introduction
Regardez : sont-ce deux livres ou un seul (voir Fig. 1, 2) ? Le livre est un, les formes sont différentes. Dans certains cas, une forme est pratique, dans d'autres une autre. Cette année, nous parlerons des dénominations e-vi-va-tape-nyh du même nombre de choses.
Riz. 1. "Magicien d'Izu-mrud-no-go-ro-da"
Nous allons présenter une procédure pour cela à l'aide de l'exemple suivant. La procédure peut être divisée en trois étapes. Dans le cas où il y a des membres égaux, il faut prendre celui élevé au plus haut degré. Comme nous pouvons le voir, nous avons maintenant deux fractions équivalentes à la première et ayant un dénominateur commun.
Examen du sujet de la comparaison de fractions avec différents dénominateurs à l'aide d'un exemple
Dans ce cas, il n'y a pas de facteurs communs, il suffit de calculer le produit des deux. Rappelez-vous que nous pouvons avoir un polynôme du second degré chaque fois qu'il n'a pas de racines réelles. Dans ce cas, il n'y a pas de facteurs communs, il suffit donc de calculer le produit des deux.
Riz. 2. "Magicien d'Izu-mrud-no-go-ro-da" (publié en 1984)
Représentation numérique
Les informations individuelles peuvent être données sous une forme différente, par exemple, le nombre "trois sur vingt" ressemblera à ceci : 13, XIII, treize.
Si vous-re-bu-et-xia vous-demi-thread slo-même-tion. Do-pu-stim, add-ba-vit vingt-sept.
Treize + vingt sept= Quarante
Comme nous pouvons le voir, nous avons maintenant deux fractions équivalentes à la première et ayant un dénominateur commun. Comment ajouter et soustraire des actions ordinaires. Les fractions communes ne peuvent être additionnées ou soustraites que si elles ont des dénominateurs communs. "Le bas du dénominateur". Les fractions ayant le même dénominateur ont des dénominateurs communs.
Par exemple, ces fractions ont un dénominateur commun de 4, elles peuvent donc être additionnées. Lorsque vous additionnez des fractions avec des dénominateurs communs, ajoutez des numérateurs. Le "numérateur" de la part totale est le nombre supérieur. De même, vous pouvez soustraire des fractions avec des dénominateurs communs en soustrayant les numérateurs les uns des autres.
XIII + XXVII = XL
Il est plus pratique pour vous de prendre la moitié de vous-numéro-le-niya, si vous utilisez l'écriture de-sya-tich. Par exemple, il y a deux sacs (voir Fig. 3). Dans l'un 2 pouds de grain, dans l'autre 32 kg. C'est la même quantité, les désignations sont différentes. Do-ba-wim dans chaque sac de 3 kg. Dans le premier sac, nous avons 2 livres et 3 kg. Dans le second - 35 kg (voir Fig. 4). Quel enregistrement est le plus facile ? Je comprends, mais deuxième paradis.
Si deux fractions n'ont pas de dénominateur commun, vous pouvez toujours les additionner et les soustraire, mais vous devez d'abord les modifier pour qu'elles aient un dénominateur commun. Il existe une règle simple qui fonctionne pour deux factions. Cette règle est basée sur le fait que si vous multipliez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre, la valeur de la fraction n'a pas changé.
Pour ajouter des factions en utilisant cette règle, vous. Multipliez le numérateur de chaque faction par le dénominateur de l'autre faction, puis additionnez deux réponses. Multipliez les dénominateurs ensemble. Car les factions ont désormais un dénominateur commun et peuvent s'additionner. Par exemple, pour additionner ces fractions.
Riz. 3. Sacs de céréales
Riz. 4. Sacs de céréales
Représenter un nombre avec des fractions
Il est plus pratique de représenter des nombres non entiers à l'aide d'un temps de tirage. In-te-res-mais le fait que le nombre de nombres un à un peut être représenté à l'aide de prises de vue e-vi-va-tape. Ainsi, dans le puits lo-vi du gâteau, nous pouvons l'obtenir en divisant le gâteau en deux parties et en en prenant une, ou vous pouvez le diviser en 6 parties et en prendre 3 (voir Fig. 5).
On applique d'abord la règle. La section Méthode ci-dessous montre comment vous pouvez utiliser l'algématique pour vous aider à additionner et à soustraire des fractions. Cela réparera également votre travail. Entrez des nombres mixtes comme la somme d'un nombre entier et d'une fraction entre parenthèses.
Utilisez la commande pour convertir des nombres mixtes en fractions impropres dans les plus petits termes. Utilisez la commande pour afficher le travail d'addition ou de soustraction de deux fractions communes. Les étapes ci-dessous montrent comment ajouter ou soustraire des fractions totales montrant le travail, et comment ajouter ou soustraire des nombres mixtes.
Riz. 5. Fractions Ek-vi-va-tape
Nous obtiendrons des fractions ek-vi-va-tape. Laissez maintenant nous devons ajouter un gâteau et un gâteau (voir Fig. 6). Sous cette forme, on ne peut pas le faire (c'est comme stocker des pouds et des kilos). Nous pouvons stocker des parties individuelles, par exemple des sixièmes. Derrière moi se trouve un plan de bande eq-vi-va (voir fig. 7).Maintenant, nous stockons des fractions individuelles (sixième), (voir fig. 8).
Assurez-vous que cette case n'est pas cochée. Ajouter des fractions avec les mêmes dénominateurs est assez facile lorsque vous suivez les règles. Cette leçon couvre l'addition de fractions avec le même dénominateur. Nous inclurons toutes les informations dont vous avez besoin pour rendre problématique la gestion des dénominateurs communs !
Instructions pour additionner des fractions avec le même dénominateur
L'équation ci-dessus montre la règle à ajouter. Donc, si vous avez affaire au même dénominateur, la réponse est la somme des numérateurs par leur dénominateur commun. Donc, tout ce que nous avons à faire est de collecter les détails et de sauvegarder notre point de référence. Pour additionner des fractions, les dénominateurs doivent être égaux. Suivez les étapes ci-dessous pour ajouter deux factions.
Riz. 6. Tiroir composite
Riz. 7. Za-me-na ek-vi-va-tape-noy draw-beat
Vous voulez vous entraîner à additionner des fractions avec le même dénominateur ?
Voulez-vous être le sifflet des factions ? Ce serait formidable si la règle mentionnée ci-dessus était tout ce que vous devez savoir sur l'ajout de factions. Mais il y a quelques autres choses dont nous devons parler pour terminer cette leçon. Les facteurs d'un nombre sont les nombres qui, multipliés ensemble, seront égaux à ce nombre.
Ce que nous recherchons est nombres premiers, qui sont des facteurs communs au numérateur et au dénominateur de la fraction. Si nous trouvons ces facteurs communs nous pouvons les annuler. Les résultats seront la plus petite fraction fractionnaire équivalente. Puisque 2 est un facteur commun au numérateur et au dénominateur de notre exemple, cela indique que notre réponse n'est pas une fraction dans sa forme la plus simple. Par conséquent, nous annulons l'un des deux au numérateur et au dénominateur en le divisant par 2. Les résultats sont la fraction réduite dans sa forme la plus simple.
Riz. 8. Montant du tirage
Regardons quelques exemples supplémentaires.
Exemple #1 Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs en utilisant des fractions équivalentes
Exemple 1. Addition et you-chi-ta-drow-bay avec different-know-me-on-the-la-mi avec l'aide de eq-vi-va-tape dro-bey.
Êtes-vous numéro : .
Solution
Nous écrivons pour chaque fraction plusieurs bandes eq-vi-va jusqu'à ce que nous rencontrions deux signes-me-on-te-la identiques dans des rangées différentes.
Quoi que vous fassiez avec le numérateur de la fraction, vous devez également le faire avec le dénominateur de la fraction. Donc, si vous devez diviser le numérateur par un nombre, vous devez également diviser le dénominateur par le même nombre. Donc tu ne changeras pas sens général factions.
Dans ce problème, 2 et 3 peuvent être trouvés comme facteurs à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction. Remarquez que nous n'annulons qu'un contre un ! Vous pouvez vous rappeler que les mauvaises fractions sont celles où le numérateur a plus grande valeur que la valeur du dénominateur. Ainsi, chaque fois que vous additionnez deux fractions et que votre réponse se termine par la mauvaise fraction, vous devez simplifier votre réponse. Les résultats seront présentés sous forme de nombre mixte.
Maintenant, il est facile de prendre vos numéros.
Donc, quand-ve-de-drow-bay au général-mu-know-me-on-te-lu - for-me-on the draw-beat sur de telles fractions ek-vi-va-tape, à quelque chose- seigle co-der-zhat one-to-one sign-me-to-tel.
Afin de comparer, d'additionner ou d'honorer des fractions, nous devons les amener à une connaissance commune.
Pour amener-ve-de-niya draw-bay à un sign-me-on-te-lu commun, vous pouvez écrire une chaîne de ek-vi-va-tape-nyh, puis vous -prenez de telles fractions, quelqu'un a tête-à-tête-me-connaissez-sur-le-si.
Pour convertir la mauvaise faction en nombre mixte, il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur. Les résultats seront une partie entière et une partie fractionnaire. Comme vous pouvez le voir, il s'agit d'une opération assez simple. Vous avez maintenant un moyen facile d'additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs.
Le plus petit dénominateur commun de deux ou plusieurs dénominateurs non nuls est en fait le plus petit entier divisible par chacun des dénominateurs. Il existe deux méthodes largement utilisées pour trouver le plus petit dénominateur commun. En fait, c'est la même idée de base que pour les entiers.
1) Vous-moitié-thread slo-même-tion :
Solution
Sna-cha-la pour-écrire le tse-poch-ku de l'ek-vi-va-tape dro-bay pour, pour cela, le nombre-li-tel et le dénominateur de la fraction à multiplier pour 2, 3 , 4, etc...
Le même pro-de-la-em pour les fractions : .
Comme vous pouvez le voir, il y a des chouettes-pa-de-nie-connais-moi-sur-te-lei (et). For-me-nya-eat est maintenant en cours d'exécution des fractions de ek-vi-va-lente-us-mi et you-half-n-eat you-number-le-tion :.
Noter. Dans les exemples ci-dessous, nous ajouterons trois factions au lieu des deux habituelles car les principes sont les mêmes. Cela vous permettra de mieux comprendre le processus. Et dans la section "Rassemblez tout", nous ajouterons quatre factions. Pour trouver le plus petit dénominateur commun, listez simplement les multiples de chaque dénominateur, puis trouvez plus petit nombre, qui apparaît dans chaque liste.
Tout d'abord, nous énumérons la multiplicité de chaque dénominateur. . Cette méthode fonctionne très bien. Mais ajouter des fractions avec de grands dénominateurs peut devenir assez compliqué. Tenez donc cette pensée un instant pendant que nous examinons une autre façon de trouver le plus petit dénominateur commun pour additionner ces mêmes fractions.
Exemple #2 Produit de dénominateurs
Définir-de-pour le sens de la différence :.
Solution
En tant que sign-on-te-la général, vous pouvez également utiliser le pro-from-ve-de-tion du tirage sign-me-on-the-lei is-move -nyh. We-ve-dem fractions et au sign-me-on-te-lu. Pour ce faire, on multiplie le nombre et le signe de la première fraction par 12, et la seconde par 16.
Pour trouver le plus petit dénominateur commun en utilisant cette méthode, multipliez chacun des dénominateurs par des nombres premiers. Comptez le nombre de fois que chaque nombre premier apparaît dans chacune des factorisations.
- Pour chaque nombre premier, prenez le plus grand de ces nombres.
- Notez ce nombre premier autant de fois que vous l'avez compté à l'étape #.
- Le plus petit dénominateur commun est le produit de tous les nombres premiers écrits.
- La factorisation première de 5 est 5.
- La factorisation première de 6 est 2 x 3.
- La factorisation primaire de 15 est 3 x 5.
De la même manière que nous multiplions le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre, nous pouvons également les diviser par le même nombre. Dans notre ex-me-re, le num-li-tel et le dénominateur-sur-tel de-lyat par 8, you-full de-le-nie :.
Une telle de-le-tion, comme nous le sommes, vous-moitié-pas-si, pour-zy-va-et-sya avec-de-belles fractions. Réduire une fraction signifie déverser à la fois le nombre et le dénominateur par le même nombre (non égal à 0).
La raison pour laquelle nous pouvons utiliser différentes méthodes est que la méthode n ° 1 fonctionne très bien pour les petits nombres. Passons maintenant à la partie difficile, très simple - convertissez chaque fraction en une fraction équivalente en utilisant le plus petit dénominateur commun nouvellement trouvé, qui est 30.
L'étape 2 pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents dit : "Répétez l'écriture de chaque fraction équivalente en utilisant le plus petit dénominateur commun comme dénominateur." Alors faisons-le! Ce sera un peu détaillé, alors accrochez-vous !
Exemple #3. Réduire des fractions à un dénominateur commun de deux manières
Trouvez la valeur de you-ra-same-nia:.
1 façon - utilisez notre droit de chanter: pro-de-ve-de-know-me-on-te-lei is-la-is-a common sign -on-te-lem draw-bey. Multipliez le num-li-tel et le dénominateur de la première fraction par 105, et la seconde par 70.
Comme nous pouvons le voir, les nombres 595 et 105 sont pour-can-chi-va-yut-par 5, ce qui signifie qu'ils dé-lyat par 5, c'est-à-dire que nous pouvons réduire la fraction :.
Réécrire chaque fraction comme une fraction équivalente
Nous multiplions ensuite cela par 6 fois le numérateur 1, ce qui nous donne un nouveau numérateur de 6. Nouveau numérateur = numérateur. De plus, nous utiliserons la méthode n ° 2 pour trouver le plus petit dénominateur commun car cela fonctionne mieux dans tous les cas. Si vous avez des problèmes avec une partie de cet exercice, veuillez relire la section ci-dessus qui le couvre. Nous discuterons de chaque étape pour ajouter ces factions sans faire référence aux règles comme dans le "monde réel".
Voyez comment tout fonctionne et tout ira bien! Ainsi, nous multiplions chaque nombre par des nombres premiers. Nous avons maintenant le plus petit dénominateur commun de 72. Puisque notre réponse est une fraction incorrecte, nous avons maintenant trois choix. Rappelez-vous, montrez toujours votre réponse sous la forme indiquée dans vos instructions.
Notez également que le num-li-tel et le sign-me-on-tel de-lyat par 7, et réduisez la fraction :
2 façons - vous écrivez les chaînes des reins de la baie de tirage ek-vi-va-tape pour et:
Déjà à ce stade, il y a un hibou-pa-de-connais-moi-on-te-lei. For-me-nim fractions pour eux ek-vi-va-lente-us-mi :
Comme vous pouvez le voir, la deuxième méthode nous a donné une réponse plus rapide que la première.
Nombre de dénominateurs communs pour deux fractions
Yes-wai-te now, in-du-ma-em, combien de su-sche-stu-y-a-t-il de connaissance commune-on-te-lei pour deux draw-beys.
Fractions algébriques Fractions algébriques Vous avez rencontré plusieurs fois des fractions depuis que vous avez commencé à apprendre les mathématiques. Ils se produisent dans les formules et dans de nombreux problèmes pratiques quotidiens. Cependant, les fractions de l'arithmétique sont constituées strictement de nombres. Nous allons maintenant étudier les opérations sur des fractions dont les composantes sont des expressions algébriques.
- Le facteur est le numérateur et le dénominateur de la part.
- Simplification des fractions algébriques.
Qu'est-ce que le draw-bey commun sign-me-on-tel et ? Vous-écrivez une chaîne de tiroirs ek-vi-va-tape pour et :
Nous voyons plusieurs paires de draw-beats avec one-to-you-know-me-on-te-la-mi (et, et, et). Si nous continuons plus loin la chaîne de battements de coups de bande ek-vi-va-tape, alors nous obtiendrons un diable-d'un-nombre-du-nombre de telles coïncidences -de-know-me-on-te- lei. C'est-à-dire que deux dro-bey ont un su-s-stu-stu-e-il y a un ensemble démon-à-nech-noe de signes communs, et chacun d'eux nous convient.
Une fraction est sous sa forme simplifiée si le numérateur et le dénominateur ne contiennent pas de facteur commun. Pour obtenir une forme simplifiée d'une fraction, appliquez la règle suivante. Pour simplifier le facteur de fraction, le numérateur et le dénominateur au complet, divisez ensuite le numérateur et le dénominateur par tous les facteurs communs.
Divisez ensuite par des facteurs communs, ce qui donne. Maintenant, nous divisons à la fois le numérateur et le dénominateur par un facteur commun pour obtenir. Notez que même si nous avons pu calculer le numérateur et le dénominateur, nous ne pouvons toujours pas diviser car il n'y en a pas un pour les deux facteurs. Cette faction est déjà sous une forme simplifiée.
Par exemple, about-from-ve-de-nie-know-me-on-te-lei is-moving-draw-bay - c'est un signe-moi-sur-tel courant, mais pas le moins, nous voyons un dénominateur commun, quelqu'un de moins, - 12.
Plus petit dénominateur commun (exemples #4 et #5)
Existe-t-il un moyen de trouver la chose la moins commune? Oui, un tel moyen existe.
Allez, regardons l'exemple suivant.
Le fait qu'une fraction donnée puisse nécessiter l'une des méthodes d'affacturage que vous avez apprises souligne davantage l'importance de maîtriser l'affacturage. Solution Ici, vous pouvez utiliser "essais et erreurs" pour le numérateur et "regroupement" pour le dénominateur.
Solution. Ce type de problème nécessite une attention particulière car il s'agit d'une cause fréquente d'erreur. À première vue, les facteurs peuvent être considérés à tort comme généraux, ou une fraction peut être considérée à tort comme déjà simplifiée. Notez que les facteurs ne peuvent pas être séparés car les signes empêchent qu'ils soient identiques. Si, cependant, un 1 négatif est pris en compte à partir de l'un des facteurs, alors il y a les mêmes facteurs et une division peut être obtenue.
Exemple 4.
Solution
Nous suivrons to-ra-s-look-ren-no-mu al-go-rit-mu et you-write des chaînes de plans ek-vi-va-tape :
Pouvons-nous en quelque sorte simplifier notre al-go-rythme ? Oui nous pouvons. Tse-poch-ka avec more-know-me-on-the-lem-ko-ro-che, c'est pourquoi nous allons travailler avec elle. Prenons un plus grand dénominateur et nous le stockerons nous-mêmes avec nous-mêmes (de cette façon, nous ne manquons pas le nombre 180), pro-ve -ryaya à chaque étape, que le nombre soit divisé en un plus petit dénominateur (45) .
60 n'est pas éclairé par 45, ce qui signifie que ce ne sera pas un signal commun pour les tirs sortants.
60 + 60 \u003d 120, encore une fois ne divisez pas par 45. Nous continuons à ajouter 60.
120 + 60 \u003d 180 éclairé par 45, 180 : 45 \u003d 4.
Alors le dénominateur commun est 180.
Vous-nombres-sont-ces valeurs vous-ra-même-nia :.
Solution
Nous prenons une plus grande valeur sur le tel (35) et la stockons avec nous-mêmes jusqu'à ce que le rezul-tat soit déversé sur une plus petite valeur -sur-tel (21).
35 n'est pas éclairé par 21.
35 + 35 = 70 n'est pas éclairé par 21.
70 + 35 \u003d 105 de-lit par 21 (105 : 21 \u003d 5), donc 105 est un dénominateur commun.
Amenons les deux fractions au sign-on-te-lu 105, pour cela, le nombre et le sign-me-on-tel de la première fraction sont multipliés par 5, et le second essaim - sur 3: .
Exemple 5
Vous-nombres-sont-ces valeurs vous-ra-même-nia :.
Solution
Lorsque vous savez-moi-sur-ceux-si gros, appliquez les méthodes précédentes-du-chose à cent-précision difficile. Ensuite on pense que pour que le nombre de-lis par 210, il doit contenir un multiplicateur de 210. En même temps, le nombre de races-cla-dy-va-et Xia sur plusieurs-zh-te-si :.
Donc tous les multiples des nombres 210 sont aussi dans le nombre .
Nous devons trouver un nombre qui contient tous les multiples des nombres 210 et des nombres 1155.
Skon-stru-and-ru-em est le nombre nécessaire-ho-di-mon, contenant toute la multiplicité des premier et deuxième nombres :.
Aucun des multiples ne peut être supprimé - c'est le plus petit nombre, certains d'entre eux en même temps déversent par 210, et par 1155 C'est le plus petit dénominateur commun. La division en multiplicateurs simples permet non seulement de trouver le plus petit dénominateur commun, mais aussi un sous-spécificateur zy-va-et, par quel multiplicateur il faut-ho-di-mo pour-multiplier-vivre chaque fraction. Ainsi, dans le premier sign-me-on-te-le, au général sign-me-on-te-la, il n'y a pas assez de multiplicateur 11, mais dans le second - 2.
Vous-nombres-sont-ces valeurs vous-ra-même-nia :.
Solution
Ras-kla-dy-va-em chaque sign-me-on-tel sur plusieurs.
Dénominateur commun: .
Exemple #6
Vous-nombres-sont-ces valeurs vous-ra-même-nia :.
Solution
Sna-cha-la raz-lo-we-weap chaque zna-me-na-tel en multiples :
Con-chaîne-et-ru-em le plus petit dénominateur commun, il doit contenir tout le multiplicateur de chaque -te-la.
Cela signifie que le premier sign-me-on-te-la n'a pas assez de multiplie 5 et 7, et le second a 2 et 11.
conclusion
Afin de comparer un thread, des add-live ou des fractions d'honneur avec différents signes-me-on-the-la-mi, ils doivent être réduits à une connaissance commune me-on-te-lu. Ainsi, vous pouvez composer des fractions ek-vi-va-tape, travailler avec un plus grand corps de connexion, calculer pro-from-ve-de-tion sur -initial zna-me-on-te-lei, ainsi que sur -ho-dit le plus petit dénominateur commun-sur-tel, en divisant en multiple si la source-me-connaît-sur-le-lei.
Examen du sujet de la comparaison de fractions avec différents dénominateurs à l'aide d'un exemple
Riz. 1. Comparer le draw-beat avec different-we-know-me-on-te-la-mi
Allez, essayons de le démonter à l'aide d'un exemple, comment comparer deux fractions avec des signes-on-te-la-mi différents (Fig. 1 ).
Si vous en jugez par l'image, alors on peut dire que la première fraction est un-mais-qui-signifie-plus, oui-wai-te pro-ver-rim c'est pré- de la même manière, ma-te-ma- ti-che-sky spo-so-bom. Pour na-cha-la, da-wa-te, rappelez-vous que :p ri compare-not-nii-dro-bay avec one-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi plus cette fraction, le nombre de quelqu'un essaim est plus(Fig. 2).
Riz. 2. Compare-not-drow-beat avec one-to-you-know-me-on-te-la-mi
Comparer des fractions avec différents dénominateurs en trouvant LCM et NOZ
Donc, afin de comparer deux fractions avec des nombres différents-li-te-la-mi et connais-moi-sur-te-la-mi, nous devons les amener à environ -elle-mu-connais-moi-sur- te-lu. Comment faire? Nous revenons à nos fractions et utilisons la propriété de base des fractions. Nous devons multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par le même nombre et obtenir une fraction égale à celle donnée. Allez, on multiplie le num-li-tel et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur du deuxième essaim. Et puis le num-li-tel et le dénominateur de la deuxième fraction sur le dénominateur de la première. (6 et 8 sont des multiples pré-demi-sans-tél). Maintenant, nous avons deux fractions avec le même-vous-me-connaissez-sur-te-la-mi et nous pouvons les comparer.
Apprends-tu-va-em déjà savoir-mine à nous droit-vi-lo, qu'à partir de deux draw-beats avec un-à-tu-me-connais-sur-te-la-mi plus ça, le nombre de quelqu'un essaim plus.
Allez, regardons un autre moyen de s'attacher à un savoir-moi-sur-te-lu commun, c'est plus pratique de l'utiliser au cas où, si tu sais-on-te-la-mi tu-stu-pa-ut très grands nombres. Il est os-no-van sur l'opre-de-le-nii du general-go-know-me-on-te-la draw-bey.
Prenez un mème que nous connaissons déjà quelques battements de tirage et. Afin de trouver un dénominateur commun, nous devons trouver le plus petit multiple commun pour 8 et 6., ce qui signifie que nous devons ajouter les deux fractions au signe on-te-lyu 24.