कोनेअंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच हम डेटा के समानांतर एक मनमाना बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं से बने किसी भी आसन्न कोण को कहेंगे।
मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं:
जाहिर है, सीधी रेखाओं के बीच के कोण को उनके दिशा वैक्टर और के बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है। चूँकि, तब, सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं
दो सीधी रेखाओं की समांतरता और लंबवतता की शर्तें उनके दिशा वैक्टर की समानांतरता और लंबवतता के लिए शर्तों के बराबर हैं और:
दो सीधे समानांतरयदि और केवल यदि उनके संगत गुणांक समानुपाती हों, अर्थात्। मैं 1 समानांतर मैं 2 यदि और केवल यदि समानांतर 
.
दो सीधे सीधायदि और केवल तभी, जब संगत गुणांकों के गुणनफलों का योग शून्य हो:।
पास होना सीधी रेखा और समतल के बीच का लक्ष्य
इसे सीधा होने दें डी- विमान के लंबवत नहीं ;
डी- सीधी रेखा का प्रक्षेपण डीविमान पर ;
सीधी रेखाओं के बीच का सबसे छोटा कोण डीतथा डीहम फोन करेंगे रेखा और समतल के बीच का कोण.
हम इसे = ( डी,θ)
अगर डी, तब ( डी, ) = / 2
ओइस→जे→क→ - आयताकार समन्वय प्रणाली।
समतल समीकरण:
θ: कुल्हाड़ी+द्वारा+सीजेडई+डी=0
हम मानते हैं कि रेखा एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर द्वारा दी गई है: डी[एम 0,पी→]
वेक्टर एन→(ए,बी,सी)⊥θ
फिर यह वैक्टर के बीच के कोण का पता लगाना बाकी है एन→ और पी→, हम इसे = ( एन→,पी→).
यदि कोण<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
यदि कोण γ> / 2, तो वांछित कोण φ = γ - π / 2
sinφ = पाप (2π - ) = cosγ
sinφ = sin (γ - 2π) = - cosγ
फिर, रेखा और समतल के बीच का कोणसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:
sinφ = cosγ∣ = एपी 1+बीपी 2+सीपी 3∣ ∣ √ए 2+बी 2+सी 2√पी 21+पी 22+पी 23
प्रश्न 29. द्विघात रूप की अवधारणा। द्विघात रूपों की साइन-निश्चितता।
द्विघात रूप j (x 1, x 2, ..., x n) n वास्तविक चर x 1, x 2, ..., x nफॉर्म का योग कहा जाता है 
, (1)
कहाँ पे एक आईजेयू - कुछ संख्याएँ जिन्हें गुणांक कहा जाता है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम यह मान सकते हैं कि एक आईजेयू = एक जिओ.
द्विघात रूप कहलाता है मान्य,अगर एक आईजेयू
जीआर। द्विघात रूप के एक मैट्रिक्स द्वाराइसके गुणांकों से बना एक मैट्रिक्स कहलाता है। द्विघात रूप (1) केवल सममित मैट्रिक्स से मेल खाता है 
अर्थात। ए टी = ए... इसलिए, द्विघात रूप (1) को मैट्रिक्स रूप j में लिखा जा सकता है ( एक्स) = एक्स टी कुल्हाड़ी, कहाँ पे एक्स टी = (एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन). (2)
और, इसके विपरीत, प्रत्येक सममित मैट्रिक्स (2) चर के अंकन तक एक अद्वितीय द्विघात रूप से मेल खाती है।
द्विघात रूप के पद सेइसके मैट्रिक्स के रैंक को कॉल करें। द्विघात रूप कहलाता है गैर-पतित,अगर इसका मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है ए... (याद रखें कि मैट्रिक्स एयदि इसका निर्धारक शून्य नहीं है, तो इसे गैर-अपघटित कहा जाता है)। अन्यथा, द्विघात रूप पतित है।
सकारात्मक रूप से परिभाषित(या सख्ती से सकारात्मक) यदि
जे ( एक्स) > 0 , किसी के लिए भी एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), के अतिरिक्त एक्स = (0, 0, …, 0).
आव्यूह एसकारात्मक निश्चित द्विघात रूप j ( एक्स) को सकारात्मक निश्चित भी कहा जाता है। नतीजतन, एक सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स एक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप से मेल खाता है और इसके विपरीत।
द्विघात रूप (1) कहलाता है नकारात्मक रूप से परिभाषित(या सख्ती से नकारात्मक) अगर
जे ( एक्स) < 0, для любого एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), के अतिरिक्त एक्स = (0, 0, …, 0).
इसी तरह ऊपर के रूप में, ऋणात्मक निश्चित द्विघात रूप के एक मैट्रिक्स को ऋणात्मक निश्चित भी कहा जाता है।
इसलिए, धनात्मक (ऋणात्मक) निश्चित द्विघात रूप j ( एक्स) न्यूनतम (अधिकतम) मान j तक पहुँचता है ( एक्स*) = 0 के लिए एक्स* = (0, 0, …, 0).
ध्यान दें कि अधिकांश द्विघात रूप निश्चित नहीं हैं, अर्थात वे न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। इस तरह के द्विघात रूप न केवल समन्वय प्रणाली के मूल में, बल्कि अन्य बिंदुओं पर भी गायब हो जाते हैं।
कब एन> 2, द्विघात रूप की निश्चितता की जांच के लिए विशेष मानदंड की आवश्यकता होती है। आइए उन पर विचार करें।
प्रमुख नाबालिगद्विघात रूप को अवयस्क कहा जाता है:
यानी ये क्रम 1, 2, ... के अवयस्क हैं। एनमैट्रिक्स एऊपरी बाएं कोने में स्थित, उनमें से अंतिम मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ मेल खाता है ए.
सकारात्मक निश्चितता मानदंड (सिलवेस्टर मानदंड)
एक्स) = एक्स टी कुल्हाड़ीसकारात्मक निश्चित था, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स के सभी प्रमुख नाबालिग एसकारात्मक थे, अर्थात्: एम 1 > 0, एम 2 > 0, …, एम नहीं > 0. नकारात्मक निश्चितता मानदंड द्विघात रूप j के क्रम में ( एक्स) = एक्स टी कुल्हाड़ीनकारात्मक रूप से निश्चित था, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सम क्रम के इसके प्रमुख अवयस्क सकारात्मक हों, और विषम क्रम के ऋणात्मक हों, अर्थात: एम 1 < 0, एम 2 > 0, एम 3 < 0, …, (–1)एन
यह सामग्री ऐसी अवधारणा के लिए समर्पित है जैसे कि दो प्रतिच्छेदन सीधी रेखाओं के बीच का कोण। पहले पैराग्राफ में, हम समझाएंगे कि यह क्या है और इसे दृष्टांतों में दिखाएंगे। फिर हम विश्लेषण करेंगे कि इस कोण के साइन, कोसाइन और कोण को किन तरीकों से पाया जा सकता है (हम अलग-अलग मामलों पर एक विमान और त्रि-आयामी स्थान के साथ विचार करेंगे), हम आवश्यक सूत्र देंगे और उदाहरणों के साथ दिखाएंगे कि वास्तव में कैसे वे व्यवहार में लागू होते हैं।
यह समझने के लिए कि दो सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करने पर कोण क्या बनता है, हमें कोण, लंबवतता और प्रतिच्छेदन बिंदु की बहुत परिभाषा को याद रखने की आवश्यकता है।
परिभाषा 1
हम दो रेखाओं को प्रतिच्छेद करते हैं यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो। इस बिंदु को दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कहा जाता है।
प्रत्येक रेखा को एक प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा किरणों में विभाजित किया जाता है। इस मामले में, दोनों सीधी रेखाएं 4 कोण बनाती हैं, जिनमें से दो लंबवत हैं, और दो आसन्न हैं। यदि हम उनमें से एक का माप जानते हैं, तो हम शेष शेष का निर्धारण कर सकते हैं।
मान लीजिए हम जानते हैं कि इनमें से एक कोण α के बराबर है। इस मामले में, इसके संबंध में लंबवत कोण भी α के बराबर होगा। शेष कोणों को खोजने के लिए, हमें 180 ° - α के अंतर की गणना करने की आवश्यकता है। यदि α 90 डिग्री के बराबर है, तो सभी कोण समकोण होंगे। समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं को लंबवत कहा जाता है (एक अलग लेख लंबवतता की अवधारणा के लिए समर्पित है)।
तस्वीर को जरा देखिए:
आइए मुख्य परिभाषा तैयार करने के लिए आगे बढ़ें।
परिभाषा 2
दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाला कोण उन 4 कोणों में से छोटे कोण का माप होता है जो दो रेखाएँ बनाते हैं।
परिभाषा से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जाना चाहिए: इस मामले में कोण का आकार अंतराल (0, 90] में किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाएगा। यदि सीधी रेखाएं लंबवत हैं, तो किसी भी मामले में उनके बीच का कोण होगा 90 डिग्री के बराबर हो।
दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के बीच के कोण की माप ज्ञात करने की क्षमता अनेक व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में उपयोगी होती है। समाधान विधि को कई विकल्पों में से चुना जा सकता है।
शुरुआत के लिए, हम ज्यामितीय तरीके ले सकते हैं। यदि हम अतिरिक्त कोणों के बारे में कुछ जानते हैं, तो हम उन्हें समान या समान आकृतियों के गुणों का उपयोग करके अपनी आवश्यकता के कोण से जोड़ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी त्रिभुज की भुजाओं को जानते हैं और हमें उन सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की आवश्यकता है, जिन पर ये भुजाएँ स्थित हैं, तो कोज्या प्रमेय हमारे लिए उपयुक्त है। यदि हमारे पास स्थिति में एक समकोण त्रिभुज है, तो किसी कोण की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा का ज्ञान भी गणना के काम आएगा।
इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय विधि भी बहुत सुविधाजनक है। आइए बताते हैं कि इसे सही तरीके से कैसे इस्तेमाल किया जाए।
हमारे पास एक आयताकार (कार्तीय) निर्देशांक प्रणाली O x y है, जिसमें दो रेखाएँ दी गई हैं। आइए उन्हें ए और बी अक्षरों से निरूपित करें। इस मामले में, किसी भी समीकरण का उपयोग करके सीधी रेखाओं का वर्णन किया जा सकता है। मूल रेखाओं में एक प्रतिच्छेदन बिंदु M होता है। इन सीधी रेखाओं के बीच आवश्यक कोण (इसे α से निरूपित करें) का निर्धारण कैसे करें?
आइए दी गई शर्तों के तहत कोण खोजने का मूल सिद्धांत तैयार करके शुरू करें।
हम जानते हैं कि एक सीधी रेखा की अवधारणा दिशा और सामान्य वेक्टर जैसी अवधारणाओं से निकटता से संबंधित है। यदि हमारे पास किसी सीधी रेखा का समीकरण है, तो हम इससे इन सदिशों के निर्देशांक ले सकते हैं। हम इसे एक साथ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए कर सकते हैं।
दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित कोण का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
- दिशा वैक्टर के बीच कोण;
- सामान्य वैक्टर के बीच कोण;
- एक सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर और दूसरे के दिशा वेक्टर के बीच का कोण।
अब हम प्रत्येक विधि पर अलग से विचार करेंगे।
1. मान लीजिए कि हमारे पास एक सीधी रेखा a है जिसमें एक दिशा वेक्टर a → = (a x, a y) और एक सीधी रेखा b है जिसमें एक दिशा वेक्टर b → (b x, b y) है। अब हम दो सदिशों a → और b → को प्रतिच्छेदन बिंदु से स्थगित करेंगे। उसके बाद, हम देखेंगे कि वे प्रत्येक अपनी-अपनी लाइन पर स्थित होंगे। तब हमारे पास उनकी सापेक्ष स्थिति के लिए चार विकल्प होते हैं। उदाहरण देखें:
यदि दो सदिशों के बीच का कोण अधिक नहीं है, तो यह वह कोण होगा जो हमें प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं a और b के बीच चाहिए। यदि यह अधिक है, तो मांगा गया कोण कोण a →, b → ^ के आसन्न कोण के बराबर होगा। इस प्रकार, α = a →, b → ^ यदि a →, b → ^ ≤ 90 °, और α = 180 ° - a →, b → ^ यदि a →, b → ^> 90 °।
इस तथ्य के आधार पर कि समान कोणों की कोज्या बराबर हैं, हम परिणामी समानता को निम्नानुसार फिर से लिख सकते हैं: cos α = cos a →, b → ^, यदि a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, यदि a →, b → ^> 90 °।
दूसरे मामले में, कमी सूत्रों का इस्तेमाल किया गया था। इस तरह,
cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
आइए अंतिम सूत्र को शब्दों में लिखें:
परिभाषा 3
दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनने वाले कोण की कोज्या उसके दिशा सदिशों के बीच के कोण के कोज्या के मापांक के बराबर होगी।
दो सदिशों a → = (a x, a y) और b → = (b x, b y) के बीच कोण की कोज्या के लिए सूत्र का सामान्य दृश्य इस तरह दिखता है:
cos a →, b → ^ = a →, b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
इससे हम दी गई दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
तब कोण स्वयं निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
यहाँ a → = (a x, a y) और b → = (b x, b y) दी गई रेखाओं के दिशा सदिश हैं।
आइए समस्या को हल करने का एक उदाहरण दें।
उदाहरण 1
समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ a और b दिए गए हैं। उन्हें पैरामीट्रिक समीकरण x = 1 + 4 · y = 2 + ∈ R और x 5 = y - 6 - 3 द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इन रेखाओं के बीच के कोण की गणना करें।
समाधान
हमारे पास स्थिति में एक पैरामीट्रिक समीकरण है, जिसका अर्थ है कि इस सीधी रेखा के लिए हम तुरंत इसके दिशा वेक्टर के निर्देशांक लिख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें गुणांक के मूल्यों को पैरामीटर पर लेने की आवश्यकता है, अर्थात। सीधी रेखा x = 1 + 4 λ y = 2 + R का एक दिशा सदिश a → = (4, 1) होगा।
दूसरी सीधी रेखा को विहित समीकरण x 5 = y - 6 - 3 का उपयोग करके वर्णित किया गया है। यहां हम हर से निर्देशांक ले सकते हैं। इस प्रकार, इस रेखा का एक दिशा सदिश b → = (5, - 3) है।
अगला, हम सीधे कोण खोजने के लिए जाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम बस उपरोक्त सूत्र α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 में दो वैक्टर के उपलब्ध निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हैं। हमें निम्नलिखित मिलता है:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
उत्तर: ये सीधी रेखाएँ 45 डिग्री का कोण बनाती हैं।
हम सामान्य सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करके इसी तरह की समस्या को हल कर सकते हैं। यदि हमारे पास एक सामान्य वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा a → = (nax, nay) और एक सामान्य वेक्टर nb → = (nbx, nby) के साथ एक सीधी रेखा b है, तो उनके बीच का कोण ना के बीच के कोण के बराबर होगा। → और नायब → या कोण, जो ना →, एनबी → ^ के निकट होगा। यह विधि चित्र में दिखाई गई है:
सामान्य सदिशों के निर्देशांकों का उपयोग करते हुए सीधी रेखाओं और इस कोण के बीच के कोण की कोज्या की गणना करने के सूत्र इस तरह दिखते हैं:
cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a n + n 2 + n a y 2 x 2
यहाँ n a → और n b → दो दी गई रेखाओं के अभिलंब सदिशों को निरूपित करते हैं।
उदाहरण 2
एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, समीकरण 3 x + 5 y - 30 = 0 और x + 4 y - 17 = 0 का उपयोग करके दो सीधी रेखाएँ दी जाती हैं। उनके बीच के कोण की ज्या, कोज्या और स्वयं इस कोण का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान
मूल सीधी रेखाएँ A x + B y + C = 0 के रूप के सामान्य सरल रेखा समीकरणों का उपयोग करके दी गई हैं। प्रसामान्य सदिश n → = (A, B) द्वारा निरूपित किया जाता है। आइए एक सीधी रेखा के लिए पहले सामान्य वेक्टर के निर्देशांक खोजें और उन्हें नीचे लिखें: n a → = (3, 5)। दूसरी सीधी रेखा x + 4 y - 17 = 0 के लिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n b → = (1, 4) होंगे। अब हम प्राप्त मूल्यों को सूत्र में जोड़ते हैं और कुल की गणना करते हैं:
cos α = cos n a →, n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
यदि हम किसी कोण की कोज्या जानते हैं, तो हम मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके उसकी ज्या की गणना कर सकते हैं। चूँकि सीधी रेखाओं से बना कोण α अधिक नहीं है, तो sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34।
इस स्थिति में, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
उत्तर: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
आइए हम पिछले मामले की जांच करें - सीधी रेखाओं के बीच के कोण का पता लगाना, यदि हम एक सीधी रेखा के दिशा वेक्टर और दूसरे के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक जानते हैं।
मान लीजिए कि रेखा a में एक दिशा सदिश a → = (a x, a y) है, और रेखा b एक सामान्य सदिश n b → = (n b x, n b y) है। हमें इन सदिशों को प्रतिच्छेदन बिंदु से स्थगित करने और उनकी सापेक्ष स्थिति के लिए सभी विकल्पों पर विचार करने की आवश्यकता है। तस्वीर में देखें:
यदि दिए गए सदिशों के बीच के कोण का मान 90 डिग्री से अधिक नहीं है, तो यह पता चलता है कि यह a और b के बीच के कोण को समकोण पर पूरक करेगा।
a →, n b → ^ = 90 ° - α यदि a →, n b → ^ ≤ 90 °।
यदि यह 90 डिग्री से कम है, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:
a →, n b → ^> 90 °, फिर a →, n b → ^ = 90 ° + α
समान कोणों की कोज्याओं की समानता के नियम का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं:
cos a →, n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α as a →, n b → ^ ≤ 90 °।
cos a →, n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α as a →, n b → ^> 90 °।
इस तरह,
sin α = cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^> 90 ° ⇔ sin α = cos a →, nb → ^, a →, nb → ^> 0 - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
आइए एक निष्कर्ष तैयार करें।
परिभाषा 4
समतल पर प्रतिच्छेद करने वाली दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए, आपको पहली पंक्ति के दिशा वेक्टर और दूसरे के सामान्य वेक्टर के बीच के कोण के कोसाइन के मापांक की गणना करने की आवश्यकता है।
आइए आवश्यक सूत्र लिखें। कोण की ज्या ज्ञात करना:
sin α = cos a →, n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
खुद कोना ढूँढना:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
यहाँ a → पहली पंक्ति का दिशा सदिश है, और n b → दूसरी का सामान्य सदिश है।
उदाहरण 3
दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ समीकरण x - 5 = y - 6 3 और x + 4 y - 17 = 0 द्वारा दी गई हैं। प्रतिच्छेदन कोण ज्ञात कीजिए।
समाधान
हम दिए गए समीकरणों से दिशा और सामान्य सदिशों के निर्देशांक लेते हैं। यह a → = (- 5, 3) और n → b = (1, 4) निकलता है। हम सूत्र α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 लेते हैं और विचार करते हैं:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
कृपया ध्यान दें कि हमने पिछली समस्या से समीकरण लिए और बिल्कुल वही परिणाम प्राप्त किया, लेकिन एक अलग तरीके से।
उत्तर:α = ए आर सी पाप 7 2 34
यहां दी गई सीधी रेखाओं के ढलानों का उपयोग करके वांछित कोण खोजने का एक और तरीका है।
हमारे पास एक रेखा a है, जो समीकरण y = k 1 x + b 1 और एक रेखा b का उपयोग करके एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दी गई है, जिसे y = k 2 x + b 2 के रूप में परिभाषित किया गया है। ये ढलान वाली सीधी रेखाओं के समीकरण हैं। प्रतिच्छेदन कोण ज्ञात करने के लिए सूत्र का प्रयोग करें:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, जहां k 1 और k 2 दी गई सीधी रेखाओं के ढलान हैं। इस रिकॉर्ड को प्राप्त करने के लिए, सामान्य वैक्टर के निर्देशांक के संदर्भ में कोण निर्धारित करने के लिए सूत्रों का उपयोग किया गया था।
उदाहरण 4
समीकरण y = - 3 5 x + 6 और y = - 1 4 x + 17 4 समीकरणों द्वारा दिए गए तल पर दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ हैं। चौराहे के कोण की गणना करें।
समाधान
हमारी रेखाओं के ढलान k 1 = - 3 5 और k 2 = - 1 4 हैं। उन्हें सूत्र α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 में जोड़ें और गणना करें:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
उत्तर:α = ए आर सी कॉस 23 2 34
इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यहां दिए गए कोणों को खोजने के सूत्रों को दिल से सीखने की जरूरत नहीं है। ऐसा करने के लिए, दी गई सीधी रेखाओं के गाइड और / या सामान्य वैक्टर के निर्देशांक को जानना और विभिन्न प्रकार के समीकरणों का उपयोग करके उन्हें निर्धारित करने में सक्षम होना पर्याप्त है। लेकिन किसी कोण की कोज्या की गणना के लिए सूत्रों को याद रखना या लिखना बेहतर है।
अंतरिक्ष में प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच के कोण की गणना कैसे करें
इस तरह के कोण की गणना को दिशा वैक्टर के निर्देशांक की गणना करने और इन वैक्टरों द्वारा गठित कोण के मूल्य का निर्धारण करने के लिए कम किया जा सकता है। ऐसे उदाहरणों के लिए, वही तर्क प्रयोग किया जाता है जो हमने पहले दिया था।
मान लें कि हमारे पास 3D स्पेस में स्थित एक आयताकार समन्वय प्रणाली है। इसमें दो सीधी रेखाएँ a और b हैं जिनका प्रतिच्छेदन बिंदु M है। दिशा सदिशों के निर्देशांक की गणना करने के लिए, हमें इन रेखाओं के समीकरणों को जानना होगा। हम दिशा सदिश a → = (a x, a y, a z) और b → = (b x, b y, b z) को निरूपित करते हैं। उनके बीच के कोण की कोज्या की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
cos α = cos a →, b → ^ = a →, b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
कोण को स्वयं खोजने के लिए, हमें इस सूत्र की आवश्यकता है:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
उदाहरण 5
समीकरण x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 का उपयोग करके हमारे पास त्रि-आयामी अंतरिक्ष में परिभाषित एक सीधी रेखा है। यह ज्ञात है कि यह O z अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है। उस कोण के प्रतिच्छेदन कोण और कोज्या की गणना करें।
समाधान
आइए हम अक्षर α द्वारा गणना किए जाने वाले कोण को निरूपित करें। आइए पहली सीधी रेखा - a → = (1, - 3, - 2) के लिए दिशा वेक्टर के निर्देशांक लिखें। अनुप्रयुक्त अक्ष के लिए, हम निर्देशांक सदिश k → = (0, 0, 1) को दिशा के रूप में ले सकते हैं। हमें आवश्यक डेटा प्राप्त हुआ है और इसे आवश्यक सूत्र में जोड़ सकते हैं:
cos α = cos a →, k → ^ = a →, k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
परिणामस्वरूप, हमने पाया कि हमें जिस कोण की आवश्यकता है वह a r c cos 1 2 = 45 ° के बराबर होगा।
उत्तर: cos α = 1 2, α = 45 °।
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कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में समतल पर दो सीधी रेखाएं l और m को सामान्य समीकरणों द्वारा दिया जाता है: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
दी गई रेखाओं के अभिमानों के सदिश: = (A 1, B 1) - रेखा l तक,
= (ए 2, बी 2) - लाइन एम के लिए।
मान लीजिए j रेखाओं l और m के बीच का कोण है।
चूँकि परस्पर लंबवत भुजाओं वाले कोण या तो बराबर होते हैं या p का योग करते हैं, तो 
, अर्थात्, कॉस जे =।
इसलिए, हमने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।
प्रमेय।मान लीजिए कि समतल पर दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण है, और इन सीधी रेखाओं को कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में सामान्य समीकरण A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + द्वारा दिया जाता है। C 2 = 0. तब cos j = 
.
व्यायाम।
1) सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना के लिए एक सूत्र आउटपुट करें यदि:
(1) दोनों पंक्तियों को पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित किया गया है; (2) दोनों रेखाएँ विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं; (3) एक सीधी रेखा पैरामीट्रिक रूप से दी गई है, दूसरी सीधी रेखा - सामान्य समीकरण द्वारा; (4) दोनों सीधी रेखाएँ ढलान वाले समीकरण द्वारा दी गई हैं।
2) मान लीजिए कि समतल पर दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण है, और इन सीधी रेखाओं को कार्तीय निर्देशांक प्रणाली द्वारा समीकरण y = k 1 x + b 1 और y = k 2 x + b 2 द्वारा दिया जाता है।
फिर टीजी जे =।
3) कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में सामान्य समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति का अन्वेषण करें, और तालिका भरें:
एक समतल पर एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी।
मान लीजिए कि कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में तल पर रेखा l को सामान्य समीकरण Ax + By + C = 0 द्वारा दिया जाता है। आइए बिंदु M (x 0, y 0) से रेखा l तक की दूरी ज्ञात करें।
बिंदु M से रेखा l की दूरी लंब HM (H l, HM ^ l) की लंबाई है।
रेखा l के सदिश और अभिलंब सदिश संरेख हैं, जिससे कि | | = | | | | और | | =.
मान लीजिए कि बिंदु H (x, y) के निर्देशांक हैं।
चूँकि बिंदु H, रेखा l से संबंधित है, तो Ax + By + C = 0 (*)।
सदिशों के निर्देशांक और: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B)।
| | = 
= 
= 
(सी = -एक्स - बाय, देखें (*))
प्रमेय।मान लीजिए कि कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में रेखा l को सामान्य समीकरण Ax + By + C = 0 द्वारा दिया जाता है। तब बिंदु M (x 0, y 0) से इस रेखा की दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: r (M; एल) = .
व्यायाम।
1) एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी की गणना के लिए एक सूत्र आउटपुट करें, यदि: (1) सीधी रेखा को पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट किया गया है; (2) सीधी रेखा विहित समीकरणों द्वारा दी गई है; (3) एक ढलान के साथ एक समीकरण द्वारा एक सीधी रेखा दी जाती है।
2) Q (-2.4) पर केन्द्रित रेखा 3x - y = 0 की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए।
3) सीधी रेखाओं 2x + y - 1 = 0 और x + y + 1 = 0 के प्रतिच्छेदन से बनने वाले कोणों को विभाजित करने वाली सीधी रेखाओं के समीकरणों को आधे में लिखिए।
§ 27. अंतरिक्ष में एक विमान की विश्लेषणात्मक परिभाषा
परिभाषा. विमान के लिए सामान्य वेक्टरहम एक शून्येतर सदिश कहेंगे, जिसका कोई भी प्रतिनिधि दिए गए तल पर लंबवत है।
टिप्पणी।यह स्पष्ट है कि यदि वेक्टर का कम से कम एक प्रतिनिधि विमान के लंबवत है, तो वेक्टर के अन्य सभी प्रतिनिधि इस विमान के लंबवत हैं।
मान लीजिए अंतरिक्ष में एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दी गई है।
मान लीजिए कि समतल a दिया गया है, = (A, B, C) इस तल का अभिलंब सदिश है, बिंदु M (x 0, y 0, z 0) तल a का है।
समतल a के किसी भी बिंदु N (x, y, z) के लिए, सदिश और ओर्थोगोनल हैं, अर्थात उनका अदिश गुणन शून्य है: = 0. हम निर्देशांक में अंतिम समानता लिखते हैं: A (x - x 0) + B (वाई - वाई 0) + सी (जेड - जेड 0) = 0।
मान लीजिए -एक्स 0 - 0 से - सीजेड 0 = डी, फिर एक्स + बाय + सीजेड + डी = 0।
एक बिंदु K (x, y) इस प्रकार लें कि Ax + By + Cz + D = 0. चूँकि D = -Ax 0 - 0 - Cz 0, तो ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + सी (जेड - जेड 0) = 0।चूंकि निर्देशित खंड के निर्देशांक = (x - x 0, y - y 0, z - z 0) हैं, अंतिम समानता का अर्थ है कि ^, और, इसलिए, K a।
इसलिए, हमने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध किया है:
प्रमेय।कार्तीय समन्वय प्रणाली में अंतरिक्ष में किसी भी विमान को एक्स + बाय + सीज़ + डी = 0 (ए 2 + बी 2 + सी 2 0) के रूप के समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहां (ए, बी, सी) हैं इस विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक।
इसका उलटा भी सच है।
प्रमेय।कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में फॉर्म का कोई भी समीकरण एक्स + बाय + सीजेड + डी = 0 (ए 2 + बी 2 + सी 2 0) एक निश्चित विमान को परिभाषित करता है, जबकि (ए, बी, सी) सामान्य के निर्देशांक हैं इस विमान के लिए वेक्टर।
सबूत।
एक बिंदु M (x 0, y 0, z 0) इस प्रकार लें कि Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 और एक सदिश = (A, B, C) (≠ q) हो।
एक विमान (और, इसके अलावा, केवल एक) वेक्टर के लंबवत बिंदु M से होकर गुजरता है। पिछले प्रमेय द्वारा, यह तल समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा दिया गया है।
परिभाषा। Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 0) के रूप का समीकरण कहलाता है विमान का सामान्य समीकरण.
उदाहरण।
आइए बिंदुओं M (0,2,4), N (1, -1,0) और K (-1,0,5) से गुजरने वाले समतल का समीकरण लिखें।
1. समतल (MNK) के अभिलंब सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। चूँकि सदिश गुणनफल असंरेखीय सदिशों के लिए लंबकोणीय है और सदिश संरेख है।
= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);
´ = 
,
= (-11, 3, -5)।
अतः, सामान्य सदिश के रूप में हम सदिश = (-11, 3, -5) लेते हैं।
2. अब हम पहले प्रमेय के परिणामों का उपयोग करते हैं:
दिए गए समतल का समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0, जहाँ (A, B, C) प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक हैं, (x 0 , y 0, z 0) - एक समतल में स्थित एक बिंदु के निर्देशांक (उदाहरण के लिए, बिंदु M)।
11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) = 0
11x + 3y - 5z + 14 = 0
उत्तर: -11x + 3y - 5z + 14 = 0।
व्यायाम।
1) समतल का समीकरण लिखिए यदि
(1) तल 3x + y + z = 0 के समांतर बिंदु M (-2,3,0) से होकर गुजरता है;
(2) समतल में (ऑक्स) अक्ष है और यह x + 2y - 5z + 7 = 0 तल के लंबवत है।
2) इन तीन बिंदुओं से गुजरने वाले तल का समीकरण लिखिए।
28. अर्ध-अंतरिक्ष की विश्लेषणात्मक परिभाषा *
टिप्पणी*... कोई प्लेन ठीक हो जाए। अंतर्गत आधा स्थानहमारा मतलब किसी दिए गए विमान के एक तरफ स्थित बिंदुओं का एक सेट है, यानी दो बिंदु एक आधे स्थान में स्थित हैं, अगर उन्हें जोड़ने वाला खंड इस विमान को नहीं काटता है। इस विमान को कहा जाता है इस अर्ध-अंतरिक्ष की सीमा... इस विमान और अर्ध-अंतरिक्ष के मिलन को कहा जाएगा बंद आधा स्थान.
अंतरिक्ष में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को स्थिर होने दें।
प्रमेय।मान लीजिए कि समतल a को सामान्य समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा दिया जाता है। फिर दो अर्ध-रिक्त स्थानों में से एक, जिसमें समतल अंतरिक्ष को विभाजित करता है, असमानता Ax + By + Cz + D> 0 द्वारा दिया जाता है। , और दूसरा आधा स्थान असमानता Ax + By + Cz + D . द्वारा दिया गया है< 0.
सबूत।
आइए हम इस तल पर स्थित बिंदु M (x 0, y 0, z 0) से समतल a पर अभिलंब सदिश = (A, B, C) को अलग रखें: =, M a, MN ^ a. विमान को दो अर्ध-रिक्त स्थान में विभाजित करें: बी 1 और बी 2। यह स्पष्ट है कि बिंदु N इन अर्ध-रिक्त स्थानों में से एक से संबंधित है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान लेंगे कि एन बी 1।
आइए हम सिद्ध करें कि अर्ध-अंतरिक्ष b 1 असमानता Ax + By + Cz + D> 0 द्वारा दिया गया है।
1) अर्ध-अंतरिक्ष b 1 में एक बिंदु K (x, y, z) लें। कोण NMK सदिशों के बीच का कोण है और न्यून है, इसलिए इन सदिशों का अदिश गुणनफल धनात्मक है:> 0. हम इस असमानता को निर्देशांकों में लिखते हैं: A (x - x 0) + B (y - y 0) + सी (जेड - जेड 0)> 0, यानी एक्स + बाय + साइ - एक्स 0 - बाय 0 - सी जेड 0> 0।
चूँकि M Î b 1, तो Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, इसलिए -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. इसलिए, अंतिम असमानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है: Ax + By + Cz + डी> 0।
2) एक बिंदु L (x, y) इस प्रकार लीजिए कि Ax + By + Cz + D> 0।
हम असमानता को फिर से लिखते हैं, D के स्थान पर (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (चूंकि M Î b 1, फिर Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A (x - x 0) + बी (वाई - वाई 0) + सी (जेड - जेड 0)> 0।
निर्देशांकों वाला एक सदिश (x - x 0, y - y 0, z - z 0) एक सदिश है, इसलिए व्यंजक A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) है। वैक्टर के डॉट उत्पाद के रूप में समझा जा सकता है और। चूँकि सदिशों का अदिश गुणनफल धनात्मक होता है, उनके बीच का कोण न्यून होता है और बिंदु L Î b 1 होता है।
इसी प्रकार, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि अर्ध-अंतरिक्ष b 2 असमानता Ax + By + Cz + D . द्वारा दिया गया है< 0.
टिप्पणियां।
1) यह स्पष्ट है कि उपरोक्त प्रमाण समतल a में बिंदु M के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है।
2) यह स्पष्ट है कि एक ही आधा स्थान विभिन्न असमानताओं द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।
इसका उलटा भी सच है।
प्रमेय। Ax + By + Cz + D> 0 (या Ax + By + Cz + D) के रूप की कोई भी रैखिक असमानता< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.
सबूत।
समीकरण एक्स + बाय + सीजेड + डी = 0 (ए 2 + बी 2 + सी 2 ≠ 0) अंतरिक्ष में एक निश्चित विमान को परिभाषित करता है (देखें …)। जैसा कि पिछले प्रमेय में सिद्ध किया गया है, दो अर्ध-रिक्त स्थानों में से एक जिसमें विमान अंतरिक्ष को विभाजित करता है, असमानता Ax Ax + By + Cz + D> 0 द्वारा दिया जाता है।
टिप्पणियां।
1) यह स्पष्ट है कि एक बंद आधा स्थान एक गैर-सख्त रैखिक असमानता द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में कोई भी गैर-सख्त रैखिक असमानता एक बंद अर्ध-स्थान को परिभाषित करती है।
2) किसी भी उत्तल पॉलीहेड्रॉन को बंद अर्ध-रिक्त स्थान (जिनकी सीमाएं पॉलीहेड्रॉन के चेहरे वाले विमान हैं) के चौराहे के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यानी विश्लेषणात्मक रूप से - गैर-सख्त रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली द्वारा।
व्यायाम।
1) एक मनमाना affine समन्वय प्रणाली के लिए दो प्रस्तुत प्रमेयों को सिद्ध करें।
2) क्या विलोम सत्य है कि गैर-सख्त रैखिक असमानताओं की कोई भी प्रणाली उत्तल बहुभुज को परिभाषित करती है?
व्यायाम।1) कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए दो विमानों की सापेक्ष स्थिति की जांच करें, और तालिका भरें।
परिभाषा।यदि दो सीधी रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हैं, तो इन सीधी रेखाओं के बीच न्यून कोण को परिभाषित किया जाएगा
दो सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि k 1 = k 2। दो सीधी रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1 / k 2।
प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C = 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 समानांतर होती हैं जब आनुपातिक गुणांक A 1 = A, B 1 = B होता है। यदि 1 = भी हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन सीधी रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।
किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण
इस लाइन के लंबवत
परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से होकर जाने वाली सीधी रेखा और सीधी रेखा y = kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:
बिंदु से रेखा की दूरी
प्रमेय।यदि एक बिंदु M (x 0, y 0) दिया जाता है, तो सीधी रेखा Ax + Vy + C = 0 की दूरी इस प्रकार निर्धारित की जाती है
.
सबूत।मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) किसी दी गई सीधी रेखा पर बिंदु M से गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:
(1)
निर्देशांक x 1 और y 1 को समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:
सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:
ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,
फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:
प्रमेय सिद्ध होता है।
उदाहरण... सीधी रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।
कश्मीर 1 = -3; कश्मीर 2 = 2; टीजीφ = 
; = पी / 4.
उदाहरण... दिखाएँ कि सीधी रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।
समाधान... हम पाते हैं: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, इसलिए सीधी रेखाएँ लंबवत हैं।
उदाहरण... त्रिभुज A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।
समाधान... हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: 
; 4 एक्स = 6 वाई - 6;
2 एक्स - 3 वाई + 3 = 0;
आवश्यक ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी। कश्मीर =. फिर वाई =। चूंकि ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: 
जहां से बी = 17. कुल:। 
उत्तर: 3 x + 2 y - 34 = 0।
किसी दिए गए बिंदु से दी गई दिशा में गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं के समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण
1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , आप 1) ढलान द्वारा निर्धारित किसी दिशा में क,
आप - आप 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)
यह समीकरण बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के एक बंडल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , आप 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।
2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) इस प्रकार लिखा गया है:
दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एतथा बीवह कोण कहलाता है जिससे आपको पहले सीधे मुड़ने की आवश्यकता होती है एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी... यदि ढलान वाले समीकरणों द्वारा दो सीधी रेखाएँ दी जाती हैं
आप = क 1 एक्स + बी 1 ,
आप = क 2 एक्स + बी 2 , (4)
तब उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
ध्यान दें कि भिन्न के अंश में पहली सीधी रेखा का ढलान दूसरी सीधी रेखा के ढलान से घटाया जाता है।
यदि सरल रेखा के समीकरण सामान्य रूप में दिए गए हों
ए 1 एक्स + बी 1 आप + सी 1 = 0,
ए 2 एक्स + बी 2 आप + सी 2 = 0, (6)
उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
4. दो पंक्तियों के समांतरता के लिए शर्तें:
ए) यदि ढलान के साथ समीकरण (4) द्वारा सीधी रेखाएं दी जाती हैं, तो उनके समानांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त उनके ढलानों की समानता में होती है:
क 1 = क 2 . (8)
बी) उस स्थिति के लिए जब सामान्य रूप (6) में समीकरणों द्वारा सीधी रेखाएं दी जाती हैं, उनके समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं, यानी।
5. दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्तें:
क) उस स्थिति में जब ढलान के साथ समीकरण (4) द्वारा सीधी रेखाएं दी जाती हैं, उनकी लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके ढलान परिमाण में पारस्परिक और संकेत में विपरीत हैं, अर्थात।
इस शर्त को फॉर्म में भी लिखा जा सकता है
क 1 क 2 = -1. (11)
बी) यदि सीधी रेखाओं के समीकरण सामान्य रूप (6) में दिए गए हैं, तो उनकी लंबवतता (आवश्यक और पर्याप्त) की स्थिति समानता की पूर्ति में होती है
ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)
6. दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक समीकरणों के निकाय (6) को हल करके ज्ञात किए जाते हैं। सीधी रेखाएं (6) प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि
1. बिंदु M से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के समीकरण लिखिए, जिनमें से एक समांतर है और दूसरी दी गई सीधी रेखा l के लंबवत है।
समस्या 1
सीधी रेखाओं $ \ frac (x + 3) (5) = \ frac (y-2) (- 3) = \ frac (z-1) (4) $ और $ \ बाएँ \ के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए। (\ start (सरणी) (c) (x = 2 \ cdot t-3) \\ (y = -t + 1) \\ (z = 3 \ cdot t + 5) \ end (सरणी) \ दाएँ। $ .
मान लीजिए अंतरिक्ष में दो रेखाएँ दी गई हैं: $ \ frac (x-x_ (1)) (m_ (1)) = \ frac (y-y_ (1)) (n_ (1)) = \ frac (z-z_ ( 1 )) (p_ (1)) $ और $ \ frac (x-x_ (2)) (m_ (2)) = \ frac (y-y_ (2)) (n_ (2)) = \ frac (z) - z_ (2)) (p_ (2)) $। अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनें और इसके माध्यम से डेटा के समानांतर दो सहायक रेखाएं बनाएं। इन रेखाओं के बीच का कोण निर्माण रेखाओं द्वारा निर्मित दो आसन्न कोनों में से कोई एक है। सीधी रेखाओं के बीच के कोणों में से एक का कोज्या प्रसिद्ध सूत्र $ \ cos \ phi = \ frac (m_ (1) \ cdot m_ (2) + n_ (1) \ cdot n_ (2) का उपयोग करके पाया जा सकता है। + p_ (1) \ cdot p_ ( 2)) (\ sqrt (m_ (1) ^ (2) + n_ (1) ^ (2) + p_ (1) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (m_ ( 2) ^ (2) + एन_ ( 2) ^ (2) + पी_ (2) ^ (2))) $। यदि मान $ \ cos \ phi> 0 $, तो सीधी रेखाओं के बीच एक न्यून कोण प्राप्त होता है, यदि $ \ cos \ phi
पहली पंक्ति के विहित समीकरण: $ \ frac (x + 3) (5) = \ frac (y-2) (- 3) = \ frac (z-1) (4) $।
दूसरी सीधी रेखा के विहित समीकरण पैरामीट्रिक से प्राप्त किए जा सकते हैं:
\ \ \
इस प्रकार, इस रेखा के विहित समीकरण हैं: $ \ frac (x + 3) (2) = \ frac (y-1) (- 1) = \ frac (z-5) (3) $।
हम गणना करते हैं:
\ [\ cos \ phi = \ frac (5 \ cdot 2+ \ बाएँ (-3 \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) +4 \ cdot 3) (\ sqrt (5 ^ (2) + \ बाएँ (-3 \ दाएँ) ^ (2) + 4 ^ (2)) \ cdot \ sqrt (2 ^ (2) + \ बाएँ (-1 \ दाएँ) ^ (2) + 3 ^ (2))) = \ frac (25) (\ sqrt (50) \ cdot \ sqrt (14)) \ लगभग 0.9449। \]
टास्क 2
पहली पंक्ति दिए गए बिंदुओं $ A \ बाएँ (2, -4, -1 \ दाएँ) $ और $ B \ बाएँ (-3,5,6 \ दाएँ) $ से होकर जाती है, दूसरी पंक्ति दिए गए बिंदुओं से होकर जाती है $ सी \ बाएँ (1, -2.8 \ दाएँ) $ और $ D \ बाएँ (6.7, -2 \ दाएँ) $। इन रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि कोई रेखा रेखाओं $AB $ और $ CD $ के लंबवत है और उन्हें क्रमशः $ M $ और $ N $ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। इन शर्तों के तहत, खंड $ MN $ की लंबाई $ AB $ और $ CD $ की रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है।
हम वेक्टर $ \ overline (AB) $ बनाते हैं:
\ [\ overline (AB) = \ बाएँ (-3-2 \ दाएँ) \ cdot \ bar (i) + \ बाएँ (5- \ बाएँ (-4 \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ बार (j) + \ बाएँ (6- \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ bar (k) = - 5 \ cdot \ bar (i) +9 \ cdot \ bar (j) +7 \ cdot \ bar (k) ) \]
रेखाओं के बीच की दूरी को दर्शाने वाला खंड $ AB $ रेखा पर बिंदु $ M \ बाएँ (x_ (M), y_ (M), z_ (M) \ दाएँ) $ से होकर गुज़रता है।
हम वेक्टर $ \ overline (AM) $ बनाते हैं:
\ [\ overline (AM) = \ बाएँ (x_ (M) -2 \ दाएँ) \ cdot \ bar (i) + \ बाएँ (y_ (M) - \ बाएँ (-4 \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ बार (j) + \ बाएँ (z_ (M) - \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ बार (k) = \] \ [= \ बाएँ (x_ (M) -2 \ दाएँ) \ cdot \ bar (i) + \ बाएँ (y_ (M) +4 \ दाएँ) \ cdot \ bar (j) + \ बाएँ (z_ (M) +1 \ दाएँ) \ cdot \ बार (k)। \]
सदिश $ \ overline (AB) $ और $ \ overline (AM) $ समान हैं, इसलिए वे संरेख हैं।
यह ज्ञात है कि यदि सदिश $ \ overline (a) = x_ (1) \ cdot \ overline (i) + y_ (1) \ cdot \ overline (j) + z_ (1) \ cdot \ overline (k) $ और $ \ overline (b) = x_ (2) \ cdot \ overline (i) + y_ (2) \ cdot \ overline (j) + z_ (2) \ cdot \ overline (k) $ संरेख हैं, तो उनके निर्देशांक हैं आनुपातिक है, तो $ \ frac (x _ ((\ it 2))) ((\ it x) _ ((\ it 1))) = \ frac (y _ ((\ it 2))) ((\ यह y) _ ( (\ it 1))) = \ frac (z _ ((\ it 2))) ((\ it z) _ ((\ it 1))) $।
$ \ frac (x_ (M) -2) (- 5) = \ frac (y_ (M) +4) (9) = \ frac (z_ (M) +1) (7) = m $, जहां $ m $ विभाजन का परिणाम है।
यहाँ से हमें मिलता है: $ x_ (M) -2 = -5 \ cdot m $; $ y_ (एम) + 4 = 9 \ cdot m $; $ z_ (एम) + 1 = 7 \ cdot m $।
अंत में, हम बिंदु $ M $ के निर्देशांक के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं:
हम वेक्टर $ \ overline (CD) $ बनाते हैं:
\ [\ ओवरलाइन (सीडी) = \ बाएँ (6-1 \ दाएँ) \ cdot \ बार (i) + \ बाएँ (7- \ बाएँ (-2 \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ बार (j) + \ बाएँ (-2-8 \ दाएँ) \ cdot \ bar (k) = 5 \ cdot \ bar (i) +9 \ cdot \ bar (j) -10 \ cdot \ bar (k)। \]
मान लीजिए कि रेखाओं के बीच की दूरी को दर्शाने वाला खंड $ N \ बाएँ (x_ (N), y_ (N), z_ (N) \ दाएँ) $ रेखा $ CD $ से होकर गुजरता है।
हम वेक्टर $ \ overline (CN) $ का निर्माण करते हैं:
\ [\ overline (CN) = \ बाएँ (x_ (N) -1 \ दाएँ) \ cdot \ बार (i) + \ बाएँ (y_ (N) - \ बाएँ (-2 \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ बार (j) + \ बाएँ (z_ (N) -8 \ दाएँ) \ cdot \ बार (k) = \] \ [= \ बाएँ (x_ (N) -1 \ दाएँ) \ cdot \ बार (i) + \ बाएँ (y_ (N) +2 \ दाएँ) \ cdot \ बार (j) + \ बाएँ (z_ (N) -8 \ दाएँ) \ cdot \ बार (k)। \]
सदिश $ \ overline (CD) $ और $ \ overline (CN) $ मेल खाते हैं, इसलिए वे संरेख हैं। हम सदिश संरेखता की शर्त लागू करते हैं:
$ \ frac (x_ (N) -1) (5) = \ frac (y_ (N) +2) (9) = \ frac (z_ (N) -8) (- 10) = n $, जहां $ n $ विभाजन का परिणाम है।
यहाँ से हमें मिलता है: $ x_ (N) -1 = 5 \ cdot n $; $ y_ (एन) + 2 = 9 \ cdot n $; $ z_ (एन) -8 = -10 \ cdot n $।
अंत में, हम बिंदु $ N $ के निर्देशांक के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं:
हम वेक्टर $ \ overline (MN) $ बनाते हैं:
\ [\ overline (MN) = \ बाएँ (x_ (N) -x_ (M) \ दाएँ) \ cdot \ बार (i) + \ बाएँ (y_ (N) -y_ (M) \ दाएँ) \ cdot \ बार (j) + \ बाएँ (z_ (N) -z_ (M) \ दाएँ) \ cdot \ बार (k)। \]
$ M $ और $ N $ के निर्देशांक के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करें:
\ [\ overline (MN) = \ बाएँ (1 + 5 \ cdot n- \ बाएँ (2-5 \ cdot m \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ बार (i) + \] \ [+ \ बाएँ (- 2 + 9 \ cdot n- \ बाएँ (-4 + 9 \ cdot m \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ बार (j) + \ बाएँ (8-10 \ cdot n- \ बाएँ (-1 + 7 \ cdot एम \ दाएं) \ दाएं) \ सीडीओटी \ बार (के)। \]
चरणों को पूरा करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:
\ [\ ओवरलाइन (एमएन) = \ बाएँ (-1 + 5 \ cdot n + 5 \ cdot m \ दाएँ) \ cdot \ बार (i) + \ बाएँ (2 + 9 \ cdot n-9 \ cdot m \ दाएँ) ) \ cdot \ बार (j) + \ बाएँ (9-10 \ cdot n-7 \ cdot m \ दाएँ) \ cdot \ बार (k)। \]
चूँकि रेखाएँ $ AB $ और $ MN $ लंबवत हैं, इसलिए संबंधित वैक्टर का अदिश गुणन शून्य के बराबर है, यानी $ \ overline (AB) \ cdot \ overline (MN) = 0 $:
\ [- 5 \ cdot \ बाएँ (-1 + 5 \ cdot n + 5 \ cdot m \ दाएँ) +9 \ cdot \ बाएँ (2 + 9 \ cdot n-9 \ cdot m \ दाएँ) +7 \ cdot \ बाएँ (9-10 \ cdot n-7 \ cdot m \ दाएँ) = 0; \] \
चरणों को पूरा करने के बाद, हमें $ m $ और $ n $: $ 155 \ cdot m + 14 \ cdot n = 86 $ निर्धारित करने के लिए पहला समीकरण मिलता है।
चूँकि रेखाएँ $CD $ और $ MN $ लंबवत हैं, संबंधित वैक्टर का अदिश गुणन शून्य के बराबर है, अर्थात $ \ overline (CD) \ cdot \ overline (MN) = 0 $:
\ \ [- 5 + 25 \ cdot n + 25 \ cdot m + 18 + 81 \ cdot n-81 \ cdot m-90 + 100 \ cdot n + 70 \ cdot m = 0. \]
चरणों को पूरा करने के बाद, हमें $ m $ और $ n $: $ 14 \ cdot m + 206 \ cdot n = 77 $ निर्धारित करने के लिए दूसरा समीकरण मिलता है।
समीकरणों की प्रणाली को हल करके $ m $ और $ n $ खोजें $ \ बाएँ \ (\ start (सरणी) (c) (155 \ cdot m + 14 \ cdot n = 86) \\ (14 \ cdot m + 206 \ cdot n = 77) \ अंत (सरणी) \ दाएँ। $।
हम क्रैमर विधि लागू करते हैं:
\ [\ डेल्टा = \ बाएँ | \ start (सरणी) (cc) (155) और (14) \\ (14) और (206) \ अंत (सरणी) \ दाएँ | = 31734; \] \ [\ डेल्टा _ (एम) = \ बाएं | \ प्रारंभ (सरणी) (सीसी) (86) और (14) \\ (77) और (206) \ अंत (सरणी) \ दाएं | = 16638; \] \ [\ डेल्टा _ (एन) = \ बाएं | \ प्रारंभ (सरणी) (सीसी) (155) और (86) \\ (14) और (77) \ अंत (सरणी) \ दाएं | = 10731; \ ] \
$ M $ और $ N $ बिंदुओं के निर्देशांक खोजें:
\ \
आखिरकार:
अंत में, हम वेक्टर $ \ overline (MN) $ लिखते हैं:
$ \ overline (MN) = \ बाएँ (2.691- \ बाएँ (-0.6215 \ दाएँ) \ दाएँ) \ cdot \ बार (i) + \ बाएँ (1.0438-0.7187 \ दाएँ) \ cdot \ बार (j) + \ बाएँ (4.618-2.6701 \ दाएँ) \ cdot \ bar (k) $ या $ \ overline (MN) = 3.3125 \ cdot \ bar (i) +0.3251 \ cdot \ bar ( j) +1.9479 \ cdot \ bar (k) $ .
सीधी रेखाओं $ AB $ और $ CD $ के बीच की दूरी वेक्टर की लंबाई है $ \ overline (MN) $: $ d = \ sqrt (3.3125 ^ (2) + 0.3251 ^ (2) + 1.9479 ^ (2) ) \ लगभग 3.8565 $ लिन। इकाइयों