Pitagoro teoremos formulės išvedimas. Pitagoro teorema: pagrindas, įrodymai, praktinio taikymo pavyzdžiai

Viena vertus, galite būti šimtu procentų tikri, kad paklaustas, koks yra hipotenuzės kvadratas, bet kuris suaugęs žmogus drąsiai atsakys: „Kojų kvadratų suma“. Ši teorema yra tvirtai įsišaknijusi kiekvieno išsilavinusio žmogaus galvoje, tačiau užtenka paprašyti, kad kas nors tai įrodytų, ir tada gali kilti sunkumų. Todėl prisiminkime ir apsvarstykime įvairius Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdus.

Trumpa biografija

Pitagoro teorema yra žinoma beveik visiems, tačiau kažkodėl ją pagimdžiusio asmens biografija nėra tokia populiari. Tai pataisoma. Todėl prieš studijuodami įvairius Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdus, turite trumpai susipažinti su jo asmenybe.

Pitagoras yra filosofas, matematikas, mąstytojas, kilęs iš Šiandien, labai sunku atskirti jo biografiją nuo legendų, susiformavusių šio didingo žmogaus atminimui. Tačiau, kaip matyti iš jo pasekėjų raštų, Pitagoras iš Samos gimė Samos saloje. Jo tėvas buvo paprastas akmenų kalėjas, o mama kilusi iš kilmingos šeimos.

Pasak legendos, Pitagoro gimimą išpranašavo moteris, vardu Pythia, kurios garbei berniukas buvo pavadintas. Jos spėjimu, gimęs berniukas žmonijai turėjo atnešti daug naudos ir gėrio. Ką jis iš tikrųjų padarė.

Teoremos gimimas

Jaunystėje Pitagoras persikėlė į Egiptą susitikti su žinomais Egipto išminčiais. Po susitikimo su jais jis buvo priimtas studijuoti, kur išmoko visus didžiuosius Egipto filosofijos, matematikos ir medicinos pasiekimus.

Tikriausiai būtent Egipte Pitagoras buvo įkvėptas piramidžių didybės ir grožio ir sukūrė savo puikią teoriją. Tai gali šokiruoti skaitytojus, tačiau šiuolaikiniai istorikai mano, kad Pitagoras neįrodė savo teorijos. Savo žinias jis perdavė tik savo pasekėjams, kurie vėliau atliko visus reikiamus matematinius skaičiavimus.

Kad ir kaip būtų, šiandien žinomas ne vienas šios teoremos įrodinėjimo būdas, o keli iš karto. Šiandien belieka tik spėlioti, kaip tiksliai skaičiavo senovės graikai, todėl čia apsvarstysime įvairius Pitagoro teoremos įrodymo būdus.

Pitagoro teorema

Prieš pradėdami bet kokius skaičiavimus, turite išsiaiškinti, kurią teoriją reikia įrodyti. Pitagoro teorema skamba taip: "Trikampyje, kurio vienas iš kampų yra 90 °, kojų kvadratų suma yra lygi hipotenuzės kvadratui".

Iš viso yra 15 skirtingų būdų įrodyti Pitagoro teoremą. Tai gana didelė figūra, todėl atkreipkime dėmesį į populiariausius iš jų.

Pirmasis metodas

Pirmiausia išsiaiškinkime, kas mums duota. Šie duomenys taip pat bus taikomi kitiems Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdams, todėl turėtumėte nedelsdami prisiminti visus turimus pavadinimus.

Tarkime, kad pateiktas stačiakampis trikampis, kurio kojos a, b ir hipotenuzė lygi c. Pirmasis įrodinėjimo būdas pagrįstas tuo, kad reikia nubrėžti kvadratą iš stačiakampio trikampio.

Norėdami tai padaryti, turite nubrėžti atkarpą, lygią kojai b, iki a ilgio kojos ir atvirkščiai. Tai turėtų sudaryti dvi vienodas kvadrato puses. Belieka tik nubrėžti dvi lygiagrečias linijas, ir kvadratas yra paruoštas.

Gautos figūros viduje reikia nupiešti kitą kvadratą, kurio kraštinė lygi pradinio trikampio hipotenusei. Norėdami tai padaryti, iš viršūnių ac ir sv reikia nubrėžti du lygiagrečius segmentus, lygius c. Taigi gauname tris kvadrato kraštines, iš kurių viena yra pradinio stačiakampio trikampio hipotenuzė. Belieka baigti ketvirtą segmentą.

Remdamiesi gautu paveikslu, galime daryti išvadą, kad išorinio kvadrato plotas yra (a + b) 2. Jei pažvelgsite į figūros vidų, pamatysite, kad, be vidinio kvadrato, joje yra keturi stačiakampiai trikampiai. Kiekvieno plotas yra 0,5 av.

Todėl plotas lygus: 4 * 0,5av + s 2 = 2av + s 2

Taigi (a + b) 2 = 2ab + c 2

Ir todėl c 2 = a 2 + b 2

Teorema įrodyta.

Antras būdas: panašūs trikampiai

Ši Pitagoro teoremos įrodymo formulė buvo gauta remiantis teiginiu iš geometrijos skyriaus apie panašius trikampius. Jame sakoma, kad stačiakampio trikampio kojelė yra proporcingas jo hipotenuzės vidurkis ir hipotenuzės segmentas, kylantis iš 90 ° kampo viršūnės.

Pradiniai duomenys išlieka tie patys, todėl iš karto pradėkime nuo įrodymo. Nubrėžkime SD atkarpą statmenai kraštinei AB. Remiantis aukščiau pateiktu teiginiu, trikampių kojos yra:

AC = √AB * HELL, SV = √AB * DV.

Norint atsakyti į klausimą, kaip įrodyti Pitagoro teoremą, įrodymas turi būti baigtas padalijus abi nelygybes kvadratu.

AC 2 = AB * HELL ir SV 2 = AB * DV

Dabar reikia susumuoti gautas nelygybes.

AC 2 + SV 2 = AB * (HELL * DV), kur HELL + DV = AB

Paaiškėjo, kad:

AC 2 + SV 2 = AB * AB

Ir todėl:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Pitagoro teoremos įrodymas ir įvairūs jos sprendimo būdai reikalauja įvairiapusiško požiūrio į šią problemą. Tačiau ši parinktis yra viena iš paprasčiausių.

Kitas skaičiavimo metodas

Įvairių Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdų aprašymas gali nieko nepasakyti, kol nepradėsite praktikuoti savarankiškai. Daugelis metodų suteikia ne tik matematinius skaičiavimus, bet ir naujų figūrų konstravimą iš pradinio trikampio.

Šiuo atveju reikia užbaigti dar vieną stačiakampį VSD trikampį iš BC kojos. Taigi dabar yra du trikampiai su bendra kojele BC.

Žinodami, kad tokių figūrų plotai turi santykį su panašių tiesinių matmenų kvadratais, tada:

S awd * s 2 - S awd * 2 = S awd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) = a 2 * (S awd -S vd)

s 2 -w 2 = a 2

c 2 = a 2 + b 2

Kadangi ši parinktis vargu ar tinka įvairiems Pitagoro teoremos įrodinėjimo 8 klasei metodams, galite naudoti šią techniką.

Lengviausias būdas įrodyti Pitagoro teoremą. Atsiliepimai

Istorikai mano, kad šis metodas pirmą kartą buvo naudojamas teoremai įrodyti dar senovės Graikijoje. Tai pats paprasčiausias, nes nereikalauja absoliučiai jokių skaičiavimų. Jei teisingai nubraižote figūrą, bus aiškiai matomas teiginio, kad a 2 + in 2 = c 2, įrodymas.

Šio metodo sąlygos šiek tiek skirsis nuo ankstesnio. Norėdami įrodyti teoremą, tarkime, kad stačiakampis trikampis ABC yra lygiašonis.

AC hipotenuzę imame kaip kvadrato kraštinę ir padalijame tris jos puses. Be to, gautame kvadrate būtina nubrėžti dvi įstrižas linijas. Taip, kad jo viduje yra keturi lygiašoniai trikampiai.

Prie kojelių AB ir CB taip pat reikia nubrėžti kvadratą ir kiekvienoje iš jų nubrėžti po vieną įstrižainę liniją. Pirmoji eilutė nubrėžta iš viršūnės A, antroji iš C.

Dabar reikia atidžiai pažvelgti į gautą piešinį. Kadangi kintamosios srovės hipotenuzėje yra keturi trikampiai, lygūs pradiniam trikampiui, o kojose – du, tai byloja apie šios teoremos teisingumą.

Beje, šio Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdo dėka gimė garsioji frazė: „Pitagoro kelnės lygios visomis kryptimis“.

J. Garfieldo įrodymas

Jamesas Garfieldas yra 20-asis Jungtinių Amerikos Valstijų prezidentas. Jis ne tik paliko pėdsaką istorijoje kaip JAV valdovas, bet ir buvo gabus savamokslis.

Karjeros pradžioje buvo eilinis liaudies mokyklos mokytojas, bet netrukus tapo vienos iš aukštųjų mokyklų direktoriumi. Savęs tobulėjimo troškimas ir leido jam pasiūlyti naują Pitagoro teoremos įrodymo teoriją. Teorema ir jos sprendimo pavyzdys yra tokie.

Pirmiausia ant popieriaus lapo reikia nupiešti du stačiakampius trikampius, kad vieno iš jų kojelė būtų antrojo tęsinys. Šių trikampių viršūnės turi būti sujungtos, kad galiausiai susidarytų trapecija.

Kaip žinote, trapecijos plotas yra lygus jos pagrindų ir aukščio pusės sumos sandaugai.

S = a + b / 2 * (a + b)

Jei gautą trapeciją laikysime figūra, susidedančia iš trijų trikampių, tada jos plotą galima rasti taip:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

Dabar reikia išlyginti dvi pradines išraiškas

2av / 2 + s / 2 = (a + b) 2/2

c 2 = a 2 + b 2

Apie Pitagoro teoremą ir jos įrodinėjimo būdus galima parašyti ne vieną vadovėlio tomą. Bet ar tai prasminga, kai šios žinios negali būti pritaikytos praktikoje?

Praktinis Pitagoro teoremos taikymas

Deja, šiuolaikinės mokyklos programos numato šią teoremą naudoti tik geometriniuose uždaviniuose. Netrukus abiturientai paliks mokyklos sienas nežinodami, kaip savo žinias ir įgūdžius galės pritaikyti praktiškai.

Tiesą sakant, kiekvienas gali naudoti Pitagoro teoremą savo kasdieniame gyvenime. Ir ne tik profesinėje veikloje, bet ir eiliniuose buities darbuose. Panagrinėkime kelis atvejus, kai Pitagoro teorema ir jos įrodinėjimo metodai gali būti itin reikalingi.

Ryšys tarp teoremos ir astronomijos

Atrodytų, kaip ant popieriaus galima sujungti žvaigždes ir trikampius. Tiesą sakant, astronomija yra mokslo sritis, kurioje plačiai naudojama Pitagoro teorema.

Pavyzdžiui, apsvarstykite šviesos pluošto judėjimą erdvėje. Yra žinoma, kad šviesa juda į abi puses vienodu greičiu. Trajektorija AB, kuria juda šviesos spindulys, vadinama l. Ir pusę laiko, per kurį šviesa patenka iš taško A į tašką B, skambinkime t... Ir spindulio greitis - c. Paaiškėjo, kad: c * t = l

Jei pažvelgsite į šį spindulį iš kitos plokštumos, pavyzdžiui, iš kosminio lainerio, kuris juda greičiu v, tada tokiu kūnų stebėjimu jų greitis pasikeis. Tokiu atveju net stacionarūs elementai pradės judėti greičiu v priešinga kryptimi.

Tarkime, komiškas laineris plaukia į dešinę. Tada taškai A ir B, tarp kurių mestas spindulys, pasislinks į kairę. Be to, kai spindulys juda iš taško A į tašką B, taškas A turi laiko judėti ir atitinkamai šviesa jau pateks į naują tašką C. Norėdami rasti pusę atstumo, kuriuo pasislinko taškas A, reikia padauginti įdėklo greitį per pusę pluošto eigos trukmės (t").

Ir norint sužinoti, kokį atstumą gali nukeliauti šviesos spindulys per šį laiką, pusę kelio reikia pažymėti nauja raide s ir gauti tokią išraišką:

Jei įsivaizduosime, kad šviesos taškai C ir B, taip pat erdvės linijinė linija yra lygiašonio trikampio viršūnės, tai atkarpa nuo taško A iki linijinės juostos padalins ją į du stačiakampius trikampius. Todėl Pitagoro teoremos dėka galite rasti atstumą, kurį galėtų nukeliauti šviesos spindulys.

Šis pavyzdys, žinoma, nėra pats geriausias, nes tik nedaugeliui gali pasisekti tai išbandyti praktiškai. Todėl apsvarstysime kasdieniškesnius šios teoremos pritaikymus.

Mobiliojo signalo perdavimo spindulys

Šiuolaikinis gyvenimas jau neįsivaizduojamas be išmaniųjų telefonų. Bet ar jie būtų labai naudingi, jei negalėtų prijungti abonentų mobiliuoju ryšiu ?!

Mobiliojo ryšio kokybė tiesiogiai priklauso nuo to, kokiame aukštyje yra mobiliojo ryšio operatoriaus antena. Norėdami apskaičiuoti, kokiu atstumu telefonas gali priimti signalą iš mobiliojo bokšto, galite pritaikyti Pitagoro teoremą.

Tarkime, reikia rasti apytikslį nejudančio bokšto aukštį, kad jis galėtų skleisti signalą 200 kilometrų spinduliu.

AB (bokšto aukštis) = x;

Lėktuvas (signalo perdavimo spindulys) = 200 km;

OS (gaublio spindulys) = 6380 km;

OB = OA + ABOV = r + x

Taikydami Pitagoro teoremą, išsiaiškiname, kad mažiausias bokšto aukštis turi būti 2,3 kilometro.

Pitagoro teorema kasdieniame gyvenime

Kaip bebūtų keista, Pitagoro teorema gali būti naudinga net kasdieniuose reikaluose, pavyzdžiui, nustatant spintos aukštį. Iš pirmo žvilgsnio nereikia naudoti tokių sudėtingų skaičiavimų, nes galite tiesiog atlikti matavimus naudodami matavimo juostą. Tačiau daugelis stebisi, kodėl surinkimo proceso metu kyla tam tikrų problemų, jei visi matavimai buvo atlikti daugiau nei tiksliai.

Faktas yra tas, kad spinta surenkama horizontalioje padėtyje ir tik tada ji pakyla ir montuojama prie sienos. Todėl spintelės šonas konstrukcijos kėlimo procese turi laisvai praeiti tiek aukštyje, tiek įstrižai patalpos.

Tarkime, kad turite 800 mm gylio spintą. Atstumas nuo grindų iki lubų - 2600 mm. Patyręs baldininkas pasakys, kad spintelės aukštis turi būti 126 mm mažesnis už patalpos aukštį. Bet kodėl būtent 126 mm? Pažiūrėkime į pavyzdį.

Esant idealiems spintelės matmenims, patikriname Pitagoro teoremos veikimą:

AC = √AB 2 + √BC 2

AC = √2474 2 +800 2 = 2600 mm - viskas susilieja.

Tarkime, spintelės aukštis ne 2474 mm, o 2505 mm. Tada:

AC = √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Todėl ši spinta netinka montuoti šioje patalpoje. Kadangi pakėlus jį į vertikalią padėtį, galite sugadinti jo kūną.

Galbūt, skirtingų mokslininkų įvertinę skirtingus Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdus, galime daryti išvadą, kad tai daugiau nei tiesa. Dabar gautą informaciją galite panaudoti kasdieniame gyvenime ir būti visiškai tikri, kad visi skaičiavimai bus ne tik naudingi, bet ir teisingi.

Kai pirmą kartą pradėjote mokytis kvadratinių šaknų ir kaip spręsti neracionalias lygtis (lygybes, kurių šaknies ženklas turi nežinomą), tikriausiai pirmą kartą supratote jų praktinį panaudojimą. Gebėjimas išgauti skaičių kvadratinę šaknį taip pat būtinas sprendžiant Pitagoro teoremos taikymo uždavinius. Ši teorema sujungia bet kurio stačiojo trikampio kraštinių ilgius.

Stačiakampio trikampio kojelių ilgiai (tos dvi kraštinės, kurios susilieja stačiu kampu) žymimi raidėmis, o hipotenuzės ilgis (ilgiausia trikampio kraštinė, priešinga stačiajam kampui) – laišką. Tada atitinkami ilgiai yra susieti tokiu ryšiu:

Ši lygtis leidžia rasti stačiakampio trikampio kraštinės ilgį tuo atveju, kai žinomas kitų dviejų kraštinių ilgis. Be to, tai leidžia nustatyti, ar nagrinėjamas trikampis yra stačiakampis, jei visų trijų kraštinių ilgiai yra žinomi iš anksto.

Užduočių sprendimas naudojant Pitagoro teoremą

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išspręsime Pitagoro teoremos taikymo uždavinius.

Taigi, atsižvelgiant į:

Vienos kojos ilgis 48, hipotenuzė 80.
Kojos ilgis 84, hipotenuzė 91.

Pradėkime spręsti:

a) Duomenų pakeitimas į pirmiau pateiktą lygtį duoda tokius rezultatus:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b= 64 arba b = -64

Kadangi trikampio kraštinės ilgis negali būti išreikštas neigiamu skaičiumi, antrasis variantas automatiškai atmetamas.

Atsakymas į pirmąjį paveikslą: b = 64.

b) Antrojo trikampio kojos ilgis randamas tokiu pačiu būdu:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b= 35 arba b = -35

Kaip ir ankstesniu atveju, neigiamas sprendimas atmetamas.

Atsakymas į antrą paveikslą: b = 35

Mums duota:

Mažųjų trikampio kraštinių ilgiai yra atitinkamai 45 ir 55, o didesnių - 75.
Mažųjų trikampio kraštinių ilgiai yra atitinkamai 28 ir 45, o didesnių - 53.

Mes išsprendžiame problemą:

a) Reikia patikrinti, ar duoto trikampio mažesniųjų kraštinių ilgių kvadratų suma yra lygi didesniojo ilgio kvadratui:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Todėl pirmasis trikampis nėra stačiakampis.

b) Atliekama ta pati operacija:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Todėl antrasis trikampis yra stačiakampis.

Pirmiausia suraskite didžiausios atkarpos, kurią sudaro taškai su koordinatėmis (-2, -3) ir (5, -2), ilgį. Norėdami tai padaryti, mes naudojame gerai žinomą formulę, kaip rasti atstumą tarp taškų stačiakampėje koordinačių sistemoje:

Panašiai randame atkarpos, esančios tarp taškų, kurių koordinatės (-2, -3) ir (2, 1), ilgį:

Galiausiai nustatome atkarpos ilgį tarp taškų su koordinatėmis (2, 1) ir (5, -2):

Kadangi lygybė galioja:

tada atitinkamas trikampis yra stačiakampis.

Taigi galime suformuluoti atsakymą į uždavinį: kadangi trumpiausio ilgio kraštinių kvadratų suma yra lygi didžiausio ilgio kraštinių kvadratui, tai taškai yra stačiakampio trikampio viršūnės.

Pagrindas (yra griežtai horizontaliai), stakta (yra griežtai vertikaliai) ir kabelis (ištemptas įstrižai) sudaro atitinkamai stačiakampį trikampį, Pitagoro teorema gali būti naudojama norint rasti kabelio ilgį:

Taigi kabelio ilgis bus maždaug 3,6 metro.

Duota: atstumas nuo taško R iki taško P (trikampio kojelė) yra 24, nuo taško R iki taško Q (hipotenuzė) - 26.

Taigi, mes padedame Vityai išspręsti problemą. Kadangi paveiksle pavaizduoto trikampio kraštinės turėtų sudaryti stačiakampį trikampį, trečiosios kraštinės ilgiui nustatyti galima naudoti Pitagoro teoremą:

Taigi, tvenkinio plotis yra 10 metrų.

Sergejus Valerjevičius

GEOMETRINIŲ FIGŪRŲ PLOTŲ MATAVIMAS.

§ 58. PITAGORO 1 TEOREMA.

__________
1 Pitagoras – graikų mokslininkas, gyvenęs maždaug prieš 2500 metų (564–473 m. pr. Kr.).
_________

Tegu duotas stačiakampis trikampis, kurio kraštinės a, b ir Su(267 pav.).

Jo šonuose pastatykime kvadratus. Šių kvadratų plotai yra atitinkamai lygūs a 2 , b 2 ir Su 2. Įrodykime tai Su 2 = a 2 + b 2 .

Sukonstruokime du kvadratus MCOR ir M "K" O "P" (268, 269 pav.), kiekvieno iš jų kraštinei paimdami atkarpą, lygią stačiakampio trikampio ABC kojų sumai.

Atlikę šiuose kvadratuose 268 ir 269 brėžiniuose pavaizduotas konstrukcijas, pamatysime, kad ICOR aikštė buvo padalinta į du kvadratus su plotais a 2 ir b 2 ir keturi vienodi stačiakampiai trikampiai, kurių kiekvienas lygus stačiakampiam trikampiui ABC. Kvadratas M „K“ O „P“ buvo padalintas į keturkampį (269 brėžinyje jis nuspalvintas) ir keturis stačiakampius trikampius, kurių kiekvienas taip pat lygus trikampiui ABC. Nuspalvintas keturkampis yra kvadratas, nes jo kraštinės yra lygios (kiekviena lygi trikampio ABC hipotenusei, t.y. Su), o kampai tiesūs / 1 + / 2 = 90 °, iš kur / 3 = 90°).

Taigi kvadratų, pastatytų ant kojelių, plotų suma (268 brėžinyje šie kvadratai yra nuspalvinti) yra lygi ICOR kvadrato plotui be keturių vienodų trikampių plotų sumos ir ant hipotenuzos pastatytas kvadratas (269 brėžinyje šis kvadratas taip pat užtamsintas) yra lygus kvadrato M "K" O "P" plotui, lygiam ICOR kvadratui, be plotų sumos keturi tokie pat trikampiai. Todėl kvadrato, pastatyto ant stačiakampio trikampio hipotenuzos, plotas yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų sumai.

Gauname formulę Su 2 = a 2 + b 2, kur Su- hipotenuzė, a ir b- stačiakampio trikampio kojos.

Pitagoro teorema trumpai suformuluota taip:

Stačiakampio trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.

Iš formulės Su 2 = a 2 + b 2 galite gauti šias formules:

a 2 = Su 2 - b 2 ;
b 2 = Su 2 - a 2 .

Šios formulės gali būti naudojamos norint rasti nežinomą stačiakampio trikampio kraštinę iš dviejų nurodytų kraštinių.
Pavyzdžiui:

a) jei duodamos kojos a= 4 cm, b= 3 cm, tada galite rasti hipotenuzą ( Su):
Su 2 = a 2 + b 2, t.y. Su 2 = 4 2 + 3 2; su 2 = 25, iš kur Su= √25 = 5 (cm);

b) jeigu įdėta hipotenuzė Su= 17 cm ir koja a= 8 cm, tada galite rasti kitą koją ( b):

b 2 = Su 2 - a 2, t.y. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, iš kur b= √225 = 15 (cm).

Išvada: Jei dviejuose stačiakampiuose trikampiuose ABC ir A 1 B 1 C 1 hipotenuzė Su ir Su 1 yra lygūs, o koja b trikampis ABC daugiau kojos b 1 trikampis A 1 B 1 C 1,
tada koja a trikampis ABC mažiau kojos a 1 trikampis A 1 B 1 C 1. (Padarykite piešinį, iliustruojantį šią pasekmę.)

Iš tiesų, remiantis Pitagoro teorema, gauname:

a 2 = Su 2 - b 2 ,
a 1 2 = Su 1 2 - b 1 2

Rašytinėse formulėse atimtieji yra lygūs, o pirmoje formulėje atimtieji yra didesni nei atimtieji antroje formulėje, todėl pirmasis skirtumas yra mažesnis už antrąjį,
t.y. a 2 < a 12 . Kur a< a 1 .

Pratimai.

1. Naudodamiesi brėžiniu 270, įrodykite lygiašonio stačiojo trikampio Pitagoro teoremą.

2. Stačiakampio trikampio viena kojelė yra 12 cm, kita 5 cm Apskaičiuokite šio trikampio hipotenuzos ilgį.

3. Stačiakampio trikampio hipotenuzė lygi 10 cm, viena iš kojelių 8 cm Apskaičiuokite kitos šio trikampio kojelės ilgį.

4. Stačiakampio trikampio hipotenuzė yra 37 cm, viena jo kraštinė 35 cm Apskaičiuokite kitos šio trikampio kojelės ilgį.

5. Sukonstruokite dvigubai didesnį už duotąjį kvadratą.

6. Sukurkite kvadratą, kuris yra perpus mažesnis už duotąjį. Indikacija.Šiame kvadrate nubrėžkite įstrižaines. Kvadratai, pastatyti ant šių įstrižainių pusių, bus reikalingi.

7. Stačiakampio trikampio kojos yra atitinkamai 12 cm ir 15 cm Apskaičiuokite šio trikampio hipotenuzos ilgį 0,1 cm tikslumu.

8. Stačiakampio trikampio hipotenuzė lygi 20 cm, viena jo kojelė 15 cm Apskaičiuokite kitos kojos ilgį 0,1 cm tikslumu.

9. Kokio ilgio kopėčios turi būti, kad jas būtų galima pritvirtinti prie 6 m aukštyje esančio lango, jei apatinis kopėčių galas turi būti 2,5 m atstumu nuo pastato? (Prakeiktas. 271.)

Kūrybiškumo potencialas dažniausiai priskiriamas humanitariniams mokslams, gamtos mokslams paliekant analizę, praktinį požiūrį ir sausą formulių bei skaičių kalbą. Matematikos negalima priskirti humanitariniams dalykams. Tačiau be kūrybiškumo „visų mokslų karalienėje“ toli nenueisite – žmonės apie tai žinojo jau seniai. Pavyzdžiui, nuo Pitagoro laikų.

Mokykliniuose vadovėliuose, deja, dažniausiai nepaaiškinama, kad matematikoje svarbu ne tik prigrūsti teoremas, aksiomas ir formules. Svarbu suprasti ir pajusti pagrindinius jos principus. Ir tuo pačiu stenkitės išlaisvinti savo mintis nuo klišių ir elementarių tiesų – tik tokiomis sąlygomis gimsta visi didieji atradimai.

Šie atradimai apima tai, ką šiandien žinome kaip Pitagoro teoremą. Jos pagalba bandysime parodyti, kad matematika ne tik gali, bet ir turėtų jaudinti. Ir kad šis nuotykis tinka ne tik storžieviams akiniams, bet visiems, kurie tvirti protu ir tvirti dvasia.

Iš problemos istorijos

Griežtai kalbant, nors teorema vadinama „Pitagoro teorema“, pats Pitagoras jos neatrado. Stačiakampis trikampis ir jo ypatingos savybės buvo tyrinėtos dar gerokai prieš jį. Šiuo klausimu yra du priešingi požiūriai. Remiantis viena versija, Pitagoras pirmasis rado išsamų teoremos įrodymą. Kito teigimu, įrodymas nepriklauso Pitagoro autorystei.

Šiandien negalite patikrinti, kas teisus, o kas neteisus. Tik žinoma, kad Pitagoro įrodymas, jei jis kada nors egzistavo, neišliko. Tačiau yra prielaidų, kad garsusis įrodymas iš Euklido „Elementų“ gali priklausyti Pitagorui, o Euklidas jį tik užfiksavo.

Šiandien taip pat žinoma, kad stačiakampio trikampio problemos randamos faraono Amenemkheto I laikų Egipto šaltiniuose, Babilono molio lentelėse valdant karaliui Hamurapiui, senovės Indijos traktate „Sulva sutra“ ir senovės kinų kalba. kompozicija „Zhou-bi suan jin“.

Kaip matote, Pitagoro teorema užėmė matematikų protus nuo seniausių laikų. Šiandien taip pat yra apie 367 skirtingi įrodymai. Šiuo atveju jokia kita teorema negali su ja konkuruoti. Tarp žymių įrodymų rašytojų yra Leonardo da Vinci ir dvidešimtasis JAV prezidentas Jamesas Garfieldas. Visa tai byloja apie itin didelę šios teoremos svarbą matematikai: dauguma geometrijos teoremų yra išvestos iš jos arba vienaip ar kitaip su ja susijusios.

Pitagoro teoremos įrodymas

Mokykliniuose vadovėliuose dažniausiai pateikiami algebriniai įrodymai. Tačiau teoremos esmė yra geometrijoje, todėl visų pirma panagrinėkime tuos garsiosios teoremos įrodymus, kurie yra pagrįsti šiuo mokslu.

1 įrodymas

Paprasčiausiam stačiakampio trikampio Pitagoro teoremos įrodymui reikia nustatyti idealias sąlygas: tegul trikampis būna ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Yra pagrindo manyti, kad šį trikampį iš pradžių laikė antikos matematikai.

pareiškimas "Kvadratas, pastatytas ant stačiakampio trikampio hipotenuzos, yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, sumai" galima iliustruoti tokiu piešiniu:

Pažvelkite į lygiašonį stačiakampį trikampį ABC: hipotenuzėje AC galite sukurti kvadratą, sudarytą iš keturių trikampių, lygių pradiniam ABC. O ant kojų AB ir BC jis pastatytas kvadratu, kurių kiekviename yra du panašūs trikampiai.

Beje, šis piešinys buvo daugelio anekdotų ir animacinių filmų, skirtų Pitagoro teoremai, pagrindas. Galbūt garsiausias yra "Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis":

2 įrodymas

Šis metodas sujungia algebrą ir geometriją ir gali būti vertinamas kaip senovės Indijos matematiko Bhaskari įrodymo variantas.

Sukurkite stačiakampį trikampį su kraštinėmis a, b ir c(1 pav.). Tada pastatykite du kvadratus, kurių kraštinės yra lygios dviejų kojų ilgių sumai, - (a + b)... Kiekviename iš kvadratų statykite taip, kaip parodyta 2 ir 3 paveiksluose.

Pirmajame kvadrate pastatykite keturis tuos pačius trikampius, kaip parodyta 1 paveiksle. Gausite du kvadratus: vienas su kraštine a, kitas su kraštine. b.

Antrajame kvadrate keturi panašūs sukonstruoti trikampiai sudaro kvadratą, kurio kraštinė lygi hipotenuzei c.

Sukonstruotų kvadratų plotų suma 2 pav. yra lygi kvadrato, kurį sukonstravome su kraštine c 3 pav., plotui. Tai galima lengvai patikrinti apskaičiuojant kvadratų plotus Fig. 2 pagal formulę. O įbrėžto kvadrato plotas 3 paveiksle. Iš didelio kvadrato su kraštine ploto atėmus keturių lygių, įrašytų į kvadratinį stačiakampį trikampį, plotą (a + b).

Užrašę visa tai, turime: a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 2ab... Išskleiskite skliaustus, atlikite visus reikiamus algebrinius skaičiavimus ir gaukite a 2 + b 2 = a 2 + b 2... Šiuo atveju plotas, įrašytas 3 pav. kvadratas gali būti apskaičiuojamas naudojant tradicinę formulę S = c 2... Tie. a 2 + b 2 = c 2- įrodėte Pitagoro teoremą.

3 įrodymas

Tas pats senovės Indijos įrodymas aprašytas XII amžiuje traktate „Žinių karūna“ („Siddhanta Shiromani“), o kaip pagrindinį argumentą autorius naudoja kreipimąsi į mokinių ir pasekėjų matematinius gabumus ir stebėjimą: „ Žiūrėk!"

Bet mes išanalizuosime šį įrodymą išsamiau:

Kvadrato viduje nubrėžkite keturis stačiakampius trikampius, kaip nurodyta brėžinyje. Mes žymime didžiojo kvadrato pusę, tai taip pat yra hipotenuzė Su... Trikampio kojos vadinamos a ir b... Pagal brėžinį vidinio kvadrato pusė yra (a–b).

Naudokite kvadratinės formulės plotą S = c 2 išorinio kvadrato plotui apskaičiuoti. Ir tuo pačiu metu apskaičiuokite tą pačią vertę, pridėdami vidinio kvadrato plotą ir visų keturių stačiakampių trikampių plotus: (a-b) 2 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b.

Apskaičiuodami kvadrato plotą galite naudoti abi parinktis, kad įsitikintumėte, jog jos duoda tą patį rezultatą. Ir tai suteikia jums teisę tai užsirašyti c 2 = (a-b) 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b... Išsprendę gausite Pitagoro teoremos formulę c 2 = a 2 + b 2... Teorema įrodyta.

4 įrodymas

Šis keistas senovės kinų įrodymas vadinamas „Nuotakos kėde“ – dėl į kėdę panašios figūros, kuri išgaunama dėl visų konstrukcijų:

Jis naudoja piešinį, kurį jau matėme 3 paveiksle antrajame bandyme. O vidinis kvadratas su kraštine c yra sukonstruotas taip pat, kaip ir aukščiau pateiktame senovės Indijos įrodyme.

Jei mintyse nupjausite du žalius stačiakampius trikampius nuo piešinio 1 pav., perkelkite juos į priešingas kvadrato su c kraštine ir hipotenų puses, pritvirtinkite prie alyvinės spalvos trikampių įtvarų, gausite figūrą, vadinamą "nuotakos kėdė" (2 pav.). Aiškumo dėlei tą patį galite padaryti su popieriniais kvadratais ir trikampiais. Pamatysite, kad "nuotakos kėdę" sudaro du kvadratai: mažas su šonu b ir didelis su šonu a.

Šios konstrukcijos leido senovės Kinijos matematikams ir po jų prieiti prie išvados, kad c 2 = a 2 + b 2.

5 įrodymas

Tai dar vienas būdas rasti Pitagoro teoremos sprendimą, remiantis geometrija. Jis vadinamas Garfieldo metodu.

Sukurkite statųjį trikampį ABC... Turime tai įrodyti BC 2 = AC 2 + AB 2.

Norėdami tai padaryti, tęskite koją AS ir nubrėžkite linijos atkarpą CD kuri lygi kojai AB... Nuleiskite statmeną REKLAMA skyrius ED... Segmentai ED ir AS yra lygūs. Sujunkite taškus E ir V, taip pat E ir SU ir gaukite piešinį, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau:

Norėdami įrodyti bokštą, vėl kreipiamės į jau išbandytą metodą: dviem būdais raskite gautos figūros plotą ir prilyginkite išraiškas viena kitai.

Raskite daugiakampio plotą LOVA tai įmanoma sudėjus jį sudarančių trijų trikampių plotus. Ir vienas iš jų, TMV, yra ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. To taip pat nepamirštame AB = CD, AC = ED ir BC = CE- tai leis mums supaprastinti įrašymą ir jo neperkrauti. Taigi, S ABED = 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Be to, akivaizdu, kad LOVA Yra trapecija. Todėl jo plotą apskaičiuojame pagal formulę: S ABED = (DE + AB) * 1 / 2AD... Mūsų skaičiavimams patogiau ir aiškiau pavaizduoti segmentą REKLAMA kaip atkarpų suma AS ir CD.

Parašykime abu būdus, kaip apskaičiuoti figūros plotą, tarp jų padėdami lygybės ženklą: AB * AC + 1 / 2BC 2 = (DE + AB) * 1/2 (AC + CD)... Mes naudojame mums jau žinomą ir aukščiau aprašytą segmentų lygybę, kad supaprastintume dešinę žymėjimo pusę: AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1/2 (AB + AC) 2... Dabar išplėskime skliaustus ir pakeiskime lygybę: AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1 / 2AC 2 + 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2AB 2... Atlikę visas transformacijas, gauname būtent tai, ko mums reikia: BC 2 = AC 2 + AB 2... Įrodėme teoremą.

Žinoma, šis įrodymų sąrašas toli gražu nėra baigtas. Pitagoro teorema taip pat gali būti įrodyta naudojant vektorius, kompleksinius skaičius, diferencialines lygtis, stereometriją ir kt. Ir netgi fizika: jei, pavyzdžiui, skystis pilamas į kvadratinius ir trikampius tūrius, panašius į parodytus brėžiniuose. Pilant skystį galima įrodyti plotų lygybę ir dėl to pačią teoremą.

Keletas žodžių apie Pitagoro trynukus

Šis klausimas mažai nagrinėjamas arba visai nenagrinėjamas mokyklos programoje. Ir vis dėlto tai labai įdomu ir labai svarbu geometrijoje. Pitagoro trynukai naudojami daugeliui matematinių uždavinių spręsti. Jų idėja gali būti naudinga jums tolimesniam mokymuisi.

Taigi, kas yra Pitagoro trynukai? Taip vadinami natūralieji skaičiai, surinkti į tris, kurių dviejų kvadratų suma yra lygi trečiajam skaičiui kvadratu.

Pitagoro trynukai gali būti:

primityvus (visi trys skaičiai tarpusavyje yra pirminiai);
ne primityvus (jei kiekvienas trigubo skaičius padauginamas iš to paties skaičiaus, gaunamas naujas trigubas, kuris nėra primityvus).

Dar prieš mūsų erą senovės egiptiečius žavėjo Pitagoro trynukų skaičiaus manija: uždaviniuose jie laikė stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra 3,4 ir 5 vienetų. Beje, bet kuris trikampis, kurio kraštinės yra lygios skaičiams iš Pitagoro tripleto, pagal nutylėjimą yra stačiakampis.

Pitagoro trynukų pavyzdžiai: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) ir kt.

Praktinis teoremos taikymas

Pitagoro teorema pritaikoma ne tik matematikoje, bet ir architektūroje bei statybose, astronomijoje ir net literatūroje.

Pirma, apie konstrukciją: Pitagoro teorema joje plačiai taikoma sprendžiant įvairaus sudėtingumo problemas. Pavyzdžiui, pažiūrėkite į romaninį langą:

Lango plotį pažymėkime kaip b, tada puslankio spindulį galima žymėti kaip R ir išreikšti per b: R = b / 2... Mažesnių puslankių spindulys taip pat gali būti išreikštas per b: r = b / 4... Šioje užduotyje mus domina lango vidinio apskritimo spindulys (vadinkime jį p).

Pitagoro teorema tiesiog praverčia skaičiuojant R... Norėdami tai padaryti, naudojame stačiakampį trikampį, kuris paveikslėlyje pažymėtas punktyrine linija. Trikampio hipotenuzė susideda iš dviejų spindulių: b / 4 + p... Viena koja yra spindulys b / 4, kitas b / 2 p... Naudodami Pitagoro teoremą rašome: (b / 4 + p) 2 = (b / 4) 2 + (b / 2-p) 2... Toliau atidarome skliaustus ir gauname b 2/16 + bp / 2 + p 2 = b 2/16 + b 2/4-bp + p 2... Šią išraišką paverčiame į bp / 2 = b 2/4-bp... Ir tada padalinkite visus terminus iš b, duodame gauti panašius 3/2 * p = b / 4... Ir galų gale mes tai rasime p = b / 6– ko mums ir reikėjo.

Naudodami teoremą galite apskaičiuoti dvišlaičio stogo gegnės ilgį. Nustatykite, kokio aukščio reikia mobiliojo bokšto, kad signalas pasiektų tam tikrą gyvenvietę. Ir net visam laikui pastatė eglutę miesto aikštėje. Kaip matote, ši teorema gyvuoja ne tik vadovėlių puslapiuose, bet dažnai praverčia ir realiame gyvenime.

Kalbant apie literatūrą, Pitagoro teorema įkvėpė rašytojus nuo antikos laikų ir toliau tai daro mūsų laikais. Pavyzdžiui, XIX amžiaus vokiečių rašytojas Adelbertas von Chamisso buvo įkvėptas parašyti sonetą:

Tiesos šviesa greitai neišsklaidys,
Bet, spindintis, vargu ar išsisklaidys
Ir kaip prieš tūkstantmečius,
Nekels abejonių ir ginčų.

Išmintingiausias, kai paliečia akį
Tiesos šviesa, ačiū dievams;
Ir šimtas bulių, nudurtų, guli -
Abipusė laimingojo Pitagoro dovana.

Nuo tada jaučiai beviltiškai riaumoja:
Amžinai sunerimęs bulių gentis
Čia paminėtas įvykis.

Jiems atrodo: tuoj ateis laikas
Ir vėl jie bus paaukoti
Puiki teorema.

(vertė Viktoras Toporovas)

O dvidešimtajame amžiuje sovietų rašytojas Jevgenijus Veltistov savo knygoje „Elektronikos nuotykiai“ visą skyrių skyrė Pitagoro teoremos įrodymui. Ir dar pusė skyriaus iki istorijos apie dvimatį pasaulį, kuris galėtų egzistuoti, jei Pitagoro teorema taptų pagrindiniu vieno pasaulio įstatymu ir net religija. Jame gyventi būtų daug lengviau, bet ir daug nuobodžiau: pavyzdžiui, niekas ten nesupranta žodžių „apvalus“ ir „pūkuotas“ reikšmės.

O knygoje „Elektronikos nuotykiai“ autorius matematikos mokytojo Tarataro lūpomis sako: „Matematikoje svarbiausia – minties judėjimas, naujos idėjos“. Būtent iš šio kūrybinio minties skrydžio kyla Pitagoro teorema – ne veltui ji turi tiek daug įvairių įrodymų. Tai padeda peržengti pažįstamo ribas ir pažvelgti į pažįstamus dalykus naujai.

Išvada

Šis straipsnis buvo sukurtas tam, kad galėtumėte pažvelgti ne tik į mokyklinę matematikos programą ir sužinoti ne tik Pitagoro teoremos įrodymus, kurie pateikiami vadovėliuose „Geometrija 7-9“ (L. S. Atanasjanas, V. N. Rudenko) ir „Geometrija 7“. -11 "(AV Pogorelovas), bet ir kiti įdomūs būdai įrodyti garsiąją teoremą. Taip pat pamatykite pavyzdžius, kaip Pitagoro teorema gali būti taikoma kasdieniame gyvenime.

Pirma, ši informacija leis jums gauti aukštesnius balus matematikos pamokose – informacija šia tema iš papildomų šaltinių visada yra labai vertinama.

Antra, norėjome padėti jums pajusti, kokia įdomi yra matematika. Pateikdami konkrečius pavyzdžius įsitikinkite, kad jame visada yra vietos kūrybiškumui. Tikimės, kad Pitagoro teorema ir šis straipsnis įkvėps jūsų nepriklausomiems tyrinėjimams ir įdomiems matematikos ir kitų mokslų atradimams.

Pasakykite mums komentaruose, jei šiame straipsnyje pateikti įrodymai jums pasirodė įdomūs. Ar ši informacija jums buvo naudinga studijuojant? Parašykite mums, ką manote apie Pitagoro teoremą ir šį straipsnį – mums bus malonu visa tai aptarti su jumis.

tinklaraštį., visiškai ar iš dalies nukopijuojant medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.