Kampas tarp tiesių erdvėje vadinsime bet kurį iš gretimų kampų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.
Tegu erdvėje nurodytos dvi tiesės:
Akivaizdu, kad kampas tarp tiesių gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir. Kadangi tada pagal kampo tarp vektorių kosinuso formulę gauname
Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlygos yra lygiavertės jų krypties vektorių lygiagretumo ir statmenumo sąlygoms ir:
Du tiesiai lygiagrečiai tada ir tik tada, kai atitinkami jų koeficientai yra proporcingi, t.y. l 1 paralelė l 2 tada ir tik lygiagrečiai 
.
Du tiesiai statmenai tada ir tik tada, kai atitinkamų koeficientų sandaugų suma lygi nuliui:.
Turi tikslas tarp tiesės ir plokštumos
Tegul būna tiesiai d- nestatmena plokštumai θ;
d′ – tiesės projekcija d plokštumoje θ;
Mažiausias iš kampų tarp tiesių d ir d"Mes paskambinsime kampas tarp linijos ir plokštumos.
Pažymime kaip φ = ( d,θ)
Jeigu d⊥θ, tada ( d, θ) = π / 2
Oi→j→k→ - stačiakampė koordinačių sistema.
Plokštumos lygtis:
θ: Ax+Autorius+Cz+D=0
Darome prielaidą, kad tiesę nurodo taškas ir krypties vektorius: d[M 0,p→]
Vektorius n→(A,B,C)⊥θ
Tada belieka išsiaiškinti kampą tarp vektorių n→ ir p→ pažymime kaip γ = ( n→,p→).
Jei kampas γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Jei kampas γ> π / 2, tai ieškomas kampas φ = γ − π / 2
sinφ = sin (2π − γ) = cosγ
sinφ = sin (γ − 2π) = - cosγ
Tada kampas tarp linijos ir plokštumos galima apskaičiuoti pagal formulę:
sinφ = ∣cosγ∣ = ∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23
29 klausimas. Kvadratinės formos samprata. Kvadratinių formų ženklų apibrėžtumas.
Kvadratinė forma j (x 1, x 2, ..., x n) n realių kintamųjų x 1, x 2, ..., x n vadinama formos suma 
, (1)
kur a ij - kai kurie skaičiai, vadinami koeficientais. Neprarasdami bendrumo galime manyti, kad a ij = a ji.
Kvadratinė forma vadinama galiojantis, jeigu a ij
Î GR. Kvadratinės formos matrica vadinama matrica, sudaryta iš jos koeficientų. Kvadratinė forma (1) atitinka vienintelę simetrinę matricą 
T.y. A T = A... Todėl kvadratinė forma (1) gali būti įrašyta matricos forma j ( X) = x T Ax, kur x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Ir atvirkščiai, kiekviena simetrinė matrica (2) atitinka unikalią kvadratinę formą iki kintamųjų žymėjimo.
Pagal kvadratinės formos rangą vadinti jos matricos rangu. Kvadratinė forma vadinama neišsigimęs, jei jo matrica yra neišsigimusi A... (prisiminkime, kad matrica A vadinamas neišsigimusiu, jei jo determinantas nėra nulis). Priešingu atveju kvadratinė forma yra išsigimusi.
teigiamai apibrėžtas(arba griežtai teigiamas), jei
j ( X) > 0 , bet kam X = (X 1 , X 2 , …, x n), Be to X = (0, 0, …, 0).
Matrica A teigiama apibrėžtoji kvadratinė forma j ( X) taip pat vadinamas teigiamu apibrėžtuoju. Vadinasi, viena teigiama apibrėžtoji matrica atitinka teigiamą apibrėžtą kvadratinę formą ir atvirkščiai.
Kvadratinė forma (1) vadinama neigiamai apibrėžtas(arba griežtai neigiamas), jei
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), be to X = (0, 0, …, 0).
Panašiai kaip aukščiau, neigiamos apibrėžtos kvadratinės formos matrica taip pat vadinama neigiama apibrėžtąja.
Todėl teigiamai (neigiamai) apibrėžtoji kvadratinė forma j ( X) pasiekia mažiausią (maksimalų) reikšmę j ( X*) = 0 už X* = (0, 0, …, 0).
Atkreipkite dėmesį, kad dauguma kvadratinių formų nėra apibrėžtos, tai yra, jos nėra nei teigiamos, nei neigiamos. Tokios kvadratinės formos išnyksta ne tik koordinačių sistemos pradžioje, bet ir kituose taškuose.
Kada n> 2, kvadratinės formos apibrėžtumui patikrinti reikalingi specialūs kriterijai. Apsvarstykime juos.
Didieji nepilnamečiai kvadratinė forma vadinama nepilnamečiais:
tai yra 1, 2, ... eilės nepilnamečiai, n matricos A esantis viršutiniame kairiajame kampe, paskutinis iš jų sutampa su matricos determinantu A.
Teigiamo apibrėžtumo kriterijus (Sylvesterio kriterijus)
X) = x T Ax buvo teigiamas neabejotinas, būtina ir pakanka, kad visi pagrindiniai matricos nepilnamečiai A buvo teigiami, tai yra: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Neigiamo tikrumo kriterijus Kad kvadratinė forma j ( X) = x T Ax buvo neigiamai apibrėžtas, būtina ir pakanka, kad jo pagrindiniai porinės eilės nepilnamečiai būtų teigiami, o nelyginės – neigiami, t. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
Ši medžiaga skirta tokiai sąvokai kaip kampas tarp dviejų susikertančių tiesių. Pirmoje pastraipoje paaiškinsime, kas tai yra, ir parodysime tai iliustracijomis. Tada išanalizuosime, kokiais būdais galima rasti šio kampo sinusą, kosinusą ir patį kampą (atskirai nagrinėsime atvejus su plokštuma ir trimate erdve), pateiksime reikiamas formules ir pavyzdžiais parodysime kaip tiksliai jie taikomi praktikoje.
Kad suprastume, koks kampas susiformuoja susikertant dviem tiesioms linijoms, reikia atsiminti patį kampo apibrėžimą, statmenumą ir susikirtimo tašką.
1 apibrėžimas
Dvi tieses vadiname susikertančiomis, jei jos turi vieną bendrą tašką. Šis taškas vadinamas dviejų tiesių susikirtimo tašku.
Kiekviena linija susikirtimo tašku yra padalinta į spindulius. Šiuo atveju abi tiesios linijos sudaro 4 kampus, iš kurių du yra vertikalūs, o du yra gretimi. Jei žinome vieno iš jų matą, galime nustatyti ir kitus likusius.
Tarkime, žinome, kad vienas iš kampų lygus α. Šiuo atveju kampas, kuris yra vertikalus jo atžvilgiu, taip pat bus lygus α. Norėdami rasti likusius kampus, turime apskaičiuoti skirtumą 180 ° - α. Jei α yra lygus 90 laipsnių, tada visi kampai bus teisingi. Tiesės, susikertančios stačiu kampu, vadinamos statmenomis (statmens sąvokai skirtas atskiras straipsnis).
Pažvelkite į paveikslėlį:
Pereikime prie pagrindinio apibrėžimo formulavimo.
2 apibrėžimas
Kampas, kurį sudaro dvi susikertančios linijos, yra mažesnio iš 4 kampų, kuriuos sudaro dvi linijos, matas.
Iš apibrėžimo reikia padaryti svarbią išvadą: kampo dydis šiuo atveju bus išreikštas bet kokiu realiu skaičiumi intervale (0, 90]. Jei tiesės yra statmenos, tai kampas tarp jų bet kokiu atveju bus būti lygus 90 laipsnių.
Gebėjimas rasti kampo tarp dviejų susikertančių tiesių matą yra naudingas sprendžiant daugelį praktinių problemų. Sprendimo būdą galima pasirinkti iš kelių variantų.
Pradedantiesiems galime imtis geometrinių metodų. Jei ką nors žinome apie papildomus kampus, galime juos susieti su mums reikalingu kampu, naudodami lygių ar panašių formų savybes. Pavyzdžiui, jei mes žinome trikampio kraštines ir turime apskaičiuoti kampą tarp tiesių, kuriose yra šios kraštinės, tada mums tinka kosinuso teorema. Jei sąlygoje turime stačiakampį trikampį, tada skaičiavimams pravers ir kampo sinuso, kosinuso ir tangento žinios.
Koordinačių metodas taip pat labai patogus sprendžiant tokio tipo uždavinius. Paaiškinkime, kaip teisingai jį naudoti.
Turime stačiakampę (Dekarto) koordinačių sistemą O x y, kurioje pateiktos dvi tiesės. Pažymėkime juos raidėmis a ir b. Šiuo atveju tieses galima apibūdinti naudojant bet kokias lygtis. Originalios linijos turi susikirtimo tašką M. Kaip nustatyti reikiamą kampą (žymėti α) tarp šių tiesių?
Pradėkime suformuluodami pagrindinį kampo nustatymo tam tikromis sąlygomis principą.
Žinome, kad tiesės sąvoka yra glaudžiai susijusi su tokiomis sąvokomis kaip kryptis ir normalusis vektorius. Jei turime kokios nors tiesės lygtį, iš jos galime paimti šių vektorių koordinates. Tai galime padaryti dviem susikertančioms linijoms vienu metu.
Kampą, kurį sudaro dvi susikertančios linijos, galima rasti naudojant:
- kampas tarp krypties vektorių;
- kampas tarp normaliųjų vektorių;
- kampas tarp vienos tiesės normaliosios vektoriaus ir kitos krypties vektoriaus.
Dabar mes apsvarstysime kiekvieną metodą atskirai.
1. Tarkime, kad turime tiesę a su krypties vektoriumi a → = (a x, a y) ir tiesę b su krypties vektoriumi b → (b x, b y). Dabar atidėsime du vektorius a → ir b → nuo susikirtimo taško. Po to pamatysime, kad kiekvienas jų bus savo linijoje. Tada turime keturis jų santykinės padėties variantus. Žiūrėkite iliustraciją:
Jei kampas tarp dviejų vektorių nėra bukas, tai bus kampas, kurio mums reikia tarp susikertančių tiesių a ir b. Jei jis bukas, tada ieškomas kampas bus lygus kampui, esančiam greta kampo a →, b → ^. Taigi, α = a →, b → ^, jei a →, b → ^ ≤ 90 °, ir α = 180 ° - a →, b → ^, jei a →, b → ^> 90 °.
Remdamiesi tuo, kad lygių kampų kosinusai yra lygūs, gautas lygybes galime perrašyti taip: cos α = cos a →, b → ^, jei a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, jei a →, b → ^> 90 °.
Antruoju atveju buvo naudojamos redukcijos formulės. Šiuo būdu,
cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Paskutinę formulę parašykime žodžiais:
3 apibrėžimas
Dviejų susikertančių tiesių suformuoto kampo kosinusas bus lygus kampo tarp jo krypties vektorių kosinuso moduliui.
Bendras kampo tarp dviejų vektorių a → = (a x, a y) ir b → = (b x, b y) kosinuso formulės vaizdas atrodo taip:
cos a →, b → ^ = a →, b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Iš jo galime išvesti kampo tarp dviejų nurodytų tiesių kosinuso formulę:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tada patį kampą galima rasti naudojant šią formulę:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Čia a → = (a x, a y) ir b → = (b x, b y) yra duotųjų tiesių krypties vektoriai.
Pateiksime problemos sprendimo pavyzdį.
1 pavyzdys
Stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje pateiktos dvi susikertančios tiesės a ir b. Jas galima apibūdinti parametrinėmis lygtimis x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ir x 5 = y - 6 - 3. Apskaičiuokite kampą tarp šių linijų.
Sprendimas
Sąlygoje turime parametrinę lygtį, o tai reiškia, kad šiai tiesei galime iš karto užrašyti jos krypties vektoriaus koordinates. Norėdami tai padaryti, turime paimti parametro koeficientų reikšmes, t.y. tiesė x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R turės krypties vektorių a → = (4, 1).
Antroji tiesė aprašoma naudojant kanoninę lygtį x 5 = y - 6 - 3. Čia galime paimti koordinates iš vardiklių. Taigi ši linija turi krypties vektorių b → = (5, - 3).
Toliau einame tiesiai prie kampo nustatymo. Norėdami tai padaryti, mes tiesiog pakeičiame turimas dviejų vektorių koordinates į aukščiau pateiktą formulę α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2. Gauname šiuos dalykus:
α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Atsakymas: Šios tiesios linijos sudaro 45 laipsnių kampą.
Panašią problemą galime išspręsti radę kampą tarp normaliųjų vektorių. Jei turime tiesę a su normaliu vektoriumi na → = (nax, nay) ir tiesę b su normaliu vektoriumi nb → = (nbx, nby), tai kampas tarp jų bus lygus kampui tarp na → ir nb → arba kampas, kuris bus greta na →, nb → ^. Šis metodas parodytas paveikslėlyje:
Kampo tarp susikertančių tiesių ir paties šio kampo kosinuso apskaičiavimo formulės naudojant normalių vektorių koordinates atrodo taip:
cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n x 2 b y + n a y + n x by
Čia n a → ir n b → žymi dviejų duotųjų tiesių normaliuosius vektorius.
2 pavyzdys
Stačiakampėje koordinačių sistemoje dvi tiesės pateikiamos naudojant lygtis 3 x + 5 y - 30 = 0 ir x + 4 y - 17 = 0. Raskite kampo tarp jų sinusą, kosinusą ir paties šio kampo reikšmę.
Sprendimas
Pradinės tiesės pateikiamos naudojant įprastas tiesių lygtis, kurių forma yra A x + B y + C = 0. Normalusis vektorius žymimas n → = (A, B). Raskime vienos tiesės pirmojo normaliojo vektoriaus koordinates ir jas užrašykime: n a → = (3, 5). Antrajai tiesei x + 4 y - 17 = 0 normalusis vektorius turės koordinates n b → = (1, 4). Dabar gautas vertes pridėkime prie formulės ir apskaičiuokime bendrą sumą:
cos α = cos n a →, n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Jei žinome kampo kosinusą, galime apskaičiuoti jo sinusą naudodami pagrindinę trigonometrinę tapatybę. Kadangi tiesių sudarytas kampas α nėra bukas, tai sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
Šiuo atveju α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Atsakymas: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Panagrinėkime paskutinį atvejį – kampo tarp tiesių radimą, jei žinome vienos tiesės krypties vektoriaus ir kitos normaliojo vektoriaus koordinates.
Tarkime, kad tiesė a turi krypties vektorių a → = (a x, a y), o tiesė b yra normalusis vektorius n b → = (n b x, n b y). Turime atidėti šiuos vektorius nuo susikirtimo taško ir apsvarstyti visas jų santykinės padėties galimybes. Žiūrėkite paveikslėlyje:
Jei kampo tarp nurodytų vektorių reikšmė yra ne didesnė kaip 90 laipsnių, paaiškėja, kad kampą tarp a ir b jis papildys stačiu kampu.
a →, n b → ^ = 90 ° - α, jei a →, n b → ^ ≤ 90 °.
Jei jis yra mažesnis nei 90 laipsnių, gauname:
a →, n b → ^> 90 °, tada a →, n b → ^ = 90 ° + α
Naudodamiesi lygių kampų kosinusų lygybės taisykle, rašome:
cos a →, n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α kaip a →, n b → ^ ≤ 90 °.
cos a →, n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α kaip a →, n b → ^> 90 °.
Šiuo būdu,
sin α = cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^> 90 ° ⇔ sin α = cos a →, nb → ^, a →, nb → ^> 0 – cos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Suformuluosime išvadą.
4 apibrėžimas
Norėdami rasti kampo tarp dviejų tiesių, susikertančių plokštumoje, sinusą, turite apskaičiuoti kampo tarp pirmosios linijos krypties vektoriaus ir antrosios normalaus vektoriaus kosinuso modulį.
Užsirašykime reikiamas formules. Kampo sinuso radimas:
sin α = cos a →, n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Pačio kampo radimas:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Čia a → yra pirmosios eilutės krypties vektorius, o n b → yra antrosios eilutės normalusis vektorius.
3 pavyzdys
Dvi susikertančios tiesės pateiktos lygtimis x - 5 = y - 6 3 ir x + 4 y - 17 = 0. Raskite susikirtimo kampą.
Sprendimas
Iš pateiktų lygčių paimame krypties ir normaliųjų vektorių koordinates. Pasirodo, a → = (- 5, 3) ir n → b = (1, 4). Imame formulę α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ir apsvarstykite:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Atkreipkite dėmesį, kad lygtis paėmėme iš ankstesnės užduoties ir gavome lygiai tą patį rezultatą, bet skirtingu būdu.
Atsakymas:α = a r c sin 7 2 34
Čia yra dar vienas būdas rasti norimą kampą naudojant nurodytų tiesių linijų nuolydžius.
Turime tiesę a, kuri pateikiama stačiakampėje koordinačių sistemoje, naudojant lygtį y = k 1 x + b 1, ir tiesę b, kuri apibrėžiama kaip y = k 2 x + b 2. Tai tiesių linijų su nuolydžiu lygtys. Norėdami rasti susikirtimo kampą, naudokite formulę:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, kur k 1 ir k 2 yra pateiktų tiesių nuolydžiai. Šiam įrašui gauti buvo panaudotos kampo nustatymo normaliųjų vektorių koordinatėmis formulės.
4 pavyzdys
Plokštumoje yra dvi susikertančios tiesės, pateiktos lygtimis y = - 3 5 x + 6 ir y = - 1 4 x + 17 4. Apskaičiuokite susikirtimo kampą.
Sprendimas
Mūsų linijų nuolydžiai yra k 1 = - 3 5 ir k 2 = - 1 4. Pridėkite juos prie formulės α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ir apskaičiuokite:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Atsakymas:α = a r c cos 23 2 34
Šios pastraipos išvadose reikia pažymėti, kad čia pateiktų kampo nustatymo formulių nereikia mokytis mintinai. Norėdami tai padaryti, pakanka žinoti nurodytų tiesių kreiptuvų ir (arba) normaliųjų vektorių koordinates ir mokėti jas nustatyti naudojant skirtingų tipų lygtis. Bet kampo kosinuso skaičiavimo formules geriau atsiminti arba užsirašyti.
Kaip apskaičiuoti kampą tarp susikertančių tiesių erdvėje
Tokio kampo apskaičiavimą galima redukuoti iki krypties vektorių koordinačių apskaičiavimo ir šių vektorių suformuoto kampo reikšmės nustatymo. Tokiems pavyzdžiams naudojamas tas pats samprotavimas, kurį pateikėme anksčiau.
Tarkime, kad turime stačiakampę koordinačių sistemą, esančią 3D erdvėje. Jį sudaro dvi tiesės a ir b su susikirtimo tašku M. Norėdami apskaičiuoti krypties vektorių koordinates, turime žinoti šių linijų lygtis. Žymime krypties vektorius a → = (a x, a y, a z) ir b → = (b x, b y, b z). Norėdami apskaičiuoti kampo tarp jų kosinusą, naudojame formulę:
cos α = cos a →, b → ^ = a →, b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Norėdami rasti patį kampą, mums reikia šios formulės:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
5 pavyzdys
Turime tiesę, apibrėžtą trimatėje erdvėje, naudojant lygtį x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Yra žinoma, kad jis susikerta su O z ašimi. Apskaičiuokite susikirtimo kampą ir to kampo kosinusą.
Sprendimas
Apskaičiuojamą kampą pažymėkime raide α. Užrašykime pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinates - a → = (1, - 3, - 2). Taikomajai ašiai kaip kryptį galime paimti koordinačių vektorių k → = (0, 0, 1). Gavome reikiamus duomenis ir galime pridėti prie reikiamos formulės:
cos α = cos a →, k → ^ = a →, k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Dėl to gavome, kad kampas, kurio mums reikia, bus lygus a r c cos 1 2 = 45 °.
Atsakymas: cos α = 1 2, α = 45 °.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter
Tegul dvi tiesės l ir m plokštumoje Dekarto koordinačių sistemoje pateikiamos bendrosiomis lygtimis: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
Normalių vektoriai į duotąsias eilutes: = (A 1, B 1) - į tiesę l,
= (A 2, B 2) - į tiesę m.
Tegu j yra kampas tarp tiesių l ir m.
Kadangi kampai su viena kitai statmenomis kraštinėmis yra lygūs arba sumuojami iki p, tada 
, tai yra, cos j =.
Taigi, mes įrodėme šią teoremą.
Teorema. Tegul j yra kampas tarp dviejų tiesių plokštumoje, o šios tiesės Dekarto koordinačių sistemoje pateikiamos bendrosiomis lygtimis A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada cos j = 
.
Pratimai.
1) Išveskite kampo tarp tiesių skaičiavimo formulę, jei:
(1) abi linijos apibrėžtos parametriškai; (2) abi eilutės pateiktos kanoninėmis lygtimis; (3) viena tiesė nurodyta parametriškai, kita tiesė - bendrąja lygtimi; (4) abi tiesės pateiktos lygtimi su nuolydžiu.
2) Tegul j yra kampas tarp dviejų tiesių plokštumoje, o šias tieses pateikia Dekarto koordinačių sistema lygtimis y = k 1 x + b 1 ir y = k 2 x + b 2.
Tada tg j =.
3) Ištirkite santykinę dviejų tiesių padėtį, nurodytą Dekarto koordinačių sistemos bendrosiomis lygtimis, ir užpildykite lentelę:
Atstumas nuo taško iki tiesės plokštumoje.
Tegul tiesė l plokštumoje Dekarto koordinačių sistemoje pateikiama pagal bendrąją lygtį Ax + By + C = 0. Raskime atstumą nuo taško M (x 0, y 0) iki tiesės l.
Atstumas nuo taško M iki tiesės l yra statmenos HM ilgis (H Î l, HM ^ l).
Vektorius ir normalusis vektorius tiesei l yra kolinearūs, todėl | | = | | | | ir | | =.
Tegu taško H koordinatės (x, y).
Kadangi taškas H priklauso tiesei l, tai Ax + By + C = 0 (*).
Vektorių ir: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B) koordinatės.
| | = 
= 
= 
(C = -Ax – pagal, žr. (*))
Teorema. Tegul tiesė l Dekarto koordinačių sistemoje pateikiama pagal bendrąją lygtį Ax + By + C = 0. Tada atstumas nuo taško M (x 0, y 0) iki šios tiesės apskaičiuojamas pagal formulę: r (M; l) = .
Pratimai.
1) Išveskite atstumo nuo taško iki tiesės apskaičiavimo formulę, jei: (1) tiesė nurodyta parametriškai; (2) tiesė nurodoma kanoninėmis lygtimis; (3) tiesi linija pateikiama lygtimi su nuolydžiu.
2) Parašykite tiesės 3x - y = 0 apskritimo liestinės, kurios centras yra Q (-2,4), lygtį.
3) Parašykite tiesių lygtis, dalijančias per pusę tiesių 2x + y - 1 = 0 ir x + y + 1 = 0 susikirtimo suformuotus kampus.
§ 27. Analitinis plokštumos apibrėžimas erdvėje
Apibrėžimas. Normalus vektorius plokštumai vadinsime nulinį vektorių, kurio bet kuris atstovas yra statmenas duotai plokštumai.
komentuoti. Akivaizdu, kad jei bent vienas vektoriaus atstovas yra statmenas plokštumai, tai visi kiti vektoriaus atstovai yra statmeni šiai plokštumai.
Tegu yra pateikta Dekarto koordinačių sistema erdvėje.
Tegu plokštuma a duota, = (A, B, C) yra normalusis vektorius šiai plokštumai, taškas M (x 0, y 0, z 0) priklauso plokštumai a.
Bet kuriam plokštumos a taškui N (x, y, z) vektoriai ir yra stačiakampiai, tai yra jų skaliarinė sandauga lygi nuliui: = 0. Paskutinę lygybę įrašome koordinatėmis: A (x - x 0) + B (y – y 0) + C (z – z 0) = 0.
Tegul -Ax 0 - pagal 0 - Cz 0 = D, tada Ax + By + Cz + D = 0.
Paimkite tašką K (x, y), kad Ax + By + Cz + D = 0. Kadangi D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, tada A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0. Kadangi nukreiptos atkarpos koordinatės = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), paskutinė lygybė reiškia, kad ^, taigi, K Î a.
Taigi, mes įrodėme šią teoremą:
Teorema. Bet kurią plokštumą erdvėje Dekarto koordinačių sistemoje galima nurodyti lygtimi, kurios forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), kur (A, B, C) yra normalaus vektoriaus koordinates šiai plokštumai.
Priešingai irgi tiesa.
Teorema. Bet kuri Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) lygtis Dekarto koordinačių sistemoje apibrėžia tam tikrą plokštumą, o (A, B, C) yra normaliosios koordinatės. vektorius į šią plokštumą.
Įrodymas.
Paimkite tašką M (x 0, y 0, z 0), kad Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 ir vektorius = (A, B, C) (≠ q).
Plokštuma (ir, be to, tik viena) eina per tašką M, statmeną vektoriui. Pagal ankstesnę teoremą ši plokštuma pateikiama lygtimi Ax + By + Cz + D = 0.
Apibrėžimas. Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) lygtis vadinama bendroji plokštumos lygtis.
Pavyzdys.
Parašykime plokštumos, einančios per taškus M (0,2,4), N (1, -1,0) ir K (-1,0,5), lygtį.
1. Raskite normalaus vektoriaus į plokštumą (MNK) koordinates. Kadangi vektoriaus sandauga ´ yra statmena nekolineariniams vektoriams, o vektorius yra kolinearinis ´.
= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);
´ = 
,
´ = (-11, 3, -5).
Taigi, kaip normalų vektorių, mes naudojame vektorių = (-11, 3, -5).
2. Dabar naudojame pirmosios teoremos rezultatus:
duotosios plokštumos lygtis A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0, kur (A, B, C) yra normaliojo vektoriaus koordinatės, (x 0) , y 0, z 0) - taško, esančio plokštumoje (pavyzdžiui, taško M), koordinatės.
11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) = 0
11x + 3y - 5z + 14 = 0
Atsakymas: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.
Pratimai.
1) Parašykite plokštumos lygtį, jei
(1) plokštuma eina per tašką M (-2,3,0), lygiagrečiai plokštumai 3x + y + z = 0;
(2) plokštumoje yra (Ox) ašis ir ji yra statmena plokštumai x + 2y - 5z + 7 = 0.
2) Parašykite plokštumos, einančios per šiuos tris taškus, lygtį.
§ 28. Analitinis puserdvės apibrėžimas *
komentaras*... Tegul kokia nors plokštuma pasitaiso. Pagal pusiau erdvė turime omenyje taškų aibę, esančią vienoje duotosios plokštumos pusėje, tai yra, du taškai yra vienoje puserdvėje, jei juos jungianti atkarpa šios plokštumos nekerta. Šis lėktuvas vadinamas šios puserdvės riba... Šios plokštumos ir pusiau erdvės sąjunga bus vadinama uždara pusiau erdvė.
Tegul Dekarto koordinačių sistema yra fiksuota erdvėje.
Teorema. Tegu plokštuma a pateikiama pagal bendrąją lygtį Ax + By + Cz + D = 0. Tada vieną iš dviejų puservių, į kurias plokštuma a dalija erdvę, duota nelygybe Ax + By + Cz + D> 0 , o antrąją puserdvę suteikia nelygybė Ax + By + Cz + D< 0.
Įrodymas.
Atidėkime normalųjį vektorių = (A, B, C) į plokštumą a nuo taško M (x 0, y 0, z 0), esančio šioje plokštumoje: =, M Î a, MN ^ a. Padalinkite plokštumą į dvi pustarpes: b 1 ir b 2. Akivaizdu, kad taškas N priklauso vienai iš šių puservių. Neprarasdami bendrumo, manysime, kad N Î b 1.
Įrodykime, kad puserdvė b 1 pateikta nelygybe Ax + By + Cz + D> 0.
1) Puserdvėje b 1 paimkite tašką K (x, y, z). Kampas л NMK yra kampas tarp vektorių ir yra smailus, todėl šių vektorių skaliarinė sandauga yra teigiama:> 0. Šią nelygybę užrašome koordinatėmis: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) > 0, tai yra, Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0> 0.
Kadangi M Î b 1, tai Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, todėl -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Todėl paskutinę nelygybę galima užrašyti taip: Ax + By + Cz + D> 0.
2) Paimkite tašką L (x, y), kad Ax + By + Cz + D> 0.
Perrašome nelygybę, pakeisdami D į (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (nes M Î b 1, tada Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)> 0.
Vektorius su koordinatėmis (x - x 0, y - y 0, z - z 0) yra vektorius, todėl išraiška A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) galima suprasti kaip vektorių ir taškinę sandaugą. Kadangi vektorių ir skaliarinė sandauga yra teigiama, kampas tarp jų yra smailusis ir taško L Î b 1.
Panašiai galima įrodyti, kad puserdvė b 2 pateikta nelygybe Ax + By + Cz + D< 0.
Pastabos.
1) Aišku, kad aukščiau pateiktas įrodymas nepriklauso nuo taško M pasirinkimo plokštumoje a.
2) Aišku, kad viena ir ta pati puserdvė gali būti nurodyta skirtingomis nelygybėmis.
Priešingai irgi tiesa.
Teorema. Bet kuri tiesinė nelygybė, kurios forma Ax + By + Cz + D> 0 (arba Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.
Įrodymas.
Lygtis Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) erdvėje apibrėžia tam tikrą plokštumą a (žr. §…). Kaip įrodyta ankstesnėje teoremoje, viena iš dviejų puservių, į kurias plokštuma dalija erdvę, yra pateikta nelygybe Ax Ax + By + Cz + D> 0.
Pastabos.
1) Aišku, kad uždarą puserdvę galima nurodyti negriežta tiesine nelygybe, o bet kuri negriežta tiesinė nelygybė Dekarto koordinačių sistemoje apibrėžia uždarą puserdvę.
2) Bet kurį išgaubtą daugiakampį galima apibrėžti kaip uždarų puserdvių (kurių ribos yra plokštumos, kuriose yra daugiakampio paviršiai) sankirta, tai yra, analitiškai - negriežtų tiesinių nelygybių sistema.
Pratimai.
1) Įrodykite dvi pateiktas teoremas savavališkai afininei koordinačių sistemai.
2) Ar tiesa, kad bet kuri negriežtų tiesinių nelygybių sistema apibrėžia išgaubtą daugiakampį?
Pratimas.1) Ištirkite dviejų plokštumų santykinę padėtį, pateiktą bendrosiomis lygtimis Dekarto koordinačių sistemoje, ir užpildykite lentelę.
Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi tiesės y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, smailusis kampas tarp šių tiesių bus apibrėžtas kaip
Dvi tiesės yra lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1 / k 2.
Teorema. Tiesės Ax + Vy + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 yra lygiagrečios, kai proporciniai koeficientai A 1 = λA, B 1 = λB. Jei taip pat С 1 = λС, tai linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.
Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis
Statmenai šiai linijai
Apibrėžimas. Tiesi linija, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y = kx + b, pavaizduota lygtimi:
Atstumas nuo taško iki linijos
Teorema. Jei nurodytas taškas M (x 0, y 0), atstumas iki tiesės Ax + Vy + C = 0 nustatomas kaip
.
Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į nurodytą tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:
(1)
Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:
Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną tam tikrai tiesei, lygtis. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,
tada išspręsdami gauname:
Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:
Teorema įrodyta.
Pavyzdys... Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ = p / 4.
Pavyzdys... Parodykite, kad tiesės 3x - 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y - 3 = 0 yra statmenos.
Sprendimas... Randame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, todėl tiesės yra statmenos.
Pavyzdys... Pateikiamos trikampio A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.
Sprendimas... Randame kraštinės AB lygtį: 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
Reikalinga aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b. k =. Tada y =. Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: 
iš kur b = 17. Iš viso:. 
Atsakymas: 3 x + 2 y - 34 = 0.
Tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikra kryptimi, lygtis. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis. Kampas tarp dviejų tiesių. Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. Dviejų tiesių susikirtimo taško nustatymas
1. Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nulemta nuolydžio k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ši lygtis apibrėžia tiesių linijų, einančių per tašką, pluoštą A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.
2. Tiesios linijos, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2) parašyta taip:
Tiesės, einančios per du duotus taškus, nuolydis nustatomas pagal formulę
3. Kampas tarp tiesių linijų A ir B vadinamas kampas, kuriuo reikia pasukti pirmąją tiesiąją A aplink šių linijų susikirtimo tašką prieš laikrodžio rodyklę, kol jis sutampa su antrąja linija B... Jei dvi tiesės pateiktos lygtimis su nuolydžiu
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
tada kampas tarp jų nustatomas pagal formulę
Atkreipkite dėmesį, kad trupmenos skaitiklyje pirmosios tiesės nuolydis atimamas iš antrosios tiesės nuolydžio.
Jei tiesės lygtys pateiktos bendra forma
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
kampas tarp jų nustatomas pagal formulę
4. Dviejų linijų lygiagretumo sąlygos:
a) Jei tiesės pateiktos lygtimis (4) su nuolydžiu, tada būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra jų nuolydžių lygybė:
k 1 = k 2 . (8)
b) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos (6) bendrosios formos lygtimis, būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra ta, kad koeficientai atitinkamose srovės koordinatėse jų lygtyse yra proporcingi, t.y.
5. Dviejų linijų statmenumo sąlygos:
a) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos lygtimis (4) su nuolydžiu, būtina ir pakankama jų statmenumo sąlyga yra ta, kad jų nuolydžiai būtų abipusio dydžio ir priešingi pagal ženklą, t.y.
Šią sąlygą taip pat galima įrašyti formoje
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Jei tiesių lygtys pateiktos bendra forma (6), tai jų statmenumo sąlyga (būtina ir pakankama) yra lygybės įvykdymas
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos sprendžiant (6) lygčių sistemą. Tiesios linijos (6) susikerta tada ir tik tada
1. Parašykite per tašką M einančių tiesių, kurių viena lygiagreti, o kita statmena duotai tiesei l, lygtis.
1 problema
Raskite kampo tarp tiesių $ \ frac (x + 3) (5) = \ frac (y-2) (- 3) = \ frac (z-1) (4) $ ir $ \ left \ kosinusą (\ pradžia (masyvas ) (c) (x = 2 \ cdot t-3) \\ (y = -t + 1) \\ (z = 3 \ cdot t + 5) \ pabaiga (masyvas) \ dešinė. $ .
Tegul erdvėje pateikiamos dvi eilutės: $ \ frac (x-x_ (1)) (m_ (1)) = \ frac (y-y_ (1)) (n_ (1)) = \ frac (z-z_ () 1 )) (p_ (1)) $ ir $ \ frac (x-x_ (2)) (m_ (2)) = \ frac (y-y_ (2)) (n_ (2)) = \ frac (z) - z_ (2)) (p_ (2)) $. Pasirinkite savavališką erdvės tašką ir per jį nubrėžkite dvi pagalbines linijas, lygiagrečias duomenims. Kampas tarp šių linijų yra bet kuris iš dviejų gretimų kampų, suformuotų statybinėmis linijomis. Vieno iš kampų tarp tiesių kosinusą galima rasti naudojant gerai žinomą formulę $ \ cos \ phi = \ frac (m_ (1) \ cdot m_ (2) + n_ (1) \ cdot n_ (2) + p_ (1) \ cdot p_ ( 2)) (\ sqrt (m_ (1) ^ (2) + n_ (1) ^ (2) + p_ (1) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (m_ ( 2) ^ (2) + n_ ( 2) ^ (2) + p_ (2) ^ (2))) $. Jei reikšmė $ \ cos \ phi> 0 $, tada gaunamas smailus kampas tarp tiesių, jei $ \ cos \ phi
Pirmosios eilutės kanoninės lygtys: $ \ frac (x + 3) (5) = \ frac (y-2) (- 3) = \ frac (z-1) (4) $.
Antrosios tiesės kanonines lygtis galima gauti iš parametrinių:
\ \ \
Taigi šios eilutės kanoninės lygtys yra: $ \ frac (x + 3) (2) = \ frac (y-1) (- 1) = \ frac (z-5) (3) $.
Skaičiuojame:
\ [\ cos \ phi = \ frac (5 \ cdot 2+ \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-1 \ right) +4 \ cdot 3) (\ sqrt (5 ^ (2) + \ kairė (-3 \ dešinė) ^ (2) + 4 ^ (2)) \ cdot \ sqrt (2 ^ (2) + \ kairė (-1 \ dešinė) ^ (2) + 3 ^ (2))) = \ frac (25) (\ sqrt (50) \ cdot \ sqrt (14)) \ apytiksliai 0,9449. \]
2 užduotis
Pirmoji eilutė eina per duotus taškus $ A \ left (2, -4, -1 \ right) $ ir $ B \ left (-3,5,6 \ right) $, antroji eilutė eina per duotus taškus $ C \ kairė (1, -2,8 \ dešinė) $ ir $ D \ kairė (6,7, -2 \ dešinė) $. Raskite atstumą tarp šių linijų.
Tegul kuri nors tiesė yra statmena tiesėms $ AB $ ir $ CD $ ir susikerta jas atitinkamai taškuose $ M $ ir $ N $. Esant tokioms sąlygoms, atkarpos $ MN $ ilgis yra lygus atstumui tarp linijų $ AB $ ir $ CD $.
Sukuriame vektorių $ \ overline (AB) $:
\ [\ overline (AB) = \ kairė (-3-2 \ dešinė) \ cdot \ bar (i) + \ left (5- \ left (-4 \ right) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ kairė (6- \ kairė (-1 \ dešinė) \ dešinė) \ cdot \ bar (k) = - 5 \ cdot \ bar (i) +9 \ cdot \ bar (j) +7 \ cdot \ bar (k) ) \]
Tegul atkarpa, vaizduojanti atstumą tarp tiesių, eina per tašką $ M \ kairėje (x_ (M), y_ (M), z_ (M) \ dešinėje) $ tiesėje $ AB $.
Sukuriame vektorių $ \ overline (AM) $:
\ [\ overline (AM) = \ kairė (x_ (M) -2 \ dešinė) \ cdot \ bar (i) + \ kairė (y_ (M) - \ kairė (-4 \ dešinė) \ dešinė) \ cdot \ juosta (j) + \ kairė (z_ (M) - \ kairė (-1 \ dešinė) \ dešinė) \ cdot \ juosta (k) = \] \ [= \ kairė (x_ (M) -2 \ dešinė) \ cdot \ bar (i) + \ kairė (y_ (M) +4 \ dešinė) \ cdot \ bar (j) + \ kairė (z_ (M) +1 \ dešinė) \ cdot \ bar (k). \]
Vektoriai $ \ overline (AB) $ ir $ \ overline (AM) $ yra vienodi, todėl yra kolineariniai.
Yra žinoma, kad jei vektoriai $ \ overline (a) = x_ (1) \ cdot \ overline (i) + y_ (1) \ cdot \ overline (j) + z_ (1) \ cdot \ overline (k) $ ir $ \ overline (b) = x_ (2) \ cdot \ overline (i) + y_ (2) \ cdot \ overline (j) + z_ (2) \ cdot \ overline (k) $ yra kolinearinės, tada jų koordinatės yra proporcingas, tada yra $ \ frac (x _ ((\ it 2))) ((\ it x) _ ((\ it 1))) = \ frac (y _ ((\ it 2))) ((\ it y) _ ( (\ it 1))) = \ frac (z _ ((\ it 2))) ((\ it z) _ ((\ it 1))) $.
$ \ frak (x_ (M) -2) (- 5) = \ frac (y_ (M) +4) (9) = \ frac (z_ (M) +1) (7) = m $, kur $ m $ yra padalijimo rezultatas.
Iš čia gauname: $ x_ (M) -2 = -5 \ cdot m $; $ y_ (M) + 4 = 9 \ cdot m $; $ z_ (M) + 1 = 7 \ cdot m $.
Galiausiai gauname taško $ M $ koordinačių išraiškas:
Sukuriame vektorių $ \ overline (CD) $:
\ [\ overline (CD) = \ kairė (6–1 \ dešinė) \ cdot \ juosta (i) + \ kairė (7- \ kairė (-2 \ dešinė) \ dešinė) \ cdot \ juosta (j) + \ kairėje (-2–8 \ dešinėje) \ cdot \ bar (k) = 5 \ cdot \ bar (i) +9 \ cdot \ bar (j) -10 \ cdot \ bar (k). \]
Tegul atstumą tarp tiesių žymintis segmentas eina per tašką $ N \ kairėje (x_ (N), y_ (N), z_ (N) \ dešinėje) $ tiesėje $ CD $.
Sukuriame vektorių $ \ overline (CN) $:
\ [\ overline (CN) = \ left (x_ (N) -1 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (y_ (N) - \ left (-2 \ right) \ right) \ cdot \ juosta (j) + \ kairė (z_ (N) -8 \ dešinė) \ cdot \ bar (k) = \] \ [= \ kairė (x_ (N) -1 \ dešinė) \ ctaškas \ juosta (i) + \ kairė (y_ (N) +2 \ dešinė) \ cdot \ bar (j) + \ kairė (z_ (N) -8 \ dešinė) \ cdot \ bar (k). \]
Vektoriai $ \ overline (CD) $ ir $ \ overline (CN) $ sutampa, todėl yra kolineariniai. Taikome vektorių kolineariškumo sąlygą:
$ \ frac (x_ (N) -1) (5) = \ frac (y_ (N) +2) (9) = \ frac (z_ (N) -8) (- 10) = n $, kur $ n $ yra padalijimo rezultatas.
Iš čia gauname: $ x_ (N) -1 = 5 \ cdot n $; $ y_ (N) + 2 = 9 \ cdot n $; $ z_ (N) -8 = -10 \ cdot n $.
Galiausiai gauname taško $ N $ koordinačių išraiškas:
Sukuriame vektorių $ \ overline (MN) $:
\ [\ overline (MN) = \ kairė (x_ (N) -x_ (M) \ dešinė) \ cdot \ bar (i) + \ kairė (y_ (N) -y_ (M) \ dešinė) \ cdot \ bar (j) + \ kairė (z_ (N) -z_ (M) \ dešinė) \ cdot \ bar (k). \]
Pakeiskite taškų $ M $ ir $ N $ koordinates išraiškomis:
\ [\ overline (MN) = \ kairė (1 + 5 \ cdot n- \ left (2-5 \ cdot m \ right) \ right) \ cdot \ bar (i) + \] \ [+ \ left (- 2 + 9 \ cdot n- \ left (-4 + 9 \ cdot m \ right) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (8-10 \ cdot n- \ left (-1 + 7 \ cdot) m \ dešinėje) \ dešinėje) \ cdot \ bar (k). \]
Atlikę veiksmus, gauname:
\ [\ overline (MN) = \ kairė (-1 + 5 \ cdot n + 5 \ cdot m \ right) \ cdot \ bar (i) + \ kairė (2 + 9 \ cdot n-9 \ cdot m \ right) ) \ cdot \ bar (j) + \ kairė (9–10 \ cdot n-7 \ cdot m \ right) \ cdot \ bar (k). \]
Kadangi linijos $ AB $ ir $ MN $ yra statmenos, atitinkamų vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, tai yra $ \ overline (AB) \ cdot \ overline (MN) = 0 $:
\ [- 5 \ cdot \ left (-1 + 5 \ cdot n + 5 \ cdot m \ right) +9 \ cdot \ left (2 + 9 \ cdot n-9 \ cdot m \ right) +7 \ cdot \ kairėn (9-10 \ cdot n-7 \ cdot m \ dešinė) = 0; \] \
Atlikę veiksmus, gauname pirmąją lygtį $ m $ ir $ n $ nustatymui: $ 155 \ cdot m + 14 \ cdot n = 86 $.
Kadangi linijos $ CD $ ir $ MN $ yra statmenos, atitinkamų vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, tai yra $ \ overline (CD) \ cdot \ overline (MN) = 0 $:
\ \ [- 5 + 25 \ cdot n + 25 \ cdot m + 18 + 81 \ cdot n-81 \ cdot m-90 + 100 \ cdot n + 70 \ cdot m = 0. \]
Atlikę veiksmus, gauname antrą lygtį, skirtą $ m $ ir $ n $ nustatyti: $ 14 \ cdot m + 206 \ cdot n = 77 $.
Raskite $ m $ ir $ n $ išspręsdami lygčių sistemą $ \ left \ (\ begin (masyvas) (c) (155 \ cdot m + 14 \ cdot n = 86) \\ (14 \ cdot m + 206 \ cdot n = 77) \ pabaiga (masyvas) \ dešinė. $.
Taikome Cramerio metodą:
\ [\ Delta = \ left | \ pradžia (masyvas) (cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | = 31734; \] \ [\ Delta _ (m) = \ left | \ pradžia (masyvas) (cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | = 16638; \] \ [\ Delta _ (n) = \ left | \ pradžia (masyvas) (cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | = 10731; \ ] \
Raskite taškų $ M $ ir $ N $ koordinates:
\ \
Pagaliau:
Galiausiai įrašome vektorių $ \ overline (MN) $:
$ \ overline (MN) = \ kairė (2,691- \ kairė (-0,6215 \ dešinė) \ dešinė) \ cdot \ bar (i) + \ kairė (1,0438-0,7187 \ dešinė) \ cdot \ juosta (j) + \ kairė (4,618-2,6701 \ dešinė) \ cdot \ bar (k) $ arba $ \ overline (MN) = 3,3125 \ cdot \ bar (i) +0,3251 \ cdot \ bar (j) +1,9479 \ cdot \ bar (k) $ .
Atstumas tarp tiesių $ AB $ ir $ CD $ yra vektoriaus $ \ overline (MN) $ ilgis: $ d = \ sqrt (3,3125 ^ (2) + 0,3251 ^ (2) + 1,9479 ^ ( 2) ) \ maždaug 3,8565 USD liniją. vienetų