Sveiki, draugi, kurus interesē fraktāļi un citi. Sākot ar šo brīdi, es uzsāku virkni ierakstu, kuros izskaidrošu vienkāršāko fraktāļu konstruēšanas principus. Mācīties vienmēr ir interesanti, un es tev palīdzēšu šajā jautājumā: turpmāk mēs zināsim daudzus, daudzus fraktāļus. Lorenca atraktors rakstā par haosu bija piemērs tam. Un šodien es jums pastāstīšu par Pitagora koku.
Tātad, kas tas ir? Pitagora koks ir vienkāršākais fraktālis, ko var uzzīmēt uz papīra. Bet kāpēc šo fraktāli sauc par Pitagora koku? Fakts ir tāds, ka šeit ir saistība ar Pitagora teorēmu - vienu no Eiklīda ģeometrijas pamatiem. Atcerieties viņu? Atgādināšu: a2 + b2 = c2 (kāju garumu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas garuma kvadrātu). Šī teorēma ir zināma kopš seniem laikiem, šobrīd ir vairāk nekā 400 teorēmas pierādījumu, un tikai Pitagors bija pirmais, kas to pierādīja ģeometriski. Viņš uzcēla šādu figūru: viņš paņēma taisnleņķa trīsstūri un uz tā malām uzzīmēja kvadrātus. Šo figūru sauc arī par "Pitagora biksēm":
Ja mēs turpinām šo konstrukciju rekursīvi, mēs nonākam pie Pitagora koka:
1 iterācija (mūsu Pitagora kokā leņķis ir 45 grādi):
Otrā iterācija:
Trešā iterācija:
Desmitā iterācija:
Svarīga Pitagora koka īpašība: ja pirmā kvadrāta laukums ir vienāds ar vienu, tad katrā līmenī kvadrātu laukumu summa arī būs vienāda ar vienu.
Ja leņķi maina no 45 grādiem, tad var konstruēt cita veida Pitagora kokus.
Šeit, piemēram, ir tā sauktais “vēja izpūstais Pitagora koks”:
Daži fraktāļu grafikas ģeneratori ievieš formulu fraktāļu konstruēšanai, pamatojoties uz Pitagora koku. Šī ieviešana ļoti atgādina IFS sistēmu, it īpaši, ja kvadrātus aizstājat ar taisnstūriem vai iegarenām formām.
Tas arī viss šodienai, līdz nākamajām sanāksmēm, kurās būs daudz citu interesantu fraktāļu)
Īpatnības
Viena no Pitagora koka īpašībām ir tāda, ka, ja pirmā kvadrāta laukums ir vienāds ar vienu, tad katrā līmenī kvadrātu laukumu summa arī būs vienāda ar vienu.
Ja klasiskajā Pitagora kokā leņķis ir 45 grādi, tad ir iespējams konstruēt arī vispārinātu Pitagora koku, izmantojot citus leņķus. Šo koku bieži sauc Vēja izpūsts Pitagora koks. Ja zīmējam tikai segmentus, kas kaut kādā veidā savieno izvēlētos trīsstūru “centrus”, mēs iegūstam kails Pitagora koks.
Piemēri
Pitagora koks 1.gif
Klasisks Pitagora koks
Pitagora koks 2.gif
Vēja pūsts Pitagora koks
Pitagora koks 3.gif
Pitagora pliks koks
Pitagora koks 4.gif
Atsegtais Pitagora koks, ko pūta vējš
Skatīt arī
Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Pitagora koks"
Pitagora koku raksturojošs fragments
Bija ģībšanas sajūta, bet, skatoties Annas lepnuma mirdzošajās acīs, viss sliktais pēkšņi kaut kur pazuda... Cik gaiša un skaista bija mana meita tajā briesmīgajā brīdī!..-Vai tu esi traka, Madonna! Vai tiešām var vienkārši aizsūtīt savu meitu uz pagrabu?.. Tu lieliski zini, kas viņu tur sagaida! Nāc pie prāta, Izidora!...
Pēkšņi Anna pienāca tuvu Karafai un skaidrā, zvanošā balsī teica:
– Tu neesi tiesnesis un ne Dievs!.. Tu esi tikai grēcinieks! Tāpēc Grēcinieku Gredzens dedzina tavus netīros pirkstus!.. Domāju, ka ne jau nejauši tu to nēsā... Jo tu esi pats zemiskākais no viņiem! Tu mani nenobiedēsi, Karafa. Un mana māte nekad nepakļausies tev!
Anna iztaisnojās un... spļāva tētim sejā. Karafa kļuva nāvīgi bāla. Nekad nebiju redzējis, ka kāds tik ātri nobāl! Viņa seja burtiski kļuva pelnu pelēka sekundes daļā... un nāve pazibēja viņa degošajās tumšajās acīs. Joprojām stāvot “stingumkrampjos” no Annas negaidītās uzvedības, pēkšņi visu sapratu - viņa apzināti provocēja Karafu, lai neaizkavētu!.. Lai ātri kaut ko izlemtu un nemocītu. Lai dotos savā nāvē... Manu dvēseli pārņēma sāpes - Anna man atgādināja meiteni Damianu... Viņa izlēma savu likteni... un es nevarēju palīdzēt. Es nevarēju iejaukties.
- Nu, Izidora, es domāju, ka tu to ļoti nožēlosi. Tu esi slikta māte. Un man bija taisnība par sievietēm – viņas visas ir velna atvases! Ieskaitot manu nabaga māti.
- Piedod man, jūsu Svētība, bet, ja tava māte ir Velna atvase, kas tad tu esi?.. Galu galā tu esi miesa no viņas miesas? – jautāju, patiesi pārsteigta par viņa maldīgajiem spriedumiem.
Mandelbrota komplekts ir klasisks fraktāļa piemērs... Wikipedia
HTML HTML un HTML5 dinamiskais HTML ... Wikipedia
Mandelbrota komplekts ir klasisks fraktāļa piemērs (lat. fractus crushed) ir termins, kas apzīmē ģeometrisku figūru, kurai piemīt līdzības īpašība, tas ir, sastāv no vairākām daļām, no kurām katra ir līdzīga visam. skaitlis... ... Vikipēdija
Levy līknes fraktālis. Ierosināja franču matemātiķis P. Levijs. Izrādās, ja paņemat pusi no formas / kvadrāta un pēc tam aizstājat katru pusi ar vienu un to pašu fragmentu un, atkārtojot šo darbību, ... Wikipedia
Newton Pools ... Wikipedia
Keilija grafiks ir grafiks, kas izveidots no grupas ar atšķirīgu ģeneratoru sistēmu. Nosaukts Keilija vārdā. Definīcija Dota diskrēta grupa G un ģeneratoru sistēma S. Pieņemsim, ka S = S − 1, tas ir, katram. G grupas Cayley skaits pēc sistēmas... ... Wikipedia
Grafiks, kas ir izveidots no grupas ar īpašu ģeneratoru sistēmu. Nosaukts Keilija vārdā. Definīcija Dota diskrēta grupa un ģeneratoru sistēma. Pieņemsim, tas ir, visiem. Count Cayley grupa ... Wikipedia
Senā Irānas reliģija senajos avotos. Rakstā ir apkopota informācija no seno autoru (sengrieķu, latīņu un daļēji armēņu un sīriešu) 5. gadsimtā pirms mūsu ēras. e. 6. gadsimts AD e. par Ahemenīdu laikmeta Irānas tautu reliģiju, partiešiem un varu ... Wikipedia
To tautu kultūra, kas to apdzīvoja senos laikos, 4. 1. gadu tūkstotī pirms mūsu ēras. piem., Mezopotāmija Mezopotāmija Tigris un Eifrata (mūsdienu Irākas teritorija), šumeri un akadieši, babilonieši un asīrieši, kas izveidoja lielās Šumeru, Akadas, Babilonijas valstis (sk... ... Lielā padomju enciklopēdija
Grāmatas
- Vasaras beigās Vera Orlovskaja. Veras Orlovskas jaunā grāmata VASARAS BEIGĀS turpina pārsteigt lasītāju ar savu formu daudzveidību un to, ko liecina daži nosaukumi: PITAGORA FILOZOFIJA SKAITĻOS, SAPŅU KOKS, 1. SIMFONIJA...
- R-funkcijas kā ierīce fraktāļu ģeometrijas lietojumos, A. V. Tolok. R-funkciju teorijas matemātisko aparātu izmanto, lai aprakstītu fraktāļu ģeometrijas objektus ar funkcijām ɷ(x) = 0, x ∈ En, kur ɷ(x) ir vienas analītiskas izteiksmes forma. Autori…
Vēl viens piemērs varētu būt slavenais "Pitagora koks". To bieži attēlo, kā parādīts attēlā. 3.2. Katram no taisnleņķa trīsstūriem šajā kokā ir 45° iekšējais leņķis.
Atkal izmantosim nejaušo skaitļu ģeneratoru, lai izveidotu vispārīgāku programmu, kas var ģenerēt ne tikai rīsus. 3.2, bet arī rada mazāk regulārus kokus. Attēlam leņķi iestatīti uz 45°. 3.2, parasti tiks iestatīts nejauši diapazonā no (45 - delta)° un (45+ delta)° , kur ir vērtība delta tiek norādīts kā ievades parametrs kopā ar parametru n, kas nosaka rekursijas dziļumu. Parastā versija, kas parādīta attēlā. 3.2., kas iegūts, precizējot delta= 0 un n = 7. Attēlā parametrs P nosaka trīsstūru skaitu ceļā no koka saknes līdz lapām. Programmas kodols būs rekursīvā funkcija kvadrāts_un_trijstūris ("kvadrāts un trīsstūris") ar parametru n, kas nosaka rekursijas dziļumu, kā pirmo argumentu. Ja parametra n vērtība ir lielāka par nulli, tad funkcija kvadrāts_un_trijstūris, kā norāda tās nosaukums, uzzīmēs kvadrātu un trīsstūri virs tā un pēc tam vēl divas reizes izsauks sevi ar atbilstošiem jaunajiem argumentiem, no kuriem pirmais ir iestatīts uz n-1. Kvadrāta lielumu un novietojumu pilnībā nosaka četri parametri: X0, Y0, a un j (skat. 3.3. att.). Lai uzzīmētu trīsstūri, jāzina leņķis a. Šis leņķis, izteikts grādos, ir vienāds ar 45+novirze, kur novirze ir vienāda ar vienu no veseliem skaitļiem no rindas -delta, -delta+I, ... , delta, kas izvēlēta nejauši. Attēlā 3.3 nepieciešamie punkti tiek numurēti ar secīgiem skaitļiem 0,1,2,3,4. Funkcijas izsaukumā ir norādītas punkta O koordinātas X0, Y0. Lai aprēķinātu atlikušos punktus, vispirms apsveram vienkāršāku situāciju ar j = 0, tas ir, kad kvadrāta 0 1 mala ieņem horizontālu pozīciju.
 |
Šajā pozīcijā punktu koordinātas ir ļoti viegli noteikt. Tie tiek glabāti x un y masīvos. Tad visa konstrukcija tiek pagriezta ap punktu O ar leņķi j. Rotācijas rezultāts tiek ierakstīts xx un yy masīvos.
/* PYTH_TREE: Pitagora koka variants */
#include "math.h"
#include "stdlib.h"
#include "time.h"
#define pi 3.1415927
#include "stdio.h"
struct (pludināt xx; peldēt yy; int ii;) s;
void pfopen())( fp=fopen("scratch", "wb"); )
tukšs pmove(peldēt x, peldēt y)
(s.xx=x; s.yy=y; s.ii=0; /* 0 = pildspalva uz augšu */ /* 0 = pildspalva uz augšu */
fwrite(&s, s izmērs, 1, fp);
void pdraw(peldēt x, peldēt y)
(s.xx=x; s.yy=y; s.ii=1; /* 1 = pildspalva uz leju */ /* 1 = pildspalva uz leju */
fwrite(&s, s izmērs, 1, fp);
Void pfclose())( fclose(fp); )
tukšums kvadrāts_un_trijstūris(int n, peldēt x0, peldēt y0, peldēt a, peldēt phi)
( peldēt x, y, xx, yy, cphi, sphi, c1, c2, b, c,
alfa, kalfa, salfa;
int i, novirze; /* phi un alfa radiānos */
/* delta grādos */
if(n==0) atgriešanās; /* leņķi phi un alfa radiānos */
/* leņķa delta grādos */
novirze=rand()%(2*delta+1)-delta;
alfa=(45+novirze)*pi/180.0;
x=x=x0; x=x=x0+a;
y=y=y0; y=y=y0+a;
calpha=cos(alfa); salfa=sin(alfa);
c=a*calpha; b=a*salfa;
/* Rotācija ap (x0, y0) caur leņķi phi ; */
/* Pagriezt ap punktu (x0, y0) par leņķi phi;*/
cphi=cos(phi); sphi=sin(phi);
c1=x0-x0*cphi+y0*sphi;
c2=y0-x0*sphi-y0*cphi;
priekš (i=0; i<5; i++)
(xx[i]=x[i]*cphi-y[i]*sphi+c1;
yy[i]=x[i]*sphi+y[i]*cphi+c2;
priekš (i=0; i<5; i++) pdraw(xx[i],yy[i]);
kvadrāts_un_trijstūris(n-1, xx, yy, c, phi+alfa);
kvadrāts_un_trijstūris(n-1, xx, yy, b, phi+alfa-0,5*pi);
pfopen(); laiks(&sēkla); srand((int)sēkla);
printf(" Iestatīt delta leņķi grādos (0< delta < 45) ");
scanf("%d", &delta);
printf(" Iestatīt rekursijas dziļumu n "); scanf("%d", &n);
kvadrāts_un_trijstūris(n, 0,0, 0,0, 1,0, 0,0);
Šī programma ģenerē failu KRĀPĪT kas jāapstrādā G programmai PLOT no lekcijas 2. Programmas grafiskais rezultāts priekš delta= 30 un n = 7 ir parādīts attēlā. 3.4.
Pitagora koks- fraktāļu veids, kura pamatā ir figūra, kas pazīstama kā Pitagora bikses.
Stāsts
Pitagors, pierādot savu slaveno teorēmu, uzkonstruēja figūru ar kvadrātiem taisnleņķa trijstūra malās. Mūsu gadsimtā šī Pitagora figūra ir izaugusi par veselu koku. Pitagora koku pirmo reizi uzcēla A.E.Bosmans (1891-1961) Otrā pasaules kara laikā, izmantojot parasto zīmēšanas lineālu.
Īpatnības
Viena no Pitagora koka īpašībām ir tāda, ka, ja pirmā kvadrāta laukums ir vienāds ar vienu, tad katrā līmenī kvadrātu laukumu summa arī būs vienāda ar vienu.
Ja klasiskajā Pitagora kokā leņķis ir 45 grādi, tad ir iespējams konstruēt arī vispārinātu Pitagora koku, izmantojot citus leņķus. Šo koku bieži sauc par Pitagora koku, ko pūš vējš. Ja attēlojat tikai segmentus, kas kaut kādā veidā savieno noteiktus trīsstūru “centrus”, jūs iegūstat kailu Pitagora koku.
Algoritms:
1) Izveidojiet vertikālu segmentu
2) No šī segmenta augšējā gala mēs rekursīvi konstruējam vēl 2 segmentus noteiktos leņķos
3) Izsauciet funkciju divu nākamo segmentu konstruēšanai katram koka zaram
Piemēri
Klasisks Pitagora koks
Vēja izpūsts Pitagora koks
Pitagora pliks koks
Atsegtais Pitagora koks, ko pūta vējš