एक मापांक और एक अंश के साथ एक ग्राफ कैसे बनाया जाए। मॉड्यूल के साथ रैखिक फ़ंक्शन प्लॉट

मॉड्यूल के साथ सामान्य उदाहरण हैं मॉड्यूल में समीकरण प्रकार मॉड्यूल।दोहरे मापांक को सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है
||a*x-b|-c|=k*x+m।
यदि k = 0, तो मापांक के साथ इस तरह के समीकरण को ग्राफिकल विधि का उपयोग करके हल करना आसान होता है। ऐसी स्थितियों में मॉड्यूल का शास्त्रीय प्रकटीकरण बोझिल है और नियंत्रण और परीक्षणों पर वांछित प्रभाव (समय की बचत) नहीं देता है। ग्राफिकल विधि आपको कम समय में मॉड्यूलर फ़ंक्शन बनाने और समीकरण की जड़ों की संख्या खोजने की अनुमति देती है।

एक डबल, ट्रिपल मॉड्यूल के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म काफी सरल है और कई लोग नीचे दिए गए उदाहरणों को पसंद करेंगे। नीचे दी गई कार्यप्रणाली को समेकित करने के लिए स्व-गणना के उदाहरण हैं।

उदाहरण 1 मॉड्यूल में समीकरण मॉड्यूल को हल करें ||x-3|-5|=3।
समाधान: हम शास्त्रीय विधि द्वारा और ग्राफिक रूप से मॉड्यूल के साथ समीकरण को हल करते हैं। आंतरिक मॉड्यूल का शून्य खोजें
एक्स -3 = 0 एक्स = 3।
बिंदु x=3 पर, मापांक के साथ समीकरण को 2 से विभाजित किया जाता है। इसके अलावा, आंतरिक मॉड्यूल का शून्य मॉड्यूल के ग्राफ की समरूपता का बिंदु है, और यदि समीकरण का दाहिना पक्ष स्थिर है, तो जड़ें इस बिंदु से समान दूरी पर स्थित हैं। अर्थात्, आप दो में से एक समीकरण को हल कर सकते हैं, और इस स्थिति से शेष मूलों की गणना कर सकते हैं।
आइए x>3 . के लिए आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करें
|x-3-5|=3; |x-8|=3 ।
मॉड्यूल का विस्तार करते समय परिणामी समीकरण को 2 . से विभाजित किया जाता है
उप मॉड्यूलर फ़ंक्शन> 0
एक्स-8=3; एक्स=3+8=11;
और मूल्यों के लिए< 0 получим
-(x-8)=3; एक्स = 8-3 = 5।
समीकरण के दोनों मूल शर्त x>3 को संतुष्ट करते हैं, अर्थात वे समाधान हैं।
ऊपर लिखे मॉड्यूल के साथ समीकरण के समाधान के समरूपता के नियम को ध्यान में रखते हुए, हम एक्स के लिए समीकरण की जड़ों की तलाश नहीं कर सकते हैं< 3, которое имеет вид
|-(x-3)-5|=3; |-x-2|=3 ,
और उनकी गणना करें।
मान सममित है x=3 के लिए x=11 is
x=3-(11-3)=6-11=-5.
उसी सूत्र का उपयोग करके, हम दूसरा समाधान ढूंढते हैं
x=3-(5-3)=6-5=1.
मॉड्यूल में दिए गए मॉड्यूल समीकरण के 4 समाधान हैं
एक्स = -5; एक्स = 1; एक्स = 5; एक्स = 11.
आइए अब समाधान ढूंढते हैं मॉड्यूल ग्राफिकल विधि के साथ समीकरण. आंतरिक मॉड्यूल से |x-3| यह इस प्रकार है कि फ़ंक्शन के मानक मॉड्यूल का ग्राफ ऑक्स अक्ष के साथ दाईं ओर 3 से स्थानांतरित हो जाता है।
आगे - घटाना 5 का अर्थ है कि ग्राफ को ओए अक्ष के साथ 5 कोशिकाओं द्वारा कम किया जाना चाहिए। परिणामी फ़ंक्शन के मॉड्यूल को प्राप्त करने के लिए, हम सममित रूप से सब कुछ प्रतिबिंबित करते हैं जो ऑक्स अक्ष के नीचे है।
और अंत में, हम ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा y=3 बनाते हैं। मॉड्यूल के साथ समीकरणों की गणना करने के लिए एक बॉक्स में एक नोटबुक का ग्राफिक रूप से उपयोग करना सबसे अच्छा है, क्योंकि इसमें ग्राफ़ बनाना सुविधाजनक है।
मॉड्यूल ग्राफ का अंतिम रूप दिखता है

फ़ंक्शन के मापांक के प्रतिच्छेदन बिंदु और रेखा y=3 और वांछित समाधान हैं x=-5;x=1; एक्स = 5; एक्स = 11।

मॉड्यूल विस्तार पर चित्रमय पद्धति का लाभसरल समीकरणों के लिए स्पष्ट है। हालांकि, जब दाईं ओर k*x+m जैसा दिखता है, तो जड़ों की तलाश करना ग्राफिक रूप से असुविधाजनक होता है, अर्थात यह एक कोण पर भुज अक्ष की ओर झुकी हुई एक सीधी रेखा है।
हम यहां ऐसे समीकरणों पर विचार नहीं करेंगे।

उदाहरण 2 समीकरण ||2x-3|-2|=2 के कितने मूल हैं?
हल: दायीं ओर एक स्थिरांक के बराबर होता है, इसलिए आलेखीय विधि का उपयोग करके समाधान खोजने की संभावना अधिक होती है। आंतरिक मॉड्यूल शून्य पर जाता है
|2x-3|=0 x=3/2=1.5
बिंदु x=1.5 पर।
इसलिए हम फंक्शन y=|2x| के ग्राफ को इस बिंदु पर शिफ्ट करते हैं। इसे बनाने के लिए, कुछ बिंदुओं को स्थानापन्न करें और उनके माध्यम से सीधी रेखाएँ खींचें। हम परिणामी फ़ंक्शन से 2 घटाते हैं, अर्थात, हम ग्राफ़ को दो नीचे करते हैं और मापांक प्राप्त करने के लिए, हम नकारात्मक मानों को स्थानांतरित करते हैं (y< 0) симметрично относительно оси Ox .

हम देखते हैं कि दिए गए समीकरण के तीन हल हैं।

उदाहरण 3 पैरामीटर के किस मान के लिए a मॉड्यूल के साथ समीकरण करता है |||x+1|-2|-5|=a के 5 समाधान हैं?
समाधान: हमारे पास तीन नेस्टेड मॉड्यूल के साथ एक समीकरण है। आइए ग्राफिकल विश्लेषण के साथ उत्तर खोजें। आइए, हमेशा की तरह, आंतरिक मॉड्यूल से शुरू करें। यह शून्य हो जाता है
|x+1|=0 x=-1
बिंदु x=-1 पर।
हम इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मॉड्यूल को प्लॉट करते हैं

आइए फिर से फ़ंक्शन के मॉड्यूल के ग्राफ़ को 5 से नीचे शिफ्ट करें और फ़ंक्शन के नकारात्मक मानों को सममित रूप से स्थानांतरित करें। नतीजतन, हम मॉड्यूल के साथ समीकरण के बाईं ओर प्राप्त करते हैं
y=|||x+1|-2|-5| .

पैरामीटर a समानांतर रेखा के मान से मेल खाता है, जिसे फ़ंक्शन के मापांक के ग्राफ़ को 5 बिंदुओं पर पार करना होगा। पहले हम ऐसी सीधी रेखा खींचते हैं, फिर हम अक्ष ओए के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु की तलाश करते हैं।
यह एक सीधी रेखा y=3 है, अर्थात आवश्यक पैरामीटर a=3 के बराबर है।
मॉड्यूल को प्रकट करने की विधि से, इस समस्या को पूरे पाठ के लिए हल किया जा सकता है, यदि अधिक नहीं। यहां यह सब कुछ चार्ट पर आता है।
उत्तर: ए = 3।

उदाहरण 4 समीकरण |||3x-3|-2|-7|=x+5 के कितने हल हैं?
हल: समीकरण के आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करें
|3x-3|=0<=>एक्स = 3/3 = 1।
हम फंक्शन y=|3x-3| का एक ग्राफ बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, x के एक सेल को पाए गए बिंदु से बदलने के लिए, y में 3 सेल जोड़ें। एक बॉक्स में एक नोटबुक में समीकरण की जड़ों का निर्माण करें, और मैं आपको बताऊंगा कि यह मेपल पर्यावरण में कैसे किया जा सकता है।

पुनरारंभ करें; के साथ (भूखंड): शून्य के बराबर सभी चर सेट करें और ग्राफिक्स के साथ काम करने के लिए मॉड्यूल को कनेक्ट करें।

> प्लॉट (abs(3*x-3),x=-2..4):

अगला, हम ग्राफ़ को 2 कोशिकाओं से नीचे करते हैं और सममित रूप से नकारात्मक मानों को स्थानांतरित करते हैं (y<0) .
आइए दो आंतरिक मॉड्यूल का एक ग्राफ प्राप्त करें हम परिणामी ग्राफ को एक ड्यूस से कम करते हैं और इसे सममित रूप से दर्शाते हैं। एक ग्राफ प्राप्त करें
y=||3x-3|-2|।
गणित पैकेज में मेपलयह एक और मॉड्यूल लिखने के बराबर है
>प्लॉट(एब्स(एब्स(3*x-3)-2),x=-2..4):

चार्ट को सात इकाइयों से नीचे फिर से शिफ्ट करें और इसे सममित रूप से स्थानांतरित करें। फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त करें
y=|||3x-3|-2|-7|

मेपल में, यह निम्न कोड टेप के बराबर है
> प्लॉट (abs(abs(abs(3*x-3)-2)-7),x=-5..7):
हम दो बिंदुओं से एक सीधी रेखा y=x+5 बनाते हैं। पहला एब्सिस्सा अक्ष के साथ एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन है

मॉड्यूलो संकेत शायद गणित में सबसे दिलचस्प घटनाओं में से एक है। इस संबंध में, कई स्कूली बच्चों के पास यह सवाल है कि मॉड्यूल वाले कार्यों के रेखांकन कैसे बनाए जाएं। आइए इस मुद्दे की विस्तार से जांच करें।

1. मॉड्यूल युक्त प्लॉटिंग फ़ंक्शन

उदाहरण 1

फलन y = x 2 - 8|x| . को आलेखित कीजिए + 12.

समाधान।

आइए हम फ़ंक्शन की समता को परिभाषित करें। y(-x) का मान y(x) के मान के समान है, इसलिए यह फलन सम है। तब इसका ग्राफ ओए अक्ष के संबंध में सममित है। हम x 0 के लिए फ़ंक्शन y \u003d x 2 - 8x + 12 का एक ग्राफ बनाते हैं और सममित रूप से नकारात्मक x (छवि 1) के लिए ओए के सापेक्ष ग्राफ प्रदर्शित करते हैं।

उदाहरण 2

अगला ग्राफ y = |x 2 - 8x + 12| है।

- प्रस्तावित समारोह की सीमा क्या है? (वाई 0)।

- चार्ट कैसा है? (x-अक्ष के ऊपर या स्पर्श करना)।

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है: वे फ़ंक्शन y \u003d x 2 - 8x + 12 को प्लॉट करते हैं, ग्राफ़ के उस भाग को छोड़ देते हैं जो ऑक्स अक्ष के ऊपर स्थित होता है, और ग्राफ़ का वह भाग जो नीचे स्थित होता है एब्सिस्सा अक्ष को ऑक्स अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित किया जाता है (चित्र 2)।

उदाहरण 3

फलन y = |x 2 – 8|x| . को आलेखित करने के लिए + 12| परिवर्तनों का एक संयोजन करें:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 - 8|x| + 12|.

उत्तर : आकृति 3.

माना परिवर्तन सभी प्रकार के कार्यों के लिए मान्य हैं। आइए एक टेबल बनाएं:

2. सूत्र में "नेस्टेड मॉड्यूल" युक्त प्लॉटिंग फ़ंक्शन

हम मापांक वाले द्विघात फलन के उदाहरणों के साथ-साथ y = f(|x|), y = |f(x)| और y = |f(|x|)|। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करते समय ये परिवर्तन हमारी सहायता करेंगे।

उदाहरण 4

y = |2 – |1 – |x||| के रूप के एक फलन पर विचार करें। फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाली अभिव्यक्ति में "नेस्टेड मॉड्यूल" होता है।

समाधान।

हम ज्यामितीय परिवर्तनों की विधि का उपयोग करते हैं।

आइए क्रमिक परिवर्तनों की एक श्रृंखला लिखें और संबंधित चित्र बनाएं (चित्र 4):

y = x → y = |x| → वाई = -|एक्स| → वाई = -|एक्स| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 -|1 - |x|||।

आइए उन मामलों पर विचार करें जब समरूपता और समानांतर अनुवाद परिवर्तन साजिश रचने की मुख्य तकनीक नहीं हैं।

उदाहरण 5

फॉर्म y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 के एक फ़ंक्शन का ग्राफ बनाएं।

समाधान।

एक ग्राफ बनाने से पहले, हम उस सूत्र को बदलते हैं जो फ़ंक्शन को परिभाषित करता है और फ़ंक्शन की एक और विश्लेषणात्मक परिभाषा प्राप्त करता है (चित्र 5)।

y = (x 2 - 4)/√(x + 2) 2 = (x-2)(x + 2)/|x + 2|।

आइए हर में मॉड्यूल का विस्तार करें:

x > -2 के लिए, y = x - 2, और x . के लिए< -2, y = -(x – 2).

डोमेन डी (वाई) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞)।

रेंज ई (वाई) = (-4; +∞)।

वे बिंदु जिन पर ग्राफ़ निर्देशांक अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है: (0; -2) और (2; 0)।

अंतराल (-∞; -2) से सभी x के लिए फलन घटता है, x के लिए -2 से +∞ तक बढ़ता है।

यहां हमें मापांक के चिह्न को प्रकट करना था और प्रत्येक मामले के लिए फलन को प्लॉट करना था।

उदाहरण 6

फलन पर विचार करें y = |x + 1| - |x - 2|।

समाधान।

मॉड्यूल के संकेत का विस्तार करते हुए, सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों पर विचार करना आवश्यक है।

चार संभावित मामले हैं:

(x + 1 - x + 2 = 3, x -1 और x ≥ 2 के साथ;

(-x - 1 + x - 2 = -3, x . के साथ< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, x ≥ -1 और x . के लिए< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, x . के साथ< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

तब मूल कार्य इस तरह दिखेगा:

(3, x 2 के लिए;

y = (-3, x . पर)< -1;

(2x - 1, -1 ≤ x . के साथ)< 2.

हमें एक टुकड़ा-वार दिया गया फलन मिला है, जिसका आलेख चित्र 6 में दिखाया गया है।

3. फॉर्म के कार्यों के ग्राफ बनाने के लिए एल्गोरिदम

पिछले उदाहरण में, मॉड्यूल संकेतों का विस्तार करना काफी आसान था। यदि मॉड्यूल की अधिक मात्रा है, तो सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों पर विचार करना समस्याग्रस्त है। हम इस मामले में फ़ंक्शन को कैसे ग्राफ़ कर सकते हैं?

ध्यान दें कि ग्राफ एक पॉलीलाइन है, जिसमें एब्सिसास -1 और 2 वाले बिंदुओं पर शिखर होते हैं। x = -1 और x = 2 के लिए, सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन शून्य के बराबर होते हैं। व्यावहारिक रूप से, हमने ऐसे ग्राफ़ बनाने के नियम की ओर रुख किया:

y = a 1 |x - x 1 | . के रूप के एक फलन का आलेख + ए 2 |एक्स - एक्स 2 | + … + ए एन | एक्स - एक्स एन | + कुल्हाड़ी + बी अनंत अंत लिंक के साथ एक टूटी हुई रेखा है। ऐसी पॉलीलाइन का निर्माण करने के लिए, इसके सभी शीर्षों को जानना पर्याप्त है (वर्टेक्स एब्सिसस सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन के शून्य हैं) और बाएं और दाएं अनंत लिंक पर प्रत्येक पर एक नियंत्रण बिंदु है।

कार्य।

फलन y = |x| . आलेखित कीजिए + |x - 1| + |x + 1| और इसका सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

समाधान:

सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन के शून्य: 0; -एक; 1. पॉलीलाइन के कोने (0; 2); (-तेरह); (तेरह)। नियंत्रण बिंदु दाईं ओर (2; 6), बाईं ओर (-2; 6)। हम एक ग्राफ बनाते हैं (चित्र 7)। न्यूनतम f(x) = 2.

क्या आपका कोई प्रश्न है? मॉड्यूलस के साथ फ़ंक्शन को ग्राफ़ करना नहीं जानते?
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प्रतिलिपि

1 ग्रेड 6-11 में छात्रों के शैक्षिक और शोध कार्य का क्षेत्रीय वैज्ञानिक और व्यावहारिक सम्मेलन "गणित के व्यावहारिक और मौलिक प्रश्न" गणित के अध्ययन के तरीके " कुडीमकर, पिकुलेवा नादेज़्दा इवानोव्ना, गणित के शिक्षक, MOBU "जिमनैजियम 3", कुडीमकर, पर्म, 2016

2 सामग्री: परिचय...3 पी. आई. मुख्य भाग... 6 पी। 1.1 ऐतिहासिक पृष्ठभूमि.. 6 पी। 2. कार्यों की बुनियादी परिभाषाएं और गुण पी। .8 पी। 2.3 आंशिक-तर्कसंगत कार्य 8 पी। 3. मापांक 9 पी के साथ ग्राफ प्लॉट करने के लिए एल्गोरिदम। 3.1 मापांक का निर्धारण .. 9 पी। सूत्र "नेस्टेड मॉड्यूल" में। 10 पी। 3.4 फॉर्म के कार्यों के ग्राफ बनाने के लिए एल्गोरिदम y = a 1 xx 1 + a 2 xxanxxn + ax + b...13 p. 3.5 मॉड्यूलो के साथ द्विघात फलन का आलेख बनाने के लिए एल्गोरिथम। 15पी 4. निरपेक्ष मान के चिह्न के स्थान के आधार पर द्विघात फलन के ग्राफ में परिवर्तन ..17str। द्वितीय. निष्कर्ष ... 26 पी। III। संदर्भों और स्रोतों की सूची...27 पृष्ठ IV। आवेदन....28पी. 2

3 परिचय रेखांकन फलन स्कूली गणित में सबसे दिलचस्प विषयों में से एक है। हमारे समय के सबसे बड़े गणितज्ञ, इज़राइल मोइसेविच गेलफैंड ने लिखा: "साजिश रचने की प्रक्रिया सूत्रों और विवरणों को ज्यामितीय छवियों में बदलने का एक तरीका है। यह प्लॉटिंग सूत्रों और कार्यों को देखने और यह देखने का एक साधन है कि ये फ़ंक्शन कैसे बदलते हैं। उदाहरण के लिए, यदि y \u003d x 2 लिखा है, तो आप तुरंत एक परवलय देखते हैं; यदि y = x 2-4, तो आप एक परवलय को चार इकाइयों से कम करते हुए देखते हैं; यदि y \u003d - (x 2 4), तो आप पिछले परवलय को ठुकराते हुए देखते हैं। सूत्र को एक बार में देखने की यह क्षमता, और इसकी ज्यामितीय व्याख्या न केवल गणित के अध्ययन के लिए, बल्कि अन्य विषयों के लिए भी महत्वपूर्ण है। यह एक ऐसा कौशल है जो जीवन भर आपके साथ रहता है, जैसे बाइक चलाना, टाइप करना या कार चलाना सीखना।" मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करने की मूल बातें छठी 7 वीं कक्षा में प्राप्त की गई थीं। मैंने इस विशेष विषय को चुना क्योंकि मेरा मानना है कि इसके लिए एक गहन और अधिक गहन अध्ययन की आवश्यकता है। मैं एक संख्या के मापांक के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त करना चाहता हूं, निरपेक्ष मूल्य के संकेत वाले ग्राफ़ को प्लॉट करने के विभिन्न तरीके। जब रेखाओं, परवलय, अतिपरवलय के "मानक" समीकरणों में मापांक का चिह्न शामिल होता है, तो उनके रेखांकन असामान्य और सुंदर भी हो जाते हैं। इस तरह के ग्राफ़ बनाने का तरीका जानने के लिए, आपको बुनियादी आंकड़े बनाने की तकनीकों में महारत हासिल करने की ज़रूरत है, साथ ही किसी संख्या के मापांक की परिभाषा को अच्छी तरह से जानना और समझना होगा। स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में, मॉड्यूल के साथ रेखांकन को पर्याप्त गहराई से नहीं माना जाता है, यही वजह है कि मैं इस विषय पर अपने ज्ञान का विस्तार करना चाहता था, ताकि मैं अपना शोध कर सकूं। मॉड्यूल की परिभाषा को जाने बिना, निरपेक्ष मान वाले सरलतम ग्राफ को भी बनाना असंभव है। मॉड्यूल चिह्न के साथ भाव युक्त कार्यों के रेखांकन की एक विशिष्ट विशेषता, 3

4 उन बिंदुओं पर किंक की उपस्थिति है जिस पर मॉड्यूल साइन के तहत अभिव्यक्ति संकेत बदलता है। कार्य का उद्देश्य: मॉड्यूल साइन के तहत एक चर वाले रैखिक, द्विघात और आंशिक रूप से तर्कसंगत कार्यों के ग्राफ के निर्माण पर विचार करना। कार्य: 1) रैखिक, द्विघात और भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों के निरपेक्ष मूल्य के गुणों पर साहित्य का अध्ययन करना। 2) निरपेक्ष मान के चिह्न के स्थान के आधार पर कार्यों के ग्राफ़ में परिवर्तन की जाँच करें। 3) समीकरणों के आलेखों को आलेखित करना सीखें। अध्ययन का उद्देश्य: रैखिक, द्विघात और आंशिक रूप से तर्कसंगत कार्यों के रेखांकन। अध्ययन का विषय: निरपेक्ष मान के चिन्ह के स्थान के आधार पर रैखिक, द्विघात और भिन्नात्मक परिमेय कार्यों के ग्राफ में परिवर्तन। मेरे काम का व्यावहारिक महत्व इसमें निहित है: 1) इस विषय पर अर्जित ज्ञान का उपयोग करना, साथ ही इसे गहरा करना और इसे अन्य कार्यों और समीकरणों पर लागू करना; 2) आगे की शैक्षिक गतिविधियों में अनुसंधान कौशल के उपयोग में। प्रासंगिकता: रेखांकन असाइनमेंट पारंपरिक रूप से गणित के सबसे कठिन विषयों में से एक है। हमारे स्नातकों को जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने की समस्या का सामना करना पड़ रहा है। अनुसंधान समस्या: GIA के दूसरे भाग से मापांक चिह्न वाले कार्यों की साजिश रचना। अनुसंधान परिकल्पना: मॉड्यूल के संकेत वाले कार्यों के रेखांकन के निर्माण के सामान्य तरीकों के आधार पर विकसित जीआईए के दूसरे भाग के कार्यों को हल करने के लिए कार्यप्रणाली का अनुप्रयोग, छात्रों को इन कार्यों को हल करने की अनुमति देगा।

5 एक सचेत आधार पर, सबसे तर्कसंगत समाधान विधि चुनें, विभिन्न समाधान विधियों को लागू करें और जीआईए को अधिक सफलतापूर्वक पास करें। कार्य में प्रयुक्त अनुसंधान विधियां: 1. इस विषय पर गणितीय साहित्य और इंटरनेट संसाधनों का विश्लेषण। 2. अध्ययन की गई सामग्री का प्रजनन प्रजनन। 3. संज्ञानात्मक-खोज गतिविधि। 4. समस्याओं के समाधान की तलाश में डेटा का विश्लेषण और तुलना। 5. परिकल्पनाओं का विवरण और उनका सत्यापन। 6. गणितीय तथ्यों की तुलना और सामान्यीकरण। 7. प्राप्त परिणामों का विश्लेषण। इस काम को लिखते समय, निम्नलिखित स्रोतों का उपयोग किया गया था: इंटरनेट संसाधन, OGE परीक्षण, गणितीय साहित्य। 5

6 I. मुख्य भाग 1.1 ऐतिहासिक पृष्ठभूमि। 17वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में, एक प्रकार्य की अवधारणा ने एक चर की दूसरे पर निर्भरता के रूप में आकार लेना शुरू किया। इसलिए, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट () और रेने डेसकार्टेस () ने एक फलन की कल्पना इसके भुज पर एक वक्र बिंदु की कोटि की निर्भरता के रूप में की। और अंग्रेजी वैज्ञानिक आइजैक न्यूटन () ने फ़ंक्शन को एक गतिमान बिंदु के समन्वय के रूप में समझा जो समय के आधार पर बदलता है। शब्द "फ़ंक्शन" (लैटिन फ़ंक्शन प्रदर्शन, कमीशन से) पहली बार जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्रीड लाइबनिज़ () द्वारा पेश किया गया था। उन्होंने एक फ़ंक्शन को एक ज्यामितीय छवि (फ़ंक्शन का एक ग्राफ़) के साथ जोड़ा। बाद में, स्विस गणितज्ञ जोहान बर्नौली () और सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य, 18 वीं शताब्दी के प्रसिद्ध गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर () ने फ़ंक्शन को एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के रूप में माना। यूलर को एक चर की दूसरे पर निर्भरता के रूप में एक फ़ंक्शन की सामान्य समझ भी है। शब्द "मॉड्यूल" लैटिन शब्द "मॉड्यूलस" से आया है, जिसका अनुवाद में "माप" होता है। यह एक बहु-मूल्यवान शब्द (होमनाम) है जिसके कई अर्थ हैं और इसका उपयोग न केवल गणित में, बल्कि वास्तुकला, भौतिकी, इंजीनियरिंग, प्रोग्रामिंग और अन्य सटीक विज्ञानों में भी किया जाता है। वास्तुकला में, यह किसी दिए गए वास्तुशिल्प संरचना के लिए स्थापित माप की प्रारंभिक इकाई है और इसके घटक तत्वों के कई अनुपातों को व्यक्त करने के लिए उपयोग किया जाता है। इंजीनियरिंग में, यह प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाने वाला शब्द है जिसका कोई सार्वभौमिक अर्थ नहीं है और विभिन्न गुणांक और मात्राओं को निरूपित करने के लिए कार्य करता है, उदाहरण के लिए, सगाई मापांक, लोच का मापांक, आदि। 6

7 थोक मापांक (भौतिकी में) सामग्री में सामान्य तनाव के सापेक्ष बढ़ाव का अनुपात है। 2. कार्यों की बुनियादी परिभाषाएं और गुण फलन सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाओं में से एक है। एक फ़ंक्शन चर x पर चर y की ऐसी निर्भरता है, जिसमें चर x का प्रत्येक मान चर y के एकल मान से मेल खाता है। फ़ंक्शन सेट करने के तरीके: 1) विश्लेषणात्मक विधि (फ़ंक्शन गणितीय सूत्र का उपयोग करके सेट किया गया है); 2) सारणीबद्ध विधि (फ़ंक्शन तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया गया है); 3) वर्णनात्मक विधि (फ़ंक्शन मौखिक विवरण द्वारा दिया गया है); 4) ग्राफिकल विधि (फ़ंक्शन एक ग्राफ़ का उपयोग करके सेट किया गया है)। फ़ंक्शन का ग्राफ़ समन्वय विमान के सभी बिंदुओं का समूह है, जिनमें से एब्सिसास तर्क के मान के बराबर होते हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर होते हैं। 2.1 द्विघात फलन सूत्र y=ax 2 +in+c द्वारा परिभाषित फलन, जहां x और y चर हैं, और पैरामीटर a, b और c कोई वास्तविक संख्या है, और a = 0, द्विघात कहलाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d ax 2 + in + c एक परवलय है; परवलय की समरूपता की धुरी y \u003d ax 2 + in + c एक सीधी रेखा है, a> 0 के लिए परवलय की "शाखाएँ" ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, a के लिए<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (एक चर के कार्यों के लिए)। रैखिक कार्यों की मुख्य संपत्ति यह है कि फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के समानुपाती होती है। अर्थात्, फलन प्रत्यक्ष आनुपातिकता का सामान्यीकरण है। एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा है, इसलिए इसका नाम है। यह एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य से संबंधित है। 1) पर, सीधी रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक न्यून कोण बनाती है। 2) जब, रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण बनाती है। 3) y-अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक का सूचक है। 4) जब रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है। , 2.3 भिन्न-परिमेय फलन एक भिन्न है जिसका अंश और हर बहुपद हैं। इसका वह रूप है जहाँ, किसी भी संख्या में चरों में बहुपद। एक चर के परिमेय कार्य एक विशेष स्थिति हैं: जहां और बहुपद हैं। 1) कोई भी व्यंजक जो चार अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके चरों से प्राप्त किया जा सकता है, एक परिमेय फलन है। आठ

9 2) परिमेय कार्यों का सेट अंकगणितीय संचालन और संरचना के संचालन के तहत बंद है। 3) किसी भी तर्कसंगत कार्य को सरल अंशों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है - इसका उपयोग विश्लेषणात्मक एकीकरण में किया जाता है .., 3. मॉड्यूल के साथ ग्राफिंग एल्गोरिदम यदि नकारात्मक है। a = 3.2 मापांक के साथ एक रैखिक फलन के ग्राफ के निर्माण के लिए एल्गोरिथम फलन y= x के आलेखों को आलेखित करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि धनात्मक x के लिए हमारे पास x = x है। इसका मतलब है कि तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए, ग्राफ y=x ग्राफ y=x के साथ मेल खाता है, अर्थात, ग्राफ का यह भाग मूल से 45 डिग्री के कोण पर x- के कोण पर निकलने वाली किरण है। एक्सिस। x . के लिए< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 निर्माण के लिए, हम अंक (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) लेते हैं। अब एक ग्राफ बनाते हैं y= x-1. यदि A, निर्देशांक (a; a) के साथ एक ग्राफ बिंदु y= x है, तो Y कोटि के समान मान के साथ ग्राफ़ बिंदु y= x-1 बिंदु A1 होगा ( ए +1; ए)। दूसरे ग्राफ के इस बिंदु को पहले ग्राफ के बिंदु ए (ए; ए) से ऑक्स अक्ष के समानांतर दाईं ओर स्थानांतरित करके प्राप्त किया जा सकता है। इसका मतलब है कि फंक्शन y= x-1 का पूरा ग्राफ ऑक्स अक्ष के समानांतर 1 से दाईं ओर शिफ्ट करके फंक्शन y= x के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है। आइए ग्राफ बनाएं: y= x-1 बनाने के लिए, हम अंक लेते हैं (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1)। 3.3 सूत्र में "नेस्टेड मॉड्यूल" वाले फ़ंक्शन के ग्राफ़ का निर्माण आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके निर्माण एल्गोरिदम पर विचार करें।

11 y \u003d i-2-ix + 5ii 1. हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाते हैं। 2. हम निचले आधे तल का ग्राफ OX अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से ऊपर की ओर प्रदर्शित करते हैं और फलन का आलेख प्राप्त करते हैं। ग्यारह

12 3. हम फलन के ग्राफ को OX अक्ष पर सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं और फलन का आलेख प्राप्त करते हैं। 4. हम फलन के ग्राफ को OX अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं और फलन का ग्राफ प्राप्त करते हैं। OX अक्ष के सापेक्ष फलन का ग्राफ प्रदर्शित करें और ग्राफ प्राप्त करें। 12

13 6. परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है 3.4। y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b के रूप के फलनों के आलेख बनाने के लिए एक एल्गोरिथ्म। पिछले उदाहरण में, मॉड्यूल संकेतों का विस्तार करना काफी आसान था। यदि मॉड्यूल की अधिक मात्रा है, तो सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों पर विचार करना समस्याग्रस्त है। हम इस मामले में फ़ंक्शन को कैसे ग्राफ़ कर सकते हैं? ध्यान दें कि ग्राफ एक पॉलीलाइन है, जिसमें एब्सिसास -1 और 2 वाले बिंदुओं पर शिखर होते हैं। x = -1 और x = 2 के लिए, सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन शून्य के बराबर होते हैं। व्यावहारिक रूप से, हमने ऐसे ग्राफ़ के निर्माण के लिए नियम का रुख किया: फॉर्म y \u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b के फ़ंक्शन का ग्राफ अनंत चरम लिंक वाली एक पॉलीलाइन है। ऐसी पॉलीलाइन के निर्माण के लिए, इसके सभी शीर्षों को जानना पर्याप्त है (शीर्षों के एब्सिसास सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन के शून्य हैं) और बाएं और दाएं अनंत लिंक पर प्रत्येक पर एक नियंत्रण बिंदु है। तेरह

14 कार्य। फलन y = x + x 1 + x + 1 आलेखित कीजिए और इसका सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए। समाधान: 1. सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के शून्य: 0; -एक; पॉलीलाइन कोने (0; 2); (-तेरह); (1; 3)। (सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के शून्य को समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है) हम एक ग्राफ बनाते हैं (चित्र 7), फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान मॉड्यूल के साथ द्विघात फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए एल्गोरिदम है फ़ंक्शन के ग्राफ़ को परिवर्तित करने के लिए एल्गोरिदम तैयार करना। 1. फलन y= f(x) के ग्राफ की रचना। मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार, यह फ़ंक्शन दो कार्यों के एक सेट में विघटित हो जाता है। इसलिए, फलन y= f(x) के ग्राफ में दो ग्राफ होते हैं: y= f(x) दाएं आधे तल में, y= f(-x) बाएं आधे तल में। इसके आधार पर हम एक नियम (एल्गोरिदम) बना सकते हैं। फंक्शन y= f(x) का ग्राफ फंक्शन y= f(x) के ग्राफ से इस प्रकार प्राप्त होता है: x 0 पर ग्राफ संरक्षित रहता है, और x पर< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. फंक्शन y= f(x) का ग्राफ बनाने के लिए, आपको पहले x> 0 के लिए फंक्शन y= f(x) को ग्राफ करना होगा, फिर x के लिए< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 इस ग्राफ को प्राप्त करने के लिए, पहले से प्राप्त ग्राफ को तीन इकाइयों से दाईं ओर स्थानांतरित करना पर्याप्त है। ध्यान दें कि यदि भिन्न का हर x + 3 था, तो हम ग्राफ को बाईं ओर स्थानांतरित कर देंगे: अब हमें फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त करने के लिए दो सभी कोर्डिनेट्स से गुणा करने की आवश्यकता है, अंत में, हम ग्राफ़ को दो इकाइयों से ऊपर शिफ्ट करते हैं। : हमारे पास जो आखिरी काम बचा है, वह है दिए गए फंक्शन को प्लॉट करना, अगर वह मापांक के चिह्न के नीचे संलग्न है। ऐसा करने के लिए, हम ग्राफ के पूरे हिस्से को सममित रूप से ऊपर की ओर दर्शाते हैं, जिसके निर्देशांक ऋणात्मक हैं (वह भाग जो x-अक्ष के नीचे स्थित है): Fig.4 16

17 4. निरपेक्ष मान के चिह्न के स्थान के आधार पर द्विघात फलन के आलेख में परिवर्तन। फ़ंक्शन को प्लॉट करें y \u003d x 2 - x -3 1) चूंकि x \u003d x x 0 पर, आवश्यक ग्राफ परवलय y \u003d 0.25 x 2 - x - 3 के साथ मेल खाता है। यदि x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. बी) इसलिए, मैं x . के लिए पूरा करता हूं<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 अंजीर। 4 फ़ंक्शन का ग्राफ़ y \u003d f (x) तर्क के गैर-ऋणात्मक मानों के सेट पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ के साथ मेल खाता है और y के संबंध में इसके लिए सममित है -अक्ष तर्क के नकारात्मक मूल्यों के सेट पर। उपपत्ति: यदि x 0, तो f (x) = f (x), अर्थात्। तर्क के गैर-ऋणात्मक मानों के सेट पर, फ़ंक्शन y = f (x) और y = f (x) के ग्राफ़ मेल खाते हैं। चूँकि y \u003d f (x) एक सम फलन है, तो इसका ग्राफ OS के सापेक्ष सममित होता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ़ फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ से निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: 1. फ़ंक्शन y \u003d f (x) x>0 के लिए प्लॉट करें; 2. x . के लिए<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. x . के लिए<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 यदि x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 और सममित रूप से परावर्तित भाग y \u003d f (x) और y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, फिर f (x) \u003d f (x), जिसका अर्थ है कि इस भाग में फ़ंक्शन का ग्राफ़ y \u003d f (x) फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ ही y \u003d f (x) से मेल खाता है। अगर एफ (एक्स)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 चित्र.5 निष्कर्ष: फलन y= f(x) को आलेखित करने के लिए 1. फलन y=f(x) को आलेखित करें; 2. उन क्षेत्रों में जहां ग्राफ निचले आधे तल में स्थित है, अर्थात, जहां f (x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉटिंग पर शोध कार्य y \u003d f (x) निरपेक्ष मान की परिभाषा और पहले माने गए उदाहरणों को लागू करते हुए, हम फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करेंगे: y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 xy \ u003d x 2-2 और निष्कर्ष निकाला। फ़ंक्शन y = f (x) का एक ग्राफ बनाने के लिए यह आवश्यक है: 1. x>0 के लिए फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ बनाएं। 2. ग्राफ के दूसरे भाग का निर्माण करें, अर्थात निर्मित ग्राफ को ओएस के संबंध में सममित रूप से प्रतिबिंबित करें, क्योंकि यह फ़ंक्शन सम है। 3. निचले आधे-तल में स्थित परिणामी ग्राफ के वर्गों को ऊपरी आधे-तल में सममित रूप से OX अक्ष में परिवर्तित किया जाना चाहिए। फ़ंक्शन y \u003d 2 x - 3 (मॉड्यूल को निर्धारित करने के लिए पहली विधि) का एक ग्राफ बनाएं 1. हम y \u003d 2 x - 3 का निर्माण करते हैं, 2 x - 3> 0, x> 1.5 के लिए एक्स< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3, x>0 के लिए b) x . के लिए<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 बी) एक्स . के लिए<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) हम ओएस अक्ष के संबंध में निर्मित एक के सममित एक सीधी रेखा बनाते हैं। 3) निचले आधे तल में स्थित ग्राफ़ के वर्गों को OX अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित किया जाता है। दोनों ग्राफों की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि वे समान हैं। 21

22 समस्याओं के उदाहरण उदाहरण 1. फलन y = x 2 6x +5 के आलेख पर विचार करें। चूँकि x का वर्ग है, तो वर्ग करने के बाद संख्या x के चिन्ह की परवाह किए बिना यह धनात्मक होगा। यह इस प्रकार है कि फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x +5 का ग्राफ फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x +5 के ग्राफ के समान होगा, अर्थात। एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ जिसमें निरपेक्ष मान चिह्न नहीं होता है (चित्र 2)। Fig.2 उदाहरण 2. फ़ंक्शन y \u003d x 2 6 x +5 के ग्राफ पर विचार करें। किसी संख्या के मापांक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम सूत्र y \u003d x 2 6 x +5 को प्रतिस्थापित करते हैं। हम इस तरह से एक ग्राफ बनाएंगे: 1) एक परवलय y \u003d x 2-6x +5 का निर्माण करें और उसके उस हिस्से को सर्कल करें, जो 22 है

23 गैर-ऋणात्मक x मानों से मेल खाता है, अर्थात। y-अक्ष के दाईं ओर का भाग। 2) एक ही समन्वय विमान में, हम एक परवलय y \u003d x 2 +6x +5 का निर्माण करते हैं और उसके उस हिस्से को सर्कल करते हैं जो x के नकारात्मक मूल्यों से मेल खाता है, अर्थात। y-अक्ष के बाईं ओर का भाग। परवलय के चक्कर वाले हिस्से मिलकर फंक्शन y \u003d x 2-6 x +5 (चित्र 3) का एक ग्राफ बनाते हैं। Fig.3 उदाहरण 3. फ़ंक्शन y \u003d x 2-6 x +5 के ग्राफ पर विचार करें। चूंकि समीकरण y \u003d x 2 6x +5 का ग्राफ मॉड्यूलस चिह्न के बिना फ़ंक्शन के ग्राफ के समान है (उदाहरण 2 में माना जाता है), यह इस प्रकार है कि फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d x 2 6 x +5 फ़ंक्शन y \u003d x 2 6 x +5 के ग्राफ के समान है, उदाहरण 2 (चित्र 3) में माना जाता है। उदाहरण 4. आइए फ़ंक्शन y \u003d x 2 6x +5 का एक ग्राफ बनाएं। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x का एक ग्राफ बनाते हैं। इससे फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x का ग्राफ प्राप्त करने के लिए, आपको परवलय के प्रत्येक बिंदु को एक ही एब्सिसा के साथ एक बिंदु के साथ एक नकारात्मक निर्देशांक के साथ बदलने की आवश्यकता है, लेकिन विपरीत (सकारात्मक) समन्वय के साथ। दूसरे शब्दों में, x-अक्ष के नीचे स्थित परवलय के भाग को x-अक्ष के बारे में सममित रेखा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। चूंकि हमें फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x +5 का एक ग्राफ बनाने की आवश्यकता है, फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़ जिसे हमने y \u003d x 2-6x माना है, उसे y अक्ष के साथ 5 इकाइयों तक ऊपर उठाने की आवश्यकता है (चित्र। 4))। 23

24 Fig.4 उदाहरण 5. आइए फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x + 5 का एक ग्राफ बनाएं। ऐसा करने के लिए, हम प्रसिद्ध टुकड़े-टुकड़े फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं। फ़ंक्शन के शून्य खोजें y \u003d 6x +5 6x + 5 \u003d 0 पर। दो स्थितियों पर विचार करें: 1) यदि, तो समीकरण y = x 2 6x -5 का रूप लेता है। आइए इस परवलय का निर्माण करें और इसके उस हिस्से को घेरें जहां। 2) यदि, तो समीकरण y \u003d x 2 + 6x +5 का रूप लेता है। आइए इस परवलय का निर्माण करें और इसके उस हिस्से को सर्कल करें, जो निर्देशांक के साथ बिंदु के बाईं ओर स्थित है (चित्र 5)। 24

25 चित्र.5 उदाहरण6। आइए फ़ंक्शन y \u003d x 2 6 x +5 को प्लॉट करें। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन y \u003d x 2-6 x +5 को प्लॉट करेंगे। हमने इस ग्राफ को उदाहरण 3 में प्लॉट किया है। चूंकि हमारा फ़ंक्शन पूरी तरह से मॉड्यूल साइन के तहत है, फ़ंक्शन ग्राफ़ y \u003d x 2 6 x +5 को प्लॉट करने के लिए, आपको फ़ंक्शन ग्राफ़ y \u003d x 2 6 x के प्रत्येक बिंदु की आवश्यकता है। +5 एक ऋणात्मक कोटि के साथ, उसी भुज के साथ एक बिंदु से प्रतिस्थापित करें, लेकिन विपरीत (सकारात्मक) कोटि के साथ, अर्थात। ऑक्स अक्ष के नीचे स्थित परवलय के भाग को एक ऐसी रेखा से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए जो ऑक्स अक्ष के संबंध में सममित हो (चित्र 6)। अंजीर.6 25

26 II. निष्कर्ष "गणितीय जानकारी का कुशलतापूर्वक और लाभकारी रूप से उपयोग तभी किया जा सकता है जब उसे रचनात्मक रूप से महारत हासिल हो, ताकि छात्र खुद देख सके कि स्वतंत्र रूप से उस तक कैसे पहुंचना संभव होगा।" एक। कोलमोगोरोव. ये कार्य नौवीं कक्षा के छात्रों के लिए बहुत रुचि रखते हैं, क्योंकि वे OGE परीक्षणों में बहुत सामान्य हैं। कार्यों के इन रेखांकन को बनाने की क्षमता आपको परीक्षा को अधिक सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने की अनुमति देगी। फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट () और रेने डेसकार्टेस () ने एक फलन की कल्पना इसके भुज पर वक्र बिंदु की कोटि की निर्भरता के रूप में की थी। और अंग्रेजी वैज्ञानिक आइजैक न्यूटन () ने फ़ंक्शन को एक गतिमान बिंदु के समन्वय के रूप में समझा जो समय के आधार पर बदलता है। 26

27 III. संदर्भों और स्रोतों की सूची 1. गैलिट्स्की एम.एल., गोल्डमैन ए.एम., ज़्वाविच एल.आई. ग्रेड 8 9 के लिए बीजगणित में समस्याओं का संग्रह: प्रोक। स्कूली छात्रों के लिए भत्ता। और गहरीकरण के साथ कक्षाएं। पढाई गणित दूसरा संस्करण। एम।: ज्ञानोदय, डोरोफीव जी.वी. गणित। बीजगणित। कार्य। डेटा विश्लेषण। ग्रेड 9: एम34 प्रोक। सामान्य शिक्षा अध्ययन के लिए। प्रबंधक दूसरा संस्करण, स्टीरियोटाइप। एम।: बस्टर्ड, सोलोमोनिक वी.एस. गणित में प्रश्नों और समस्याओं का संग्रह एम।: "हायर स्कूल", यशचेंको आई.वी. जीआईए। गणित: विशिष्ट परीक्षा विकल्प: विकल्पों के बारे में। एम।: "राष्ट्रीय शिक्षा", पी। 5. यशचेंको आई.वी. ओजीई। गणित: विशिष्ट परीक्षा विकल्प: विकल्पों के बारे में। एम।: "राष्ट्रीय शिक्षा", पी। 6. यशचेंको आई.वी. ओजीई। गणित: विशिष्ट परीक्षा विकल्प: विकल्पों के बारे में। एम।: "राष्ट्रीय शिक्षा", पी।

28 परिशिष्ट 28

29 उदाहरण 1. फलन y = x 2 8 x हल आलेखित करें। आइए हम फ़ंक्शन की समता को परिभाषित करें। y(-x) का मान y(x) के मान के समान है, इसलिए यह फलन सम है। तब इसका ग्राफ ओए अक्ष के संबंध में सममित है। हम x 0 के लिए फ़ंक्शन y \u003d x 2 8x + 12 का एक ग्राफ बनाते हैं और नकारात्मक x (छवि 1) के लिए ओए के सापेक्ष सममित रूप से ग्राफ प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण 2. फॉर्म का निम्नलिखित ग्राफ y \u003d x 2 8x इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ निम्नानुसार प्राप्त होता है: वे फ़ंक्शन y \u003d x 2 8x + 12 का एक ग्राफ बनाते हैं, ग्राफ का हिस्सा छोड़ देते हैं जो ऑक्स अक्ष के ऊपर अपरिवर्तित रहता है, और ग्राफ का वह भाग जो भुज अक्ष के नीचे स्थित होता है, ऑक्स अक्ष के संबंध में सममित रूप से प्रदर्शित होता है (चित्र 2)। उदाहरण 3. फ़ंक्शन y \u003d x 2 8 x + 12 को प्लॉट करने के लिए, परिवर्तनों का एक संयोजन किया जाता है: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y \u003d x 2 8 x उत्तर : चित्र 3. उदाहरण 4 मॉड्यूल चिह्न के नीचे स्थित व्यंजक x=2/3 बिंदु पर चिह्न बदलता है। x . पर<2/3 функция запишется так: 29

30 x>2/3 के लिए, फ़ंक्शन इस प्रकार लिखा जाएगा: यानी, बिंदु x=2/3 हमारे समन्वय विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है, जिनमें से एक में (दाईं ओर) हम फ़ंक्शन का निर्माण करते हैं और में अन्य (बाईं ओर) फंक्शन का ग्राफ हम बनाते हैं: उदाहरण 5 अगला ग्राफ भी टूटा हुआ है, लेकिन इसमें दो ब्रेकप्वाइंट हैं, क्योंकि इसमें मॉड्यूल संकेतों के तहत दो एक्सप्रेशन शामिल हैं:

31 पहले अंतराल पर मॉड्यूल का विस्तार करें: दूसरे अंतराल पर: तीसरे अंतराल पर: इस प्रकार, अंतराल पर (- 1.5] हमारे पास पहले समीकरण द्वारा लिखा गया ग्राफ है, अंतराल पर दूसरे समीकरण द्वारा लिखा गया ग्राफ, और अंतराल पर)