साइन के साथ समीकरण को कैसे हल करें। सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल

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कक्षा 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में परीक्षा के भाग 1 (पहले 12 प्रश्न) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा पर 70 से अधिक अंक है, और न तो सौ अंकों का छात्र और न ही कोई मानवतावादी उनके बिना कर सकता है।

सभी आवश्यक सिद्धांत। परीक्षा के त्वरित समाधान, जाल और रहस्य। बैंक ऑफ FIPI के भाग 1 के सभी प्रासंगिक कार्यों का विश्लेषण किया गया है। पाठ्यक्रम पूरी तरह से USE-2018 की आवश्यकताओं का अनुपालन करता है।

पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक में 2.5 घंटे। प्रत्येक विषय खरोंच से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

सैकड़ों परीक्षा कार्य। पाठ समस्याएं और संभाव्यता सिद्धांत। सरल और याद रखने में आसान समस्या समाधान एल्गोरिदम। ज्यामिति। सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के USE कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। हल करने के लिए चालाक तरकीबें, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से त्रिकोणमिति - कार्य के लिए 13. रटना के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की दृश्य व्याख्या। बीजगणित। जड़ें, शक्तियां और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। परीक्षा के दूसरे भाग की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।

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त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके

परिचय 2

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके 5

बीजगणित 5

एक ही नाम के त्रिकोणमितीय कार्यों की समानता की स्थिति का उपयोग करके समीकरणों को हल करना 7

फैक्टरिंग 8

एक सजातीय समीकरण में कमी 10

सहायक कोण का परिचय 11

उत्पाद को योग 14 . में बदलें

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन 14

निष्कर्ष 17

परिचय

दसवीं कक्षा तक, लक्ष्य की ओर ले जाने वाले कई अभ्यासों के कार्यों का क्रम, एक नियम के रूप में, स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण और असमानताएँ, भिन्नात्मक समीकरण और द्विघात समीकरण, आदि। उल्लिखित प्रत्येक उदाहरण को हल करने के सिद्धांत का विस्तार से विश्लेषण किए बिना, हम उन सामान्य बातों पर ध्यान देते हैं जो उनके सफल समाधान के लिए आवश्यक हैं।

ज्यादातर मामलों में, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि किस प्रकार का कार्य है, लक्ष्य की ओर ले जाने वाली क्रियाओं के क्रम को याद रखें और इन क्रियाओं को करें। यह स्पष्ट है कि समीकरणों को हल करने के तरीकों में महारत हासिल करने में छात्र की सफलता या असफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि वह समीकरण के प्रकार को सही ढंग से निर्धारित करने में कितना सक्षम होगा और इसके समाधान के सभी चरणों के अनुक्रम को याद रखेगा। बेशक, यह मानता है कि छात्र के पास समान परिवर्तन और गणना करने का कौशल है।

एक पूरी तरह से अलग स्थिति तब होती है जब एक छात्र त्रिकोणमितीय समीकरणों का सामना करता है। साथ ही, इस तथ्य को स्थापित करना कठिन नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। एक सकारात्मक परिणाम की ओर ले जाने वाली कार्रवाई का पता लगाने में कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। और यहां छात्र को दो समस्याओं का सामना करना पड़ता है। समीकरण की उपस्थिति से प्रकार निर्धारित करना मुश्किल है। और प्रकार को जाने बिना, उपलब्ध कई दर्जन में से वांछित सूत्र चुनना लगभग असंभव है।

छात्रों को त्रिकोणमितीय समीकरणों की जटिल भूलभुलैया के माध्यम से अपना रास्ता खोजने में मदद करने के लिए, उन्हें पहले समीकरणों से परिचित कराया जाता है, जो एक नए चर को पेश करने के बाद, वर्ग वाले तक कम हो जाते हैं। फिर सजातीय समीकरणों को हल करें और उन्हें घटाएं। सब कुछ, एक नियम के रूप में, समीकरणों के साथ समाप्त होता है, जिसके समाधान के लिए बाईं ओर का कारक बनाना आवश्यक है, फिर प्रत्येक कारक को शून्य से बराबर करना।

यह समझते हुए कि पाठों में विश्लेषण किए गए डेढ़ दर्जन समीकरण स्पष्ट रूप से छात्र को त्रिकोणमितीय "समुद्र" पर स्वतंत्र रूप से जाने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, शिक्षक खुद से कुछ और सिफारिशें जोड़ता है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हमें प्रयास करना चाहिए:

समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएं;

समीकरण को "समान फ़ंक्शन" में लाएं;

समीकरण के बाएँ पक्ष को गुणनखंड करें, आदि।

लेकिन, मुख्य प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों और उनके समाधान खोजने के लिए कई सिद्धांतों के ज्ञान के बावजूद, कई छात्र अभी भी प्रत्येक समीकरण के सामने खुद को एक गतिरोध में पाते हैं जो पहले हल किए गए समीकरणों से थोड़ा अलग होता है। यह स्पष्ट नहीं है कि किसी को एक या दूसरे समीकरण के लिए क्या प्रयास करना चाहिए, एक मामले में दोहरे कोण के सूत्रों को लागू करना क्यों आवश्यक है, दूसरे में - आधा कोण, और तीसरे में - जोड़ सूत्र, आदि।

परिभाषा 1.एक त्रिकोणमितीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें अज्ञात त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेत के तहत निहित है।

परिभाषा 2.एक त्रिकोणमितीय समीकरण को समान कोण कहा जाता है यदि इसमें शामिल सभी त्रिकोणमितीय कार्यों में समान तर्क हों। एक त्रिकोणमितीय समीकरण को समान कार्य कहा जाता है यदि इसमें केवल एक त्रिकोणमितीय कार्य होता है।

परिभाषा 3.त्रिकोणमितीय कार्यों वाले एकपदी की डिग्री इसमें शामिल त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों के घातांक का योग है।

परिभाषा 4.एक समीकरण को समांगी तब कहा जाता है जब उसके सभी एकपदी का घात समान हो। इस डिग्री को समीकरण का क्रम कहा जाता है।

परिभाषा 5.त्रिकोणमितीय समीकरण जिसमें केवल फलन होते हैं पापतथा क्योंकि, समरूप कहा जाता है यदि त्रिकोणमितीय फलनों के संबंध में सभी एकपदी की डिग्री समान हो, और त्रिकोणमितीय फलनों में स्वयं समान कोण हों और एकपदी की संख्या समीकरण के क्रम से 1 अधिक हो।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान में दो चरण होते हैं: समीकरण का सबसे सरल रूप प्राप्त करने के लिए परिवर्तन और परिणामी सरल त्रिकोणमितीय समीकरण का समाधान। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए सात बुनियादी तरीके हैं।

मैं. बीजगणितीय विधि।यह विधि बीजगणित से सर्वविदित है। (चरों के प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन की विधि)।

समीकरण हल करें।

1)

आइए परिचय देते हैं संकेतन एक्स=2 पाप3 टी, हम पाते हैं

इस समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
या

वे। लिखा जा सकता है

संकेतों की उपस्थिति के कारण प्राप्त समाधान लिखते समय डिग्री
लिखने का कोई मतलब नहीं है।

उत्तर:

निरूपित

हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है
. इसकी जड़ें संख्याएं हैं
तथा
. इसलिए, यह समीकरण सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में बदल जाता है
तथा
. उन्हें हल करने पर, हम पाते हैं कि
या
.

उत्तर:
;
.

निरूपित

शर्त को पूरा नहीं करता

माध्यम

उत्तर:

आइए समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें:

इस प्रकार, इस प्रारंभिक समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

, अर्थात।

दर्शाने
, हम पाते हैं
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हमारे पास है:

शर्त को पूरा नहीं करता

हम मूल समीकरण का हल लिखते हैं:

उत्तर:

प्रतिस्थापन
इस समीकरण को एक द्विघात समीकरण में कम कर देता है
. इसकी जड़ें संख्याएं हैं
तथा
. चूंकि
, तो दिए गए समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

द्वितीय. एक ही नाम के त्रिकोणमितीय कार्यों की समानता की स्थिति का उपयोग करके समीकरणों का समाधान।

ए)
, अगर

बी)
, अगर

वी)
, अगर

इन शर्तों का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित समीकरणों के हल पर विचार करें:

6)

आइटम ए में जो कहा गया था उसका उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि समीकरण का एक हल होता है यदि और केवल अगर
.

इस समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं
.

हमारे पास समाधान के दो समूह हैं:

.

7) समीकरण हल करें:
.

भाग b की शर्त का उपयोग करके) हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि
.

इन द्विघात समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

.

8) समीकरण हल करें
.

इस समीकरण से हम यह घटाते हैं। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर हम पाते हैं कि

.

तृतीय. गुणनखंडन।

हम उदाहरण के साथ इस विधि पर विचार करते हैं।

9) समीकरण हल करें
.

समाधान। आइए समीकरण के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: .

हम समीकरण के बाईं ओर के व्यंजक को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:
.

.

.

1)
2)

चूंकि
तथा
मान शून्य न लें

उसी समय, हम दोनों भागों को अलग कर देते हैं

के लिए समीकरण
,

उत्तर:

10) समीकरण हल करें:

समाधान।

या

उत्तर:

11) समीकरण हल करें

समाधान:

1)
2)
3)

,

उत्तर:

चतुर्थ. एक सजातीय समीकरण में कमी।

एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

इसके सभी सदस्यों को बाईं ओर ले जाएँ;

सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर रखें;

सभी कारकों और कोष्ठकों को शून्य के बराबर करें;

शून्य के बराबर कोष्ठक कम डिग्री का एक सजातीय समीकरण देते हैं, जिसे विभाजित किया जाना चाहिए
(या
) वरिष्ठ डिग्री में;

परिणामी बीजीय समीकरण को हल करें
.

उदाहरणों पर विचार करें:

12) समीकरण हल करें:

समाधान।

समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें
,

संकेतन का परिचय
, नाम

इस समीकरण की जड़ें हैं:

यहाँ से 1)
2)

उत्तर:

13) समीकरण हल करें:

समाधान। दोहरे कोण सूत्रों और मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए, हम इस समीकरण को आधा तर्क में कम करते हैं:

समान पदों को कम करने के बाद, हमारे पास है:

सजातीय अंतिम समीकरण को से विभाजित करना
, हम पाते हैं

मैं नामित करूंगा
, हम द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं
, जिनकी जड़ें संख्याएं हैं

इस तरह

अभिव्यक्ति
गायब हो जाता है
, अर्थात। पर
,
.

समीकरण के हमारे हल में ये संख्याएँ शामिल नहीं हैं।

उत्तर:
, .

वी. एक सहायक कोण का परिचय।

फॉर्म के समीकरण पर विचार करें

कहां ए, बी, सी- गुणांक, एक्स- अनजान।

इस समीकरण के दोनों पक्षों को से भाग दें

अब समीकरण के गुणांक में साइन और कोसाइन के गुण हैं, अर्थात्: उनमें से प्रत्येक का मापांक एकता से अधिक नहीं है, और उनके वर्गों का योग 1 के बराबर है।

फिर हम उन्हें तदनुसार लेबल कर सकते हैं
(यहां - सहायक कोण) और हमारा समीकरण रूप लेता है: .

फिर

और उसका फैसला

ध्यान दें कि प्रस्तुत संकेतन विनिमेय है।

14) समीकरण हल करें:

समाधान। यहाँ
, इसलिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं

उत्तर:

15) समीकरण हल करें

समाधान। चूंकि
, तो यह समीकरण समीकरण के बराबर है

चूंकि
, तो एक कोण ऐसा है कि
,
(वे।
).

हमारे पास है

चूंकि
, तो हम अंत में प्राप्त करते हैं:

.

ध्यान दें कि फॉर्म के समीकरण का एक हल होता है अगर और केवल अगर

16) समीकरण हल करें:

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय कार्यों को समान तर्कों के साथ समूहित करते हैं

समीकरण के दोनों पक्षों को दो से विभाजित करें

हम त्रिकोणमितीय कार्यों के योग को उत्पाद में बदलते हैं:

उत्तर:

छठी. उत्पाद को योग में बदलें।

यहां संबंधित सूत्रों का उपयोग किया जाता है।

17) समीकरण हल करें:

समाधान। आइए बाईं ओर को योग में बदलें:

सातवीं।सार्वभौमिक प्रतिस्थापन।

,

ये सूत्र सभी के लिए सत्य हैं

प्रतिस्थापन
सार्वभौमिक कहा जाता है।

18) समीकरण हल करें:

समाधान: बदलें और
के माध्यम से उनकी अभिव्यक्ति के लिए
और निरूपित
.

हमें एक परिमेय समीकरण प्राप्त होता है
, जिसे वर्ग में बदल दिया जाता है
.

इस समीकरण की जड़ें संख्याएं हैं
.

इसलिए, समस्या दो समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गई थी
.

हम पाते हैं कि
.

मूल्य देखें
मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, जिसे चेक करके सत्यापित किया जाता है - दिए गए मान को प्रतिस्थापित करना टीमूल समीकरण के लिए।

उत्तर:
.

टिप्पणी। समीकरण 18 को अलग तरीके से हल किया जा सकता है।

इस समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करें (अर्थात by
):
.

चूंकि
, तो एक संख्या है
, क्या
तथा
. तो समीकरण बन जाता है:
या
. यहाँ से हम पाते हैं कि
कहाँ पे
.

19) समीकरण हल करें
.

समाधान। कार्यों के बाद से
तथा
1 के बराबर सबसे बड़ा मान है, तो उनका योग 2 के बराबर है यदि
तथा
, उसी समय, अर्थात्
.

उत्तर:
.

इस समीकरण को हल करते समय, कार्यों की सीमा का उपयोग किया गया था।

निष्कर्ष।

"त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान" विषय पर कार्य करते हुए प्रत्येक शिक्षक के लिए निम्नलिखित अनुशंसाओं का पालन करना उपयोगी होता है:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों को व्यवस्थित करें।

समीकरण का विश्लेषण करने के लिए चरणों और एक या किसी अन्य समाधान विधि का उपयोग करने की समीचीनता के संकेतों को स्वयं चुनें।

विधि के कार्यान्वयन पर गतिविधि के आत्म-नियंत्रण के तरीकों पर विचार करना।

प्रत्येक अध्ययन की गई विधियों के लिए "अपने" समीकरण बनाना सीखें।

आवेदन संख्या 1

सजातीय या कम करने योग्य समीकरणों को हल करें।

1.	प्रतिनिधि
	प्रतिनिधि
	प्रतिनिधि
5.	प्रतिनिधि
	प्रतिनिधि
7.	प्रतिनिधि
	प्रतिनिधि

बहुतों को हल करते समय गणित की समस्याये, विशेष रूप से वे जो कक्षा 10 से पहले होते हैं, किए गए कार्यों का क्रम जो लक्ष्य तक ले जाएगा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। इस तरह की समस्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण, रैखिक और द्विघात असमानताएं, भिन्नात्मक समीकरण, और समीकरण जो द्विघात समीकरणों को कम करते हैं। उल्लिखित कार्यों में से प्रत्येक के सफल समाधान का सिद्धांत इस प्रकार है: यह स्थापित करना आवश्यक है कि किस प्रकार का कार्य हल किया जा रहा है, क्रियाओं के आवश्यक अनुक्रम को याद रखें जो वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा, अर्थात। उत्तर दें और इन चरणों का पालन करें।

जाहिर है, किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या विफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि हल किए जा रहे समीकरण का प्रकार कितना सही है, इसके समाधान के सभी चरणों का क्रम कितना सही है। बेशक, इस मामले में, समान परिवर्तन और गणना करने के लिए कौशल होना आवश्यक है।

एक अलग स्थिति होती है त्रिकोणमितीय समीकरण।इस तथ्य को स्थापित करना कठिन नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। क्रियाओं का क्रम निर्धारित करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जो सही उत्तर की ओर ले जाती हैं।

कभी-कभी समीकरण की उपस्थिति से इसके प्रकार का निर्धारण करना कठिन होता है। और समीकरण के प्रकार को जाने बिना, कई दर्जन त्रिकोणमितीय सूत्रों में से सही का चयन करना लगभग असंभव है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हमें प्रयास करना चाहिए:

1. समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएं;
2. समीकरण को "समान कार्यों" में लाएं;
3. समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें, आदि।

विचार करना त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके।

I. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में कमी

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय फलन को ज्ञात घटकों के रूप में व्यक्त कीजिए।

चरण दोसूत्रों का उपयोग करके फ़ंक्शन तर्क खोजें:

कॉस एक्स = ए; x = ±arccos a + 2πn, n Z।

पाप एक्स = ए; x \u003d (-1) n चापएक + n, n Z में।

तन एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कटग ए + πn, एन Є जेड।

सीटीजी एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कसीटीजी ए + πn, एन Є जेड।

चरण 3एक अज्ञात चर खोजें।

उदाहरण।

2 cos(3x - /4) = -√2।

समाधान।

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x - /4 = ± (π - /4) + 2πn, n Z;

3x - /4 = ±3π/4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Z;

x = ±3π/12 + /12 + 2πn/3, n Z;

एक्स = ±π/4 + /12 + 2πn/3, एन Є जेड।

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.

द्वितीय. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय फलनों में से किसी एक के संबंध में समीकरण को बीजीय रूप में लाएं।

चरण दोपरिणामी फलन को चर t द्वारा निरूपित करें (यदि आवश्यक हो, t पर प्रतिबंध लागू करें)।

चरण 3परिणामी बीजीय समीकरण लिखिए और हल कीजिए।

चरण 4एक रिवर्स प्रतिस्थापन करें।

चरण 5सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

समाधान।

1) 2(1 - पाप 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) माना sin (x/2) = t, जहाँ |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

टी = 1 या ई = -3/2 शर्त को पूरा नहीं करता |t| 1.

4) पाप (x/2) = 1.

5) x/2 = /2 + 2πn, n Z;

एक्स = π + 4πn, एन Є जेड।

उत्तर: x = + 4πn, n Z।

III. समीकरण क्रम कमी विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।बिजली कटौती सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को एक रैखिक के साथ बदलें:

पाप 2 x \u003d 1/2 (1 - क्योंकि 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)।

चरण दो I और II विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

cos2x + cos2x = 5/4।

समाधान।

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4।

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 क्योंकि 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + n, n Z.

उत्तर: x = ±π/6 + πn, n Z.

चतुर्थ। सजातीय समीकरण

समाधान योजना

स्टेप 1।इस समीकरण को रूप में लाओ

a) a sin x + b cos x = 0 (प्रथम घात का समांगी समीकरण)

या देखने के लिए

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

चरण दोसमीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें

ए) कॉस एक्स ≠ 0;

बी) क्योंकि 2 x 0;

और tg x के लिए समीकरण प्राप्त करें:

ए) ए टीजी एक्स + बी = 0;

बी) ए टीजी 2 एक्स + बी आर्कटीजी एक्स + सी = 0।

चरण 3ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

समाधान।

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

पाप 2 x + 3पाप x cos x -4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x 0.

2) टीजी 2 एक्स + 3 टीजी एक्स - 4 = 0।

3) माना tg x = t, तब

टी 2 + 3टी - 4 = 0;

टी = 1 या टी = -4, तो

टीजी एक्स = 1 या टीजी एक्स = -4।

पहले समीकरण से x = π/4 + n, n Z; दूसरे समीकरण से x = -arctg 4 + k, k Z.

उत्तर: x = /4 + πn, n Z; x \u003d -arctg 4 + k, k Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलने की विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।सभी प्रकार के त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को एक ऐसे समीकरण में लाएं जिसे I, II, III, IV विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।

चरण दोज्ञात विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

sinx + sin2x + sin3x = 0.

समाधान।

1) (पाप x + पाप 3x) + पाप 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) पाप 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 या 2cos x + 1 = 0;

पहले समीकरण से 2x = π/2 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -1/2।

हमारे पास x = π/4 + n/2, n Z; दूसरे समीकरण से x = ±(π - π/3) + 2πk, k Z।

नतीजतन, x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

उत्तर: x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता और कौशल बहुत हैं महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों की ओर से काफी प्रयास की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के साथ स्टीरियोमेट्री, भौतिकी आदि की कई समस्याएं जुड़ी हुई हैं। इस तरह की समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, जैसे कि त्रिकोणमिति के तत्वों का अध्ययन करते समय प्राप्त किए गए कई ज्ञान और कौशल शामिल हैं।

त्रिकोणमितीय समीकरण सामान्य रूप से गणित पढ़ाने और व्यक्तित्व विकास की प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।

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• हम आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।

अपवाद:

• इस घटना में कि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या रूसी संघ के क्षेत्र में राज्य निकायों के सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।