Çözüm Bul aracının yardımıyla büyük ölçüde kolaylaştırılabilecek birçok sorun vardır. Ancak bunu yapmak için, çalışma sayfasını, değişkenler ve formüller arasındaki ilişkileri iyi anlamanız gereken çözümler bulmaya uygun bir modele göre düzenleyerek başlamak gerekir. Problem ifadesi genellikle ana zorluk olmasına rağmen, modeli hazırlamak için harcanan zaman ve çaba tamamen haklıdır, çünkü elde edilen sonuçlar doğru planlanmadığı takdirde kaynakları israf etmekten kurtarabilir, optimal finansal yönetim yoluyla karları artırmaya yardımcı olabilir veya en iyiyi belirlemeye yardımcı olabilir. üretim hacimlerinin, stokların ve ürün adlarının oranı.
özünün arkasında optimizasyon sorunu belirli bir üretim sürecinin, dağıtımının, depolanmasının, işlenmesinin, taşınmasının, satın alınmasının veya satılmasının, bir dizi hizmetin yerine getirilmesinin vb. matematiksel bir modelidir. Bu, aşağıdaki gibi yaygın bir matematik problemidir: Verilen/Bul/Varsayılan, ancak birçok olası çözümü olan. Bu nedenle, optimizasyon problemi, olası seçenekler kümesinden en iyiyi, optimali seçme problemidir. Bu sorunun çözümü denir plan veya program, örneğin, diyorlar - bir üretim planı veya bir yeniden yapılanma programı. Yani bunlar örneğin maksimum karı verecek üretim miktarını bulmamız gereken bilinmeyenlerdir. Optimizasyon problemi, bir ekstremum, yani belirli bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerinin aranmasıdır. amaç fonksiyonuörneğin, kar - gelir eksi maliyetlerin bir fonksiyonu olabilir. Dünyadaki her şey (zaman, para, doğal ve insan kaynakları) sınırlı olduğu için optimizasyon problemlerinde her zaman kesin olan şeyler vardır. kısıtlamalarörneğin, parça üretimi için işletmedeki metal, işçi ve takım tezgahlarının miktarı. Aşağıdaki, çok basit bir optimizasyon probleminin tasarımına bir örnektir, ancak onun yardımıyla, pratik optimizasyon problemlerini çözmenin etkinliği için bir tablo oluşturma hakkında organizasyonu kolayca anlayabilirsiniz.
Bir şirket belirli bir fiyata iki tür ürün (iyi A ve mal B) ürettiğinde klasik bir sorunumuz var, bunların üretimi 4 tür kaynak gerektiriyor (kaynak 1, kaynak 2, kaynak 3, kaynak 4). belirli bir miktarda (Stok) şirkette, sırasıyla A malları ve B malları olmak üzere bir birim çıktı üretmek için her bir kaynağın ne kadar gerekli olduğu hakkında bilgi vardır. A mallarının ve B mallarının maksimize eden miktarını bulmanız gerekir. gelir (gelir) (bkz. Şekil).
Ardından, kısıtlamalar, plan ve amaç fonksiyonu arasındaki ilişkileri kurmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, formülü girdiğimiz ek bir sütun (Kullanılmış) oluşturuyoruz. SUMPRODUCT(Norm; Plan). Norm, A ve B mallarının bir birim çıktısının üretimi için belirli bir kaynağın maliyetidir ve Plan, aradığımız üretim miktarıdır. Gelir hücrelerine formülü girin SUMPRODUCT(Fiyat; Plan). Böylece Kullanılmış sütununu ve Gelir hücresini formüllerle doldurduk. Plan, kullanılan kaynak miktarının ve gelirin bağlı olduğu bir değişken olduğundan, formüllerin bulunduğu hücreler, çözüm arayışı sonucunda doğrudan orada görünen verilere bağlıdır. Yukarıdakilerden, her bir optimizasyon probleminin mutlaka üç bileşeni olması gerektiği sonucuna varabiliriz:
Bilinmeyen(aradığımız şey, yani bir plan);
sınırlama bilinmeyenlere (arama alanı);
amaç fonksiyonu(bir ekstremum aradığımız hedef).
Güçlü veri analiz aracı mükemmel bir eklentidir Çözücü (Çözüm arayın). Yardımı ile, belirtilen etki hücrelerinin hangi değerlerinde hedef hücredeki formülün istenen değeri aldığını (minimum, maksimum veya bir değere eşit) belirleyebilirsiniz. Çözüm arama prosedürü için limitler belirleyebilirsiniz ve aynı etkileyen hücrelerin kullanılması gerekli değildir. Ayar noktasını hesaplamak için çeşitli matematiksel arama yöntemleri kullanılır. Değişkenlerin alınan değerlerinin otomatik olarak tabloya girileceği modu ayarlayabilirsiniz. Ayrıca programın sonuçları bir rapor şeklinde sunulabilir. Çözüm Arama programı (orijinal Excel Çözücüsünde), belirli denklem sistemlerini, doğrusal ve doğrusal olmayan optimizasyon problemlerini çözmek için tasarlanmış MS Excel elektronik tablo işlemcisi için bir eklentidir ve 1991'den beri kullanılmaktadır. Bu programın temel versiyonu ile çözülebilecek problemin boyutu aşağıdaki limitlerle sınırlıdır:
bilinmeyen sayısı (karar değişkeni) - 200;
bilinmeyenlere ilişkin formül kısıtlamalarının (açık kısıtlama) sayısı - 100;
bilinmeyenler için sınırlayıcı koşulların (basit kısıtlama) sayısı 400'dür.
Solver programının geliştiricisi Frontline System, çeşitli üreticilerin (MS Excel Solver, Adobe Quattro Pro, Lotus 1-2-3) popüler elektronik tablo işlemcileri ortamına yerleştirilmiş güçlü ve kullanışlı optimizasyon yöntemlerinin geliştirilmesinde uzun süredir uzmanlaşmıştır. Uygulamalarının yüksek verimliliği, optimizasyon programı ve tablo halindeki iş belgesinin entegrasyonu ile açıklanmaktadır. MS Excel elektronik tablosunun küresel popülaritesi nedeniyle, ortamına yerleştirilmiş Çözücü programı, modern iş alanında en uygun çözümleri bulmak için en yaygın araçtır. Varsayılan olarak, Çözücü eklentisi Excel'de devre dışıdır. içinde etkinleştirmek için Excel 2007, simgeye tıklayın Ofis düğmesi, Tıklayın Excel Seçenekleri ve ardından bir kategori seçin eklentiler. alanında Kontrol Değeri seç Excel eklentileri ve düğmeye basın Gitmek. alanında Kullanılabilir eklentiler yanındaki kutuyu işaretleyin bir çözüm bulma ve düğmeye basın TAMAM.
AT Excel 2003 ve aşağıda seçim komutu Hizmet/Eklentiler , görünen Eklentiler iletişim kutusunda kutuyu işaretleyin bir çözüm bulma ve Tamam düğmesini tıklayın. Ekranda niyetinizi onaylamanızı isteyen bir iletişim kutusu belirirse, Evet düğmesini tıklayın. (Bir Office kurulum CD'sine ihtiyacınız olabilir.)
Çözüm arama prosedürü 1. Hücreler arasında ilişkiler kuran formüller içeren bir tablo oluşturun.
2. İstenen değeri alması gereken hedef hücreyi seçin ve komutu seçin: - In Excel 2007 Veri analizi/bir çözüm bulma;
AT Excel 2003 ve altında Araçlar > Çözücü (Araçlar > Çözüm arayın). Açılan Çözücü eklentisi iletişim kutusunun Hedef Hücreyi Belirle alanı, hedef hücrenin adresini içerecektir. 3. Hedef hücrenin değerini ayarlayarak, - Maks (maksimum değer), Min (minimum değer) veya Değeri (değer) anahtarlarını Eşit (Eşit) olarak ayarlayın. İkinci durumda, sağdaki kutuya bir değer girin. 4. Alanında, Hücreleri Değiştirerek (Hücreleri Değiştirerek), programın en uygun sonucu aramak için hangi hücrelerde değerleri değiştirmesi gerektiğini belirtin. 5. Kısıtlamalara Tabi (Kısıtlamalar) listesinde kısıtlamalar oluşturun. Bunu yapmak için Ekle düğmesine tıklayın ve Kısıtlama Ekle iletişim kutusunda kısıtlamayı tanımlayın.
6. Seçenekler (Parametreler) butonunun üzerindeki butona tıklayın ve beliren pencerede Negatif olmayan değerler (değişkenlerin pozitif sayılar olması gerekiyorsa) anahtarını seçin, Lineer model (çözmekte olduğunuz problem şu anlama geliyorsa) doğrusal modellere)
7. Çözüm arama sürecini başlatmak için Çözücü düğmesine tıklayın.
8. Çözücü Sonuçları iletişim kutusu göründüğünde, Çözümü Koru veya Orijinal Değerleri Geri Yükle radyo düğmesini seçin. 9. Tamam düğmesini tıklayın.
Çözüm bulma seçenekleri Maksimum Süre- soruna bir çözüm aramak için ayrılan süreyi sınırlamaya hizmet eder. Bu alana 32.767'ye kadar (yaklaşık dokuz saat) saniye cinsinden bir süre girebilirsiniz; 100 varsayılan değeri çoğu basit görev için uygundur.
Yineleme sayısını sınırla- hesaplama döngülerinin (yinelemeler) sayısını sınırlayarak sorunu çözme süresini kontrol eder. göreli hata- hesaplamaların doğruluğunu belirler. Bu parametrenin değeri ne kadar küçük olursa, hesaplamaların doğruluğu o kadar yüksek olur. Hata payı- Etkileyen hücrenin değer kümesi tamsayı kümesi ile sınırlıysa, optimum çözümden sapma toleransını ayarlamak için tasarlanmıştır. Tolerans değeri ne kadar büyük olursa, bir çözüm bulmak o kadar az zaman alır. yakınsama- sadece doğrusal olmayan problemler için geçerlidir. Son beş yinelemede hedef hücredeki değerdeki göreli değişiklik Yakınsama alanında belirtilen sayıdan küçük olduğunda arama durur. Doğrusal model- optimizasyon problemine doğrusal bir model uygulayarak çözüm aramayı hızlandırmaya hizmet eder. Doğrusal olmayan modeller, doğrusal olmayan fonksiyonların, bir büyüme faktörünün ve hesaplamaları yavaşlatan üstel yumuşatmanın kullanımını içerir. Negatif olmayan değerler- Kısıtlama Ekle iletişim kutusunda karşılık gelen herhangi bir kısıtlamanın ayarlanmadığı etkileyen hücreler için sıfır bir alt sınır belirlemenize olanak tanır. Otomatik ölçeklendirme- değiştirilmekte olan hücrelerdeki ve hedef hücredeki sayılar önemli ölçüde farklı olduğunda kullanılır. Yinelemelerin sonuçlarını göster- bireysel yinelemelerin sonuçlarını görüntülemek için bir çözüm aramasını duraklatır. Modeli İndir- bu düğmeye tıkladıktan sonra, optimizasyon modelini içeren bir dizi hücreye bağlantı girebileceğiniz aynı ada sahip bir iletişim kutusu açılır. Modeli Kaydet- optimizasyon modelini depolamak için tasarlanmış bir dizi hücreye bir bağlantı girebileceğiniz ekranda aynı adı taşıyan iletişim kutusunu görüntülemeye yarar. Tahmin doğrusaldır- doğrusal bir modelle çalışmak için bu radyo düğmesini seçin. tahmin ikinci dereceden- doğrusal olmayan bir modelle çalışmak için bu radyo düğmesini seçin. Doğrudan farklılıklar- Kısıtlamaların değişim hızının nispeten düşük olduğu çoğu görevde kullanılır. Çözüm Bul aracının hızını artırır. farklılıklar merkezi- süreksiz türevi olan fonksiyonlar için kullanılır. Bu yöntem daha fazla hesaplama gerektirir, ancak daha doğru bir çözümün elde edilemediğine dair bir mesaj verilirse kullanımı haklı olabilir. Newton'un arama yöntemi - daha fazla bellek gerektirir, ancak eşlenik gradyan yönteminden daha az yineleme gerçekleştirir. Eşlenik gradyan arama yöntemi- daha az bellek gerektiren ancak Newton'un yönteminden daha fazla yineleme gerçekleştiren eşlenik gradyan yöntemini uygular. Bu yöntem, problem yeterince büyükse ve bellekten tasarruf edilmesi gerekiyorsa veya yinelemeler ardışık yaklaşımlarda çok az fark veriyorsa kullanılmalıdır.
Elektronik tablolar kullanılarak çözülen görevlerin önemli bir kısmı, kullanıcının istenen sonucu bulmak için en azından bazı başlangıç verilerine sahip olduğunu varsayar. Bununla birlikte, Excel 2010, bu sorunu tam tersine çözebileceğiniz gerekli araçlara sahiptir - istenen sonucu elde etmek için doğru verileri seçmek.
"Çözüm arama", "optimizasyon sorunları" için en uygun araçlardan biridir. Ve daha önce kullanmak zorunda kalmadıysanız, şimdi düzeltmenin zamanı geldi.
Yani - bu eklentiyi yükleyerek başlıyoruz (çünkü kendi kendine görünmeyecektir). Neyse ki, şimdi bu oldukça basit ve hızlı bir şekilde yapılabilir - "Servis" menüsünü ve zaten "Eklentiler" i açın
"Excel Eklentileri"ni belirtmek için yalnızca "Yönetim" sütununda kalır ve ardından "Git" düğmesini tıklayın.
Bu basit işlemden sonra, "Veri" bölümünde "Çözüm ara"yı etkinleştirme düğmesi görüntülenecektir. Resimde gösterildiği gibi
Excel 2010'un birkaç basit örnekle çözüm bulmanın nasıl doğru kullanıldığına bakalım.
Örnek bir .
Diyelim ki büyük bir üretim departmanının başındasınız ve ikramiyeleri çalışanlara düzgün bir şekilde dağıtmanız gerekiyor. Diyelim ki toplam ikramiye miktarı 100.000 ruble ve ikramiyelerin maaşlarla orantılı olması gerekiyor.
Yani, şimdi ikramiyenin maaşa göre boyutunu belirlemek için doğru orantılılık katsayısını seçmemiz gerekiyor.
Her şeyden önce, istenen sonucu elde etmenin mümkün olacağı ilk formüllerin ve verilerin saklanacağı bir tabloyu (zaten mevcut değilse) hızlı bir şekilde derlemek gerekir. Bizim için bu sonuç primin toplam değeridir. Ve şimdi, dikkat - hedef hücre C8, formüller kullanılarak E2 adresindeki istenen değiştirilebilir hücreye bağlanmalıdır. Bu kritik. Örnekte, her çalışan için ikramiyeyi (С2:С7) hesaplamaktan sorumlu olan ara formüller kullanarak bunları birbirine bağlarız.
Artık "Çözüm ara" özelliğini etkinleştirebilirsiniz. Gerekli parametreleri belirtmemiz gereken yeni bir pencere açılacaktır.
Altında " 1 » hedef hücremizdir. O sadece biri olabilir.
« 2 ' olası optimizasyon seçenekleridir. Toplamda "Maksimum", "Minimum" veya "Belirli" olası değerleri seçebilirsiniz. Ve belirli bir değere ihtiyacınız varsa, bunu uygun sütunda belirtmeniz gerekir.
« 3 » - değiştirilecek birkaç hücre olabilir (tüm aralık veya ayrı ayrı belirtilen adresler). Sonuçta, hedef hücrede belirtilen değerin elde edilmesi için seçenekler arasında sıralayarak Excel'in çalışacağı onlarla birlikte.
« 4 - Kısıtlamalar ayarlamanız gerekiyorsa, "Ekle" düğmesini kullanmalısınız, ancak bunu biraz sonra ele alacağız.
« 5 » - düğmesi, belirttiğimiz programa dayalı etkileşimli hesaplamalara geçmek için.
Ama şimdi "Ekle" düğmesini kullanarak görevimizi değiştirme yeteneğine dönelim. Bu aşama oldukça sorumludur (formüllerin oluşturulmasından daha az değil), çünkü çıktıda doğru sonucu almanızı sağlayan kısıtlamadır. Burada her şey mümkün olduğunca rahat yapılır, böylece bunları yalnızca tüm aralık için değil, aynı zamanda belirli hücreler için de ayarlayabilirsiniz.
Bunu yapmak için, bir dizi özel (ve tüm Excel 2010 kullanıcıları için tanıdık) işaretler "=", ">=", " kullanabilirsiniz.<=», а также варианты «цел» (от «целое»), «бин» («бинарное» или же «двоичное»), «раз» («все разные»).
Ancak örneğimizde yalnızca bir kısıtlama olabilir - pozitif bir katsayı. Tabii ki, bunu birkaç şekilde ayarlayabilirsiniz - ya "Ekle" ("açıkça bir kısıtlama belirtin" olarak adlandırılır) kullanarak ya da "Kısıtlamalar olmadan değişkenleri negatif olmayan şekilde yap" işlevini kontrol edin. Bu, "Seçenekler" düğmesine tıklayarak "Çözüm ara" eklentisinde yapılabilir.
Bu arada, parametreleri onayladıktan ve programı başlattıktan ("Çalıştır" düğmesi) sonra sonucu tabloda görüntüleyebilirsiniz. Ardından program "arama sonuçları" penceresini gösterecektir.
Gösterilen sonuç size tamamen uyuyorsa, geriye kalan tek şey onu yeniden onaylamaktır ("OK" düğmesi), bu da sonucu tablonuzda düzeltecektir. Hesaplamalardaki bir şey size uymuyorsa, sonucu iptal etmeniz ("İptal" düğmesi), tablomuzun önceki durumuna dönmeniz ve yapılan hataları düzeltmeniz gerekir.
Örnek problemin doğru çözümü şöyle görünmelidir
İlk verilerde en ufak bir değişiklik olsa bile doğru sonucu alabilmek için "Çözüm Arama"yı yeniden başlatmanız çok önemlidir.
Bu programın nasıl çalıştığına daha yakından bakmak için başka bir örneğe bakalım.
Diyelim ki büyük bir mobilya firmasının sahibisiniz ve üretimi mümkün olan maksimum karı elde edecek şekilde kurmanız gerekiyor. Üretimi yalnızca yüksek kaliteli panoların varlığı (veya eksikliği) ve makine süresi (makinede işleme) ile sınırlı olan "A" ve "B" olmak üzere yalnızca iki modelle yalnızca kitap rafları üretiyorsunuz.
"A" modeli 3 m3 pano gerektirir ve "B" modeli 1 m3 daha fazla (yani 4) gerektirir. Tedarikçilerinizden haftada maksimum 1700 m3 levha alırsınız. Bu durumda, "A" modeli 12 dakikalık makine çalışmasında ve "B" - 30 dakikada oluşturulur. Toplamda, makine haftada 160 saatten fazla çalışamaz.
Soru şudur - "A" rafı 60 ruble ve "B" - 120 ise, şirket mümkün olan maksimum karı elde etmek için haftada kaç ürün (ve hangi model) üretmelidir?
Prosedür bilindiği için veri ve formüllerle ihtiyacımız olan tabloyu oluşturmaya başlıyoruz. Hücrelerin konumu, daha önce olduğu gibi, kendi takdirinize bağlı olarak ayarlayabilirsiniz. Veya bizimkini kullanın
Herhangi bir uygun şekilde "Çözüm Arama"mızı başlatır, verileri girer ve ayarları yaparız.
Öyleyse elimizde ne olduğuna bir bakalım. Hedef hücre F7, karı hesaplayacak bir formül içerir. Optimizasyon parametresi maksimuma ayarlanmıştır. Değiştirilecek hücreler arasında "F3: G3" var. Kısıtlamalar - tespit edilen tüm değerler tamsayı olmalı, negatif olmamalıdır, harcanan toplam makine süresi 160'ı (D9 hücremiz), hammadde miktarı 1700'ü (hücre D8) geçmez.
Tabii ki, bu durumda, hücrelerin adreslerini belirtmek değil, gerekli dijital değerleri doğrudan kaydetmek mümkün oldu, ancak adresler kullanılıyorsa, o zaman tabloda kısıtlamalarda değişiklikler de yapılabilir, bu da ilk verileri değiştirirken gelecekte bu işletmenin kârını hesaplamaya yardımcı olur.
Programı aktif hale getiriyoruz ve o bir çözüm hazırlıyor.
Ancak, bu tek çözüm değildir ve farklı bir sonuç elde edebilirsiniz. Bu, tüm veriler doğru olsa ve formüllerde de hata olmasa bile olabilir.
Evet. Bu, programa aramasını söylesek bile olabilir. tüm sayı. Ve bu aniden olursa, "Çözüm Arama" için ek bir ayar yapmanız yeterlidir. "Çözüm Ara" penceresini açın ve "Parametreleri" girin.
En üst parametremiz doğruluktan sorumludur. Ne kadar küçükse, doğruluk o kadar yüksek olur ve bizim durumumuzda bu, bir tamsayı alma şansını önemli ölçüde artırır. İkinci parametre (“Integer tamsayı kısıtlamalarını yoksay”), istekte bir tamsayı açıkça belirtildiği için böyle bir cevabı nasıl alabiliriz sorusuna cevap verir. Çözüm Arama, gelişmiş ayarların kendisine söylediği gerçeği nedeniyle bu kısıtlamayı görmezden geldi.
Bu yüzden gelecekte çok dikkatli olun.
Üçüncü ve belki de son örnek. Excel 2010'da çözüm aramayı kullanarak bir nakliye şirketinin maliyetlerini en aza indirmeye çalışalım.
Böylece inşaat firması 3 tedarikçiden (taş ocaklarından) aldığı kumun nakliyesi için sipariş verir. 5 farklı tüketiciye (şantiye olan) teslim edilmelidir. Kargo teslimat maliyeti nesnenin maliyetine dahildir, bu nedenle görevimiz kargoların şantiyelere minimum maliyetle teslimatını sağlamaktır.
Taş ocağında kum stoğu, kumda şantiye ihtiyacı, nakliye maliyeti "tedarikçi-tüketici" var.
Toplam nakliye maliyetinin minimum olacağı malların (nerede ve nereden) optimal nakliyesi için bir plan bulmak gerekir.
Tablomuzun gri hücreleri, sütunların ve satırların toplamı için formülleri içerir ve hedef hücre, malların nakliye maliyetinin toplam hesaplaması için formüldür. "Çözüm Arayın" uygulamamızı başlatıyoruz ve gerekli ayarları yapıyoruz.
Bundan sonra, bu soruna bir çözüm aramaya başlıyoruz.
Ancak, çoğu zaman taşıma görevlerinin bazı ek kısıtlamalar nedeniyle karmaşık olabileceğini unutmayalım. Yolda bir komplikasyon olduğunu varsayalım ve şimdi 2. ocaktan 3. şantiyeye kargo teslim etmek teknik olarak imkansız. Bunu hesaba katmak için, sadece "$D$13=0" ek bir kısıtlama eklemeniz gerekiyor. Ve programı şimdi çalıştırırsanız, sonuç farklı olacaktır.
Son olarak, sadece çözüm yönteminin seçimi hakkında söylenmeye devam ediyor. Ve sorun gerçekten çok zorsa, istenen sonucu elde etmek için büyük olasılıkla gerekli çözüm yöntemini seçmeniz gerekecektir.
Hepsi bu konu için.
Excel 2010'da karmaşık sorunları çözmek için çözümler aradık
Çözüm Bulucu, kullanıcı tarafından belirlenen kısıtlamalar göz önüne alındığında, bir soruna en iyi çözümü bulmak için kullanılabilen bir Microsoft Excel eklentisidir.
İçinde bir çözüm aramayı ele alacağız (bu eklenti, .
Bu yazıda şunlara bakacağız:
- MS EXCEL sayfasında bir optimizasyon modeli oluşturma
- ayar Çözüm bulmak;
- basit örnek (doğrusal model).
Çözücüyü Yükleme
Takım bir çözüm bulma bir grupta analiz sekme Veri.
eğer takım bir çözüm bulma grup içinde analiz mevcut değilse, aynı ada sahip eklentiyi etkinleştirmelisiniz.
Bunun için:
- sekmesinde Dosya bir takım seç Seçenekler ve sonra kategori eklentiler;
- alanında Kontrol Değeri seç Excel eklentileri ve düğmeye basın Zıplamak;
- alanında Kullanılabilir eklentiler yanındaki kutuyu işaretleyin bir çözüm bulma ve Tamam'ı tıklayın.
Not. pencere eklentiler sekmesinde de mevcuttur geliştirici. Bu sekme nasıl etkinleştirilir.
Düğmeye bastıktan sonra bir çözüm bulma grup içinde analiz, onun iletişim kutusu açılacaktır .
Sık kullanım ile bir çözüm bulma Veri sekmesinden değil, Hızlı Erişim Araç Çubuğundan başlatmak daha uygundur. Panele bir düğme yerleştirmek için, üzerine sağ tıklayın ve Hızlı Erişim Araç Çubuğuna Ekle.
Modeller hakkında
Bu bölüm, optimizasyon modeli kavramıyla yeni tanışan kişiler içindir.
Tavsiye. Kullanmadan önce bir çözüm bulma Optimizasyon problemlerini çözme ve model oluşturma konusundaki literatürü incelemenizi şiddetle tavsiye ederiz.
Aşağıda bu konuyla ilgili küçük bir eğitim programı bulunmaktadır.
üst yapı bir çözüm bulma belirlemeye yardımcı olur En iyi yol yapmak bir şey:
- "Bir şey", yatırımlar için para tahsis etmeyi, bir depoyu yüklemeyi, malları teslim etmeyi veya optimal bir çözümün gerekli olduğu diğer herhangi bir önemli faaliyeti içerebilir.
- Bu durumda "en iyi yol" veya en uygun çözüm şu anlama gelir: karı en üst düzeye çıkarmak, maliyetleri en aza indirmek, en iyi kaliteyi elde etmek, vb.
Optimizasyon sorunlarının bazı tipik örnekleri şunlardır:
- Üretilen ürünlerin satışından elde edilen gelirin maksimum olduğunu belirleyin;
- Toplam taşıma maliyetinin hangi noktada minimum olacağını belirleyin;
- Toplam üretim maliyetinin minimum olacağını bulun;
- Tüm proje aktivitelerinin tamamlanması için minimum süreyi belirleyin (kritik yol).
Görevi resmileştirmek için, konu alanının temel özelliklerini yansıtacak (ve küçük ayrıntılar içermeyecek) bir model oluşturmak gerekir. Modelin optimize edildiğini unutmayın bir çözüm arıyorum sadece bir gösterge(bu optimize edilmiş metriğe amaç fonksiyonu).
MS EXCEL'de bir model, değişkenleri argüman olarak kullanan birbirine bağlı bir formüller kümesidir. Tipik olarak, bu değişkenler, kullanıcı tarafından belirlenen kısıtlamalara tabi olarak yalnızca geçerli değerler alabilir.
bir çözüm bulma bu değişkenlerin (verilen kısıtlamaları dikkate alarak) amaç fonksiyonunun maksimum (minimum) veya verilen sayısal değere eşit olduğu değerleri seçer.
Not. En basit durumda, model tek bir formül kullanılarak tanımlanabilir. Bu modellerden bazıları kullanılarak optimize edilebilir. İlk görüşmeden önce bir çözüm arıyorumöncelikle ilgili bir enstrümanla ayrıntılı olarak ilgilenmek mantıklıdır.
Ana farklılıklar parametre seçimi itibaren bir çözüm bulma:
- parametre seçimi yalnızca tek değişkenli modellerle çalışır;
- içindeki değişkenler için kısıtlamalar koymak imkansızdır;
- belirlenen amaç fonksiyonunun maksimumu veya minimumu değil, belirli bir değere eşitliğidir;
- sadece doğrusal modeller durumunda etkin olarak çalışır, doğrusal olmayan durumda yerel bir optimum bulur (değişkenin başlangıç değerine en yakın).
MS EXCEL'de bir optimizasyon modelinin hazırlanması
bir çözüm bulma amaç fonksiyonunun değerini optimize eder. Amaç işlevi, bir hücrede tek bir değer döndüren bir formüldür. Formülün sonucu, modelin değişkenlerine bağlı olmalıdır (doğrudan değil, diğer formüllerin hesaplanmasının sonucuyla mümkündür).
Model kısıtlamaları, hem değişkenlerin kendi varyasyon aralığına hem de bu değişkenlere bağlı olan modelin diğer formüllerinin hesaplanmasının sonuçlarına uygulanabilir.
Model değişkenleri ve kısıtlamaları içeren tüm hücreler, çalışma kitabının yalnızca bir sayfasında bulunmalıdır. Diyalog kutusuna parametre girme bir çözüm bulma sadece bu sayfadan mümkün.
Amaç fonksiyonu (hücre) de bu sayfada yer almalıdır. Ancak ara hesaplamalar (formüller) diğer sayfalara yerleştirilebilir.
Tavsiye. Modelin verilerini, MS EXCEL'in bir sayfasında yalnızca bir model bulunacak şekilde düzenleyin. Aksi takdirde, hesaplamaları yapmak için ayarları sürekli kaydetmeniz ve yüklemeniz gerekecektir. bir çözüm bulma(aşağıya bakınız).
Çalışmak için bir algoritma sunuyoruz bir çözüm arıyorum geliştiricilerin kendileri tarafından önerilen (www.solver.com):
- Model değişkenleri (karar değişkenleri) ile hücreleri tanımlayın;
- Modelinizin amaç fonksiyonunu (amaç fonksiyonu) hesaplayacak bir hücrede bir formül oluşturun;
- Sınırlarla karşılaştırılacak değerleri hesaplayacak hücrelerde formüller oluşturun (ifadenin sol tarafı);
- İletişim kutusunu kullanma bir çözüm bulma değişkenleri içeren hücrelere, amaç fonksiyonuna, kısıtlama formüllerine ve kısıtlamaların değerlerine bağlantılar girin;
- Koşmak bir çözüm bulma optimal çözümü bulmak için.
Tüm bu adımları basit bir örnekle yapalım.
Basit kullanım durumu bir çözüm bulma
Konteynerin ağırlığının maksimum olması için konteynere mal yüklemek gerekir. Konteyner hacmi 32 metreküptür. Ürünler kutularda ve kasalarda bulunur. Malların bulunduğu her kutu 20 kg ağırlığında, hacmi 0.15 m3'tür. Kutu - sırasıyla 80kg ve 0.5m3. Toplam kap sayısının 110 adetten az olmaması gerekmektedir.
Model verilerini aşağıdaki gibi düzenliyoruz (örnek dosyaya bakın).
Model değişkenleri (her kap tipinin sayısı) yeşil renkle vurgulanmıştır.
Amaç fonksiyonu (tüm kutuların ve kasaların toplam ağırlığı) kırmızı renktedir.
Model sınırlamaları: minimum kap sayısı (>=110) ve toplam hacim (<=32) – синим.
Amaç fonksiyonu formülle hesaplanır =TOPLAÇA(B8:C8;B6:C6) konteynere yüklenen tüm kutu ve kasaların toplam ağırlığıdır.
Benzer şekilde, toplam hacmi hesaplıyoruz - =TOPLAÇARI(B7:C7;B8:C8). Bu formül, kutu ve kutuların toplam hacmine bir sınır koymak için gereklidir (<=32).
Ayrıca, model kısıtlamasını ayarlamak için toplam kapsayıcı sayısını hesaplıyoruz = SUM (B8: C8) .
Şimdi iletişim kutusuyla bir çözüm bulma değişkenleri, bir amaç fonksiyonunu, kısıtlama formüllerini ve kısıtlamaların değerlerini (veya ilgili hücrelere bağlantılar) içeren hücrelere bağlantılar girelim.
Kutuların ve kutuların sayısının bir tam sayı olması gerektiği açıktır - bu, modelin başka bir sınırlamasıdır.
Düğmeye bastıktan sonra Bir çözüm bul toplam ağırlıklarının (amaç fonksiyonu) maksimum olduğu ve aynı zamanda belirtilen tüm kısıtlamaların karşılandığı bu kadar kutu ve kutu sayısı bulunacaktır.
Özet
Aslında, optimizasyon problemlerinin çözümünde temel problem, bir çözüm bulma hiçbir şekilde bu analiz aracını kurmanın incelikleri değil, göreve uygun bir model oluşturmanın doğruluğudur. Bu nedenle, diğer makalelerde model oluşturmaya odaklanacağız, çünkü “eğri” model genellikle kullanarak bir çözüm bulamamanın nedenidir. bir çözüm bulma.
Birkaç tipik göreve bakmak, aralarında benzer bir görev bulmak ve ardından bu modeli görevinize uyarlamak genellikle daha kolaydır.
kullanarak klasik optimizasyon problemlerini çözme bir çözüm bulma düşünülen .
Çözücü uygulanabilir bir çözüm bulamadı
Bu mesaj şu durumlarda görünür: bir çözüm bulma tüm kısıtlamaları aynı anda karşılayan değişken değer kombinasyonlarını bulamadı.
kullanıyorsanız Doğrusal problemleri çözmek için tek yönlü yöntem, o zaman çözümün gerçekten var olmadığından emin olabilirsiniz.
Her zaman değişkenlerin başlangıç değerleriyle başlayan doğrusal olmayan bir problem çözme yöntemi kullanırsanız, bu aynı zamanda uygulanabilir çözümün bu başlangıç değerlerinden uzak olduğu anlamına da gelebilir. Eğer koşarsan bir çözüm bulma değişkenlerin diğer başlangıç değerleri ile o zaman belki bir çözüm bulunur.
Problemi doğrusal olmayan bir yöntemle çözerken, değişkenleri olan hücrelerin boş bırakıldığını (yani ilk değerlerin 0 olduğunu) ve bir çözüm bulma bir çözüm bulamadı. Bu, gerçekten bir çözüm olmadığı anlamına gelmez (olmasına rağmen). Şimdi, bazı uzman değerlendirmelerinin sonuçlarına dayanarak, size göre en uygun (istenen) değere yakın olan, değişkenleri olan hücrelere başka bir değer kümesi girelim. Bu durumda, bir çözüm bulma bir çözüm bulabilir (eğer gerçekten varsa).
Not. Modelin doğrusal olmama durumunun hesaplama sonuçlarına etkisini yazının son bölümünde okuyabilirsiniz.
Her iki durumda da (doğrusal veya doğrusal olmayan), önce modeli tutarlılık kısıtlamaları, yani aynı anda karşılanamayan koşullar için analiz etmelisiniz. Çoğu zaman bu, yanlış oran seçiminden kaynaklanır (örneğin,<= вместо >=) veya sınır değeri.
Örneğin, yukarıda tartışılan örnekte, maksimum hacim değeri 32 m3 yerine 16 m3 olarak ayarlanırsa, bu kısıtlama, minimum yer sayısı (110) kısıtlamasıyla çelişecektir, çünkü minimum yer sayısı 16.5 m3'e eşit bir hacme karşılık gelir (110 * 0.15, burada 0.15 kutunun hacmidir, yani en küçük kap). Maksimum hacim limitini 16 m3 olarak ayarlayarak, bir çözüm bulma bir çözüm bulamayacak.
17 m3 limitli bir çözüm bulma bir çözüm bulacaktır.
Bazı ayarlar bir çözüm bulma
Çözüm Yöntemi
Yukarıda ele alınan model doğrusaldır, yani. amaç fonksiyonu (M maksimum olabilecek toplam ağırlıktır) aşağıdaki denklem M=a1*x1+a2*x2 ile ifade edilir, burada x1 ve x2 model değişkenleridir (kutu ve kutu sayısı), a1 ve a2 onların ağırlıklarıdır. Doğrusal bir modelde, kısıtlamalar aynı zamanda değişkenlerin doğrusal fonksiyonları olmalıdır. Bizim durumumuzda V=b1*x1+b2*x2 hacim kısıtlaması da doğrusal bir ilişki olarak ifade edilir. Açıkçası, başka bir kısıtlama - maksimum kap sayısı (n) - ayrıca x1+x2 doğrusaldır.
Bu durumda, doğrusal olmayan bir problemi çözmek için bir yöntem seçmek gerekir. Doğrusal olmayan bağımlılık örnekleri: V=b1*x1*x1; V=b1*x1^0.9; V=b1*x1*x2, burada x bir değişkendir ve V bir amaç fonksiyonudur.
Düğmeler Ekle, Düzenle, Sil
Bu düğmeler, model kısıtlamaları eklemenize, değiştirmenize ve kaldırmanıza olanak tanır.
Yeniden başlatma tuşu
Tüm ayarları kaldırmak için bir çözüm bulma düğmesine basın Sıfırla– iletişim kutusu temizlenecektir.
Bu seçenek, farklı kısıtlama seçenekleri kullanılırken kullanışlıdır. Model parametrelerini kaydederken (düğme Yükle kaydet, sonraki düğmeye tıklayın Kaydetmek) yerleştirilecek aralığın (sütun) üst hücresinin seçilmesi önerilir: amaç fonksiyonuna bir bağlantı, değişkenlere sahip hücrelere bağlantılar, çözüm yöntemlerinin kısıtlamaları ve parametreleri (düğme ile erişilebilir) Seçenekler). Kaydetmeden önce bu aralığın model verileri içermediğinden emin olun.
Kaydedilen parametreleri yüklemek için önce düğmesine basın Yükle kaydet, ardından, görünen iletişim kutusunda düğme İndirmek ve ardından önceden kaydedilmiş ayarları içeren hücre aralığını ayarlayın (yalnızca bir üst hücre belirtemezsiniz). Tamam düğmesini tıklayın. Mevcut görev ayarlarını sıfırlamayı ve bunları yenileriyle değiştirmeyi onaylayın.
Kesinlik
Bir model oluştururken, araştırmacı başlangıçta amaç fonksiyonu ve değişkenlerin varyasyon aralıkları hakkında bazı tahminlere sahiptir. MS EXCEL'deki hesaplamalar dikkate alındığında, bu varyasyon aralıklarının hesaplamanın doğruluğundan önemli ölçüde yüksek olması önerilir (genellikle 0,001 ila 0,000001 arasında ayarlanır). Kural olarak, modeldeki veriler, amaç fonksiyonunun ve değişkenlerin varyasyon aralıkları 0,1 - 100.000 arasında olacak şekilde normalleştirilir.Tabii, hepsi belirli modele bağlıdır, ancak değişkenleriniz 5'ten fazla değişirse 6 büyüklük sırası, o zaman örneğin logaritma işlemini kullanarak modeli "pürüzlendirmeniz" gerekir.
Eserin metni, resim ve formüller olmadan yerleştirilmiştir.
Çalışmanın tam sürümü "İş Dosyaları" sekmesinde PDF formatında mevcuttur.
GİRİİŞ
Sorunun ifadesi ve çalışmanın önemi. İlkokuldan 11. sınıfa kadar okul matematik dersi, çeşitli denklem türlerini ve denklem sistemlerini çözmenin çok sayıda yolunu içerir. Bazı denklemler, okul mezunlarının küçük bir kısmı tarafından uygulanabilen standart olmayan yöntemlerle çözülmektedir. İncelenen literatürün bir analizi, denklemlerin ve denklem sistemlerinin çeşitli endüstrilerde ve ekonomide bulunduğunu göstermiştir. Ve bir kural olarak, bu denklemler okul denklemleri kadar çekici görünmüyor ve tamsayı olmayan çözümlere sahip. Denklemleri ve denklem sistemlerini çözme sürecini otomatikleştirmek için elektronik tabloları kullanmanın yollarını bulmaya karar verdik. Elektronik tablolar, çeşitli devlet ve ticari kuruluşlarda ve firmalarda bilim, üretim ve hizmetlerin çeşitli alanlarındaki uzmanların profesyonel faaliyetlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Ek olarak, elektronik tablolar, kitap veya CD'lerden oluşan bir ev dosya dolabı oluşturmak, elektrik faturalarının veya ev bütçesinin kayıtlarını tutmak vb. gibi günlük görevleri çözmek için kullanılabilir.
Bugüne kadar, denklemler ve denklem sistemleri kullanılarak üretim problemlerinin nasıl çözüleceğini ve ayrıca bunları elektronik tablolar kullanarak çözme yöntemlerini detaylandıran yeterli sayıda farklı eğitim materyali bulunmaktadır.
Bununla birlikte, çalışma sırasında, daha yüksek dereceli denklemleri çözme yöntemlerinin yanı sıra sonsuz sayıda çözümü olan denklemlerin (örneğin trigonometrik olanlar) yeterince çalışılmadığı tespit edildi.
Belirtilen sorunun aciliyeti, araştırma konusunun seçimini belirledi: "Microsoft Excel kullanarak denklemlerin çözümü".
Amaç: Çeşitli sıralardaki denklemleri çözmek için Microsoft Excel'in araçlarını keşfedin.
Çalışmanın amacı: Microsoft Excel uygulaması.
Çalışma konusu: denklemleri çözerken Microsoft Excel'deki PARAMETRE SEÇİMİ ve ÇÖZÜM ARAMA araçlarını kullanın.
Araştırma hipotezi: MS Excel uygulama araçlarını kullanarak BİR PARAMETRE SEÇME ve BİR ÇÖZÜM ARAMA, çeşitli türlerdeki denklemleri çözme sürecini büyük ölçüde basitleştirir.
Araştırma hedefleri:
Üretim problemlerinin çözümünde denklemlerin uygulanmasına ilişkin literatürü incelemek.
Microsoft Excel'in pratikte kullanımına ilişkin literatürü incelemek.
Microsoft Excel'deki PARAMETRE SEÇİMİ ve ÇÖZÜM ARAMA araçlarını kullanarak denklemleri çözmenin yollarını düşünün.
Çeşitli denklem türlerinin çözümüne ilişkin video kursları oluşturun.
teorik önem: Microsoft Excel uygulamasının çeşitli sıralardaki denklemleri çözme yetenekleri hakkında bir dizi kaynağın analizi yapıldı.
pratik önemi: MS Excel kullanarak yüksek mertebeden denklemleri ve trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri önerilmiş, materyal sistematik hale getirilmiş ve video kursları şeklinde özetlenmiştir.
Araştırma Yöntemleri: bilimsel literatürün ve İnternet materyallerinin teorik analizi ve genelleştirilmesi; Parametre seçimi ve Çözme arama araçlarını kullanarak çeşitli türlerdeki denklemleri çözme deneyleri yapmak; çeşitli denklemleri çözerken Parametre Seçimi ve Çözüm Arama araçlarının kullanımına ilişkin video kurslarının oluşturulması.
FARKLI ENDÜSTRİLERDE DENKLEMLER
Modern toplumda denklemler, hemen hemen tüm en son teknolojilerin yanı sıra ekonominin ve üretimin birçok sektöründe uygulamalarını bulmuştur. Elbette matematik de diğer bilimler gibi yerinde durmaz. Çeşitli derecelerdeki çeşitli denklem türlerini çözmek için zaten yeterli yöntem geliştirilmiştir. Bilgisayarların ortaya çıkışı ve bilgi teknolojisinin hızlı gelişimi, çeşitli denklemlerin köklerini birkaç kez bulma görevini basitleştirmeyi mümkün kılmıştır. Bu bölümde, örnek olarak, ekonomi ve üretimin bazı sektörlerinde çözülen denklem türlerini sunuyoruz.
1.1. Ekonomik problemlerin çözümü için denklemler
Örnek 1.1.1. Devlet ortak finansman programına katılım yoluyla 2.000 ruble emekli maaşında artış elde etmek için hangi yaşta ek sigorta primi olarak 1.000 ruble ödemeniz gerektiğini hesaplayın?
Giriş verileri:
aylık kesintiler- 1000 ruble;
dönem ek sigorta primlerinin ödenmesi - tahmini değer (emeklilik yaşı (örnekte - bir erkek için) eksi program katılımcısının giriş anındaki yaşı);
emeklilik tasarrufu- tahmini değer (katılımcı tarafından dönem boyunca biriken, devlet tarafından 2 kat artırılan miktar;
emeklilik maaşının beklenen ödeme süresi- 228 ay (19 yıl);
İstenen arttırmak emeklilik için - 2000 ruble.
emeklilik tasarrufu- hesaplanan değer (dönem için katılımcı tarafından biriken miktar, devlet tarafından ikiye katlanır).
İzin vermek X- kesintilerin yapılması gereken yaş. Daha sonra emekli maaşındaki artış (2000 ruble miktarında) aşağıdaki formüle göre hesaplanacaktır:
Parametreyi bulmanız gereken doğrusal bir denklemimiz var. x.
Örnek 1.1.2. Sözleşme fiyat yapısı verilsin: kendi giderleri, kar, KDV. Kendi giderlerinin 150.000,00 ruble, KDV'nin %18 olduğu ve sözleşmenin hedef değerinin 200.000,00 ruble olduğu bilinmektedir. Sözleşme değerinin Hedef değere eşit olduğu (yani, tutarsızlığın sıfıra eşit olması gerektiği) böyle bir kâr değeri seçmek gerekir.
x kâr olsun. Sonra üretim fiyatını Öz giderler ve Kar toplamı olarak hesaplayacağız: 150.000 + x. Ürünlerin fiyatlarındaki KDV (150.000 + x) * 0.18'e eşit olacaktır. Sözleşme bedelini Ürün Fiyatı ve KDV toplamı olarak hesaplıyoruz: (150.000+х)+ (150.000+х)*0.18=(150.000+х)*1.18.
Böylece (150000 + x) * 1.18 = 2000 denklemini elde ettik.
Örnek 1.1.3., çözümü de lineer bir denkleme indirgenir. Aylık 1.800,00 ruble ödeyebileceğimiz biliniyorsa, bankadan alabileceğimiz maksimum kredi tutarını belirleyin. Ayrıca kredinin faiz oranını ve kredi çekmek istediğimiz süreyi (ay sayısı) da biliyoruz.
Örnek 1.1.4çözümü bir lineer denklem sistemine indirgenmiş olan . Noel ağacı süsleri setlerinin üretimi için, bir işletmenin bileşenlerini - bir top, bir zil, cicili bicili - üretmesi gerekir.
Buna karşılık, bu bileşenlerin üretimi için, ihtiyaçları tabloda yansıtılan üç tip hammaddeye ihtiyaç vardır - cam (g olarak), kağıt hamuru (g olarak), folyo (g olarak).
Gerekli:
1) sırasıyla x 1, x 2, x 3 ve x 4 adet miktarında birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü tip setlerin üretim planını yerine getirmek için hammadde ihtiyacını belirlemek;
2) x 1 = 500, x 2 = 400, x 3 = 300 ve x 4 = 200 değerleri için hesaplamalar yapın.
Bu sorunu çözmek için doğrusal denklem sisteminin köklerini bulmak gerekir:
y 1 = 5 (5x 1 + 6x 2 + 8x 3 + 10x 4) = 25x 1 + 30x 2 + 40x 3 + 50x 4
y 2 = 4 (3x 1 + 4x 2 + 6x 3) = 12x 1 + 16x 2 + 24x 3
y 3 = 3 (5x 1 + 6x 2 + 8x 3 + 10x 4) + 75 (3x 2 + 5x 3 + 8x 4) = 15x 1 + 243x 2 + 399x 3 + 630x 4
Elektrik enerjisi endüstrisindeki denklemler
Elektrik enerjisi endüstrisindeki denklemlerin uygulamasını düşünün.
Örnek 1.2.1. DC elektrik devresinin bir diyagramı verilmiştir. Devrenin dallarındaki akımları bulun.
Bu sorunu çözmek için Kirchhoff yasalarına dayalı bir doğrusal denklem sistemi oluşturmak ve çözmek gerekir (bir denklem sistemini derleme süreci burada dikkate alınmaz):
Taşımacılık endüstrisindeki denklemler
Örnek 1.3.1. Yol yapımının teknolojik süreçlerinin planlanması, izlenmesi ve yönetilmesinde ulaşım tesislerinin tasarlanması ve sağlıklı kararlar alınması sorunlarını çözmek için, bu süreçlerin seyrini belirleyen parametreler arasındaki ilişkiyi belirlemek ve bunları nicel bir biçimde sunmak gerekir - matematiksel modeller şeklinde. Bu bakımdan pratikte sıklıkla regresyon analizi kullanılmaktadır.
Regresyon analizi - ölçülen verileri modelleme ve bağımlı değişken arasındaki ilişkiyi tanımlayarak özelliklerini inceleme yöntemi y ve bir veya daha fazla bağımsız değişken x 1, x 2, ..., xn.
Bağımsız değişkenler olarak da bilinir faktörler, argümanlar, veya gericiler, a bağımlı değişkenler - fonksiyonlar, tepkiler, sonuç, açıklama.
Pratikte, regresyon denklemi çoğunlukla doğrusal ve doğrusal olmayan bir fonksiyon şeklinde seçilir (en basitleri hiperbol, üstel ve paraboldür).
Örnek 1.3.2. Taşıma görevi
Tedarikçilerin (inşaat tesisi, kağıt hamuru ve kağıt fabrikası, taş ocakları) tüm stoklarının (inşaat malzemeleri veya yapıları) çıkarılacağı, tüketici talebinin (yol çalışmaları, sahalar) tamamen karşılanacağı bir ulaşım planı hazırlanması gerekmektedir. ve aynı zamanda toplam nakliye maliyetleri minimum olacaktır (ulaşım maliyeti, şartlar, diğer kaynaklar).
Bu problemi çözerken, aşağıdakilere göre bir lineer denklem sistemi derlenir: xij- noktadan taşınan kargo (malzeme) miktarı i paragrafa j.
İnşaat sektöründeki denklemler
Örnek 1.4.1. Dikdörtgen bir levhanın (ortadaki) sapmasını hesaplayın. Dikdörtgen bir plaka, düzgün dağılmış bir yoğunluk q yükü ile yüklenir. Plaka kontur boyunca sıkıştırılır, kenarlar hareketsizdir.
Sarkma, aşağıdaki aralıkta doğrusal olmayan bir denklemin kökü olarak hesaplanır:
Örnek 1.4.2. Kolon L'nin uzunluğu, E çeliğinin elastisite modülü, C elastik desteğinin rijitlik katsayısı ve I atalet momenti biliniyorsa, I kesitli bir çelik kolon için kritik kuvveti belirleyin.
Kritik kuvvet şu formülle hesaplanır:
burada formül tarafından belirlenen sütun uzunluğunun azaltma faktörüdür
parametresi denklemin çözümünden bulunur.
aralıkta.
ARACI KULLANMAKPARAMETRE SEÇİMİ DENKLEMLER ÇÖZÜLDÜĞÜ ZAMAN
Üretim problemlerini çözerken genellikle parametre seçimi problemi ortaya çıkar. Örneğin, ekonomik hesaplamalarda, malların maliyetini hesaplamak, ücret fonunu hesaplamak, işletmenin faaliyetlerinden elde edilen kâr, sırayla birçok değişken ve değişmez faktöre bağlı olan algoritmalar kullanılır.
Örnek 2.1. Bu nedenle, önce PARAMETRE SEÇİMİ eklentisinin çalışma prensibini incelemek için çözümü düşünün. Doğrusal Denklem Microsoft Excel kullanarak Ax+B=C.
B3 hücresine değişkenin herhangi bir başlangıç değerini girin x, örneğin 0 ve C1 hücresinde denklemin sol tarafını formül biçiminde giriyoruz: =B1*B3+B2. İletişim kutusunu arayalım PARAMETRE SEÇİMİ komutları kullanmak Veriler - Ne Olursa Analizi - Uydurma. Bu pencerede alanda Hücrede ayarla alana formül içeren hücreye bir başvuru girin Anlam- sahada beklenen sonuç (yani 7) Hücredeki değeri değiştirme- seçilen parametrenin değerini depolayacak bir hücreye bağlantı (bu hücrenin içeriği bir formül olamaz).
Şekil 1 - İletişim kutusu PARAMETRE SEÇİMİ
Düğmeye bastıktan sonra TAMAM, sonucu alıyoruz.
Şekil 2 - Bir iletişim kutusu kullanarak doğrusal bir denklemi çözme PARAMETRE SEÇİMİ
alet olduğu bilinmektedir parametre seçimi esas olarak doğrusal bir denklemin çözümünde kullanılır. Örneğin, çözmeye çalışırsanız parametre seçimi ikinci dereceden denklem(iki kökü vardır), o zaman araç bir çözüm bulacaktır, ancak yalnızca bir tane, başlangıç değerine daha yakın olanı.
Örnek 2.2.İkinci dereceden bir denklem çözme örneğini düşünün. İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım. Önce ilk tabloyu oluşturalım.
Şekil 3 - İkinci dereceden denklemin ilk verileri
Herhangi bir x başlangıç değerini ayarlayın, örneğin 0. Ardından, aracı kullanın PARAMETRE SEÇİMİ.
Sonuç var: 2.
Farklı bir başlangıç değeri ayarlayarak ikinci kökü bulacağız, örneğin 5 ve aynı adımları yapacağız.
EKLENTİYİ KULLANMAÇÖZÜM ARAYIN DENKLEMLER ÇÖZÜLDÜĞÜ ZAMAN
Örnek 3.1.ÇÖZÜM ARAMA aracını kullanarak ikinci dereceden bir denklemi (önceki bölümden) çözmeyi düşünün.
İlk verileri girelim
Şekil 4 - İkinci dereceden denklemin ilk verileri
DATA komutunu seçerek ÇÖZÜM ARAMA aracını çağırın.
Şekil 5 - İkinci dereceden bir denklemi çözerken ÇÖZÜM ARAMA eklentisi
"Hedef hücreyi ayarla" alanında, ikinci dereceden denklem C1 formülüne sahip hücreyi seçin. Ardından, anahtarı "0'a Eşit" konumuna getirin. "Hücreleri değiştirme" alanına B4 hücresini ekleyin. "Yürüt" butonuna basalım. Bir karar aldık.
Şekil 6 - SEARCH FOR SOLUTION eklentisi kullanılarak bulunan ikinci dereceden denklemin çözümü
Bu şekilde çözülürken de sadece bir kök elde edilmiştir.
İkinci kökü bulmak için x değişkeninin başka bir başlangıç değerini, örneğin 1'e eşitleyelim.
Bununla birlikte, herhangi bir üretimde çoğu zaman denklemlerle uğraşmanız gerekir. daha yüksek dereceler.
Örnek 3.2. Düşünmek beşinci dereceden denklem-3x 5 +x 3 +2x 2 -3x-3=0.
Denklemin köklerini bulmadan önce (ve bu denklemin en fazla 5 kökü olmalıdır), bu köklerin hangi aralıklarda bulunduğunu öğreniyoruz. Denklemin köklerinin konumundaki boşlukları açıkça görebildiğimiz fonksiyonun grafiğini kullanalım.
Fonksiyonun grafiğini oluşturalım. Bunu yapmak için A1 hücresine "x", B1 hücresine "y" girin. değerler X A2: A22 hücrelerine, değerleri girin de sırasıyla B2: B22 hücrelerinde hesaplayacağız.
Şekil 7 - Beşinci dereceden denklem formülü
Denklemin kökü olduğu bilinmektedir (denklem şu şekilde yazılmıştır: f(x)=0), fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu argümanın değeridir. Grafik gösterimde, bu, fonksiyonun grafiğinin x ekseni ile kesişme veya dokunma noktası olabilir.
Fonksiyonun grafiğini oluşturalım.
Şekil 8 - [-10; 10] 1'lik artışlarla
Fonksiyonun grafiği, denklemin [-1; 0].
ÇÖZÜM ARAMA aracını kullanarak bulalım. Bunu yapmak için, tabloda denklemin çözümüne yakın bir nokta seçin, örneğin -0.7.
Şekil 9 - Eklentiyi kullanarak denklemin kökünü bulma
ÇÖZÜM ARAYIN
Hücreleri Biçimlendir komutunu kullanarak göreli hatayı 0.0001 olarak ayarlayın.
Yani denklemin çözümü x ≈ -0.668'dir.
Böylece, en yüksek dereceden denklemi çözmek için bir algoritmamız var:
yalnızca bir kök içeren aralıkları arayın;
kökün seçilen aralıkta iyileştirilmesi (kökün değerini belirli bir doğrulukla belirleyerek).
trigonometrik denklemler
Trigonometrik denklemlerin bir özelliği, sonsuz sayıda çözüme sahip olmaları ve tüm çözümlerin belirli bir süre birbirinden farklı olmasıdır.
Trigonometrik denklemlerden birinin çözümüne ilişkin bir örnek, Ek 1'de ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.
Ek 2 ayrıca bir lineer denklem sistemine çözüm bulma örneği içerir.
ÇÖZÜM
Araştırma çalışması sonucunda, çeşitli denklemlerin ve denklem sistemlerinin çözümünün ekonomi ve sanayinin birçok sektöründe kullanıldığı ortaya çıktı.
Araştırma sırasında, Microsoft Excel'de ÇÖZÜM ARAMA ve PARAMETRE SEÇİMİ araçlarını kullanarak denklemlerin köklerini ve doğrusal denklem sistemlerini nasıl bulacağımızı öğrendik, Microsoft Excel kullanarak denklem çözme hakkında video kursları oluşturduk.
Böylece bu çalışmanın amaç ve hedeflerine ulaşılmıştır.
Ek olarak, deneysel olarak, Microsoft Excel uygulamasının ÇÖZÜM ARAMA ve PARAMETRE SEÇİMİ'nin kullanılmasının, denklemlerin köklerini ve denklem sistemlerini bulma sürecini büyük ölçüde basitleştirdiği bulunmuştur. Böylece çalışmanın başında kurulan hipotez doğrulanmıştır.
Gerçekleştirilen çalışmanın sonuçları, özellikle görev karmaşık hesaplamalar içerecekse, çalışılan araçların yeteneklerini gelecekteki profesyonel faaliyetlerde kullanmaya izin verecektir.
Çalışma sadece eğitim faaliyetlerindeki öğrenciler için değil, aynı zamanda nesnelerin tasarımında yer alan ekonomi ve endüstrinin çeşitli sektörlerindeki uzmanlar için de faydalı olabilir.
Bu çalışmanın sonuçları, Microsoft Excel uygulamasının diğer özelliklerini incelemek için kullanılabilir.
Bu çalışma tamamlanmadı. Microsoft Excel kullanarak doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözmenin yollarını düşünmeye devam etmeyi planlıyoruz.
KULLANILAN KAYNAKLAR VE EDEBİYAT LİSTESİ:
Bogomolov, S.V. Ulaştırma tesislerinin tasarlanması için ekonomik-matematiksel yöntemler [Elektronik kaynak]: her türlü eğitimin 270205 "Otomobil yolları ve havaalanları" uzmanlık alanı öğrencileri için pratik alıştırmalar ve bağımsız çalışma için yönergeler / S.V. Bogomolov. - Elektron. Dan. - Kemerovo: KuGTU, 2013. - 30 s.
Ekonomistler için bilgisayar bilimi. Uygulama: lisans / ed için ders kitabı. Başkan Yardımcısı Polyakova, V.P. Kosarev. - M.: Yurayt Yayınevi, 2013. - 343 s.
Mitrofanov, S.V. MathCAD sisteminin elektrik mühendisliği ve elektromekanik problemlerinin çözümünde kullanımı: WGD'nin "Uygulamalı programlama görevleri" / S.V. Mitrofanov, A.Ş. Padeev. - Orenburg: GOU OGU, 2005. - 40 s.
Repkin, D.A. Ekonomide uygulamalı problemleri çözmek için MS EXCEL'in kullanımı: 080100 "Ekonomi" yönündeki öğrenciler için tüm eğitim profillerinin, tüm eğitim biçimlerinin / D.A. Repkin. - Kirov: PRIP FGBOU VPO "VyatGU", 2012. [Elektronik kaynak]
Fedulov, S.V. Mali hesaplamalarda MS Excel kullanımı: ders kitabı.-yöntem. ödenek / S.V. Fedulov. - Ekaterinburg: UrGUPS Yayınevi, 2013. - 94 s.
Sayısal yöntemler. Bölüm 1: "Bilişim" ve "Hesaplamalı Matematik" / Comp. FG Akhmadiev, F.G. Gabbasov, R.F. Gizyayatov, I.V. Malanichev. - Kazan: Kazan Yayınevi. durum mimar-inşa eder. un-ta, 2013 - 34 s.
Excel'de doğrusal olmayan denklemlerin çözümü https://www.altstu.ru/media/f/lr3nelin-uravn.pdf - Altay Devlet Teknik Üniversitesi web sitesi I.I. Polzunova
http://excel2.ru/articles/podbor-parametra-v-ms-excel - Excel2.ru sitesi
https://knowledge.allbest.ru/mathematics/3c0b65625b3ad68b4c43a89421306d37_0.html - site allbest
Ek 1
ÇÖZÜM ARAMA aracını kullanarak bir trigonometrik denklemi çözme
Denklemin çözümlerini bulalım.
Bu denklemi örnek 3.1 ile aynı şekilde çözeceğiz. Yani:
Fonksiyonu tablolaştıralım ve grafiğini çizelim;
Denklemin köklerini açıklayalım.
Fonksiyonu [-10; on]. İlk olarak, A2: A22 hücrelerinde, x argümanının değerlerini ayarlıyoruz ve B2: B22 hücrelerine yazdığımız bu noktalarda fonksiyonun değerlerini buluyoruz.
B2 hücresine şu formülü girin: =A2*TAN(A2)-1
Şekil 1 - Argüman ve fonksiyon değerleri tablosu
[-10; 10] 1'lik artışlarla
Bu segment üzerinde fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım.
Şekil 2 - Belirli bir trigonometrik fonksiyonun grafiği
Fonksiyon değerlerinin grafiğini ve tablosunu analiz ettikten sonra, denklemin köklerinin (-10; -9), (-7; -6); (-4; -3), vb., yani fonksiyonun işaret değiştirdiği ve Öküz eksenini geçtiği aralıklarda.
Denklemin ilk kökünü düzeltelim. Bunu yapmak için, imleci B2 hücresine yerleştirin ve ÇÖZÜM ARAMA aracını çağırın.
Şekil 3 - Eklenti ÇÖZÜM ARAMA
Böylece ilk kök elde edilmiş olur.
Şekil 4 - Trigonometrik denklemin çözümü
Benzer şekilde, x=-7 ve x=-4 başlangıç değerini ayarlayarak denklemin kökünü buluruz.
Şekil 5 - Trigonometrik denklemin üç kökü
Teğet fonksiyonunun periyodu π olduğu göz önüne alındığında, denklemin kökleri arasındaki farkı buluruz: 3.04 ve 3.01 elde ettik. Yani, kökler arasındaki fark yaklaşık 3'tür. Bu nedenle, aşağıdaki denklemin kökleri: - 0.4; 2.6; vb.
Bu nedenle, bir trigonometrik denklemin köklerini bulmak için, daha yüksek dereceli denklemleri çözerken olduğu gibi aynı adımları yapmak gerekir.
Ek 2
alet kullanımıÇÖZÜM ARAYIN lineer denklem sistemlerini çözerken
ÇÖZÜM ARAMA aracını kullanarak bir lineer denklem sistemini de çözebilirsiniz.
Örnek 4.1. Aşağıdaki lineer denklem sistemini çözüyoruz
Bunu yapmak için denklem sisteminin çözümlerinin yazılacağı hücreleri ayarlayacağız. A2:D2 hücreleri olsun.
Şekil 1 - Bir doğrusal denklem sistemini çözmek için bir tablo oluşturma
Tanımlama alanında (ilk değerler) yer alan keyfi değerleri (А2:D2) çözmeye yönelik hücrelere girelim.
(A3:D3) hücrelerine, denklemlerin doğru kısımlarının hesaplanması gereken formülleri gireceğiz: (=8*A2+4*B2-6*C2; =-2*A2-4*C2-6* D2; =6*A2 +4*B2+4*C2+6*D2 = 4*A2+6*B2+8*C2+8*D2)
Şekil 2 - Bir lineer denklem sistemini çözmek için başlangıç tablosu
DATA menüsünden ÇÖZÜM ARAMA işlemini başlatalım. Formül içeren hücrelerden birini hedef hücre olarak seçelim (örneğin A3), -18'e eşitleyelim.
HÜCRELERİ DEĞİŞTİR alanına A2:D2 hücrelerini ekleyin. EKLE butonuna tıklayarak kısıtlamaları ekleyelim: В3=-2; C3=-14; D3=-6.
Şekil 3 - İletişim kutusu eklentisi ÇÖZÜM ARAMA
Şekil 4 - KISITLAMA EKLE iletişim kutusu
YÜRÜT düğmesine tıklayın. Bir çözüm elde ederiz:
Şekil 5 - Bir lineer denklem sistemini çözme
Böylece lineer denklem sisteminin çözümü bulunmuştur. Çözümü (x1=-5, x2=1, x3=-3, x4=4) ikame ile kontrol edersek, doğru eşitlikleri elde ederiz.
dersin amacı: elektronik tablo becerilerini geliştirmeye devam edin.
- eğitici: elektronik tablolarda basit hesaplamalar oluşturma, düzenleme, biçimlendirme ve gerçekleştirme becerilerini oluşturmak.
- gelişmekte: öğrencilerin elektronik tabloların olası uygulama alanlarını anlamalarını genişletmek; analitik düşünme, konuşma ve dikkat becerilerini geliştirmek.
- eğitici: bilişsel ilgiyi oluşturmak ve beslemek; işte bağımsızlık becerilerini aşılamak.
Ders planı.
- Organizasyon zamanı.
- Öğrencilerin bilgilerini güncellemek.
- Ev ödevi kontrol ediliyor.
- Problem çözme.
- Bağımsız problem çözme.
- Özetleme. Tahminler.
- Ev ödevi.
Dersler sırasında
1. Organizasyonel an.
Dersin konusunu bildirin, dersin amaç ve hedeflerini formüle edin.
Bugün yine Masal Diyarı'ndaki küçük dev Vasya'yı ziyaret edeceğiz. Her zamanki gibi yardımınıza ihtiyacı var çocuklar.
Vasya'ya yardım edebilir misin? Şimdi kontrol edelim!
2. Öğrencilerin bilgilerinin gerçekleştirilmesi.
1) Soruları sözlü olarak yanıtlayın.
| A | B | C | D | |
| 1 | 2 | 1 | =A1+3*B1 | =A1^2+B1 |
| 2 | 4 | 6 | =A2+3*B2 | =A2^2+B2 |
- Elektronik tablo nedir?
- Bir elektronik tablonun temel unsurları nelerdir?
- Bir elektronik tablodaki bir hücrenin (satır, sütun) adı nasıldır?
- Bir hücrenin içeriği ne olabilir?
- 1 sayısı sütunda..., satırda..., adresli hücrede...
- 4 numara, adresin bulunduğu hücrede...
- Hücrelere formül yazmanın kuralları nelerdir?
- C1 hücresindeki formülle hesaplanan değer nedir?
- D2 hücresindeki formülle hesaplanan değer nedir?
2) Formüllü hücrelerde nasıl bir sonuç elde edilir?
| ANCAK | AT | |
| 1 | 25 | 4 |
| 2 | 2 | =A1*B1/2 |
| 3 |
Cevap: 25*4/2=50
| A | B | C | D | |
| 1 | 5 | 2 | 1 | |
| 2 | 6 | 8 | 3 | |
| 3 | 8 | 3 | 4 | |
| 4 | =TOPLA(B1:D3) |
- =TOPLA(B1:D3) girişi ne anlama geliyor?
- B1:D3 bloğu kaç öğe içeriyor? Cevap: 9.
- D3 hücresinin içeriği? Cevap: 5+2+1+6+8+3+8+3+4= 40
3) ödev kontrolü
Yüzme sonuçları
Bir öğrenci ödevini nasıl yaptığını anlatır (projektör aracılığıyla).
| № | AD SOYAD. | 1 | 2 | 3 | En iyi zaman | Ortalama süre | Sapma | |
| 1 | Lyagushkin | 3.23 | 3.44 | 3.30 | ||||
| 2 | Morjov | 3.21 | 3.22 | 3.24 | ||||
| 3 | köpekbalıkları | 3.17 | 3.16 | 3.18 | ||||
| 4 | Rybin | 3.24 | 3.20 | 3.18 | ||||
| 5 | Çerepakhin | 3.56 | 3.44 | 3.52 | ||||
| Maksimum sapma | ||||||||
- Her sporcu için ortalama süre, üç serisinin aritmetik ortalaması olarak bulunur.
- 3 elemenin minimum sonucu "En iyi zaman" hücresine kaydedilir.
- "Yarışmanın en iyi sonucu" hücresi, sütundaki minimum süreyi kaydeder.
- Sporcunun en iyi zamanı ile yarışmanın en iyi sonucu arasındaki fark "Sapma" sütununa kaydedilir.
- Maksimum Sapma hücresi, sütunun maksimum değerini içerir.
| Yüzme sonuçları | |||||||
| № | AD SOYAD. | 1 | 2 | 3 | En iyi zaman | Ortalama süre | Sapma |
| 1 | Lyagushkin | 3,23 | 3,44 | 3,30 | 3,23 | 3,32 | 0,07 |
| 2 | Morjov | 3,21 | 3,22 | 3,24 | 3,21 | 3,22 | 0,05 |
| 3 | köpekbalıkları | 3,17 | 3,16 | 3,18 | 3,16 | 3,17 | 0,00 |
| 4 | Rybin | 3,24 | 3,20 | 3,18 | 3,18 | 3,21 | 0,02 |
| 5 | Çerepakhin | 3,56 | 3,44 | 3,52 | 3,44 | 3,51 | 0,28 |
| Yarışmanın en iyi sonucu | 3,16 | ||||||
| Yarışmacıların ortalama süresi | 3,29 | ||||||
| Maksimum sapma | 0,28 | ||||||
4) Basit problemleri çözmek.
Küçük dev Vasya, bahçesinin etrafındaki çiti onarmaya ve sebze dikmek için kazmaya karar verdi (başka bir bahar geldi), dikdörtgen yatakları işaretleyin. İş için çitin uzunluğunu ve sitenin alanını bulması gerekiyordu. Ama hiç okula gitmedi. Vasya'ya yardım edelim.
Hayır. 1. Kenarları olan bir dikdörtgenin çevresini ve alanını hesaplayın:
a) 3 ve 5; b) 6 ve 8; c) 10 ve 7.
Bu sorunu çocuklarla birlikte tartışıyoruz:
- Bir masa nasıl yapılır?
- Hangi formülleri kullanmalı?
- Bir sonraki dikdörtgen için önceden yazılmış formüller nasıl kullanılır?
Masa tasarımı - tahtada ve defterlerde.
Aynı zamanda başka bir öğrenci aşağıdaki problemi bağımsız olarak çözer ve çözümünü (projektör aracılığıyla) öğrencilere sunar.
2 numaralı sorunun çözümünü tartıştıktan sonra, bir sonraki sorunun çözümüne geçiyoruz.
Bir öğrenci formüllerle nasıl çalışılacağını gösterirken, diğeri toplama işlevinin, sayı biçiminin (genel, para birimi) vb. nasıl kullanılacağını gösterir. (Tablo zaten hazır, öğrencilerin formülleri girmeleri, toplamı kullanmaları ve cevabı almaları gerekecek).
Hayır. 3. ET kullanarak hesaplayın, Vasya'nın annesinin onun için sipariş ettiği tüm ürünleri alması için 150 ruble yeterli olacak mı ve 10 ruble için cips için yeterli olacak mı? Annem parayı kumbaraya koymama izin verdi. Kumbaraya kaç ruble gidecek?
Önerilen çözüm:
| № | İsim | Ruble cinsinden fiyat | Miktar | Fiyat |
| 1 | Ekmek | 9,6 | 2 | =C2*D2 |
| 2 | Kahve | 2,5 | 5 | =C3*D3 |
| 3 | Süt | 13,8 | 2 | =C4*D4 |
| 4 | köfte | 51,3 | 1 | =C5*D5 |
| =TOPLA(E2:E5) | ||||
| Alışverişten sonra kalacak | =150-E6 | |||
| Cips satın aldıktan sonra kalacak | =D7-10 | |||
5) Sorunun bağımsız çözümü.
Küçük dev Vasya, Çiçek Şehri sakinlerini sık sık ziyaret etti.
Plaja giden neşeli küçük adamlar, alkolsüz içecekler stoklamaya karar verdiler. Dunno yanına 2 litre kvas, 1 litre soda ve 1 litre ahududu şurubu, Donut - 3 litre soda ve 2 litre ahududu şurubu, Toropyzhka - 2 litre soda, Dr. Pilyulkin - 1 litre kvas ve 1 litre hint yağı.
- Bütün küçük adamlar her türden kaç litre içki içmiştir?
- Küçük adamların her biri yanlarına kaç litre içki almıştır?
- Bütün küçük adamlar birlikte kaç litre içki içti?
Tabloyu istediğiniz gibi tasarlayın ve kişisel klasörünüze kaydedin.
Çalışmanın sonucu.
| Neşeli insanlar. İçecekler. | |||||
| İçki | bilmem | Tatlı çörek | aceleci | Pilyulkin | Toplam |
| Kvas, ben | 2 | 0 | 0 | 1 | 3 |
| soda, ben | 1 | 3 | 2 | 0 | 6 |
| şurup, l | 1 | 2 | 0 | 0 | 9 |
| Hint yağı, l | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| TOPLAM: | 4 | 5 | 2 | 2 | 13 |
7) Özetlemek. Tahminler.
8) Ev ödevi.
Aşağıdaki miktarlar biliniyorsa bu sorunu düşünün ve çözün.
Tablo nasıl değişecek? Hangi formüller görünecek?
Flower City'de 1 litre kvasın 1 jeton, 1 litre soda - 3 jeton, 1 litre ahududu şurubu - 6 jeton, 1 litre hint yağı - 2 jeton olduğu bilinmektedir.
- Her bir kişi içecek almak için kaç jeton harcadı?
- Her türden içecek satın almak için kaç jeton harcanır?
- Bütün küçük adamlar birlikte ne kadar para harcadı?
Edebiyat
- bilişim. 2 ciltte görev kitabı atölyesi / Ed. I.G.Semakina, E.K.Khenner - M.: Temel Bilgi Laboratuvarı, 2010.
- Efimova O. Bilişim temelleri ile bilgisayar teknolojisi kursu. - M.: LLC "Yayınevi AST"; ABF, 2005.