लैपलेस फ़ंक्शन एक गैर-प्राथमिक फ़ंक्शन है और अक्सर अंतर समीकरणों और संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांत और आंकड़ों में दोनों का उपयोग किया जाता है। लैपलेस फ़ंक्शन को ज्ञान और प्रशिक्षण के एक निश्चित सेट की आवश्यकता होती है, क्योंकि यह आपको लागू और सैद्धांतिक अनुप्रयोग के क्षेत्र में विभिन्न समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

लैपलेस फ़ंक्शन का उपयोग अक्सर अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है और इसे अक्सर संभाव्यता का अभिन्न अंग कहा जाता है। आइए देखें कि एक्सेल में इस फ़ंक्शन का उपयोग कैसे किया जा सकता है और यह कैसे काम करता है।

ऑपरेटर "NORMSTRASP" एक्सेल में संभाव्यता या लैपलेस फ़ंक्शन के अभिन्न से मेल खाता है, जिसमें सिंटैक्स है: "= NORMSTRASP (z)। कार्यक्रम के नए संस्करणों में, ऑपरेटर का नाम "NORM.ST.DIST" भी ​​है। और थोड़ा संशोधित सिंटैक्स "= NORM.ST.DIST (z; संचयी)।

वितरण के संख्यात्मक मान के लिए "Z" तर्क जिम्मेदार है। तर्क "संचयी" - दो मान देता है - "1" - संचयी वितरण फ़ंक्शन, "0" - वजन वितरण फ़ंक्शन।

सिद्धांत के साथ हल किया। आइए अभ्यास के लिए आगे बढ़ें। एक्सेल में लैपलेस फ़ंक्शन का उपयोग करने पर विचार करें।

1. चलो सेल में मान लिखें, फ़ंक्शन को अगले में डालें।

2. आइए फ़ंक्शन को मैन्युअल रूप से लिखें "= NORM.ST.DIST (B4; 1)।

3. या हम फ़ंक्शन इंसर्शन विज़ार्ड का उपयोग करेंगे - "स्टेटिक" श्रेणी पर जाएं और "पूर्ण वर्णमाला सूची" इंगित करें।

4. फ़ंक्शन तर्कों की प्रदर्शित विंडो में, प्रारंभिक मानों को इंगित करें। चर "Z" के लिए हमारा मूल सेल जिम्मेदार होगा, और "इंटीग्रल" में हम "1" डालेंगे। हमारा फ़ंक्शन संचयी वितरण फ़ंक्शन लौटाएगा।

5. हमें दिए गए फ़ंक्शन "NORM.ST.DIST" के लिए मानक सामान्य संचयी वितरण का तैयार समाधान मिलता है। लेकिन इतना ही नहीं, हमारा लक्ष्य लैपलेस फ़ंक्शन या प्रायिकता के अभिन्न को खोजना था, तो चलिए कुछ और कदम उठाते हैं।

6. लैपलेस फ़ंक्शन का तात्पर्य है कि प्राप्त फ़ंक्शन के मान से "0.5" घटाया जाना चाहिए। हम फ़ंक्शन में आवश्यक ऑपरेशन जोड़ते हैं। "एंटर" दबाएं और अंतिम समाधान प्राप्त करें। वांछित मूल्य सही है और जल्दी से मिल गया है।

एक्सेल किसी भी सेल वैल्यू, सेल्स की रेंज या सेल रेफरेंस के लिए इस फंक्शन की आसानी से गणना कर सकता है। "NORM.ST.DIST" फ़ंक्शन संभाव्यता अभिन्न या, जैसा कि इसे लैपलेस फ़ंक्शन भी कहा जाता है, खोजने के लिए एक मानक ऑपरेटर है।

बेयस का सूत्र

घटनाएँ B 1, B 2, ..., B n असंगत हैं और एक पूर्ण समूह बनाती हैं, अर्थात्। पी (बी 1) + पी (बी 2) + ... + पी (बी एन) = 1। और माना कि घटना A तभी घटित हो सकती है जब घटना B 1, B 2,…, B n में से कोई एक दिखाई दे। तब घटना A की प्रायिकता कुल प्रायिकता के सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है।

माना कि घटना A पहले ही हो चुकी है। तब बेयस सूत्र का उपयोग करके परिकल्पना В 1, В 2, ..., n की संभावनाओं का पुन: अनुमान लगाया जा सकता है:

बर्नौली का सूत्र

मान लीजिए n स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक घटना में A घटित हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। घटना A के घटित होने (घटना नहीं) की प्रायिकता समान है और p (q = 1-p) के बराबर है।

संभावना है कि एन स्वतंत्र परीक्षण घटना ए में ठीक उसी समय होगा (अंजीर के अनुसार, किस क्रम में) बर्नौली सूत्र द्वारा पाया जाता है:

संभावना है कि n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना घटित होगी:

ए)। कम बार P n (0) + P n (1) +… + P n (k-1)।

बी)। अधिक बार पी एन (के + 1) + पी एन (के + 2) +… + पी एन (एन)।

वी)। कम से कम k गुना P n (k) + P n (k + 1) +… + P n (n)।

जी)। अधिकतम k बार P n (0) + P n (1) +… + P n (k)।

स्थानीय और अभिन्न लाप्लास प्रमेय।

हम इन प्रमेयों का उपयोग तब करते हैं जब n काफ़ी बड़ा होता है।

स्थानीय लाप्लास प्रमेय

n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना के ठीक `k 'बार घटित होने की प्रायिकता लगभग बराबर है:

सकारात्मक मूल्यों (x) के लिए कार्यों की तालिका परिशिष्ट 1, पीपी। 324-325 में गमरमैन की समस्या पुस्तक में दी गई है।

चूँकि यह सम () है, हम ऋणात्मक मानों (x) के लिए समान तालिका का उपयोग करते हैं।

लाप्लास का अभिन्न प्रमेय।

n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना के कम से कम `k 'बार होने की प्रायिकता लगभग बराबर है:

लाप्लास समारोह

परिशिष्ट 2, पीपी 326-327 में गमरमैन की समस्या पुस्तक में सकारात्मक मूल्यों के लिए कार्यों की एक तालिका दी गई है। 5 से अधिक मान के लिए, हम (х) = 0.5 डालते हैं।

चूंकि लैपलेस फ़ंक्शन विषम Ф (-х) = - (х) है, तो नकारात्मक मानों (х) के लिए हम एक ही तालिका का उपयोग करते हैं, केवल फ़ंक्शन के मान को ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है।

असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण का नियम

द्विपद वितरण कानून।

अलग- एक यादृच्छिक चर, जिसके संभावित मान अलग-अलग पृथक संख्याएँ हैं, जिन्हें यह मात्रा कुछ संभावनाओं के साथ लेती है। दूसरे शब्दों में, असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों को क्रमांकित किया जा सकता है।

असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या परिमित या अनंत हो सकती है।

असतत यादृच्छिक चर बड़े अक्षरों X द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं, और उनके संभावित मान छोटे अक्षरों x1, x2, x3 द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं ...

मिसाल के तौर पर.

X पासे पर गिराए गए अंकों की संख्या है; X छह संभावित मान लेता है: x1 = 1, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6 संभावनाओं के साथ p1 = 1/6, p2 = 1/6, p3 = 1/6 .. पी6 = 1/6।

असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियमइसके संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं की सूची कहा जाता है।

वितरण कानून सेट किया जा सकता है:

1. तालिका के रूप में।

2. विश्लेषणात्मक रूप से - सूत्र के रूप में।

3. ग्राफिक रूप से। इस स्थिति में, बिंदु M1 (x1, p1), M2 (x2, p2), ... Mn (xn, pn) एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली XOP में निर्मित होते हैं। ये बिंदु रेखाखंडों से जुड़े हुए हैं। परिणामी आकृति कहलाती है वितरण बहुभुज.

असतत यादृच्छिक चर (x) के वितरण के नियम को लिखने के लिए, इसके सभी संभावित मूल्यों को सूचीबद्ध करना और संबंधित संभावनाओं को खोजना आवश्यक है।

यदि बर्नौली सूत्र द्वारा संगत प्रायिकताएँ पाई जाती हैं, तो ऐसे वितरण नियम को द्विपद कहा जाता है।

उदाहरण संख्या 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175।

असतत यादृच्छिक चर के संख्यात्मक मान।

गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन।

असतत यादृच्छिक चर के औसत मूल्य की विशेषता गणितीय अपेक्षा है।

गणितीय अपेक्षाएक असतत यादृच्छिक चर उनकी संभावनाओं द्वारा इसके सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों का योग है। वे। यदि वितरण नियम दिया जाता है, तो गणितीय अपेक्षा

यदि असतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अनंत है, तो

इसके अलावा, समानता के दाईं ओर की श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है, और सभी संभावनाओं का योग pi एक के बराबर होता है।

गणितीय अपेक्षा गुण।

1.एम (सी) = सी, सी = पोस्ट।

2.एम (सीएक्स) = सीएम (एक्स)

3.M (x1 + x2 + ... + xn) = M (x1) + M (x2) + ... + M (xn)

4. एम (एक्स 1 * एक्स 2 * ... * एक्सएन) = एम (एक्स 1) * एम (एक्स 2) * ... * एम (एक्सएन)।

5. द्विपद बंटन नियम के लिए गणितीय अपेक्षा सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:

गणितीय अपेक्षा के आसपास एक यादृच्छिक मात्रा के संभावित मूल्यों के बिखरने की विशेषता विचरण और मानक विचलन है।

फैलावएक असतत यादृच्छिक चर (x) को विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। डी (एक्स) = एम (एक्स-एम (एक्स)) 2.

सूत्र द्वारा भिन्नता की गणना करना सुविधाजनक है: डी (एक्स) = एम (एक्स 2) - (एम (एक्स)) 2।

फैलाव गुण।

1.डी (एस) = 0, एस = स्थिर।

2.डी (सीएक्स) = सी 2 डी (एक्स)

3. डी (एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्सएन) = डी (एक्स 1) + डी (एक्स 2) + ... + डी (एक्सएन)

4. द्विपद बंटन नियम का प्रकीर्णन

माध्य वर्ग विचलनएक यादृच्छिक चर को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है।

उदाहरण। 191, 193, 194, 209, डी / जेड।

एक सतत यादृच्छिक चर (NSV) की संभावनाओं का संचयी वितरण फलन (IGF, FD)। निरंतर- एक मात्रा जो एक निश्चित परिमित या अनंत अंतराल से सभी मान ले सकती है। NWS के संभावित मानों की संख्या उपलब्ध है और इसे फिर से क्रमांकित नहीं किया जा सकता है।

मिसाल के तौर पर.

प्रक्षेप्य प्रक्षेपित करने पर जितनी दूरी तय करता है वह NSV है।

IGF को फ़ंक्शन F (x) कहा जाता है, जो निर्धारित करता है, x के प्रत्येक मान के लिए, NSV X के मान X लेने की प्रायिकता<х, т.е. F(x)=Р(X

अक्सर, एक IGF के बजाय, वे FR कहते हैं।

ज्यामितीय रूप से, समानता F (x) = P (X .)

अगर गुण।

1. IF मान अंतराल से संबंधित है, अर्थात। एफ (एक्स)।

2. IF एक गैर-घटता फलन है, अर्थात्। x2> x1 ,.

कोरोलरी 1. एनएसवी एक्स के अंतराल (ए; सी) में शामिल मान लेने की संभावना इस अंतराल पर इंटीग्रल फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर है, अर्थात।

पी (ए

कोरोलरी 2. NSV X के एक निश्चित मान लेने की प्रायिकता, उदाहरण के लिए, x1 = 0, 0 के बराबर है, अर्थात। पी (एक्स = एक्स 1) = 0।

3. यदि एनएसवी एक्स के सभी संभावित मान (ए; सी) से संबंधित हैं, तो एफ (एक्स) = 0 एक्स के लिए<а, и F(x)=1 при х>वी

कोरोलरी 3. निम्नलिखित सीमा संबंध मान्य हैं।

एक सतत यादृच्छिक चर (DCV) (संभाव्यता घनत्व) की संभावनाओं का विभेदक वितरण फ़ंक्शन (DFD)।

डीएफ एफ (एक्स) NSV का संभाव्यता वितरण IGF के पहले व्युत्पन्न को कॉल करें:

अक्सर एफडीआर के बजाय संभाव्यता घनत्व (पीवी) कहा जाता है।

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि, आईएफ एफ (एक्स) को जानने के बाद, कोई भी डीएफ एफ (एक्स) पा सकता है। लेकिन रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन भी किया जाता है: DF f (x) को जानकर कोई भी IF F (x) पा सकता है।

NSV X के (a; c) से संबंधित मान लेने की प्रायिकता पाई जाती है:

ए)। यदि IF दिया गया हो - उपफल 1.

बी)। यदि DF दिया जाता है

डीएफ गुण।

1. डीएफ - नकारात्मक नहीं, यानी। ...

2. () के भीतर DF का अनुचित समाकलन 1 के बराबर है, अर्थात। ...

कोरोलरी 1. यदि NSV X के सभी संभावित मान (a; c) से संबंधित हैं, तो।

उदाहरण। नंबर 263, 265, 266, 268, 1111, 272, डी / जेड।

एनएसवी की संख्यात्मक विशेषताएं।

1. NSV X की गणितीय अपेक्षा (MO), जिसके संभावित मान संपूर्ण OX अक्ष से संबंधित हैं, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

यदि NSV X के सभी संभावित मान (a; c) से संबंधित हैं, तो MO सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

असतत मात्रा के लिए संकेतित सभी एमओ गुण भी निरंतर मात्रा के लिए संरक्षित हैं।

2. NSV X का फैलाव, जिसके संभावित मान संपूर्ण OX अक्ष से संबंधित हैं, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

यदि NSV X के सभी संभावित मान (a; c) से संबंधित हैं, तो विचरण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

असतत मात्रा के लिए निर्दिष्ट सभी फैलाव गुण निरंतर मात्रा के लिए बनाए रखा जाता है।

3. एनएसवी एक्स का माध्य वर्ग विचलन उसी तरह निर्धारित किया जाता है जैसे असतत मूल्यों के लिए:

उदाहरण। नंबर 276, 279, एक्स, डी / जेड।

ऑपरेटिंग कैलकुलस (OI)।

OI एक ऐसी विधि है जो आपको विभेदन और कार्यों के एकीकरण को सरल क्रियाओं में कम करने की अनुमति देती है: इन कार्यों की तथाकथित छवियों के तर्क से गुणा और भाग।

OI के उपयोग से कई समस्याओं का समाधान आसान हो जाता है। विशेष रूप से, एलडीई को निरंतर गुणांक और ऐसे समीकरणों की प्रणालियों के साथ एकीकृत करने की समस्याएं, उन्हें रैखिक बीजीय वाले तक कम करना।

मूल और चित्र। लाप्लास रूपांतरित होता है।

च (टी) -मूल; एफ (पी) -छवि।

संक्रमण एफ (टी) एफ (पी) कहा जाता है लाप्लास ट्रांसफॉर्म.

फ़ंक्शन f (t) के लाप्लास रूपांतर को F (p) कहा जाता है, जो एक जटिल चर पर निर्भर करता है और इसे सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है:

इस समाकलन को लाप्लास समाकलन कहते हैं। इस अनुचित समाकलन के अभिसरण के लिए, यह मान लेना पर्याप्त है कि अंतराल f(t) में यह टुकड़ों में निरंतर है और कुछ स्थिरांक M> 0 के लिए और असमानता को संतुष्ट करता है

ऐसे गुणों वाला एक फलन f (t) कहलाता है मूल, और मूल से उसकी छवि में संक्रमण को कहा जाता है लाप्लास ट्रांसफॉर्म.

लाप्लास परिवर्तन गुण।

सूत्र (2) द्वारा छवियों का प्रत्यक्ष निर्धारण आमतौर पर कठिन होता है और लाप्लास परिवर्तन के गुणों का उपयोग करके इसे बहुत सुविधाजनक बनाया जा सकता है।

मान लीजिए F (p) और G (p) क्रमशः मूल f (t) और g (t) के प्रतिबिम्ब हैं। फिर निम्नलिखित गुण-संबंध धारण करते हैं:

1.C * f (t) C * F (p), C = const - समरूपता का गुण।

2.f (t) + g (t) F (p) + G (p) - योगात्मकता का गुण।

3. एफ (टी) एफ (पी-) -विस्थापन प्रमेय।

छवि में मूल के n-वें व्युत्पन्न का संक्रमण (मूल के विभेदन का प्रमेय)।

सबसे प्रसिद्ध गैर-प्राथमिक कार्यों में से एक, जिसका उपयोग गणित में, अंतर समीकरणों के सिद्धांत में, सांख्यिकी में और संभाव्यता सिद्धांत में किया जाता है, लाप्लास फ़ंक्शन है। इसके साथ समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण तैयारी की आवश्यकता होती है। आइए जानें कि इस सूचक की गणना के लिए आप एक्सेल टूल का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

लाप्लास फ़ंक्शन में व्यापक रूप से लागू और सैद्धांतिक अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग अक्सर अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। इस शब्द का एक और समकक्ष नाम है - संभाव्यता अभिन्न। कुछ मामलों में, समाधान का आधार मूल्यों की तालिका का निर्माण होता है।

संचालिका NORM.ST.DIST

एक्सेल में, निर्दिष्ट कार्य को ऑपरेटर का उपयोग करके हल किया जाता है मानक जिला... इसका नाम सामान्य मानक वितरण के लिए संक्षिप्त है। चूंकि इसका मुख्य कार्य मानक सामान्य संचयी वितरण को चयनित सेल में वापस करना है। यह ऑपरेटर मानक एक्सेल फ़ंक्शंस की सांख्यिकीय श्रेणी से संबंधित है।

एक्सेल 2007 और प्रोग्राम के पुराने संस्करणों में, इस ऑपरेटर को कहा जाता था नॉर्मस्ट्रास्प... अनुकूलता के लिए, इसे अनुप्रयोगों के आधुनिक संस्करणों में बनाए रखा गया है। लेकिन फिर भी, उनमें अधिक उन्नत एनालॉग का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है - मानक जिला.

ऑपरेटर सिंटैक्स मानक जिलानिम्नलिखित नुसार:

मानक ST.DIST (z; संचयी)

पदावनत ऑपरेटर नॉर्मस्ट्रास्पइस तरह लिखा:

नॉर्मस्ट्रास्प (जेड)

जैसा कि आप देख सकते हैं, नए संस्करण में मौजूदा तर्क के लिए "जेड"जोड़ा तर्क "अभिन्न"... यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक तर्क की आवश्यकता है।

तर्क "जेड"अंकीय मान इंगित करता है जिसके लिए वितरण प्लॉट किया गया है।

तर्क "अभिन्न"एक बूलियन मान का प्रतिनिधित्व करता है जिसे दर्शाया जा सकता है "सच" ("एक")या "झूठ बोलना" («0») ... पहले मामले में, संचयी वितरण फ़ंक्शन निर्दिष्ट सेल में वापस आ जाता है, और दूसरे में, वज़न वितरण फ़ंक्शन।

समस्या का समाधान

एक चर के लिए आवश्यक गणना करने के लिए, निम्न सूत्र लागू किया जाता है:

मानक जिला (जेड; संचयी (1)) - 0.5

आइए अब ऑपरेटर के उपयोग को देखें मानक जिलाकिसी विशिष्ट समस्या को हल करने के लिए।

स्थानीय और अभिन्न लाप्लास प्रमेय

यह लेख इस बारे में पाठ की एक स्वाभाविक निरंतरता है स्वतंत्र परीक्षणहम कहाँ मिले थे बर्नौली सूत्र द्वाराऔर इस विषय पर विशिष्ट उदाहरण तैयार किए। स्थानीय और अभिन्न लाप्लास प्रमेय (मोइवर-लाप्लास) एक समान समस्या को इस अंतर के साथ हल करते हैं कि वे काफी बड़ी संख्या में स्वतंत्र परीक्षणों पर लागू होते हैं। "स्थानीय", "अभिन्न", "प्रमेय" शब्दों को अस्पष्ट करने की कोई आवश्यकता नहीं है - सामग्री को उसी सहजता से महारत हासिल है जिसके साथ लैपलेस ने नेपोलियन के घुंघराले सिर को थपथपाया था। इसलिए, बिना किसी जटिल और प्रारंभिक टिप्पणी के, हम तुरंत एक डेमो उदाहरण पर विचार करेंगे:

सिक्का 400 बार फ़्लिप किया जाता है। चित के 200 बार उतरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

विशेषता विशेषताओं के अनुसार, इसे यहां लागू किया जाना चाहिए बर्नौली सूत्र ... आइए इन अक्षरों का अर्थ याद रखें:

- संभावना है कि स्वतंत्र परीक्षणों में एक यादृच्छिक घटना बिल्कुल एक बार घटित होगी;
– द्विपद गुणांक;
- प्रत्येक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता;

हमारे कार्य के संबंध में:
- परीक्षणों की कुल संख्या;
- थ्रो की संख्या जिसमें सिर गिरना चाहिए;

इस प्रकार, संभावना है कि एक सिक्के के 400 उछाल के परिणामस्वरूप, सिर ठीक 200 गुना गिरेगा: ... रुको, आगे क्या करना है? माइक्रो कैलकुलेटर (कम से कम मेरा) 400 डिग्री के साथ सामना नहीं कर सका और कैपिटेट किया फैक्टोरियल्स... लेकिन मैं काम के माध्यम से गिनना नहीं चाहता था =) आइए उपयोग करें मानक एक्सेल फ़ंक्शन, जो राक्षस को संसाधित करने में कामयाब रहा:।

मैं आपका ध्यान उस ओर आकर्षित करता हूँ जो प्राप्त हुआ है सटीकअर्थ और ऐसा समाधान एकदम सही लगता है। पहली नज़र में। यहाँ कुछ सम्मोहक प्रतिवाद हैं:

- सबसे पहले, सॉफ्टवेयर हाथ में नहीं हो सकता है;
- और दूसरी बात, समाधान बॉक्स के बाहर दिखेगा (काफी संभावना के साथ आपको पुनर्विचार करना होगा);

इसलिए, प्रिय पाठकों, निकट भविष्य में हम इसकी प्रतीक्षा कर रहे हैं:

स्थानीय लाप्लास प्रमेय

यदि प्रत्येक परीक्षण में एक यादृच्छिक घटना के घटित होने की प्रायिकता स्थिर है, तो परीक्षण में घटना के ठीक एक बार घटित होने की प्रायिकता लगभग बराबर होती है:
, कहाँ पे ।

इस मामले में, बड़ी, परिकलित प्रायिकता प्राप्त किए गए सटीक मान का बेहतर अनुमान लगाएगी (कम से कम काल्पनिक रूप से)बर्नौली सूत्र द्वारा। परीक्षणों की अनुशंसित न्यूनतम संख्या लगभग 50-100 है, अन्यथा परिणाम सच्चाई से बहुत दूर हो सकता है। इसके अलावा, स्थानीय लाप्लास प्रमेय बेहतर काम करता है, 0.5 के करीब संभावना, और इसके विपरीत - यह शून्य या एक के करीब मूल्यों पर एक महत्वपूर्ण त्रुटि देता है। इस कारण से, सूत्र के प्रभावी उपयोग के लिए एक और मानदंड असमानता की पूर्ति है () .

इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि, तो 50 परीक्षणों के लिए लाप्लास प्रमेय का प्रयोग उचित है। लेकिन अगर और, तो सन्निकटन (सटीक मूल्य के लिए)खराब होगा।

क्यों और एक विशेष समारोह हम पाठ में बात करेंगे सामान्य संभाव्यता वितरण, लेकिन अभी के लिए हमें इस मुद्दे के औपचारिक कम्प्यूटेशनल पक्ष की आवश्यकता है। विशेष रूप से, एक महत्वपूर्ण तथ्य है समानतायह समारोह: .

आइए हमारे उदाहरण के साथ आधिकारिक संबंध को औपचारिक रूप दें:

समस्या 1

सिक्का 400 बार फ़्लिप किया जाता है। चित के ठीक ऊपर आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :

ए) 200 बार;
बी) 225 बार।

कहाँ से शुरू करें उपाय? सबसे पहले, आइए ज्ञात मूल्यों को लिखें ताकि वे हमारी आंखों के सामने हों:

- स्वतंत्र परीक्षणों की कुल संख्या;
- प्रत्येक थ्रो में हेड आने की प्रायिकता;
- पूंछ मिलने की संभावना।

क) आइए हम प्रायिकता ज्ञात करें कि 400 थ्रो की श्रृंखला में चित ठीक एक बार गिरेगा। बड़ी संख्या में परीक्षणों के कारण, हम स्थानीय लाप्लास प्रमेय का उपयोग करते हैं: , कहाँ पे .

पहले चरण में, हम तर्क के आवश्यक मान की गणना करते हैं:

इसके बाद, हम फ़ंक्शन के संबंधित मान पाते हैं:। यह कई मायनों में किया जा सकता है। सबसे पहले, निश्चित रूप से, प्रत्यक्ष गणना स्वयं का सुझाव देती है:

राउंडिंग, एक नियम के रूप में, 4 दशमलव स्थानों पर किया जाता है।

प्रत्यक्ष गणना का नुकसान यह है कि प्रत्येक माइक्रो-कैलकुलेटर घातांक को पचा नहीं सकता है, और इसके अलावा, गणना बहुत सुखद नहीं है और इसमें समय लगता है। इतना कष्ट क्यों? उपयोग क्षेत्र द्वारा कैलकुलेटर (बिंदु 4)और तुरंत मूल्य प्राप्त करें!

इसके अलावा, वहाँ है फ़ंक्शन मान तालिका, जो कि संभाव्यता के सिद्धांत पर लगभग किसी भी पुस्तक में है, विशेष रूप से, पाठ्यपुस्तक में वी.ई. गमुरमान... डाउनलोड करें, जिसने अभी तक डाउनलोड नहीं किया है - आम तौर पर बहुत उपयोगी जानकारी होती है ;-) और स्प्रैडशीट का उपयोग करना सीखना सुनिश्चित करें (अभी!)- हाथ में हमेशा कोई उपयुक्त कंप्यूटर तकनीक नहीं हो सकती है!

अंतिम चरण में, हम सूत्र लागू करेंगे :
- संभावना है कि एक सिक्के के 400 उछाल के साथ, ठीक 200 बार चित गिरेगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्राप्त परिणाम द्वारा गणना किए गए सटीक मूल्य के बहुत करीब है बर्नौली सूत्र.

ख) आइए हम प्रायिकता ज्ञात करें कि 400 परीक्षणों की एक श्रृंखला में, शीर्ष ठीक एक बार गिरेंगे। हम स्थानीय लाप्लास प्रमेय का उपयोग करते हैं। एक, दो, तीन - और आपका काम हो गया:

आवश्यक संभावना है।

उत्तर:

अगला उदाहरण, जैसा कि कई लोगों ने अनुमान लगाया है, बच्चे के जन्म के लिए समर्पित है - और यह आपको खुद तय करना है :)

टास्क 2

लड़का होने की प्रायिकता 0.52 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 100 नवजात शिशुओं में से ठीक-ठीक होंगे: a) 40 लड़के, b) 50 लड़के, c) 30 लड़कियां।

परिणामों को 4 दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें।

... यह दिलचस्प है कि वाक्यांश "स्वतंत्र परीक्षण" यहां लगता है =) वैसे, वास्तविक सांख्यिकीय संभावनादुनिया के कई क्षेत्रों में लड़के का जन्म 0.51 से 0.52 के बीच होता है।

पाठ के अंत में कार्य डिजाइन का एक अनुमानित नमूना।

सभी ने देखा कि संख्याएँ काफी छोटी हैं, और यह भ्रामक नहीं होना चाहिए - आखिरकार, हम अलग से ली गई संभावनाओं के बारे में बात कर रहे हैं, स्थानीयमान (इसलिए प्रमेय का नाम)। और ऐसे कई मूल्य हैं, और, लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, संभावना "सभी के लिए पर्याप्त होनी चाहिए।" सच है, कई घटनाएं होंगी लगभग असंभव.

मुझे सिक्कों के साथ एक उदाहरण का उपयोग करके उपरोक्त की व्याख्या करने दें: चार सौ परीक्षणों की एक श्रृंखला में, बाज सैद्धांतिक रूप से 0 से 400 बार गिर सकता है, और ये घटनाएँ बनती हैं पूरा समूह:

हालांकि, इनमें से अधिकतर मूल्य केवल मामूली हैं, उदाहरण के लिए, 250 बार सिर गिरने की संभावना पहले से ही एक दस मिलियन है:। जैसे मूल्यों के बारे में चतुराई से चुप रहो =)

दूसरी ओर, मामूली परिणामों को कम करके नहीं आंका जाना चाहिए: यदि यह केवल के बारे में है, तो संभावना है कि सिर गिर जाएगा, कहते हैं, 220 से 250 गुनाकाफी ध्यान देने योग्य होगा।

आइए अब सोचें: इस संभावना की गणना कैसे करें? द्वारा गिनती न करें असंगत घटनाओं की संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेयरकम:

ये मान बहुत सरल हैं यूनाईटेड... और किसी चीज का संयोजन, जैसा कि आप जानते हैं, कहलाता है एकीकृत:

लाप्लास का अभिन्न प्रमेय

यदि प्रत्येक परीक्षण में एक यादृच्छिक घटना के घटित होने की प्रायिकता स्थिर है, तो प्रायिकता कि परीक्षणों में घटना आएगी न कम और न अधिक बार (समय-समय पर समावेशी), लगभग बराबर है:

इस मामले में, निश्चित रूप से, परीक्षणों की संख्या भी काफी बड़ी होनी चाहिए और संभावना बहुत छोटी / अधिक नहीं है। (प्रयोगात्मक रूप से), अन्यथा सन्निकटन महत्वहीन या खराब होगा।

समारोह कहा जाता है लाप्लास समारोह, और इसके मूल्यों को फिर से एक मानक तालिका में संक्षेपित किया गया है ( ढूंढें और इसके साथ काम करना सीखें !!) एक माइक्रोकैलकुलेटर यहां मदद नहीं करेगा, क्योंकि इंटीग्रल नॉन-वेरिएबल है। लेकिन एक्सेल की एक समान कार्यक्षमता है - उपयोग बिंदु 5 डिज़ाइन योजना.

व्यवहार में, निम्नलिखित मान सबसे आम हैं:
- इसे अपनी नोटबुक में फिर से लिखें।
के साथ शुरू, हम मान सकते हैं कि, या, इसे और अधिक सख्ती से रखने के लिए:

इसके अलावा, लाप्लास समारोह अजीब: , और इस संपत्ति का उन कार्यों में सक्रिय रूप से शोषण किया जाता है जो पहले से ही हमारी प्रतीक्षा कर रहे हैं:

समस्या 3

निशानेबाज द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.7 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 100 शॉट्स के साथ लक्ष्य 65 से 80 बार मारा जाएगा।

मैंने सबसे यथार्थवादी उदाहरण चुना, अन्यथा मुझे कई समस्याएं मिलीं जिनमें शूटर हजारों शॉट बनाता है =)

समाधान: इस समस्या में हम बात कर रहे हैं दोहराया स्वतंत्र परीक्षणहैं, और उनकी संख्या काफी बड़ी है। शर्त के अनुसार, यह प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है कि लक्ष्य कम से कम 65 से टकराएगा, लेकिन 80 बार से अधिक नहीं, जिसका अर्थ है कि आपको लाप्लास अभिन्न प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है:, जहां

सुविधा के लिए, आइए एक कॉलम में प्रारंभिक डेटा को फिर से लिखें:
- कुल शॉट्स;
- हिट की न्यूनतम संख्या;
- हिट की अधिकतम संख्या;
- प्रत्येक शॉट के साथ लक्ष्य को मारने की संभावना;
- प्रत्येक शॉट के साथ चूक की संभावना।

अत: लाप्लास प्रमेय एक अच्छा सन्निकटन देगा।

आइए तर्कों के मूल्यों की गणना करें:

मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता हूं कि काम को पूरी तरह से जड़ से निकालने की जरूरत नहीं है (समस्याओं के लेखक संख्याओं को "समायोजित" करना पसंद करते हैं)- बिना किसी संदेह के, जड़ निकालें और परिणाम को गोल करें; मुझे 4 दशमलव स्थान छोड़ने की आदत है। लेकिन प्राप्त मूल्यों को आमतौर पर 2 दशमलव स्थानों पर गोल किया जाता है - यह परंपरा से आती है फ़ंक्शन मान तालिकाजहां तर्क ठीक वैसे ही प्रस्तुत किए जाते हैं जैसे वे हैं।

हम उपरोक्त तालिका का उपयोग करते हैं या टर्वर द्वारा गणना लेआउट (बिंदु 5).
एक लिखित टिप्पणी के रूप में, मैं आपको निम्नलिखित वाक्यांश रखने की सलाह देता हूं: हम संबंधित तालिका के अनुसार फ़ंक्शन के मान पाते हैं:

- संभावना है कि 100 शॉट्स के साथ लक्ष्य 65 से 80 बार मारा जाएगा।

विषम फ़ंक्शन का उपयोग करना सुनिश्चित करें!बस मामले में, मैं विस्तार से लिखूंगा:

तथ्य यह है कि फ़ंक्शन मान तालिकाकेवल सकारात्मक "x" है, और हम काम कर रहे हैं (कम से कम "किंवदंती" के अनुसार)एक टेबल के साथ!

उत्तर:

परिणाम को अक्सर 4 दशमलव स्थानों पर गोल किया जाता है। (फिर से तालिका प्रारूप के अनुसार).

एक स्वतंत्र समाधान के लिए:

समस्या 4

इमारत में 2500 लैंप हैं, उनमें से प्रत्येक के शाम को चालू होने की संभावना 0.5 है। शाम के समय कम से कम 1250 और 1275 से अधिक लैंप के न जलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

पाठ के अंत में समाप्त करने का एक मोटा उदाहरण।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विचाराधीन कार्य अक्सर "अवैयक्तिक" रूप में सामने आते हैं, उदाहरण के लिए:

कुछ प्रयोग किए जाते हैं, जिसमें एक यादृच्छिक घटना 0.5 की संभावना के साथ प्रकट हो सकती है। अपरिवर्तित परिस्थितियों में प्रयोग 2500 बार दोहराया जाता है। प्रायिकता निर्धारित करें कि 2500 प्रयोगों में घटना 1250 से 1275 बार घटित होगी

और इसी तरह के फॉर्मूलेशन छत के ऊपर हैं। रूढ़िवादी कार्यों के कारण, वे अक्सर स्थिति को छिपाने की कोशिश करते हैं - यह किसी भी तरह समाधान को विविधता और जटिल करने का "एकमात्र मौका" है:

समस्या 5

संस्थान में 1000 छात्र हैं। डाइनिंग रूम में 105 सीटें हैं। प्रत्येक छात्र बड़े ब्रेक के दौरान 0.1 की संभावना के साथ कैफेटेरिया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक सामान्य स्कूल दिवस पर:

क) भोजन कक्ष दो-तिहाई से अधिक भरा नहीं होगा;
बी) सभी के लिए पर्याप्त सीटें नहीं होंगी।

मैं आपका ध्यान "एक सामान्य स्कूल दिवस पर" आवश्यक खंड की ओर आकर्षित करना चाहता हूं - यह सुनिश्चित करता है कि स्थिति अपेक्षाकृत अपरिवर्तित है। छुट्टियों के बाद, संस्थान में काफी कम छात्र आ सकते हैं, और एक भूखा प्रतिनिधिमंडल "ओपन डे" पर उतर सकता है =) यानी "असामान्य" दिन पर, संभावनाएं स्पष्ट रूप से भिन्न होंगी।

समाधान: हम लाप्लास समाकलन प्रमेय का प्रयोग करते हैं, जहाँ

इस कार्य में:
- संस्थान के सभी छात्र;
- संभावना है कि छात्र एक बड़े ब्रेक के दौरान कैफेटेरिया जाएगा;
- विपरीत घटना की संभावना।

ए) गणना करें कि कुल कितनी सीटें दो-तिहाई हैं: सीटें

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक सामान्य स्कूल के दिन, कैफेटेरिया दो-तिहाई से अधिक नहीं भरा होगा। इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि 0 से 70 लोग बड़े ब्रेक में आएंगे। तथ्य यह है कि कोई नहीं आएगा या केवल कुछ छात्र आएंगे - घटनाएं हैं लगभग असंभव, हालांकि, लाप्लास के अभिन्न प्रमेय को लागू करने के लिए, इन संभावनाओं को अभी भी ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस तरह:

आइए संबंधित तर्कों की गणना करें:

नतीजतन:

- संभावना है कि एक ठेठ स्कूल के दिन कैफेटेरिया दो-तिहाई से अधिक नहीं भरा होगा।

अनुस्मारक : के लिए, लाप्लास फ़ंक्शन को समान माना जाता है।

झुंड, हालांकि =)

बी) घटना "सभी के लिए पर्याप्त सीटें नहीं होंगी"इस तथ्य में शामिल है कि 106 से 1000 लोग बड़े ब्रेक पर भोजन कक्ष में आएंगे (मुख्य बात अच्छी तरह से सील करना है =))।यह स्पष्ट है कि उच्च उपस्थिति अविश्वसनीय है, लेकिन फिर भी: .

हम तर्कों की गणना करते हैं:

इस प्रकार, संभावना है कि सभी के लिए पर्याप्त सीटें नहीं होंगी:

उत्तर:

अब एक पर वास करते हैं महत्वपूर्ण बारीकियांविधि: जब हम गणना करते हैं एक खंड, तो सब कुछ "बादल रहित" है - विचार किए गए टेम्पलेट के अनुसार निर्णय लें। हालांकि, विचार के मामले में घटनाओं का पूरा समूहदिखाना चाहिए एक निश्चित सटीकता... अभी-अभी विश्लेषण की गई समस्या के उदाहरण का उपयोग करके मैं इस बिंदु की व्याख्या करता हूं। बिंदु "बीएच" पर हमें संभावना मिली कि सभी के लिए पर्याप्त सीटें नहीं होंगी। इसके अलावा, उसी योजना के अनुसार, हम गणना करेंगे:
- संभावना है कि पर्याप्त सीटें होंगी।

इन घटनाओं के बाद से विलोम, तो प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होना चाहिए:

क्या बात है? - यहां सब कुछ तार्किक लगता है। मुद्दा यह है कि लाप्लास फ़ंक्शन है निरंतर, लेकिन हमने ध्यान नहीं दिया मध्यान्तर 105 से 106 तक। यहीं पर 0.0338 का एक टुकड़ा गायब हो गया। इसलिए एक ही मानक सूत्र द्वारागणना करनी चाहिए:

ठीक है, या इससे भी सरल:

सवाल उठता है: क्या हुआ अगर हमें पहला मिल गया? तब समाधान का एक और संस्करण होगा:

लेकिन यह कैसे हो सकता है ?! - अलग-अलग उत्तर दो तरह से मिलते हैं! यह आसान है: लैपलेस का अभिन्न प्रमेय एक विधि है अनुमानितगणना, और इसलिए दोनों स्वीकार्य हैं।

अधिक सटीक गणना के लिए, आपको उपयोग करना चाहिए बर्नौली सूत्र द्वाराऔर, उदाहरण के लिए, एक्सेल फ़ंक्शन बिनोमडिस्ट... नतीजतन इसका आवेदनहम पाते हैं:

और मैं साइट आगंतुकों में से एक के प्रति आभार व्यक्त करता हूं जिन्होंने इस सूक्ष्मता पर ध्यान आकर्षित किया - यह मेरी दृष्टि के क्षेत्र से बाहर हो गया, क्योंकि घटनाओं के एक पूरे समूह का अध्ययन शायद ही कभी व्यवहार में मिलता है। रुचि रखने वाले स्वयं को परिचित कर सकते हैं

2.1. लाप्लास फ़ंक्शन (संभाव्यता अभिन्न)की तरह लगता है:

लैपलेस फ़ंक्शन का ग्राफ चित्र 5 में दिखाया गया है।

समारोह एफ(एक्स) सारणीबद्ध है (परिशिष्ट की तालिका 1 देखें)। इस तालिका को लागू करने के लिए, आपको पता होना चाहिए लाप्लास फ़ंक्शन के गुण:

1) फंक्शन ( एक्स) अजीब: एफ(-एक्स)= -एफ(एक्स).

2) समारोह एफ(एक्स) नीरस रूप से बढ़ रहा है।

3) एफ(0)=0.

4) एफ(+¥ )=0,5; एफ(-¥ ) = - 0.5। व्यवहार में, हम मान सकते हैं कि x³5 के लिए फलन एफ(एक्स) = 0.5; x £ -5 समारोह के लिए एफ(एक्स)=-0,5.

2.2. लैपलेस फ़ंक्शन के अन्य रूप हैं:

तथा

इन रूपों के विपरीत, फ़ंक्शन एफ(एक्स) को मानक या सामान्यीकृत लैपलेस फ़ंक्शन कहा जाता है। यह रिश्तों के अन्य रूपों से जुड़ा है:

उदाहरण 2.सतत यादृच्छिक चर एक्समापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण है: एम=3, एस= 4 प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक यादृच्छिक चर एक्स: a) अंतराल (2; 6) में संलग्न मान लेगा; बी) 2 से कम मान लेगा; ग) 10 से अधिक मान लेगा; d) गणितीय अपेक्षा से 2 से अधिक नहीं की राशि से विचलन करता है। समस्या के समाधान को चित्रमय रूप से चित्रित करें।

समाधान।ए) संभावना है कि एक सामान्य यादृच्छिक चर एक्सनिर्दिष्ट अंतराल में आता है ( ए, बी), कहाँ पे ए= 2 और बी= 6 के बराबर है:

लाप्लास फ़ंक्शन मान एफ (एक्स)परिशिष्ट में दी गई तालिका के अनुसार निर्धारित किया जाता है कि एफ(–एक्स)= –एफ(एक्स).

बी) संभावना है कि एक सामान्य यादृच्छिक चर एक्स 2 से कम मान लेता है, इसके बराबर है:

सी) संभावना है कि एक सामान्य यादृच्छिक चर एक्स 10 से अधिक मान लेता है, इसके बराबर है:

डी) संभावना है कि एक सामान्य यादृच्छिक चर एक्स डी= 2, के बराबर है:

ज्यामितीय रूप से, गणना की संभावनाएं सामान्य वक्र के नीचे छायांकित क्षेत्रों के बराबर होती हैं (चित्र 6 देखें)।

1 5

चावल। 6. यादृच्छिक चर के लिए सामान्य वक्र एक्स~एन(3;4)
उदाहरण 3.शाफ्ट व्यास को व्यवस्थित (एक संकेत) त्रुटियों के बिना मापा जाता है। यादृच्छिक माप त्रुटियां 10 मिमी के मानक विचलन के साथ सामान्य वितरण कानून के अधीन हैं। निरपेक्ष मान में 15 मिमी से अधिक की त्रुटि के साथ माप किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।यादृच्छिक त्रुटियों की गणितीय अपेक्षा शून्य है एम एक्ससे कम राशि से गणितीय अपेक्षा से विचलन करता है डी= 15 के बराबर है:

उदाहरण 4... मशीन गेंदों का उत्पादन करती है। विचलन होने पर गेंद को अच्छा माना जाता है एक्सनिरपेक्ष मान में डिजाइन आकार से गेंद का व्यास 0.7 मिमी से कम है। यह मानते हुए कि यादृच्छिक चर एक्स 0.4 मिमी के मानक विचलन के साथ सामान्य रूप से वितरित, 100 निर्मित गेंदों के बीच अच्छी गेंदों की औसत संख्या पाएं।

समाधान।यादृच्छिक मूल्य एक्स- डिजाइन के आकार से गेंद के व्यास का विचलन। विचलन की गणितीय अपेक्षा शून्य है, अर्थात। एम(एक्स)=एम= 0. फिर संभावना है कि सामान्य यादृच्छिक चर एक्ससे कम राशि से गणितीय अपेक्षा से विचलन करता है डी= 0.7, के बराबर है:

यह इस प्रकार है कि 100 में से लगभग 92 गेंदें प्रयोग योग्य होंगी।

उदाहरण 5.नियम साबित करें "3 एस».

समाधान।संभावना है कि एक सामान्य यादृच्छिक चर एक्ससे कम राशि से गणितीय अपेक्षा से विचलन करता है डी = 3एस, के बराबर है:

उदाहरण 6.यादृच्छिक मूल्य एक्ससामान्य रूप से गणितीय अपेक्षा के साथ वितरित एम= 10. हिट संभावना एक्सअंतराल में (10, 20) 0.3 है। टकराने की प्रायिकता क्या है एक्सअंतराल में (0, 10)?

समाधान।एक सीधी रेखा के बारे में सममित सामान्य वक्र एक्स=एम= 10; इसलिए, ऊपर से सामान्य वक्र और नीचे से अंतराल (0, 10) और (10, 20) से घिरे क्षेत्र एक दूसरे के बराबर हैं। चूंकि क्षेत्र संख्यात्मक रूप से हिट संभावनाओं के बराबर हैं एक्सउपयुक्त अंतराल में, फिर।