Прежде всего определимся, что же такое многогранник. Это трехмерная геометрическая фигура, грани которой представлены в виде плоских многоугольников. Единой формулы поиска объема многогранника не существует, так как многогранники бывают разной формы. Для того чтобы найти объем сложного многогранника, его условно делят на несколько простых, таких как параллелепипед, призма, пирамида, а затем складывают объемы простых многогранников и получают в результате искомый объем фигуры.
Как найти объем многогранника — параллелепипеда
Для начала найдем площадь прямоугольного параллелепипеда. У такой геометрической фигуры все грани представлены в виде плоских прямоугольных фигур.
- Самый простой прямоугольный параллелепипед – это куб. Все ребра куба равны между собой. Всего у такого параллелепипеда 6 граней, то есть 6 одинаковых квадратов. Объем такой фигуры рассчитывается таким образом:
где a – длина любого ребра куба.
- Объем прямоугольного параллелепипеда, стороны которого имеют различные измерения, рассчитывается по следующей формуле:
где a, b и с – длины ребер.
Как найти объем многогранника — наклонного параллелепипеда
У наклонного параллелепипеда так же 6 граней, 2 их них – основания фигуры, еще 4 – боковые грани. Наклонный параллелепипед отличается от прямого тем, что его боковые грани по отношению к основанию расположены не под прямым углом. Объем такой фигуры рассчитывается как произведение между площадью основания и высотой:
где S – это площадь четырехугольника, лежащего в основании, h – высота искомой фигуры.
Как найти объем многогранника — призмы
Объемная геометрическая фигура, основание которой представлено многоугольником любой формы, а боковые грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с основанием – называется призмой. У призмы два основания, а боковых граней столько, сколько сторон у фигуры, являющейся основанием.
Для нахождения объема любой призмы, как прямой, так и наклонной, умножают площадь основания на высоту:
где S – площадь многоугольника в основании фигуры, а h – высота призмы.
Как найти объем многогранника — пирамиды
Если в основании фигуры расположен многоугольник, а боковые грани представлены в виде треугольников, смыкающихся в общей вершине, то такую фигуру называют пирамидой. Она отличается от вышеперечисленных фигур тем, что у нее имеется только одно основание, кроме этого, у нее есть вершина. Чтобы найти объем пирамиды, ее основание умножают на высоту, и делят результат на 3:
здесь S – площадь основания искомой геометрической фигуры, а h – высота.
Площадь простого многогранника найти достаточно просто, гораздо сложнее найти площадь фигуры, состоящей из множества многогранников. Особое внимание придется уделить правильному разделению сложного многогранника на простые.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКА Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников. Площадь поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и площадей оснований. Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 22. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 4, четырех прямоугольников площади 2 и двух невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22. Упражнение 6
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 22. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 4, четырех прямоугольников площади 2, и двух невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22. Упражнение 7
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 22. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 4, четырех прямоугольников площади 2 и двух невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22. Упражнение 8
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ. 38. Решение. Поверхность многогранника состоит из квадрата площади 9, семи прямоугольников площади которых равны 3, и двух невыпуклых восьмиугольников площади которых равны 4. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 38. Упражнение 9
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 24. Решение. Поверхность многогранника состоит из трех квадратов площади 4, трех квадратов площади 1 и трех невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 24. Упражнение 10
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 92. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 16, прямоугольника площади 12, трех прямоугольников площади 4, двух прямоугольников площади 8, и двух невыпуклых восьмиугольников площади 10. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 92. Упражнение 11
29
Упражнение 26 Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите площадь поверхности цилиндра. Ответ: 6.
Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей. Ответ. 10. Решение. Площади поверхностей данных шаров равны и. Их сумма равна. Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10. Упражнение 30
Продолжаем решать задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике категории «№8» . Сегодня разбираем задачи, в которых фигурируют составные многогранники. (Мы уже встречались с задачами на составными многогранниками ).
Задача 1.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Площадь поверхности многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3, 3 и 2 и двух площадей квадратов 1х1.
Задача 2.
Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
Решение:
Площадь поверхности оставшейся части куба есть сумма площади поверхности куба (ребро 1) и площади боковой поверхности призмы, уменьшенная на двойную площадь квадрата (со стороной 0,4).
Ответ: 7,28.
Задача 3.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 6 раз?
Решение:
При увеличении всех ребер в 6 раз площадь каждой грани изменится в 36 раз, поэтому и сумма площадей всех граней (площадь поверхности) увеличенного октаэдра будет в 36 раз больше площади поверхности исходного октаэдра.
Задача 4.
Площадь поверхности тетраэдра равна 1. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
Решение:
Поверхность искомого многогранника состоит из 8 граней – треугольников.
Площадь каждого такого треугольников из пары (на рисунке выделены одним цветом)
в 4 раза меньше площади соответсвующей грани тетраэдра.
Тогда сумма площадей граней многогранника есть половина поверхности тетраэдра. То есть
Ответ: 0,5.
Вы можете посмотреть и видеоролик к задаче 4:
Задача 5.
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Решение:
Объем данного пространственного креста – есть 7 объемов единичных кубов. Поэтому
Задача 6.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Объем данного многогранника – есть объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3, 6 и 2 без объема прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1, 2, 2.
Задача 7.
Объем тетраэдра равен 1,5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
Задание B12 (№ 25641) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые)
Решение. Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней. Так как все грани этого многогранника - прямоугольники, то для нахождения площади каждой грани мы используем формулу площади прямоугольника :
S=ab , где a и b - длины двух смежных сторон прямоугольника.
Обозначим вершины многогранника:
1.Найдем сначала площадь боковой поверхности. Для этого, чтобы не пропустить ни одной грани, обойдем наш многоугольник по часовой стрелке, и запишем площадь каждой грани:
S бок =A 1 ABB 1 +B 1 CC 1 +C 1 CDD 1 +D 1 DEE 1 +E 1 EKK 1 +K 1 KLL 1 +L 1 LMM 1 +M 1 MAA 1 .
S бок =4x6+4x4+4x6+4x1+4x1+4x2+4x1+4x1=88
2. Найдем площадь верхней грани. Для этого из площади прямоугольника ABCD вычтем площадь прямоугольника MLKE:
3. Площадь нижней грани равна площади верхней грани и равна 22.
4. Сложим получившиеся площади: 88+22+22=132.
Ответ: 132.
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Решение задачи
В данном уроке рассматривается пример решения задачи на определение площади поверхности многогранника. Отмечается, что площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней, при этом площади противоположных граней попарно равны. В ходе решения используется формула нахождения площади квадрата: , где – длина стороны квадрата, и формула нахождения площади прямоугольника: , где и — смежные стороны. Сначала вычисляется площадь граней сверху и снизу (вершины отмечаются красным цветом). Затем определяется площади боковой (вершины отмечаются синим цветом) и противоположной ей поверхности. При этом производится дополнительное построение, в результате чего грань разбивается на две фигуры — квадрат и прямоугольник. Последней вычисляется площадь передней поверхности, вершина которой отмечается зеленым цветом. Затем найденная площадь умножается на . Таким образом, сложив площади всех найденных попарно граней, определяется искомая площадь поверхности многогранника.
Приведенное решение можно использовать с целью успешной подготовки к ЕГЭ по математике, в частности при решении задач типа В10.