İkinci dereceden L şekli itibaren N değişkenler, her terimi bu değişkenlerden birinin karesi veya iki farklı değişkenin çarpımı olan bir toplamdır.
Bunu ikinci dereceden formda varsayarsak L Benzer terimlerin indirgenmesi zaten yapılmıştır, bu formun katsayıları için aşağıdaki gösterimi uygulayalım: for katsayısı ile gösterilir ve for çarpımındaki katsayı ile gösterilir. Çünkü bu çarpımın katsayısı aynı zamanda ile de gösterilebilir, yani. Sunduğumuz gösterim eşitliğin geçerliliğini varsayar. Terim artık şu şekilde yazılabilir:
ve tüm ikinci dereceden form L- mümkün olan tüm terimlerin toplamı şeklinde, burada Ben Ve J zaten birbirlerinden bağımsız değerler üstleniyorlar
1'den N:
(6.13)
Katsayılar n mertebesinde bir kare matris oluşturmak için kullanılabilir; buna denir ikinci dereceden L formunun matrisi, ve onun rütbesi rütbe bu ikinci dereceden form. Eğer özellikle , yani. matris dejenere değilse ikinci dereceden bir formdur L isminde dejenere olmayan. O zamandan beri, A matrisinin ana köşegenine göre simetrik olan elemanları birbirine eşittir, yani. matris A – simetrik. Tersine, herhangi bir simetrik matris A için N sırayla, iyi tanımlanmış ikinci dereceden bir form (6.13) belirtilebilir. N katsayılarıyla birlikte A matrisinin elemanlarına sahip değişkenler.
İkinci dereceden form (6.13), Bölüm 3.2'de tanıtılan matris çarpımı kullanılarak matris formunda temsil edilebilir. Değişkenlerden oluşan bir sütunu X ile gösterelim
X, n satır ve bir sütundan oluşan bir matristir. Bu matrisin yerini değiştirerek matrisi elde ederiz 
, tek satırdan oluşur. Matrisli ikinci dereceden form (6.13) artık aşağıdaki çarpım olarak yazılabilir:
Aslında:
ve (6.13) ve (6.14) formüllerinin denkliği kurulmuştur.
Matris formunda yazın.
○ İkinci dereceden formda bir matris bulalım. Köşegen elemanları kare değişkenlerin katsayılarına eşittir, yani. 4, 1, –3 ve diğer elemanlar – ikinci dereceden formun karşılık gelen katsayılarının yarısına. Bu yüzden
. ●
Değişkenlerin dejenere olmayan doğrusal dönüşümü altında ikinci dereceden formun nasıl değiştiğini bulalım.
A ve B matrisleri çarpımları tanımlıysa eşitliğin geçerli olduğunu unutmayın:
(6.15)
Aslında, AB çarpımı tanımlanmışsa, çarpım da tanımlanacaktır: matrisin sütun sayısı, matrisin satır sayısına eşittir. Matris öğesi kendi içinde duruyor Bençizgi ve J sütununda AB matrisinde yer alır Jçizgi ve Ben sütun. Bu nedenle karşılık gelen elemanların çarpımlarının toplamına eşittir. J A matrisinin -inci satırı ve Ben B matrisinin inci sütunu, yani doğrunun karşılık gelen elemanlarının çarpımlarının toplamına eşit J matrisin inci sütunu ve Ben matrisin inci satırı. Bu eşitliği kanıtlar (6.15).
Matris-sütun değişkenleri olsun 
Ve 
X = CY doğrusal ilişkisi ile ilişkilidir, burada C = ( c ij) 
tekil olmayan bazı matrisler var N-inci sipariş. Daha sonra ikinci dereceden form
veya 
, Nerede .
Matris simetrik olacaktır, çünkü herhangi bir sayıda faktör için açıkça geçerli olan eşitlik (6.15) ve A matrisinin simetrisine eşdeğer olan eşitlik göz önüne alındığında, elimizde:
Dolayısıyla, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm X=CY ile ikinci dereceden formun matrisi şu formu alır:
Yorum. İkinci dereceden bir formun sırası, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm gerçekleştirilirken değişmez.
Örnek. İkinci dereceden bir form verildiğinde
Verilen doğrusal dönüşümden elde edilen ikinci dereceden formu bulun
, .
○ Belirli bir ikinci dereceden formun matrisi 
ve doğrusal dönüşüm matrisi 
. Bu nedenle (6.16)'ya göre istenilen ikinci dereceden formun matrisi
ve ikinci dereceden form şu forma sahiptir: ●
İyi seçilmiş bazı doğrusal dönüşümlerle ikinci dereceden formun biçimi önemli ölçüde basitleştirilebilir.
İkinci dereceden şekil 
isminde kanonik(veya var kanonik görünüm), eğer tüm katsayıları Ben≠ J:
,
ve matrisi köşegendir.
Aşağıdaki teorem doğrudur.
Teorem 6.1. Herhangi bir ikinci dereceden form, değişkenlerin dejenere olmayan doğrusal dönüşümü kullanılarak kanonik forma indirgenebilir.
Örnek. İkinci dereceden formu kanonik forma düşürün
○ Öncelikle kare katsayısı sıfırdan farklı olan değişkenin tam karesini seçiyoruz:
.
Şimdi kare katsayısı sıfırdan farklı olan değişkenin karesini seçelim:
Yani, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm
bu ikinci dereceden formu kanonik forma indirger
.●
İkinci dereceden bir formun kanonik formu benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır, çünkü aynı ikinci dereceden form birçok yönden kanonik forma indirgenebilir. Ancak çeşitli yöntemlerle elde edilen kanonik formların bir takım ortak özellikleri vardır. Bu özelliklerden birini teorem olarak formüle edelim.
Teorem 6.2.(İkinci dereceden formların eylemsizlik yasası).
İkinci dereceden formun pozitif (negatif) katsayılarına sahip terimlerin sayısı, formun bu forma indirgeme yöntemine bağlı değildir.
Örneğin, ikinci dereceden form
131. sayfada tartışılan örnekte forma getirdiğimiz
dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm uygulanarak mümkün oldu
anımsatmak
.
Gördüğünüz gibi pozitif ve negatif katsayıların sayısı (sırasıyla iki ve bir) korunmuştur.
İkinci dereceden bir formun derecesinin, kanonik formun sıfır olmayan katsayılarının sayısına eşit olduğuna dikkat edin.
İkinci dereceden şekil 
Değişkenlerin tüm değerleri için en az biri sıfırdan farklı ise pozitif (negatif) kesin olarak adlandırılır,
(
).
İkinci dereceden form kavramı. İkinci dereceden formun matrisi. İkinci dereceden formun kanonik formu. Lagrange yöntemi. İkinci dereceden bir formun normal görünümü. İkinci dereceden formun sıralaması, indeksi ve imzası. Pozitif tanımlı ikinci dereceden form. Kuadrikler.
İkinci dereceden form kavramı: vektörün koordinatlarında ikinci dereceden homojen bir polinomla tanımlanan bir vektör uzayı üzerinde bir fonksiyon.
İkinci dereceden form N Bilinmeyen 
her bir terimi bu bilinmeyenlerden birinin karesi veya iki farklı bilinmeyenin çarpımı olan toplam olarak adlandırılır.
İkinci dereceden matris: Matrise, belirli bir temelde ikinci dereceden formdaki bir matris denir. Alan karakteristiği 2'ye eşit değilse ikinci dereceden formdaki matrisin simetrik olduğunu varsayabiliriz.
İkinci dereceden formda bir matris yazın:
Buradan,
Vektör matris formunda ikinci dereceden form şöyledir:
A, nerede 
İkinci dereceden formun kanonik formu:İkinci dereceden bir forma kanonik denir, eğer hepsi 
yani.
Herhangi bir ikinci dereceden form, doğrusal dönüşümler kullanılarak kanonik forma indirgenebilir. Uygulamada genellikle aşağıdaki yöntemler kullanılmaktadır.
Lagrange yöntemi : tam karelerin sıralı seçimi. Örneğin, eğer
Daha sonra ikinci dereceden formda benzer bir prosedür gerçekleştirilir. 
vb. İkinci dereceden formda her şey ancak 
daha sonra ön dönüşümün ardından konu, dikkate alınan prosedüre gelir. Yani, örneğin, o zaman varsayarsak 
İkinci dereceden formun normal formu: Normal ikinci dereceden form, tüm katsayıların +1 veya -1'e eşit olduğu kanonik ikinci dereceden bir formdur.
İkinci dereceden formun sıralaması, dizini ve imzası:İkinci dereceden formun sıralaması A matrisin rütbesi denir A. İkinci dereceden bir formun sırası, bilinmeyenlerin dejenere olmayan dönüşümleri altında değişmez.
Negatif katsayıların sayısına negatif form indeksi denir.
Kanonik formdaki pozitif terimlerin sayısına ikinci dereceden formun pozitif atalet indeksi, negatif terimlerin sayısına ise negatif indeks denir. Pozitif ve negatif endeksler arasındaki farka ikinci dereceden formun imzası denir.
Pozitif tanımlı ikinci dereceden form: Gerçek ikinci dereceden form 
Değişkenlerin aynı anda sıfır olmayan herhangi bir gerçek değeri için pozitif tanımlı (negatif tanımlı) olarak adlandırılır,
. (36)
Bu durumda matrise pozitif tanımlı (negatif tanımlı) da denir.
Pozitif belirli (negatif belirli) formlar sınıfı, negatif olmayan (yani pozitif olmayan) formlar sınıfının bir parçasıdır.
Kuadrikler:İkinci dereceden - N boyutlu hiperyüzey N+1 boyutlu uzay, ikinci dereceden bir polinomun sıfırları kümesi olarak tanımlanır. Koordinatları girerseniz ( X 1 , X 2 , xn+1 ) (Öklid veya afin uzayda), ikinci dereceden bir denklemin genel denklemi şöyledir:
Bu denklem matris gösteriminde daha kısa bir şekilde yeniden yazılabilir:
burada x = ( X 1 , X 2 , xn+1 ) — satır vektörü, X T, yeri değiştirilmiş bir vektördür, Q— boyut matrisi ( N+1)×( N+1) (elemanlarından en az birinin sıfır olmadığı varsayılır), P bir satır vektörüdür ve R- devamlı. Gerçek veya karmaşık sayılar üzerindeki kuadrikler çoğunlukla dikkate alınır. Tanım, yansıtmalı uzaydaki kuadriklere genişletilebilir, aşağıya bakınız.
Daha genel olarak, bir polinom denklemler sisteminin sıfırları kümesi cebirsel çeşitlilik olarak bilinir. Dolayısıyla, bir kuadratik, ikinci dereceden ve 1 kodlu bir (afin veya projektif) cebirsel çeşittir.
Düzlem ve uzayın dönüşümleri.
Düzlem dönüşümünün tanımı. Hareket algılama. hareketin özellikleri. İki tür hareket vardır: Birinci türden hareket ve ikinci türden hareket. Hareket örnekleri. Hareketin analitik ifadesi. Düzlem hareketlerinin sınıflandırılması (sabit noktaların ve değişmez çizgilerin varlığına bağlı olarak). Grup düzlem hareketleri.
Düzlem dönüşümünün tanımı: Tanım. Noktalar arasındaki mesafeyi koruyan düzlem dönüşümüne denir hareket uçağın (veya hareketinin). Düzlem dönüşümü denir afin Aynı doğru üzerinde bulunan herhangi üç noktayı yine aynı doğru üzerinde bulunan ve aynı zamanda üç noktanın basit ilişkisini koruyarak üç noktaya dönüştürürse.
Hareket Tanımı: Bunlar noktalar arasındaki mesafeleri koruyan şekil dönüşümleridir. Eğer iki şekil hareket yoluyla birbirine tam olarak hizalanıyorsa bu şekiller aynı, eşittir.
Hareket özellikleri: Bir düzlemin yönelimi koruyan her hareketi ya paralel öteleme ya da dönmedir; bir düzlemin yönelimi değiştiren her hareketi ya eksenel simetri ya da kayma simetrisidir. Hareket ederken, düz bir çizgi üzerinde bulunan noktalar, düz bir çizgi üzerinde yer alan noktalara dönüşür ve göreceli konumlarının sırası korunur. Hareket ederken yarım çizgiler arasındaki açılar korunur.
İki tür hareket: birinci türden hareket ve ikinci türden hareket: Birinci türden hareketler, belirli bir figürün tabanlarının yönünü koruyan hareketlerdir. Sürekli hareketlerle gerçekleştirilebilirler.
İkinci tür hareketler, tabanların yönünü tersine değiştiren hareketlerdir. Sürekli hareketlerle gerçekleştirilemezler.
Birinci türdeki hareketlerin örnekleri, düz bir çizgi etrafında öteleme ve dönmedir; ikinci türdeki hareketler ise merkezi ve ayna simetrileridir.
Birinci türden herhangi bir sayıda hareketin bileşimi birinci türden bir harekettir.
İkinci türden çift sayıdaki hareketlerin bileşimi 1. türden harekettir ve 2. türden tek sayıdaki hareketlerin bileşimi 2. türden harekettir.
Hareket örnekleri:Paralel aktarım. Verilen vektör a olsun. A vektörüne paralel transfer, düzlemin kendi üzerine eşlenmesidir; burada her M noktası M1 noktasına eşlenir, böylece MM1 vektörü a vektörüne eşit olur.
Paralel öteleme bir harekettir çünkü mesafeleri koruyarak düzlemin kendi üzerine haritalanmasıdır. Bu hareket görsel olarak tüm düzlemin belirli bir vektör a yönünde uzunluğuna göre kayması olarak temsil edilebilir.
Döndür. Düzlem üzerinde O noktasını gösterelim ( tornalama merkezi) ve açıyı ayarlayın α ( dönme açısı). Düzlemin O noktası etrafında bir a açısı kadar dönmesi, düzlemin kendi üzerine eşlenmesidir; burada her M noktası, OM = OM 1 ve MOM 1 açısı a'ya eşit olacak şekilde M 1 noktasına eşlenir. Bu durumda, O noktası yerinde kalır, yani kendi üzerine haritalanır ve diğer tüm noktalar O noktası etrafında aynı yönde - saat yönünde veya saat yönünün tersine döner (şekil saat yönünün tersine dönüşü gösterir).
Döndürme bir harekettir çünkü mesafelerin korunduğu düzlemin kendi üzerine haritalanmasını temsil eder.
Hareketin analitik ifadesi:ön görüntünün koordinatları ile noktanın görüntüsü arasındaki analitik bağlantı (1) biçimindedir.
Düzlem hareketlerin sınıflandırılması (sabit noktaların ve değişmez çizgilerin varlığına bağlı olarak): Tanım:
Düzlemdeki bir nokta, belirli bir dönüşüm altında kendisine dönüşüyorsa değişmezdir (sabittir).
Örnek: Merkezi simetride simetri merkezinin noktası değişmez. Dönerken dönme merkezinin noktası değişmez. Eksenel simetride, değişmez çizgi düz bir çizgidir; simetri ekseni ise değişmez noktalardan oluşan düz bir çizgidir.
Teorem: Bir hareketin tek bir değişmez noktası yoksa en az bir değişmez yönü vardır.
Örnek: Paralel aktarım. Aslında bu yöne paralel düz çizgiler, değişmez noktalardan oluşmasa da, bir bütün olarak şekil olarak değişmezdir.
Teorem: Eğer bir ışın hareket ederse, ışın kendi içine doğru ötelenir, bu durumda bu hareket, verilen ışını içeren düz çizgiye göre ya özdeş bir dönüşüm ya da simetridir.
Bu nedenle, değişmez noktaların veya şekillerin varlığına dayanarak hareketleri sınıflandırmak mümkündür.
| Hareket adı | Değişmez noktalar | Değişmez çizgiler |
| Birinci türden hareket. | ||
| 1. - dönüş | (merkez) - 0 | HAYIR |
| 2. Kimlik dönüşümü | uçağın tüm noktaları | tamamen düz |
| 3. Merkezi simetri | nokta 0 - merkez | 0 noktasından geçen tüm doğrular |
| 4. Paralel aktarım | HAYIR | tamamen düz |
| İkinci türden hareket. | ||
| 5. Eksenel simetri. | nokta kümesi | simetri ekseni (düz çizgi) tüm düz çizgiler |
Düzlem hareket grubu: Geometride, figürlerin kendi kompozisyonlarından oluşan gruplar önemli bir rol oynar. Eğer bir düzlemde (veya uzayda) belirli bir figür varsa, o zaman figürün kendisine dönüştüğü düzlemin (veya uzayın) tüm hareketlerinin bir kümesini düşünebiliriz.
Bu set bir gruptur. Örneğin, bir eşkenar üçgen için, üçgeni kendisine dönüştüren düzlem hareketleri grubu 6 unsurdan oluşur: bir nokta etrafındaki açılar boyunca dönmeler ve üç düz çizgi etrafındaki simetriler.
Şekil 2'de gösterilmektedirler. 1 kırmızı çizgili. Düzenli bir üçgenin kendi kendine hizalanma grubunun elemanları farklı şekilde belirtilebilir. Bunu açıklamak için, normal bir üçgenin köşelerini 1, 2, 3 sayılarıyla numaralandıralım. Üçgenin kendi kendine hizalanması 1, 2, 3 noktalarını aynı noktalara götürür, ancak farklı bir sırayla alınır, yani. şartlı olarak bu parantezlerden biri şeklinde yazılabilir:
vesaire.
burada 1, 2, 3 sayıları, söz konusu hareketin bir sonucu olarak 1, 2, 3 köşelerinin girdiği köşelerin sayısını gösterir.
Projektif uzaylar ve modelleri.
Projektif uzay kavramı ve projektif uzay modeli. Projektif geometrinin temel gerçekleri. O noktasında ortalanan bir grup çizgi, projektif düzlemin bir modelidir. Projektif noktalar. Uzatılmış düzlem projektif düzlemin bir modelidir. Genişletilmiş üç boyutlu afin veya Öklid uzayı, yansıtmalı uzayın bir modelidir. Paralel tasarımda düz ve mekansal figürlerin görüntüleri.
Projektif uzay kavramı ve projektif uzay modeli:
Bir alan üzerindeki yansıtmalı uzay, belirli bir alan üzerindeki bazı doğrusal uzayların çizgilerinden (tek boyutlu altuzaylar) oluşan bir uzaydır. Doğrudan uzaylara denir noktalar projektif uzay. Bu tanım keyfi bir organa genelleştirilebilir
Boyutu varsa, o zaman yansıtmalı uzayın boyutuna sayı denir ve yansıtmalı uzayın kendisi gösterilir ve ilişkili olarak adlandırılır (bunu belirtmek için notasyon benimsenir).
Boyutlu bir vektör uzayından karşılık gelen projektif uzaya geçişe geçiş denir. projeleştirme uzay.
Noktalar homojen koordinatlar kullanılarak tanımlanabilir.
Projektif geometrinin temel gerçekleri: Projektif geometri, projektif düzlemleri ve uzayları inceleyen bir geometri dalıdır. Projektif geometrinin ana özelliği, birçok tasarıma zarif simetri katan dualite ilkesidir. Projektif geometri, hem tamamen geometrik bir bakış açısıyla, hem de analitik (homojen koordinatlar kullanılarak) ve salgebraik bir bakış açısıyla, projektif düzlemi bir alan üzerindeki bir yapı olarak ele alarak incelenebilir. Çoğu zaman ve tarihsel olarak, gerçek yansıtmalı düzlemin "sonsuz çizgi"nin eklenmesiyle Öklid düzlemi olduğu kabul edilir.
Öklid geometrisinin ilgilendiği şekillerin özellikleri ise metrik(açıların, bölümlerin, alanların belirli değerleri) ve şekillerin eşdeğerliği bunlara eşdeğerdir uyum(yani şekiller, metrik özellikler korunurken hareket yoluyla birbirine çevrilebildiğinde), geometrik şekillerin, hareketten daha genel bir türdeki dönüşümler altında korunan daha "derinlerde yatan" özellikleri vardır. Projektif geometri, sınıfa göre değişmez olan şekillerin özelliklerinin incelenmesiyle ilgilenir. projektif dönüşümler ve bu dönüşümlerin kendisi.
Projektif geometri, paralel çizgilerin varlığıyla karmaşıklaşan birçok probleme güzel ve basit çözümler sağlayarak Öklid geometrisini tamamlar. Konik bölümlerin projektif teorisi özellikle basit ve zariftir.
Projektif geometriye üç ana yaklaşım vardır: bağımsız aksiyomatizasyon, Öklid geometrisinin tamamlanması ve bir alan üzerindeki yapı.
aksiyomatizasyon
Projektif uzay farklı aksiyomlar kullanılarak tanımlanabilir.
Coxeter şunları sağlar:
1. Düz bir çizgi ve üzerinde olmayan bir nokta var.
2. Her çizginin en az üç noktası vardır.
3. İki noktadan tam olarak bir düz çizgi çizebilirsiniz.
4. Eğer A, B, C, Ve D- çeşitli noktalar ve AB Ve CD kesişir, sonra AC. Ve BD kesişir.
5. Eğer ABC bir düzlem ise, bu düzlemde olmayan en az bir nokta vardır ABC.
6. İki farklı düzlem en az iki noktayı kesiyor.
7. Tam bir dörtgenin üç köşegen noktası aynı doğru üzerinde değildir.
8. Bir doğru üzerinde üç nokta varsa X X
Projektif düzlem (üçüncü boyut olmadan) biraz farklı aksiyomlarla tanımlanır:
1. İki noktadan tam olarak bir düz çizgi çizebilirsiniz.
2. Herhangi iki doğru kesişir.
3. Üçü aynı doğru üzerinde olmayan dört nokta vardır.
4. Tam dörtgenlerin üç köşegen noktası eşdoğrusal değildir.
5. Bir doğru üzerinde üç nokta varsa Xφ'nin projektivitesine göre değişmezse, o zaman üzerindeki tüm noktalar Xφ'ye göre değişmez.
6. Desargues teoremi: Eğer iki üçgen bir noktadan geçen perspektifse, o zaman bir çizgiden geçen perspektiftir.
Üçüncü bir boyutun varlığında Desargues teoremi ideal bir nokta ve çizgi getirilmeden kanıtlanabilir.
Genişletilmiş düzlem - projektif düzlem modeli: A3 afin uzayında, merkezi O noktasında olan bir S(O) doğruları demetini ve bu demetin merkezinden geçmeyen bir Π düzlemini alıyoruz: O 6∈ Π. Afin uzaydaki bir çizgi demeti projektif düzlemin bir modelidir. Π düzleminin noktaları kümesinin S bağlantısının düz çizgileri kümesine eşlenmesini tanımlayalım (Kahretsin, bu soruyu anladıysan dua et, beni affet)
Genişletilmiş üç boyutlu afin veya Öklid uzayı - yansıtmalı uzay modeli:
Haritalamayı örten hale getirmek için, afin düzlemi Π'yi projektif düzlem Π'ye resmi olarak uzatma işlemini tekrarlıyoruz, Π düzlemini bir dizi uygunsuz nokta (M∞) ile tamamlıyoruz, öyle ki: ((M∞)) = P0(O). Haritada S(O) düzlemleri demetinin her bir düzleminin ters görüntüsü d düzlemi üzerinde bir çizgi olduğundan, uzatılmış düzlemin bütün uygunsuz noktalarının kümesinin: Π = Π ∩ (M∞) olduğu açıktır. , (M∞), uzatılmış düzlemin uygunsuz bir d∞ doğrusunu temsil eder; bu, Π0 tekil düzleminin ters görüntüsüdür: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Burada ve bundan sonra son eşitlik olan P0(O) = Π0'ı nokta kümelerinin eşitliği anlamında anlayacağımızı, ancak farklı bir yapıya sahip olacağımızı kabul edelim. Afin düzlemi uygunsuz bir doğruyla tamamlayarak, (I.21) eşlemesinin uzatılmış düzlemin tüm noktaları kümesinde eşit olmasını sağladık:
Paralel tasarım sırasındaki düz ve mekansal figürlerin görüntüleri:
Stereometride mekansal şekiller incelenir, ancak çizimde düz şekiller olarak tasvir edilirler. Düzlemde mekansal bir figür nasıl tasvir edilmelidir? Tipik olarak geometride bunun için paralel tasarım kullanılır. p bir düzlem olsun, ben- onu kesen düz bir çizgi (Şekil 1). Rastgele bir noktadan A, hatta ait değil ben, çizgiye paralel bir çizgi çizin ben. Bu doğrunun p düzlemiyle kesişme noktasına noktanın paralel izdüşümü denir. A düz çizgi yönünde p düzlemine ben. Onu belirtelim A". Eğer nokta Açizgiye ait ben, ardından paralel projeksiyonla A doğrunun kesişme noktasının p düzleminde olduğu kabul edilir ben uçakla p.
Böylece her nokta A uzayın projeksiyonu karşılaştırılır A" p düzlemine. Bu yazışmaya p düzlemine düz çizgi yönünde paralel izdüşüm denir l.
Projektif dönüşümler grubu. Problem çözümüne yönelik uygulama.
Bir düzlemin projektif dönüşümü kavramı. Düzlemin projektif dönüşümlerine örnekler. Projektif dönüşümlerin özellikleri. Homoloji, homolojinin özellikleri. Projektif dönüşümler grubu.
Bir düzlemin projektif dönüşümü kavramı: Projektif dönüşüm kavramı, merkezi projeksiyon kavramını genelleştirir. Eğer α düzleminin bir α 1 düzlemine merkezi bir izdüşümünü gerçekleştirirsek, o zaman α 1'in α 2'ye, α 2'nin α 3'e, ... ve son olarak bir α düzlemine izdüşümünü gerçekleştiririz. N yine a 1 üzerinde, o zaman tüm bu projeksiyonların bileşimi a düzleminin projektif dönüşümüdür; Böyle bir zincire paralel projeksiyonlar da dahil edilebilir.
Projektif düzlem dönüşümlerine örnekler: Tamamlanmış bir düzlemin projektif dönüşümü, noktaların eşdoğrusallığının korunduğu veya başka bir deyişle herhangi bir çizginin görüntüsünün düz bir çizgi olduğu, kendi üzerine birebir eşlenmesidir. Herhangi bir yansıtmalı dönüşüm, merkezi ve paralel projeksiyonlar zincirinin bir bileşimidir. Afin dönüşüm, sonsuzdaki çizginin kendisine dönüştüğü projektif dönüşümün özel bir durumudur.
Projektif dönüşümlerin özellikleri:
Projektif dönüşüm sırasında, bir doğru üzerinde bulunmayan üç nokta, bir doğru üzerinde yer almayan üç noktaya dönüştürülür.
Projektif dönüşüm sırasında çerçeve bir çerçeveye dönüşür.
Projektif dönüşüm sırasında bir çizgi düz bir çizgiye dönüşür ve bir kalem bir kurşun kaleme dönüşür.
Homoloji, homolojinin özellikleri:
Değişmez noktalardan oluşan bir çizgiye ve dolayısıyla değişmez çizgilerden oluşan bir kaleme sahip bir düzlemin projektif dönüşümüne homoloji denir.
1. Çakışmayan karşılık gelen homoloji noktalarından geçen bir çizgi, değişmez bir çizgidir;
2. Çakışmayan karşılık gelen homoloji noktalarından geçen çizgiler, merkezi değişmez bir nokta olan aynı kaleme aittir.
3. Nokta, onun görüntüsü ve homolojinin merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır.
Projektif dönüşüm grubu: P 2 yansıtmalı düzleminin kendi üzerine yansıtmalı haritalamasını, yani bu düzlemin (P 2 ' = P 2) yansıtmalı dönüşümünü düşünün.
Daha önce olduğu gibi, yansıtmalı düzlem P2'nin yansıtmalı dönüşümlerinin f 1 ve f 2 bileşimi f 1 ve f 2 dönüşümlerinin sıralı olarak yürütülmesinin sonucudur: f = f 2 °f 1 .
Teorem 1: P 2 projektif düzleminin tüm projektif dönüşümlerinin H kümesi, projektif dönüşümlerin bileşimine göre bir gruptur.
Giriiş…………………………………………………………….......................... ...................... .................3
1 İkinci dereceden formlar hakkında teorik bilgi……………………………4
1.1 İkinci dereceden formun tanımı……………………………………….…4
1.2 İkinci dereceden bir formun kanonik forma indirgenmesi………………...6
1.3 Eylemsizlik yasası…………………………………………………………….….11
1.4 Pozitif belirli formlar……………………………………...18
2 İkinci dereceden formların pratik uygulaması …………………………22
2.1 Tipik sorunları çözme………………………………………………………………22
2.2 Bağımsız çözüm için görevler………………………….………...26
2.3 Test görevleri………………………………………………………………...27
Sonuç………….…………………………………………………………29
Kullanılan literatür listesi……………………………………………………...30
GİRİİŞ
Başlangıçta, ikinci dereceden formlar teorisi, iki veya üç değişken içeren ikinci dereceden denklemlerle tanımlanan eğrileri ve yüzeyleri incelemek için kullanıldı. Daha sonra bu teori başka uygulamalar da buldu. Özellikle ekonomik süreçleri matematiksel olarak modellerken amaç fonksiyonları ikinci dereceden terimler içerebilir. İkinci dereceden formların çok sayıda uygulaması, değişkenlerin sayısı herhangi bir sayıya eşit olduğunda genel bir teorinin oluşturulmasını gerektirdi.
ve ikinci dereceden formun katsayıları her zaman gerçek sayılar değildir.İkinci dereceden formlar teorisi ilk olarak bu teoride birçok fikre sahip olan Fransız matematikçi Lagrange tarafından geliştirildi; özellikle önemli bir indirgenmiş form kavramını tanıttı ve bunun yardımıyla sınıfların sayısının sonlu olduğunu kanıtladı. Belirli bir diskriminantın ikili ikinci dereceden biçimleri. Daha sonra bu teori, birçok yeni kavramı ortaya koyan Gauss tarafından önemli ölçüde genişletildi ve buna dayanarak, bu alandaki öncüllerinden kaçan zor ve derin sayı teorisi teoremlerinin kanıtlarını elde edebildi.
Çalışmanın amacı ikinci dereceden form türlerini ve ikinci dereceden formları kanonik forma indirmenin yollarını incelemektir.
Bu çalışma aşağıdaki görevleri belirler: gerekli literatürü seçin, tanımları göz önünde bulundurun, bir dizi sorunu çözün ve testler hazırlayın.
1 İKİNCİ FORMLAR HAKKINDA TEORİK BİLGİLER
1.1 İKİNCİ FORMUN TANIMI
İkinci dereceden şekil
Bilinmeyenlerin toplamı, her bir terimin ya bu bilinmeyenlerden birinin karesi ya da iki farklı bilinmeyenin çarpımı olduğu bir toplamdır. İkinci dereceden form iki biçimde gelir: katsayılarının gerçek veya karmaşık sayılar olmasına bağlı olarak gerçek ve karmaşık.Katsayıyı gösteren
aracılığıyla ve üretirken
, başından sonuna kadar 
ikinci dereceden form şu şekilde temsil edilebilir: . Katsayılardan
mertebeden bir kare matris oluşturmak mümkündür; buna ikinci dereceden formun matrisi denir ve rütbesine ikinci dereceden formun rütbesi denir. Özellikle, burada matris dejenere değilse, o zaman ikinci dereceden forma dejenere olmayan denir. Herhangi bir simetrik mertebe matrisi için, tam olarak tanımlanmış ikinci dereceden bir formda belirtilebilir:
(1.1) - katsayılarıyla birlikte matris elemanlarına sahip bilinmeyenler. Şimdi şunu belirtelim
bilinmeyenlerden oluşan bir sütun: . satırları ve bir sütunu olan bir matristir. Bu matrisin yerini değiştirerek matrisi elde ederiz:
, tek satırdan oluşur. Matrisli ikinci dereceden form (1.1)
artık bir ürün olarak yazılabilir:.1.2 İKİNCİ ŞEKİLDE İNDİRME
KANONİK GÖRÜNÜME
Diyelim ki ikinci dereceden form
bilinmeyenlerden, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşümle kanonik forma zaten indirgenmiştir, yeni bilinmeyenler nerede? Bazı katsayılar sıfır olabilir. Sıfır olmayan katsayıların sayısının zorunlu olarak formun rütbesine eşit olduğunu kanıtlayalım. Bu ikinci dereceden formun matrisi köşegen bir forma sahiptir
,
ve bu matrisin rütbeye sahip olması gerekliliği
, ana köşegeninin tam olarak sıfır olmayan öğeler içerdiği varsayımına eşdeğerdir.Teorem. Herhangi bir ikinci dereceden form, bazı dejenere olmayan doğrusal dönüşümlerle kanonik forma indirgenebilir. Gerçek ikinci dereceden bir form dikkate alınırsa, belirtilen doğrusal dönüşümün tüm katsayıları gerçek kabul edilebilir.
Kanıt. Bu teorem, bir bilinmeyendeki ikinci dereceden formlar için doğrudur, çünkü bu tür herhangi bir form aşağıdaki forma sahiptir:
, bu kanoniktir. Tümevarım yoluyla bir kanıt sunalım, yani daha az sayıda bilinmeyene sahip formlar için zaten kanıtlanmış olduğunu göz önünde bulundurarak, bilinmeyenlerdeki ikinci dereceden formlar için teoremi kanıtlayalım.İkinci dereceden form (1.1) olsun
Hizmetin amacı. Bulmak için kullanılan çevrimiçi hesap makinesi Hessian matrisleri ve fonksiyon tipinin belirlenmesi (dışbükey veya içbükey) (örneğe bakın). Çözüm Word formatında hazırlanmıştır. Tek değişkenli f(x) fonksiyonu için dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları belirlenir.İşlev girme kuralları:
İki kez sürekli türevlenebilen bir f(x) fonksiyonu ancak ve ancak şu şartla dışbükeydir (içbükeydir) Hessian matrisi x'e göre f(x) fonksiyonu tüm x için pozitif (negatif) yarı tanımlıdır (birkaç değişkenli bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarına bakınız).
İşlev açısından kritik noktalar:
- Hessian pozitif tanımlı ise, o zaman x 0 f(x) fonksiyonunun yerel minimum noktasıdır,
- Hessian negatif tanımlıysa, x 0 f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktasıdır,
- Hessian işaret-kesin değilse (hem pozitif hem de negatif değerler alır) ve dejenere değilse (det G(f) ≠ 0), bu durumda x 0, f(x) fonksiyonunun eyer noktasıdır.
Bir matrisin kesinliği için kriterler (Sylvester teoremi)
Olumlu kesinlik:- matrisin tüm köşegen elemanları pozitif olmalıdır;
- tüm önde gelen ana niteleyiciler pozitif olmalıdır.
Pozitif yarı kesinlik:
- tüm diyagonal öğeler negatif değildir;
- tüm ana belirleyiciler negatif değildir.
Elemanları ikinci dereceden amaç fonksiyonunun kısmi türevleri olan n dereceli bir kare simetrik matris, Hessian matrisi denir ve belirlenmiştir:
Simetrik bir matrisin pozitif tanımlı olabilmesi için tüm köşegen minörlerinin pozitif olması gerekli ve yeterlidir; 
A = (a ij) matrisi için pozitiftir.
Negatif kesinlik.
Simetrik bir matrisin negatif tanımlı olabilmesi için aşağıdaki eşitsizliklerin gerçekleşmesi gerekli ve yeterlidir:
(-1) k Dk > 0, k=1,.., n.
Başka bir deyişle, ikinci dereceden formun olabilmesi için negatif tanımlı, ikinci dereceden formdaki bir matrisin açısal küçüklerinin işaretlerinin eksi işaretinden başlayarak değişmesi gerekli ve yeterlidir. Örneğin iki değişken için D 1< 0, D 2 > 0.
Eğer Hessian yarı-kesin ise bu da bir dönüm noktası olabilir. Aşağıdaki seçeneklerden biri kullanılarak gerçekleştirilebilecek ek araştırmaya ihtiyaç vardır:
- Azalan sipariş. Değişken değişikliği yapılır. Örneğin, iki değişkenli bir fonksiyon için bu y=x'tir, sonuç olarak tek değişkenli bir x fonksiyonu elde ederiz. Daha sonra fonksiyonun y=x ve y=-x doğrularındaki davranışını inceliyoruz. İlk durumda, incelenen noktadaki fonksiyonun bir minimumu varsa ve diğer durumda bir maksimumu varsa (veya tam tersi), o zaman incelenen nokta bir eyer noktasıdır.
- Hessian'ın özdeğerlerini bulma. Tüm değerler pozitifse, incelenen noktadaki fonksiyonun minimumu vardır, tüm değerler negatifse maksimum vardır.
- f(x) fonksiyonunun ε noktası civarında incelenmesi. x değişkenleri x 0 +ε ile değiştirilir. Daha sonra, bir ε değişkenine ait f(x 0 +ε) fonksiyonunun ya sıfırdan büyük (o zaman x 0 minimum noktadır) ya da sıfırdan küçük (o zaman x 0 maksimum noktadır) olduğunu kanıtlamak gerekir.
Not. Bulmak ters Hessian ters matrisi bulmak yeterlidir.
Örnek No.1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi dışbükey veya içbükeydir: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Çözüm. 1. Kısmi türevleri bulalım. 
2. Denklem sistemini çözelim.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x1 -6x2 +6 = 0
Şunu elde ederiz:
a) Birinci denklemden x 1'i ifade edip ikinci denklemde yerine koyarız:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x2 +8 = 0
Burada x2 = 4
Bu değerleri x 2'yi x 1 ifadesine yerleştiriyoruz. Şunu elde ederiz: x 1 = 9/2
Kritik nokta sayısı 1'dir.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. İkinci dereceden kısmi türevleri bulalım.
4. Bu ikinci dereceden kısmi türevlerin değerini M(x 0 ;y 0) kritik noktalarında hesaplayalım.
M 1 noktasının değerlerini hesaplıyoruz (9 / 2 ;4) 
Hessian matrisini oluşturuyoruz:
D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Köşegen küçüklerin işaretleri farklı olduğundan fonksiyonun dışbükeyliği veya içbükeyliği hakkında bir şey söylenemez.
Çeşitli değişkenlerde derecesi 2 olan homojen bir polinom ikinci dereceden form olarak adlandırılır.
Değişkenlerin ikinci dereceden formu iki tür terimden oluşur: değişkenlerin kareleri ve bunların belirli katsayılarla ikili çarpımları. İkinci dereceden form genellikle aşağıdaki kare diyagram olarak yazılır:
Benzer terim çiftleri eşit katsayılarla yazılır, böylece her biri değişkenlerin karşılık gelen çarpımının katsayısının yarısını oluşturur. Bu nedenle, her ikinci dereceden form doğal olarak simetrik olan katsayı matrisiyle ilişkilidir.
İkinci dereceden formu aşağıdaki matris gösteriminde temsil etmek uygundur. X ile X'e kadar değişkenlerin bir sütununu - bir satırı, yani X ile değiştirilmiş bir matrisi - gösterelim.
İkinci dereceden formlar matematiğin birçok dalında ve uygulamalarında bulunur.
Sayı teorisi ve kristalografide ikinci dereceden formlar, değişkenlerin yalnızca tam sayı değerleri aldığı varsayımı altında ele alınır. Analitik geometride ikinci dereceden form, bir eğrinin (veya yüzeyin) düzeninin denkleminin bir parçasıdır. Mekanikte ve fizikte, ikinci dereceden form, genelleştirilmiş hızların bileşenleri vb. yoluyla bir sistemin kinetik enerjisini ifade ediyor gibi görünmektedir. Ancak buna ek olarak, ikinci dereceden formların incelenmesi, birçok değişkenin fonksiyonlarını incelerken analizde de gereklidir. Bunun için belirli bir noktanın komşuluğundaki bu fonksiyonun ona yaklaşan doğrusal fonksiyondan nasıl saptığını bulmak önemlidir. Bu tür bir problemin örneği, bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerinin incelenmesidir.
Örneğin, sürekli kısmi türevleri olan iki değişkenli bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu inceleme problemini düşünün. Bir noktanın bir fonksiyonun maksimum veya minimumunu verebilmesi için gerekli koşul, o noktadaki mertebeden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olmasıdır, bu koşulun sağlandığını varsayalım. x ve y değişkenlerine küçük artışlar ve k verelim ve fonksiyonun karşılık gelen artışını düşünelim.Taylor formülüne göre, bu artış, daha küçük mertebelere kadar, ikinci türevlerin değerlerinin bulunduğu ikinci dereceden forma eşittir. noktada hesaplanan Bu ikinci dereceden form, ve k'nin (hariç) tüm değerleri için pozitifse, o zaman fonksiyonun noktada bir minimumu vardır; negatifse o zaman bir maksimumu vardır. Son olarak, eğer bir form hem pozitif hem de negatif değerler alıyorsa, o zaman maksimum veya minimum olmayacaktır. Daha fazla sayıda değişkenin fonksiyonları benzer şekilde incelenir.
İkinci dereceden formların incelenmesi esas olarak değişkenlerin bir veya başka doğrusal dönüşüm kümesine göre formların denkliği probleminin incelenmesinden oluşur. Belirli bir kümenin dönüşümlerinden biri yoluyla biri diğerine dönüştürülebiliyorsa, iki ikinci dereceden formun eşdeğer olduğu söylenir. Eşdeğerlik sorunuyla yakından ilgili olan, biçimin azaltılması sorunudur; onu muhtemelen en basit biçime dönüştürmek.
İkinci dereceden formlarla ilgili çeşitli sorularda, değişkenlerin kabul edilebilir çeşitli dönüşümleri de dikkate alınır.
Analiz sorularında değişkenlerin özel olmayan dönüşümleri kullanılır; Analitik geometri amaçları açısından, ortogonal dönüşümler, yani değişken Kartezyen koordinatların bir sisteminden diğerine geçişe karşılık gelenler büyük ilgi görmektedir. Son olarak sayı teorisinde ve kristalografide tamsayı katsayılı ve determinantı birliğe eşit olan doğrusal dönüşümler dikkate alınır.
Bu problemlerden ikisini ele alacağız: ikinci dereceden bir formu tekil olmayan herhangi bir dönüşümle en basit formuna indirme sorunu ve aynı soru dik dönüşümler için. Her şeyden önce, değişkenlerin doğrusal dönüşümü sırasında ikinci dereceden formdaki bir matrisin nasıl dönüştürüldüğünü bulalım.
A'nın form katsayılarının simetrik bir matrisi, X'in değişkenlerin bir sütunu olduğunu varsayalım.
Değişkenlerin doğrusal dönüşümünü yapalım, bunu kısaltılmış olarak yazalım. Burada C bu dönüşümün katsayılarının matrisini, X ise yeni değişkenlerin bir sütununu göstermektedir. O zaman ve dolayısıyla, dönüştürülmüş ikinci dereceden formun matrisi şu şekildedir:
Matrisin otomatik olarak simetrik olduğu ortaya çıkar ve bunun kontrol edilmesi kolaydır. Dolayısıyla, ikinci dereceden bir formu en basit forma indirgeme problemi, simetrik bir matrisi karşılıklı olarak yer değiştiren matrislerle sol ve sağdan çarparak en basit forma indirgeme problemine eşdeğerdir.