रकार की सीमा बहुत सामान्य है, कृपया इस उदाहरण का बहुत ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।
हम सीमा चिह्न के अंतर्गत व्यंजक में एक अपरिमित रूप से बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:
परिणाम एक अनिश्चितता है। लेकिन दूसरी उल्लेखनीय सीमा फॉर्म की अनिश्चितता पर लागू होती है। क्या करें? आपको डिग्री के आधार को बदलने की जरूरत है। हम इस तरह तर्क देते हैं: हमारे पास हर में, जिसका अर्थ है कि हमें अंश में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है।
कार्य सीमा- संख्या एकुछ चर मान की सीमा होगी यदि, इसके परिवर्तन की प्रक्रिया में, यह चर अनिश्चित काल तक पहुंचता है ए.
या दूसरे शब्दों में, संख्या एसमारोह की सीमा है वाई = एफ (एक्स)बिंदु पर X 0, यदि फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से बिंदुओं के किसी अनुक्रम के लिए, के बराबर नहीं है X 0, और जो बिंदु पर अभिसरण करता है एक्स 0 (लिम एक्स एन = एक्स 0), फ़ंक्शन के संगत मानों का क्रम संख्या में परिवर्तित हो जाता है ए.
एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ जिसकी सीमा अनंत की ओर जाने वाले तर्क के साथ है ली:
अर्थ एएक फ़ंक्शन की सीमा (सीमा मान) एफ (एक्स)बिंदु पर X 0यदि अंकों के किसी क्रम के लिए 
, जो अभिसरण करता है X 0, लेकिन जिसमें शामिल नहीं है X 0इसके तत्वों में से एक के रूप में (अर्थात पंचर पड़ोस में X 0), फ़ंक्शन मानों का क्रम 
अभिसरण करता है ए.
कॉची के अनुसार किसी फलन की सीमा।
अर्थ एहोगा कार्य सीमा एफ (एक्स)बिंदु पर X 0यदि किसी अग्रेषित गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए ε एक गैर-ऋणात्मक संगत संख्या मिलेगी δ = δ(ε) ऐसा कि प्रत्येक तर्क के लिए एक्स, शर्त को संतुष्ट करना 0 < | x - x0 | < δ , असमानता | एफ (एक्स) ए |< ε .
यह बहुत आसान होगा यदि आप सीमा का सार और इसे खोजने के लिए बुनियादी नियमों को समझते हैं। कि समारोह की सीमा एफ(एक्स)पर एक्सके इच्छुक एबराबरी ए, इस प्रकार लिखा गया है:
इसके अलावा, वह मान जिस पर चर प्रवृत्त होता है एक्स, न केवल एक संख्या हो सकती है, बल्कि अनंत (∞), कभी-कभी +∞ या -∞ हो सकती है, या इसकी कोई सीमा नहीं हो सकती है।
समझने के लिए कैसे फ़ंक्शन की सीमाएं पाएं, समाधानों के उदाहरण देखना सबसे अच्छा है।
हमें फ़ंक्शन की सीमाएं खोजने की आवश्यकता है एफ(एक्स) = 1/एक्सपर:
एक्स→ 2, एक्स→ 0, एक्स→ ∞.
आइए पहली सीमा का हल खोजें। ऐसा करने के लिए, आप बस स्थानापन्न कर सकते हैं एक्सवह संख्या जिसकी वह आकांक्षा करता है, अर्थात्। 2, हमें मिलता है:
फ़ंक्शन की दूसरी सीमा खोजें. यहाँ के स्थान पर शुद्ध रूप 0 में प्रतिस्थापित कीजिए एक्सयह असंभव है, क्योंकि 0 से विभाजित नहीं किया जा सकता है। लेकिन हम शून्य के करीब मान ले सकते हैं, उदाहरण के लिए, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 और इसी तरह, फ़ंक्शन के मूल्य के साथ एफ(एक्स)बढ़ जाएगा: 100; 1000; 10000; 100000 और इतने पर। इस प्रकार, यह समझा जा सकता है कि जब एक्स→ 0 सीमा चिह्न के अंतर्गत आने वाले फलन का मान अनिश्चित काल के लिए बढ़ जाएगा, अर्थात। अनंत के लिए प्रयास करें। जिसका मतलब है:
तीसरी सीमा के संबंध में। पिछले मामले की तरह ही स्थिति को प्रतिस्थापित करना असंभव है ∞ अपने शुद्धतम रूप में। हमें असीमित वृद्धि के मामले पर विचार करने की आवश्यकता है एक्स. हम बारी-बारी से 1000 को प्रतिस्थापित करते हैं; 10000; 100000 और इसी तरह, हमारे पास फ़ंक्शन का मान है एफ(एक्स) = 1/एक्सघटेगा: 0.001; 0.0001; 0.00001; और इसी तरह, शून्य की ओर झुकाव। इसलिए:
फ़ंक्शन की सीमा की गणना करना आवश्यक है 
दूसरे उदाहरण को हल करना शुरू करते हुए, हम अनिश्चितता देखते हैं। यहाँ से हम अंश और हर की उच्चतम डिग्री पाते हैं - यह है एक्स 3, हम इसे अंश और हर में कोष्ठक से निकालते हैं और फिर इसे घटाते हैं:
उत्तर 
में पहला कदम इस सीमा का पता लगाना, के बजाय मान 1 को प्रतिस्थापित करें एक्स, जिसके परिणामस्वरूप अनिश्चितता है। इसे हल करने के लिए, हम अंश को कारकों में विघटित करते हैं, हम द्विघात समीकरण की जड़ों को ढूंढकर ऐसा करेंगे एक्स 2 + 2एक्स - 3:
डी \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ डी =√16 = 4
एक्स 1,2 = (-2± 4) / 2→ एक्स 1 \u003d -3;x2= 1.
तो अंश होगा:
उत्तर 
यह इसके विशिष्ट मूल्य या एक विशिष्ट क्षेत्र की परिभाषा है जहां फ़ंक्शन गिरता है, जो सीमा से सीमित है।
सीमा तय करने के लिए, नियमों का पालन करें:
सार और मुख्य को समझने के बाद सीमा निर्णय नियम, आप उन्हें हल करने के तरीके की एक बुनियादी समझ प्राप्त करेंगे।