इस पाठ में, छात्रों को गुणा और भाग के सारणीबद्ध मामलों को दोहराने, योग को संख्या से विभाजित करने के नियम से परिचित होने और पाठ के विषय पर विभिन्न कार्यों को करने का अभ्यास करने का अवसर दिया जाता है।
चॉकबोर्ड पर भावों को पढ़ें और उनकी तुलना करें।
(6 + 4) + 2
(6 + 4) - 2
(6 + 4) * 2
(6 + 4) : 2
आप देखेंगे कि प्रत्येक व्यंजक में 6+4 संख्याओं का योग होता है।
आइए भावों को पढ़ें।
(6 + 4) + 2
संख्या 6 + 4 के योग में 2 की वृद्धि हुई।
(6 + 4) - 2
6+4 की संख्याओं का योग 2 घटा दिया गया है।
(6 + 4) * 2
संख्या 6 + 4 का योग दोगुना कर दिया गया।
(6 + 4) : 2
संख्या 6 + 4 का योग 2 गुना कम किया गया है
क्या आपको लगता है कि इन राशियों के मूल्य समान होंगे?
चलो जांचते हैं। आइए भावों के मूल्यों की गणना करें। याद रखें कि हम कोष्ठक में पहली क्रिया करते हैं।
(6 + 4) + 2 = 12
(6 + 4) - 2 = 8
(6 + 4) * 2 = 20
(6 + 4) : 2 = 5
हमें अलग-अलग अर्थ मिले।
आइए देखें कि किसी संख्या से योग का विभाजन कैसे किया जा सकता है।
चावल। 1. संख्या से राशि का विभाजन
विधि 1।
सबसे पहले, हमने नीले और लाल वर्गों को जोड़ा, और फिर उनकी संख्या को दो बराबर भागों में विभाजित किया।
(6 + 4) : 2 = 10: 2 = 5
विधि 2।
सबसे पहले, हम नीले वर्गों को दो बराबर भागों में विभाजित कर सकते हैं, फिर लाल वर्गों को दो बराबर भागों में विभाजित कर सकते हैं, और फिर परिणाम जोड़ सकते हैं।
(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2 = 3 + 2 = 5
विभिन्न तरीकों से क्रिया करते समय, परिणाम समान होता है। इसलिए, हम एक निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
योग को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, आप प्रत्येक पद को उस संख्या से विभाजित कर सकते हैं,
और प्राप्त भागफल जोड़ें।
(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2
आइए प्राप्त ज्ञान को व्यवहार में लागू करें। आइए भावों के मूल्यों की गणना करें।
(64 + 72) : 8
(36 + 81) : 9
(80 + 16) : 4
योग को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, प्रत्येक पद को इस संख्या से विभाजित करें, और भागफल के परिणामी मान जोड़ें।
(64 + 72) : 8 = 64: 8 + 72: 8 = 8 + 9 = 17
(36 + 81) : 9 = 36: 9 + 81: 9 = 4 + 9 = 13
(80 + 16) : 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24
भावों पर विचार करें। उन दोनों में क्या समान है?
(36 + 6) : 6
(10 + 32) : 6
(34 + 8) : 6
(24 + 18) : 6
सही। प्रत्येक व्यंजक में, आपको राशि को 6 से विभाजित करना होगा।
आइए भावों को दो समूहों में विभाजित करें।
पहले में, हम उन व्यंजकों को लिखते हैं जहाँ आप किसी योग को किसी संख्या से भाग देने के गुण को लागू कर सकते हैं। इन व्यंजकों में, योग के प्रत्येक पद को 6 से विभाजित किया जाता है।
(36 + 6) : 6
(24 + 18) : 6
दूसरे समूह में, हम ऐसे व्यंजक लिखते हैं जहाँ योग के पद 6 से विभाज्य नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि योग को किसी संख्या से विभाजित करने का गुण उनमें लागू नहीं किया जा सकता है।
(10 + 32) : 6
(34 + 8) : 6
चलिए टास्क पूरा करते हैं।
इनमें से कौन सी संख्या दो पदों के योग के रूप में लिखी जा सकती है, जिसमें प्रत्येक पद 7 से विभाज्य होगा?
35, 43, 28, 14, 7, 47, 56, 49, 63, 26, 70
सबसे पहले, आइए उन संख्याओं को लिखें जो बिना किसी शेषफल के 7 से विभाज्य हों।
35, 28, 14, 7, 56, 49, 63, 70
आइए भावों की रचना करें और उनके मान ज्ञात करें।
(35 + 28) : 7 = 35: 7 + 28: 7 = 5 + 4 = 9
(70 + 14) : 7 = 70: 7 + 14: 7 = 10 + 2 = 12
(56 + 49) : 7 = 56: 7 + 49: 7 = 8 + 7 = 15
चलिए अगला काम करते हैं।
योग को संख्या से विभाजित करने के नियम का उपयोग करके लुप्त संख्याएँ डालें।
(… + …) : 8 = 8 + 6
(… + …) : 9 = 9 + 5
(… + …) : 3 = 8 + 5
हम इस तरह तर्क करते हैं।
(… + …) : 8 = 8 + 6
पहले पद को 8 से विभाजित किया गया और संख्या 8 प्राप्त हुई। तो यह संख्या 64 थी। दूसरे पद को 8 से विभाजित किया गया और संख्या 6 प्राप्त हुई। तो यह संख्या 48 थी। आइए इसका हल लिखें।
(64 + 48) : 8 = 8 + 6
(… + …) : 9 = 9 + 5
पहले पद को 9 से विभाजित किया गया था और संख्या 9 प्राप्त हुई थी। तो यह संख्या 81 थी। दूसरे पद को 9 से विभाजित किया गया और संख्या 5 प्राप्त हुई। तो यह संख्या 45 थी। आइए इसका हल लिखें।
(81 + 45) : 9 = 9 + 5
(… + …) : 3 = 8 + 5
पहले पद को 3 से विभाजित किया गया और हमें संख्या 8 प्राप्त हुई। तो यह संख्या 24 थी। दूसरे पद को 3 से विभाजित किया गया और हमें संख्या 5 प्राप्त हुई। तो यह संख्या 15 थी। आइए इसका हल लिखें।
(24 + 15) : 3 = 8 + 5
आज पाठ में हम किसी योग को संख्या से भाग देने के नियम से परिचित हुए, जिसका अभ्यास पाठ के विषय पर उदाहरणों को हल करने में किया जाता है।
ग्रन्थसूची
- एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य गणित: पाठ्यपुस्तक। ग्रेड 3: 2 भागों में, भाग 1। - एम।: "शिक्षा", 2012।
- एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य गणित: पाठ्यपुस्तक। ग्रेड 3: 2 भागों में, भाग 2। - एम।: "शिक्षा", 2012।
- एम.आई. मोरो। गणित के पाठ: शिक्षकों के लिए दिशानिर्देश। ग्रेड 3। - एम।: शिक्षा, 2012।
- नियामक कानूनी दस्तावेज। सीखने के परिणामों की निगरानी और मूल्यांकन। - एम।: "शिक्षा", 2011।
- "रूस का स्कूल": प्राथमिक विद्यालय के लिए कार्यक्रम। - एम।: "शिक्षा", 2011।
- एस.आई. वोल्कोवा। गणित: सत्यापन कार्य। ग्रेड 3। - एम।: शिक्षा, 2012।
- वी.एन. रुडनित्सकाया। परीक्षण। - एम।: "परीक्षा", 2012।
इस लेख में, हम प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन से संबंधित सामान्य निरूपणों का पता लगाएंगे। उन्हें विखंडन प्रक्रिया के गुण कहने की प्रथा है। हम मुख्य का विश्लेषण करेंगे, उनके अर्थ की व्याख्या करेंगे और उदाहरणों के साथ हमारे तर्क का समर्थन करेंगे।
दो समान प्राकृत संख्याओं का विभाजन
यह समझने के लिए कि एक प्राकृतिक संख्या को दूसरे के बराबर कैसे विभाजित किया जाए, आपको विभाजन प्रक्रिया के अर्थ को समझने की आवश्यकता है। अंतिम परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि हम भाजक को क्या अर्थ देते हैं। आइए दो संभावित विकल्पों को देखें।
तो, हमारे पास एक आइटम है (ए एक मनमाना प्राकृतिक संख्या है)। हम वस्तुओं को समूहों में समान रूप से वितरित करेंगे, जबकि समूहों की संख्या बराबर होनी चाहिए। जाहिर है, प्रत्येक समूह में केवल एक ही आइटम होगा।
आइए थोड़ा अलग तरीके से सुधार करें: वस्तुओं को प्रत्येक में वस्तुओं के समूहों में कैसे वितरित किया जाए? आप कितने समूहों के साथ समाप्त करेंगे? बेशक, केवल एक।
आइए एक ही आकार की प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने की पहली संपत्ति को सारांशित और घटाएं:
परिभाषा 1
एक प्राकृत संख्या को इसके बराबर से भाग देने पर अंत में एक प्राप्त होता है। दूसरे शब्दों में, a: a = 1 (a कोई प्राकृत संख्या है)।
आइए स्पष्टता के लिए दो उदाहरण देखें:
उदाहरण 1
यदि 450 को 450 से भाग दिया जाए तो 1 होता है। यदि 67 को 67 से विभाजित किया जाता है, तो आपको 1 मिलता है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी विशिष्ट संख्याओं पर निर्भर नहीं करता है, परिणाम समान होगा, बशर्ते कि लाभांश और भाजक बराबर हों।
एक प्राकृतिक संख्या का एक से विभाजन
पिछले पैराग्राफ की तरह, आइए कार्यों से शुरू करें। मान लीजिए कि हमारे पास एक के बराबर राशि में कोई आइटम है। उन्हें कई भागों में विभाजित करना आवश्यक है, प्रत्येक में एक विषय। यह स्पष्ट है कि हमारे पास एक भाग होगा।
और अगर हम पूछें: एक समूह में कितनी वस्तुएँ होंगी यदि उसमें कोई वस्तु रखी जाए? उत्तर स्पष्ट है- अ.
इस प्रकार, हम प्राकृत संख्याओं को 1 से विभाजित करने के गुण के निरूपण पर आते हैं:
परिभाषा 2
किसी प्राकृत संख्या को एक से भाग देने पर वही संख्या प्राप्त होती है, अर्थात् a: 1 = a.
आइए 2 उदाहरण देखें:
उदाहरण 2
यदि आप 25 को 1 से विभाजित करते हैं, तो आपको 25 मिलते हैं।
उदाहरण 3
यदि आप 11,345 को 1 से विभाजित करते हैं, तो परिणाम 11,345 होता है।
प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के लिए विस्थापन संपत्ति का अभाव
गुणन के मामले में, हम कारकों को स्वतंत्र रूप से स्वैप कर सकते हैं और समान परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन यह नियम विभाजन पर लागू नहीं होता है। लाभांश और भाजक की अदला-बदली तभी संभव है जब वे समान प्राकृतिक संख्याएँ हों (हमने पहले पैराग्राफ में इस संपत्ति पर पहले ही विचार कर लिया है)। अर्थात्, हम कह सकते हैं कि विस्थापन गुण केवल उस स्थिति पर लागू होता है जब विभाजन में समान प्राकृतिक संख्याएँ भाग लेती हैं।
अन्य मामलों में, आप भाजक के साथ लाभांश की अदला-बदली नहीं कर सकते, क्योंकि इससे परिणाम विकृत हो जाएगा। आइए अधिक विस्तार से बताते हैं कि क्यों।
किसी भी प्राकृतिक संख्या को दूसरों में विभाजित करना हमारे लिए हमेशा संभव नहीं होता है, वह भी मनमाने ढंग से लिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि लाभांश भाजक से कम है, तो हम ऐसे उदाहरण को हल नहीं कर सकते हैं (हम विश्लेषण करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं को शेष के साथ कैसे विभाजित किया जाए)। दूसरे शब्दों में, यदि कोई प्राकृत संख्या a के बराबर है, तो क्या हम b से विभाजित कर सकते हैं? और उनके मान समान नहीं हैं, तो a वसीयत b से अधिक होगी, और b: a वसीयत का कोई मतलब नहीं होगा। आइए नियम प्राप्त करें:
परिभाषा 3
2 प्राकृत संख्याओं के योग का किसी अन्य प्राकृत संख्या से भाग
इस नियम को बेहतर ढंग से समझाने के लिए, आइए उदाहरण के तौर पर उदाहरण लें।
हमारे पास बच्चों का एक समूह है, जिनके बीच कीनू को समान रूप से विभाजित किया जाना चाहिए। फलों को दो थैलियों में मोड़ा जाता है। आइए इस शर्त को लें कि कीनू की संख्या ऐसी हो कि उन्हें बिना किसी शेषफल के सभी बच्चों में विभाजित किया जा सके। आप कीनू को एक सामान्य पैकेज में डाल सकते हैं, और फिर विभाजित और वितरित कर सकते हैं। और आप पहले फलों को एक पैकेज से विभाजित कर सकते हैं, और फिर दूसरे से। जाहिर है, किसी भी मामले में कोई नाराज नहीं होगा और सब कुछ समान रूप से विभाजित किया जाएगा। इसलिए, हम कह सकते हैं:
परिभाषा 4
2 प्राकृत संख्याओं के योग को किसी अन्य प्राकृत संख्या से भाग देने का परिणाम भागफल के प्रत्येक पद को उसी प्राकृत संख्या से भाग देने के परिणाम के बराबर होता है, अर्थात। (ए + बी): सी = ए: सी + बी: सी। इसके अलावा, सभी चर के मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं, a के मान को c से विभाजित किया जा सकता है, और b को बिना शेष के c से भी विभाजित किया जा सकता है।
हमें एक समानता मिली, जिसके दाईं ओर पहले विभाजन किया जाता है, और दूसरा जोड़ दिया जाता है (याद रखें कि अंकगणितीय संक्रियाओं को क्रम में सही ढंग से कैसे करें)।
आइए हम एक उदाहरण का उपयोग करके परिणामी समानता की वैधता साबित करें।
उदाहरण 4
आइए इसके लिए उपयुक्त प्राकृत संख्याएँ लें: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6।
आइए अब गणना करें और पता करें कि क्या यह सच है। आइए बाईं ओर के मान की गणना करें: 18 + 36 = 54, और (18 + 36): 6 = 54: 6।
हमें गुणन तालिका से परिणाम याद है (यदि आप भूल गए हैं, तो उसमें वांछित मान ज्ञात करें): 54: 6 = 9।
याद रखें कि 18: 6 = 3 और 36: 6 = 6 कितना होगा। अत: 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9।
यह सही समानता प्राप्त करता है: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6।
प्राकृतिक संख्याओं का योग, जो उदाहरण में लाभांश के रूप में है, न केवल 2 हो सकता है, बल्कि 3 या अधिक भी हो सकता है। यह गुण, प्राकृत संख्याओं को जोड़ने की संयुक्त संपत्ति के संयोजन में, हमें ऐसी गणना करने में सक्षम बनाता है।
उदाहरण 5
तो, (14 + 8 + 4 + 2): 2 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2 के बराबर होगा।
2 प्राकृत संख्याओं के अंतर का दूसरी प्राकृत संख्या से भाग
इसी तरह, हम प्राकृतिक संख्याओं के अंतर के लिए एक नियम प्राप्त कर सकते हैं, जिसे हम एक अन्य प्राकृतिक संख्या से विभाजित करेंगे:
परिभाषा 5
दो प्राकृत संख्याओं के अंतर को तीसरे से विभाजित करने का परिणाम घटाए गए और तीसरी संख्या के भागफल में से घटाए गए और तीसरी संख्या के भागफल को घटाने पर प्राप्त होने वाले परिणाम के बराबर होता है।
वे। (ए - बी): सी = ए: सी - बी: सी। चर के मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जबकि a, b से बड़ा या उसके बराबर है, a और b को c से विभाजित किया जा सकता है।
आइए हम एक उदाहरण का उपयोग करके इस नियम की वैधता साबित करें।
उदाहरण 6
उपयुक्त मानों को समानता में रखें और गणना करें: (45 - 25): 5 = 45: 5 - 25: 5। 45 - 25 = 20 (हम पहले ही लिख चुके हैं कि प्राकृत संख्याओं के बीच अंतर कैसे ज्ञात करें)। (45 - 25): 5 = 20: 5।
हम गुणन तालिका से याद करते हैं कि परिणाम 4 होगा।
हम दाईं ओर गिनते हैं: 45: 5 - 25: 5। 45: 5 = 9, और 25: 5 = 5, अंत में 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4। 4 = 4, यह पता चला है कि (45 - 25): 5 = 45: 5 - 25: 5 - सच्ची समानता।
दो प्राकृत संख्याओं के गुणनफल का एक अन्य प्राकृत संख्या से विभाजन
आइए याद करें कि विभाजन और गुणा के बीच क्या संबंध है, फिर किसी एक गुणनखंड के बराबर किसी उत्पाद को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का गुण हमारे लिए स्पष्ट होगा। आइए नियम प्राप्त करें:
परिभाषा 6
यदि हम दो प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को तीसरे से भाग दें, जो एक गुणनखंड के बराबर है, तो अंत में हमें दूसरे गुणनखंड के बराबर एक संख्या प्राप्त होती है।
शाब्दिक रूप में, इसे (ए बी) के रूप में लिखा जा सकता है: ए = बी या (ए बी): बी = ए (ए और बी के मान प्राकृतिक संख्याएं हैं)।
उदाहरण 7
तो, 2 और 8 के गुणनफल को 2 से विभाजित करने का परिणाम 8 होगा, और (3 7): 7 = 3।
लेकिन क्या होगा यदि भाजक लाभांश बनाने वाले कारकों में से किसी के बराबर नहीं है? फिर यहाँ एक और नियम लागू होता है:
परिभाषा 7
दो प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को तीसरी प्राकृत संख्या से भाग देने का परिणाम उस संख्या के बराबर होता है यदि किसी एक गुणनखंड को इस संख्या से विभाजित किया जाता है और परिणाम को दूसरे कारक से गुणा किया जाता है।
हमें एक बयान मिला है, जो पहली नज़र में अस्पष्ट लगता है। हालाँकि, अगर हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं का गुणन, वास्तव में, मूल्य के संदर्भ में बराबर के योग के लिए कम हो जाता है (प्राकृतिक संख्याओं के गुणन पर सामग्री देखें), तो हम इस संपत्ति को दूसरे से प्राप्त कर सकते हैं, जिसकी हमने बात की थी लगभग थोड़ा ऊपर।
आइए इस नियम को शाब्दिक रूप में लिखें (सभी चर के मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं)।
यदि हम a को c से विभाजित कर सकते हैं, तो यह सत्य होगा (a b): c = (a: c) b।
यदि b, c से विभाज्य है, तो यह सत्य है (a b): c = a (b: c)।
यदि a और b दोनों c से विभाज्य हैं, तो हम एक समानता को दूसरे से समान कर सकते हैं: (a b): c = (a: c) b = a (b: c)।
उत्पाद को ऊपर मानी गई किसी अन्य प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने की संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, समानताएं (8 6) सत्य होंगी: 2 = (8: 2) 6 और (8 6): 2 = 8 (6: 2)।
हम उन्हें दोहरी समानता के रूप में लिख सकते हैं: (8 6): 2 = (8: 2) 6 = 8 (6: 2)।
2 अन्य प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल द्वारा एक प्राकृत संख्या का विभाजन
फिर से, हम एक उदाहरण के साथ शुरू करेंगे। हमारे पास कई पुरस्कार हैं, आइए इसे कहते हैं a. उन्हें टीम के सदस्यों के बीच समान रूप से वितरित किया जाना चाहिए। आइए हम प्रतिभागियों की संख्या को अक्षर c से और टीमों की संख्या को अक्षर b से निरूपित करें। इस मामले में, हम चर के ऐसे मान लेंगे जिनके लिए विभाजन रिकॉर्ड समझ में आएगा। समस्या को दो अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है। आइए दोनों पर विचार करें।
1. आप b को c से गुणा करके और फिर सभी पुरस्कारों को उस संख्या से विभाजित करके प्रतिभागियों की कुल संख्या की गणना कर सकते हैं। शाब्दिक रूप में, इस समाधान को a: (b c) के रूप में लिखा जा सकता है।
2. आप पहले पुरस्कारों को टीमों की संख्या से विभाजित कर सकते हैं, और फिर उन्हें प्रत्येक टीम में वितरित कर सकते हैं। आइए इसे (a: b) के रूप में लिखें: c.
जाहिर है, दोनों विधियां हमें समान उत्तर देंगी। इसलिए, हम दोनों समानताएं एक दूसरे के साथ समान कर सकते हैं: ए: (बी सी) = (ए: बी): सी। यह विभाजन संपत्ति का शाब्दिक रिकॉर्ड होगा, जिस पर हम इस पैराग्राफ में विचार कर रहे हैं। आइए एक नियम बनाएं:
परिभाषा 8
एक गुणनफल द्वारा एक प्राकृत संख्या को विभाजित करने का परिणाम उस संख्या के बराबर होता है जो हमें इस संख्या को एक गुणनखंड से विभाजित करने और परिणामी भागफल को किसी अन्य कारक से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
उदाहरण 8
आइए एक कार्य का उदाहरण दें। आइए हम सिद्ध करें कि समानता 18 सत्य है: (2 3) = (18: 2): 3.
आइए बाईं ओर गिनें: 2 3 = 6, और 18: (2 3) 18: 6 = 3 है।
हम दाईं ओर गिनते हैं: (18: 2): 3. 18: 2 = 9, और 9: 3 = 3, फिर (18: 2): 3 = 3।
हमें मिला है कि 18: (2 3) = (18: 2): 3। यह समानता हमें विभाजन की संपत्ति को दर्शाती है, जिसे हमने इस पैराग्राफ में दिया है।
एक प्राकृत संख्या से शून्य का विभाजन
शून्य क्या है? पहले हम मानते थे कि इसका मतलब किसी चीज का न होना है। हम शून्य को प्राकृत संख्या नहीं कहते हैं। यह पता चला है कि यदि हम शून्य को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते हैं, तो यह शून्य को भागों में विभाजित करने की कोशिश करने के समान होगा। यह स्पष्ट है कि अंत में हमें अभी भी "कुछ नहीं" मिलेगा, चाहे हम इसे कितने भी भागों में विभाजित करें। हम यहां से नियम निकालते हैं:
परिभाषा 9
शून्य को किसी प्राकृत संख्या से भाग देने पर शून्य प्राप्त होता है। शाब्दिक रूप में इसे 0: a = 0 के रूप में लिखा जाता है, जबकि चर का मान कोई भी हो सकता है।
उदाहरण 9
तो, उदाहरण के लिए, 0: 19 = 0, और 0: 46869 भी शून्य के बराबर होगा।
किसी प्राकृत संख्या का शून्य से भाग करना
यह क्रिया नहीं की जा सकती। आइए जानें कि वास्तव में क्यों।
एक मनमाना संख्या a लें और मान लें कि इसे 0 से विभाजित किया जा सकता है और एक निश्चित संख्या b के साथ समाप्त हो सकता है। आइए इसे a: 0 = b के रूप में लिखें। अब आइए याद करें कि गुणा और भाग कैसे संबंधित हैं, और समानता b · 0 = a प्राप्त करें, जो भी सत्य होना चाहिए।
लेकिन पहले हम प्राकृत संख्याओं को शून्य से गुणा करने के गुण की व्याख्या कर चुके हैं। उनके अनुसार, b · 0 = 0. यदि हम प्राप्त समानताओं की तुलना करते हैं, तो हम पाते हैं कि a = 0, और यह प्रारंभिक स्थिति के विपरीत है (आखिरकार, शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है)। यह पता चला है कि हमें एक विरोधाभास मिला है, जो इस तरह की कार्रवाई की असंभवता को साबित करता है।
परिभाषा 10
आप किसी प्राकृत संख्या को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।
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किसी उत्पाद द्वारा किसी संख्या का विभाजन। किसी संख्या को किसी उत्पाद से विभाजित करने की तकनीकों को जानें और उनका अभ्यास करें।
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गणित ग्रेड 4
"ग्रेड 4 में गणित का खेल" - दस सैनिकों को लाइन में खड़ा किया गया था। गणितीय केवीएन। इस पर विचार। हम संख्याओं के साथ खेलते हैं। दो गैंडों के 2 सींग होते हैं। रहस्यमय संख्याएँ। चौकस के लिए कार्य। मेरे दिमाग में कौन सा नंबर है। मजेदार पहेली। कोल्या की जेब में सिक्के खड़खड़ाने लगे। "अतिरिक्त" प्रतीक खोजें। छोटी इकाइयों में व्यक्त करें। कौन सी संख्या कभी भी भाजक नहीं हो सकती है।
"बहु-अंकीय संख्याओं के साथ क्रियाएँ" - व्यक्तिगत कार्य। V. विपरीत दिशाओं में आवाजाही के लिए समस्याओं को हल करना। शारीरिक शिक्षा। पाठ के विषय और उद्देश्यों का संचार। कक्षाओं के दौरान। पहेली सुलझाओ। पाठ को सारांशित करना। ई: कार्य: 1 यात्रा के लिए, कार कार्गो के 172 बक्से का परिवहन करती है। मौखिक गणना। आयोजन का समय। बहुअंकीय संख्याओं के साथ क्रिया समस्याओं को हल करना।
"सेट द्वारा असाइनमेंट" - 2 ताजे पानी के लिए। क्या आप मेरी मदद करेंगे? कलाकारों का केप। हम डॉल्फिन के साथ तैर रहे हैं! "ब्रेमेन टाउन संगीतकार"। स्थानांतरण सेट। सेट पेज 4 पर नंबर 6। पक्षी जो तैर सकते हैं। अरे वहाँ जहाज पर! रूसी में स्वर पत्र। # 1 हम स्टॉक की भरपाई करते हैं। यानी नमस्ते! परी कथा "पूस इन बूट्स" में भाई। हमारे प्रायद्वीप को नमस्कार, नाविकों! द्वीप प्ले में आपका स्वागत है! पृथ्वी के ध्रुव।
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पूर्णांकों का विभाजन, नियम, उदाहरण।
इस लेख में, हम बिना शेषफल के पूर्णांकों के विभाजन का विश्लेषण करेंगे। यहां हम केवल ऐसे पूर्णांकों को विभाजित करने के बारे में बात करेंगे, जिनके निरपेक्ष मान समान रूप से विभाज्य हैं (बिना शेष के प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने का अर्थ देखें)। हम एक अलग लेख में शेष के साथ पूर्णांकों के विभाजन के बारे में बात करेंगे।
सबसे पहले, हम उन शब्दों और संकेतों का परिचय देंगे जिनका उपयोग हम पूर्णांकों के विभाजन का वर्णन करने के लिए करेंगे। आगे, हम पूर्णांकों को विभाजित करने का अर्थ बताएंगे, जिससे हमें धनात्मक पूर्णांकों, ऋणात्मक पूर्णांकों और पूर्णांकों को भिन्न-भिन्न चिह्नों से विभाजित करने के नियम प्राप्त करने में सहायता मिलेगी। यहां हम पूर्णांकों को विभाजित करने के नियमों को लागू करने के उदाहरणों को देखेंगे। अंत में, हम आपको दिखाएंगे कि पूर्णांकों को विभाजित करने के परिणाम की जांच कैसे करें।
नियम और पदनाम
पूर्णांकों के विभाजन का वर्णन करने के लिए, हम उन्हीं शब्दों और संकेतों का उपयोग करेंगे जिनका उपयोग हमने प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन का वर्णन करते समय किया था (भाग देखें, भाजक, भागफल और विभाजित करने के लिए चिह्न)। आइए उन्हें याद करते हैं।
जिस पूर्णांक को विभाजित किया जा रहा है वह कहलाता है भाज्य... से विभाजित पूर्णांक कहलाता है विभक्त... पूर्णांकों को विभाजित करने का परिणाम कहलाता है निजी.
विभाजन को प्रपत्र के प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है:, जो लाभांश और भाजक के बीच स्थित होता है (कभी-कभी प्रतीक का सामना करना पड़ता है, जो विभाजन को भी दर्शाता है)। एक पूर्णांक a के एक पूर्णांक b से विभाजन को प्रतीक का उपयोग करके लिखा जा सकता है: a: b के रूप में। यदि, एक पूर्णांक a को एक पूर्णांक b से विभाजित करने पर, संख्या c प्राप्त होती है, तो इस तथ्य को समानता a: b = c के रूप में लिखना सुविधाजनक होता है। रूप a: b के व्यंजक को भागफल भी कहा जाता है, जैसा कि इस व्यंजक का अर्थ है।
पूर्णांकों को विभाजित करने का अर्थ
हम प्राकृतिक संख्याओं के गुणन और भाग के बीच संबंध के अस्तित्व के बारे में जानते हैं। इस संबंध से, हमने निष्कर्ष निकाला कि जब दूसरा कारक और उत्पाद ज्ञात हो तो विभाजन एक अज्ञात कारक ढूंढ रहा है। आइए हम पूर्णांकों के विभाजन का वही अर्थ दें। अर्थात्, पूर्णांकों को विभाजित करना किसी दिए गए उत्पाद और किसी अन्य पूर्णांक कारक के पूर्णांक कारकों में से एक का पता लगाना है।
पूर्णांकों को विभाजित करने के अर्थ के आधार पर, हम कह सकते हैं कि यदि दो पूर्णांकों a और b का गुणनफल c के बराबर है, तो c बटा a का भागफल b के बराबर है, और c बटा b का भागफल a के बराबर है. आइए एक उदाहरण देते हैं। मान लीजिए हम जानते हैं कि दो पूर्णांकों 5 और -7 का गुणनफल -35 के बराबर है, तो हम कह सकते हैं कि भागफल (-35): 5, -7 के बराबर है, और भागफल (-35): (- 7) 5 है।
ध्यान दें कि एक पूर्णांक a का भागफल एक पूर्णांक b से विभाजित होता है, एक पूर्णांक होता है (यदि a शेष के बिना b से विभाज्य है)।
पूर्णांक विभाजन नियम
पिछले पैराग्राफ में इंगित पूर्णांकों को विभाजित करने का अर्थ, हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि दो कारकों में से एक उनके उत्पाद को दूसरे कारक से विभाजित करने का भागफल है। लेकिन यह ज्ञात कारक और उत्पाद द्वारा अज्ञात कारक को खोजने का कोई तरीका प्रदान नहीं करता है। उदाहरण के लिए, समानता 6 (−7) = - 42 हमें यह कहने की अनुमति देती है कि भागफल (−42): 6 और (−42): (- 7) क्रमशः −7 और 6 के बराबर हैं। हालांकि, अगर हम जानते हैं कि दो कारकों का उत्पाद 45 है और कारकों में से एक -5 है, तो पूर्णांकों को विभाजित करने का अर्थ हमें इस सवाल का सीधा जवाब नहीं देता है कि दूसरा कारक क्या है।
यह तर्क हमें निम्नलिखित निष्कर्ष पर ले जाता है: हमें ऐसे नियमों की आवश्यकता है जो हमें एक पूर्णांक को दूसरे से विभाजित करने की अनुमति दें। अब हम उन्हें प्राप्त करेंगे। ये नियम हमें पूर्णांकों के विभाजन को प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन में कम करने की अनुमति देंगे।
धनात्मक पूर्णांकों का विभाजन
धनात्मक पूर्णांक प्राकृत संख्याएँ हैं, इसलिए धनात्मक पूर्णांकों का विभाजन प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने के सभी नियमों के अनुसार किया जाता है। यहां जोड़ने के लिए और कुछ नहीं है, केवल कुछ उदाहरणों के समाधान पर विचार करना आवश्यक है जिसमें सकारात्मक पूर्णांक का विभाजन किया जाता है।
धनात्मक पूर्णांक 104 को धनात्मक पूर्णांक 8 से भाग दें।
इस मामले में, लाभांश 104 को 80 + 24 के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, और फिर इस संख्या से योग को विभाजित करने के नियम का उपयोग करें। हमें 104: 8 = (80 + 24): 8 = 80: 8 + 24: 8 = 10 + 3 = 13 मिलता है।
भागफल 308 716: 452 की गणना करें।
इस मामले में, इन सकारात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने का भागफल लंबा विभाजन करके प्राप्त करना सबसे आसान है: 
ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने का नियम, उदाहरण
निम्नलिखित तर्क हमें ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने का नियम बनाने में मदद करेंगे।
मान लीजिए कि हमें एक ऋणात्मक पूर्णांक a को एक ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने की आवश्यकता है। आइए हम अक्षर c द्वारा a को b से विभाजित करने के आवश्यक भागफल को निरूपित करें, अर्थात a: b = c। आइए पहले यह पता करें कि संख्या c का निरपेक्ष मान किसके बराबर है।
पूर्णांकों को विभाजित करने के अर्थ के आधार पर, समानता b · c = a सत्य होनी चाहिए। फिर । किसी संख्या के मापांक गुण हमें समानता लिखने की अनुमति देते हैं, इसलिए,। प्राप्त समानता से यह इस प्रकार है कि, भाग के भागफल का निरपेक्ष मान भाज्य और भाजक के भागफल के भागफल के बराबर होता है.
यह संख्या c के चिन्ह को निर्धारित करने के लिए बनी हुई है। दूसरे शब्दों में, पता लगाएँ कि क्या कोई धनात्मक या ऋणात्मक पूर्णांक ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने का परिणाम है।
पूर्णांकों को विभाजित करने के अर्थ में, समानता b · c = a सत्य है। फिर पूर्णांकों को गुणा करने के नियमों से यह इस प्रकार है कि संख्या c धनात्मक होनी चाहिए। अन्यथा, b · c ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल होगा, जो गुणन नियम के अनुसार, गुणनखंडों के गुणनफल के गुणनफल के बराबर होगा, इसलिए, यह एक धनात्मक संख्या होगी, और हमारी संख्या a ऋणात्मक होगी पूर्णांक। इस तरह, ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने वाला भागफल c एक धनात्मक पूर्णांक होता है.
अब ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने के नियम में किए गए निष्कर्षों को मिलाते हैं। एक ऋणात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के मापांक द्वारा भाजक के मापांक को विभाजित करने की आवश्यकता होती है। अर्थात्, यदि a और b ऋणात्मक पूर्णांक हैं, तो।
उदाहरणों को हल करते समय ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने के नियम के अनुप्रयोग पर विचार करें।
ऋणात्मक पूर्णांक −92 को ऋणात्मक पूर्णांक −4 से भाग दें।
ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने के नियम के अनुसार, वांछित परिणाम भाजक के मापांक द्वारा भाजक के मापांक को विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है। हम प्राप्त करते हैं।
प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन: नियम, उदाहरण और समाधान।
इस लेख में, हम उन नियमों से निपटेंगे जिनके द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन... यहां हम केवल विचार करेंगे शेषफल के बिना प्राकृत संख्याओं का विभाजन, या, जैसा कि इसे भी कहा जाता है, पूरा डिवीजन(अर्थात केवल वे मामले जिनमें प्राकृत संख्याओं के विभाजन का अर्थ संरक्षित है)। शेष के साथ प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन> एक अलग लेख के योग्य है।
प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के नियम तब तक तैयार नहीं किए जा सकते जब तक कि हम विभाजन और गुणा के बीच संबंध का पता नहीं लगाते, जो इस लेख की शुरुआत में किया गया था। इसके अलावा, सबसे सरल विभाजन नियमों का विश्लेषण किया जाता है, सीधे इस क्रिया के गुणों का अनुसरण करते हुए - यह समान प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन और एक प्राकृतिक संख्या का एक से विभाजन है। उसके बाद गुणन सारणी का प्रयोग कर भाग को उदाहरण सहित विस्तार से समझा जाता है। इसके अलावा, यह दिखाया गया है कि दस, एक सौ, हजार, आदि से विभाजन कैसे किया जाता है, प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन, जिसकी प्रविष्टियां अंक 0 के साथ समाप्त होती हैं, और अन्य सभी मामले। समाधान के विस्तृत विवरण के साथ सभी सामग्री उदाहरणों के साथ प्रदान की गई है। लेख के अंत में, यह दिखाया गया है कि गुणा का उपयोग करके भाग के परिणाम की जांच कैसे करें। नतीजतन, आपके पास मनमाना प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के लिए आवश्यक सभी कौशल होंगे।
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गुणन के साथ विभाजन का संबंध
आइए विभाजन और गुणा के बीच संबंध का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, याद रखें कि विभाजन उस सेट के प्रतिनिधित्व के साथ जुड़ा हुआ है जिसे हम विभाजित कर रहे हैं, कई समान सेटों के संघ के रूप में जिसमें हम मूल सेट को विभाजित करते हैं (हमने इस बारे में विभाजन की सामान्य समझ पर अनुभाग में बात की थी) ) बदले में, गुणन कई समान समुच्चयों को एक में मिलाने से जुड़ा होता है (यदि आवश्यक हो, तो सिद्धांत खंड में गुणन के सामान्य विचार को देखें)। इस तरह, भाग गुणन का विलोम है.
आइए समझाएं कि अंतिम वाक्यांश का क्या अर्थ है।
ऐसा करने के लिए, निम्न स्थिति पर विचार करें। मान लीजिए कि हमारे पास प्रत्येक में c आइटम के b सेट हैं, और हम उन्हें एक सेट में जोड़ते हैं, जिसमें हमें एक आइटम मिलता है। प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के अर्थ के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि वर्णित क्रिया समानता c · b = a से मेल खाती है। अब हम परिणामी समुच्चय को b समरूप समुच्चयों में विभाजित करते हैं। यह स्पष्ट है कि इस मामले में, प्रत्येक परिणामी सेट में c आइटम होंगे। फिर, प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने के अर्थ को याद करते हुए, आप समानता a: b = c लिख सकते हैं।
हम निम्नलिखित कथन पर पहुंचते हैं: यदि प्राकृतिक संख्या c और b का गुणनफल a के बराबर है, तो a को b से विभाजित करने का भागफल c के बराबर है।
अतः, यदि c b = a, तो a: b = c. हालाँकि, प्राकृत संख्याओं के गुणन के हस्तांतरणीय गुण के कारण, हम समानता c · b = a को b · c = a के रूप में फिर से लिख सकते हैं, जहाँ से यह इस प्रकार है कि a: c = b। इस प्रकार, यदि हम जानते हैं कि दो प्राकृत संख्याओं c और b का गुणनफल a के बराबर है, अर्थात c · b = a, तो हम कह सकते हैं कि भागफल a: b और a: c, c और b के बराबर हैं, क्रमश।
दी गई सभी सूचनाओं के आधार पर गुणन के आधार पर प्राकृत संख्याओं के विभाजन की परिभाषा देना संभव है।
विभाजन- यह वह क्रिया है जिसके द्वारा एक कारक पाया जाता है, जब उत्पाद और दूसरे कारक को जाना जाता है।
इस परिभाषा के आधार पर हम प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने के नियम बनाएंगे।
क्रमिक घटाव के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन
सिद्धांत रूप में, यह जानना कि भाग गुणन का विलोम है, यह जानने के लिए पर्याप्त है कि इस क्रिया को कैसे किया जाए। हालांकि, मैं आपको प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के लिए एक और दृष्टिकोण के बारे में बताना चाहूंगा, जिसमें विभाजन को अनुक्रमिक घटाव के रूप में माना जाता है। यह इसकी सादगी और स्पष्टता के कारण है।
सब कुछ यथासंभव स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें।
12 को 4 से भाग देने पर क्या प्राप्त होता है?
प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के अर्थ से शुरू होकर, कार्य को निम्नानुसार मॉडल किया जा सकता है: 12 वस्तुएं हैं, उन्हें प्रत्येक में 4 वस्तुओं के बराबर ढेर में विभाजित करने की आवश्यकता है, प्राप्त ढेर की संख्या हमें प्रश्न का उत्तर देगी भागफल 12:4 क्या है?
आइए क्रमिक रूप से, चरण दर चरण, मूल वस्तुओं से 4 आइटम लें और उनमें से आवश्यक ढेर बनाएं जब तक कि प्रारंभिक आइटम समाप्त न हो जाएं। हमें जितने कदम उठाने की जरूरत है, वह हमें परिणामी ढेरों की संख्या बताएगा, और इसलिए पूछे गए प्रश्न का उत्तर।
तो, मूल 12 वस्तुओं में से, 4 को अलग रख दें, वे पहला ढेर बनाते हैं। इस क्रिया के बाद, 12−4 = 8 वस्तुएँ मूल ढेर में रह जाती हैं (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं को घटाने का अर्थ याद रखें)। इन 8 वस्तुओं में से हम 4 और वस्तुएँ लेते हैं, और उनका दूसरा ढेर बनाते हैं। इस क्रिया के बाद, 8−4 = 4 वस्तुएँ वस्तुओं के मूल ढेर में रह जाती हैं। जाहिर है, शेष वस्तुओं से, आप एक और, तीसरी पंक्ति में, एक ढेर बना सकते हैं, जिसके बाद हमारे पास मूल ढेर में एक भी आइटम नहीं होगा (अर्थात, हमारे पास मूल ढेर में 4−4 = 0 आइटम होंगे। ) इस प्रकार, हमें 3 ढेर मिले, और हम कह सकते हैं कि हमने प्राकृतिक संख्या 12 को प्राकृतिक संख्या 4 से विभाजित किया, और हमें 3 मिला।
अब हम वस्तुओं से दूर जाते हैं और देखते हैं कि हमने प्राकृत संख्याओं 12 और 4 के साथ क्या किया? हमने भाजक 4 का क्रमिक घटाव तब तक किया जब तक हमें शून्य नहीं मिला, जबकि आवश्यक क्रियाओं की संख्या की गणना करते हुए, जिसने हमें विभाजन का परिणाम दिया।
निष्कर्ष: अनुक्रमिक घटाव करके एक प्राकृतिक संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है.
लेख के इस पैराग्राफ की सामग्री को समेकित करने के लिए, एक और उदाहरण के समाधान पर विचार करें।
हम लगातार घटाव करते हुए भागफल 108:27 की गणना करते हैं।
पहली क्रिया: 108-27 = 81 (यदि आपको घटाव में कठिनाई हो रही है, तो प्राकृतिक संख्याओं का घटाव लेख देखें)।
दूसरी क्रिया: 81-27 = 54.
तीसरी क्रिया: 54-27 = 27.
तो, हम शून्य प्राप्त करते हैं, क्रमिक रूप से घटाव को 4 बार करते हुए, इसलिए, 108: 27 = 4।
यह ध्यान देने योग्य है कि इस तरह से प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन केवल तभी सुविधाजनक होता है जब परिणाम प्राप्त करने के लिए कम संख्या में लगातार घटाव की आवश्यकता होती है। अन्य मामलों में, प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के नियमों का उपयोग किया जाता है, जिसका हम नीचे विस्तार से विश्लेषण करेंगे।
समान प्राकृत संख्याओं का विभाजन
एक प्राकृत संख्या को उसकी समान प्राकृत संख्या से भाग देने पर भागफल एक के बराबर होता है... यह कथन समान प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने का गुण है।
उदाहरण के लिए 1: 1 = 1, 143: 143 = 1, प्राकृतिक संख्याओं 10 555 और 10 555 का विभाजन भी एक है।
एक प्राकृतिक संख्या का एक से विभाजन
किसी प्राकृत संख्या को एक से विभाजित करने का गुण हमें तत्सम्बन्धी विभाजन नियम तुरंत बनाने की अनुमति देता है। ऐसा लगता है: किसी भी प्राकृत संख्या को एक से विभाजित करने का भागफल विभाज्य प्राकृत संख्या के बराबर होता है.
उदाहरण के लिए, 21: 1 = 21, 13 003: 1 = 13 003, इसी तरह, प्राकृतिक संख्या 555 987 को एक से विभाजित करने का परिणाम संख्या 555 987 है।
गुणन तालिका का उपयोग करके प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन
जैसा कि आप जानते हैं, गुणन तालिका आपको दो एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल खोजने की अनुमति देती है।
गुणन तालिका के अनुसार, यदि गुणनफल और अन्य कारक ज्ञात हों, तो आप दो एकल अंकों वाले कारकों में से एक भी पा सकते हैं। और इस लेख के पहले पैराग्राफ में, हमने पाया कि विभाजन उत्पाद में एक कारक और दूसरा कारक ढूंढ रहा है। इस प्रकार, गुणन तालिका का उपयोग करके, आप गुलाबी पृष्ठभूमि पर गुणन तालिका में स्थित किसी भी प्राकृतिक संख्या को एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्या से विभाजित कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, आइए 48 को 6 से भाग दें। गुणन तालिका के साथ, यह दो तरीकों में से एक में किया जा सकता है। आइए पहले हम एक ग्राफिक चित्रण दें और फिर एक विवरण दें।
पहला तरीका (बाईं ओर ऊपर की तस्वीर से मेल खाता है)। हम कॉलम में लाभांश (हमारे उदाहरण में, यह एक प्राकृतिक संख्या 48 है) पाते हैं, जिसके ऊपरी सेल में भाजक है (हमारे उदाहरण के लिए, संख्या 6)। विभाजन का परिणाम उस पंक्ति के सबसे बाएं सेल में होता है जिसमें पाया गया लाभांश स्थित होता है। हमारे उदाहरण के लिए, यह संख्या 8 है, जो एक नीले वृत्त से घिरी हुई है।
दूसरा तरीका (दाईं ओर ऊपर की तस्वीर से मेल खाता है)। बाएँ सेल में भाजक 6 के साथ पंक्ति में भाज्य 48 ज्ञात कीजिए। इस मामले में वांछित भागफल कॉलम के शीर्ष सेल में है जिसमें पाया गया लाभांश 48 स्थित है। परिणाम नीले रंग में उल्लिखित है।
इसलिए, गुणन तालिका का उपयोग करते हुए, हमने 48 को 6 से विभाजित किया और 8 प्राप्त किया।
सामग्री को समेकित करने के लिए, हम प्राकृतिक संख्या 7 को 1 से विभाजित करने की प्रक्रिया दिखाते हुए एक चित्र प्रस्तुत करते हैं।
10, 100, 1,000, आदि से विभाजन।
हम तुरंत प्राकृतिक संख्याओं को 10, 100, 1,000, ... से विभाजित करने के नियम का सूत्रीकरण देंगे (हम मानेंगे कि ऐसा विभाजन संभव है) और एक उदाहरण दें, और फिर आवश्यक स्पष्टीकरण दें।
किसी प्राकृत संख्या को 10, 100, 1,000, आदि से भाग देने पर प्राप्त होता है। एक प्राकृतिक संख्या है, जिसका रिकॉर्ड लाभांश के रिकॉर्ड से प्राप्त किया जाता है, यदि एक, दो, तीन और इसी तरह के शून्य को दाईं ओर छोड़ दिया जाता है (अर्थात, जितने अंक 0 को छोड़ दिया जाता है, जैसा कि रिकॉर्ड में निहित है) लाभांश)।
उदाहरण के लिए, 30 को 10 से विभाजित करने का भागफल 3 है (लाभांश 30 से दाईं ओर, एक अंक 0 गिरा दिया गया था), और भागफल 120,000: 1,000 120 है (120,000 से दाईं ओर, तीन अंक 0 हटा दिए गए थे)।
कहा गया नियम सही ठहराने के लिए काफी सरल है। ऐसा करने के लिए, एक प्राकृतिक संख्या को दस, एक सौ, एक हजार, आदि से गुणा करने के नियमों को याद करना पर्याप्त है। आइए एक उदाहरण देते हैं। मान लीजिए हमें भागफल 10 200: 100 की गणना करने की आवश्यकता है। चूँकि 102 · 100 = 10 200, फिर, जोड़ और गुणा के बीच संबंध के कारण, प्राकृतिक संख्या 10 200 को 100 से विभाजित करने का परिणाम प्राकृतिक संख्या 102 है।
कार्य के रूप में लाभांश का प्रतिनिधित्व
कभी-कभी दो संख्याओं के गुणनफल के रूप में लाभांश का प्रतिनिधित्व करके प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करना संभव होता है, जिनमें से कम से कम एक भाजक द्वारा विभाज्य होता है। विभाजन की यह विधि दो संख्याओं के गुणनफल को एक प्राकृत संख्या से विभाजित करने के गुण पर आधारित है।
आइए सबसे सरल विशिष्ट उदाहरणों में से एक पर विचार करें।
30 को 3 से भाग दें।
जाहिर है, लाभांश 30 को प्राकृतिक संख्या 3 और 10 के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमारे पास 30: 3 = (3 10): 3 है। दो संख्याओं के गुणनफल को एक प्राकृत संख्या से विभाजित करने के गुण का प्रयोग कीजिए। हमारे पास (3 10): 3 = (3: 3) 10 = 1 10 = 10 है। अतः, 30 का भाग 3 से भाग देने पर 10 होता है।
आइए कुछ समान उदाहरणों के समाधान दें।
7,200 को 72 से भाग दें।
इस मामले में, लाभांश 7,200 को संख्या 72 और 100 के उत्पाद के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं: 7 200: 72 = (72 100): 72 = (72:72) 100 = 1 100 = 100।
1,600,000 को 160 से भाग दें।
जाहिर है, 160,000, 160 और 10,000 का गुणनफल है, इसलिए 1,600,000: 160 = (160 10,000): 160 = (160: 160) 10,000 = 1 10,000 = 10,000।
1 600 000:160=10 000 .
अधिक जटिल उदाहरणों में, एक उत्पाद के रूप में लाभांश का प्रतिनिधित्व करते समय, आपको गुणन तालिका पर ध्यान देना होगा। निम्नलिखित उदाहरणों से यह स्पष्ट हो जाएगा कि हमारा क्या मतलब है।
प्राकृत संख्या 5400 को 9 से भाग दें।
गुणन तालिका के अनुसार, हम 54 को 9 से विभाजित कर सकते हैं, इसलिए लाभांश 5 400 को 54 100 के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना और विभाजन को समाप्त करना तर्कसंगत है: 5 400: 9 = (54 100): 9 = (54: 9 ) 100 = 6 100 = 600।
सामग्री को समेकित करने के लिए, एक और उदाहरण के समाधान पर विचार करें।
आइए भागफल 120: 4 की गणना करें।
ऐसा करने के लिए, हम लाभांश 120 को 12 और 10 के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं, जिसके बाद हम दो संख्याओं के गुणनफल को एक प्राकृत संख्या से विभाजित करने के गुण का उपयोग करते हैं। हमारे पास 120: 4 = (12 10): 4 = (12: 4) 10 = 3 10 = 30 है।
प्राकृत संख्याओं का विभाजन जिनकी प्रविष्टियाँ अंक 0 . पर समाप्त होती हैं
यहां हमें एक प्राकृत संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से विभाजित करने के गुण को याद करना होगा। आइए बताते हैं क्यों। उन प्राकृत संख्याओं का विभाजन करने के लिए जिनकी प्रविष्टियाँ अंक 0 पर समाप्त होती हैं, भाजक को दो प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है, जिसके बाद उल्लिखित विभाजन गुण लागू होता है।
आइए इसे उदाहरणों के साथ समझें। आइए दो प्राकृत संख्याएँ लें, जिनकी प्रविष्टियाँ शून्य पर समाप्त होती हैं, और उन्हें विभाजित करती हैं।
490 को 70 से भाग दें।
70 = 10 7 से, फिर 490: 70 = 490: (10 7)। किसी प्राकृत संख्या को गुणनफल से भाग देने के गुण के कारण अंतिम व्यंजक (490:10):7 है। हमने पिछले पैराग्राफ में से एक में 10 से विभाजित करना सीखा, हमें (490: 10): 7 = 49: 7 मिलता है। हम परिणामी भागफल को गुणन सारणी के अनुसार पाते हैं, परिणामस्वरूप हमें 490: 70 = 7 मिलता है।
सामग्री को समेकित करने के लिए, एक और अधिक जटिल उदाहरण के समाधान पर विचार करें।
आइए भागफल 54,000: 5,400 की गणना करें।
हम 100 * 54 के उत्पाद के रूप में 5,400 का प्रतिनिधित्व करते हैं और प्राकृतिक संख्या को उत्पाद से विभाजित करते हैं: 54,000: 5,400 = 54,000: (100 * 54) = (54,000: 100): 54 = 540: 54। यहाँ यह 540 को 54 10 (यदि आवश्यक हो, तो पिछले बिंदु पर वापस लौटें) का प्रतिनिधित्व करने के लिए बनी हुई है और गणना समाप्त करें: 540: 6 = (54 10): 54 = (54:54) 10 = 1 10 = 10। तो, 54,000: 5,400 = 10।
इस मद की जानकारी को निम्नलिखित कथन द्वारा सारांशित किया जा सकता है: यदि लाभांश और भाजक दोनों के रिकॉर्ड में अंक 0 हैं, तो रिकॉर्ड में आपको सबसे दाहिने शून्य की समान संख्या से छुटकारा पाने की आवश्यकता है, और फिर प्राप्त संख्याओं को विभाजित करें। उदाहरण के लिए, दायीं ओर लाभांश और भाजक के रिकॉर्ड में तीन अंक 0 को हटाने के बाद, प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करना 818 070 000 और 201,000 को घटाकर 818 070 और 201 को विभाजित कर दिया जाता है।
निजी का चयन
मान लीजिए कि प्राकृत संख्याएँ a और b ऐसी हैं कि a, b से विभाज्य है, और यदि b को 10 से गुणा किया जाए, तो आपको एक संख्या प्राप्त होती है जो a से बड़ी होती है। इस मामले में, भागफल a: b एक अंक वाली प्राकृतिक संख्या है, जो कि 1 से 9 तक की संख्या है, और इसे चुनना सबसे आसान है। ऐसा करने के लिए, भाजक को क्रमिक रूप से 1, 2, 3 से गुणा किया जाता है, और इसी तरह जब तक उत्पाद लाभांश के बराबर नहीं हो जाता। जैसे ही ऐसी समानता प्राप्त हो जाती है, भागफल a: b मिल जाएगा।
भागफल 108:27 ज्ञात कीजिए।
जाहिर है, भाजक 108 27 · 10 = 270 से कम है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करने वाले लेख को देखें)। चलो निजी उठाओ। ऐसा करने के लिए, हम क्रमिक रूप से भाजक 27 को 1, 2, 3, ... से गुणा करेंगे जब तक कि हमें लाभांश 108 नहीं मिल जाता। आइए चलें: 27 · 1 = 27, 27 · 2 = 54, 27 · 3 = 81, 27 · 4 = 108 (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं के गुणन पर लेख देखें)। इसलिए, 108: 27 = 4।
इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि ऐसे मामलों में भागफल का चयन नहीं किया जा सकता है, लेकिन क्रमिक घटाव के माध्यम से पाया जा सकता है।
प्राकृतिक संख्याओं के योग के रूप में लाभांश का प्रतिनिधित्व
यदि ऊपर चर्चा की गई सभी विधियां प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन की अनुमति नहीं देती हैं, तो लाभांश को कई शब्दों के योग के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, जिनमें से प्रत्येक भाजक द्वारा आसानी से विभाज्य है। इसके बाद, आपको प्राकृत संख्याओं के योग को किसी दी गई संख्या से विभाजित करने के गुण का उपयोग करना होगा, और गणनाओं को समाप्त करना होगा। मुख्य प्रश्न बना हुआ है: "लाभांश का प्रतिनिधित्व करने के लिए किन शर्तों के रूप में"?
आइए हम उन शब्दों को प्राप्त करने के लिए एक एल्गोरिथ्म का वर्णन करें जो लाभांश में जोड़ते हैं। अधिक सुगमता के लिए, हम एक साथ एक उदाहरण पर विचार करेंगे जिसमें लाभांश 8 551 है और भाजक 17 है।
सबसे पहले, हम गणना करते हैं कि भाजक में वर्णों की संख्या भाजक में वर्णों की संख्या से कितनी अधिक है, और इस संख्या को याद रखें।
उदाहरण के लिए, यदि लाभांश एक प्राकृतिक संख्या 8 551 है, और भाजक संख्या 17 है, तो लाभांश के रिकॉर्ड में 2 और अंक होते हैं (8 551 चार अंकों की संख्या है, 17 दो अंकों की संख्या है, इसलिए अंकों की संख्या में अंतर 4−2 = 2) के अंतर से निर्धारित होता है ... यानी हमें नंबर 2 याद रहता है।
अब दायीं ओर के भाजक रिकॉर्ड में हम पिछले पैराग्राफ में प्राप्त संख्या द्वारा निर्धारित राशि में अंक 0 जोड़ते हैं। इसके अलावा, यदि लिखित संख्या लाभांश से अधिक है, तो 1 को पिछले पैराग्राफ में संग्रहीत संख्या से घटाया जाना चाहिए।
आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं। भाजक 17 के रिकॉर्ड में, दो अंक 0 को दाईं ओर जोड़ें, और हमें संख्या 1,700 प्राप्त होती है। यह संख्या लाभांश 8 551 से कम है, इसलिए पिछले पैराग्राफ में याद की गई संख्या को 1 से कम करने की आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार संख्या 2 हमारी स्मृति में बनी रहती है।
उसके बाद, हम पिछले पैराग्राफ में याद की गई संख्या द्वारा निर्धारित राशि में संख्या 0 को दाईं ओर संख्या 1 में निर्दिष्ट करते हैं। इस मामले में, हमें श्रेणी की एक इकाई मिलती है, जिसके साथ हम आगे काम करेंगे।
हमारे उदाहरण में, हम संख्या 1 के लिए 2 शून्य निर्दिष्ट करते हैं, हमारे पास संख्या 100 है, अर्थात हम सैकड़ों के स्थान के साथ काम करेंगे।
अब हम क्रमिक रूप से विभाजक को 1, 2, 3, ... की इकाइयों से गुणा करते हैं, जब तक कि हमें लाभांश से अधिक संख्या नहीं मिलती।
हमारे उदाहरण में, काम करने की श्रेणी सैकड़ों है। इसलिए हम पहले भाजक को सैकड़े के स्थान की एक इकाई से गुणा करते हैं, यानी 17 को 100 से गुणा करते हैं, तो हमें 17 · 100 = 1,700 मिलता है। परिणामी संख्या 1 700, लाभांश 8 551 से कम है, इसलिए हम भाजक को सैकड़ा के स्थान की दो इकाइयों से गुणा करने के लिए आगे बढ़ते हैं, अर्थात 17 को 200 से गुणा किया जाता है। हमारे पास 17 200 = 3 400 8 551 है।
गुणा के दौरान अंतिम चरण पर प्राप्त संख्या आवश्यक पदों में से पहला है।
इस उदाहरण में, आवश्यक पद संख्या 8,500 है (यह संख्या उत्पाद 17 * 500 के बराबर है, जो दर्शाता है कि 8,500: 17 = 500, हम इस समानता का आगे उपयोग करेंगे)।
उसके बाद, हम लाभांश और पहले पाए गए शब्द के बीच का अंतर पाते हैं। यदि परिणामी संख्या शून्य नहीं है, तो हम दूसरा पद ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एल्गोरिथ्म के सभी वर्णित चरणों को दोहराते हैं, लेकिन हम यहां प्राप्त संख्या को लाभांश के रूप में लेते हैं। यदि इस बिंदु पर फिर से एक गैर-शून्य संख्या प्राप्त होती है, तो हम तीसरे पद को खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं, एक बार फिर एल्गोरिदम के चरणों को दोहराते हुए, परिणामी संख्या को लाभांश के रूप में लेते हुए। और इसलिए हम चौथे, पांचवें और बाद के पदों को खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं, जब तक कि इस पैराग्राफ में प्राप्त संख्या शून्य के बराबर न हो जाए। जैसे ही हमें यहाँ 0 मिलता है, तब सभी पद मिल गए हैं, और हम मूल भागफल की गणना के अंतिम भाग की ओर बढ़ सकते हैं।
आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं। इस चरण पर, हमारे पास 8,551−8,500 = 51 है। चूंकि 51 0 के बराबर नहीं है, हम इस संख्या को लाभांश के रूप में लेते हैं और इसके साथ एल्गोरिथम के सभी चरणों को दोहराते हैं।
संख्या 51 और भाजक 17 के अभिलेखों में वर्णों की संख्या समान है, इसलिए हमें संख्या 0 याद है।
भाजक के रिकॉर्ड में, आपको एक अंक 0 को दाईं ओर जोड़ने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हमने संख्या 0 को याद किया है। यानी 17 नंबर जस का तस बना रहता है. यह संख्या 51 से कम है, इसलिए याद की गई संख्या 0 में से किसी एक को घटाने की आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार संख्या 0 हमारी स्मृति में बनी रहती है।
हम संख्या 1 को दाईं ओर एक अंक 0 निर्दिष्ट नहीं करेंगे, क्योंकि हमारी स्मृति में संख्या 0 है। यानी हम इकाइयों के साथ काम करेंगे।
अब हम क्रमिक रूप से भाजक 17 को 1, 2, 3 से गुणा करते हैं, और इसी तरह, जब तक हमें 51 से बड़ी संख्या प्राप्त नहीं हो जाती। हमारे पास 17 · 1 = 17 51 है। अंतिम चरण में, हमें 51 नंबर मिला (यह संख्या उत्पाद 17 · 3 के बराबर है, और हम इसका आगे उपयोग करेंगे)। इसलिए, दूसरा पद संख्या 51 है।
हम पिछले पैराग्राफ में प्राप्त संख्या 51 और संख्या 51 के बीच का अंतर पाते हैं। हमारे पास 51−51 = 0 है। इसलिए, हम शब्दों की खोज बंद कर देते हैं।
अब हम जानते हैं कि लाभांश 8,551 को दो पदों, 8,500 और 51 के योग के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है।
आइए निजी खोजना समाप्त करें। हमारे पास 8 551: 17 = (8 500 + 51): 17 है। अब हम दो संख्याओं के योग को एक प्राकृत संख्या से विभाजित करने के गुण को याद करते हैं, जो हमें समानता (8,500 + 51): 17 = 8,500: 17 + 51: 17 की ओर ले जाता है। ऊपर हमने पाया कि 8,500: 17 = 500 और 51: 17 = 3। इस प्रकार, 8,500: 17 + 51: 17 = 500 + 3 = 503। तो 8 551: 17 = 503।
लाभांश को शब्दों के योग के रूप में प्रस्तुत करने के कौशल को समेकित करने के लिए, एक अन्य उदाहरण के समाधान पर विचार करें।
64 को 2 से भाग दें।
1) भाजक के रिकॉर्ड में भाजक के रिकॉर्ड की तुलना में एक चिन्ह अधिक है, इसलिए हमें संख्या 1 याद है।
2) यदि हम दायीं ओर के भाजक अंकन में एक अंक 0 जोड़ते हैं, तो हमें संख्या 20 प्राप्त होती है, जो कि लाभांश 64 से कम है। इसलिए, याद किए गए नंबर 1 को एक से कम करने की आवश्यकता नहीं है।
3) अब हम दाईं ओर 1 को असाइन करते हैं (चूंकि हमारी मेमोरी में नंबर 1 है) अंक 0, हमें नंबर 10 मिलता है, यानी हम दसियों के साथ काम करेंगे।
4) हम भाजक 2 को क्रमिक रूप से 10, 20, 30, आदि से गुणा करते हैं। हमारे पास है: 2 · 10 = 20 64। इस प्रकार, पहला पद संख्या 60 है (चूंकि 2 · 30 = 60, फिर 60: 2 = 30, यह समानता हमारे लिए आगे उपयोगी होगी)।
5) 64-60 के अंतर की गणना करें, जो 4 है। हम इस संख्या को 2 के भाजक से आसानी से विभाजित कर सकते हैं, इसलिए हम इस संख्या को दूसरे (और अंतिम) पद के रूप में लेंगे। (निस्संदेह, इस संख्या को लाभांश के रूप में स्वीकार करना और एल्गोरिथम के सभी चरणों को फिर से देखना संभव था, वे हमें इस तथ्य की ओर ले जाएंगे कि दूसरा शब्द संख्या 4 है।)
इसलिए, हमने लाभांश 64 को दो पदों 60 और 4 के योग के रूप में प्रस्तुत किया। यह गणना समाप्त करने के लिए बनी हुई है: 64: 2 = (60 + 4): 2 = 60: 2 + 4: 2 = 30 + 2 = 32।
आइए एक और उदाहरण हल करते हैं।
आइए भागफल 1 178: 31 की गणना करें।
1) भाजक के रिकॉर्ड की तुलना में लाभांश के रिकॉर्ड में 2 अंक अधिक हैं। इसलिए, हमें संख्या 2 याद है।
2) यदि हम दायीं ओर के भाजक के रिकॉर्ड में दो अंक 0 जोड़ते हैं, तो हमें संख्या 3 100 प्राप्त होती है, जो कि लाभांश से अधिक है। इसलिए, पिछले पैराग्राफ में याद की गई संख्या 2 को एक से कम किया जाना चाहिए: 2−1 = 1, हमें यह संख्या याद है।
3) अब हम दाईं ओर संख्या 1 में एक अंक 0 जोड़ते हैं, हमें संख्या 10 मिलती है और फिर हम दहाई के साथ काम करते हैं।
4) भाजक को 10, 20, 30, आदि से क्रमिक रूप से गुणा करें। हमें 31 10 = 310 1 178 मिलता है। इस तरह हमें पहला पद मिला। यह 930 के बराबर है (आगे हमें समानता की आवश्यकता होगी 930: 31 = 30, जो समानता 31 · 30 = 930 से अनुसरण करता है)।
5) अंतर की गणना करें: 1 178-930 = 248। चूंकि हमें एक संख्या मिली है जो शून्य के बराबर नहीं है, हम इसे लाभांश के रूप में लेते हैं, और हम उसी एल्गोरिदम का उपयोग करके दूसरे शब्द की तलाश शुरू करते हैं।
1) संख्या 248 के रिकॉर्ड में भाजक 31 के रिकॉर्ड की तुलना में 1 अंक अधिक है। इसलिए, हमें नंबर 1 याद है।
2) दायीं ओर भाजक प्रविष्टि में एक अंक 0 जोड़ने पर हमें संख्या 310 प्राप्त होती है जो संख्या 248 से बड़ी होती है। इसलिए, संग्रहीत संख्या 1 से, आपको 1 घटाना होगा, इस स्थिति में हमें संख्या 0 मिलती है और इसे याद रखते हैं।
3) चूँकि हमारी मेमोरी में नंबर 0 होता है, इसलिए दायीं ओर नंबर 1 में शून्य जोड़ने की कोई जरूरत नहीं है। इस प्रकार, हम इकाइयों के साथ काम कर रहे हैं।
4) भाजक 31 को 1, 2, 3, इत्यादि से क्रमिक रूप से गुणा करें। हमारे पास 31 1 = 31 248 है। दूसरा पद 248 के बराबर है (समानता 248 = 31 8 से यह इस प्रकार है कि 248: 31 = 8, हमें इसकी और आवश्यकता होगी)।
5) हम संख्या 248 और परिणामी संख्या 248 के बीच के अंतर की गणना करते हैं, हमारे पास 248-248 = 0 है। नतीजतन, शब्दों की खोज यहीं रुक जाती है।
इस प्रकार, 1,178 को 930 + 248 के योग के रूप में दर्शाया गया है। यह केवल गणनाओं को पूरा करने के लिए बनी हुई है: 1 178: 31 = (930 + 248): 31 = 930: 31 + 248: 31 = 30 + 8 = 38 (हमने ऊपर परिणाम 930: 31 = 30 और 248 पर ध्यान दिया: 31 = 8)...
01/20/2016। विषय: किसी उत्पाद का किसी संख्या से विभाजन।
लक्ष्य: विभाजन की नई संपत्ति का परिचय दें।
कार्य
विषय:
गुणन और भाग के गुणों की समीक्षा और समेकन
कंप्यूटिंग कौशल में सुधार;
समस्याओं, उदाहरणों, समीकरणों, पढ़ने के भावों को हल करने की क्षमता को मजबूत करें
प्रणालीगत गतिविधि
गुणन और भाग के गुणों को लागू करने में सक्षम हो।
व्यक्तिगत :
मातृभूमि, देशभक्ति, संज्ञानात्मक गतिविधि के लिए प्यार को बढ़ावा देना।
पाठ प्रकार: नए ज्ञान को आत्मसात करना
संसाधन सामग्री: पाठ्यपुस्तक गणित ग्रेड 3 अल्मात्यकीі 2014 टैप करें , उदाहरण के साथ कार्ड, कार्य, नियम, प्रस्तुति, इमोटिकॉन्स, स्टिकर।.
कक्षाओं के दौरान:
1 ... संगठन पल
आँखों से नमस्ते कहो
अपने हाथों से नमस्ते कहो
नमस्ते कहो, हम मुंह,
यह चारों ओर हर्षित हो जाएगा।
हम अपना पाठ शुरू करते हैं
मिलनसार, हम जल्दी जवाब देते हैं
और हम रास्ते में कामना करते हैं
पास करने के लिए सभी बाधाएं
2. मौखिक गिनती
आज हमारे पास एक साधारण सबक नहीं है, बल्कि एक यात्रा सबक है। हम कजाकिस्तान के एक शहर से होकर यात्रा पर जाएंगे। और जब आप भावों का अर्थ खोज लेंगे तो आपको शहर से बाहर कुछ पता चल जाएगा।
6*3*2=36 15:3*2=10 20*2:8=5
90:3=30 4(5-2)=12 12*2:3=8
प्रत्येक संख्या एक अक्षर से मेल खाती है, उन्हें सही क्रम में रखें और आप उस शहर का नाम पढ़ेंगे जहां हम भ्रमण पर जा रहे हैं
इसलिए हम अपनी मातृभूमि की राजधानी अस्ताना में जाते हैं
बैतेरेक हमारे राज्य का प्रतीक है। यह मीनार 500 स्तंभों पर लगी है, सबसे ऊपर एक गेंद है - पृथ्वी के गोले का एक मॉडल जिसका वजन 300 टन है। दुनिया के किसी भी देश में यह इमारत नहीं है
बैतेरेक की ऊंचाई 150 मीटर है। 97 मीटर की ऊंचाई पर, एक अवलोकन डेक है जो आपको शहर को एक विहंगम दृश्य से देखने की अनुमति देता है। 97 नंबर को संयोग से नहीं चुना गया था। यह उस वर्ष का प्रतीक है जब अस्ताना शहर को राजधानी का दर्जा दिया गया था।
आज हमारे पास एक साधारण मौखिक खाता नहीं है इसमें प्रत्येक संख्या अस्ताना शहर के एक दिलचस्प तथ्य के बारे में बताएगी।
गुणनफल 3 और 5 में 4 = 19 जोड़ें।
19 वर्ष इस वर्ष कजाकिस्तान गणराज्य की राजधानी अस्ताना में मनाता है। इतने कम समय में अस्ताना पूरी दुनिया में अपनी पहचान बनाने में कामयाब हो गया है।
2.50 x 3x == 150
खान शतीर शॉपिंग एंड एंटरटेनमेंट सेंटर भी गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में प्रवेश करने में कामयाब रहा - यह दुनिया की सबसे बड़ी तम्बू के आकार की इमारत है। शिखर के साथ इस वास्तुशिल्प आश्चर्य की ऊंचाई 150 मीटर है।
3. भागफल 8 और 2 ज्ञात कीजिए। 100 गुना बढ़ाइए == 400
अस्ताना के 3 400 छात्रों ने "कारा ज़ोरगा" नृत्य के सबसे बड़े प्रदर्शन में भाग लिया, जिसे गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में शामिल किया गया था।
4. 60 को 2 गुना बढ़ाएँ == 120
. 120 साल पुराना काला चिनार। इसअस्ताना का सबसे पुराना पेड़। पोपलर राजधानी के पार्क में "रहता है"
5. 25 और 5 के भागफल को 9 से गुणा किया जाता है।
अस्ताना में इतिहास और संस्कृति के 45 स्मारक स्थित हैं।
3. एक नंबर लिखना, एक नोटबुक में क्लासवर्क
4. सुलेख का एक मिनट (स्लाइड 10)
आइए याद करें कि संख्याओं को सही तरीके से कैसे लिखा जाए।
5. पाठ के विषय पर काम करें
कज़ाख से अनुवाद में अस्ताना का अर्थ है "राजधानी"। दुनिया में एक और शहर है जिसका ऐसा अनुवाद है - सियोल। आत्मा कोरियाई से राजधानी के रूप में अनुवाद करती है
अस्ताना एक बहुत ही खूबसूरत शहर है।
चील की उड़ान की ऊंचाई से
मेरा देश साफ दिखाई दे रहा है।
स्टेपी में खुली जगह चमक गई
रत्न अस्ताना
स्लाइड 11
भावों का अर्थ खोजें और आप हमारी राजधानी के बारे में एक और दिलचस्प तथ्य जानेंगे।
27:(24-15)*10=30
56:7+4*3+ 6*5=42
9*9-7*9=18
12:4+7= 10
यह कार्य 5 सभी उदाहरणों को हल करने पर, 4 -3 भावों पर और 3 अंतिम 2 भावों पर किया जा सकता है।
हमने भावों को कैसे हल किया? (क्रियाओं से)
आपको कार्रवाई द्वारा निर्णय लेने की आवश्यकता क्यों है? (उत्तर गलत होगा)
क्या कार्रवाई द्वारा निर्णय लेना हमेशा सुविधाजनक होता है?
आप इसे अलग तरीके से कैसे हल कर सकते हैं? (गुणन के गुणों का उपयोग करके)
स्लाइड12
2. गुणन गुणों की पुनरावृत्ति।
अस्ताना में एक खूबसूरत इमारत है जहां हमारी सरकार काम कर रही है।
हमारे राज्य का मुखिया कौन है? (अध्यक्ष)
राष्ट्रपति का नाम क्या है? (एन.ए. नज़रबायेव)
स्लाइड 13
सभी निर्णय राष्ट्रपति के निवास पर किए जाते हैं "ए- गिरोह»
यह देखने के लिए कि यह भवन कैसा दिखता है, आइए निम्नलिखित कार्य को पूरा करें।
अब मैं आपको पाठ में सीखे गए गुणा और भाग के सभी गुणों को याद रखने के लिए आमंत्रित करता हूं।
कार्ड पर, गुणन या भाग के फ़ार्मुलों को उसके नाम के साथ जोड़ दें।
ए * बी = बी * एक संयोजन
ब्लैकबोर्ड पर चेकिंग।
हमें गुणन के गुणों को जानने की आवश्यकता क्यों है?
(फिसल पट्टी) 
दोस्तों, देखो उसने एक अतिरिक्त कार्ड छोड़ा है (a * b): c
मान लीजिए कि यह सूत्र क्या है?
पाठ के विषय का नाम कौन दे सकता है)
इस पाठ के लिए हम स्वयं को कौन से लक्ष्य निर्धारित करेंगे?
प्रतियोगिता के लिए, हमने पेन के 5 सेट खरीदे, प्रत्येक में 3। इन किट्स को 3 टीमों में बांटा गया था। प्रत्येक दल ने कितने कलमों में पानी डाला?
1 स्लाइड विधि 16
(3*5):3= 15:3=5
2 रास्ते
(3*5):3=(3:3)*5=5
स्लाइड17
किसी उत्पाद का एक संख्या से विभाजन: (ए बी): सी = (ए: सी) बी = ए (बी: सी)।
इस नियम को एक कागज के टुकड़े पर पढ़ें, इसे घर पर याद करें।
अब देखते हैं कि क्या हमने यह पता लगाया है कि इस विभाजन संपत्ति को कैसे लागू किया जाए। अगर हम सब कुछ सही ढंग से करते हैं, तो मैं आपको अस्ताना का एक और दिलचस्प नजारा दिखाऊंगा।
समझ की प्रारंभिक परीक्षा
(8 * 6): 2 = (8: ") * 6 = 24
(6*6):3=(6:3)*6=12
(9*8):2=(8:2)*9=36
विभाजन की संपत्ति का नाम क्या है, जो हमें पाठ में मिला था? (एक संख्या से एक उत्पाद का विभाजन)
हमें इस संपत्ति को जानने की आवश्यकता क्यों है?
क्या हम हमेशा 2 तरीके इस्तेमाल कर सकते हैं? क्यों? (संख्या विभाज्य नहीं हैं)
हम किस राज्य में रहते हैं?(स्वतंत्र, स्वतंत्र, शांतिपूर्ण, समृद्ध)
अस्ताना में एक इमारत है जो दोस्ती का प्रतीक है, कजाकिस्तान की भूमि पर सभी लोगों की दुनिया की एकता।
इमारत एक पिरामिड के आकार की है
राय।
इस इमारत को शांति और सुलह का महल कहा जाता है, इसकी ऊंचाई 62 मीटर है, जिसे 2006 में बनाया गया था
फ़िज़मिनुत्का
यह अच्छा है कि सूरज चमक रहा है! अच्छा!
यह अच्छा है कि हवा चल रही है! अच्छा!
नृत्य में घूमना अच्छा है! अच्छा!
क्या कज़ाखस्तानी होना अच्छा है? अच्छा!
4. समस्या का समाधान
खेलकूद किसे पसंद है? आपको खेल खेलने की आवश्यकता क्यों है?(स्वस्थ और मजबूत होने के लिए)
अस्ताना में एक बड़ा इनडोर स्टेडियम "अस्ताना - एरिना" बनाया गया था। वहां "प्राप्त" करने के लिए हमें एक समस्या को हल करने की आवश्यकता है।
एथलेटिक्स में प्रतिस्पर्धा करने के लिए 30 लड़कियां और 40 लड़के अस्ताना गए थे। प्रत्येक गाड़ी में 10 लोग सवार हुए। बच्चों ने कितनी कारें लीं?
समस्या में क्या जाना जाता है?
आपको खोजने की क्या ज़रूरत है?
हम एक छोटी प्रविष्टि कैसे लिखेंगे? (तालिका में)
हम कौन सी तालिका बनाएंगे? (3.5 सेल)
हम 1, 2, 3, कॉलम में क्या लिखते हैं? (1 कार में, मात्रा, कुल)
हम समस्या का समाधान कैसे करने जा रहे हैं?
पहली क्रिया से हम क्या पाएंगे?
हम 2 क्रियाओं से क्या पाते हैं?
समस्या को एक व्यंजक के साथ लिखिए।
इस व्यंजक को हल करने के लिए किस गुण का प्रयोग किया जा सकता है? (योग को किसी संख्या से भाग देने पर)
1) 30 + 40 = 70 (लोग) - कुल
2) 70: 10 = 7 (सी) - बच्चों ने लिया
(30+40):10=7
अच्छा हुआ, देखिए यह स्टेडियम कैसा दिखता है। स्टेडियम की छत खुलती है। प्रतियोगिताओं के अलावा, प्रसिद्ध कलाकार यहां संगीत कार्यक्रम देते हैं।
5. समीकरणों का हल। ब्लैकबोर्ड पर काम करें।
अस्ताना में एक असामान्य इमारत भी है। आइस हॉकी और फिगर स्केटिंग प्रतियोगिताएं वहां आयोजित की जाती हैं।
पाठ्यपुस्तक के समीकरणों को 36 # 6, (, 3) से हल करें।
एक्स = 368, एक्स = 205
अच्छा हुआ, यह इमारत ऐसी दिखती है।
पाठ सारांश
हम किस विषय पर मिले?
विभाजन का नियम किसे याद था?
हमें गुणन और भाग के नियमों को जानने की आवश्यकता क्यों है?
प्रतिबिंब
क्या आपने यात्रा का आनंद लिया?
पाठ के प्रति अपना दृष्टिकोण दिखाएं (इमोटिकॉन्स में स्टिकर संलग्न करें)
- आपने कौन सी नई और दिलचस्प बातें सीखी हैं? -
आप हमारे गणतंत्र के किस शहर में और जानना चाहेंगे?
सीनिष्पक्ष
ट्रांसलोकेटिव
वितरण
विभाजन
मात्रा प्रति संख्या
ए * बी = बी * ए
(ए * बी) * सी = (ए * सी) * बी
(ए + बी): सी = ए: सी + बी: सी
(ए + बी) * सी = ए * सी + बी *
(ए * बी): सी =
विभाजन
संख्या द्वारा उत्पाद
. विभाजन
संख्या द्वारा उत्पाद
( ए · बी ) : सी = ( ए : सी ) · बी
(ए बी): सी = ए (बी: सी)।
ए * बी = बी * एक संयोजन
(ए * बी) * सी = (ए * सी) * विस्थापित में
(ए + बी): सी = ए: सी + बी: सी वितरण
(ए + बी) * सी = ए * सी + बी * सी योग को एक संख्या से विभाजित करना
ए * बी = बी * एक संयोजन
(ए * बी) * सी = (ए * सी) * विस्थापित में
(ए + बी): सी = ए: सी + बी: सी वितरण
(ए + बी) * सी = ए * सी + बी * सी योग को एक संख्या से विभाजित करना
ए * बी = बी * एक संयोजन
(ए * बी) * सी = (ए * सी) * विस्थापित में
(ए + बी): सी = ए: सी + बी: सी वितरण
(ए + बी) * सी = ए * सी + बी * सी योग को एक संख्या से विभाजित करना
ए * बी = बी * एक संयोजन
(ए * बी) * सी = (ए * सी) * विस्थापित में
(ए + बी): सी = ए: सी + बी: सी वितरण
(ए + बी) * सी = ए * सी + बी * सी योग को एक संख्या से विभाजित करना
किसी संख्या द्वारा उत्पाद का विभाजन .
दो गुणनखंडों के गुणनफल को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, आप किसी भी गुणनखंड को इस संख्या से विभाजित कर सकते हैं (यदि विभाजन संभव हो) और भागफल को दूसरे गुणनखंड से गुणा करें।
गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में, एक योग की विभाज्यता पर प्रमेय एक sv-va के रूप में "प्रस्तुत" होते हैं "किसी संख्या से योग का विभाजन।" इस प्रमाणपत्र का उपयोग दो अंकों की संख्या को एक अंक की संख्या से विभाजित करते समय किया जाता है।
एम2एम पाठ्यपुस्तक में, बच्चों को इस गुण से परिचित कराने की विधि एक संख्या से किसी योग को गुणा करने के गुण का अध्ययन करने की विधि के समान है। अर्थात्: पहले, छात्र किसी समस्या को हल करने के दो तरीकों का विश्लेषण करते हैं, इस उद्देश्य के लिए एक ड्राइंग का उपयोग करते हैं, फिर, एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करते हुए, किसी राशि को किसी संख्या से विभाजित करते समय कार्रवाई के दो तरीकों की व्याख्या की जाती है, अर्थात मामले पर विचार किया जाता है जब प्रत्येक पद को दी गई संख्या से विभाजित किया जाता है।
उदाहरण को हल करने के दो तरीकों पर विचार करें: (6+9):3 ;
योग की गणना करें और परिणाम को संख्या से विभाजित करें: (6+9):3=15:3=5;
प्रत्येक पद को एक संख्या से विभाजित करें, और फिर परिणाम जोड़ें: (6 + 9): 3 = 6: 3 + 9: 3 = 2 + 3 = 5। परिणामों की तुलना करें।
अभ्यास के दौरान अभिनय का नया तरीका प्रबल होता है: प्रत्येक अभिव्यक्ति के अर्थ को दो तरीकों से साफ करें: (10 + 4): 2, (8 + 12): 4, (12 + 15): 3.
M2I पाठ्यपुस्तक में, छात्रों को एक संख्या से एक योग को विभाजित करने की संपत्ति से परिचित कराने के लिए एक अलग पद्धतिगत दृष्टिकोण का उपयोग किया गया था।
छात्रों को निम्नलिखित कार्य की पेशकश की जाती है: अनुमान लगाओ! प्रत्येक कॉलम में भाव लिखने का नियम क्या है? उनके मूल्यों की गणना करें: 54: 9 (36 + 18): 9 36: 9 + 18: 9; 63: 7 (49 + 14): 7 49: 7 + 14: 7।
इस गतिविधि को पूरा करने की प्रक्रिया में, छात्र अभिनय के एक नए तरीके से अवगत हो जाते हैं। अर्थात्: लाभांश को दो पदों के योग के रूप में दर्शाया जाता है, जिनमें से प्रत्येक को एक दी गई संख्या से विभाजित किया जाता है, फिर प्रत्येक पद को इस संख्या से विभाजित किया जाता है और परिणाम जोड़े जाते हैं। कार्रवाई की नई पद्धति में महारत हासिल करने के लिए, विभिन्न कार्य किए जाते हैं। साथ ही, सत्रीय कार्यों में प्रयुक्त अभिव्यक्तियों में केवल सारणीबद्ध विभाजन के मामले शामिल हैं, इसलिए छात्रों को कार्रवाई की नई पद्धति को लागू करने में कठिनाई नहीं होती है।
24. "समीकरण" की अवधारणा से परिचित होने के तरीके।
संख्यात्मक अभिव्यक्ति;
परिवर्तनीय अभिव्यक्ति;
समानता और असमानता;
समीकरण।
2) उनकी सामग्री का खुलासा करें।
समीकरण प्राथमिक विद्यालय के गणित में सिखाई जाने वाली बुनियादी बीजीय अवधारणाओं में से एक है। प्राथमिक विद्यालय में, एक अज्ञात के साथ केवल पहली डिग्री के समीकरणों पर विचार किया जाता है, और अधिकांश तरीकों के अनुसार बच्चों को विशेष रूप से सरलतम समीकरणों से परिचित कराने की सिफारिश की जाती है।
सरलतम समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक ही चरण मूल ज्ञात करने के लिए पर्याप्त होता है। लेकिन कुछ अन्य विधियों के अनुसार, संकेतित समीकरणों के अलावा, छात्रों को अधिक जटिल समीकरणों से परिचित कराने की सिफारिश की जाती है जैसे:
प्राथमिक विद्यालय में एक समीकरण का हल अंकगणितीय संक्रियाओं के घटकों और उनके परिणाम के बीच संबंध पर आधारित होता है।
शिक्षक के लिए कार्य:
छात्रों को एक समीकरण और उसके समाधान की अवधारणा से परिचित कराना;
एक जागरूक समीकरण सुलझाने का कौशल विकसित करें।
प्रारंभिक कार्य:
प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को एक समीकरण को एक निहित रूप में हल करने का सुझाव दें, अर्थात। एक रिकॉर्ड का सुझाव दें जैसे:
सही समानता प्राप्त करने के लिए लापता संख्या को बॉक्स में डालें।
इस तरह के असाइनमेंट को प्राथमिक स्कूल शिक्षा के विभिन्न चरणों में पेश किया जा सकता है। सीखने के किस चरण में संकेतित कार्यों की पेशकश की जाती है, इस पर निर्भर करते हुए, छात्र 2 तरीकों से कार्य कर सकते हैं:
1. यदि बच्चे अभी तक क्रियाओं के घटकों और उनके परिणामों के बीच संबंध नहीं जानते हैं, तो वे चयन विधि द्वारा संकेतित कार्य करते हैं। वे। विंडो में अलग-अलग नंबर बदलें और जांचें कि समानता सत्य है या नहीं।
2. यदि संकेतित कार्यों की पेशकश की जाती है जब बच्चे पहले से ही क्रियाओं के घटकों और उनके परिणामों के बीच संबंधों से परिचित होते हैं, तो वे उन्हें इस कनेक्शन का उपयोग करते हुए पाते हैं।
उपरोक्त से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक समीकरण की अवधारणा के साथ परिचित के लिए छात्रों को तैयार करने के चरण में, वे एक निहित रूप में समीकरण से परिचित हो जाते हैं और चयन विधि द्वारा समीकरणों को हल करने की विधि => समीकरणों को हल करने की दूसरी विधि चयन विधि है।
साथ ही, प्रारंभिक चरण में प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को विभिन्न अंकगणितीय संक्रियाओं के घटकों, उनके परिणामों और उनके बीच के संबंध से परिचित कराना शामिल होना चाहिए। यदि इन अवधारणाओं के साथ छात्रों का परिचय उचित स्तर पर नहीं होता है और बच्चे जानबूझकर अज्ञात शब्दों को खोजने, घटाए जाने, कम करने आदि के नियमों को नहीं सीखते हैं, तो समीकरण के समाधान से परिचित नहीं होगा उचित स्तर। प्रारंभिक स्तर पर गणित के अध्ययन की पूरी प्रक्रिया के दौरान, समीकरण से परिचित होने के क्षण तक, अंकगणितीय संक्रियाओं के अज्ञात घटकों को खोजने में छात्रों के ठोस कौशल को विकसित करने के उद्देश्य से कार्य करना आवश्यक है।
एक समीकरण की अवधारणा के साथ परिचित।
बच्चों को रिकॉर्ड करने के लिए आमंत्रित किया जाता है:
तब यह बताया जाता है कि गणित में अज्ञात संख्या को विशेष अक्षरों से निरूपित करने की प्रथा है, जिनमें से मुख्य है " एक्स».
और प्रतिनिधित्व की गई समानता को समीकरण कहा जाता है। बच्चों के लिए एक समीकरण की अवधारणा बनाने के लिए, आपको कई भाव प्रस्तुत करने होंगे:
बच्चों को संकेतित वस्तुओं में से उन वस्तुओं की पहचान करनी चाहिए जो समीकरण हैं, उनकी पसंद की व्याख्या करते हुए। इसके अलावा, उन्हें समीकरणों के आवश्यक गुणों को इंगित करना चाहिए (समानता, is .) एक्स).
साथ ही "समीकरण" की अवधारणा के साथ, बच्चे एक विचार विकसित करते हैं कि समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है। उन्हें इस तथ्य को पूरी तरह से समझना चाहिए कि एक समीकरण को हल करना एक ऐसी संख्या का पता लगाना है, जिसे किसी अज्ञात के बजाय समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, बाद वाले को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल दिया जाता है। "समीकरण रूट" की अवधारणा पेश नहीं की गई है, हालांकि कुछ तकनीकें इस शब्द की शुरूआत की अनुमति देती हैं (एल्कोनिन-डेविडोव के अनुसार)।
पहले से ही समीकरण का अध्ययन करने के चरण में, शुरुआत में "समीकरण के डोमेन" की अवधारणा के प्रोपेड्यूटिक्स को करना एक अच्छा विचार है। ऐसा काम विशेष रूप से प्रभावी ढंग से किया जाता है ...
एक्स-10 = 2 (9 नहीं, क्योंकि...)
15: x = 5 (नहीं 5, क्योंकि...)
इस प्रकार के समीकरणों पर विचार करने पर यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक संख्या इन समीकरणों का हल नहीं हो सकती।
समीकरणों के अध्ययन पर कार्य प्रभावी होने के लिए, बच्चों को विभिन्न प्रकार के कार्यों के साथ समीकरण प्रस्तुत करने की आवश्यकता है:
समीकरण को हल करें और जांचें;
हल किए जा रहे समीकरणों की जाँच करें, त्रुटि का पता लगाएं;
संख्याओं के साथ समीकरण बनाएं: x, 10, 12
12 = 10, आदि।
दिए गए समीकरणों में से केवल उन्हें हल करें जो घटाव क्रिया का उपयोग करके हल किए गए हैं:
10 = 8, आदि।
दिए गए समीकरणों में से केवल उन समीकरणों को हल कीजिए जो योग द्वारा हल किए गए हैं;
बच्चों को एक समीकरण दिया जाता है जिसमें क्रिया चिन्ह अनुपस्थित होता है
और समाधान दिया गया है
समीकरण की अवधारणा पर विचार करते समय सत्यापन पर विशेष ध्यान देना चाहिए। यह बहुत महत्वपूर्ण है कि समीकरण समाधान परीक्षण करते समय, छात्र इस कार्य को औपचारिक रूप से नहीं, बल्कि सचेत रूप से करते हैं। ऐसा करने के लिए, उन्हें समस्या स्थितियों की पेशकश करनी चाहिए जिसमें उन्हें हल किए गए समीकरणों की जांच करने के लिए विशिष्ट क्रियाएं करने की आवश्यकता होती है, अर्थात्, पहले से हल किए गए समीकरण की पेशकश करने के लिए और इसे हल किए बिना, यह स्थापित करने के लिए कि कोई गलती हुई है या नहीं। इस प्रक्रिया में छात्रों के कार्यों को नियंत्रित करने के लिए, उन्हें अपने कार्यों के बारे में जोर से बात करने के लिए आमंत्रित करना आवश्यक है।
25. "अभिव्यक्ति" (संख्यात्मक भाव और एक चर के साथ भाव) की अवधारणा से परिचित होने के तरीके।
प्राथमिक विद्यालय के गणित पाठ्यक्रम में, बच्चों को निम्नलिखित बीजीय अवधारणाओं से परिचित कराया जाता है:
संख्यात्मक अभिव्यक्ति;
परिवर्तनीय अभिव्यक्ति;
समानता और असमानता;
समीकरण।
शिक्षक के लिए कार्य:
1) छात्रों के बीच इन अवधारणाओं के बारे में एक विचार तैयार करना।
2) उनकी सामग्री का खुलासा करें।
संख्यात्मक अभिव्यक्ति।
कार्य:
2) भावों में क्रिया करने के क्रम के नियमों का परिचय दें। उन्हें गणना में उनका उपयोग करना सिखाएं।
3) बच्चों को अभिव्यक्तियों के कुछ समान परिवर्तन करना सिखाएं।
संख्यात्मक अभिव्यक्ति की अवधारणा के साथ छात्रों का परिचित होना स्कूली शिक्षा के पहले दिनों से एक या दूसरे अंकगणितीय ऑपरेशन की शुरूआत के साथ होता है।
प्राथमिक विद्यालय के बच्चों को जोड़ क्रिया की अवधारणा से परिचित कराना: बच्चों को वह संख्यात्मक अभिव्यक्ति दिखाई जाती है, जिसे योग कहा जाता है। शिक्षक को यह याद रखना चाहिए कि संख्याओं के बीच रखे गए क्रिया चिन्ह का दोहरा अर्थ होता है। एक ओर, यह संख्याओं पर किए जाने वाले कार्यों को दर्शाता है, और दूसरी ओर, यह किसी दिए गए संख्यात्मक अभिव्यक्ति के पदनाम को दर्शाता है। इसलिए, "संख्यात्मक अभिव्यक्ति" की अवधारणा "अंकगणितीय संचालन" की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई है और इन अवधारणाओं के निर्माण में, एक दूसरे के गठन में योगदान देता है।
संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से परिचित होना धीरे-धीरे होता है, और पहले छात्र सबसे सरल अभिव्यक्तियों (एक क्रिया चिह्न के साथ) से परिचित होते हैं, और फिर अधिक जटिल अभिव्यक्तियों (2 या अधिक क्रियाओं) से परिचित होते हैं। अभिव्यक्तियों की तुलना करने का चरण एक बहुत ही महत्वपूर्ण चरण है। अभिव्यक्ति तुलना के माध्यम से बच्चे समानता और असमानता जैसी अवधारणाओं से परिचित हो जाते हैं।
जैसे-जैसे भाव अपने मूल्यों को खोजने के लिए अधिक जटिल होते जाते हैं, प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को अभिव्यक्तियों में क्रिया करने के नियमों से परिचित कराना आवश्यक हो जाता है।
इन नियमों से परिचित होने का कार्यान्वयन भी धीरे-धीरे होता है:
1) सबसे पहले, बच्चे अभिव्यक्ति में क्रियाओं के कार्यान्वयन के नियम से परिचित होते हैं, जिसमें एक चरण की क्रियाएं शामिल होती हैं, और कोई कोष्ठक नहीं होते हैं।
2) फिर छात्र एक स्तर और कोष्ठक की क्रियाओं के साथ भावों में क्रिया करने के नियमों से परिचित होते हैं।
3) फिर - विभिन्न स्तरों की क्रियाओं के साथ भाव, लेकिन बिना कोष्ठक के।
4) फिर - दो चरणों और कोष्ठक की क्रियाओं के साथ भाव।
सभी नियमों से परिचित होना इस प्रकार है: शिक्षक कहते हैं - बच्चों को याद रखना चाहिए।
बच्चों को शुरू किए गए नियमों को सीखने के लिए, उन्हें कई तरह के कार्य दिए जाने चाहिए:
1) इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें, पहले क्रियाओं के क्रम को इंगित किया है।
2) सही समानताएं प्राप्त करने के लिए कोष्ठक लगाएं।
3) दिए गए उदाहरणों के युग्मों में से केवल उन्हीं को लिखिए जिनमें क्रियाओं के क्रम के नियमों के अनुसार गणना की गई थी।
त्रुटियों की व्याख्या करने के बाद, आप कार्य दे सकते हैं: कोष्ठक का उपयोग करके, अभिव्यक्ति को बदल दें ताकि इसका निर्दिष्ट मान हो।
4) बच्चों को निम्नलिखित प्रविष्टियों में क्रियाओं के क्रम को इंगित करने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है:
संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की अवधारणाओं को बनाते समय, बच्चों द्वारा समान परिवर्तनों के प्रदर्शन पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए (एक परिवर्तन समान है यदि एक अभिव्यक्ति से दूसरी अभिव्यक्ति प्राप्त होती है जो समान रूप से इसके बराबर होती है)।
प्राथमिक विद्यालय के छात्रों द्वारा किए गए समान परिवर्तन:
1) +, -,:, x को उनके मानों से बदलना।
2) शर्तों का क्रमपरिवर्तन।
3) कोष्ठक का विस्तार।
प्राथमिक विद्यालय के छात्रों द्वारा किए जाने वाले सभी समान परिवर्तनों के केंद्र में संख्याओं और कुछ अंकगणितीय क्रियाओं के गुणों पर कार्रवाई करने के नियम हैं (विस्थापन, संयोजन, वितरण, किसी संख्या से योग को गुणा करने का नियम, घटाने का नियम) एक संख्या से योग, 0 और 1 के साथ क्रिया, आदि) आदि)
जैसा कि वे प्रत्येक संपत्ति का पता लगाते हैं, छात्रों को यह विश्वास हो जाता है कि एक निश्चित प्रकार के भावों में, आप विभिन्न तरीकों से कार्य कर सकते हैं, लेकिन भावों के मूल्य नहीं बदलेंगे।
भविष्य में, छात्र इन या उन गुणों का उपयोग भावों के समान परिवर्तनों के लिए करते हैं।
1) छात्र अभिव्यक्ति पढ़ता है;
2) संबंधित संपत्ति को याद करता है;
3) इस गुण के आधार पर व्यंजक का रूपांतरण करता है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि किए गए परिवर्तन सही हैं, छात्रों को एक ही अभिव्यक्ति के मूल्य को अलग तरीके से खोजने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है।
यदि प्राप्त मूल्य पहले के समान है, तो रूपांतरण सही है।
गणितीय भाषण के विकास और परिवर्तनों के सचेत कार्यान्वयन के लिए, बच्चों को किए गए कार्यों का स्पष्टीकरण देना आवश्यक है।
एक चर के साथ अभिव्यक्ति।
कार्य:
1) वेरिएबल वाले व्यंजकों का एक विचार दें।
2) वेरिएबल के विभिन्न मानों के लिए व्यंजक का मान ज्ञात करना सिखाएं।
प्राथमिक विद्यालय में गणित सीखते समय, छात्रों को विभिन्न चरणों में चर के साथ भाव मिलते हैं। इन गणितीय अवधारणाओं से परिचित होने और उनके साथ काम करने से आप छात्रों के बीच अभिव्यक्ति की अवधारणा को सामान्य बना सकते हैं।
एक अच्छी तैयारी एक ऐसा कार्य है जहां चर को परोक्ष रूप से प्रस्तुत किया जाता है (खाली विंडो, डॉट्स)
उदाहरण के लिए: 3+
निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या 1, 2, 3 को विंडो में डालें, योग ज्ञात करें।
धीरे-धीरे, बच्चों को इस विचार की ओर ले जाया जाता है कि गणित में, एक लापता संख्या के बजाय, आप एक अक्षर लिख सकते हैं, और अक्षर को कुछ अर्थ देते हुए, अभिव्यक्ति के विभिन्न अर्थ प्राप्त कर सकते हैं।
इसके अलावा, परिधि और क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्रों से परिचित होने पर चर के साथ मूल्यों का उपयोग किया जाता है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस विषय पर छात्रों द्वारा प्राप्त ज्ञान की मात्रा गणित की पाठ्यपुस्तक के आधार पर एक दूसरे से भिन्न होती है।
उदाहरण के लिए:
पीटरसन, इस्तोमिना, अलेक्जेंड्रोवा - एक चर के साथ अभिव्यक्तियों की मात्रा और सामग्री का काफी विस्तार होता है, सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है (छात्रों में अंकगणितीय संचालन के गुणों का गठन)