सिलेंडर के कार्य खंड का क्षेत्र। सिलेंडर के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें के उदाहरण

एक सिलेंडर एक सममित स्थानिक आकृति है, जिसके गुणों को ठोस ज्यामिति के दौरान स्कूल के वरिष्ठ ग्रेड में माना जाता है। इसका वर्णन करने के लिए, आधार की ऊंचाई और त्रिज्या जैसी रैखिक विशेषताओं का उपयोग किया जाता है। इस लेख में, हम एक सिलेंडर के अक्षीय खंड के बारे में प्रश्नों पर विचार करेंगे, और आकृति की मुख्य रैखिक विशेषताओं के माध्यम से इसके मापदंडों की गणना कैसे करें।

ज्यामितीय आकृति

सबसे पहले, आइए उस आंकड़े को परिभाषित करें जिस पर लेख में चर्चा की जाएगी। एक सिलेंडर एक निश्चित वक्र के साथ एक निश्चित लंबाई के एक खंड के समानांतर विस्थापन द्वारा बनाई गई सतह है। इस गति के लिए मुख्य शर्त यह है कि वक्र के तल का खंड संबंधित नहीं होना चाहिए।

नीचे दिया गया चित्र एक बेलन को दर्शाता है जिसका वक्र (गाइड) एक दीर्घवृत्त है।

यहाँ लंबाई h का एक खंड इसका जनक और इसकी ऊँचाई है।

यह देखा जा सकता है कि सिलेंडर में दो समान आधार (इस मामले में दीर्घवृत्त) होते हैं, जो समानांतर विमानों में स्थित होते हैं, और एक पार्श्व सतह। उत्तरार्द्ध जनरेटिंग लाइनों के सभी बिंदुओं के अंतर्गत आता है।

सिलेंडरों के अक्षीय खंड पर विचार करने से पहले, हम आपको बताएंगे कि ये आंकड़े किस प्रकार के हैं।

यदि जनक रेखा आकृति के आधारों के लंबवत है, तो वे एक सीधे बेलन की बात करते हैं। अन्यथा, सिलेंडर झुका होगा। यदि आप दो आधारों के केंद्रीय बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो परिणामी सीधी रेखा को आकृति का अक्ष कहा जाता है। निम्नलिखित आंकड़ा सीधे और झुके हुए सिलेंडरों के बीच के अंतर को दर्शाता है।

यह देखा जा सकता है कि एक सीधी आकृति के लिए, जनक खंड की लंबाई ऊँचाई h के मान के साथ मेल खाती है। एक झुके हुए बेलन के लिए, ऊँचाई, अर्थात् आधारों के बीच की दूरी, हमेशा जेनरेटर की लंबाई से कम होती है।

एक सीधे सिलेंडर का अक्षीय खंड

एक अक्षीय खंड एक सिलेंडर का कोई भी भाग होता है जिसमें इसकी धुरी होती है। इस परिभाषा का अर्थ है कि अक्षीय खंड हमेशा जेनरेटर के समानांतर होगा।

एक सीधे बेलन में, अक्ष वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है और इसके तल के लंबवत होता है। इसका अर्थ है कि विचाराधीन वृत्त अपने व्यास के अनुदिश प्रतिच्छेद करेगा। यह आंकड़ा सिलेंडर के आधे हिस्से को दिखाता है, जो धुरी से गुजरने वाले विमान के साथ आकृति के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त हुआ था।

यह समझना कठिन नहीं है कि एक लम्ब वृत्तीय बेलन का अक्षीय भाग एक आयत है। इसकी भुजाएँ आधार का व्यास d और आकृति की ऊँचाई h हैं।

हम सिलेंडर के अक्षीय खंड के क्षेत्र और उसके विकर्ण की लंबाई h d के लिए सूत्र लिखते हैं:

एक आयत में दो विकर्ण होते हैं, लेकिन दोनों एक दूसरे के बराबर होते हैं। यदि आधार की त्रिज्या ज्ञात हो, तो इसके माध्यम से इन सूत्रों को फिर से लिखना कठिन नहीं है, यह देखते हुए कि यह व्यास का आधा है।

एक झुके हुए सिलेंडर का अक्षीय खंड

ऊपर दी गई तस्वीर कागज से बना एक झुका हुआ सिलेंडर दिखाती है। यदि आप इसका अक्षीय खंड करते हैं, तो आपको एक आयत नहीं, बल्कि एक समांतर चतुर्भुज मिलेगा। इसकी भुजाएँ ज्ञात मात्राएँ हैं। उनमें से एक, जैसा कि एक सीधे सिलेंडर के एक खंड के मामले में होता है, आधार के व्यास d के बराबर होता है, जबकि दूसरा जनरेटिंग सेगमेंट की लंबाई के बराबर होता है। आइए इसे निरूपित करें बी।

समांतर चतुर्भुज के मापदंडों को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, इसकी भुजा की लंबाई जानना पर्याप्त नहीं है। हमें उनके बीच एक कोण भी चाहिए। मान लें कि गाइड और आधार के बीच का न्यून कोण α है। यह समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण भी होगा। फिर इच्छुक सिलेंडर के अक्षीय खंड के क्षेत्र का सूत्र निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

एक झुके हुए सिलेंडर के अक्षीय खंड के विकर्णों की गणना करना कुछ अधिक कठिन होता है। एक समांतर चतुर्भुज में अलग-अलग लंबाई के दो विकर्ण होते हैं। हम व्युत्पत्ति के बिना अभिव्यक्ति देते हैं जो हमें ज्ञात पक्षों से समांतर चतुर्भुज के विकर्णों और उनके बीच एक तीव्र कोण की गणना करने की अनुमति देता है:

एल 1 = √ (डी 2 + बी 2 - 2 * बी * डी * कॉस (α));

एल 2 = (डी 2 + बी 2 + 2*बी*डी*कॉस(α))

यहाँ l 1 और l 2 क्रमशः छोटे और बड़े विकर्णों की लंबाइयाँ हैं। इन सूत्रों को स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया जा सकता है यदि हम विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली की शुरुआत करके प्रत्येक विकर्ण को एक वेक्टर मानते हैं।

सीधे सिलेंडर की समस्या

हम निम्नलिखित समस्या को हल करने के लिए अर्जित ज्ञान का उपयोग करने का तरीका दिखाएंगे। मान लीजिए एक गोल सीधा बेलन दिया गया है। यह ज्ञात है कि बेलन का अक्षीय भाग एक वर्ग होता है। यदि पूरी आकृति 100 सेमी 2 है तो इस खंड का क्षेत्रफल क्या है?

वांछित क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको या तो त्रिज्या या सिलेंडर के आधार के व्यास का पता लगाना होगा। ऐसा करने के लिए, हम आकृति के कुल क्षेत्रफल S f के सूत्र का उपयोग करते हैं:

चूँकि अक्षीय खंड एक वर्ग है, इसका मतलब है कि आधार की त्रिज्या r ऊँचाई h की आधी है। इसे देखते हुए, हम उपरोक्त समानता को फिर से लिख सकते हैं:

एस एफ = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

अब हम त्रिज्या r व्यक्त कर सकते हैं, हमारे पास है:

चूँकि एक वर्गाकार खंड की भुजा आकृति के आधार के व्यास के बराबर है, इसके क्षेत्रफल S की गणना के लिए निम्न सूत्र मान्य होगा:

एस = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

हम देखते हैं कि आवश्यक क्षेत्र विशिष्ट रूप से सिलेंडर के सतह क्षेत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। डेटा को समानता में प्रतिस्थापित करते हुए, हम उत्तर पर आते हैं: एस = 21.23 सेमी 2।

बेलन के प्रत्येक आधार का क्षेत्रफल . है आर 2, दोनों आधारों का क्षेत्रफल 2π . होगा आर 2 (चित्र।)

एक बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उस आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसका आधार 2π . है आर, और ऊंचाई बेलन की ऊंचाई के बराबर है एच, यानी 2π राहु.

सिलेंडर की कुल सतह होगी: 2π आर 2+2π राहु= 2π आर(आर+ एच).

बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल लिया जाता है झाडू क्षेत्रइसकी पार्श्व सतह।

इसलिए, एक लंब वृत्तीय बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल संबंधित आयत (चित्र) के क्षेत्रफल के बराबर होता है और सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है

एस बी.सी. = 2πRH, (1)

यदि हम बेलन के दोनों आधारों के क्षेत्रफल को बेलन की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल में जोड़ दें, तो हमें बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल प्राप्त हो जाता है।

एस पूर्ण \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R)।

सीधे सिलेंडर मात्रा

प्रमेय। एक दाएँ बेलन का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है , अर्थात।

जहाँ Q आधार क्षेत्र है और H बेलन की ऊँचाई है।

चूंकि बेलन का आधार क्षेत्रफल Q है, इसलिए क्षेत्र Q . के साथ परिबद्ध और उत्कीर्ण बहुभुजों के अनुक्रम हैं एनऔर क्यू' एनऐसा है कि

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q एन= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' एन= क्यू.

आइए हम उन प्रिज्मों के अनुक्रमों का निर्माण करें जिनके आधार ऊपर वर्णित और उत्कीर्ण बहुभुज हैं, और जिनके पार्श्व किनारे दिए गए सिलेंडर के जेनरेटर के समानांतर हैं और लंबाई एच है। इन प्रिज्मों का वर्णन और दिए गए सिलेंडर के लिए खुदा हुआ है। उनके आयतन सूत्रों द्वारा ज्ञात किए जाते हैं

वी एन= क्यू एनएच और वी' एन= क्यू' एनएच।

इसलिये,

वी= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q एनएच = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' एनएच = क्यूएच।

परिणाम।
एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है

वी = π आर 2 एच

जहाँ R आधार की त्रिज्या है और H बेलन की ऊँचाई है।

चूँकि एक वृत्ताकार बेलन का आधार R त्रिज्या का एक वृत्त है, तो Q \u003d R 2, और इसलिए

एक बेलन एक आकृति है जिसमें एक बेलनाकार सतह होती है और दो वृत्त समानांतर में व्यवस्थित होते हैं। एक सिलेंडर के क्षेत्र की गणना गणित की ज्यामितीय शाखा में एक समस्या है, जिसे काफी सरलता से हल किया जाता है। इसे हल करने की कई विधियाँ हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमेशा एक सूत्र पर आ जाता है।

बेलन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - गणना के नियम

• सिलेंडर के क्षेत्र का पता लगाने के लिए, आपको पार्श्व सतह के क्षेत्र के साथ दो आधार क्षेत्रों को जोड़ने की जरूरत है: एस \u003d एस पक्ष। + 2 एस मुख्य। अधिक विस्तृत संस्करण में, यह सूत्र इस तरह दिखता है: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r)।
• किसी दिए गए ज्यामितीय निकाय के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना की जा सकती है यदि इसकी ऊंचाई और आधार के नीचे वृत्त की त्रिज्या ज्ञात हो। इस मामले में, आप परिधि से त्रिज्या व्यक्त कर सकते हैं, यदि यह दिया गया है। यदि स्थिति में जेनरेट्रिक्स का मान निर्दिष्ट किया जाता है तो ऊंचाई पाई जा सकती है। इस मामले में, जेनरेट्रिक्स ऊंचाई के बराबर होगा। किसी दिए गए पिंड की पार्श्व सतह का सूत्र इस तरह दिखता है: S= 2 rh।
• आधार के क्षेत्रफल की गणना एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र द्वारा की जाती है: S osn= r 2 । कुछ समस्याओं में, त्रिज्या नहीं दी जा सकती है, लेकिन परिधि दी जाती है। इस सूत्र से त्रिज्या को बहुत आसानी से व्यक्त किया जा सकता है। =2π आर, आर= С/2π। यह भी याद रखना चाहिए कि त्रिज्या आधा व्यास है।
• इन सभी गणनाओं को करते समय, संख्या का आमतौर पर 3.14159 में अनुवाद नहीं किया जाता है ... आपको इसे केवल उस संख्यात्मक मान के बगल में जोड़ना होगा जो गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त हुआ था।
• इसके अलावा, केवल आधार के पाए गए क्षेत्र को 2 से गुणा करना और परिणामी संख्या में आंकड़े की पार्श्व सतह के परिकलित क्षेत्र को जोड़ना आवश्यक है।
• यदि समस्या इंगित करती है कि सिलेंडर में एक अक्षीय खंड है और यह एक आयत है, तो समाधान थोड़ा अलग होगा। इस मामले में, आयत की चौड़ाई शरीर के आधार पर स्थित वृत्त का व्यास होगी। आकृति की लंबाई जेनरेटरिक्स या सिलेंडर की ऊंचाई के बराबर होगी। वांछित मूल्यों की गणना करना और पहले से ज्ञात सूत्र में स्थानापन्न करना आवश्यक है। इस मामले में, आधार के क्षेत्र को खोजने के लिए आयत की चौड़ाई को दो से विभाजित किया जाना चाहिए। पार्श्व सतह को खोजने के लिए, लंबाई को दो त्रिज्याओं और संख्या से गुणा किया जाता है।
• आप किसी दिए गए ज्यामितीय निकाय के क्षेत्रफल की गणना उसके आयतन से कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र V=π r 2 h से लापता मान प्राप्त करने की आवश्यकता है।
• सिलेंडर के क्षेत्रफल की गणना करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है। आपको केवल सूत्रों को जानने और गणना के लिए आवश्यक मात्राओं को प्राप्त करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

एक सिलेंडर (ग्रीक भाषा से "स्केटिंग रिंक", "रोलर" शब्दों से प्राप्त) एक ज्यामितीय निकाय है जो एक बेलनाकार सतह और दो विमानों नामक सतह से बाहर की तरफ घिरा होता है। ये तल आकृति की सतह को प्रतिच्छेद करते हैं और एक दूसरे के समानांतर होते हैं।

एक बेलनाकार सतह एक सतह है जो अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा द्वारा प्राप्त की जाती है। ये गतियाँ ऐसी हैं कि इस सीधी रेखा का चयनित बिंदु एक सपाट-प्रकार के वक्र के साथ चलता है। ऐसी सीधी रेखा को जनक कहा जाता है, और वक्र रेखा को गाइड कहा जाता है।

सिलेंडर में आधारों की एक जोड़ी और एक पार्श्व बेलनाकार सतह होती है। सिलेंडर कई प्रकार के होते हैं:

1. गोलाकार, सीधा सिलेंडर। ऐसे सिलेंडर के लिए, बेस और गाइड जेनरेट्रिक्स के लंबवत होते हैं, और वहाँ है

2. झुका हुआ सिलेंडर। उसके पास जनक रेखा के बीच एक कोण है और आधार सीधा नहीं है।

3. एक अलग आकार का एक सिलेंडर। हाइपरबोलिक, अण्डाकार, परवलयिक और अन्य।

एक सिलेंडर का क्षेत्रफल, साथ ही किसी भी सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्र, इस आकृति के आधारों के क्षेत्रों और पार्श्व सतह के क्षेत्र को जोड़कर पाया जाता है।

एक वृत्ताकार, सीधे बेलन के लिए एक बेलन के कुल क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र है:

एसपी = 2पी आरएच + 2पी आर2 = 2पी आर (एच+आर)।

पार्श्व सतह का क्षेत्र पूरे सिलेंडर के क्षेत्र की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन है; इसकी गणना जेनरेटर की लंबाई को विमान द्वारा गठित खंड की परिधि से गुणा करके की जाती है जो कि लंबवत है जेनरेटर

एक गोलाकार, सीधे सिलेंडर के लिए सिलेंडर डेटा इस वस्तु के विकास से पहचाना जाता है।

एक विकास एक आयत है जिसकी ऊँचाई h और लंबाई P है, जो आधार की परिधि के बराबर है।

यह इस प्रकार है कि सिलेंडर का पार्श्व क्षेत्र स्वीप के क्षेत्र के बराबर है और इस सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

यदि हम एक गोलाकार, सीधा बेलन लें, तो उसके लिए:

पी = 2पी आर, और एसबी = 2पी आरएच।

यदि सिलेंडर झुका हुआ है, तो पार्श्व सतह क्षेत्र इसके जेनरेट्रिक्स की लंबाई और खंड के परिधि के उत्पाद के बराबर होना चाहिए, जो इस जेनरेट्रिक्स के लंबवत है।

दुर्भाग्य से, एक झुके हुए सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र को उसकी ऊंचाई और उसके आधार मापदंडों के संदर्भ में व्यक्त करने का कोई सरल सूत्र नहीं है।

एक सिलेंडर की गणना करने के लिए, आपको कुछ तथ्यों को जानना होगा। यदि इसके तल वाला एक खंड आधारों को काटता है, तो ऐसा खंड हमेशा एक आयत होता है। लेकिन ये आयतें खंड की स्थिति के आधार पर भिन्न होंगी। आकृति के अक्षीय खंड के किनारों में से एक, जो आधारों के लंबवत है, ऊंचाई के बराबर है, और दूसरा सिलेंडर के आधार के व्यास के बराबर है। और इस तरह के एक खंड का क्षेत्रफल क्रमशः आयत के एक तरफ के उत्पाद के बराबर होता है, जो पहले के लंबवत होता है, या इस आकृति की ऊंचाई के उत्पाद के आधार के व्यास के बराबर होता है।

यदि खंड आकृति के आधारों के लंबवत है, लेकिन रोटेशन की धुरी से नहीं गुजरता है, तो इस खंड का क्षेत्रफल इस सिलेंडर की ऊंचाई और एक निश्चित जीवा के गुणनफल के बराबर होगा। एक जीवा प्राप्त करने के लिए, आपको बेलन के आधार पर एक वृत्त बनाना होगा, एक त्रिज्या खींचनी होगी और उस पर उस दूरी को अलग रखना होगा जिस पर अनुभाग स्थित है। और इस बिंदु से आपको सर्कल के साथ चौराहे से त्रिज्या पर लंबवत खींचने की जरूरत है। चौराहे के बिंदु केंद्र से जुड़े हुए हैं। और त्रिभुज का आधार वांछित है, जिसे इस तरह की ध्वनियों के लिए खोजा जाता है: "दो पैरों के वर्गों का योग कर्ण वर्ग के बराबर है":

सी 2 = ए 2 + बी 2।

यदि खंड सिलेंडर के आधार को प्रभावित नहीं करता है, और सिलेंडर स्वयं गोलाकार और सीधा है, तो इस खंड का क्षेत्र वृत्त के क्षेत्र के रूप में पाया जाता है।

एक वृत्त का क्षेत्रफल है:

एस एनवी। = 2पी आर2.

R को खोजने के लिए, आपको इसकी लंबाई C को 2p से विभाजित करना होगा:

आर = सी \ 2n, जहां n pi है, एक गणितीय स्थिरांक की गणना सर्कल डेटा के साथ काम करने के लिए की जाती है और 3.14 के बराबर होती है।

सिलिंडर को लेकर काफी परेशानी हो रही है। उनमें, आपको शरीर की त्रिज्या और ऊंचाई या उसके खंड के प्रकार को खोजने की आवश्यकता है। साथ ही, कभी-कभी आपको सिलेंडर के क्षेत्रफल और उसके आयतन की गणना करने की आवश्यकता होती है।

सिलेंडर कौन सा शरीर है?

स्कूल के पाठ्यक्रम के दौरान, एक परिपत्र, यानी एक सिलेंडर जो आधार पर ऐसा होता है, का अध्ययन किया जाता है। लेकिन वे इस आकृति के अण्डाकार स्वरूप में भी अंतर करते हैं। नाम से ही स्पष्ट है कि इसका आधार अंडाकार या अंडाकार होगा।

सिलेंडर के दो आधार होते हैं। वे एक दूसरे के बराबर हैं और उन खंडों से जुड़े हुए हैं जो आधारों के संबंधित बिंदुओं को जोड़ते हैं। उन्हें सिलेंडर जनरेटर कहा जाता है। सभी जनरेटर एक दूसरे के समानांतर और बराबर हैं। वे शरीर की पार्श्व सतह बनाते हैं।

सामान्य तौर पर, एक सिलेंडर एक झुका हुआ शरीर होता है। यदि जनरेटर आधारों के साथ एक समकोण बनाते हैं, तो वे पहले से ही एक सीधी आकृति की बात करते हैं।

दिलचस्प बात यह है कि एक गोलाकार सिलेंडर क्रांति का पिंड है। यह एक आयत को उसकी एक भुजा के चारों ओर घुमाकर प्राप्त किया जाता है।

सिलेंडर के मुख्य तत्व

सिलेंडर के मुख्य तत्व इस प्रकार हैं।

1. कद। यह बेलन के आधारों के बीच की न्यूनतम दूरी है। यदि यह सीधा है, तो ऊंचाई जेनरेट्रिक्स के साथ मेल खाती है।
2. त्रिज्या। उस के साथ मेल खाता है जिसे आधार में किया जा सकता है।
3. एक्सिस। यह एक सीधी रेखा है जिसमें दोनों आधारों के केंद्र होते हैं। धुरी हमेशा सभी जनरेटर के समानांतर होती है। एक दाहिने सिलेंडर में, यह आधारों के लंबवत है।
4. अक्षीय खंड। यह तब बनता है जब बेलन अक्ष वाले तल को काटता है।
5. स्पर्शरेखा विमान। यह जनरेटर में से एक के माध्यम से गुजरता है और अक्षीय खंड के लंबवत है, जो इस जेनरेटर के माध्यम से खींचा जाता है।

एक बेलन उसमें अंकित या उसके पास परिबद्ध प्रिज्म से किस प्रकार संबंधित है?

कभी-कभी ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें सिलेंडर के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक होता है, जबकि इससे जुड़े प्रिज्म के कुछ तत्व ज्ञात होते हैं। ये आंकड़े कैसे संबंधित हैं?

यदि एक बेलन में एक प्रिज्म खुदा हुआ है, तो उसके आधार बराबर बहुभुज हैं। इसके अलावा, वे सिलेंडर के संबंधित आधारों में खुदे हुए हैं। प्रिज्म के किनारे के किनारे जनरेटर के साथ मेल खाते हैं।

वर्णित प्रिज्म के आधारों पर नियमित बहुभुज होते हैं। इनका वर्णन बेलन के वृत्तों के निकट किया गया है, जो इसके आधार हैं। प्रिज्म के चेहरे वाले विमान जनरेटर के साथ सिलेंडर को छूते हैं।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन के लिए पार्श्व सतह और आधार के क्षेत्रफल पर

यदि आप पार्श्व सतह को खोलते हैं, तो आपको एक आयत मिलता है। इसकी भुजाएँ जेनरेटरिक्स और आधार की परिधि के साथ मेल खाएँगी। इसलिए, सिलेंडर का पार्श्व क्षेत्र इन दो मात्राओं के उत्पाद के बराबर होगा। यदि आप सूत्र लिखते हैं, तो आपको निम्न मिलता है:

एस साइड \u003d एल * एन,

जहाँ n जनक है, l परिधि है।

इसके अलावा, अंतिम पैरामीटर की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एल = 2 *आर,

यहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, संख्या "pi" है, जो 3.14 के बराबर है।

चूँकि आधार एक वृत्त है, इसके क्षेत्रफल की गणना निम्नलिखित व्यंजक का उपयोग करके की जाती है:

एस मुख्य \u003d * आर 2।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन के संपूर्ण पृष्ठ के क्षेत्रफल पर

चूंकि यह दो आधारों और एक पार्श्व सतह से बनता है, इसलिए इन तीन मात्राओं को जोड़ा जाना चाहिए। अर्थात्, सिलेंडर के कुल क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाएगी:

एस मंजिल = 2 * आर * एन + 2 * आर 2 .

इसे अक्सर एक अलग रूप में लिखा जाता है:

एस मंजिल = 2 * आर (एन + आर)।

एक झुके हुए गोलाकार सिलेंडर के क्षेत्रों पर

आधारों के लिए, सभी सूत्र समान हैं, क्योंकि वे अभी भी वृत्त हैं। लेकिन पार्श्व सतह अब एक आयत नहीं देती है।

एक झुकाव वाले सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको जेनरेट्रिक्स के मूल्यों और अनुभाग के परिधि को गुणा करना होगा, जो चयनित जेनरेट्रिक्स के लंबवत होगा।

सूत्र इस तरह दिखता है:

एस साइड \u003d एक्स * पी,

जहाँ x बेलन के जनक की लंबाई है, P खंड का परिमाप है।

क्रॉस सेक्शन, वैसे, ऐसा चुनना बेहतर है कि यह एक दीर्घवृत्त बनाता है। तब इसकी परिधि की गणना को सरल बनाया जाएगा। दीर्घवृत्त की लंबाई की गणना एक सूत्र का उपयोग करके की जाती है जो अनुमानित उत्तर देता है। लेकिन यह अक्सर स्कूल पाठ्यक्रम के कार्यों के लिए पर्याप्त होता है:

एल \u003d * (ए + बी),

जहां "ए" और "बी" दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष हैं, अर्थात्, केंद्र से उसके निकटतम और सबसे दूर के बिंदुओं की दूरी।

संपूर्ण सतह के क्षेत्रफल की गणना निम्नलिखित व्यंजक का उपयोग करके की जानी चाहिए:

एस मंजिल = 2 * आर 2 + एक्स * आर।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन के कुछ भाग कौन-से हैं?

जब खंड अक्ष से होकर गुजरता है, तो इसका क्षेत्रफल जेनरेट्रिक्स के गुणनफल और आधार के व्यास के रूप में निर्धारित होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसमें एक आयत का रूप है, जिसकी भुजाएँ निर्दिष्ट तत्वों से मेल खाती हैं।

अक्षीय के समानांतर एक सिलेंडर के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको एक आयत के लिए एक सूत्र की भी आवश्यकता होगी। इस स्थिति में, इसका एक पक्ष अभी भी ऊंचाई के साथ मेल खाएगा, और दूसरा आधार की जीवा के बराबर होगा। उत्तरार्द्ध आधार के साथ अनुभाग रेखा के साथ मेल खाता है।

जब खंड अक्ष के लंबवत होता है, तो यह एक वृत्त की तरह दिखता है। इसके अलावा, इसका क्षेत्रफल आकृति के आधार पर समान है।

अक्ष से किसी कोण पर प्रतिच्छेद करना भी संभव है। फिर खंड में एक अंडाकार या उसका हिस्सा प्राप्त होता है।

कार्य उदाहरण

टास्क नंबर 1.एक सीधा बेलन दिया गया है, जिसका आधार क्षेत्रफल 12.56 cm 2 है। सिलेंडर के कुल क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है यदि इसकी ऊंचाई 3 सेमी है।

समाधान। एक गोलाकार दाएँ बेलन के कुल क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करना आवश्यक है। लेकिन इसमें डेटा का अभाव है, अर्थात् आधार की त्रिज्या। लेकिन वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात होता है। इससे त्रिज्या की गणना करना आसान है।

यह भागफल के वर्गमूल के बराबर निकलता है, जो आधार क्षेत्रफल को pi से भाग देने पर प्राप्त होता है। 12.56 को 3.14 से भाग देने पर 4 होता है। 4 का वर्गमूल 2 होता है। इसलिए, त्रिज्या का यह मान होगा।

उत्तर: एस मंजिल \u003d 50.24 सेमी 2।

टास्क नंबर 2. 5 सेमी त्रिज्या वाले एक बेलन को अक्ष के समांतर समतल द्वारा काटा जाता है। खंड से अक्ष की दूरी 3 सेमी है। सिलेंडर की ऊंचाई 4 सेमी है। अनुभाग के क्षेत्र को खोजने के लिए आवश्यक है।

समाधान। खंड का आकार आयताकार है। इसकी एक भुजा बेलन की ऊँचाई के साथ मेल खाती है, और दूसरी जीवा के बराबर है। यदि पहला मान ज्ञात है, तो दूसरा पाया जाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त निर्माण करने की आवश्यकता है। आधार पर हम दो खंड खींचते हैं। ये दोनों सर्कल के सेंटर से शुरू होंगे। पहला जीवा के केंद्र में समाप्त होगा और अक्ष से ज्ञात दूरी के बराबर होगा। दूसरा राग के अंत में है।

आपको एक समकोण त्रिभुज मिलता है। इसमें कर्ण और एक पैर जाना जाता है। कर्ण त्रिज्या के समान है। दूसरा पैर आधी जीवा के बराबर है। अज्ञात लेग, 2 से गुणा करने पर, कॉर्ड की आवश्यक लंबाई प्राप्त होगी। आइए इसके मूल्य की गणना करें।

अज्ञात पैर को खोजने के लिए, आपको कर्ण और ज्ञात पैर का वर्ग करना होगा, पहले से दूसरे को घटाना होगा और वर्गमूल लेना होगा। वर्ग 25 और 9 हैं। उनका अंतर 16 है। वर्गमूल निकालने के बाद, 4 शेष हैं। यह वांछित पैर है।

जीवा 4*2 = 8 (सेमी) के बराबर होगा। अब आप क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र की गणना कर सकते हैं: 8 * 4 \u003d 32 (सेमी 2)।

उत्तर: एस सेकंड 32 सेमी 2 है।

टास्क नंबर 3.सिलेंडर के अक्षीय खंड के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है। यह ज्ञात है कि इसमें 10 सेमी के किनारे वाला घन खुदा हुआ है।

समाधान। सिलेंडर का अक्षीय खंड एक आयत के साथ मेल खाता है जो घन के चार शीर्षों से होकर गुजरता है और इसमें इसके आधारों के विकर्ण होते हैं। घन की भुजा बेलन का जनक है, और आधार का विकर्ण व्यास के साथ मेल खाता है। इन दो मात्राओं का गुणनफल वह क्षेत्र देगा जो आपको समस्या में ज्ञात करने की आवश्यकता है।

व्यास को खोजने के लिए, आपको इस ज्ञान का उपयोग करने की आवश्यकता है कि घन का आधार एक वर्ग है, और इसका विकर्ण एक समबाहु समकोण त्रिभुज बनाता है। इसका कर्ण आकृति का अभीष्ट विकर्ण है।

इसकी गणना करने के लिए, आपको पाइथागोरस प्रमेय के सूत्र की आवश्यकता है। आपको घन की भुजा को वर्गाकार करने की जरूरत है, इसे 2 से गुणा करें और वर्गमूल लें। दस से दूसरी शक्ति एक सौ है। 2 से गुणा दो सौ है। 200 का वर्गमूल 10√2 है।

अनुभाग फिर से 10 और 10√2 भुजाओं वाला एक आयत है। इन मानों को गुणा करके इसके क्षेत्रफल की गणना करना आसान है।

उत्तर। एस सेकंड \u003d 100√2 सेमी 2।