Tegul funkcija apibrėžta parametriškai:
(1)
kur yra koks nors kintamasis, vadinamas parametru. Ir tegul funkcijos ir turi išvestines tam tikra kintamojo verte. Be to, funkcija taip pat turi atvirkštinę funkciją tam tikroje taško kaimynystėje. Tada funkcija (1) taške turi išvestinę, kuri parametrine forma nustatoma pagal formules:
(2)

Čia ir yra funkcijų išvestiniai ir kintamojo (parametro) atžvilgiu. Jie dažnai rašomi taip:
;
.

Tada sistemą (2) galima parašyti taip:

Įrodymas

Pagal sąlygą funkcija turi atvirkštinę funkciją. Pažymėkime kaip
.
Tada pradinė funkcija gali būti pavaizduota kaip sudėtinga funkcija:
.
Raskime jo išvestinę naudodamiesi sudėtingų ir atvirkštinių funkcijų diferencijavimo taisyklėmis:
.

Taisyklė įrodyta.

Įrodymas antruoju būdu

Raskime išvestinę antruoju būdu, remdamiesi funkcijos išvestinės apibrėžimu taške:
.
Supažindinkime su užrašu:
.
Tada ankstesnė formulė įgauna tokią formą:
.

Naudosime faktą, kad funkcija turi atvirkštinę funkciją šalia taško.
Supažindinsime su užrašu:
; ;
; .
Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš:
.
adresu , . Tada
.

Taisyklė įrodyta.

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės

Norint rasti aukštesnio laipsnio išvestinius, reikia kelis kartus atlikti diferencijavimą. Tarkime, kad turime rasti tokios formos parametriškai apibrėžtos funkcijos antros eilės išvestinę:
(1)

Naudodami (2) formulę randame pirmąją išvestinę, kuri taip pat nustatoma parametriškai:
(2)

Pirmąją išvestinę pažymėkime kintamuoju:
.
Tada, norėdami rasti antrąją funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu, turite rasti pirmąją funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu. Kintamojo priklausomybė nuo kintamojo taip pat apibrėžiama parametriškai:
(3)
Palyginę (3) su (1) ir (2) formulėmis, randame:

Dabar išreikškime rezultatą funkcijomis ir. Norėdami tai padaryti, pakeičiame ir taikome trupmenos išvestinės formulę:
.
Tada
.

Iš to gauname antrąją funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:

Jis taip pat yra parametrinis. Atkreipkite dėmesį, kad pirmoji eilutė taip pat gali būti parašyta taip:
.

Tęsdami procesą, galite gauti trečiosios ir aukštesnės eilės kintamojo funkcijos išvestinius.

Atkreipkite dėmesį, kad galima praleisti išvestinės žymos. Tai galima parašyti taip:
;
.

1 pavyzdys

Raskite parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinę:

Sprendimas

Rasti išvestines, susijusias su.
Iš darinių lentelės randame:
;
.
Mes taikome:

.
čia .

.
čia .

Norimas darinys:
.

Atsakymas

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę, išreikštą parametru:

Sprendimas

Išplėskime skliaustus naudodami galios funkcijų ir šaknų formules:
.

Raskite išvestinę:

.

Raskite išvestinę. Norėdami tai padaryti, įvedame kintamąjį ir taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę.

.

Raskite norimą išvestinę:
.

Atsakymas

3 pavyzdys

Raskite 1 pavyzdyje parametriškai pateiktos funkcijos antros ir trečios eilės išvestines:

Sprendimas

1 pavyzdyje radome pirmos eilės išvestinę:

Supažindinkime su užrašu. Tada funkcija yra išvestinė atžvilgiu. Jis nurodomas parametriškai:

Norėdami rasti antrąją išvestinę atžvilgiu, turime rasti pirmąjį išvestinį atžvilgiu.

Atskirti pagal.
.
Pagal 1 pavyzdį radome išvestinę:
.
Antros eilės išvestinė vertė yra lygi pirmos eilės išvestinei:
.

Taigi, mes radome antros eilės išvestinę parametrine forma:

Dabar randame trečios eilės išvestinę. Supažindinkime su užrašu. Tada turime rasti funkcijos pirmosios eilės išvestinę, kuri pateikiama parametriškai:

Raskite išvestinę atžvilgiu. Norėdami tai padaryti, perrašykite lygiavertę formą:
.
Iš
.

Trečiosios eilės išvestinė yra lygi pirmos eilės išvestinei, atsižvelgiant į:
.

komentuoti

Galite praleisti kintamuosius ir, kurie atitinkamai gaunami iš ir. Tada galite parašyti taip:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Atsakymas

Parametriniame vaizde antros eilės išvestinė turi tokią formą:

Trečios eilės vedinys.

Neįtempkite, šioje pastraipoje viskas taip pat gana paprasta. Galite parašyti bendrą formulę parametriškai apibrėžtai funkcijai, bet, kad ji būtų aišku, iškart parašysiu konkretų pavyzdį. Parametrine forma funkcija pateikiama dviem lygtimis:. Dažnai lygtys rašomos ne po riestiniais skliaustais, o paeiliui:,.

Kintamasis vadinamas parametru ir gali turėti reikšmes nuo „minus begalybės“ iki „pliuso begalybės“. Apsvarstykite, pavyzdžiui, reikšmę ir pakeiskite ją į abi lygtis: ... Arba žmogiškai: „jei x lygus keturiems, tai y lygus vienetui“. Koordinačių plokštumoje galima pažymėti tašką, ir šis taškas atitiks parametro reikšmę. Panašiai galite rasti tašką bet kuriai parametro „te“ reikšmei. Kalbant apie „normalią“ funkciją, Amerikos indėnams parametrizuotos funkcijos taip pat yra gerbiamos visos teisės: galima nubraižyti grafiką, rasti išvestinių ir pan. Beje, jei reikia nubraižyti parametriškai nurodytos funkcijos grafiką, atsisiųskite mano geometrinę programą puslapyje Matematinės formulės ir lentelės.

Paprasčiausiais atvejais funkciją galima pavaizduoti aiškiai. Išreikškime parametrą iš pirmosios lygties: - ir pakeiskite ją į antrąją lygtį: ... Rezultatas yra įprasta kubinė funkcija.

„Sunkesniais“ atvejais šis triukas nepasiteisina. Bet tai nesvarbu, nes norint rasti parametrinės funkcijos išvestinę, yra formulė:

Raskite „žaidimo, atsižvelgiant į te kintamąjį“ išvestinę:

Visos diferenciacijos taisyklės ir išvestinių lentelė, žinoma, galioja ir raidei, taigi darinių paieškos procese nėra naujovių... Tiesiog mintyse pakeiskite visus „x“ lentelėje raide „te“.

Raskite „x“ išvestinę te kintamojo atžvilgiu:

Dabar belieka rastus darinius pakeisti į mūsų formulę:

Paruošta. Išvestinė, kaip ir pati funkcija, taip pat priklauso nuo parametro.

Kalbant apie pavadinimus, formulėje, užuot rašęs, galima tiesiog parašyti be indekso, nes tai yra „įprasta“ išvestinė „x“. Bet literatūroje visada yra variantas, todėl nuo standarto nenukrypsiu.

6 pavyzdys

Mes naudojame formulę

Tokiu atveju:

Šiuo būdu:

Parametrinės funkcijos išvestinės radimo bruožas yra tai, kad kiekviename žingsnyje naudinga kiek įmanoma supaprastinti rezultatą... Taigi nagrinėjamame pavyzdyje, kai radau, išplėčiau skliaustus po šaknimi (nors to padaryti negalėjau). Didelė tikimybė, kad pakeitus formulę daugelis dalykų bus gerai sumažinti. Nors, žinoma, yra pavyzdžių su nerangiais atsakymais.

7 pavyzdys

Raskite parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinę

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys.

Straipsnis Paprasčiausios dažnos išvestinės problemos svarstėme pavyzdžius, kuriuose reikėjo rasti antrąją funkcijos išvestinę. Parametriškai duotai funkcijai taip pat galite rasti antrąją išvestinę, kuri randama pagal šią formulę:. Visiškai akivaizdu, kad norint rasti antrąjį vedinį, pirmiausia reikia rasti pirmąjį išvestinį.

8 pavyzdys

Raskite parametriškai pateiktos funkcijos pirmąją ir antrąją išvestines

Pirmiausia suraskime pirmąjį išvestinį.
Mes naudojame formulę

Tokiu atveju:

Pakaitalai formulėje rado išvestinių. Supaprastinimo sumetimais naudojame trigonometrinę formulę:

Pastebėjau, kad randant parametrinės funkcijos išvestinę, gana dažnai supaprastinimo sumetimais tenka naudoti trigonometrines formules ... Prisiminkite juos arba laikykite po ranka ir nepraleiskite progos supaprastinti kiekvieno tarpinio rezultato ir atsakymų. Kam? Dabar turime paimti išvestinę iš, ir tai yra aiškiai geriau nei rasti išvestinę iš.

Raskime antrąją išvestinę.
Mes naudojame formulę:.

Pažvelkime į mūsų formulę. Vardiklis jau buvo rastas ankstesniame žingsnyje. Belieka rasti skaitiklį - pirmosios išvestinės išvestinę kintamojo „te“ atžvilgiu:

Belieka naudoti formulę:

Siekdamas konsoliduoti medžiagą, siūlau dar keletą nepriklausomo sprendimo pavyzdžių.

9 pavyzdys

10 pavyzdys

Rasti ir parametriškai apibrėžtai funkcijai

Linkime sėkmės!

Tikiuosi, kad ši pamoka buvo naudinga, o dabar galite lengvai rasti netiesiogiai nurodytų funkcijų ir parametrinių funkcijų išvestis.

Sprendimai ir atsakymai:

3 pavyzdys: Sprendimas:

Šiuo būdu:

Logaritminė diferenciacija

Elementariųjų funkcijų dariniai

Pagrindinės diferenciacijos taisyklės

Diferencialinė funkcija

Pagrindinė tiesinė funkcijos prieaugio dalis A D x funkcijos diferencijavimo apibrėžime

D f = f(x)- f(x 0)= A(x - x 0)+ o(x - x 0), x®x 0

vadinamas funkcijos diferencialu f(x) taške x 0 ir pažymėtas

df(x 0)= f ¢(x 0) D x = A D x.

Skirtumas priklauso nuo taško x 0 ir nuo prieaugio D x. Ant D x tuo pat metu jie žiūri į jį kaip į nepriklausomą kintamąjį, todėl kiekviename taške diferencialas yra tiesinė prieaugio D funkcija x.

Jei laikysime funkcija f(x)= x, tada gauname dx = D x, dy = Adx... Tai atitinka Leibnizo užrašus

Geometrinis diferencialo kaip liestinės ordinatės prieaugio aiškinimas.

Ryžiai. 4.3

1) f = konst , f ¢ = 0, df = 0D x = 0.

2) f = u + v, f ¢ = u ¢ + v ¢, df = du + dv.

3) f = uv, f ¢ = u ¢ v + v ¢ u, df = u dv + v du.

Pasekmė. (plg(x))¢ = cf ¢(x), (c 1 f 1 (x)+… + C n f n(x))¢ = c 1 f ¢ 1 (x)+… + C n f ¢ n(x)

4) f = u / v, v(x 0) ¹0 ir išvestinė egzistuoja, tada f ¢ =(u ¢ v-v¢ u)/v 2 .

Trumpumui pažymėsime u = u(x), u 0 = u(x 0), tada

Perėjimas prie ribos ties D x® 0 gauname reikiamą lygybę.

5) Sudėtinės funkcijos išvestinė.

Teorema. Jei yra f ¢(x 0), g ¢(x 0)ir x 0 = g(t 0), tada kažkokioje kaimynystėje t 0 sudėtinga funkcija f(g(t)), jis skiriasi taške t 0 ir

Įrodymas.

f(x)- f(x 0)= f ¢(x 0)(x-x 0)+ a ( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).

f(g(t))- f(g(t 0))= f ¢(x 0)(g(t)- g(t 0))+ a ( g(t))(g(t)- g(t 0)).

Abi šios lygybės puses padalijame iš ( t - t 0) ir pereiti iki ribos ties t®t 0 .

6) Atvirkštinės funkcijos išvestinės apskaičiavimas.

Teorema. Tegul f yra nuolatinis ir griežtai monotoniškas[a, b]... Leiskite taške x 0 Î( a, b)yra f ¢(x 0) ¹ 0 , tada atvirkštinė funkcija x = f -1 (y)turi taške y 0 išvestinė lygi

Įrodymas... Mes skaičiuojame f tada griežtai monotoniškai didėja f -1 (y) yra nuolatinis, monotoniškai didėjantis [ f(a), f(b)]. Mes dedame y 0 = f(x 0), y = f(x), x - x 0 = D x,

y - y 0 = D y... Dėl atvirkštinės funkcijos tęstinumo D y®0 Þ D x®0, turime

Perėję prie ribos, gauname reikiamą lygybę.

7) Lyginės funkcijos išvestinė nelyginė, nelyginės – lyginė.

Tikrai, jei x® - x 0 , tada - x® x 0 , Štai kodėl

Lyginei funkcijai nelyginei funkcijai

1) f = const, f ¢(x)=0.

2) f(x)= x, f ¢(x)=1.

3) f(x)= e x, f ¢(x)= e x ,

4) f(x)= a x,(a x)¢ = a x ln a.

5) ln a.

6) f(x) = ln x,

Pasekmė. (lyginės funkcijos išvestinė yra nelyginė)

7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m = e m ln x .

8) (nuodėmė x)¢= cos x,

9) (cos x)¢=- nuodėmė x,(cos x)¢= (nuodėmė ( x + p / 2)) ¢= cos ( x + p / 2) = - nuodėmė x.

10) (tg x)¢= 1 / cos 2 x.

11) (ctg x)¢= -1 / nuodėmė 2 x.

16) š x, sk x.

f (x),, iš kur tai išplaukia f ¢(x)= f(x) (ln f(x))¢ .

Tą pačią formulę galima gauti skirtingai f(x)= e ln f(x) , f ¢ = e ln f(x) (ln f(x))¢.

Pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijos išvestinę f = x x.

= x x = x x = x x = x x(ln x + 1).

Taškų vieta plokštumoje

bus vadinamas funkcijos grafiku, pateikta parametriškai... Jie taip pat kalba apie parametrinį funkcijos apibrėžimą.

1 pastaba. Jeigu x, y nuolatinis [a, b] ir x(t) griežtai monotoniškas segmente (pavyzdžiui, jis didėja griežtai monotoniškai), tada [ a, b], a = x a) , b = x b) apibrėžta funkcija f(x)= y(t(x))kur t(x) – funkcija atvirkštinė x (t). Šios funkcijos grafikas yra toks pat kaip ir funkcijos grafikas

Jei apimtis parametriškai duota funkcija gali būti suskirstyta į baigtinį skaičių atkarpų , k = 1,2,..., n, kurių kiekvienoje funkcija x(t) yra griežtai monotoniška, tada parametriškai apibrėžta funkcija suskaidoma į baigtinį įprastų funkcijų skaičių f k(x)= y(t -1 (x)) su apimtimis [ x(a k), x(b k)] kylančioms atkarpoms x(t) ir su apimtimis [ x(b k), x(a k)] mažėjančios funkcijos segmentams x(t). Taip gautos funkcijos vadinamos parametriškai duotosios funkcijos vienareikšmėmis šakomis.

Paveiksle parodytas parametriškai nurodytos funkcijos grafikas

Su pasirinktu parametravimu domenas yra padalintas į penkias griežto monotoniškumo funkcijas sin (2 t), tiksliai: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , ir atitinkamai grafikas suskaidomas į penkias vienareikšmes šakas, atitinkančias šias dalis.

Ryžiai. 4.4

Ryžiai. 4.5

Galite pasirinkti kitą tos pačios taškų lokuso parametravimą

Tokiu atveju bus tik keturios tokios šakos. Jie atitiks griežtos monotonijos sritis. tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ funkcijas nuodėmė (2 t).

Ryžiai. 4.6

Keturios nuodėmės monotoniškumo dalys (2 t) ilgoje atkarpoje.

Ryžiai. 4.7

Abiejų grafikų vaizdas vienoje figūroje leidžia apytiksliai pavaizduoti parametriškai nurodytos funkcijos grafiką, naudojant abiejų funkcijų monotonines sritis.

Pavyzdžiui, apsvarstykite pirmąją atkarpą atitinkančią šaką tÎ . Šio skyriaus pabaigoje funkcija x = nuodėmė (2 t) paima reikšmes -1 ir 1 taigi ši šaka bus apibrėžta [-1,1]. Po to reikia pažvelgti į monotoniškas antrosios funkcijos sritis y = cos ( t), ant jos du monotonijos lopai . Tai leidžia sakyti, kad pirmoji šaka turi dvi monotonijos dalis. Suradę grafiko galinius taškus, galite juos sujungti tiesiomis linijomis, kad parodytumėte grafiko monotoniškumo pobūdį. Tai darydami su kiekviena šaka, gauname vienareikšmių grafiko šakų monotoniškumo sritis (paveiksle jos paryškintos raudonai)

Ryžiai. 4.8

Pirma vienareikšmiška šaka f 1 (x)= y(t(x)) atitinkančią svetainę bus nustatyta xÎ [-1,1] . Pirma vienareikšmiška šaka tÎ , xÎ [-1,1].

Visos kitos trys šakos taip pat turės apibrėžimo sritį [-1,1] .

Ryžiai. 4.9

Antroji šaka tÎ xÎ [-1,1].

Ryžiai. 4.10

Trečia šaka tÎ xÎ [-1,1]

Ryžiai. 4.11

Ketvirta šaka tÎ xÎ [-1,1]

Ryžiai. 4.12

komentuoti 2. Ta pati funkcija gali turėti skirtingus parametrinius priskyrimus. Skirtumai gali būti susiję su abiem funkcijomis x(t), y(t) , ir apibrėžimo sritis šias funkcijas.

Įvairių tos pačios funkcijos parametrinių priskyrimų pavyzdys

ir tÎ [-1, 1] .

3 pastaba. Jei x, y yra ištisiniai , x(t) - griežtai monotoniškas segmente ir yra dariniai y ¢(t 0),x ¢(t 0) ¹0, tada yra f ¢(x 0)= .

Tikrai,.

Paskutinis teiginys taip pat taikomas vienareikšmėms parametriškai pateiktos funkcijos šakoms.

4.2 Aukštesnės eilės išvestinės ir skirtumai

Vyresnieji išvestiniai ir diferencialai. Parametriškai nurodytų funkcijų diferencijavimas. Leibnizo formulė.

Iki šiol buvo laikomos tiesių lygtys plokštumoje, kurios tiesiogiai jungia esamas šių linijų taškų koordinates. Tačiau dažnai naudojamas kitas linijos apibrėžimo būdas, kai dabartinės koordinatės laikomos trečiojo kintamojo funkcijomis.

Tegu duota dvi kintamojo funkcijos

laikomos tomis pačiomis t reikšmėmis. Tada bet kuri iš šių t reikšmių atitinka apibrėžtą reikšmę ir apibrėžtą y reikšmę, taigi ir apibrėžtą tašką. Kai kintamasis t eina per visas reikšmes iš funkcijų srities (73), taškas plokštumoje apibūdina kokią nors tiesę C. Lygtys (73) vadinamos šios linijos parametrinėmis lygtimis, o kintamasis – parametru.

Tarkime, kad funkcija turi atvirkštinę funkciją Pakeitę šią funkciją į antrąją iš (73) lygčių, gauname lygtį

išreiškiant y kaip funkciją

Sutikime, kad ši funkcija parametriškai pateikiama lygtimis (73). Perėjimas nuo šių lygčių prie (74) lygties vadinamas parametrų išskyrimu. Svarstant parametriškai apibrėžtas funkcijas, parametro išskyrimas ne tik nėra būtinas, bet ir ne visada praktiškai įmanomas.

Daugeliu atvejų daug patogiau, atsižvelgiant į skirtingas parametro reikšmes, tada apskaičiuoti atitinkamas argumento ir funkcijos y reikšmes naudojant formules (73).

Pažvelkime į keletą pavyzdžių.

1 pavyzdys. Tegul yra savavališkas apskritimo taškas, kurio centras yra pradžioje ir spindulys R. Šio taško Dekarto koordinatės x ir y išreiškiamos jo poliariniu spinduliu ir poliariniu kampu, kurį čia žymime t, taip ( I sk., § 3, p. 3):

Lygtys (75) vadinamos parametrinėmis apskritimo lygtimis. Juose esantis parametras yra polinis kampas, kuris svyruoja nuo 0 iki.

Jei lygtys (75) yra padalytos į kvadratą ir sudėtos, tada dėl tapatumo parametras bus pašalintas ir bus gauta Dekarto koordinačių sistemos apskritimo lygtis, kuri nustato dvi elementarias funkcijas:

Kiekviena iš šių funkcijų parametriškai nurodoma lygtimis (75), tačiau šių funkcijų parametrų kitimo diapazonai yra skirtingi. Pirmajam; šios funkcijos grafikas yra viršutinis puslankis. Antrosios funkcijos grafikas yra apatinis puslankis.

2 pavyzdys. Kartu apsvarstykite elipsę

ir apskritimas, kurio centras yra taške ir spinduliu a (138 pav.).

Su kiekvienu elipsės tašku M susiejame apskritimo tašką N, kurio abscisė yra tokia pati kaip ir taško M, ir yra su juo vienoje Ox ašies pusėje. Taško N, taigi ir taško M, padėtį visiškai lemia taško poliarinis kampas t. Šiuo atveju jų bendrajai abscisei gauname tokią išraišką: x = a. Ordinates taške M randame iš elipsės lygties:

Ženklas pasirinktas todėl, kad taške M ir ordinatės taške N turi turėti vienodus ženklus.

Taigi elipsei gaunamos šios parametrinės lygtys:

Čia parametras t svyruoja nuo 0 iki.

Pavyzdys 3. Apsvarstykite apskritimą, kurio centras yra taške a) ir spindulį a, kuris akivaizdžiai liečia abscisių ašį pradinėje vietoje (139 pav.). Tarkime, kad šis apskritimas rieda neslysdamas išilgai abscisių ašies. Tada apskritimo taškas M, kuris pradiniu momentu sutapo su pradžia, apibūdina tiesę, vadinamą cikloidu.

Išveskime cikloido parametrines lygtis, kaip parametrą t paimdami apskritimo MCW sukimosi kampą, perkeliant jo fiksuotąjį tašką iš padėties O į padėtį M. Tada gauname taško M koordinates ir y. šios išraiškos:

Dėl to, kad apskritimas rieda išilgai ašies neslysdamas, OB atkarpos ilgis lygus BM lanko ilgiui. Kadangi lanko ilgis BM lygus spindulio a ir centrinio kampo t sandaugai, tai. Taigi. Tačiau dėl to

Šios lygtys yra cikloidų parametrinės lygtys. Kai parametras t pasikeičia iš 0 į, apskritimas padarys vieną pilną apsisukimą. Taškas M apibūdins vieną cikloido lanką.

Parametro t pašalinimas čia sukelia sudėtingas išraiškas ir yra praktiškai nepraktiškas.

Parametrinis linijų apibrėžimas ypač dažnai naudojamas mechanikoje, kur laikas atlieka parametro vaidmenį.

4 pavyzdys. Nustatykime sviedinio, paleisto iš patrankos pradiniu greičiu kampu a horizonto atžvilgiu, trajektoriją. Mes nepaisome oro pasipriešinimo ir sviedinio dydžio, laikydami tai materialiu tašku.

Pasirinkime koordinačių sistemą. Koordinačių pradžią laikysime sviedinio išvykimo tašką nuo snukio. „Ox“ ašį nukreipiame horizontaliai, o „Oy“ ašį vertikaliai, pastatydami jas vienoje plokštumoje su ginklo snukučiu. Jei nebūtų gravitacijos, sviedinys judėtų tiesia linija, sudarydamas kampą a su Ox ašimi ir iki to laiko t būtų padengęs kelią. Sviedinio koordinatės momentu t būtų atitinkamai lygios:. Dėl gravitacijos sviedinys iki šio momento turėtų nusileisti vertikaliai pagal vertę. Todėl realiai laiko momentu t sviedinio koordinatės nustatomos pagal formules:

Šios lygtys yra konstantos. Pasikeitus t, pasikeis ir koordinatės sviedinio trajektorijos taške. Lygtys yra parametrinės sviedinio trajektorijos lygtys, kuriose parametras yra laikas

Išreiškiant iš pirmosios lygties ir pakeičiant ją į

antroji lygtis, gausime sviedinio trajektorijos lygtį forma Tai parabolės lygtis.

Netiesioginės funkcijos išvestinė.
Parametriškai pateiktos funkcijos išvestinė

Šiame straipsnyje apžvelgsime dar dvi tipines užduotis, kurios dažnai randamos aukštosios matematikos testuose. Norint sėkmingai įsisavinti medžiagą, reikia mokėti rasti išvestinių bent jau vidutinio lygio. Galite sužinoti, kaip nuo nulio rasti išvestinius produktus per dvi pagrindines pamokas ir Sudėtingos funkcijos išvestinė... Jei viskas tvarkoje su diferenciacijos įgūdžiais, tada eikime.

Netiesioginės funkcijos išvestinė

Arba trumpai tariant, numanomos funkcijos išvestinė. Kas yra numanoma funkcija? Pirmiausia prisiminkime patį vieno kintamojo funkcijos apibrėžimą:

Vieno kintamo funkcija Tai taisyklė, pagal kurią vieną ir tik vieną funkcijos reikšmę atitinka kiekvieną nepriklausomo kintamojo reikšmę.

Kintamasis vadinamas nepriklausomas kintamasis arba argumentas.
Kintamasis vadinamas priklausomas kintamasis arba funkcija .

Iki šiol mes žiūrėjome į funkcijas, apibrėžtas aiškiai forma. Ką tai reiškia? Surengkime apibendrinimą naudodami konkrečius pavyzdžius.

Apsvarstykite funkciją

Matome, kad kairėje turime vienišą „žaidimą“, o dešinėje - tik "x"... Tai yra, funkcija aiškiai išreikštas nepriklausomu kintamuoju.

Apsvarstykite kitą funkciją:

Čia kintamieji taip pat „maišomi“. Ir jokiu būdu neįmanoma Išreikškite „žaidimą“ tik per „x“. Kokie tai metodai? Sąvokų perkėlimas iš vienos dalies į kitą keičiant ženklą, iškeliant jį iš skliaustų, metant daugiklius pagal proporcingumo taisyklę ir pan. Perrašykite lygybę ir pabandykite „žaidimą“ išreikšti aiškia forma:. Galite sukti ir sukti lygtį valandų valandas, bet negalite.

Leiskite jums pristatyti: - pavyzdys numanoma funkcija.

Matematinės analizės metu buvo įrodyta, kad numanoma funkcija egzistuoja(bet ne visada), jis turi grafiką (kaip ir „normali“ funkcija). Netiesioginė funkcija turi tą patį egzistuoja pirmasis vedinys, antrasis vedinys ir kt. Kaip sakoma, gerbiamos visos seksualinių mažumų teisės.

Ir šioje pamokoje išmoksime rasti numanomos funkcijos išvestinę. Tai nėra taip sunku! Galioja visos diferenciacijos taisyklės, elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė. Skirtumas yra viename savotiškame momente, kurį apsvarstysime dabar.

Taip, ir aš jums pasakysiu gerą žinią – toliau aptariamos užduotys atliekamos pagal gana sunkų ir aiškų algoritmą be akmens priešais tris takelius.

1 pavyzdys

1) Pirmajame etape mes baigiame abi dalis:

2) Naudojamės išvestinės tiesiškumo taisyklėmis (pirmosios dvi pamokos taisyklės Kaip rasti išvestinę priemonę? Sprendimų pavyzdžiai):

3) Tiesioginė diferenciacija.
Kaip atskirti ir puikiai suprantama. Ką daryti ten, kur po smūgiais yra „žaidimų“?

- Tiesiog nepaprastai, funkcijos išvestinė lygi jos išvestinei: .

Kaip atskirti
Štai mes turime sudėtinga funkcija... Kodėl? Atrodo, kad po sinusu yra tik viena raidė „igrek“. Tačiau faktas yra tas, kad yra tik viena raidė „igrek“ - PATS YRA FUNKCIJA(žr. apibrėžimą pamokos pradžioje). Taigi sinusas yra išorinė funkcija, vidinė funkcija. Mes naudojame sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę :

Prekę išskiriame pagal įprastą taisyklę :

Atkreipkite dėmesį, kad - taip pat yra sudėtinga funkcija, bet koks „žaidimas su varpeliais ir švilpukais“ yra sudėtinga funkcija:

Pats sprendimo dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:

Jei yra skliaustų, atidarykite juos:

4) Kairėje pusėje renkame terminus, kuriuose yra „žaidimas“ su pirminiu skaitmeniu. Į dešinę pusę - perkelkite visa kita:

5) Kairėje iš skliaustų išimame išvestinę:

6) Ir pagal proporcingumo taisyklę įtraukiame šiuos skliaustus į dešinės pusės vardiklį:

Išvestinė rasta. Paruošta.

Įdomu pastebėti, kad galite netiesiogiai perrašyti bet kurią funkciją. Pavyzdžiui, funkcija galima perrašyti taip: ... Ir atskirkite jį pagal ką tik svarstytą algoritmą. Tiesą sakant, frazės „numanoma funkcija“ ir „numanoma funkcija“ skiriasi vienu semantiniu niuansu. Frazė „netiesiogiai apibrėžta funkcija“ yra bendresnė ir teisingesnė, - ši funkcija nustatyta netiesiogiai, tačiau čia galite išreikšti „žaidimą“ ir pateikti funkciją aiškia forma. Frazė „numanoma funkcija“ suprantama kaip „klasikinė“ numanoma funkcija, kai „žaidimo“ negalima išreikšti.

Antras sprendimas

Dėmesio! Antrąjį būdą galima rasti tik žinant, kaip užtikrintai rasti daliniai dariniai... Pradedantieji skaičiuojant ir manekenais, prašau neskaitykite ir nepraleiskite šios pastraipos, kitaip galva bus visiška netvarka.

Antruoju būdu suraskime implicitinės funkcijos išvestinę.

Visas sąlygas perkeliame į kairę pusę:

Ir apsvarstykite dviejų kintamųjų funkciją:

Tada mūsų išvestinę galima rasti pagal formulę
Raskime dalines išvestines:

Šiuo būdu:

Antrasis sprendimas leidžia patikrinti. Tačiau nepageidautina jų formuluoti švaria užduoties versija, nes dalinės išvestinės yra įsisavinamos vėliau, o studentas, studijuojantis temą „Vieno kintamojo funkcijos išvestinė“, dalinių išvestinių, regis, nežino.

Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.

2 pavyzdys

Raskite numanomos funkcijos išvestinę

Mes baigiame abi dalis:

Mes naudojame tiesiškumo taisykles:

Raskite išvestines:

Išplečiant visus skliaustus:

Visus terminus perkeliame į kairę pusę, likusius - į dešinę:

Galutinis atsakymas:

3 pavyzdys

Raskite numanomos funkcijos išvestinę

Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys mokymo programos pabaigoje.

Neretai po diferenciacijos atsiranda trupmenos. Tokiais atvejais reikia atsikratyti frakcijų. Pažvelkime į dar du pavyzdžius.

4 pavyzdys

Raskite numanomos funkcijos išvestinę

Abi dalis aptraukiame potėpiais ir naudojame tiesiškumo taisyklę:

Atskirkite naudodami sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę ir privataus diferenciacijos taisyklė :

Skliaustų išplėtimas:

Dabar turime atsikratyti frakcijos. Tai galima padaryti vėliau, tačiau racionaliau tai padaryti iš karto. Trupmenos vardiklis yra. Padauginti ant . Išsamiau tai atrodys taip:

Kartais po diferenciacijos atsiranda 2-3 frakcijos. Jei turėtume, pavyzdžiui, dar vieną trupmeną, tai operaciją tektų kartoti – padauginti kiekvienas kiekvienos dalies terminas ant

Kairėje iš skliaustų įrašome:

Galutinis atsakymas:

5 pavyzdys

Raskite numanomos funkcijos išvestinę

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Vienintelis dalykas jame, prieš atsikratydami frakcijos, pirmiausia turėsite atsikratyti pačios frakcijos trijų aukštų struktūros. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Parametriškai pateiktos funkcijos išvestinė

Kintamasis vadinamas parametru ir gali paimti reikšmes nuo „minus begalybės“ iki „pliuso begalybės“. Apsvarstykite, pavyzdžiui, reikšmę ir pakeiskite ją į abi lygtis: ... Arba žmogiškai: „jei x lygus keturiems, tai y lygus vienetui“. Koordinačių plokštumoje galima pažymėti tašką, ir šis taškas atitiks parametro reikšmę. Panašiai galite rasti tašką bet kuriai parametro „te“ reikšmei. Kalbant apie „įprastą“ funkciją, parametriškai apibrėžtos funkcijos Amerikos indėnams taip pat yra gerbiamos visos teisės: galima braižyti grafiką, rasti išvestinių ir pan. Beje, jei reikia nubraižyti parametriškai pateiktos funkcijos grafiką, galite pasinaudoti mano programa.

Paprasčiausiais atvejais funkciją galima pavaizduoti aiškiai. Išreikškime parametrą iš pirmosios lygties: - ir pakeiskite ją į antrąją lygtį: ... Rezultatas yra įprasta kubinė funkcija.