Gauso metodas 3 įjungtas. Gauso metodas manekenams: lengvai pašalinkite šlamštą

Gauso metodas yra paprastas! Kodėl? Garsus vokiečių matematikas Johanas Carlas Friedrichas Gaussas per savo gyvenimą gavo pripažinimą kaip didžiausią visų laikų matematiką, genijų ir netgi pravardę „Matematikos karalius“. Ir viskas išradinga, kaip žinote, yra paprasta! Beje, į pinigus patenka ne tik čiulptukai, bet ir genijai – Gauso portretas puikavosi ant 10 Vokietijos markių kupiūros (iki euro įvedimo), o Gaussas iki šiol paslaptingai šypsosi vokiečiams iš paprastų pašto ženklų.

Gauso metodas yra paprastas tuo, kad Jį įvaldyti PAKAKNA VENTKOKĖS MOKINIO ŽINIŲ. Turi mokėti pridėti ir dauginti! Neatsitiktinai pasirenkamųjų matematikos dalykų mokytojai dažnai svarsto nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodą. Paradoksalu, tačiau Gauso metodas mokiniams sukelia daugiausiai sunkumų. Nieko stebėtino – viskas apie metodiką, o aš pabandysiu prieinama forma papasakoti apie metodo algoritmą.

Pirmiausia šiek tiek susisteminame žinias apie tiesinių lygčių sistemas. Tiesinių lygčių sistema gali:

1) Turėkite unikalų sprendimą.
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Neturi sprendimų (būti nesuderinamas).

Gauso metodas yra galingiausias ir universaliausias sprendimas ieškant sprendimo bet koks tiesinių lygčių sistemos. Kaip prisimename Cramerio taisyklė ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Nežinomų nuoseklaus pašalinimo metodas šiaip veda mus prie atsakymo! Šioje pamokoje dar kartą apsvarstysime Gauso metodą atvejui Nr. 1 (vienintelis sistemos sprendimas), straipsnis skirtas 2-3 punktų situacijoms. Atkreipiu dėmesį, kad pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai.

Iš pamokos grįžkime prie paprasčiausios sistemos Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?
ir išspręskite jį Gauso metodu.

Pirmas žingsnis – rašyti išplėstinė matricų sistema:
. Kokiu principu fiksuojami koeficientai, manau, visi mato. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tik perbrauktas dizainas.

nuoroda :Rekomenduoju prisiminti terminai tiesinė algebra. Sistemos matrica yra matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų, šiame pavyzdyje sistemos matrica: . Išplėstinė sistemos matrica yra ta pati sistemos matrica ir laisvųjų terminų stulpelis, šiuo atveju: . Bet kuri iš matricų gali būti vadinama tiesiog matrica dėl trumpumo.

Parašius išplėstinę sistemos matricą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarios transformacijos.

Yra šios elementarios transformacijos:

1) Stygos matricos gali pertvarkyti vietos. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite saugiai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes:

2) Jei matricoje yra (arba atsirado) proporcingų (ypatingu atveju - identiškų) eilučių, tai seka Ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą . Šioje matricoje paskutinės trys eilutės yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: .

3) Jei transformacijų metu matricoje atsirado nulinė eilutė, tai taip pat seka Ištrinti. Aš, žinoma, nebrėžiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje tik nuliai.

4) Matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti) bet kuriam skaičiui ne nulis. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą. Čia patartina pirmąją eilutę padalyti iš -3, o antrąją eilutę padauginti iš 2: . Šis veiksmas yra labai naudingas, nes supaprastina tolesnius matricos pakeitimus.

5) Ši transformacija sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų nėra ir nieko sudėtingo. Į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio. Apsvarstykite mūsų matricą iš praktinio pavyzdžio: . Pirmiausia labai detaliai aprašysiu transformaciją. Padauginkite pirmąją eilutę iš -2: , ir prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš -2: . Dabar pirmoji eilutė gali būti padalinta "atgal" iš -2: . Kaip matote, eilutė, kuri yra PRIDĖTA LI – nepasikeitė. Yra visada eilutė pakeista, PRIE KURIOS PRIDĖTA UT.

Praktiškai, žinoma, jie netapo taip išsamiai, bet rašo trumpiau:

Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Linija paprastai padauginama žodžiu arba juodraštyje, o protiniai skaičiavimų eiga yra maždaug tokia:

„Perrašau matricą ir perrašau pirmą eilutę: »

Pirmas stulpelis pirmas. Žemiau turiu gauti nulį. Todėl aukščiau esantį vienetą padauginu iš -2:, o pirmąjį pridedu prie antros eilutės: 2 + (-2) = 0. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Dabar antra stulpelis. Virš -1 kartas -2: . Pirmąją pridedu į antrą eilutę: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau į antrą eilutę: »

„Ir trečia kolona. Virš -5 kartus -2: . Pirmą eilutę pridedu prie antros eilutės: -7 + 10 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

Prašome gerai pagalvoti apie šį pavyzdį ir suprasti nuoseklaus skaičiavimo algoritmą, jei tai suprantate, tada Gauso metodas yra praktiškai „kišenėje“. Bet, žinoma, mes vis dar dirbame su šia pertvarka.

Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio

! DĖMESIO: apgalvotos manipuliacijos negali naudoti, jei jums pasiūloma užduotis, kur matricos pateikiamos „pačios“. Pavyzdžiui, su "klasika" matricos jokiu būdu neturėtumėte pertvarkyti ko nors matricų viduje!

Grįžkime prie mūsų sistemos. Ji praktiškai suskaidyta į dalis.

Parašykime padidintą sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, sumažinkime ją iki laiptuotas vaizdas:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Ir dar: kodėl pirmąją eilutę dauginame iš -2? Norint gauti nulį apačioje, o tai reiškia, kad reikia atsikratyti vieno kintamojo antroje eilutėje.

(2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3.

Elementariųjų transformacijų paskirtis – konvertuoti matricą į žingsninę formą: . Kurdami užduotį, jie paprastu pieštuku tiesiogiai nubrėžia „kopėčias“, taip pat apjuosite skaičius, esančius ant „laiptelių“. Pats terminas „pakopinis vaizdas“ nėra visiškai teorinis, mokslinėje ir mokomojoje literatūroje jis dažnai vadinamas trapecinis vaizdas arba trikampis vaizdas.

Elementariųjų transformacijų rezultate gavome lygiavertis originali lygčių sistema:

Dabar sistemą reikia „atsukti“ priešinga kryptimi – iš apačios į viršų šis procesas vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Apatinėje lygtyje jau turime galutinį rezultatą: .

Apsvarstykite pirmąją sistemos lygtį ir pakeiskite ja jau žinomą „y“ reikšmę:

Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemai išspręsti reikalingas Gauso metodas.

1 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą:

Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo eigoje:

Ir kartoju, mūsų tikslas yra suvesti matricą į laiptuotą formą naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko pradėti imtis veiksmų?

Pirmiausia pažiūrėkite į viršutinį kairįjį skaičių:

Čia turėtų būti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks ir -1 (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip tradiciškai susiklostė taip, kad ten dažniausiai dedamas vienetas. Kaip organizuoti padalinį? Mes žiūrime į pirmąjį stulpelį - turime baigtą įrenginį! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes:

Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Dabar gerai.

Viršutiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra organizuotas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius:

Nuliai gaunami tiesiog „sunkios“ transformacijos pagalba. Pirma, mes susiduriame su antrąja eilute (2, -1, 3, 13). Ką reikia padaryti, kad pirmoje pozicijoje būtų nulis? Reikia prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginame iš -2: (-2, -4, 2, -18). Ir mes nuosekliai atliekame (vėl mintyse arba pagal juodraštį) papildymą, prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, jau padaugintą iš -2:

Rezultatas rašomas antroje eilutėje:

Panašiai elgiamės ir su trečiąja eilute (3, 2, -5, -1). Norėdami gauti nulį pirmoje pozicijoje, jums reikia prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginame iš -3: (-3, -6, 3, -27). IR prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš -3:

Rezultatas rašomas trečioje eilutėje:

Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir užrašomi vienu žingsniu:

Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų ir rezultatų „įterpimo“ tvarka nuoseklus o dažniausiai taip: pirma perrašome pirmą eilutę, o patys tyliai išsipučiame - NUOSTOLIAI ir ATSARGIAI:

O pačių skaičiavimų protinę eigą jau apsvarsčiau aukščiau.

Šiame pavyzdyje tai padaryti nesunku, antrą eilutę padalijame iš -5 (nes visi ten esantys skaičiai dalijasi iš 5 be liekanos). Tuo pačiu metu trečią eilutę padalijame iš -2, nes kuo mažesnis skaičius, tuo paprastesnis sprendimas:

Paskutiniame elementariųjų transformacijų etape čia reikia gauti dar vieną nulį:

Už tai prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -2:

Pabandykite patys išanalizuoti šį veiksmą - mintyse padauginkite antrą eilutę iš -2 ir atlikite sudėjimą.

Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3.

Elementariųjų transformacijų rezultate buvo gauta lygiavertė pradinė tiesinių lygčių sistema:

Saunus.

Dabar pradedama naudoti atvirkštinė Gauso metodo eiga. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų.

Trečioje lygtyje mes jau turime galutinį rezultatą:

Pažvelkime į antrąją lygtį: . „z“ reikšmė jau žinoma, taigi:

Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Y“ ir „Z“ žinomi, reikalas mažas:

Atsakymas:

Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai nėra sunku ir greita.

2 pavyzdys

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, užbaigimo pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Reikėtų pažymėti, kad jūsų veiksmų eiga gali nesutapti su mano veiksmų eiga, ir tai yra Gauso metodo bruožas. Bet atsakymai turi būti tie patys!

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti padalinį. Bėda ta, kad pirmame stulpelyje išvis nėra nė vieno, todėl perstačius eilutes nieko nepavyks išspręsti. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau tai:
(1) Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrąją eilutę iš -1 ir atlikome pirmosios ir antrosios eilučių pridėjimą, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje „minusas vienas“, kuris mums puikiai tinka. Kas nori gauti +1, gali atlikti papildomą gestą: padauginkite pirmąją eilutę iš -1 (pakeiskite jos ženklą).

(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 3, buvo įtraukta į trečią eilutę.

(3) Pirmoji eilutė buvo padauginta iš -1, iš esmės tai skirta grožiui. Trečiosios eilutės ženklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas į antrą vietą, taigi antruoju „žingsniu“ gavome norimą vienetą.

(4) Antroji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie trečios eilutės.

(5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Blogas ženklas, rodantis skaičiavimo klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei gautume kažką panašaus į žemiau, ir atitinkamai , tada su didele tikimybe galima teigti, kad elementariųjų transformacijų metu buvo padaryta klaida.

Apmokestiname atvirkštinį žingsnį, projektuojant pavyzdžius pati sistema dažnai neperrašoma, o lygtys „paimtos tiesiai iš duotosios matricos“. Atvirkštinis judėjimas, primenu, veikia iš apačios į viršų. Taip, čia yra dovana:

Atsakymas: .

4 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, jis yra šiek tiek sudėtingesnis. Gerai, jei kas nors susipainios. Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano.

Paskutinėje dalyje aptariame kai kurias Gauso algoritmo ypatybes.
Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui:

Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie šią akimirką jau kalbėjau pamokoje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius:

Beje, tai yra gana paprastas pavyzdys, nes pirmajame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių transformacijų reikia atlikti mažiau.

Antroji savybė yra tokia. Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose „žingsniuose“ įdėjome arba –1, arba +1. Ar gali būti kitų skaičių? Kai kuriais atvejais jie gali. Apsvarstykite sistemą: .

Čia, viršutiniame kairiajame „žingsnelyje“, turime dvikovą. Bet pastebime faktą, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2 be likučio – ir dar iš dviejų ir šešių. O viršuje, kairėje esanti deuce mums tiks! Pirmajame žingsnyje turite atlikti šias transformacijas: prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -1; prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Taigi pirmajame stulpelyje gausime norimus nulius.

Arba kitas hipotetinis pavyzdys: . Čia mums tinka ir antrojo „laiptelio“ trivietis, nes 12 (vieta, kur reikia gauti nulį) dalijasi iš 3 be liekanos. Būtina atlikti tokią transformaciją: prie trečios eilutės pridėkite antrąją eilutę, padaugintą iš -4, dėl to bus gautas mums reikalingas nulis.

Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Galite drąsiai išmokti spręsti sistemas kitais metodais (Cramerio metodas, matricos metodas) pažodžiui iš pirmo karto – yra labai griežtas algoritmas. Tačiau norėdami pasitikėti Gauso metodu, turėtumėte „užpildyti ranką“ ir išspręsti bent 5–10 sistemų. Todėl iš pradžių gali kilti painiavos, klaidų skaičiavimuose, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško.

Lietingas rudens oras už lango....Todėl kiekvienam sudėtingesnis savarankiško sprendimo pavyzdys:

5 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite keturių tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemą.

Tokia užduotis praktikoje nėra tokia reta. Manau, kad net arbatinukas, detaliai išstudijavęs šį puslapį, tokios sistemos sprendimo algoritmą supranta intuityviai. Iš esmės tas pats – tik daugiau veiksmo.

Pamokoje Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendruoju sprendimu nagrinėjami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų. Čia galite pataisyti svarstomą Gauso metodo algoritmą.

Linkime sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perveskime ją į laiptuotą formą.

Atliktos elementarios transformacijos:
(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1. Dėmesio!Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės, aš griežtai nerekomenduoju atimti - klaidos rizika labai padidėja. Mes tiesiog sulenkiame!
(2) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos. pastaba kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir -1, o tai dar patogiau.
(3) Prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš 5.
(4) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas: .

4 pavyzdys: Sprendimas : Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Atliktos konversijos:
(1) Antroji eilutė buvo pridėta prie pirmosios eilutės. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas viršutiniame kairiajame „žingsnyje“.
(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 6, buvo įtraukta į trečią eilutę.

Su antruoju „žingsniu“ viskas dar blogiau , jo „kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba -1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą

(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1.
(4) Trečioji eilutė, padauginta iš -3, buvo pridėta prie antrosios eilutės.
(3) Antroji eilutė, padauginta iš 4, buvo įtraukta į trečią eilutę. Antroji eilutė, padauginta iš -1, buvo įtraukta į ketvirtą eilutę.
(4) Pakeistas antrosios eilutės ženklas. Ketvirtoji eilutė buvo padalinta iš 3 ir įdėta vietoj trečios eilutės.
(5) Trečia eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš -5.

Atvirkštinis judėjimas:

Gauso metodas puikiai tinka sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių sistemas (SLAE). Jis turi keletą privalumų, palyginti su kitais metodais:

pirma, nereikia iš anksto tirti lygčių sistemos suderinamumo;
antra, Gauso metodu galima išspręsti ne tik SLAE, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi, o pagrindinė sistemos matrica yra neišsigimusi, bet ir lygčių sistemas, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi arba pagrindinės matricos determinantas yra lygus nuliui;
trečia, Gauso metodas duoda rezultatą su palyginti nedideliu skaičiavimo operacijų skaičiumi.

Trumpa straipsnio apžvalga.

Pirmiausia pateikiame reikiamus apibrėžimus ir pateikiame tam tikrą žymėjimą.

Toliau aprašome Gauso metodo algoritmą paprasčiausiu atveju, ty tiesinių algebrinių lygčių sistemoms lygčių skaičius, kuriose sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi ir sistemos pagrindinės matricos determinantas, nėra lygus nuliui. Sprendžiant tokias lygčių sistemas, aiškiausiai matoma Gauso metodo esmė, kurią sudaro nuoseklus nežinomų kintamųjų pašalinimas. Todėl Gauso metodas dar vadinamas nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodu. Parodykime išsamius kelių pavyzdžių sprendimus.

Apibendrinant, nagrinėjame tiesinių algebrinių lygčių sistemų Gauso sprendimą, kurio pagrindinė matrica yra stačiakampė arba išsigimusi. Tokių sistemų sprendimas turi tam tikrų ypatybių, kurias detaliau išanalizuosime naudodamiesi pavyzdžiais.

Puslapio naršymas.

Pagrindiniai apibrėžimai ir žymėjimas.

Apsvarstykite p tiesinių lygčių sistemą su n nežinomųjų (p gali būti lygi n ):

Kur yra nežinomi kintamieji, yra skaičiai (tikrieji ar kompleksiniai), yra laisvieji nariai.

Jeigu , tada vadinama tiesinių algebrinių lygčių sistema vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Nežinomų kintamųjų reikšmių rinkinys, kuriame visos sistemos lygtys virsta tapatybėmis, vadinama SLAU sprendimas.

Jei tiesinių algebrinių lygčių sistemoje yra bent vienas sprendinys, tada ji vadinama Bendras, kitaip - nesuderinamas.

Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras. Jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada sistema iškviečiama neapibrėžtas.

Sakoma, kad sistema parašyta koordinačių forma jei ji turi formą
.

Ši sistema yra matricos formaįrašai turi formą , kur - pagrindinė SLAE matrica, - nežinomų kintamųjų stulpelio matrica, - laisvųjų narių matrica.

Jei prie matricos A kaip (n + 1)-ąjį stulpelį pridėsime laisvųjų terminų matricos stulpelį, tai gausime vadinamąją. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai padidinta matrica žymima raide T, o laisvųjų narių stulpelis yra atskirtas vertikalia linija nuo likusių stulpelių, tai yra,

Kvadratinė matrica A vadinama išsigimęs jei jo determinantas lygus nuliui. Jei , vadinasi matrica A neišsigimęs.

Reikėtų atkreipti dėmesį į šį punktą.

Jei su tiesinių algebrinių lygčių sistema atliekami šie veiksmai

sukeisti dvi lygtis,
padauginkite abi bet kurios lygties puses iš savavališko ir nenulinio tikrojo (arba kompleksinio) skaičiaus k,
prie abiejų bet kurios lygties dalių pridėkite atitinkamas kitos lygties dalis, padaugintas iš savavališko skaičiaus k,

tada gauname lygiavertę sistemą, kuri turi tuos pačius sprendinius (arba, kaip ir pirminė, neturi sprendinių).

Išplėstoje tiesinių algebrinių lygčių sistemos matricoje šie veiksmai reikš elementarias transformacijas su eilutėmis:

sukeisti dvi eilutes
visų bet kurios matricos T eilutės elementų padauginimas iš nulinio skaičiaus k ,
prie bet kurios matricos eilutės elementų pridėjus atitinkamus kitos eilutės elementus, padaugintus iš savavališko skaičiaus k .

Dabar galime pereiti prie Gauso metodo aprašymo.

Gauso metodu sprendžiamos tiesinių algebrinių lygčių sistemos, kuriose lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinė sistemos matrica yra neišsigimusi.

Ką darytume mokykloje, jei gautume užduotį rasti lygčių sistemos sprendimą .

Kai kurie taip padarytų.

Atkreipkite dėmesį, kad pridėję kairę pirmosios lygties pusę prie antrosios lygties kairės pusės, o dešinę - prie dešinės pusės, galite atsikratyti nežinomų kintamųjų x 2 ir x 3 ir iš karto rasti x 1:

Rastą reikšmę x 1 \u003d 1 pakeičiame į pirmąją ir trečiąją sistemos lygtis:

Jei abi trečiosios sistemos lygties dalis padauginsime iš -1 ir pridėsime jas prie atitinkamų pirmosios lygties dalių, tada atsikratysime nežinomo kintamojo x 3 ir galime rasti x 2:

Gautą reikšmę x 2 \u003d 2 pakeičiame trečiąja lygtimi ir randame likusį nežinomą kintamąjį x 3:

Kiti būtų pasielgę kitaip.

Išspręskime pirmąją sistemos lygtį nežinomo kintamojo x 1 atžvilgiu ir gautą išraišką pakeiskime antrąja ir trečiąja sistemos lygtimis, kad šis kintamasis būtų pašalintas iš jų:

Dabar išspręskime antrąją sistemos lygtį x 2 atžvilgiu ir gautą rezultatą pakeiskime trečiąja lygtimi, kad iš jos neįtrauktume nežinomo kintamojo x 2:

Iš trečiosios sistemos lygties matyti, kad x 3 =3. Iš antrosios lygties randame , o iš pirmosios lygties gauname .

Pažįstami sprendimai, tiesa?

Įdomiausia yra tai, kad antrasis sprendimo būdas iš esmės yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas, tai yra Gauso metodas. Kai išreiškėme nežinomus kintamuosius (pirmas x 1, kitas x 2) ir pakeitėme juos į likusias sistemos lygtis, tokiu būdu juos išskyrėme. Išimtį vykdėme iki to momento, kai paskutinė lygtis paliko tik vieną nežinomą kintamąjį. Nuosekliojo nežinomųjų pašalinimo procesas vadinamas tiesioginis Gauso metodas. Baigę judėjimą pirmyn, turime galimybę apskaičiuoti nežinomą kintamąjį paskutinėje lygtyje. Jos pagalba iš priešpaskutinės lygties randame kitą nežinomą kintamąjį ir pan. Vadinamas procesas, kai nuosekliai ieškoma nežinomų kintamųjų pereinant nuo paskutinės lygties prie pirmosios atvirkštinis Gauso metodas.

Reikėtų pažymėti, kad kai išreiškiame x 1 kaip x 2 ir x 3 pirmoje lygtyje, o gautą išraišką pakeičiame antrąja ir trečiąja lygtimis, tokie veiksmai duoda tą patį rezultatą:

Iš tiesų, tokia procedūra taip pat leidžia neįtraukti nežinomo kintamojo x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Nežinomų kintamųjų pašalinimo Gauso metodu niuansai atsiranda tada, kai sistemos lygtyse nėra kai kurių kintamųjų.

Pavyzdžiui, SLAU pirmoje lygtyje nėra nežinomo kintamojo x 1 (kitaip tariant, koeficientas prieš jį lygus nuliui). Todėl negalime išspręsti pirmosios sistemos lygties x 1 atžvilgiu, kad pašalintume šį nežinomą kintamąjį iš kitų lygčių. Išeitis iš šios situacijos yra sukeisti sistemos lygtis. Kadangi nagrinėjame tiesinių lygčių sistemas, kurių pagrindinių matricų determinantai skiriasi nuo nulio, visada yra lygtis, kurioje yra reikalingas kintamasis, ir mes galime pertvarkyti šią lygtį į mums reikalingą padėtį. Mūsų pavyzdyje pakanka sukeisti pirmąją ir antrąją sistemos lygtis , tada galite išspręsti pirmąją x 1 lygtį ir neįtraukti ją iš likusių sistemos lygčių (nors antrojoje lygtyje x 1 jau nėra).

Tikimės, kad supratote esmę.

Aprašykime Gauso metodo algoritmas.

Išspręskime n tiesinių algebrinių lygčių sistemą su n nežinomų formos kintamųjų , ir tegul jo pagrindinės matricos determinantas nėra nulis.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Nežinomą kintamąjį x 1 pašaliname iš visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, pirmąją lygtį, padaugintą iš, pridėkite prie antrosios sistemos lygties, pirmąją, padaugintą iš, pridėkite prie trečiosios lygties ir taip toliau, pridėkite pirmąją, padaugintą iš, prie n-osios lygties. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur .

Gautume tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje išreikštume x 1 kitais nežinomais kintamaisiais ir gautą išraišką pakeistume visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su gautos sistemos dalimi, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos lygties pridėkite antrąjį, padaugintą iš, prie ketvirtosios lygties pridėkite antrąjį, padaugintą iš, ir taip toliau, pridėkite antrąjį, padaugintą iš, prie n-osios lygties. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiosios.

Toliau mes pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo, elgdamiesi panašiai su paveiksle pažymėta sistemos dalimi

Taigi tęsiame tiesioginę Gauso metodo eigą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinę Gauso metodo eigą: apskaičiuojame xn iš paskutinės lygties kaip , naudojant gautą reikšmę xn randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties, ir taip toliau, randame x 1 iš pirmosios. lygtis.

Išanalizuokime algoritmą su pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Gauso metodas.

Sprendimas.

Koeficientas a 11 skiriasi nuo nulio, todėl pereikime prie tiesioginės Gauso metodo eigos, ty prie nežinomo kintamojo x 1 pašalinimo iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją. Norėdami tai padaryti, kairėje ir dešinėje antrosios, trečiosios ir ketvirtosios lygčių dalyse pridėkite pirmosios lygties kairę ir dešinę dalis, padaugintas atitinkamai iš , ir:

Nežinomas kintamasis x 1 buvo pašalintas, pereikime prie išskyrimo x 2 . Prie sistemos trečiosios ir ketvirtosios lygčių kairės ir dešinės dalių pridedame kairę ir dešinę antrosios lygties dalis, padaugintas iš ir :

Norėdami užbaigti tolesnę Gauso metodo eigą, turime išskirti nežinomą kintamąjį x 3 iš paskutinės sistemos lygties. Prie ketvirtosios lygties kairiosios ir dešiniosios pusės pridėkite atitinkamai trečiosios lygties kairę ir dešinę puses, padaugintas iš :

Galite pradėti atvirkštinę Gauso metodo eigą.

Iš paskutinės mūsų turimos lygties ,
iš trečiosios lygties gauname ,
nuo antrojo
nuo pirmos.

Norėdami patikrinti, gautas nežinomų kintamųjų reikšmes galite pakeisti pradine lygčių sistema. Visos lygtys virsta tapatybėmis, o tai reiškia, kad sprendimas Gauso metodu buvo rastas teisingai.

Atsakymas:

O dabar pateiksime to paties pavyzdžio sprendimą Gauso metodu matricos pavidalu.

Pavyzdys.

Raskite lygčių sistemos sprendimą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išplėstinė sistemos matrica turi formą . Virš kiekvieno stulpelio rašomi nežinomi kintamieji, kurie atitinka matricos elementus.

Tiesioginė Gauso metodo eiga čia apima išplėstinės sistemos matricos perkėlimą į trapecijos formą naudojant elementariąsias transformacijas. Šis procesas panašus į nežinomų kintamųjų išskyrimą, kurį atlikome su sistema koordinačių forma. Dabar jūs tuo įsitikinsite.

Transformuokime matricą taip, kad visi pirmojo stulpelio elementai, pradedant nuo antrojo, taptų nuliais. Norėdami tai padaryti, prie antros, trečios ir ketvirtos eilučių elementų pridėkite atitinkamus pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš , ir atitinkamai:

Toliau gautą matricą transformuojame taip, kad antrajame stulpelyje visi elementai, pradedant nuo trečiojo, taptų nuliais. Tai atitiktų nežinomo kintamojo x 2 neįtraukimą. Norėdami tai padaryti, prie trečios ir ketvirtos eilučių elementų pridėkite atitinkamus pirmosios matricos eilutės elementus, padaugintus iš ir :

Belieka iš paskutinės sistemos lygties neįtraukti nežinomo kintamojo x 3. Norėdami tai padaryti, prie gautos matricos paskutinės eilutės elementų pridedame atitinkamus priešpaskutinės eilutės elementus, padaugintus iš :

Reikia pažymėti, kad ši matrica atitinka tiesinių lygčių sistemą

kuris buvo gautas anksčiau po tiesioginio judėjimo.

Atėjo laikas pasukti atgal. Matricinėje žymėjimo formoje atvirkštinė Gauso metodo eiga apima tokią gautos matricos transformaciją, kad paveiksle pažymėta matrica

tapo įstrižai, tai yra įgavo formą

kur yra keletas skaičių.

Šios transformacijos yra panašios į Gauso metodą, tačiau atliekamos ne nuo pirmos eilutės iki paskutinės, o iš paskutinės į pirmą.

Prie trečios, antros ir pirmosios eilučių elementų pridėkite atitinkamus paskutinės eilutės elementus, padaugintus iš , vėl ir vėl atitinkamai:

Dabar prie antrosios ir pirmosios eilučių elementų pridėkime atitinkamus trečios eilučių elementus, padaugintus atitinkamai iš ir iš:

Paskutiniame Gauso metodo atvirkštinio judėjimo žingsnyje prie pirmosios eilutės elementų pridedame atitinkamus antrosios eilutės elementus, padaugintus iš :

Gauta matrica atitinka lygčių sistemą , iš kurių randame nežinomus kintamuosius.

Atsakymas:

PASTABA.

Naudojant Gauso metodą tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti, reikėtų vengti apytikslių skaičiavimų, nes tai gali lemti absoliučiai neteisingus rezultatus. Rekomenduojame neapvalinti po kablelio. Geriau nuo dešimtainių trupmenų pereiti prie paprastųjų trupmenų.

Pavyzdys.

Išspręskite trijų lygčių sistemą Gauso metodu .

Sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje nežinomi kintamieji turi skirtingą pavadinimą (ne x 1 , x 2 , x 3 , o x, y, z ). Pereikime prie paprastųjų trupmenų:

Pašalinkite nežinomą x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Gautoje sistemoje antroje lygtyje nėra nežinomo kintamojo y, o trečioje lygtyje yra y, todėl antrąją ir trečiąją lygtis sukeičiame:

Šiuo metu tiesioginė Gauso metodo eiga baigėsi (nereikia išskirti y iš trečiosios lygties, nes šio nežinomo kintamojo nebėra).

Grįžkime.

Iš paskutinės lygties randame ,
iš priešpaskutinės

iš pirmosios mūsų turimos lygties

Atsakymas:

X = 10, y = 5, z = -20.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra išsigimusi, sprendimas Gauso metodu.

Lygčių sistemos, kurių pagrindinė matrica yra stačiakampė arba išsigimusi kvadratinė, gali neturėti sprendinių, gali turėti vieną sprendinį arba gali turėti begalinį sprendinių skaičių.

Dabar suprasime, kaip Gauso metodas leidžia nustatyti tiesinių lygčių sistemos suderinamumą ar nenuoseklumą, o jos suderinamumo atveju nustatyti visus sprendimus (arba vieną vienintelį sprendimą).

Iš esmės nežinomų kintamųjų pašalinimo procesas tokių SLAE atveju išlieka toks pat. Tačiau verta išsamiai panagrinėti kai kurias situacijas, kurios gali kilti.

Pereikime prie svarbiausio žingsnio.

Taigi, darykime prielaidą, kad tiesinių algebrinių lygčių sistema po Gauso metodo eigos į priekį įgauna formą ir nė viena iš lygčių nesumažinta iki (šiuo atveju darytume išvadą, kad sistema nenuosekli). Kyla logiškas klausimas: „Ką daryti toliau“?

Išrašome nežinomus kintamuosius, kurie yra visų gautos sistemos lygčių pirmoje vietoje:

Mūsų pavyzdyje tai yra x 1 , x 4 ir x 5 . Kairiosiose sistemos lygčių dalyse paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra užrašyti nežinomi kintamieji x 1, x 4 ir x 5, likusius narius perkeliame į dešinę lygčių pusę su priešingu ženklu:

Priskirkime savavališkas reikšmes nežinomiems kintamiesiems, kurie yra dešinėje lygčių pusėje, kur - savavališki skaičiai:

Po to skaičiai randami teisingose visų mūsų SLAE lygčių dalyse ir galime pereiti prie atvirkštinės Gauso metodo eigos.

Iš paskutinės turimos sistemos lygties , iš priešpaskutinės randamos lygties , iš pirmosios lygties gauname

Lygčių sistemos sprendimas yra nežinomų kintamųjų reikšmių rinkinys

Duoti skaičius skirtingos reikšmės, gausime skirtingus lygčių sistemos sprendinius. Tai yra, mūsų lygčių sistema turi be galo daug sprendinių.

Atsakymas:

kur - savavališki skaičiai.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išsamiai išanalizuosime dar kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Išspręskite vienalytę tiesinių algebrinių lygčių sistemą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išskirkime nežinomą kintamąjį x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių. Norėdami tai padaryti, pridėkite kairiąją ir dešiniąją pirmosios lygties dalis atitinkamai prie kairiosios ir dešiniosios antrosios lygties dalių, padaugintų iš , o į kairę ir dešinę trečiosios lygties dalis pridėkite kairę ir dešinę pirmoji lygtis, padauginta iš:

Dabar neįtraukiame y iš gautos lygčių sistemos trečiosios lygties:

Gautas SLAE yra lygiavertis sistemai .

Kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra nežinomi kintamieji x ir y, o terminus su nežinomu kintamuoju z perkeliame į dešinę:

Mes ir toliau svarstome tiesinių lygčių sistemas. Ši pamoka yra trečioji šia tema. Jei turite miglotą supratimą apie tai, kas apskritai yra tiesinių lygčių sistema, jaučiatės kaip arbatinukas, tada rekomenduoju pradėti nuo pagrindų kitame puslapyje, naudinga studijuoti pamoką.

Pirmiausia šiek tiek susisteminame žinias apie tiesinių lygčių sistemas. Tiesinių lygčių sistema gali:

1) Turėkite unikalų sprendimą. 2) Turėkite be galo daug sprendimų. 3) Neturi sprendimų (būti nesuderinamas).

Iš pamokos grįžkime prie paprasčiausios sistemos Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą? ir išspręskite jį Gauso metodu.

Pirmas žingsnis – rašyti išplėstinė matricų sistema: . Kokiu principu fiksuojami koeficientai, manau, visi mato. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tik perbrauktas dizainas.

nuoroda : Rekomenduoju prisiminti terminai tiesinė algebra. Sistemos matrica yra matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų, šiame pavyzdyje sistemos matrica: . Išplėstinė sistemos matrica yra ta pati sistemos matrica ir laisvųjų narių stulpelis, šiuo atveju: . Bet kuri iš matricų gali būti vadinama tiesiog matrica dėl trumpumo.

Parašius išplėstinę sistemos matricą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarios transformacijos.

Yra šios elementarios transformacijos:

1) Stygos matricos gali pertvarkyti vietos. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite saugiai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes:

3) Jei transformacijų metu matricoje atsirado nulinė eilutė, tai taip pat seka Ištrinti. Aš, žinoma, nebrėžiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje tik nuliai.

Praktiškai, žinoma, jie netapo taip išsamiai, bet rašo trumpiau: Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Linija paprastai padauginama žodžiu arba juodraštyje, o protiniai skaičiavimų eiga yra maždaug tokia:

„Perrašau matricą ir perrašau pirmą eilutę: »

„Dabar antra stulpelis. Virš -1 kartas -2: . Pirmąją pridedu į antrą eilutę: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau į antrą eilutę: »

„Ir trečia kolona. Virš -5 kartus -2: . Pirmą eilutę pridedu prie antros eilutės: -7 + 10 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio

Parašykime padidintą sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, sumažinkime ją iki laiptuotas vaizdas:

(2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3.

Elementariųjų transformacijų rezultate gavome lygiavertis originali lygčių sistema:

Dabar sistemą reikia „atsukti“ priešinga kryptimi – iš apačios į viršų šis procesas vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Apatinėje lygtyje jau turime galutinį rezultatą: .

Apsvarstykite pirmąją sistemos lygtį ir pakeiskite ja jau žinomą „y“ reikšmę:

Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemai išspręsti reikalingas Gauso metodas.

1 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą:

Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo eigoje: Ir kartoju, mūsų tikslas yra suvesti matricą į laiptuotą formą naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko pradėti imtis veiksmų?

Pirmiausia pažiūrėkite į viršutinį kairįjį skaičių: Čia turėtų būti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks ir -1 (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip tradiciškai susiklostė taip, kad ten dažniausiai dedamas vienetas. Kaip organizuoti padalinį? Mes žiūrime į pirmąjį stulpelį - turime baigtą įrenginį! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes:

Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Dabar gerai.

Viršutiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra organizuotas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius:

Rezultatas rašomas antroje eilutėje:

Rezultatas rašomas trečioje eilutėje:

Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir užrašomi vienu žingsniu:

Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų ir rezultatų „įterpimo“ tvarka nuoseklus o dažniausiai taip: pirma perrašome pirmą eilutę, o patys tyliai išsipučiame - NUOSTOLIAI ir ATSARGIAI:
O pačių skaičiavimų protinę eigą jau apsvarsčiau aukščiau.

Paskutiniame elementariųjų transformacijų etape čia reikia gauti dar vieną nulį:

Už tai prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -2:
Pabandykite patys išanalizuoti šį veiksmą - mintyse padauginkite antrą eilutę iš -2 ir atlikite sudėjimą.

Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3.

Elementariųjų transformacijų rezultate buvo gauta lygiavertė pradinė tiesinių lygčių sistema: Saunus.

Dabar pradedama naudoti atvirkštinė Gauso metodo eiga. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų.

Trečioje lygtyje mes jau turime galutinį rezultatą:

Pažvelkime į antrąją lygtį: . „z“ reikšmė jau žinoma, taigi:

Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Y“ ir „Z“ žinomi, reikalas mažas:

Atsakymas:

Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai nėra sunku ir greita.

2 pavyzdys

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, užbaigimo pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Reikėtų pažymėti, kad jūsų veiksmų eiga gali nesutapti su mano veiksmų eiga, ir tai yra Gauso metodo bruožas. Bet atsakymai turi būti tie patys!

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti padalinį. Bėda ta, kad pirmame stulpelyje išvis nėra nė vieno, todėl perstačius eilutes nieko nepavyks išspręsti. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau taip: (1) Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrąją eilutę iš -1 ir atlikome pirmosios ir antrosios eilučių pridėjimą, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje „minusas vienas“, kuris mums puikiai tinka. Kas nori gauti +1, gali atlikti papildomą gestą: padauginkite pirmąją eilutę iš -1 (pakeiskite jos ženklą).

(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 3, buvo įtraukta į trečią eilutę.

(4) Antroji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie trečios eilutės.

(5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Atsakymas: .

4 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Paskutinėje dalyje aptariame kai kurias Gauso algoritmo ypatybes. Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui: Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie šią akimirką jau kalbėjau pamokoje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius: Beje, tai yra gana paprastas pavyzdys, nes pirmajame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių transformacijų reikia atlikti mažiau.

Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Galite drąsiai išmokti spręsti sistemas kitais metodais (Cramerio metodas, matricos metodas) pažodžiui iš pirmo karto – yra labai griežtas algoritmas. Tačiau norint jaustis užtikrintai Gauso metodu, turėtumėte „užpildyti ranką“ ir išspręsti bent 5–10 dešimties sistemų. Todėl iš pradžių gali kilti painiavos, klaidų skaičiavimuose, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško.

Lietingas rudens oras už lango....Todėl kiekvienam sudėtingesnis savarankiško sprendimo pavyzdys:

5 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite 4 tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemą.

Pamokoje nagrinėjami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų. Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendru sprendimu. Čia galite pataisyti svarstomą Gauso metodo algoritmą.

Linkime sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perveskime ją į laiptuotą formą.
Atliktos elementarios transformacijos: (1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1. Dėmesio! Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės, aš griežtai nerekomenduoju atimti - klaidos rizika labai padidėja. Mes tiesiog sulenkiame! (2) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos. pastaba kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir -1, o tai dar patogiau. (3) Prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš 5. (4) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas : .

4 pavyzdys: Sprendimas : Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Atliktos konversijos: (1) Antroji eilutė buvo pridėta prie pirmosios eilutės. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas viršutiniame kairiajame „žingsnyje“. (2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 6, buvo įtraukta į trečią eilutę.

Su antruoju „žingsniu“ viskas dar blogiau , jo „kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba -1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą (3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1. (4) Trečioji eilutė, padauginta iš -3, buvo pridėta prie antrosios eilutės. Antrame žingsnyje reikalingas daiktas gaunamas . (5) Prie trečios eilutės pridedama antra, padauginta iš 6. (6) Antroji eilutė buvo padauginta iš -1, trečioji eilė padalinta iš -83.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas :

5 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

Atliktos konversijos: (1) Pirmoji ir antroji eilutės buvo pakeistos. (2) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš -3. (3) Antroji eilutė, padauginta iš 4, buvo įtraukta į trečią eilutę. Antroji eilutė, padauginta iš -1, buvo įtraukta į ketvirtą eilutę. (4) Pakeistas antrosios eilutės ženklas. Ketvirtoji eilutė buvo padalinta iš 3 ir įdėta vietoj trečios eilutės. (5) Trečia eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš -5.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas :

1. Tiesinių algebrinių lygčių sistema

1.1 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos samprata

Lygčių sistema yra sąlyga, kai vienu metu vykdomos kelios lygtys keliuose kintamuosiuose. Tiesinių algebrinių lygčių sistema (toliau – SLAE), turinti m lygčių ir n nežinomųjų, yra tokios formos sistema:

kur skaičiai a ij vadinami sistemos koeficientais, skaičiai b i yra laisvieji nariai, aij ir b i(i=1,…, m; b=1,…, n) yra keletas žinomų skaičių ir x 1 ,…, x n- nežinomas. Koeficientų žymėjime aij pirmasis indeksas i reiškia lygties skaičių, o antrasis indeksas j yra nežinomojo skaičius, kuriame yra šis koeficientas. Atsižvelgiant į skaičių x n . Tokią sistemą patogu parašyti kompaktiška matrica: AX = B.Čia A yra sistemos koeficientų matrica, vadinama pagrindine matrica;

yra nežinomo xj stulpelio vektorius.
yra laisvųjų narių bi stulpelio vektorius.

Apibrėžiama matricų A * X sandauga, nes matricoje A yra tiek stulpelių, kiek X matricoje eilučių (n vienetų).

Išplėstinė sistemos matrica yra sistemos matrica A, papildyta laisvųjų narių stulpeliu

1.2 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas

Lygčių sistemos sprendimas yra sutvarkyta skaičių (kintamųjų reikšmių) rinkinys, kai juos pakeičiant vietoj kintamųjų, kiekviena sistemos lygtis virsta tikrąja lygybe.

Sistemos sprendimas yra n reikšmių nežinomųjų x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, kurias pakeitus visos sistemos lygtys virsta tikrosiomis lygybėmis. Bet koks sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip matricos stulpelis

Lygčių sistema vadinama nuoseklia, jei turi bent vieną sprendinį, ir nenuoseklia, jei sprendinių nėra.

Jungtinė sistema vadinama apibrėžtąja, jei ji turi unikalų sprendimą, ir neapibrėžta, jei ji turi daugiau nei vieną sprendimą. Pastaruoju atveju kiekvienas jo sprendimas vadinamas konkrečiu sistemos sprendimu. Visų konkrečių sprendimų rinkinys vadinamas bendruoju sprendimu.

Išspręsti sistemą reiškia išsiaiškinti, ar ji nuosekli, ar nenuosekli. Jei sistema suderinama, suraskite jos bendrą sprendimą.

Dvi sistemos vadinamos lygiavertėmis (ekvivalentiškomis), jei jų bendrasis sprendimas yra toks pat. Kitaip tariant, sistemos yra lygiavertės, jei kiekvienas vienos iš jų sprendimas yra kitos sprendimas, ir atvirkščiai.

Transformacija, kurią taikant sistema paverčiama nauja sistema, lygiaverte pradinei, vadinama ekvivalentine arba lygiaverte transformacija. Lygiaverčių transformacijų pavyzdžiais gali būti tokios transformacijos: dviejų sistemos lygčių sukeitimas, dviejų nežinomųjų sukeitimas su visų lygčių koeficientais, abiejų bet kurios sistemos lygties dalių padauginimas iš ne nulio skaičiaus.

Tiesinių lygčių sistema vadinama vienalyte, jei visi laisvieji nariai yra lygūs nuliui:

Vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes x1=x2=x3=…=xn=0 yra sistemos sprendimas. Šis sprendimas vadinamas nuliniu arba trivialiu.

2. Gauso eliminacijos metodas

2.1 Gauso eliminacijos metodo esmė

Klasikinis tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo metodas yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas. Gauso metodas(Taip pat vadinamas Gauso eliminacijos metodu). Tai kintamųjų nuoseklaus eliminavimo būdas, kai elementariųjų transformacijų pagalba lygčių sistema redukuojama į lygiavertę laiptuotos (arba trikampės) formos sistemą, iš kurios paeiliui randami visi kiti kintamieji, pradedant nuo paskutiniai (pagal skaičių) kintamieji.

Gauso sprendimo procesas susideda iš dviejų etapų: judesių pirmyn ir atgal.

1. Tiesioginis judėjimas.

Pirmajame etape atliekamas vadinamasis tiesioginis judėjimas, kai elementariomis transformacijomis per eilutes sistema perkeliama į laiptuotą arba trikampę formą arba nustatoma, kad sistema nenuosekli. Būtent tarp pirmojo matricos stulpelio elementų pasirenkamas nulinis vienetas, jis permutuojant eilutes perkeliamas į aukščiausią padėtį, o pirmoji eilutė, gauta atlikus permutaciją, atimama iš likusių eilučių, padauginant ją iš reikšmė lygi kiekvienos iš šių eilučių pirmojo elemento ir pirmosios eilutės pirmojo elemento santykiui, taigi po juo esantis stulpelis nulinis.

Atlikus nurodytas transformacijas, pirmoji eilutė ir pirmasis stulpelis mintyse perbraukiami ir tęsiami tol, kol lieka nulinio dydžio matrica. Jei kai kuriose iteracijose tarp pirmojo stulpelio elementų nebuvo rastas ne nulis, eikite į kitą stulpelį ir atlikite panašią operaciją.

Pirmajame etape (į priekį) sistema sumažinama į laiptuotą (ypač trikampę).

Žemiau pateikta sistema yra laipsniška:

Koeficientai aii vadinami pagrindiniais (pirmaujančiais) sistemos elementais.

(jei a11=0, pertvarkykite matricos eilutes taip a 11 nebuvo lygus 0. Tai visada įmanoma, nes kitu atveju matricoje yra nulinis stulpelis, jo determinantas lygus nuliui ir sistema nenuosekli).

Sistemą transformuojame pašalindami nežinomą x1 visose lygtyse, išskyrus pirmąją (naudojant elementariąsias sistemos transformacijas). Norėdami tai padaryti, padauginkite abi pirmosios lygties puses iš

ir sudėti terminą po termino su antrąja sistemos lygtimi (arba iš antrosios lygties terminą po termino atimame pirmąjį, padaugintą iš ). Tada abi pirmosios lygties dalis padauginame iš ir pridedame prie trečiosios sistemos lygties (arba atimame pirmąją, padaugintą iš trečiojo nario). Taigi pirmąją eilutę padauginame iš skaičiaus ir pridedame prie i- eilė, už i= 2, 3, …,n.

Tęsdami šį procesą, gauname lygiavertę sistemą:

– naujos nežinomųjų ir laisvųjų dėmenų koeficientų reikšmės paskutinėse sistemos m-1 lygtyse, kurios nustatomos pagal formules:

Taigi, pirmame žingsnyje, visi koeficientai po pirmuoju pagrindiniu elementu a 11 sunaikinami

0, antrasis veiksmas sunaikina elementus po antruoju pirmuoju elementu a 22 (1) (jei 22 (1) 0) ir pan. Tęsdami šį procesą toliau, pradinę sistemą pagaliau sumažinsime iki trikampės sistemos (m-1) žingsnyje.

Jeigu redukuojant sistemą į pakopinę formą atsiranda nulinės lygtys, t.y. lygybės 0=0 formos, jos atmetamos. Jei yra formos lygtis

Tai rodo sistemos nesuderinamumą.

Tai užbaigia tiesioginį Gauso metodo eigą.

2. Atbulinis judėjimas.

Antrame etape atliekamas vadinamasis atvirkštinis judėjimas, kurio esmė yra išreikšti visus gautus pagrindinius kintamuosius ne pagrindiniais ir sukurti pagrindinę sprendinių sistemą arba, jei visi kintamieji yra pagrindiniai, tada skaitiniu būdu išreikškite vienintelį tiesinių lygčių sistemos sprendinį.

Ši procedūra prasideda paskutine lygtimi, iš kurios išreiškiamas atitinkamas pagrindinis kintamasis (joje yra tik vienas) ir pakeičiamas į ankstesnes lygtis ir t. t., kylant „laipteliais“ į viršų.

Kiekviena eilutė tiksliai atitinka vieną pagrindinį kintamąjį, todėl kiekviename žingsnyje, išskyrus paskutinę (viršutinę), situacija tiksliai pakartoja paskutinės eilutės atvejį.

Pastaba: praktikoje patogiau dirbti ne su sistema, o su jos išplėstine matrica, atliekant visas elementarias transformacijas jos eilutėse. Patogu, kad koeficientas a11 būtų lygus 1 (pertvarkykite lygtis arba padalykite abi lygties puses iš a11).

2.2 SLAE sprendimo Gauso metodu pavyzdžiai

Šiame skyriuje, naudodami tris skirtingus pavyzdžius, parodysime, kaip Gauso metodas gali būti naudojamas SLAE išspręsti.

1 pavyzdys. Išspręskite 3 eilės SLAE.

Nustatykite koeficientus į nulį

antroje ir trečioje eilutėse. Norėdami tai padaryti, padauginkite juos iš 2/3 ir 1, atitinkamai, ir pridėkite prie pirmosios eilutės:

Švietimo įstaiga „Baltarusijos valstybė

Žemės ūkio akademija“

Aukštosios matematikos katedra

Gairės

už temą „Gauso metodas sprendžiant tiesines sistemas

Lygtys“ neakivaizdinės formos (NISPO) Apskaitos fakulteto studentų.

Gorkis, 2013 m

Gauso metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti

Ekvivalentinės lygčių sistemos

Dvi tiesinių lygčių sistemos vadinamos lygiavertėmis, jei kiekvienas iš jų yra kitos sprendimas. Tiesinių lygčių sistemos sprendimo procesas susideda iš nuoseklaus jos transformavimo į lygiavertę sistemą, naudojant vadinamąją. elementarios transformacijos , kurie yra:

1) bet kurių dviejų sistemos lygčių permutacija;

2) bet kurios sistemos lygties abiejų dalių dauginimas iš ne nulinio skaičiaus;

3) prie bet kurios lygties pridedant kitą lygtį, padaugintą iš bet kurio skaičiaus;

4) lygties, susidedančios iš nulių, išbraukimas, t.y. tipo lygtis.

Gauso eliminacija

Apsvarstykite sistemą m tiesines lygtis su n nežinomas:

Gauso metodo arba nuoseklaus nežinomųjų išskyrimo metodo esmė yra tokia.

Pirma, elementariųjų transformacijų pagalba nežinomasis pašalinamas iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją. Tokios sistemos transformacijos vadinamos Gauso pašalinimo žingsnis . Nežinomasis vadinamas skiriamąjį kintamąjį pirmajame transformacijos etape. Koeficientas vadinamas skiriamosios gebos koeficientas , vadinama pirmoji lygtis sprendžiant lygtį , o koeficientų stulpelis ties įgalinti stulpelį .

Atliekant vieną Gauso pašalinimo veiksmą, reikia vadovautis šiomis taisyklėmis:

1) sprendžiamosios lygties koeficientai ir laisvasis terminas lieka nepakitę;

2) skyros stulpelio, esančio žemiau skiriamojo koeficiento, koeficientai virsta nuliu;

3) visi kiti koeficientai ir laisvieji dydžiai pirmoje pakopoje apskaičiuojami pagal stačiakampio taisyklę:

, kur i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Panašias transformacijas atliekame antrojoje sistemos lygtyje. Tai sukels sistemą, kurioje nežinomasis bus neįtrauktas į visas lygtis, išskyrus pirmąsias dvi. Dėl tokių transformacijų per kiekvieną sistemos lygtį (tiesioginis Gauso metodas) pradinė sistema redukuojama į lygiavertę vieno iš šių tipų pakopų sistemą.

Atvirkštinis Gauso metodas

Žingsnių sistema

turi trikampio formą ir viskas (i=1,2,…,n). Tokia sistema turi unikalų sprendimą. Nežinomieji nustatomi pradedant nuo paskutinės lygties (Gauso metodo atvirkštinė dalis).

Žingsnių sistema turi formą

kur , t.y. sistemos lygčių skaičius yra mažesnis arba lygus nežinomųjų skaičiui. Ši sistema neturi sprendimų, nes paskutinė lygtis negalios jokioms kintamojo reikšmėms.

Pakopinio vaizdo sistema

turi begalę sprendimų. Pagal paskutinę lygtį nežinomasis išreiškiamas nežinomaisiais . Tada vietoj nežinomybės jo išraiška nežinomaisiais pakeičiama į priešpaskutinę lygtį . Tęsiant atvirkštinę Gauso metodo eigą, nežinomieji galima išreikšti nežinomaisiais . Šiuo atveju nežinomas paskambino Laisvas ir gali turėti bet kokią reikšmę ir nežinomą pagrindinis.

Praktiškai sprendžiant sistemas, patogu visas transformacijas atlikti ne lygčių sistema, o išplėstine sistemos matrica, susidedančia iš nežinomųjų koeficientų ir laisvųjų terminų stulpelio.

1 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Sudarykime išplėstinę sistemos matricą ir atliksime elementarias transformacijas:

Išplėstoje sistemos matricoje skaičius 3 (jis pažymėtas) yra skiriamosios gebos koeficientas, pirmoji eilutė yra skiriamosios gebos eilutė, o pirmoji stulpelis yra skiriamosios gebos stulpelis. Pereinant į kitą matricą, sprendžiamoji eilutė nesikeičia, visi sprendžiamojo stulpelio elementai, esantys po sprendžiamuoju elementu, pakeičiami nuliais. O visi kiti matricos elementai perskaičiuojami pagal keturkampę taisyklę. Vietoj elemento 4 antroje eilutėje rašome , vietoj elemento -3 antroje eilutėje bus rašoma ir tt Taigi bus gauta antroji matrica. Šios matricos antroje eilutėje bus 18 skiriamojo elemento numeris. Norėdami sudaryti kitą (trečiąją matricą), antrą eilutę paliekame nepakeistą, stulpelyje po sprendžiamuoju elementu rašome nulį ir perskaičiuojame likusius du elementus: vietoj skaičiaus 1 rašome , o vietoj skaičiaus 16 rašome .

Dėl to pradinė sistema sumažinama iki lygiavertės

Iš trečiosios lygties randame . Pakeiskite šią reikšmę į antrąją lygtį: y=3. Rastas reikšmes pakeiskite į pirmąją lygtį y ir z: , x=2.

Taigi šios lygčių sistemos sprendimas yra x=2, y=3, .

2 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Atlikime elementarias transformacijas išplėstoje sistemos matricoje:

Antroje matricoje kiekvienas trečiosios eilutės elementas yra padalintas iš 2.

Ketvirtoje matricoje kiekvienas trečios ir ketvirtos eilučių elementas buvo padalintas iš 11.

. Gauta matrica atitinka lygčių sistemą

Išspręsdami šią sistemą, randame , , .

3 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Parašykime išplėstinę sistemos matricą ir atliksime elementarias transformacijas:

Antroje matricoje kiekvienas antros, trečios ir ketvirtos eilučių elementas buvo padalintas iš 7.

Dėl to lygčių sistema

lygiavertis originalui.

Kadangi lygčių yra dviem mažiau nei nežinomųjų, tai iš antrosios lygties . Pirmoje lygtyje pakeiskite išraišką: , .

Taigi formulės pateikite bendrą šios lygčių sistemos sprendinį. Nežinomi ir nemokami ir gali turėti bet kokią vertę.

Tegu pvz. Tada ir . Sprendimas yra vienas iš konkrečių sistemos sprendimų, kurių yra begalė.

Klausimai žinių savikontrolei

1) Kokios tiesinių sistemų transformacijos vadinamos elementariosiomis?

2) Kokios sistemos transformacijos vadinamos Gauso eliminacijos žingsniu?

3) Kas yra skiriamieji kintamieji, skiriamieji koeficientai, skiriamieji stulpeliai?

4) Kokios taisyklės turėtų būti taikomos atliekant vieną Gauso eliminacijos žingsnį?