उलटा मैट्रिक्स चेक उदाहरण कैसे करें। उलटा मैट्रिक्स परिभाषा अस्तित्व और विशिष्टता

मैट्रिक्स $A^(-1)$ को वर्ग मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, जहां $E $ पहचान मैट्रिक्स है, जिसका क्रम मैट्रिक्स $A$ के क्रम के बराबर है।

एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। तदनुसार, एक पतित मैट्रिक्स वह है जिसका निर्धारक शून्य के बराबर है।

उलटा मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद है अगर और केवल अगर मैट्रिक्स $A$ गैर-एकवचन है। यदि व्युत्क्रम मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद है, तो यह अद्वितीय है।

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के कई तरीके हैं, और हम उनमें से दो को देखेंगे। इस पृष्ठ पर, हम एडजॉइंट मैट्रिक्स पद्धति पर विचार करेंगे, जिसे अधिकांश उच्च गणित पाठ्यक्रमों में मानक माना जाता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स (प्राथमिक परिवर्तनों की विधि) को खोजने का दूसरा तरीका, जिसमें गॉस विधि या गॉस-जॉर्डन पद्धति का उपयोग शामिल है, दूसरे भाग में माना जाता है।

संयुक्त (संघ) मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स $A_(n\times n)$ दिया जाए। उलटा मैट्रिक्स $A^(-1)$ खोजने के लिए, तीन चरणों की आवश्यकता है:

1. मैट्रिक्स $A$ के सारणिक का पता लगाएं और सुनिश्चित करें कि $\Delta A\neq 0$, यानी। कि मैट्रिक्स ए नॉनडिजेनरेट है।
2. मैट्रिक्स $A$ के प्रत्येक तत्व के बीजगणितीय पूरक $A_(ij)$ लिखें और मैट्रिक्स $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ लिखें। बीजीय पूरक।
3. सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ को ध्यान में रखते हुए उलटा मैट्रिक्स लिखें।

मैट्रिक्स $(A^(*))^T$ को अक्सर $A$ के आसन्न (आपसी, संबद्ध) मैट्रिक्स के रूप में संदर्भित किया जाता है।

यदि निर्णय मैन्युअल रूप से किया जाता है, तो पहली विधि केवल अपेक्षाकृत छोटे आदेशों के मैट्रिसेस के लिए अच्छी होती है: दूसरा (), तीसरा (), चौथा ()। एक उच्च क्रम मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, गॉस विधि, जिसकी चर्चा दूसरे भाग में की गई है।

उदाहरण 1

मैट्रिक्स $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 के विपरीत मैट्रिक्स खोजें & -9 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

चूंकि चौथे कॉलम के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो $\Delta A=0$ (यानी मैट्रिक्स $A$ पतित है)। चूंकि $\Delta A=0$, $A$ के विपरीत कोई मैट्रिक्स नहीं है।

उदाहरण #2

मैट्रिक्स $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स खोजें।

हम आसन्न मैट्रिक्स विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, आइए दिए गए मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक को खोजें:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

चूंकि $\Delta A \neq 0$, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है, इसलिए हम समाधान जारी रखते हैं। बीजीय पूरक ढूँढना

\शुरू (गठबंधन) और A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(गठबंधन)

बीजगणितीय पूरक का एक मैट्रिक्स लिखें: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$।

परिणामी मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (परिणामस्वरूप मैट्रिक्स को अक्सर मैट्रिक्स $A$ के लिए आसन्न या संघ मैट्रिक्स कहा जाता है)। सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसी) -8/103 और 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(सरणी)\दाएं) $$

तो उलटा मैट्रिक्स पाया जाता है: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(array) \ दाएँ) $। परिणाम की सच्चाई की जांच करने के लिए, समानता में से एक की सच्चाई की जांच करने के लिए पर्याप्त है: $A^(-1)\cdot A=E$ या $A\cdot A^(-1)=E$। आइए समानता $A^(-1)\cdot A=E$ की जांच करें। भिन्नों के साथ कम काम करने के लिए, हम मैट्रिक्स $A^(-1)$ को $\left(\begin(array) (cc) -8/103 और 7/103\\ 9/103 के रूप में प्रतिस्थापित नहीं करेंगे। & 5/103 \ अंत (सरणी)\दाएं)$ लेकिन $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ के रूप में अंत (सरणी)\दाएं)$:

उत्तर: $A^(-1)=\left(\ start(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$।

उदाहरण #3

मैट्रिक्स का उलटा खोजें $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$।

आइए मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक की गणना करके शुरू करें। तो, मैट्रिक्स $A$ का निर्धारक है:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26। $$

चूंकि $\Delta A\neq 0$, तो उलटा मैट्रिक्स मौजूद है, इसलिए हम समाधान जारी रखते हैं। हम दिए गए मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व के बीजीय पूरक पाते हैं:

हम बीजीय योगों का एक मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे स्थानांतरित करते हैं:

$$ ए ^ * = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और 8 और -12 \\ -5 और 2 और -3 \\ 1 और -16 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \; (ए ^ *) ^ टी = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और -5 और 1 \\ 8 और 2 और -16 \\ -12 और -3 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $$

सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 और 37\अंत (सरणी) \दाएं)= \बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी) 3/13 और -5/26 और 1/26 \\ 4/13 और 1/13 और -8/13 \ \ -6/13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं) $$

तो $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं)$। परिणाम की सच्चाई की जांच करने के लिए, समानता में से एक की सच्चाई की जांच करने के लिए पर्याप्त है: $A^(-1)\cdot A=E$ या $A\cdot A^(-1)=E$। आइए समानता $A\cdot A^(-1)=E$ की जाँच करें। भिन्नों के साथ कम काम करने के लिए, हम मैट्रिक्स $A^(-1)$ को $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ के रूप में प्रतिस्थापित नहीं करेंगे। \ 4/13 और 1/13 और -8/13 \\ -6/13 और -3/26 और 37/26 \end(array) \right)$, लेकिन $\frac(1)(26)\ के रूप में सीडीओटी \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और -5 और 1 \\ 8 और 2 और -16 \\ -12 और -3 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $:

चेक सफलतापूर्वक पारित किया गया था, उलटा मैट्रिक्स $A^(-1)$ सही ढंग से पाया गया था।

उत्तर: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं)$।

उदाहरण #4

$A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 का मैट्रिक्स उलटा खोजें और -8 और -3 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

चौथे क्रम के एक मैट्रिक्स के लिए, बीजगणितीय योगों का उपयोग करके प्रतिलोम मैट्रिक्स को खोजना कुछ कठिन है। हालांकि, ऐसे उदाहरण नियंत्रण कार्यों में पाए जाते हैं।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए, पहले आपको मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है। इस स्थिति में ऐसा करने का सबसे अच्छा तरीका है कि सारणिक को एक पंक्ति (स्तंभ) में विस्तारित किया जाए। हम किसी भी पंक्ति या स्तंभ का चयन करते हैं और चयनित पंक्ति या स्तंभ के प्रत्येक तत्व का बीजगणितीय पूरक पाते हैं।

मान लीजिए कि nवें क्रम का एक वर्ग आव्यूह है

मैट्रिक्स ए -1 कहा जाता है उलटा मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में, यदि ए * ए -1 = ई, जहां ई n वें क्रम की पहचान मैट्रिक्स है।

पहचान मैट्रिक्स- ऐसा वर्गाकार मैट्रिक्स, जिसमें मुख्य विकर्ण के साथ ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक जाने वाले सभी तत्व एक होते हैं, और शेष शून्य होते हैं, उदाहरण के लिए:

उलटा मैट्रिक्समौजूद हो सकता है केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिएवे। उन मैट्रिक्स के लिए जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है।

उलटा मैट्रिक्स अस्तित्व शर्त प्रमेय

एक मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह नॉनडिजेनरेट हो।

आव्यूह A = (A1, A2,...A n) कहलाता है गैर पतितयदि कॉलम वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम वैक्टर की संख्या को मैट्रिक्स का रैंक कहा जाता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स की रैंक उसके आयाम के बराबर हो, अर्थात। आर = एन।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. गॉस विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए सारणी में मैट्रिक्स A लिखिए और दाईं ओर (समीकरणों के दाहिने भागों के स्थान पर) इसे मैट्रिक्स E असाइन करें।
2. जॉर्डन रूपांतरणों का उपयोग करते हुए, मैट्रिक्स ए को एकल कॉलम वाले मैट्रिक्स में लाएं; इस मामले में, मैट्रिक्स ई को एक साथ बदलना आवश्यक है।
3. यदि आवश्यक हो, तो अंतिम तालिका की पंक्तियों (समीकरणों) को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि मूल तालिका के मैट्रिक्स ए के तहत पहचान मैट्रिक्स ई प्राप्त हो।
4. व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 लिखें, जो मूल तालिका के मैट्रिक्स ई के तहत अंतिम तालिका में है।

उदाहरण 1

मैट्रिक्स ए के लिए, उलटा मैट्रिक्स ए -1 . खोजें

समाधान: हम मैट्रिक्स ए लिखते हैं और दाईं ओर हम पहचान मैट्रिक्स ई असाइन करते हैं। जॉर्डन ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स ए को पहचान मैट्रिक्स ई में कम करते हैं। गणना तालिका 31.1 में दिखाई जाती है।

आइए मूल मैट्रिक्स ए और व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 को गुणा करके गणना की शुद्धता की जांच करें।

मैट्रिक्स गुणन के परिणामस्वरूप, पहचान मैट्रिक्स प्राप्त होता है। इसलिए, गणनाएं सही हैं।

उत्तर:

मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान

मैट्रिक्स समीकरण इस तरह दिख सकते हैं:

एएक्स = बी, एक्सए = बी, एएक्सबी = सी,

जहाँ A, B, C को आव्यूह दिए गए हैं, X वांछित आव्यूह है।

मैट्रिक्स समीकरणों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा समीकरण को गुणा करके हल किया जाता है।

उदाहरण के लिए, एक समीकरण से मैट्रिक्स को खोजने के लिए, आपको इस समीकरण को बाईं ओर से गुणा करना होगा।

इसलिए, समीकरण का हल खोजने के लिए, आपको उलटा मैट्रिक्स ढूंढना होगा और इसे समीकरण के दाईं ओर मैट्रिक्स से गुणा करना होगा।

अन्य समीकरणों को इसी तरह हल किया जाता है।

उदाहरण 2

समीकरण को हल करें AX = B यदि

समाधान: चूंकि मैट्रिक्स का व्युत्क्रम बराबर होता है (उदाहरण 1 देखें)

आर्थिक विश्लेषण में मैट्रिक्स विधि

वे दूसरों के साथ-साथ आवेदन भी ढूंढते हैं मैट्रिक्स तरीके. ये विधियां रैखिक और वेक्टर-मैट्रिक्स बीजगणित पर आधारित हैं। ऐसी विधियों का उपयोग जटिल और बहुआयामी आर्थिक घटनाओं के विश्लेषण के प्रयोजनों के लिए किया जाता है। सबसे अधिक बार, इन विधियों का उपयोग तब किया जाता है जब संगठनों के कामकाज और उनके संरचनात्मक विभाजनों की तुलना करना आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स विश्लेषण विधियों को लागू करने की प्रक्रिया में, कई चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

पहले चरण मेंआर्थिक संकेतकों की एक प्रणाली का गठन किया जाता है और इसके आधार पर प्रारंभिक डेटा का एक मैट्रिक्स संकलित किया जाता है, जो एक तालिका है जिसमें सिस्टम नंबर इसकी व्यक्तिगत पंक्तियों में दिखाए जाते हैं (मैं = 1,2,....,एन), और ऊर्ध्वाधर रेखांकन के साथ - संकेतकों की संख्या (जे = 1,2,....,एम).

दूसरे चरण मेंप्रत्येक ऊर्ध्वाधर स्तंभ के लिए, संकेतकों के उपलब्ध मूल्यों में से सबसे बड़ा पता चलता है, जिसे एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

उसके बाद, इस कॉलम में परिलक्षित सभी राशियों को सबसे बड़े मूल्य से विभाजित किया जाता है और मानकीकृत गुणांक का एक मैट्रिक्स बनता है।

तीसरे चरण मेंमैट्रिक्स के सभी घटकों को चुकता किया जाता है। यदि उनका अलग महत्व है, तो मैट्रिक्स के प्रत्येक संकेतक को एक निश्चित भार गुणांक दिया जाता है क. उत्तरार्द्ध का मूल्य एक विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अंत समय पर चौथा चरणरेटिंग के मूल्य पाए गए आरजेबढ़ने या घटने के क्रम में समूहित।

उपरोक्त मैट्रिक्स विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, विभिन्न निवेश परियोजनाओं के तुलनात्मक विश्लेषण के साथ-साथ संगठनों के अन्य आर्थिक प्रदर्शन संकेतकों का आकलन करने में।

परिभाषा 1:एक मैट्रिक्स को पतित कहा जाता है यदि इसका निर्धारक शून्य है।

परिभाषा 2:एक मैट्रिक्स को गैर-एकवचन कहा जाता है यदि इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

मैट्रिक्स "ए" कहा जाता है उलटा मैट्रिक्स, यदि शर्त A*A-1 = A-1 *A = E (पहचान मैट्रिक्स) संतुष्ट है।

एक वर्ग मैट्रिक्स केवल तभी उलटा हो सकता है जब वह एकवचन हो।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए योजना:

1) मैट्रिक्स "ए" के सारणिक की गणना करें यदि ∆ ए = 0, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।

2) मैट्रिक्स "ए" के सभी बीजीय पूरक खोजें।

3) बीजीय योगों का एक आव्यूह बनाइए (Aij )

4) बीजीय पूरक (Aij )T . के मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें

5) इस मैट्रिक्स के निर्धारक के पारस्परिक द्वारा स्थानांतरित मैट्रिक्स को गुणा करें।

6) एक चेक चलाएँ:

पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह मुश्किल है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत सरल है। सभी समाधान सरल अंकगणितीय संचालन पर आधारित होते हैं, मुख्य बात यह है कि हल करते समय "-" और "+" संकेतों के साथ भ्रमित नहीं होना है, और उन्हें खोना नहीं है।

और अब व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करके आपके साथ एक व्यावहारिक कार्य को हल करते हैं।

कार्य: व्युत्क्रम मैट्रिक्स "ए" खोजें, जो नीचे दी गई तस्वीर में दिखाया गया है:

हम सब कुछ ठीक उसी तरह हल करते हैं जैसा कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए योजना में दर्शाया गया है।

1. मैट्रिक्स "ए" के निर्धारक को खोजने के लिए पहली चीज है:

व्याख्या:

हमने अपने मुख्य कार्यों का उपयोग करके अपने सारणिक को सरल बनाया है। सबसे पहले, हमने दूसरी और तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति के तत्वों को एक संख्या से गुणा किया।

दूसरे, हमने सारणिक के दूसरे और तीसरे कॉलम को बदल दिया, और उसके गुणों के अनुसार, हमने उसके सामने के चिन्ह को बदल दिया।

तीसरा, हमने दूसरी पंक्ति का उभयनिष्ठ गुणनखण्ड (-1) निकाला, जिससे चिन्ह फिर से बदल गया, और वह धनात्मक हो गया। हमने लाइन 3 को भी उसी तरह सरल बनाया जैसे उदाहरण की शुरुआत में।

हमारे पास एक त्रिकोणीय सारणिक है, जिसमें विकर्ण के नीचे के तत्व शून्य के बराबर हैं, और गुण 7 से यह विकर्ण के तत्वों के गुणनफल के बराबर है। नतीजतन, हमें मिल गया ∆ ए = 26, इसलिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है।

ए11 = 1*(3+1) = 4

ए12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

ए13 = 1*1 = 1

ए21 = -1*(-6) = 6

ए22 = 1*(3-0) = 3

ए23 = -1*(1+4) = -5

ए31 = 1*2 = 2

ए32 = -1*(-1) = -1

ए33 = 1+(1+6) = 7

3. अगला कदम परिणामी परिवर्धन से एक मैट्रिक्स को संकलित करना है:

5. हम इस मैट्रिक्स को सारणिक के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं, अर्थात 1/26 से:

6. ठीक है, अब हमें बस जाँच करने की आवश्यकता है:

सत्यापन के दौरान, हमें एक पहचान मैट्रिक्स प्राप्त हुआ, इसलिए निर्णय बिल्कुल सही किया गया था।

उलटा मैट्रिक्स की गणना करने का 2 तरीका।

1. मैट्रिक्स का प्राथमिक परिवर्तन

2. एक प्राथमिक कनवर्टर के माध्यम से उलटा मैट्रिक्स।

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन में शामिल हैं:

1. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

2. किसी संख्या से गुणा करके किसी अन्य पंक्ति की किसी पंक्ति में जोड़ना।

3. मैट्रिक्स की पंक्तियों की अदला-बदली।

4. प्रारंभिक परिवर्तनों की एक श्रृंखला को लागू करने पर, हम एक और मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं।

ए -1 = ?

1. (ए | ई) ~ (ई | ए .) -1 )

2. ए -1*ए=ई

आइए इसे वास्तविक संख्याओं के साथ एक व्यावहारिक उदाहरण में देखें।

व्यायाम:उलटा मैट्रिक्स खोजें।

समाधान:

चलो जांचते हैं:

समाधान पर थोड़ा स्पष्टीकरण:

हमने पहले मैट्रिक्स की पंक्तियों 1 और 2 की अदला-बदली की, फिर हमने पहली पंक्ति को (-1) से गुणा किया।

उसके बाद, पहली पंक्ति को (-2) से गुणा किया गया और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। फिर हमने दूसरी पंक्ति को 1/4 से गुणा किया।

परिवर्तन का अंतिम चरण दूसरी पंक्ति का 2 से गुणा और पहले से जोड़ था। नतीजतन, हमारे पास बाईं ओर एक पहचान मैट्रिक्स है, इसलिए उलटा मैट्रिक्स दाईं ओर मैट्रिक्स है।

जाँच के बाद, हम निर्णय की शुद्धता के बारे में आश्वस्त थे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करना बहुत सरल है।

इस व्याख्यान को समाप्त करते हुए, मैं कुछ समय ऐसे मैट्रिक्स के गुणों के लिए देना चाहूंगा।

मैट्रिक्स गुणन के विपरीत ऑपरेशन को परिभाषित करने की समस्या पर विचार करें।

मान लीजिए कि n कोटि का एक वर्ग आव्यूह है। मैट्रिक्स A^(-1) , जो दिए गए मैट्रिक्स A के साथ निम्नलिखित समानता को संतुष्ट करता है:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

बुलाया उलटना. मैट्रिक्स ए कहा जाता है प्रतिवर्ती, यदि इसका व्युत्क्रम है, अन्यथा - अचल.

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि यदि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स A^(-1) मौजूद है, तो यह A के समान क्रम का वर्ग है। हालांकि, हर वर्ग मैट्रिक्स का व्युत्क्रम नहीं होता है। यदि मैट्रिक्स A का सारणिक शून्य (\det(A)=0) के बराबर है, तो इसका कोई प्रतिलोम नहीं है। वास्तव में, पहचान मैट्रिक्स E=A^(-1)A के लिए मैट्रिक्स के उत्पाद के निर्धारक पर प्रमेय को लागू करने पर, हम एक विरोधाभास प्राप्त करते हैं

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

चूंकि पहचान मैट्रिक्स का निर्धारक 1 के बराबर है। यह पता चला है कि एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के शून्य से अंतर एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए एकमात्र शर्त है। याद रखें कि एक वर्ग मैट्रिक्स जिसका निर्धारक शून्य के बराबर होता है उसे पतित (एकवचन) कहा जाता है, अन्यथा - गैर-एकवचन (गैर-एकवचन)।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेय 4.1। वर्ग मैट्रिक्स A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), जिसका निर्धारक गैर-शून्य है, में एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और इसके अलावा, केवल एक:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

जहां A^(+) मैट्रिक्स A के तत्वों के बीजीय पूरक से बना मैट्रिक्स के लिए स्थानांतरित मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स A^(+) कहा जाता है संलग्न मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में।

दरअसल, मैट्रिक्स \frac(1)(\det(A))\,A^(+)शर्त के तहत मौजूद है \det(A)\ne0 । हमें यह दिखाना होगा कि यह ए के विपरीत है, अर्थात। दो शर्तों को पूरा करता है:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\बाएं(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

आइए पहली समानता साबित करें। टिप्पणी 2.3 के मद 4 के अनुसार, सारणिक के गुणों से यह निष्कर्ष निकलता है कि AA^(+)=\det(A)\cdot E. इसलिए

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

जिसे दिखाया जाना था। दूसरी समानता इसी तरह सिद्ध होती है। इसलिए, शर्त के तहत \det(A)\ne0, मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम है

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

हम प्रतिलोम मैट्रिक्स की विशिष्टता को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करते हैं। चलो मैट्रिक्स के अलावा A^(-1) एक और उलटा मैट्रिक्स मौजूद है B\,(B\ne A^(-1)) ऐसा है कि AB=E । इस समानता के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स A^(-1) द्वारा बाईं ओर गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं \अंडरब्रेस(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. अत: B=A^(-1) , जो धारणा B\ne A^(-1) के विपरीत है। इसलिए, उलटा मैट्रिक्स अद्वितीय है।

टिप्पणी 4.1

1. यह परिभाषा से इस प्रकार है कि मैट्रिक्स ए और ए^(-1) क्रमपरिवर्तनीय हैं।

2. एक गैर-डीजेनरेट विकर्ण के विपरीत मैट्रिक्स भी विकर्ण है:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. मैट्रिक्स एक nondegenerate निचले (ऊपरी) त्रिकोणीय मैट्रिक्स के विपरीत निचला (ऊपरी) त्रिकोणीय है।

4. प्राथमिक आव्यूहों के व्युत्क्रम होते हैं, जो प्राथमिक भी होते हैं (टिप्पणी 1.11 का मद 1 देखें)।

उलटा मैट्रिक्स गुण

मैट्रिक्स उलटा ऑपरेशन में निम्नलिखित गुण हैं:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1) )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ ई^(-1)=ई\,। \ अंत (गठबंधन)

अगर समानता 1-4 में संकेतित संचालन समझ में आता है।

आइए संपत्ति 2 साबित करें: यदि समान कोटि के गैर-एकवचन वर्ग आव्यूहों के गुणनफल AB में प्रतिलोम आव्यूह है, तो (एबी)^(-1)=बी^(-1)ए^(-1).

वास्तव में, आव्यूह AB के गुणनफल का सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), कहाँ पे \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स (AB)^(-1) मौजूद है और अद्वितीय है। आइए हम परिभाषा के अनुसार दिखाएं कि मैट्रिक्स B^(-1)A^(-1) मैट्रिक्स AB के सापेक्ष उलटा है। सच में।

उलटा मैट्रिक्स ढूँढना- एक समस्या जिसे अक्सर दो तरीकों से हल किया जाता है:

• बीजगणितीय योगों की विधि, जिसमें निर्धारकों को खोजने और मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है;
• अज्ञात का गाऊसी उन्मूलन, जिसके लिए मैट्रिसेस के प्राथमिक परिवर्तनों की आवश्यकता होती है (पंक्तियाँ जोड़ें, समान संख्या से पंक्तियों को गुणा करें, आदि)।

जो लोग विशेष रूप से उत्सुक हैं, उनके लिए अन्य विधियां हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक परिवर्तनों की विधि। इस पाठ में, हम इन विधियों द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए उल्लिखित तीन विधियों और एल्गोरिदम का विश्लेषण करेंगे।

उलटा मैट्रिक्स ए, ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है

ए
. (1)

उलटा मैट्रिक्स , जो किसी दिए गए वर्ग मैट्रिक्स के लिए खोजना आवश्यक है ए, ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है

वह उत्पाद जिसके द्वारा मैट्रिसेस एदाईं ओर पहचान मैट्रिक्स है, अर्थात,
. (1)

एक पहचान मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स है जिसमें सभी विकर्ण प्रविष्टियां एक के बराबर होती हैं।

प्रमेय।प्रत्येक गैर-एकवचन (गैर-एकवचन, गैर-एकवचन) वर्ग मैट्रिक्स के लिए, एक उलटा मैट्रिक्स पा सकता है, और इसके अलावा, केवल एक। एक विशेष (पतित, एकवचन) वर्ग मैट्रिक्स के लिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।

वर्ग मैट्रिक्स को कहा जाता है गैर विशेष(या गैर पतित, गैर विलक्षण) यदि इसका सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, और विशेष(या पतित, विलक्षण) यदि इसका सारणिक शून्य है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है। स्वाभाविक रूप से, व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी वर्गाकार होगा और दिए गए मैट्रिक्स के समान क्रम का होगा। एक मैट्रिक्स जिसके लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाया जा सकता है उसे एक उलटा मैट्रिक्स कहा जाता है।

के लिये उलटा मैट्रिक्स एक संख्या के व्युत्क्रम के साथ एक उपयुक्त सादृश्य है। हर नंबर के लिए ए, जो शून्य के बराबर नहीं है, एक संख्या मौजूद है बीकि काम एतथा बीएक के बराबर: अब= 1. संख्या बीकिसी संख्या का व्युत्क्रम कहलाता है बी. उदाहरण के लिए, संख्या 7 के लिए व्युत्क्रम संख्या 1/7 है, क्योंकि 7*1/7=1.

बीजगणितीय योगों की विधि द्वारा प्रतिलोम आव्यूह ज्ञात करना (संघ आव्यूह)

एक गैर-एकवचन वर्ग मैट्रिक्स के लिए एउलटा मैट्रिक्स है

मैट्रिक्स निर्धारक कहां है ए, ए मैट्रिक्स से जुड़ा मैट्रिक्स है ए.

एक वर्ग मैट्रिक्स के साथ संबद्ध एउसी क्रम का एक मैट्रिक्स है जिसके तत्व मैट्रिक्स ए के संबंध में स्थानांतरित मैट्रिक्स के निर्धारक के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरक हैं। इस प्रकार, यदि

फिर

तथा

बीजगणितीय योगों की विधि द्वारा प्रतिलोम आव्यूह ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम

1. इस आव्यूह का सारणिक ज्ञात कीजिए ए. यदि सारणिक शून्य के बराबर है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स का पता लगाना बंद हो जाता है, क्योंकि मैट्रिक्स पतित है और इसका कोई व्युत्क्रम नहीं है।

2. के संबंध में स्थानांतरित मैट्रिक्स खोजें ए.

3. चरण 2 में पाए गए मैरिटा के बीजीय पूरक के रूप में संघ मैट्रिक्स के तत्वों की गणना करें।

4. सूत्र लागू करें (2): मैट्रिक्स के सारणिक के व्युत्क्रम को गुणा करें ए, चरण 4 में पाए गए संघ मैट्रिक्स के लिए।

5. इस मैट्रिक्स को गुणा करके चरण 4 में प्राप्त परिणाम की जाँच करें एउलटा मैट्रिक्स के लिए। यदि इन मैट्रिक्स का उत्पाद पहचान मैट्रिक्स के बराबर है, तो उलटा मैट्रिक्स सही ढंग से पाया गया था। अन्यथा समाधान प्रक्रिया फिर से शुरू करें।

उदाहरण 1मैट्रिक्स के लिए

उलटा मैट्रिक्स खोजें।

समाधान। व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजना आवश्यक है ए. हम त्रिभुज के नियम से पाते हैं:

इसलिए, मैट्रिक्स एगैर-एकवचन (गैर-पतित, गैर-एकवचन) है और इसके लिए एक व्युत्क्रम है।

आइए दिए गए मैट्रिक्स से जुड़े मैट्रिक्स को खोजें ए.

आइए मैट्रिक्स के संबंध में मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें ए:

हम मैट्रिक्स के संबंध में स्थानांतरित मैट्रिक्स के बीजगणितीय पूरक के रूप में संघ मैट्रिक्स के तत्वों की गणना करते हैं ए:

इसलिए, मैट्रिक्स मैट्रिक्स के साथ संयुग्मित है ए, रूप है

टिप्पणी।तत्वों की गणना और मैट्रिक्स के स्थानान्तरण का क्रम भिन्न हो सकता है। कोई पहले मैट्रिक्स के बीजीय पूरक की गणना कर सकता है ए, और फिर बीजीय पूरक के मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें। परिणाम संघ मैट्रिक्स के समान तत्व होना चाहिए।

सूत्र (2) को लागू करने पर, हम मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के विपरीत पाते हैं ए:

अज्ञात के गाऊसी उन्मूलन द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना

गाऊसी उन्मूलन द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए पहला कदम मैट्रिक्स को असाइन करना है एएक ही क्रम के पहचान मैट्रिक्स, उन्हें एक लंबवत बार से अलग करते हैं। हमें एक दोहरा मैट्रिक्स मिलता है। इस मैट्रिक्स के दोनों भागों को से गुणा करें, तो हमें मिलता है

,

अज्ञात के गाऊसी उन्मूलन द्वारा उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. मैट्रिक्स के लिए एउसी क्रम का एक पहचान मैट्रिक्स असाइन करें।

2. परिणामी द्वैत मैट्रिक्स को रूपांतरित करें ताकि उसके बाएं भाग में पहचान मैट्रिक्स प्राप्त हो जाए, फिर पहचान मैट्रिक्स के स्थान पर सही भाग में उलटा मैट्रिक्स स्वतः प्राप्त हो जाएगा। आव्यूह एबाईं ओर मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तनों द्वारा पहचान मैट्रिक्स में परिवर्तित हो जाता है।

2. यदि मैट्रिक्स परिवर्तन की प्रक्रिया में एपहचान मैट्रिक्स में किसी भी पंक्ति में या किसी भी कॉलम में केवल शून्य होगा, तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है, और इसलिए, मैट्रिक्स एपतित होगा, और इसका कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं है। इस मामले में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स की आगे की खोज बंद हो जाती है।

उदाहरण 2मैट्रिक्स के लिए

उलटा मैट्रिक्स खोजें।

और हम इसे बदल देंगे ताकि पहचान मैट्रिक्स बाईं ओर प्राप्त हो। आइए परिवर्तन शुरू करें।

बाएँ और दाएँ मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और इसे दूसरी पंक्ति में जोड़ें, और फिर पहली पंक्ति को (-4) से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें, फिर हमें मिलता है

.

ताकि, यदि संभव हो तो, बाद के परिवर्तनों के दौरान कोई भिन्नात्मक संख्या न हो, हम पहले दोहरे मैट्रिक्स के बाईं ओर दूसरी पंक्ति में एक इकाई बनाएंगे। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें और उसमें से तीसरी पंक्ति घटाएं, तो हमें प्राप्त होता है

.

आइए पहली पंक्ति को दूसरी में जोड़ें, और फिर दूसरी पंक्ति को (-9) से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें। तब हमें मिलता है

.

तीसरी पंक्ति को 8 से विभाजित करें, फिर

.

तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें और दूसरी पंक्ति में जोड़ें। यह पता चला है:

.

दूसरी और तीसरी पंक्तियों के स्थानों की अदला-बदली करने पर, हम अंत में प्राप्त करते हैं:

.

हम देखते हैं कि पहचान मैट्रिक्स बाईं ओर प्राप्त होता है, इसलिए, उलटा मैट्रिक्स दाईं ओर प्राप्त होता है। इस तरह:

.

आप पाए गए व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा मूल मैट्रिक्स को गुणा करके गणना की शुद्धता की जांच कर सकते हैं:

परिणाम एक उलटा मैट्रिक्स होना चाहिए।

उदाहरण 3मैट्रिक्स के लिए

उलटा मैट्रिक्स खोजें।

समाधान। एक दोहरी मैट्रिक्स का संकलन

और हम इसे बदल देंगे।

हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरी को 2 से, और दूसरी से घटाते हैं, और फिर हम पहली पंक्ति को 5 से गुणा करते हैं, और तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं और तीसरी पंक्ति से घटाते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं

.

हम पहली पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं और दूसरी में जोड़ते हैं, और फिर तीसरी पंक्ति से दूसरी घटाते हैं, तो हमें मिलता है

.

हम देखते हैं कि बाईं ओर तीसरी पंक्ति में, सभी तत्व शून्य के बराबर निकले। इसलिए, मैट्रिक्स पतित है और इसका कोई उलटा मैट्रिक्स नहीं है। हम आगे रिवर्स मारिया का पता लगाना बंद कर देते हैं।