16.1. टेलर श्रृंखला में प्राथमिक कार्यों का विस्तार और
मक्लौरिन
आइए हम दिखाते हैं कि यदि सेट पर एक मनमाना कार्य परिभाषित किया गया है 
, बिंदु के आसपास के क्षेत्र में 
कई व्युत्पन्न हैं और एक शक्ति श्रृंखला का योग है:
तब आप इस श्रृंखला के गुणांक ज्ञात कर सकते हैं।
एक शक्ति श्रृंखला में स्थानापन्न करें 
. फिर 
.
फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें 
:
पर 
:
.
दूसरे व्युत्पन्न के लिए हमें मिलता है:
पर 
:
.
इस प्रक्रिया को जारी रखना एनएक बार हमें मिल जाता है: 
.
इस प्रकार, हमें फॉर्म की एक शक्ति श्रृंखला मिली:
,
इससे कहते है टेलर के पाससमारोह के लिए 
बिंदु के आसपास 
.
टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है मैकलॉरिन श्रृंखलापर 
:
टेलर (मैकलॉरिन) श्रृंखला के शेष भाग को मुख्य श्रृंखला को हटाकर प्राप्त किया जाता है एनपहली शर्तों और के रूप में निरूपित किया जाता है 
. फिर समारोह 
योग के रूप में लिखा जा सकता है एनश्रृंखला के पहले सदस्य 
और शेष 
:,
.
बाकी आमतौर पर है 
विभिन्न सूत्रों में व्यक्त किया।
उनमें से एक लैग्रेंज रूप में है:
, कहाँ पे 
.
.
ध्यान दें कि व्यवहार में मैकलॉरिन श्रृंखला का अधिक बार उपयोग किया जाता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन लिखने के लिए 
एक शक्ति श्रृंखला के योग के रूप में, यह आवश्यक है:
1) मैकलॉरिन (टेलर) श्रृंखला के गुणांक ज्ञात कीजिए;
2) परिणामी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाएं;
3) सिद्ध कीजिए कि दी गई श्रृंखला फलन में अभिसरण करती है 
.
प्रमेय1
(मैकलॉरिन श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त)। मान लीजिए श्रृंखला की अभिसरण त्रिज्या 
. इस श्रृंखला के लिए अंतराल में अभिसरण करने के लिए 
कार्य करना 
, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है: 
निर्दिष्ट अंतराल के भीतर।
प्रमेय 2।यदि किसी फ़ंक्शन के किसी क्रम का व्युत्पन्न है 
कुछ अंतराल में 
निरपेक्ष मान में समान संख्या तक सीमित एम, अर्थात् 
, तो इस अंतराल में फलन 
मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है।
उदाहरण1
.
बिंदु के चारों ओर एक टेलर श्रृंखला में विस्तार करें 
समारोह।
समाधान।
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
अभिसरण क्षेत्र 
.
उदाहरण2
.
फ़ंक्शन का विस्तार करें 
एक टेलर श्रृंखला में एक बिंदु के आसपास 
.
समाधान:
हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का मान पाते हैं 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
इन मानों को एक पंक्ति में रखें। हम पाते हैं:
या 
.
आइए हम इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र खोजें। डी'अलेम्बर्ट परीक्षण के अनुसार, श्रृंखला अभिसरण करती है यदि
.
इसलिए, किसी के लिए 
यह सीमा 1 से कम है, और इसलिए श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र होगा: 
.
आइए बुनियादी प्राथमिक कार्यों की मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार के कई उदाहरणों पर विचार करें। याद रखें कि मैकलॉरिन श्रृंखला:
.
अंतराल पर अभिसरण 
कार्य करना 
.
ध्यान दें कि फ़ंक्शन को एक श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए, यह आवश्यक है:
ए) किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला के गुणांक का पता लगाएं;
बी) परिणामी श्रृंखला के लिए अभिसरण की त्रिज्या की गणना करें;
सी) साबित करें कि परिणामी श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है 
.
उदाहरण 3समारोह पर विचार करें 
.
समाधान।
आइए हम के लिए फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मूल्य की गणना करें 
.
फिर श्रृंखला के संख्यात्मक गुणांक का रूप है:
किसी के लिए भी एन।हम मैकलॉरिन श्रृंखला में पाए गए गुणांक को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: 
परिणामी श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात कीजिए, अर्थात्:
.
इसलिए, श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है 
.
यह श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित होती है 
किसी भी मूल्य के लिए 
, क्योंकि किसी भी अंतराल पर 
समारोह 
और इसके निरपेक्ष मूल्य व्युत्पन्न संख्या द्वारा सीमित हैं 
.
उदाहरण4
.
समारोह पर विचार करें 
.
समाधान.
:
यह देखना आसान है कि सम-आदेश डेरिवेटिव 
, और विषम क्रम के व्युत्पन्न। हम मैकलॉरिन श्रृंखला में पाए गए गुणांक को प्रतिस्थापित करते हैं और विस्तार प्राप्त करते हैं:
आइए हम इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल को खोजें। डी'अलेम्बर्ट के अनुसार:
किसी के लिए भी 
. इसलिए, श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है 
.
यह श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित होती है 
, क्योंकि इसके सभी डेरिवेटिव एक तक सीमित हैं।
उदाहरण5
.
.
समाधान।
आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का मान ज्ञात करें 
:
इस प्रकार, इस श्रृंखला के गुणांक: 
तथा 
, इसलिए:
इसी तरह पिछली श्रृंखला के साथ, अभिसरण का क्षेत्र 
. श्रृंखला समारोह में परिवर्तित होती है 
, क्योंकि इसके सभी डेरिवेटिव एक तक सीमित हैं।
ध्यान दें कि फ़ंक्शन 
विषम घातों में विषम और श्रृंखला विस्तार, फलन 
- सम और सम घातों में श्रृंखला में विस्तार।
उदाहरण6
.
द्विपद श्रृंखला: 
.
समाधान.
आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का मान ज्ञात करें 
:
यह दर्शाता है कि:
हम मैकलॉरिन श्रृंखला में गुणांक के इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और एक शक्ति श्रृंखला में इस फ़ंक्शन का विस्तार प्राप्त करते हैं:
आइए इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात करें:
इसलिए, श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है 
. सीमा बिंदुओं पर 
तथा 
श्रृंखला घातांक के आधार पर अभिसरण हो भी सकती है और नहीं भी 
.
अध्ययन की गई श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है 
कार्य करना 
, यानी श्रृंखला का योग 
पर 
.
उदाहरण7
.
आइए हम मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें 
.
समाधान।
इस फ़ंक्शन को एक श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए, हम द्विपद श्रृंखला का उपयोग करते हैं 
. हम पाते हैं: 
शक्ति श्रृंखला की संपत्ति के आधार पर (एक शक्ति श्रृंखला को इसके अभिसरण के क्षेत्र में एकीकृत किया जा सकता है), हम इस श्रृंखला के बाएं और दाएं भागों का अभिन्न अंग पाते हैं:
इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: 
,
यानी इस श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र अंतराल है 
. आइए हम अंतराल के सिरों पर श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण करें। पर 
. यह श्रृंखला एक हार्मोनिक श्रृंखला है, अर्थात यह विचलन करती है। पर 
हमें एक सामान्य पद के साथ एक संख्या श्रृंखला मिलती है 
.
लाइबनिज श्रृंखला अभिसरण करती है। इस प्रकार, इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र अंतराल है 
.
16.2. अनुमानित गणनाओं में शक्तियों की शक्ति श्रृंखला का अनुप्रयोग
अनुमानित गणनाओं में शक्ति श्रृंखला एक अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। उनकी मदद से, त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिकाएँ, लघुगणक की तालिकाएँ, ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किए जाने वाले अन्य कार्यों के मूल्यों की तालिकाएँ, उदाहरण के लिए, संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी में संकलित की गईं। इसके अलावा, एक शक्ति श्रृंखला में कार्यों का विस्तार उनके सैद्धांतिक अध्ययन के लिए उपयोगी है। अनुमानित गणना में शक्ति श्रृंखला का उपयोग करते समय मुख्य मुद्दा एक श्रृंखला के योग को उसके पहले के योग से प्रतिस्थापित करते समय त्रुटि का अनुमान लगाने का प्रश्न है एनसदस्य
दो मामलों पर विचार करें:
फ़ंक्शन को एक वैकल्पिक श्रृंखला में विस्तारित किया गया है;
फ़ंक्शन को निरंतर-चिह्न श्रृंखला में विस्तारित किया गया है।
प्रत्यावर्ती श्रृंखला का उपयोग करके गणना
चलो समारोह 
एक वैकल्पिक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित। फिर, एक विशिष्ट मान के लिए इस फ़ंक्शन की गणना करते समय 
हमें एक संख्या श्रंखला मिलती है जिसमें हम लाइबनिज परीक्षण लागू कर सकते हैं। इस मानदंड के अनुसार, यदि एक श्रृंखला के योग को उसके पहले के योग से बदल दिया जाता है एनसदस्यों, तो निरपेक्ष त्रुटि इस श्रृंखला के शेष के पहले पद से अधिक नहीं है, अर्थात्: 
.
उदाहरण8
.
गणना 
0.0001 की सटीकता के साथ।
समाधान.
हम मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करेंगे 
, रेडियन में कोण के मान को प्रतिस्थापित करने पर:
यदि हम दी गई सटीकता के साथ श्रृंखला के पहले और दूसरे सदस्यों की तुलना करते हैं, तो: .
तीसरा विस्तार अवधि:
निर्दिष्ट गणना सटीकता से कम। इसलिए, गणना करने के लिए 
यह श्रृंखला के दो पदों को छोड़ने के लिए पर्याप्त है, अर्थात।
.
इस तरह 
.
उदाहरण9
.
गणना 
0.001 की सटीकता के साथ।
समाधान.
हम द्विपद श्रेणी सूत्र का प्रयोग करेंगे। इसके लिए हम लिखते हैं 
जैसा: 
.
इस अभिव्यक्ति में 
,
आइए श्रृंखला के प्रत्येक पद की तुलना उस सटीकता से करें जो दी गई है। यह स्पष्ट है कि 
. इसलिए, गणना करने के लिए 
यह श्रृंखला के तीन सदस्यों को छोड़ने के लिए पर्याप्त है।
या 
.
साइन-पॉजिटिव सीरीज़ का उपयोग करके गणना
उदाहरण10
.
संख्या की गणना करें 
0.001 की सटीकता के साथ।
समाधान.
एक समारोह के लिए एक पंक्ति में 
विकल्प 
. हम पाते हैं:
आइए हम उस त्रुटि का अनुमान लगाते हैं जो तब उत्पन्न होती है जब श्रृंखला के योग को पहले के योग से बदल दिया जाता है 
सदस्य आइए स्पष्ट असमानता को लिखें:
यानी 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
समस्या की स्थिति के अनुसार, आपको खोजने की जरूरत है एनजैसे कि निम्नलिखित असमानता धारण करती है: 
या 
.
यह जांचना आसान है कि कब एन= 6:
.
इसलिये, 
.
उदाहरण11
.
गणना 
0.0001 की सटीकता के साथ।
समाधान.
ध्यान दें कि लघुगणक की गणना करने के लिए, कोई फ़ंक्शन के लिए श्रृंखला लागू कर सकता है 
, लेकिन यह श्रृंखला बहुत धीमी गति से अभिसरण करती है और दी गई सटीकता को प्राप्त करने के लिए 9999 शब्दों को लेना होगा! इसलिए, लॉगरिदम की गणना करने के लिए, एक नियम के रूप में, फ़ंक्शन के लिए एक श्रृंखला का उपयोग किया जाता है 
, जो अंतराल पर अभिसरण करता है 
.
गणना करना 
इस पंक्ति के साथ। होने देना 
, फिर 
.
इसलिये, 
,
गणना करने के लिए 
दी गई सटीकता के साथ, पहले चार शब्दों का योग लें: 
.
शेष पंक्ति 
रद्द करें। आइए त्रुटि का अनुमान लगाएं। जाहिर सी बात है 
या 
.
इस प्रकार, गणना के लिए उपयोग की जाने वाली श्रृंखला में, फ़ंक्शन के लिए श्रृंखला में 9999 के बजाय केवल पहले चार शब्द लेने के लिए पर्याप्त था 
.
स्व-निदान के लिए प्रश्न
1. टेलर श्रृंखला क्या है?
2. मैकलॉरिन के पास किस प्रकार की श्रृंखला थी?
3. टेलर श्रेणी में किसी फलन के प्रसार पर एक प्रमेय बनाइए।
4. मुख्य कार्यों के मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार लिखिए।
5. मानी गई श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्रों को इंगित करें।
6. घात श्रेणी का उपयोग करके अनुमानित गणनाओं में त्रुटि का आकलन कैसे करें?
यदि फ़ंक्शन f(x) में बिंदु a वाले किसी अंतराल पर सभी ऑर्डर के व्युत्पन्न हैं, तो टेलर सूत्र इस पर लागू किया जा सकता है:
,
कहाँ पे आर.एन.- तथाकथित अवशिष्ट पद या श्रृंखला का शेष, लैग्रेंज सूत्र का उपयोग करके इसका अनुमान लगाया जा सकता है:
, जहां संख्या x x और a के बीच स्थित है।
समारोह प्रवेश नियम:
अगर कुछ मूल्य के लिए एक्स आर.एन.→0 पर एन→∞, फिर सीमा में टेलर सूत्र इस मान के लिए अभिसरण में बदल जाता है टेलर श्रृंखला:
,
इस प्रकार, फलन f(x) को विचार बिंदु x पर एक टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है यदि:
1) इसमें सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं;
2) निर्मित श्रृंखला इस बिंदु पर अभिसरण करती है।
a = 0 के लिए हमें एक श्रंखला मिलती है जिसे कहा जाता है मैकलॉरिन के पास:
,
मैकलॉरिन श्रृंखला में सबसे सरल (प्राथमिक) कार्यों का विस्तार:
घातीय कार्य
, आर = ∞
त्रिकोणमितीय फलन 
, आर = ∞ 
, आर = ∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
फलन actgx x की घातों में विस्तारित नहीं होता, क्योंकि सीटीजी0=∞
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य
लघुगणक कार्य
, -1
द्विपद श्रृंखला
.
उदाहरण 1। एक शक्ति श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें एफ (एक्स) = 2एक्स.
समाधान. आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मूल्यों को खोजें एक्स=0
एफ (एक्स) = 2एक्स, एफ( 0)
= 2 0
=1;
च"(एक्स) = 2एक्सएलएन2, एफ"( 0)
= 2 0
एलएन2 = एलएन2;
च""(एक्स) = 2एक्सएलएन 2 2, एफ""( 0)
= 2 0
लघुगणक 2 2 = लघुगणक 2 2;
…
एफ (एन) (एक्स) = 2एक्सएलएन एन 2, च (एन) ( 0)
= 2 0
एलएन एन 2=ln एन 2.
डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को टेलर श्रृंखला सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या अनंत के बराबर है, इसलिए यह विस्तार -∞ . के लिए मान्य है<एक्स<+∞.
उदाहरण # 2। टेलर श्रृंखला को घातों में लिखिए ( एक्स+4) समारोह के लिए एफ (एक्स) =इ एक्स.
समाधान. फलन e . के अवकलज ज्ञात करना एक्सऔर बिंदु पर उनके मूल्य एक्स=-4.
एफ (एक्स)= ई एक्स, एफ(-4)
= ई -4
;
च"(एक्स)= ई एक्स, एफ"(-4)
= ई -4
;
च""(एक्स)= ई एक्स, एफ""(-4)
= ई -4
;
…
एफ (एन) (एक्स)= ई एक्स, च (एन) ( -4)
= ई -4
.
इसलिए, फ़ंक्शन की वांछित टेलर श्रृंखला का रूप है:
यह विस्तार -∞ . के लिए भी मान्य है<एक्स<+∞.
उदाहरण #3। फ़ंक्शन का विस्तार करें एफ (एक्स)= एलएन एक्सडिग्री द्वारा एक श्रृंखला में ( एक्स- 1),
(अर्थात एक टेलर श्रृंखला में बिंदु के आसपास के क्षेत्र में एक्स=1).
समाधान. हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पाते हैं।
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1)एन-1 (एन-1)!
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित टेलर श्रृंखला प्राप्त करते हैं:
डी'अलेम्बर्ट के परीक्षण की सहायता से, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि श्रृंखला ½x-1½ पर अभिसरण करती है।<1 . Действительно,
श्रृंखला अभिसरण करती है यदि ½ एक्स- 1½<1, т.е. при 0<एक्स<2. При एक्स=2 हमें एक प्रत्यावर्ती श्रेणी प्राप्त होती है जो लाइबनिज परीक्षण की शर्तों को पूरा करती है। x = 0 के लिए फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है। इस प्रकार, टेलर श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र आधा खुला अंतराल (0; 2] है।
उदाहरण # 4। एक शक्ति श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें। उदाहरण संख्या 5. मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें। टिप्पणी
.
यह विधि एक शक्ति श्रृंखला में एक समारोह के विस्तार की विशिष्टता पर प्रमेय पर आधारित है। इस प्रमेय का सार यह है कि एक ही बिंदु के पड़ोस में, दो अलग-अलग शक्ति श्रृंखला प्राप्त नहीं की जा सकती हैं जो एक ही कार्य में परिवर्तित हो जाती हैं, चाहे इसका विस्तार कैसे भी किया जाए। उदाहरण संख्या 5ए। मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें, अभिसरण के क्षेत्र को इंगित करें। भिन्न 3/(1-3x) को 3x के हर के साथ एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के रूप में देखा जा सकता है यदि |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
उदाहरण संख्या 6. टेलर श्रृंखला में बिंदु x = 3 के आस-पास फलन का विस्तार करें। उदाहरण संख्या 7. फ़ंक्शन ln(x+2) की घातों (x -1) में एक टेलर श्रृंखला लिखें। उदाहरण संख्या 8. बिंदु x =2 के चारों ओर टेलर श्रृंखला में फलन f(x)=sin(πx/4) का विस्तार करें। उदाहरण 1। 0.01 के भीतर ln(3) की गणना करें। उदाहरण # 2। निकटतम 0.0001 की गणना करें। उदाहरण #3। समाकल ∫ 0 1 4 sin (x) x से 10 -5 के भीतर परिकलित करें। उदाहरण # 4। समाकल 0 1 4 e x 2 से 0.001 के भीतर परिकलित करें।
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इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट करने की आवश्यकता है, अधिमानतः टैग के बीच मैथजैक्स को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, थर्ड-पार्टी जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया विजेट जोड़ें, इसमें ऊपर प्रस्तुत लोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत में (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट को एसिंक्रोनस रूप से लोड किया गया है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX, और ASCIIMathML मार्कअप सिंटैक्स सीखें और आप अपने वेब पेजों में गणित फ़ार्मुलों को एम्बेड करने के लिए तैयार हैं। कोई भी फ्रैक्टल एक निश्चित नियम के अनुसार बनाया जाता है, जिसे लगातार असीमित बार लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृति कहा जाता है। मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृति एल्गोरिथ्म काफी सरल है: मूल घन 1 पक्ष के साथ इसके चेहरे के समानांतर विमानों द्वारा 27 बराबर क्यूब्स में विभाजित किया गया है। एक केंद्रीय घन और फलकों के साथ लगे 6 घन इसमें से हटा दिए जाते हैं। यह एक सेट निकलता है जिसमें 20 शेष छोटे क्यूब्स होते हैं। इन घनों में से प्रत्येक के साथ ऐसा करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक सेट प्राप्त होता है। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हुए, हमें मेंजर स्पंज मिलता है। उच्च गणित के छात्रों को इस बात की जानकारी होनी चाहिए कि हमें दी गई श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित एक निश्चित शक्ति श्रृंखला का योग निरंतर और असीमित संख्या में विभेदित फलन होता है। प्रश्न उठता है: क्या यह दावा करना संभव है कि दिया गया मनमाना फलन f(x) कुछ घात श्रेणी का योग है? अर्थात्, किन परिस्थितियों में फलन f(x) को घात श्रेणी द्वारा निरूपित किया जा सकता है? इस प्रश्न का महत्व इस तथ्य में निहित है कि फ़ंक्शन f(x) को लगभग घात श्रृंखला के पहले कुछ पदों के योग से, यानी बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित करना संभव है। कुछ समस्याओं को हल करते समय एक सरल अभिव्यक्ति द्वारा एक फ़ंक्शन का ऐसा प्रतिस्थापन - एक बहुपद - भी सुविधाजनक है, अर्थात्: इंटीग्रल को हल करते समय, गणना करते समय, आदि। यह साबित हो गया है कि कुछ फ़ंक्शन f(x) के लिए, जिसमें (n + 1) वें क्रम तक के डेरिवेटिव की गणना की जा सकती है, पिछले एक सहित, कुछ के पड़ोस (α - R; x 0 + R) में गणना की जा सकती है। बिंदु x = α सूत्र: इस सूत्र का नाम प्रसिद्ध वैज्ञानिक ब्रुक टेलर के नाम पर रखा गया है। पिछली श्रृंखला से प्राप्त श्रृंखला को मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है: वह नियम जो मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार करना संभव बनाता है: आर एन (एक्स) -> 0 एन के लिए -> अनंत। यदि कोई मौजूद है, तो उसमें फ़ंक्शन f(x) मैकलॉरिन श्रृंखला के योग के साथ मेल खाना चाहिए। अब व्यक्तिगत कार्यों के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला पर विचार करें। 1. तो, पहला f(x) = e x होगा। बेशक, इसकी विशेषताओं के अनुसार, इस तरह के फ़ंक्शन में बहुत अलग ऑर्डर के डेरिवेटिव होते हैं, और f (k) (x) \u003d e x, जहां k सब कुछ के बराबर होता है आइए हम x \u003d 0 को प्रतिस्थापित करें। हमें f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1.2 ... पूर्वगामी के आधार पर, श्रृंखला e x इस तरह दिखेगी: 2. फलन f(x) = sin x के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला। तुरंत स्पष्ट करें कि सभी अज्ञात के लिए फ़ंक्शन में f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x +) के अलावा डेरिवेटिव होंगे। 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), जहां k किसी भी प्राकृत संख्या के बराबर है। अर्थात्, सरल गणना करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि f(x) = sin x की श्रंखला इस प्रकार दिखाई देगी: 3. अब आइए फलन f(x) = cos x पर विचार करने का प्रयास करें। इसमें सभी अज्ञात के लिए मनमानी क्रम का व्युत्पन्न है, और |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так: इसलिए, हमने सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को सूचीबद्ध किया है जिन्हें मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, लेकिन वे कुछ कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला द्वारा पूरक हैं। अब हम उन्हें सूचीबद्ध करेंगे। यह भी ध्यान देने योग्य है कि टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला उच्च गणित में श्रृंखला को हल करने के अभ्यास का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। तो, टेलर श्रृंखला। 1. f-ii f (x) = ln (1 + x) के लिए पहली पंक्ति होगी। पिछले उदाहरणों की तरह, हमें f (x) = ln (1 + x) दिया गया है, हम मैकलॉरिन श्रृंखला के सामान्य रूप का उपयोग करके एक श्रृंखला जोड़ सकते हैं। हालांकि, इस फ़ंक्शन के लिए, मैकलॉरिन श्रृंखला को और अधिक सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। एक निश्चित ज्यामितीय श्रृंखला को एकीकृत करने के बाद, हमें ऐसे नमूने के f (x) = ln (1 + x) के लिए एक श्रृंखला मिलती है: 2. और दूसरा, जो हमारे लेख में अंतिम होगा, f (x) \u003d arctg x के लिए एक श्रृंखला होगी। अंतराल [-1; 1] से संबंधित x के लिए, विस्तार मान्य है: बस इतना ही। इस लेख में, उच्च गणित में, विशेष रूप से, आर्थिक और तकनीकी विश्वविद्यालयों में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला पर विचार किया गया था। व्यावहारिक कौशल के प्रशिक्षण के लिए साइट पर टेलर, मैकलॉरिन और लॉरेंट की एक श्रृंखला में एक समारोह का अपघटन। किसी फ़ंक्शन का यह श्रृंखला विस्तार गणितज्ञों को किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में किसी बिंदु पर अनुमानित मूल्य का अनुमान लगाने का एक विचार देता है। ब्रेडिस तालिका का उपयोग करने की तुलना में ऐसे फ़ंक्शन मान की गणना करना बहुत आसान है, जो कंप्यूटिंग के युग में इतना पुराना है। किसी फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने का अर्थ है इस श्रृंखला के रैखिक कार्यों के सामने गुणांक की गणना करना और इसे सही रूप में लिखना। छात्र इन दोनों श्रृंखलाओं को भ्रमित करते हैं, यह नहीं समझते कि सामान्य मामला क्या है और दूसरे का विशेष मामला क्या है। हम आपको एक बार और सभी के लिए याद दिलाते हैं, मैकलॉरिन श्रृंखला टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है, यानी यह टेलर श्रृंखला है, लेकिन बिंदु x = 0 पर। ज्ञात कार्यों के विस्तार के सभी संक्षिप्त रिकॉर्ड, जैसे कि ई ^x, sin(x), Cos(x) और अन्य, ये टेलर श्रृंखला में विस्तार हैं, लेकिन तर्क के लिए बिंदु 0 पर हैं। एक जटिल तर्क के कार्यों के लिए, लॉरेंट श्रृंखला TFKT में सबसे आम समस्या है, क्योंकि यह दो-तरफा अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करती है। यह दो पंक्तियों का योग है। हमारा सुझाव है कि आप सीधे साइट साइट पर अपघटन का एक उदाहरण देखें, किसी भी संख्या के साथ "उदाहरण" पर क्लिक करके और फिर "समाधान" बटन पर क्लिक करके ऐसा करना बहुत आसान है। यह एक श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के इस विस्तार के लिए है कि प्रमुख श्रृंखला जुड़ी हुई है, जो मूल कार्य को एक निश्चित क्षेत्र में कोर्डिनेट अक्ष के साथ सीमित करती है, यदि चर एब्सिस्सा क्षेत्र से संबंधित है। वेक्टर विश्लेषण गणित में एक और दिलचस्प अनुशासन के साथ तुलना में आता है। चूंकि प्रत्येक शब्द की जांच की जानी चाहिए, इसलिए प्रक्रिया के लिए बहुत समय की आवश्यकता होती है। किसी भी टेलर श्रृंखला को x0 को शून्य से बदलकर मैकलॉरिन श्रृंखला के साथ जोड़ा जा सकता है, लेकिन मैकलॉरिन श्रृंखला के लिए, टेलर श्रृंखला का उल्टा प्रतिनिधित्व कभी-कभी स्पष्ट नहीं होता है। चाहे कैसे भी इसे अपने शुद्ध रूप में करने की आवश्यकता न हो, यह सामान्य आत्म-विकास के लिए दिलचस्प है। प्रत्येक लॉरेंट श्रृंखला जेड-ए की पूर्णांक शक्तियों में दो-तरफा अनंत शक्ति श्रृंखला से मेल खाती है, दूसरे शब्दों में, एक ही टेलर प्रकार की एक श्रृंखला, लेकिन गुणांक की गणना में थोड़ा अलग है। हम कई सैद्धांतिक गणनाओं के बाद, थोड़ी देर बाद लॉरेंट श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र के बारे में बात करेंगे। पिछली शताब्दी की तरह, एक श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का चरणबद्ध विस्तार केवल एक सामान्य हर में शर्तों को कम करके प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि हर में कार्य गैर-रैखिक हैं। कार्यात्मक मूल्य की अनुमानित गणना के लिए समस्याओं के निर्माण की आवश्यकता होती है। इस तथ्य के बारे में सोचें कि जब टेलर श्रृंखला का तर्क एक रैखिक चर है, तो विस्तार कई चरणों में होता है, लेकिन एक पूरी तरह से अलग तस्वीर, जब एक जटिल या गैर-रेखीय फ़ंक्शन फ़ंक्शन के विस्तार के तर्क के रूप में कार्य करता है, तो एक शक्ति श्रृंखला में इस तरह के एक समारोह का प्रतिनिधित्व करने की प्रक्रिया स्पष्ट है, क्योंकि, इस तरह, गणना करना आसान है, यद्यपि अनुमानित, लेकिन परिभाषा के क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर मूल्य, न्यूनतम त्रुटि के साथ आगे की गणना पर प्रभाव। यह मैकलॉरिन श्रृंखला पर भी लागू होता है। जब शून्य बिंदु पर फ़ंक्शन की गणना करना आवश्यक हो। हालाँकि, लॉरेंट श्रृंखला को यहाँ काल्पनिक इकाइयों के साथ एक समतल विस्तार द्वारा दर्शाया गया है। साथ ही, सफलता के बिना समग्र प्रक्रिया के दौरान समस्या का सही समाधान नहीं होगा। गणित में, यह दृष्टिकोण ज्ञात नहीं है, लेकिन यह वस्तुनिष्ठ रूप से मौजूद है। नतीजतन, आप तथाकथित बिंदुवार उपसमुच्चय के निष्कर्ष पर आ सकते हैं, और एक श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के विस्तार में, आपको इस प्रक्रिया के लिए ज्ञात विधियों को लागू करने की आवश्यकता होती है, जैसे कि डेरिवेटिव के सिद्धांत को लागू करना। एक बार फिर हम उस शिक्षक की सत्यता के प्रति आश्वस्त हैं, जिसने बाद की गणनाओं के परिणामों के बारे में अपनी धारणाएँ बनाईं। आइए ध्यान दें कि गणित के सभी सिद्धांतों के अनुसार प्राप्त टेलर श्रृंखला मौजूद है और संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर परिभाषित है, हालांकि, वेबसाइट सेवा के प्रिय उपयोगकर्ता, मूल फ़ंक्शन के रूप को मत भूलना, क्योंकि यह हो सकता है कि प्रारंभ में फ़ंक्शन के डोमेन को सेट करना आवश्यक है, अर्थात, उन बिंदुओं को लिखना और बाहर करना, जिन पर फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के डोमेन में परिभाषित नहीं है। तो बोलने के लिए, यह समस्या को हल करने में आपकी तेज़ी दिखाएगा। तर्क के शून्य मान के साथ मैकलॉरिन श्रृंखला का निर्माण जो कहा गया है उसका अपवाद नहीं होगा। उसी समय, किसी ने फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन को खोजने की प्रक्रिया को रद्द नहीं किया, और आपको इस गणितीय क्रिया को पूरी गंभीरता के साथ करना चाहिए। यदि लॉरेंट श्रृंखला में मुख्य भाग होता है, तो पैरामीटर "ए" को एक पृथक एकवचन बिंदु कहा जाएगा, और लॉरेंट श्रृंखला को रिंग में विस्तारित किया जाएगा - यह इसके भागों के अभिसरण के क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन है, जिसमें से संबंधित प्रमेय का पालन करेंगे। लेकिन सब कुछ उतना मुश्किल नहीं है जितना पहली नज़र में एक अनुभवहीन छात्र को लग सकता है। केवल टेलर श्रृंखला का अध्ययन करने के बाद, कोई भी लॉरेंट श्रृंखला को आसानी से समझ सकता है - संख्याओं के स्थान के विस्तार के लिए एक सामान्यीकृत मामला। किसी फ़ंक्शन का किसी श्रेणी में विस्तार केवल फ़ंक्शन के डोमेन में एक बिंदु पर ही किया जा सकता है। ऐसे कार्यों के गुणों को ध्यान में रखना चाहिए, उदाहरण के लिए, आवधिकता या अनंत भिन्नता। हम यह भी सुझाव देते हैं कि आप टेलर श्रृंखला के प्राथमिक कार्यों में तैयार किए गए विस्तार की तालिका का उपयोग करें, क्योंकि एक फ़ंक्शन को दर्जनों पावर श्रृंखलाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है जो एक दूसरे से भिन्न होते हैं, जिसे हमारे ऑनलाइन के उपयोग से देखा जा सकता है। कैलकुलेटर। मैकलॉरिन की ऑनलाइन श्रृंखला यह निर्धारित करने के लिए पहले से कहीं अधिक आसान है कि क्या आप अद्वितीय साइट सेवा का उपयोग करते हैं, आपको बस सही लिखित फ़ंक्शन दर्ज करने की आवश्यकता है और आपको प्रस्तुत उत्तर कुछ ही सेकंड में प्राप्त होगा, यह सटीक और एक मानक लिखित रूप में गारंटीकृत होगा . आप शिक्षक को डिलीवरी के लिए परिणाम को तुरंत एक साफ प्रति में फिर से लिख सकते हैं। यह सही होगा कि पहले रिंगों में विचाराधीन फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मकता का निर्धारण किया जाए, और फिर स्पष्ट रूप से कहा जाए कि इस तरह के सभी रिंगों में लॉरेंट श्रृंखला में इसका विस्तार किया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण क्षण नकारात्मक डिग्री वाले लॉरेंट श्रृंखला के सदस्यों की दृष्टि खोना नहीं है। इस पर जितना हो सके ध्यान दें। किसी फ़ंक्शन के पूर्णांक घातों में एक श्रृंखला में विस्तार पर लॉरेंट के प्रमेय का अच्छा उपयोग करें।
समाधान. अपघटन में (1) हम x को -x 2 से प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है:
, -∞
समाधान. हमारे पास है
सूत्र (4) का प्रयोग करके हम लिख सकते हैं:
सूत्र -x में x के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
यहाँ से हम पाते हैं: ln(1+x)-ln(1-x) = -
कोष्ठक का विस्तार करने, श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने और समान पदों को कम करने पर, हम प्राप्त करते हैं
. यह श्रृंखला अंतराल (-1;1) में अभिसरण करती है क्योंकि यह दो श्रृंखलाओं से प्राप्त होती है, जिनमें से प्रत्येक इस अंतराल में अभिसरण करती है।
सूत्र (1)-(5) का उपयोग टेलर श्रृंखला में संबंधित कार्यों का विस्तार करने के लिए भी किया जा सकता है, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक शक्तियों में कार्यों के विस्तार के लिए ( हा) ऐसा करने के लिए, किसी एक फ़ंक्शन (1) - (5) को प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए फ़ंक्शन पर ऐसे समान परिवर्तन करना आवश्यक है, जिसमें इसके बजाय एक्सलागत कश्मीर ( हा) m, जहाँ k एक अचर संख्या है, m एक धनात्मक पूर्णांक है। चर को बदलना अक्सर सुविधाजनक होता है टी=हाऔर मैकलॉरिन श्रृंखला में टी के संबंध में परिणामी फ़ंक्शन का विस्तार करें।
समाधान। पहले हम 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , पाते हैं।
प्राथमिक करने के लिए:
अभिसरण क्षेत्र के साथ |x|< 1/3.
समाधान. टेलर श्रृंखला की परिभाषा का उपयोग करके इस समस्या को पहले की तरह हल किया जा सकता है, जिसके लिए कार्यों के व्युत्पन्न और उनके मूल्यों को खोजना आवश्यक है एक्स=3. हालांकि, मौजूदा अपघटन (5) का उपयोग करना आसान होगा:
=
परिणामी श्रृंखला या -3 . पर अभिसरण करती है
समाधान.
श्रृंखला , या -2 . पर अभिसरण करती है< x < 5.
समाधान. आइए प्रतिस्थापन करें t=x-2:
विस्तार (3) का उपयोग करते हुए, जिसमें हम x के लिए / 4 t प्रतिस्थापित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:
परिणामी श्रृंखला -∞ . पर दिए गए फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणना
अनुमानित गणनाओं में पावर श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उनकी मदद से, दी गई सटीकता के साथ, आप जड़ों के मूल्यों, त्रिकोणमितीय कार्यों, संख्याओं के लघुगणक, निश्चित समाकलन की गणना कर सकते हैं। श्रृंखला का उपयोग अवकल समीकरणों के एकीकरण में भी किया जाता है।
एक शक्ति श्रृंखला में फ़ंक्शन के विस्तार पर विचार करें:
किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करने के लिए एक्स, संकेतित श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र से संबंधित, पहला एनसदस्य ( एनएक परिमित संख्या है), और शेष पदों को छोड़ दिया जाता है:
प्राप्त अनुमानित मूल्य की त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, छोड़े गए अवशिष्ट r n (x) का अनुमान लगाना आवश्यक है। इसके लिए, निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है:
समाधान. आइए अपघटन का उपयोग करें, जहां x=1/2 (पिछले विषय में उदाहरण 5 देखें):
आइए देखें कि क्या हम विस्तार के पहले तीन पदों के बाद शेष को छोड़ सकते हैं, इसके लिए हम एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का उपयोग करके इसका मूल्यांकन करते हैं:
तो हम इस शेष को त्याग सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं
समाधान. आइए द्विपद श्रृंखला का उपयोग करें। चूँकि 5 3 130 का निकटतम पूर्णांक घन है, इसलिए 130 की संख्या को 130=5 3 +5 के रूप में निरूपित करने की सलाह दी जाती है। 
चूंकि लीबनिज़ परीक्षण को संतुष्ट करने वाली प्राप्त साइन-अल्टरनेटिंग श्रृंखला का चौथा कार्यकाल पहले से ही आवश्यक सटीकता से कम है:
, इसलिए इसे और इसके बाद की शर्तों को खारिज किया जा सकता है।
न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके कई व्यावहारिक रूप से आवश्यक निश्चित या अनुचित इंटीग्रल की गणना नहीं की जा सकती है, क्योंकि इसका अनुप्रयोग एक एंटीडेरिवेटिव खोजने के साथ जुड़ा हुआ है, अक्सर प्राथमिक कार्यों में अभिव्यक्ति नहीं होती है। ऐसा भी होता है कि एक एंटीडेरिवेटिव खोजना संभव है, लेकिन अनावश्यक रूप से श्रमसाध्य है। हालांकि, अगर एक शक्ति श्रृंखला में एकीकृत का विस्तार किया जाता है, और एकीकरण सीमा इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित होती है, तो पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ अभिन्न की अनुमानित गणना संभव है।
समाधान. तदनुरूपी अनिश्चित समाकल को प्राथमिक फलनों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, अर्थात्। एक "असंभव अभिन्न" है। न्यूटन-लीबनिज सूत्र यहां लागू नहीं किया जा सकता है। आइए हम लगभग अभिन्न की गणना करें।
पाप के लिए शृंखला द्वारा पद को विभाजित करना एक्सपर एक्स, हम पाते हैं: 
इस श्रृंखला शब्द को शब्द से एकीकृत करना (यह संभव है, क्योंकि एकीकरण की सीमाएं इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित हैं), हम प्राप्त करते हैं:
चूंकि परिणामी श्रृंखला लाइबनिज़ की शर्तों को संतुष्ट करती है और दी गई सटीकता के साथ वांछित मूल्य प्राप्त करने के लिए पहले दो शब्दों का योग लेने के लिए पर्याप्त है।
इस प्रकार, हम पाते हैं 
.
समाधान.
. आइए देखें कि क्या हम परिणामी श्रृंखला के दूसरे पद के बाद शेष को छोड़ सकते हैं।
0.0001<0.001. Следовательно, 
.
