Cilindras (kilęs iš graikų kalbos, iš žodžių "čiuožykla", "riedis") yra geometrinis kūnas, kurį išorėje riboja paviršius, vadinamas cilindriniu paviršiumi ir dviem plokštumomis. Šios plokštumos kerta figūros paviršių ir yra lygiagrečios viena kitai.

Cilindrinis paviršius yra paviršius, gaunamas tiesia linija erdvėje. Šie judesiai yra tokie, kad pasirinktas šios tiesios linijos taškas juda išilgai plokščio tipo kreivės. Tokia tiesi linija vadinama generatrix, o lenkta linija vadinama kreiptuvu.

Cilindras susideda iš poros pagrindų ir šoninio cilindrinio paviršiaus. Cilindrai yra kelių tipų:

1. Apvalus, tiesus cilindras. Tokiam cilindrui pagrindas ir kreiptuvas yra statmeni generatoriui, ir yra

2. Pasviręs cilindras. Jis turi kampą tarp generuojančios linijos ir pagrindo nėra tiesus.

3. Kitokios formos cilindras. Hiperbolinis, elipsinis, parabolinis ir kt.

Cilindro plotas, kaip ir bendras bet kurio cilindro paviršiaus plotas, randamas pridedant šios figūros pagrindų plotus ir šoninio paviršiaus plotą.

Apvalaus, tiesaus cilindro bendro cilindro ploto apskaičiavimo formulė yra tokia:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Šoninio paviršiaus plotą rasti šiek tiek sunkiau nei viso cilindro plotą; jis apskaičiuojamas generatrix ilgį padauginus iš pjūvio perimetro, kurį sudaro plokštumai statmena plokštuma. generatrix.

Apvalaus, tiesaus cilindro cilindro duomenys atpažįstami kuriant šį objektą.

Vystymas yra stačiakampis, kurio aukštis h ir ilgis P, kuris yra lygus pagrindo perimetrui.

Iš to išplaukia, kad cilindro šoninis plotas yra lygus šlavimo plotui ir gali būti apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Jei imsime apvalų, tiesų cilindrą, tada jam:

P = 2p R ir Sb = 2p Rh.

Jei cilindras yra pasviręs, tada šoninio paviršiaus plotas turi būti lygus jo generatoriaus ilgio ir pjūvio perimetro sandaugai, kuri yra statmena šiai generatrix.

Deja, nėra paprastos formulės, kaip išreikšti pasvirusio cilindro šoninio paviršiaus plotą pagal jo aukštį ir pagrindinius parametrus.

Norėdami apskaičiuoti cilindrą, turite žinoti keletą faktų. Jei atkarpa su savo plokštuma kerta pagrindus, tai tokia atkarpa visada yra stačiakampis. Tačiau šie stačiakampiai bus skirtingi, priklausomai nuo sekcijos padėties. Viena iš ašinės figūros pjūvio, statmenos pagrindams, kraštinių yra lygi aukščiui, o kita – cilindro pagrindo skersmeniui. Ir tokios atkarpos plotas atitinkamai yra lygus vienos stačiakampio kraštinės sandaugai su kita, statmena pirmajai, arba šios figūros aukščio sandaugai pagal pagrindo skersmenį.

Jei atkarpa yra statmena figūros pagrindams, bet neperžengia sukimosi ašies, tada šios sekcijos plotas bus lygus šio cilindro aukščio ir tam tikros stygos sandaugai. Norėdami gauti akordą, turite nubrėžti apskritimą prie cilindro pagrindo, nubrėžti spindulį ir ant jo atidėti atstumą, kuriuo yra sekcija. Ir nuo šio taško reikia nubrėžti statmenus spinduliui nuo sankirtos su apskritimu. Sankirtos taškai yra sujungti su centru. O trikampio pagrindas yra norimas, kuriame ieškoma tokių garsų: „Dviejų kojelių kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui“:

C2 = A2 + B2.

Jei atkarpa neturi įtakos cilindro pagrindui, o pats cilindras yra apskritas ir tiesus, tada šios sekcijos plotas randamas kaip apskritimo plotas.

Apskritimo plotas yra:

S env. = 2p R2.

Norėdami rasti R, jo ilgį C reikia padalyti iš 2p:

R = C \ 2n, kur n yra pi, matematinė konstanta, apskaičiuota dirbti su apskritimo duomenimis ir lygi 3,14.

Yra daug problemų, susijusių su cilindru. Juose reikia rasti kėbulo spindulį ir aukštį arba jo sekcijos tipą. Be to, kartais reikia apskaičiuoti cilindro plotą ir jo tūrį.

Koks korpusas yra cilindras?

Vykdant mokyklos programą, tiriamas apskritimas, tai yra cilindras, kuris yra toks prie pagrindo. Tačiau jie taip pat išskiria elipsę šios figūros išvaizdą. Iš pavadinimo aišku, kad jo pagrindas bus elipsė arba ovalas.

Cilindras turi du pagrindus. Jie yra lygūs vienas kitam ir yra sujungti segmentais, kurie sujungia atitinkamus pagrindų taškus. Jie vadinami cilindriniais generatoriais. Visi generatoriai yra lygiagretūs vienas kitam ir lygūs. Jie sudaro šoninį kūno paviršių.

Apskritai cilindras yra pasviręs korpusas. Jei generatoriai daro stačią kampą su pagrindais, jie jau kalba apie tiesią figūrą.

Įdomu tai, kad apskritas cilindras yra revoliucijos kūnas. Jis gaunamas sukant stačiakampį aplink vieną iš jo kraštinių.

Pagrindiniai cilindro elementai

Pagrindiniai cilindro elementai yra tokie.

1. Aukštis. Tai trumpiausias atstumas tarp cilindro pagrindų. Jei jis tiesus, tada aukštis sutampa su generatrix.
2. Spindulys. Sutampa su tuo, kurį galima atlikti bazėje.
3. Ašis. Tai tiesi linija, kurioje yra abiejų bazių centrai. Ašis visada lygiagreti visiems generatoriams. Dešiniajame cilindre jis yra statmenas pagrindams.
4. Ašinė sekcija. Jis susidaro, kai cilindras kerta plokštumą, kurioje yra ašis.
5. Tangentinė plokštuma. Jis eina per vieną iš generatorių ir yra statmenas ašinei atkarpai, kuri traukiama per šį generatorių.

Kaip cilindras yra susijęs su prizme, įrašyta jame arba apribota šalia jos?

Kartais kyla problemų, kai reikia apskaičiuoti cilindro plotą, o kai kurie su juo susiję prizmės elementai yra žinomi. Kaip šie skaičiai susiję?

Jei prizmė įrašyta į cilindrą, tai jos pagrindai yra lygūs daugiakampiai. Be to, jie yra įrašyti į atitinkamus cilindro pagrindus. Prizmės šoniniai kraštai sutampa su generatoriais.

Aprašytos prizmės pagrinduose yra taisyklingi daugiakampiai. Jie aprašyti šalia cilindro apskritimų, kurie yra jo pagrindai. Plokštumos, kuriose yra prizmės paviršiai, liečia cilindrą išilgai generatorių.

Dešiniojo apskrito cilindro šoninio paviršiaus ir pagrindo srityje

Jei išskleiskite šoninį paviršių, gausite stačiakampį. Jo kraštinės sutaps su generatrix ir pagrindo perimetru. Todėl cilindro šoninis plotas bus lygus šių dviejų dydžių sandaugai. Jei parašysite formulę, gausite:

S pusė \u003d l * n,

kur n yra generatrix, l yra apskritimas.

Be to, paskutinis parametras apskaičiuojamas pagal formulę:

l = 2 π*r,

čia r yra apskritimo spindulys, π yra skaičius "pi", lygus 3,14.

Kadangi pagrindas yra apskritimas, jo plotas apskaičiuojamas naudojant šią išraišką:

S pagrindinis \u003d π * r 2.

Dešiniojo apskrito cilindro viso paviršiaus plote

Kadangi jį sudaro du pagrindai ir šoninis paviršius, šiuos tris kiekius reikia pridėti. Tai yra, bendras cilindro plotas bus apskaičiuojamas pagal formulę:

S aukštas = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Jis dažnai rašomas kita forma:

S aukštas = 2 π * r (n + r).

Nuožulnaus apskrito cilindro srityse

Kalbant apie bazes, visos formulės yra vienodos, nes tai vis tiek yra apskritimai. Bet šoninis paviršius nebeduoda stačiakampio.

Norėdami apskaičiuoti pasvirusio cilindro šoninio paviršiaus plotą, turėsite padauginti generatrix reikšmes ir sekcijos perimetrą, kuris bus statmenas pasirinktai generatrix.

Formulė atrodo taip:

S pusė \u003d x * P,

čia x yra cilindro generatoriaus ilgis, P yra sekcijos perimetras.

Skerspjūvis, beje, geriau pasirinkti tokį, kad jis sudarytų elipsę. Tada jo perimetro skaičiavimai bus supaprastinti. Elipsės ilgis apskaičiuojamas pagal formulę, kuri pateikia apytikslį atsakymą. Tačiau dažnai to pakanka mokyklos kurso užduotims:

l \u003d π * (a + b),

kur "a" ir "b" yra elipsės pusašys, tai yra atstumai nuo centro iki artimiausio ir tolimiausio taško.

Viso paviršiaus plotas turi būti apskaičiuojamas naudojant šią išraišką:

S aukštas = 2 π * r 2 + x * R.

Kokios yra dešiniojo apskrito cilindro dalys?

Kai atkarpa eina per ašį, tada jos plotas nustatomas kaip generatrix ir pagrindo skersmens sandauga. Taip yra dėl to, kad jis yra stačiakampio formos, kurio kraštinės sutampa su nurodytais elementais.

Norėdami rasti lygiagrečio ašinio cilindro skerspjūvio plotą, jums taip pat reikės stačiakampio formulės. Esant tokiai situacijai, viena iš jo pusių vis tiek sutaps su aukščiu, o kita bus lygi pagrindo stygai. Pastaroji sutampa su pjūvio linija išilgai pagrindo.

Kai atkarpa yra statmena ašiai, tada ji atrodo kaip apskritimas. Be to, jo plotas yra toks pat kaip ir paveikslo apačioje.

Taip pat galima susikirsti tam tikru kampu su ašimi. Tada skyriuje gaunamas ovalas arba jo dalis.

Užduočių pavyzdžiai

Užduotis numeris 1. Pateikiamas tiesus cilindras, kurio pagrindo plotas yra 12,56 cm 2 . Būtina apskaičiuoti bendrą cilindro plotą, jei jo aukštis yra 3 cm.

Sprendimas. Būtina naudoti apvalaus dešiniojo cilindro bendro ploto formulę. Tačiau trūksta duomenų, būtent pagrindo spindulio. Bet apskritimo plotas žinomas. Iš jo nesunku apskaičiuoti spindulį.

Pasirodo, kad jis yra lygus koeficiento kvadratinei šaknis, kuri gaunama padalijus pagrindinį plotą iš pi. 12,56 padalijus iš 3,14 yra 4. Kvadratinė šaknis iš 4 yra 2. Todėl spindulys turės šią reikšmę.

Atsakymas: S grindys \u003d 50,24 cm 2.

Užduotis numeris 2. Cilindras, kurio spindulys yra 5 cm, nupjaunamas plokštuma, lygiagrečia ašiai. Atstumas nuo sekcijos iki ašies 3 cm. Cilindro aukštis 4 cm. Reikia rasti sekcijos plotą.

Sprendimas. Sekcijos forma yra stačiakampė. Viena jo kraštinė sutampa su cilindro aukščiu, o kita lygi stygai. Jei žinoma pirmoji reikšmė, reikia rasti antrąją.

Norėdami tai padaryti, turite padaryti papildomą konstrukciją. Prie pagrindo nubrėžiame du segmentus. Abu jie prasidės apskritimo centre. Pirmasis baigsis stygos centre ir bus lygus žinomam atstumui iki ašies. Antrasis yra akordo pabaigoje.

Gaunasi stačiakampis trikampis. Jame žinoma hipotenuzė ir viena iš kojų. Hipotenuzė yra tokia pati kaip spindulys. Antroji koja lygi pusei akordo. Nežinoma kojelė, padauginta iš 2, suteiks reikiamą akordo ilgį. Apskaičiuokime jo vertę.

Norėdami rasti nežinomą koją, turite padalyti hipotenuzę ir žinomą koją kvadratu, atimti antrąją iš pirmosios ir paimti kvadratinę šaknį. Kvadratai yra 25 ir 9. Jų skirtumas 16. Ištraukus kvadratinę šaknį lieka 4. Tai norima koja.

Akordas bus lygus 4 * 2 = 8 (cm). Dabar galite apskaičiuoti skerspjūvio plotą: 8 * 4 \u003d 32 (cm 2).

Atsakymas: S sek yra 32 cm 2.

Užduotis numeris 3. Būtina apskaičiuoti cilindro ašinės dalies plotą. Yra žinoma, kad jame yra įrašytas kubas, kurio briauna yra 10 cm.

Sprendimas. Ašinė cilindro dalis sutampa su stačiakampiu, kuris eina per keturias kubo viršūnes ir kuriame yra jo pagrindų įstrižainės. Kubo pusė yra cilindro generatrica, o pagrindo įstrižainė sutampa su skersmeniu. Šių dviejų kiekių sandauga duos sritį, kurią turite išsiaiškinti problemos metu.

Norėdami sužinoti skersmenį, turite žinoti, kad kubo pagrindas yra kvadratas, o jo įstrižainė sudaro lygiakraštį stačiakampį trikampį. Jo hipotenuzė yra reikiama figūros įstrižainė.

Norėdami jį apskaičiuoti, jums reikia Pitagoro teoremos formulės. Kubo kraštą reikia padalyti kvadratu, padauginti iš 2 ir paimti kvadratinę šaknį. Nuo dešimties iki antros laipsnio yra šimtas. Padauginta iš 2 yra du šimtai. Kvadratinė šaknis iš 200 yra 10√2.

Atkarpa vėl yra stačiakampis, kurio kraštinės yra 10 ir 10√2. Jo plotą lengva apskaičiuoti padauginus šias reikšmes.

Atsakymas. S sek. \u003d 100√2 cm 2.

Tai geometrinis kūnas, kurį riboja dvi lygiagrečios plokštumos ir cilindrinis paviršius.

Cilindras susideda iš šoninio paviršiaus ir dviejų pagrindų. Cilindro paviršiaus ploto formulė apima atskirą pagrindų ir šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimą. Kadangi cilindro pagrindai yra vienodi, bendras jo plotas bus apskaičiuojamas pagal formulę:

Mes apsvarstysime cilindro ploto apskaičiavimo pavyzdį, kai žinosime visas reikalingas formules. Pirmiausia mums reikia cilindro pagrindo ploto formulės. Kadangi cilindro pagrindas yra apskritimas, turime taikyti:
Prisimename, kad atliekant šiuos skaičiavimus naudojamas pastovus skaičius Π = 3,1415926, kuris apskaičiuojamas kaip apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis. Šis skaičius yra matematinė konstanta. Taip pat šiek tiek vėliau apsvarstysime pavyzdį, kaip apskaičiuoti cilindro pagrindo plotą.

Cilindro šoninio paviršiaus plotas

Cilindro šoninio paviršiaus ploto formulė yra pagrindo ilgio ir jo aukščio sandauga:

Dabar apsvarstykite problemą, kurioje turime apskaičiuoti bendrą cilindro plotą. Pateiktame paveiksle aukštis h = 4 cm, r = 2 cm. Raskime bendrą cilindro plotą.
Pirmiausia apskaičiuokime pagrindų plotą:
Dabar apsvarstykite cilindro šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį. Išskleistas jis yra stačiakampis. Jo plotas apskaičiuojamas pagal aukščiau pateiktą formulę. Pakeiskite visus duomenis į jį:
Bendras apskritimo plotas yra dvigubo pagrindo ir kraštinės ploto suma:

Taigi, naudodamiesi figūros pagrindų ploto ir šoninio paviršiaus formulėmis, galėjome rasti bendrą cilindro paviršiaus plotą.
Ašinė cilindro dalis yra stačiakampis, kurio kraštinės yra lygios cilindro aukščiui ir skersmeniui.

Cilindro ašinės dalies ploto formulė gaunama iš skaičiavimo formulės:

Raskite ašinės dalies plotą, statmeną cilindro pagrindams. Viena šio stačiakampio kraštinė lygi cilindro aukščiui, kita – pagrindo apskritimo skersmeniui. Atitinkamai, skerspjūvio plotas šiuo atveju bus lygus stačiakampio kraštinių sandaugai. S=2R*h, kur S – skerspjūvio plotas, R – pagrindo apskritimo spindulys, nurodytas uždavinio sąlygomis, o h – cilindro aukštis, taip pat nurodytas uždavinio sąlygomis.

Jei pjūvis statmenas pagrindams, bet neperžengia sukimosi ašies, stačiakampis nebus lygus apskritimo skersmeniui. Ją reikia paskaičiuoti. Norėdami tai padaryti, užduotyje turi būti nurodyta, kokiu atstumu nuo sukimosi ašies eina pjūvio plokštuma. Skaičiavimų patogumui sukonstruokite cilindro pagrindo apskritimą, nubrėžkite spindulį ir ant jo atidėkite atstumą, kuriuo sekcija yra nuo apskritimo centro. Nuo šio taško traukite prie statmenų, kol jie susikirs su apskritimu. Sujunkite sankirtos taškus su centru. Reikia rasti akordus. Raskite pusės stygos dydį naudodami Pitagoro teoremą. Jis bus lygus kvadratinei šaknei iš apskritimo spindulio kvadratų skirtumo nuo centro iki pjūvio linijos. a2=R2-b2. Visas stygas bus atitinkamai lygus 2a. Apskaičiuokite skerspjūvio plotą, kuris lygus stačiakampio kraštinių sandaugai, tai yra S=2a*h.

Cilindras gali būti išardomas nepraeinant per pagrindo plokštumą. Jei skerspjūvis yra statmenas sukimosi ašiai, tai bus apskritimas. Jo plotas šiuo atveju yra lygus bazių plotui, tai yra, jis apskaičiuojamas pagal formulę S \u003d πR2.

Naudingi patarimai

Norėdami tiksliau įsivaizduoti skyrių, padarykite brėžinį ir papildomas konstrukcijas.

Šaltiniai:

• cilindro skerspjūvio plotas

Paviršiaus susikirtimo su plokštuma linija priklauso ir paviršiui, ir sekantinei plokštumai. Cilindrinio paviršiaus susikirtimo linija su slenkančia plokštuma, lygiagrečia tiesiajai generatrix, yra tiesi linija. Jei pjovimo plokštuma yra statmena sukimosi paviršiaus ašiai, pjūvis turės apskritimą. Apskritai, cilindrinio paviršiaus susikirtimo su pjovimo plokštuma linija yra lenkta linija.

Jums reikės

• Pieštukas, liniuotė, trikampis, raštai, kompasai, matavimo priemonė.

Instrukcija

Priekinėje projekcijos plokštumoje P2 pjūvio linija sutampa su slenkančios plokštumos Σ₂ projekcija tiesios formos pavidalu.
Nurodykite cilindro generatricų susikirtimo taškus su projekcija Σ₂ 1₂, 2₂ ir kt. į 10₂ ir 112 punktus.

Plokštumoje P₁ yra apskritimas. Pjūvio plokštumoje Σ₂ pažymėti taškai 1₂ , 2₂ ir kt. projekcijos linijos pagalba jungtys bus suprojektuotos šio apskritimo kontūre. Pažymėkite jų horizontalias projekcijas simetriškai aplink horizontalią apskritimo ašį.

Taigi apibrėžiamos norimos atkarpos projekcijos: plokštumoje P2 - tiesė (taškai 1₂, 2₂ ... 10₂); plokštumoje P₁ - apskritimas (taškai 1₁, 2₁ ... 10₁).

Dviem sukonstruokite natūralų duoto cilindro pjūvio dydį pagal priekinę projektavimo plokštumą Σ. Norėdami tai padaryti, naudokite projekcijų metodą.

Nubrėžkite plokštumą P4 lygiagrečiai plokštumos Σ₂ projekcijai. Šioje naujoje x₂4 ašyje pažymėkite tašką 1₀. Atstumai tarp taškų 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ ir kt. nuo pjūvio priekinės projekcijos, atidėtos ant x24 ašies, nubrėžkite plonas projekcijos jungties linijas, statmenas x24 ašiai.

Šiuo metodu P4 plokštuma pakeičiama P1 plokštuma, todėl iš horizontalios projekcijos matmenis perkelkite iš ašies į taškus į P4 plokštumos ašį.

Pavyzdžiui, 2 ir 3 taškuose P₁ tai bus atstumas nuo 2₁ ir 3₁ iki ašies (taško A) ir kt.

Atidėję nurodytus atstumus nuo horizontalios projekcijos, gausite taškus 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Tada, siekiant didesnio konstrukcijos tikslumo, nustatomi likę, tarpiniai, taškai.

Sujungę visus taškus lenkta kreive, gausite norimą natūralų cilindro skerspjūvio dydį pagal priekinę projektavimo plokštumą.

Šaltiniai:

• kaip pakeisti lėktuvą

3 patarimas: kaip rasti nupjauto kūgio ašinės dalies plotą

Norėdami išspręsti šią problemą, turite prisiminti, kas yra nupjautas kūgis ir kokias savybes jis turi. Būtinai pieškite. Tai nustatys, kuri geometrinė figūra yra pjūvis. Gali būti, kad po to problemos sprendimas jums nebebus sunkus.

Instrukcija

Apvalus kūgis yra kūnas, gautas sukant trikampį aplink vieną iš jo kojų. Tiesios linijos kyla iš viršaus kūgiai o susikertančios jos pagrindą vadinamos generatoriais. Jei visi generatoriai yra lygūs, tada kūgis yra tiesus. Raundo apačioje kūgiai guli apskritimas. Statmenas, nuleistas į pagrindą iš viršaus, yra aukštis kūgiai. Apvalioje tiesiojoje kūgiai aukštis sutampa su jo ašimi. Ašis yra tiesi linija, jungianti su pagrindo centru. Jei apskrito horizontalioji pjovimo plokštuma kūgiai, tada jo viršutinis pagrindas yra apskritimas.

Kadangi problemos sąlygoje jis nenurodytas, šiuo atveju yra nurodytas kūgis, galime daryti išvadą, kad tai tiesus nupjautas kūgis, kurio horizontali pjūvis yra lygiagreti pagrindui. Jo ašinis pjūvis, t.y. vertikali plokštuma, kuri per apskritimo ašį kūgiai, yra lygiašonė trapecija. Visi ašiniai skyriuose apvalus tiesus kūgiai yra lygūs vienas kitam. Todėl norint rasti plotas ašinis skyriuose, būtina rasti plotas trapecija, kurios pagrindai yra nupjauto pagrindo skersmenys kūgiai, o šonai yra jo generatoriai. Sutrumpintas aukštis kūgiai taip pat yra trapecijos aukštis.

Trapecijos plotas nustatomas pagal formulę: S = ½(a+b) h, kur S yra plotas trapecija; a - trapecijos apatinio pagrindo vertė; b - jos viršutinio pagrindo vertė; h - trapecijos aukštis.

Kadangi sąlyga nenurodo, kurios yra pateiktos, gali būti, kad abiejų nupjauto pagrindo skersmenys kūgiaižinoma: AD = d1 – nupjautinio apatinio pagrindo skersmuo kūgiai;BC = d2 yra jo viršutinio pagrindo skersmuo; EH = h1 – aukštis kūgiai.Šiuo būdu, plotas ašinis skyriuose sutrumpintas kūgiai apibrėžta: S1 = ½ (d1+d2) h1

Šaltiniai:

• nupjauto kūgio plotas

Cilindras yra trimatė figūra ir susideda iš dviejų vienodų pagrindų, kurie yra apskritimai, ir šoninio paviršiaus, jungiančio pagrindus ribojančias linijas. Suskaičiuoti plotas cilindras, suraskite visų jo paviršių plotus ir sudėkite juos.

Cilindras – simetriška erdvinė figūra, kurios savybės nagrinėjamos vyresnėse mokyklos klasėse atliekant kietąją geometriją. Jai apibūdinti naudojamos tokios linijinės charakteristikos kaip pagrindo aukštis ir spindulys. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime klausimus apie tai, kas yra ašinė cilindro pjūvis ir kaip apskaičiuoti jo parametrus pagal pagrindines tiesines figūros charakteristikas.

Geometrinė figūra

Pirmiausia apibrėžkime figūrą, kuri bus aptariama straipsnyje. Cilindras yra paviršius, suformuotas lygiagrečiai pasislinkus fiksuoto ilgio segmentui išilgai tam tikros kreivės. Pagrindinė šio judėjimo sąlyga yra ta, kad kreivės plokštumos segmentas neturėtų priklausyti.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas cilindras, kurio kreivė (kreivė) yra elipsė.

Čia h ilgio segmentas yra jo generatorius ir aukštis.

Matyti, kad cilindras susideda iš dviejų identiškų pagrindų (šiuo atveju elipsės), kurios yra lygiagrečiose plokštumose, ir šoninio paviršiaus. Pastaroji priklauso visiems generuojančių linijų taškams.

Prieš pradėdami svarstyti ašinę cilindrų dalį, mes jums pasakysime, kokie yra šių figūrų tipai.

Jei generuojanti linija yra statmena figūros pagrindams, tada jie kalba apie tiesų cilindrą. Priešingu atveju cilindras bus pasviręs. Jei sujungsite centrinius dviejų bazių taškus, gauta tiesi linija vadinama figūros ašimi. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodytas skirtumas tarp tiesių ir pasvirusių cilindrų.

Matyti, kad tiesiajai figūrai generuojančios atkarpos ilgis sutampa su aukščio h reikšme. Pasvirusio cilindro aukštis, tai yra atstumas tarp pagrindų, visada yra mažesnis už generatoriaus ilgį.

Tiesiojo cilindro ašinė pjūvis

Ašinė dalis yra bet kuri cilindro dalis, kurioje yra jo ašis. Šis apibrėžimas reiškia, kad ašinė dalis visada bus lygiagreti generatoriui.

Tiesiame cilindre ašis eina per apskritimo centrą ir yra statmena jo plokštumai. Tai reiškia, kad nagrinėjamas apskritimas susikirs išilgai jo skersmens. Paveikslėlyje parodyta pusė cilindro, kuris buvo gautas susikirtus figūrai su plokštuma, einančia per ašį.

Nesunku suprasti, kad dešiniojo apskrito cilindro ašinė pjūvis yra stačiakampis. Jo kraštinės yra pagrindo skersmuo d ir figūros aukštis h.

Rašome cilindro ašinės pjūvio ploto ir jo įstrižainės ilgio h d formules:

Stačiakampis turi dvi įstrižaines, tačiau abi jos yra lygios viena kitai. Jei žinomas pagrindo spindulys, nesunku per jį perrašyti šias formules, atsižvelgiant į tai, kad jis yra pusė skersmens.

Pasvirusio cilindro ašinė pjūvis

Viršuje esančiame paveikslėlyje pavaizduotas pasviręs cilindras, pagamintas iš popieriaus. Jei atliksite jo ašinį pjūvį, tada gausite nebe stačiakampį, o lygiagretainį. Jo pusės žinomi kiekiai. Vienas iš jų, kaip ir tiesiojo cilindro atkarpos atveju, yra lygus pagrindo skersmeniui d, o kitas – generuojančio segmento ilgiui. Pažymėkime jį b.

Norint vienareikšmiškai nustatyti lygiagretainio parametrus, neužtenka žinoti jo kraštinių ilgius. Mums taip pat reikia kampo tarp jų. Tarkime, kad smailusis kampas tarp kreiptuvo ir pagrindo yra α. Tai taip pat bus kampas tarp lygiagretainio kraštinių. Tada pasvirusio cilindro ašinės dalies ploto formulę galima parašyti taip:

Pasvirusio cilindro ašinės pjūvio įstrižaines yra šiek tiek sunkiau apskaičiuoti. Lygiagretainis turi dvi skirtingo ilgio įstrižaines. Pateikiame išraiškas be išvedimo, kurios leidžia apskaičiuoti lygiagretainio įstrižaines iš žinomų kraštinių ir smailųjį kampą tarp jų:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

Čia l 1 ir l 2 yra atitinkamai mažosios ir didžiosios įstrižainės ilgiai. Šias formules galima gauti nepriklausomai, jei kiekvieną įstrižainę laikysime vektoriumi, plokštumoje įvedę stačiakampę koordinačių sistemą.

Tiesaus cilindro problema

Parodysime, kaip panaudoti įgytas žinias sprendžiant šią problemą. Tegu pateikiamas apvalus tiesus cilindras. Yra žinoma, kad cilindro ašinė pjūvis yra kvadratas. Koks yra šios sekcijos plotas, jei visa figūra yra 100 cm 2?

Norėdami apskaičiuoti norimą plotą, turite rasti cilindro pagrindo spindulį arba skersmenį. Norėdami tai padaryti, naudojame viso paveikslo ploto S f formulę:

Kadangi ašinė pjūvis yra kvadratas, tai reiškia, kad pagrindo spindulys r yra pusė aukščio h. Atsižvelgiant į tai, aukščiau pateiktą lygybę galime perrašyti taip:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

Dabar galime išreikšti spindulį r, turime:

Kadangi kvadratinės atkarpos kraštinė lygi figūros pagrindo skersmeniui, jos plotui S apskaičiuoti galios ši formulė:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

Matome, kad reikiamą plotą vienareikšmiškai lemia cilindro paviršiaus plotas. Pakeitę duomenis į lygybę, gauname atsakymą: S = 21,23 cm 2.