16.1. Elementariųjų funkcijų išplėtimas Taylor serijoje ir
Maclaurinas
Parodykime, kad jei aibėje apibrėžta savavališka funkcija 
, netoli taško 
turi daug išvestinių ir yra laipsnių eilutės suma:
tada galima rasti šios serijos koeficientus.
Pakaitalas galios eilėje 
... Tada 
.
Raskite pirmąją funkcijos išvestinę 
:
At 
:
.
Dėl antrosios išvestinės gauname:
At 
:
.
Tęsiant šią procedūrą n kai tik gausime: 
.
Taigi, mes gavome formos laipsnius:
,
kuris vadinamas šalia Teiloro už funkciją 
taško apylinkėse 
.
Ypatingas Taylor serijos atvejis yra Maclaurin serija adresu 
:
Likusi Taylor (Maclaurin) serijos dalis gaunama išmetus pagrindines eilutes n pirmieji nariai ir žymimi kaip 
... Tada funkcija 
galima parašyti kaip sumą n ankstyvieji numerio nariai 
o likusią dalį 
:,
.
Likusi dalis paprastai yra 
išreikštas skirtingomis formulėmis.
Vienas iš jų yra Lagrange forma:
, kur 
.
.
Atkreipkite dėmesį, kad praktikoje Maclaurin serija naudojama dažniau. Taigi, norint parašyti funkciją 
laipsnių eilutės suma, būtina:
1) rasti Maclaurin (Taylor) eilučių koeficientus;
2) rasti gautų laipsnių eilučių konvergencijos sritį;
3) įrodyti, kad duotoji eilutė konverguoja į funkciją 
.
Teorema1
(būtina ir pakankama Maclaurino eilučių konvergencijos sąlyga). Tegul serijos konvergencijos spindulys 
... Kad ši serija suartėtų intervale 
funkcionuoti 
, būtina ir pakanka, kad sąlyga būtų įvykdyta: 
nurodytu intervalu.
2 teorema. Jei funkcijos bet kurios eilės išvestinės 
tam tikru intervalu 
absoliučia verte apribotas tuo pačiu skaičiumi M, tai yra 
, tada šiame intervale funkcija 
gali būti išplėsta į Maclaurin seriją.
Pavyzdys1
.
Išplėskite Taylor seriją aplink tašką 
funkcija.
Sprendimas.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Konvergencijos regionas 
.
Pavyzdys2
.
Išplėsti funkciją 
Teiloro eilėje aplink tašką 
.
Sprendimas:
Raskite funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Mes pakeičiame šias reikšmes iš eilės. Mes gauname:
arba 
.
Raskime šios eilutės konvergencijos sritį. Pagal d'Alemberto bruožą serija susilieja, jei
.
Todėl bet kuriam 
ši riba yra mažesnė nei 1, todėl eilučių konvergencijos sritis bus: 
.
Panagrinėkime keletą pagrindinių elementariųjų funkcijų Maclaurin serijos išplėtimo pavyzdžių. Prisiminkite, kad Maclaurin serija:
.
susilieja į intervalą 
funkcionuoti 
.
Atminkite, kad norint išplėsti funkciją serijoje, būtina:
a) raskite šios funkcijos Maklaurino eilučių koeficientus;
b) apskaičiuokite gautų eilučių konvergencijos spindulį;
c) įrodyti, kad gauta eilutė konverguoja į funkciją 
.
3 pavyzdys. Apsvarstykite funkciją 
.
Sprendimas.
Apskaičiuokime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę 
.
Tada serijos skaitiniai koeficientai yra:
bet kam n. Pakeiskite rastus koeficientus į Maclaurin seriją ir gaukite: 
Raskite gautų eilučių konvergencijos spindulį, būtent:
.
Vadinasi, serija susilieja į intervalą 
.
Ši serija susilieja su funkcija 
bet kokioms vertybėms 
nes bet koks tarpas 
funkcija 
o jo išvestines absoliučia verte riboja skaičius 
.
Pavyzdys4
.
Apsvarstykite funkciją 
.
Sprendimas.
:
Nesunku pastebėti, kad tolygios eilės vediniai 
, o išvestinės yra nelyginės eilės. Rastus koeficientus pakeičiame į Maclaurin seriją ir gauname išplėtimą:
Raskime šios eilutės konvergencijos intervalą. Remiantis d'Alembert:
bet kam 
... Vadinasi, serija susilieja į intervalą 
.
Ši serija susilieja su funkcija 
, nes visi jo dariniai apsiriboja vienu.
Pavyzdys5
.
.
Sprendimas.
Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties 
:
Taigi šios serijos koeficientai: 
ir 
, taigi:
Panašiai kaip ir ankstesnėje eilutėje, konvergencijos regionas 
... Serija susilieja su funkcija 
, nes visi jo dariniai apsiriboja vienu.
Atkreipkite dėmesį, kad funkcija 
nelyginis ir serijos plėtimas nelyginiais laipsniais, funkcija 
- tolygus ir serijos išplėtimas lygiomis galiomis.
Pavyzdys6
.
Dvejetainė serija: 
.
Sprendimas.
Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties 
:
Iš to aišku, kad:
Pakeiskite šias Maclaurin serijos koeficientų reikšmes ir gaukite šios funkcijos išplėtimą galios eilutėje:
Raskite šios eilutės konvergencijos spindulį:
Vadinasi, serija susilieja į intervalą 
... Ribiniuose taškuose ties 
ir 
eilutė gali suartėti arba nekonverguoti priklausomai nuo eksponento 
.
Tiriamos serijos susilieja su intervalu 
funkcionuoti 
, tai yra mokesčio suma 
adresu 
.
Pavyzdys7
.
Išplėskime funkciją Maclaurin serijoje 
.
Sprendimas.
Norėdami išplėsti šią funkciją serijomis, naudojame dvinarę eilutę 
... Mes gauname: 
Remdamiesi laipsnių eilučių savybe (laipsnių eilutę galima integruoti jos konvergencijos srityje), randame šios eilutės kairiosios ir dešinės pusės integralą:
Raskime šios serijos konvergencijos sritį: 
,
tai yra, šios eilutės konvergencijos sritis yra intervalas 
... Apibrėžkime eilučių konvergenciją intervalo galuose. At 
... Ši eilutė yra harmoninga, tai yra, ji skiriasi. At 
gauname skaičių eilutę su bendru terminu 
.
Leibnizo serija susilieja. Taigi šios eilutės konvergencijos sritis yra intervalas 
.
16.2. Galios serijų taikymas apytiksliuose skaičiavimuose
Apytiksliuose skaičiavimuose galios eilutės vaidina labai svarbų vaidmenį. Jų pagalba buvo sudarytos trigonometrinių funkcijų lentelės, logaritmų lentelės, kitų funkcijų reikšmių lentelės, kurios naudojamos įvairiose žinių srityse, pavyzdžiui, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje. Be to, funkcijų išplėtimas laipsnio eilutėje yra naudingas jų teoriniam tyrimui. Apytiksliuose skaičiavimuose naudojant laipsnio eilutes pagrindinė problema yra klaidos įvertinimas, kai serijos suma pakeičiama jos pirmosios suma. n nariai.
Apsvarstykite du atvejus:
funkcija išplečiama į kintamąsias serijas;
funkcija išplečiama į pastovią seriją.
Skaičiavimas naudojant kintamąsias eilutes
Tegul funkcija 
išplėsta į kintamos galios eilutę. Tada apskaičiuojant šią funkciją konkrečiai vertei 
gauname skaitinę eilutę, kuriai galima pritaikyti Leibnizo testą. Pagal šią savybę, jei serijos suma pakeičiama jos pirmosios suma n terminai, tada absoliuti paklaida neviršija pirmo likusios šios serijos dalies, ty: 
.
Pavyzdys8
.
Apskaičiuoti 
tikslumas 0,0001.
Sprendimas.
Tam naudosime Maclaurin seriją 
, pakeičiant kampo reikšmę radianais:
Jei palyginsime pirmąją ir antrąją serijos sąlygas tam tikru tikslumu, tada:
Trečiasis plėtros terminas:
mažesnis už nurodytą skaičiavimo tikslumą. Todėl norint apskaičiuoti 
užtenka palikti du serialo narius, t
.
Šiuo būdu 
.
Pavyzdys9
.
Apskaičiuoti 
0,001 tikslumu.
Sprendimas.
Naudosime dvinario eilutės formulę. Norėdami tai padaryti, parašykite 
kaip: 
.
Šioje išraiškoje 
,
Palyginkime kiekvieną iš serijos narių nurodytu tikslumu. Tai aišku 
... Todėl norint apskaičiuoti 
užtenka palikti tris eilės narius.
arba 
.
Skaičiavimas naudojant teigiamas eilutes
Pavyzdys10
.
Apskaičiuokite skaičių 
tikslumu 0,001.
Sprendimas.
Iš eilės funkcijai 
pakaitalas 
... Mes gauname:
Įvertinkime paklaidą, kuri atsiranda, kai eilutės suma pakeičiama pirmosios suma 
nariai. Užrašykime akivaizdžią nelygybę:
tai yra 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Pagal problemos būklę reikia rasti n kad galiotų ši nelygybė: 
arba 
.
Nesunku tai patikrinti n= 6:
.
Vadinasi, 
.
Pavyzdys11
.
Apskaičiuoti 
0,0001 tikslumu.
Sprendimas.
Atminkite, kad norint apskaičiuoti logaritmus, funkcijai galima taikyti seriją 
, tačiau ši serija konverguoja labai lėtai, o norint pasiekti nurodytą tikslumą reikėtų paimti 9999 terminus! Todėl logaritmams apskaičiuoti, kaip taisyklė, funkcijos serija 
kuris susilieja į intervalą 
.
Paskaičiuokime 
naudojant šią eilutę. Leisti 
, tada 
.
Vadinasi, 
,
Norint apskaičiuoti 
tam tikru tikslumu imame pirmųjų keturių terminų sumą: 
.
Likusios eilutės 
išmesti. Įvertinkime klaidą. Tai akivaizdu 
arba 
.
Taigi eilėje, kuri buvo naudojama skaičiuojant, užteko paimti tik pirmuosius keturis funkcijos eilės narius, o ne 9999 
.
Savęs patikrinimo klausimai
1. Kas yra Taylor serija?
2. Kokios buvo Maclaurin serijos?
3. Suformuluokite funkcijos išplėtimo teoremą Teiloro eilutėje.
4. Parašykite pagrindinių funkcijų Maclaurin serijos išplėtimą.
5. Nurodykite nagrinėjamų eilučių konvergencijos sritis.
6. Kaip įvertinti apytikslių skaičiavimų paklaidą naudojant galių eilutes?
Jei funkcija f (x) turi visų eilių išvestines tam tikrame intervale, kuriame yra taškas a, tada jai galima pritaikyti Teiloro formulę:
,
kur r n- vadinamoji liekana arba likusi serijos dalis, ją galima įvertinti naudojant Lagranžo formulę:
, kur skaičius x yra tarp x ir a.
Funkcijų įvedimo taisyklės:
Jei už kokią nors vertę X r n→ 0 už n→ ∞, tada riboje Teiloro formulė šiai reikšmei virsta konvergentine Taylor serija:
,
Taigi funkcija f (x) gali būti išplėsta Taylor serijoje nagrinėjamame taške x, jei:
1) turi visų eilučių išvestinius;
2) sudarytos eilutės konverguoja šioje vietoje.
Jei a = 0, gauname eilutę, vadinamą netoli Maclaurino:
,
Paprasčiausių (elementarių) funkcijų išplėtimas Maclaurin serijoje:
Orientacinės funkcijos
, R = ∞
Trigonometrinės funkcijos 
, R = ∞ 
, R = ∞
, (-π / 2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx nesiplečia x laipsniais, nes ctg0 = ∞
Hiperbolinės funkcijos
Logaritminės funkcijos
, -1
Dvejetainė serija
.
1 pavyzdys. Išplėskite funkciją laipsnių serijoje f (x) = 2x.
Sprendimas... Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmes X=0
f (x) = 2x, f ( 0)
= 2 0
=1;
f "(x) = 2x ln2, f "( 0)
= 2 0
ln2 = ln2;
f "" (x) = 2x 2 2, f "" ( 0)
= 2 0
ln 2 2 = ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2x ln n 2, f (n) ( 0)
= 2 0
ln n 2 = ln n 2.
Pakeisdami gautas išvestinių vertes į Taylor serijos formulę, gauname:
Šios eilutės konvergencijos spindulys lygus begalybei, todėl ši plėtra galioja -∞<x<+∞.
2 pavyzdys. Parašykite Taylor seriją galiomis ( X+4) funkcijai f (x) = e x.
Sprendimas... Raskite funkcijos e išvestines x ir jų vertės taške X=-4.
f (x)= e x, f (-4)
= e -4
;
f "(x)= e x, f "(-4)
= e -4
;
f "" (x)= e x, f "" (-4)
= e -4
;
…
f (n) (x)= e x, f (n) ( -4)
= e -4
.
Todėl reikiamos Taylor funkcijos serijos forma yra tokia:
Šis išskaidymas galioja ir -∞<x<+∞.
3 pavyzdys. Išplėsti funkciją f (x)= ln x galių serijoje ( X- 1),
(t. y. Taylor serijoje netoli taško X=1).
Sprendimas... Raskite šios funkcijos išvestinius.
f (x) = lnx,,,,
f (1) = ln1 = 0, f "(1) = 1, f" "(1) = - 1, f" "" (1) = 1 * 2, ..., f (n) = (- 1) n-1 (n-1)!
Pakeitę šias reikšmes į formulę, gauname reikiamą Taylor seriją:
Naudojant d'Alembert testą, galima įsitikinti, kad serijos konverguoja ½x-1½<1 . Действительно,
Serija susilieja, jei ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X= 2 gauname kintamąją eilutę, atitinkančią Leibnizo testo sąlygas. Jei x = 0, funkcija neapibrėžta. Taigi Teiloro eilutės konvergencijos sritis yra pusiau atviras intervalas (0; 2]).
4 pavyzdys. Išplėskite funkciją laipsnio serijoje. 5 pavyzdys. Išplėskite Maclaurin funkciją. komentuoti
.
Šis metodas pagrįstas funkcijos išplėtimo laipsnių eilutėje unikalumo teorema. Šios teoremos esmė ta, kad šalia to paties taško negalima gauti dviejų skirtingų laipsnių eilučių, kurios susilietų į tą pačią funkciją, kad ir kaip būtų atlikta jos išplėtimas. 5a pavyzdys. Išplėskite funkciją Maclaurin eilutėje, nurodykite konvergencijos sritį. Trupmeną 3 / (1-3x) galima žiūrėti kaip be galo mažėjančios geometrinės progresijos su vardikliu 3x sumą, jei | 3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
6 pavyzdys. Išplėskite funkciją Teiloro serijoje šalia taško x = 3. Pavyzdys Nr.7. Funkcijos ln (x + 2) laipsniais (x -1) parašykite Teiloro eilutę. 8 pavyzdys. Išplėskite funkciją f (x) = sin (πx / 4) Teiloro eilutėje šalia taško x = 2. 1 pavyzdys. Apskaičiuokite ln (3) 0,01 tikslumu. 2 pavyzdys. Apskaičiuokite 0,0001 tikslumu. 3 pavyzdys. Įvertinkite integralą ∫ 0 1 4 sin (x) x iki 10 -5. 4 pavyzdys. Integralą ∫ 0 1 4 e x 2 įvertinkite 0,001 tikslumu.
Kaip į svetainę įterpti matematines formules? Jei kada nors prireiks prie tinklalapio pridėti vieną ar dvi matematines formules, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių, kuriuos Wolfram Alpha automatiškai generuoja, pavidalu. Be paprastumo, šis universalus metodas padės pagerinti jūsų svetainės matomumą paieškos sistemose. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet morališkai pasenęs. Jei savo svetainėje reguliariai naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią „JavaScript“ biblioteką, kuri žiniatinklio naršyklėse, naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą, rodo matematinius užrašus. Yra du būdai pradėti naudoti MathJax: (1) naudodami paprastą kodą, galite greitai prijungti prie savo svetainės MathJax scenarijų, kuris tinkamu metu bus automatiškai įkeltas iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) Įkelkite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas, kuris yra sudėtingesnis ir reikalaujantis daug laiko, pagreitins jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir po 5 minučių savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis. Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo versijas, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba iš dokumentacijos puslapio:
Vienas iš šių kodo variantų turi būti nukopijuotas ir įklijuotas į jūsų tinklalapio kodą, geriausia tarp žymų Lengviausias būdas prijungti „MathJax“ yra „Blogger“ arba „WordPress“: savo svetainės prietaisų skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją anksčiau pateikto įkėlimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau šablono pradžia (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasiruošę į savo svetainės tinklalapius įterpti matematines formules. Bet koks fraktalas statomas pagal tam tikrą taisyklę, kuri nuosekliai taikoma neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija. Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodus kubus. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 gretimi kubeliai. Rezultatas yra rinkinys, susidedantis iš likusių 20 mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, jau susidedantį iš 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą be galo, gauname Menger kempinę. Aukštosios matematikos studentai turėtų žinoti, kad tam tikros laipsnių eilutės, priklausančios mums duotam eilučių konvergencijos intervalui, suma yra ištisinė ir be galo daug kartų diferencijuota funkcija. Kyla klausimas: ar galima teigti, kad duota savavališka funkcija f (x) yra tam tikros laipsnių eilutės suma? Tai yra, kokiomis sąlygomis f-ija f (x) gali būti pavaizduota laipsnių eilute? Tokio klausimo svarba slypi tame, kad f-yu f (x) galima apytiksliai pakeisti kelių pirmųjų laipsnių eilutės narių suma, tai yra daugianario. Šis funkcijos pakeitimas gana paprasta išraiška – daugianario – patogus ir sprendžiant kai kuriuos uždavinius, būtent: sprendžiant integralus, skaičiuojant ir pan. Įrodyta, kad kai kuriems fu ir f (x), kuriuose galima apskaičiuoti išvestines iki (n + 1) eilės, įskaitant pastarąją, kaimynystėje (α - R; x 0 + R) tam tikras taškas x = α tai galioja formulė: Ši formulė pavadinta garsaus mokslininko Brooko Tayloro vardu. Serija, gauta iš ankstesnės, vadinama Maclaurin serija: Taisyklė, leidžianti išplėsti Maclaurin seriją: R n (x) -> 0 kaip n -> begalybė. Jei toks yra, joje funkcija f (x) turi sutapti su Maclaurin serijos suma. Dabar panagrinėkime Maclaurin seriją atskiroms funkcijoms. 1. Taigi pirmasis bus f (x) = e x. Žinoma, pagal savo požymius tokia funkcija turi įvairios eilės išvestines, o f (k) (x) = e x, kur k lygus visoms Pakeiskite x = 0. Gauname f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1,2 ... Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, eilutė e x atrodys taip: 2. Maklaurino eilutė funkcijai f (x) = sin x. Iš karto paaiškinkime, kad visų nežinomųjų f-s turės išvestines, be f "(x) = cos x = sin (x + n / 2), f" "(x) = -sin x = sin (x + 2 *) n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), kur k yra lygus bet kuriam natūraliajam skaičiui. Tai yra, atlikę paprastus skaičiavimus, galime padaryti išvadą kad f (x) = sin x eilutė bus tokios formos: 3. Dabar pabandykime apsvarstyti f-yu f (x) = cos x. Visiems nežinomiesiems jis turi savavališkos eilės išvestinius ir | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так: Taigi, mes išvardijome svarbiausias funkcijas, kurias galima išplėsti iki Maclaurin serijos, tačiau kai kurioms funkcijoms jas papildo Taylor serija. Dabar išvardinsime ir juos. Taip pat verta paminėti, kad Taylor ir Maclaurin serijos yra svarbi aukštosios matematikos eilių sprendimo seminaro dalis. Taigi, Taylor gretas. 1. Pirmoji bus f-ii f (x) = ln (1 + x) eilutė. Kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, esant tam tikram f (x) = ln (1 + x), galime pridėti eilutę naudodami bendrą Maclaurin serijos formą. tačiau Maclaurin seriją šiai funkcijai galima gauti daug paprasčiau. Integravę tam tikrą geometrinę eilutę, gauname tokios imties f (x) = ln (1 + x) eilutę: 2. O antrasis, kuris mūsų straipsnyje bus galutinis, bus f (x) = arctan x serija. Jei x priklauso intervalui [-1; 1], galioja skilimas: Tai viskas. Šiame straipsnyje buvo nagrinėjamos dažniausiai naudojamos Taylor ir Maclaurin serijos aukštojoje matematikoje, ypač ekonomikos ir technikos universitetuose. Funkcijų išskaidymas iš Taylor, Maclaurin ir Laurent serijų praktinių įgūdžių lavinimo svetainėje. Šis funkcijos serijos išplėtimas suteikia matematikams idėją įvertinti apytikslę funkcijos reikšmę tam tikru jos apibrėžimo srities tašku. Apskaičiuoti tokią funkcijos reikšmę yra daug lengviau, palyginti su Bredis lentelės naudojimu, kuri taip nereikšminga skaičiavimo amžiuje. Funkcijos išplėtimas Taylor serijoje reiškia koeficientų skaičiavimą prieš šios serijos tiesines funkcijas ir užrašymą teisinga forma. Mokiniai painioja šias dvi eilutes, nesuprasdami, kas yra bendrasis atvejis, o koks ypatingas antrosios. Vieną kartą ir visiems laikams primename, kad Maclaurin serija yra ypatingas Taylor serijos atvejis, tai yra, tai yra Taylor serija, bet taške x = 0. Visi trumpi pranešimai apie žinomų funkcijų, tokių kaip e ^ x, išplėtimą , Sin (x), Cos (x) ir kiti, tai yra Taylor serijos išplėtimai, bet argumento taške 0. Sudėtingo argumento funkcijoms Laurent'o serija yra dažniausia TFKP užduotis, nes ji reiškia dvipusę begalinę seriją. Tai dviejų eilučių suma. Kviečiame pažvelgti į skaidymo pavyzdį tiesiai svetainėje, tai labai lengva padaryti spustelėjus „Pavyzdys“ su bet kokiu numeriu, o tada – mygtuką „Sprendimas“. Būtent su tokiu funkcijos serijos išplėtimu yra susieta didžioji eilutė, kuri riboja pradinę funkciją tam tikrame ordinatės regione, jei kintamasis priklauso abscisių sričiai. Vektorinė analizė susiduria su kita įdomia matematikos disciplina. Kadangi kiekvieną terminą reikia ištirti, procesas užtrunka daug laiko. Bet kuri Taylor serija gali būti siejama su Maclaurin serija, pakeičiant x0 nuliu, tačiau Maclaurin serijoje kartais nėra akivaizdu, kad Taylor serija vaizduojama atgal. Lyg ir neprivaloma to daryti gryna forma, bet tai įdomu bendrai saviugdai. Kiekviena Laurent serija atitinka dvipusę begalinę laipsnių eilutę sveikaisiais z-a laipsniais, kitaip tariant, to paties Teiloro tipo eilutę, tačiau skaičiuojant koeficientus šiek tiek skiriasi. Apie Laurento eilučių konvergencijos sritį pakalbėsime kiek vėliau, atlikę keletą teorinių skaičiavimų. Kaip ir praėjusiame amžiuje, laipsniškas funkcijos išplėtimas serijoje vargu ar gali būti pasiektas tik suvedus terminus į bendrą vardiklį, nes vardikliuose esančios funkcijos yra nelinijinės. Norint apytiksliai apskaičiuoti funkcinę vertę, reikia suformuluoti uždavinius. Pagalvokite apie tai, kad kai Taylor serijos argumentas yra tiesinis kintamasis, tada plėtimasis vyksta keliais veiksmais, bet visiškai kitoks vaizdas, kai sudėtinga arba netiesinė funkcija veikia kaip išplėstinės funkcijos argumentas, tada procesas Tokios funkcijos atvaizdavimas laipsnių eilutėje yra akivaizdus, nes toks Taigi lengva apskaičiuoti, nors ir apytikslę, vertę bet kuriame apibrėžimo srities taške su minimalia paklaida, kuri turi mažai įtakos tolesniems skaičiavimams. Tai taip pat taikoma Maclaurin serijai. kai reikia apskaičiuoti funkciją nuliniame taške. Tačiau pati Laurent serija čia pavaizduota plokštuminiu skaidymu su įsivaizduojamais vienetais. Taip pat teisingas problemos sprendimas bendro proceso eigoje neapsieis be sėkmės. Matematikoje šis požiūris nėra žinomas, bet objektyviai egzistuoja. Dėl to galite padaryti išvadą apie vadinamuosius taškinius poaibius, o išplečiant funkciją serijoje, reikia taikyti šiam procesui žinomus metodus, tokius kaip išvestinių teorijos taikymas. Dar kartą įsitikinome mokytojo, padariusio savo prielaidas apie atliktų skaičiavimų rezultatus, teisingumu. Atkreipkite dėmesį, kad Taylor serija, gauta pagal visus matematikos kanonus, egzistuoja ir yra apibrėžta visoje skaitinėje ašyje, tačiau, mieli svetainės paslaugos vartotojai, nepamirškite originalios funkcijos tipo, nes ji gali pasirodyti kad iš pradžių reikia nustatyti funkcijos apibrėžimo apimtį, tai yra įrašyti ir neįtraukti iš tolesnių svarstymų tuos taškus, kuriuose funkcija nėra apibrėžta realiųjų skaičių diapazone. Tai reiškia, kad tai parodys jūsų greitumą sprendžiant problemą. Maclaurin serijos su nuline argumento verte konstravimas nėra išimtis. Tuo pačiu metu niekas neatšaukė funkcijos apibrėžimo srities paieškos, ir jūs turite rimtai žiūrėti į šį matematinį veiksmą. Jei Laurent serijoje yra pagrindinė dalis, parametras "a" bus vadinamas izoliuotu vienaskaitos tašku, o Laurent serija bus išplėsta žiedu - tai yra jos dalių konvergencijos sričių sankirta, iš kurios atitinkama bus teorema. Tačiau ne viskas taip sudėtinga, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio nepatyrusiam studentui. Išstudijavus tik Taylor seriją, galima nesunkiai suprasti Laurent seriją – apibendrintą skaičių erdvės išplėtimo atvejį. Bet koks funkcijos išplėtimas į seriją gali būti atliktas tik funkcijos srities taške. Reikėtų atsižvelgti į tokių funkcijų savybes, pavyzdžiui, periodiškumą arba begalinį diferencijavimą. Taip pat siūlome naudoti paruoštų Taylor serijos elementarių funkcijų išplėtimų lentelę, nes viena funkcija gali būti pavaizduota iki dešimčių skirtingų galios eilučių, kurias galima pamatyti naudojant mūsų internetinį skaičiuotuvą. Internetinę Maclaurin seriją nesunku nustatyti, jei naudojatės unikalia svetainės paslauga, tereikia įvesti teisingą įrašytą funkciją ir per kelias sekundes gausite pateiktą atsakymą, jis bus garantuotas tikslus ir standartinė rašytinė forma. Rezultatą galite iš karto perrašyti į švarią kopiją, kuri bus pristatyta mokytojui. Būtų teisinga pirmiausia nustatyti nagrinėjamos funkcijos analitiškumą žieduose, o tada vienareikšmiškai teigti, kad Laurent serijoje ją galima išplėsti visuose tokiuose žieduose. Svarbu nepamiršti Laurent serijos narių, turinčių neigiamus laipsnius. Sutelkite į tai kuo daugiau dėmesio. Naudokite Laurent'o teoremą apie funkcijos išplėtimą sveikųjų skaičių laipsniais.
Sprendimas... Išplėtime (1) pakeičiame x į -x 2, gauname:
, -∞
Sprendimas... Mes turime
Naudodami (4) formulę galime parašyti:
vietoj x formulėje -x, gauname:
Iš čia randame: ln (1 + x) -ln (1-x) = -
Išplėsdami skliaustus, pertvarkydami serijos sąlygas ir sumažinę panašius terminus, gauname
... Ši eilutė susilieja intervale (-1; 1), nes ji gaunama iš dviejų eilučių, kurių kiekviena suartėja šiame intervale.
Formulės (1) - (5) taip pat gali būti naudojamos atitinkamoms funkcijoms išplėsti Taylor serijoje, t.y. funkcijoms plėsti teigiamus sveikuosius laipsnius ( Ha). Norėdami tai padaryti, per tam tikrą funkciją reikia atlikti tokias identiškas transformacijas, kad būtų gauta viena iš funkcijų (1) - (5), kurioje vietoj X kainuoja k ( Ha) m, kur k yra pastovus skaičius, m yra teigiamas sveikasis skaičius. Dažnai patogu keisti kintamąjį t=Ha ir išplėskite gautą funkciją t atžvilgiu Maclaurino serijoje.
Sprendimas. Pirmiausia raskite 1-x-6x 2 = (1-3x) (1 + 2x),.
į pradinę:
su konvergencijos sritimi | x |< 1/3.
Sprendimas... Šią problemą, kaip ir anksčiau, galima išspręsti naudojant Taylor serijos apibrėžimą, kuriai reikia rasti funkcijos išvestines ir jų reikšmes X= 3. Tačiau bus lengviau naudoti esamą skaidymą (5):
=
Gautos eilutės konverguoja ties arba –3
Sprendimas.
Serija susilieja ties arba -2< x < 5.
Sprendimas... Padarykime pakeitimą t = x-2:
Naudodami išplėtimą (3), kuriame vietoj x pakeičiame π / 4 t, gauname:
Gauta eilutė konverguoja į nurodytą funkciją ties -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Apytiksliai skaičiavimai naudojant galios seriją
Galios serijos plačiai naudojamos apytiksliems skaičiavimams. Su jų pagalba tam tikru tikslumu galite apskaičiuoti šaknų, trigonometrinių funkcijų, skaičių logaritmų, apibrėžtųjų integralų reikšmes. Serija taip pat naudojama integruojant diferencialines lygtis.
Apsvarstykite funkcijos išplėtimą laipsnių eilutėje:
Norint apskaičiuoti apytikslę funkcijos reikšmę tam tikrame taške X priklausantis nurodytų eilučių konvergencijos sričiai, pirmasis n nariai ( n Yra baigtinis skaičius), o likę terminai atmetami:
Norint įvertinti gautos apytikslės reikšmės paklaidą, reikia įvertinti išmestą likutį r n (x). Tam naudojami šie metodai:
Sprendimas... Naudokime skaidymą, kur x = 1/2 (žr. 5 pavyzdį ankstesnėje temoje):
Patikrinkime, ar galime atmesti likutį po pirmųjų trijų plėtimosi narių, tam įvertiname naudodami be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą:
Taigi galime išmesti šią likutį ir gauti
Sprendimas... Naudokime dvinarę eilutę. Kadangi 5 3 yra sveikojo skaičiaus, artimiausio 130, kubas, skaičių 130 patartina pavaizduoti kaip 130 = 5 3 +5. 
kadangi jau ketvirtasis gautos kintamos eilės narys, atitinkantis Leibnizo kriterijų, yra mažesnis už reikalaujamą tikslumą:
, todėl jo ir po jo einančių narių galima atmesti.
Daugelio praktiškai būtinų apibrėžtųjų arba netinkamų integralų negalima apskaičiuoti naudojant Niutono-Leibnizo formulę, nes jos taikymas yra susijęs su antidarinės suradimu, kuri elementariose funkcijose dažnai neturi išraiškos. Taip pat atsitinka, kad rasti antidarinį įmanoma, bet be reikalo sunku. Tačiau, jei integralas išplečiamas į laipsnių eilutę, o integravimo ribos priklauso šios eilutės konvergencijos intervalui, tada galimas apytikslis integralo apskaičiavimas iš anksto nustatytu tikslumu.
Sprendimas... Atitinkamas neapibrėžtas integralas negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis, t.y. yra „nepalaužiamas integralas“. Čia neįmanoma pritaikyti Niutono-Leibnizo formulės. Apskaičiuokime integralą apytiksliai.
Padalijus seriją už nuodėmę x ant x, mes gauname: 
Integruodami šią eilutę po termino (tai įmanoma, nes integravimo ribos priklauso šios eilutės konvergencijos intervalui), gauname:
Kadangi gauta serija tenkina Leibnizo sąlygas, pakanka paimti pirmųjų dviejų dėmenų sumą, kad gautume norimą reikšmę tam tikru tikslumu.
Taigi, mes randame 
.
Sprendimas.
... Patikrinkime, ar galime atmesti likutį po antrojo gautos serijos termino.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.
