Pirmskaitlis.

Mobilie telefoni 1. Definīcija Pirmskaitlis

− ir naturāls skaitlis, kas ir lielāks par tādu, kas dalās tikai ar sevi un 1.

Mobilie telefoni 2. Citiem vārdiem sakot, skaitlis ir pirmais, ja tam ir tikai divi atšķirīgi dabiskie dalītāji. Tiek izsaukts jebkurš naturāls skaitlis, kuram ir arī citi dalītāji un viens

salikts skaitlis.

Citiem vārdiem sakot, naturālus skaitļus, kas nav pirmskaitļi, sauc par saliktiem skaitļiem. No 1. definīcijas izriet, ka saliktam skaitlim ir vairāk nekā divi dabiskie faktori. Skaitlis 1 nav ne galvenais, ne salikts, jo ir tikai viens dalītājs 1, un turklāt daudzas teorēmas par pirmskaitļiem neattiecas uz vienotību.

No 1. un 2. definīcijas izriet, ka katrs pozitīvs vesels skaitlis, kas lielāks par 1, ir vai nu pirmskaitlis, vai salikts skaitlis.

Zemāk ir programma, kas parāda pirmskaitļus līdz 5000. Aizpildiet šūnas, noklikšķiniet uz pogas "Izveidot" un pagaidiet dažas sekundes.

Pirmskaitļu tabula 1. Paziņojums, apgalvojums Ja lpp - pirmskaitlis un a - pirmskaitlis un jebkurš vesels skaitlis, tad nu Ja dalīts ar Ja, vai - pirmskaitlis un Un

pirmskaitļi. Ja Tiešām. Ja - pirmskaitlis un Pirmskaitlis dalās tikai ar sevi un 1, ja Ja nav dalāms ar - pirmskaitlis un, vai Ja, tad lielākais kopējais dalītājs Ja, vai - pirmskaitlis un Un

Pirmskaitļu tabula 2. ir vienāds ar 1. Tad - pirmskaitlis un 1 , - pirmskaitlis un 2 , - pirmskaitlis un Ja vairāku skaitļu reizinājums Ja 3, ... dalās ar pirmskaitli - pirmskaitlis un 1 , - pirmskaitlis un 2 , - pirmskaitlis un, tad vismaz viens no cipariem Ja.

3, ...dalās ar Ja Tiešām. Ja neviens no skaitļiem nedalās ar - pirmskaitlis un 1 , - pirmskaitlis un 2 , - pirmskaitlis un, tad skaitļi Ja 3, ... būtu pirmskaitļi attiecībā uz - pirmskaitlis un 1 , - pirmskaitlis un 2 , - pirmskaitlis un. Bet no 3. secinājuma () izriet, ka viņu produkts Ja 3, ... ir arī salīdzinoši izcils attiecībā uz Ja.

, kas ir pretrunā paziņojuma nosacījumam. Tāpēc vismaz viens no skaitļiem dalās ar 1. Teorēma

Jebkuru saliktu skaitli vienmēr var attēlot unikālā veidā kā ierobežota skaita pirmskaitļu reizinājumu. Pierādījums. Ļaujiet k - pirmskaitlis un salikts skaitlis, un ļaujiet - pirmskaitlis un 1 ir viens no tā dalītājiem, kas atšķiras no 1 un paša. Ja - pirmskaitlis un 1 ir salikts, tad ir papildus 1 un - pirmskaitlis un 1 un vēl viens dalītājs - pirmskaitlis un 2. Ja - pirmskaitlis un 2 ir salikts skaitlis, tad tam ir papildus 1 un - pirmskaitlis un 2 un vēl viens dalītājs - pirmskaitlis un 1 , - pirmskaitlis un 2 , - pirmskaitlis un 3. Šādi argumentējot un ņemot vērā, ka skaitļi Ja 3 , ... samazināšanās un šajā rindā ir ierobežots terminu skaits, mēs sasniegsim kādu pirmskaitli Pierādījums. Ļaujiet 1 . Tad

var attēlot formā Pierādījums. Ļaujiet:

Pieņemsim, ka ir divi skaitļa dekompozīcijas Jo 1 Ja 2 Ja k=p 3...dalās ar pirmskaitli 1, tad vismaz viens no faktoriem, piemēram Ja 1 dalās ar 3...dalās ar pirmskaitli 1 . Bet Ja 1 ir pirmskaitlis un dalās tikai ar 1 un sevi. Līdz ar to Ja 1 =3...dalās ar pirmskaitli 1 (jo 3...dalās ar pirmskaitli 1 ≠1)

Tad no (2) varam izslēgt Ja 1 un 3...dalās ar pirmskaitli 1:

Tādējādi mēs esam pārliecināti, ka katrs pirmskaitlis, kas parādās kā faktors pirmajā izvēršanā vienu vai vairākas reizes, parādās arī otrajā izvērsumā vismaz tikpat reižu, un otrādi, jebkurš pirmskaitlis, kas parādās kā faktors otrajā izvēršanā. vienu vai vairākas reizes parādās arī pirmajā izvērsumā vismaz tikpat reižu. Tāpēc jebkurš pirmskaitlis abos izvērsumos tiek parādīts kā faktors vienādu reižu skaitu, un tādējādi šie divi paplašinājumi ir vienādi.

Saliktā skaitļa paplašināšana Pierādījums. Ļaujiet var rakstīt šādā formā

(3)

Kur Ja 1 , Ja 2, ... dažādi pirmskaitļi, α, β, γ ... pozitīvi veseli skaitļi.

Tiek izsaukts paplašinājums (3). kanoniskā paplašināšanās cipariem.

Pirmskaitļi naturālo skaitļu virknē rodas nevienmērīgi. Dažās rindas daļās to ir vairāk, citās - mazāk. Jo tālāk virzāmies pa skaitļu sēriju, jo mazāk izplatīti pirmskaitļi. Rodas jautājums, vai pastāv lielākais pirmskaitlis? Sengrieķu matemātiķis Eiklīds pierādīja, ka ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu. Mēs piedāvājam šo pierādījumu zemāk.

, kas ir pretrunā paziņojuma nosacījumam. Tāpēc vismaz viens no skaitļiem dalās ar 2. Pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs.

Pierādījums. Pieņemsim, ka ir ierobežots pirmskaitļu skaits, un lai ir lielākais pirmskaitlis Ja. Uzskatīsim, ka visi skaitļi ir lielāki Ja. Pieņemot apgalvojumu, šiem skaitļiem ir jābūt saliktiem un jādalās ar vismaz vienu no pirmskaitļiem. Izvēlēsimies skaitli, kas ir visu šo pirmskaitļu plus 1 reizinājums:

Numurs z vairāk Ja jo 2p jau vairāk Ja. Ja nedalās ne ar vienu no šiem pirmskaitļiem, jo dalot ar katru no tiem iegūst atlikumu 1. Tādējādi nonākam pie pretrunas. Tāpēc ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu.

Šī teorēma ir īpašs gadījums vispārīgākai teorēmai:

, kas ir pretrunā paziņojuma nosacījumam. Tāpēc vismaz viens no skaitļiem dalās ar 3. Dota aritmētiskā progresija

Tad jebkurš pirmskaitlis, kas iekļauts n, jāiekļauj m, tāpēc iekšā n citi galvenie faktori, kas nav iekļauti m un turklāt šie galvenie faktori n ir iekļauti ne vairāk reižu kā iekšā m.

Ir arī pretējais. Ja katrs skaitļa galvenais koeficients n iekļauts vismaz tik reižu skaitā m, Tas m jebkurš vesels skaitlis, tad nu n.

Pirmskaitļu tabula 3. Ļaujiet - pirmskaitlis un 1 ,- pirmskaitlis un 2 ,- pirmskaitlis un 3,... iekļauti dažādi pirmskaitļi m Tātad

Kur i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . ievērojiet, tas α i pieņem α +1 vērtības, β j pieņem β +1 vērtības, γ k pieņem γ +1 vērtības, ... .

Kuram ir tikai 2 dažādi dabiskie dalītāji. Citiem vārdiem sakot, skaitlis Ja tad tas būs vienkārši, ja tas ir lielāks par vienu un to var dalīt tikai ar vienu un pats par sevi - Ja.

Tiek izsaukti naturālie skaitļi, lielas vienības un skaitļi, kas nav pirmskaitļi saliktie skaitļi. Tādējādi visi naturālie skaitļi ir sadalīti 3 klasēs: vienība (ir 1 dalītājs), pirmskaitļi(ir 2 dalītāji) un saliktie skaitļi(ir vairāk nekā 2 dalītāji).

Sākt lpp pirmskaitļu secības izskatās šādi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

Ja iedomāsimies naturālus skaitļus kā pirmskaitļu reizinājumu, tad to sauks par pirmskaitļu sadalīšanos vai skaitļa faktorizācija.

Lielākais zināmais pirmskaitlis.

Lielākais zināmais pirmskaitlis ir 257885161 — 1. Šim skaitlim ir 17 425 170 decimālskaitļi, un to sauc par pirmskaitli Mersenna numurs(M 57885161).

Dažas pirmskaitļu īpašības.

Teiksim Ja- vienkāršs un Ja sadala ab, Tad Ja sadala - pirmskaitlis un vai b.

Atskaitījumu gredzens Z n par lauku sauks tikai tad, ja n- vienkāršs.

Visu lauku raksturlielums ir nulle vai pirmskaitlis.

Kad Ja- vienkārši, bet - pirmskaitlis un- dabiski, tas nozīmē a p -a var iedalīt Ja (Fermā mazā teorēma).

Kad G ir ierobežota grupa, kuras secība |G| dalīts ar Ja, kas nozīmē G ir kārtības elements Ja (Košī teorēma).

Kad G ir ierobežota grupa, un p n- augstākā pakāpe Ja, sadalot |G|, kas nozīmē G ir pasūtījuma apakšgrupa p n, ko sauc par Sylow apakšgrupu, turklāt Sylow apakšgrupu skaits atbilst pk+1 kādam veselam Pierādījums. Ļaujiet(Silova teorēma).

Dabiski p > 1 būs vienkārši tikai tad, ja (p-1)! +1 tu vari pūst tālāk Ja (Vilsona teorēma).

Kad n > 1- dabisks nozīmē, ka tur ir vienkārši Ja: n< p < 2 n (Bertrāna postulāts).

Skaitļu sērija, kas ir pirmskaitļu apgrieztā vērtība, atšķiras. Turklāt, kad.

Jebkura veida aritmētiskā progresija a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ..., Kur a, q > 1- vesels pirmskaitļi, satur bezgalīgu skaitu pirmskaitļu ( Dirihlē teorēma par pirmskaitļiem aritmētiskā progresijā).

Jebkuru pirmskaitli, kas ir lielāks par trīs, var attēlot kā 6k+1 vai 6k-1, Kur Pierādījums. Ļaujiet- dabiskais skaitlis. Pamatojoties uz to, ja starpība starp vairākiem secīgiem pirmskaitļiem (ar k>1) ir vienāds, kas nozīmē, ka tas precīzi dalās ar seši - Piemēram: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219 .

Kad p > 3 ir pirmskaitlis, kas nozīmē p 2 -1 dalīts ar 24 (darbojas arī uz nepāra skaitļiem, kas nedalās ar trīs).

Zaļā-Tao teorēma. Ir bezgalīgas aritmētiskās progresijas, kas sastāv no pirmskaitļiem.

nk-1, Kur n>2, k>1. Citiem vārdiem sakot, skaitlis, kas seko pirmskaitļam, nevar būt kvadrāts vai lielāka pakāpe ar bāzi, kas ir lielāka par diviem. Var secināt, ka tad, kad pirmskaitlis tiek attēlots kā 2 k -1, Līdzekļi Pierādījums. Ļaujiet- vienkāršs.

Nevienu pirmskaitli nevar attēlot kā n 2k+1 +1, Kur n>1, k>0. Citiem vārdiem sakot, skaitlis, kas ir pirms pirmskaitļa, nevar būt kubs vai lielāka nepāra pakāpe ar bāzi, kas ir lielāka par vienu.

Ir polinomi, kuros mainīgo lielumu pozitīvo vērtību nenegatīvo vērtību kopa sakrīt ar pirmskaitļu kopu. Piemērs:

Šis polinoms satur 26 mainīgos, tajā ir 25. Zemākā pakāpe zināmajiem uzrādītā tipa polinomiem ir pieci ar 42 mainīgajiem; mazākais mainīgo skaits ir desmit ar jaudu aptuveni 1,6 10 45 .

Darbības ar pirmskaitļiem.

1. Pirmskaitļu reizinājums.

2. Pirmskaitļu atšķirība.

3. Pirmskaitļu summa.

4. Pirmskaitļu dalīšana.

§2 Pirmskaitļi.

1. lpp. Pirmskaitļi un saliktie skaitļi.

Cik dalītāju var būt naturālam skaitlim? Skaitlim 1 ir tikai viens dalītājs. Katram naturālajam skaitlim ir divi dalītāji: 1 un pats skaitlis A. Ir skaitļi, kuriem nav citu dalītāju.

Mobilie telefoni . Dabiskais skaitlis R sauc par pirmskaitļu, ja tam ir tieši divi dalītāji: 1 un p.

Mobilie telefoni . Naturālu skaitli a sauc par saliktu, ja tam papildus 1 un a ir arī vismaz viens dalītājs.

komentēt. Skaitlis 1 nav ne salikts, ne pirmskaitlis.

ķekars N var iedalīt trīs apakšgrupās.

1 ir skaitlis, kuram ir viens dalītājs.

Pirmskaitļi, kuriem ir tieši divi dalītāji.

Salikti skaitļi, kuriem ir vismaz trīs dalītāji.

Pierakstīsim dažus pirmos pirmskaitļus:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …

Vai šī secība ir bezgalīga, vai arī mēs varam uzskaitīt visus pirmskaitļus? Atbilde Eiklidam jau bija zināma.

, kas ir pretrunā paziņojuma nosacījumam. Tāpēc vismaz viens no skaitļiem dalās ar. (Eiklids)

Pirmskaitļu kopa ir bezgalīga.

Pierādījums. “
"Ļaujiet
- visu pirmskaitļu kopa, kur - pēdējais (lielākais) pirmskaitlis.

Izveidosim skaitli
. Acīmredzot
, nozīmē, N- salikts.
ir sadalīts vienā no vienkāršajiem, piemēram, uz . Bet tad pēc dalāmības īpašībām 1 tiek dalīts ar , kas nav iespējams.

Apskatīsim dažas pirmskaitļu elementāras īpašības.

1. Ļaujiet
- naturālā skaitļa a mazākais dalītājs.

Tad Ja-Pirmskaitlis.

Pierādījums. Ļaujiet d- kāds skaitļa dalītājs Ja.

Bet Ja- mazākais dalītājs
vai
Ja- vienkāršs.

2. Ļaujiet
- saliktā skaitļa mazākais dalītājs A.

Tad

Pierādījums. a-salikts, nozīmē

Pēc nosacījuma

3. Ļaujiet a būt naturāls skaitlis, Ja- Galvenais skaitlis.

Tad a tiek dalīts ar Ja, vai A, vai Ja savstarpēji vienkārši.

Pierādījums. Ļaujiet
. D- galvenais dalītājs
vai

Ja d=1, tad a un Ja savstarpēji vienkārši.

Ja d=Ja, tad a tiek dalīts ar r.

4. Ļaujiet Ja- pirmskaitlis, a reizinājums b dalīts ar Ja, tad a tiek dalīts ar Ja vai b dalīts ar r.

Pierādījums. Ja a nedalās ar Ja, pēc tam pēc īpašuma 3 GCD(A, Ja)=1.

Bet tad pēc 2 kopskaitļu īpašības b jebkurš vesels skaitlis, tad nu R.

1. piezīme. 4. īpašību var viegli vispārināt ar indukciju: ja reizinājums
dalāms ar pirmskaitli Ja, tad ir faktors , kas ir sadalīts r.

2. piezīme. Ja darbs
dalāms ar pirmskaitli Ja, un visi faktori ir pirmskaitļi, tad vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar p.

Sastādīt pirmskaitļu sarakstu, kas nepārsniedz doto skaitli N, izmantojiet algoritmu, ko sauc par "Eratostena sietu".

Pierakstīsim naturālos skaitļus no 2 līdz N.

Skaitlis 2 ir galvenais. No saraksta izsvītrosim visus skaitļus, kas ir 2 reizes (izņemot 2). Pirmais no atlikušajiem, numurs 3, būs galvenais. No saraksta izsvītrosim visus skaitļus, kas ir 3 reizinātāji (izņemot 3). Pirmais no atlikušajiem skaitļiem, 5, būs pirmais. Pēc tam izsvītrojam visus skaitļus, kas ir 5 reizes (izņemot skaitli 5) un tā tālāk.

Algoritms apstāsies, kad neizsvītrotais skaitlis kļūs lielāks par
. Patiešām, pēc 2. rekvizīta visiem saliktajiem skaitļiem mūsu sarakstā ir dalītājs
. Tas nozīmē, ka tie jau ir izsvītroti.

Visi pārējie skaitļi ir pirmskaitļi.

Piemērs. Atrodiet visus pirmskaitļus intervālā no 2 līdz 100.

Risinājums. Izsvītrosim (izcelsim) skaitļus, kas ir 2 reizes (1. att.).

Nākamais pirmskaitlis
visi pārējie skaitļi ir pirmskaitļi (5. att.).

komentēt. Ja Ja- pirmais cipars nav izsvītrots, tad visi skaitļi ir mazāki jau izsvītrots.
Izsvītrojiet skaitļa reizinātājus Ja jūs varat sākt ar .

2. klauzula Faktorizācija.

Saliktajam skaitlim 495 ir dalītājs 5, kas nozīmē
. Otrs faktors ir arī salikts skaitlis
. Turpinot procesu, jūs varat sākotnēji faktorizēt numuru

Mobilie telefoni . Saliktā skaitļa faktorēšana N sauc par sadalīšanos N galvenajos faktoros.

Acīmredzamākais veids, kā faktorēt skaitli N reducē, lai uzskaitītu visus iespējamos galvenos dalītājus,
.

Piemērs. Koeficients skaitlis 323.

ievērojiet, tas
. Tas nozīmē, ka dalītājs jāmeklē starp pirmskaitļiem
. Pārlūkojot tos pa vienam, mēs to atklājam

Piemērs. Pierādiet, ka 919 ir pirmskaitlis.

Jo
, tad mazākais pirmskaitļa dalītājs nepārsniedz 29. Pārbaudot, pārliecināsimies, ka 919 nedalās ar pirmskaitļiem.
- Galvenais skaitlis.

Lieliem naturāliem skaitļiem aplūkotā metode ir neefektīva. Daudzi matemātiķi meklēja vienkāršākas faktorizācijas metodes, kas prasīja mazāk aprēķinu.

I. Fermā metode.

Ļaujiet N- dotais numurs,
. Skaitļu veidošana

Ja viens no tiem izrādās precīzs kvadrāts, tad iegūstam vienādību
, vai
.

Meklēšana jāveic līdz vērtībai
. (Šajā gadījumā
Un
). Ja precīzs kvadrāts toreiz nesanāca N- Galvenais skaitlis.

Piemērs. Faktorizēt N=9271.

Mums ir
, kas nozīmē m=97. Aprēķināsim secīgi: .

II. Eilera metode.

Eilers ieteica pierakstīt numuru N kā summa
, Kur d- īpaši izvēlēts reizinātājs, lai GCD (x, g d)=1. lielums d atkarīgs no numura veida N. Tātad ja N=4Pierādījums. Ļaujiet+1 tad d=1 ja N=6Pierādījums. Ļaujiet+1 tad d=3 utt. Kopumā Eilers norādīja 65 faktorus d dažādiem veidiem N.

Ja N pasniegts kā
divos veidos (ar to pašu d), Tas N var faktorizēt.

Piemēram, ļaujiet

Tad kur GCD(u,v)=1.

Mēs iegūstam sistēmu:
Un

risinot, mēs atrodam: .

Piemērs. Faktorizēt N = 2197.

Tādējādi u=2, v=3, t=10, s=24.

.

III. Vairāku metožu pamatā ir vienkāršas algebriskas identitātes. Piemēram, Sofijas Žermēnas teorēma apgalvo, ka
- salikts skaitlis.

Tas izriet no tā, ka kad N>1 abi faktori ir lielāki par 1.

Pēdējo desmitgažu laikā jaunu efektīvu faktorizācijas algoritmu meklēšana ir bijusi viena no aktuālākajām skaitļu teorijas problēmām. Iemesls tam bija publiskās atslēgas kriptogrāfijas algoritmu izstrāde, kuru atšifrēšanai nepieciešama lielu salikto skaitļu faktorizācija.

3. punkts. Par formulām, kas ģenerē pirmskaitļus.

Matemātiķi ilgu laiku mēģināja atrast formulu, kas ļautu aprēķināt jebkuru lielu pirmskaitli. Visslavenākā ir Mersena formula.
un Fermā skaitļi .

Mobilie telefoni .
- Mersenna cipari.

Saliktām vērtībām
numuru
dalīts ar un tas nozīmē, ka tas nebūs vienkārši.

Ļaujiet N- Galvenais skaitlis. Tad ir pirmskaitļi.

Bet jau
, tādējādi skaitļa galvenais skaitlis Ja negarantē prostatas
.

Mersenna skaitļi izrādījās vienkārši .

Skaitļu vienkāršība
(rakstīts ar 139 cipariem) 1876. gadā pierādīja franču matemātiķis E. Luks.

Tālāka Mesenne pirmskaitļu meklēšana turpinājās ar datortehnoloģiju palīdzību.

Slavenākais (no 2011. gada) pirmskaitlis ir 46. Mersena skaitlis. Šis
. Lai rakstītu, ir nepieciešami aptuveni 13 miljoni ciparu.

Aprēķinu algoritmu pamatā ir skaitļu vienkāršības kritērijs
, kuru 1878. gadā norādīja Lūks un 1930. gadā uzlaboja Lemērs.

Lūkasa-Lemēra kritērijs.

Numurs
prime tad un tikai tad, ja atkārtojas secībā
biedrs
dalīts ar
.

Mūsdienās nav zināms, vai Mersena skaitļu kopa ir ierobežota vai bezgalīga.

Mobilie telefoni .
- Fermā cipari.

Pirmie sērijas vārdi ir pirmskaitļi:

Fermā ierosināja (1650), ka visi šāda veida skaitļi būtu pirmskaitļi. Tomēr Eilers parādīja (1739), ka .

Pašlaik nav zināms, vai ir citi Fermā pirmskaitļi
.

Izmantojot Fermā skaitļus, mēs varam iegūt citu Eiklida teorēmas pierādījumu.

, kas ir pretrunā paziņojuma nosacījumam. Tāpēc vismaz viens no skaitļiem dalās ar(Poija).

Jebkuri divi Fermā skaitļi ir relatīvi pirmskaitļi.

Pierādījums. Ļaujiet Un
- patvaļīgi Fermā skaitļi.

Parādīsim to
dalīts ar . Faktiski tas dalās ar x+1, t.i. ieslēgts .

Kopējais dalītājs ir m Un
. Tad un kopš tā laika
, nozīmē,
. Bet Fermā skaitļi ir nepāra

Sekas. Ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu.

Pierādījums. katrs no
ir nepāra dalītājs, kas nedala atlikušos Fermā skaitļus, tāpēc ir vismaz N vienkārši nepāra skaitļi,
Ir bezgala daudz pirmskaitļu.

komentēt. Regulāras konstruēšanas uzdevumā negaidīti parādās Fermā pirmskaitļi N– kvadrāts, izmantojot kompasu un lineālu. Gauss pierādīja, ka celtniecība ir iespējama tad un tikai tad
, Kur - Fermā pirmskaitļi.

Nepamatoti pieņēmumi par skaitļu vienkāršību
Un mudināja zinātniekus meklēt citas formulas, kuru vērtības būtu tikai pirmskaitļi vai vismaz saturētu bezgalīgu skaitu primāro vērtību.

Eilers pievērsa uzmanību polinomiem:
, norādot pirmskaitļus pie
un, ņemot vienkāršas vērtības pie
.

Vēlāk tika pierādīta šāda teorēma.

, kas ir pretrunā paziņojuma nosacījumam. Tāpēc vismaz viens no skaitļiem dalās ar(Goldbahs).

Nav polinoma
ar veselu skaitļu koeficientiem nevar ņemt vienkāršas vērtības
visu priekšā
.

Pierādījums. Ļauj, ļauj
- Galvenais skaitlis.

Tad pēc Teilora formulas: .

Visas izredzes
- veseli skaitļi
dalīts ar r.

Ja jūs mēģināt iegūt vērtības
tad bija vienkārši
visiem veseliem skaitļiem t, bet tas ir pretrunā ar faktu, ka
.

Šobrīd faktoringa skaitļu polinomu algoritmi nav zināmi, lai gan nav pierādīts, ka šādu algoritmu nav. RSA kriptosistēma un dažas citas ir balstītas uz faktorizācijas problēmas šķietamo augsto skaitļošanas sarežģītību. Faktorizācija ar polinoma sarežģītību teorētiski ir iespējama kvantu datorā, izmantojot Šora algoritmu.

Algoritmi pirmskaitļu meklēšanai un atpazīšanai

Vienkāršas metodes sākotnējā pirmskaitļu saraksta atrašanai līdz noteiktai vērtībai sniedz Eratostena siets, Sundaramas siets un Atkina siets.

Tomēr praksē tā vietā, lai iegūtu pirmskaitļu sarakstu, jūs bieži vēlaties pārbaudīt, vai norādītais skaitlis ir pirmskaitlis. Algoritmus, kas atrisina šo problēmu, sauc par pirmkārtības testiem. Ir daudz polinomu pirmatnības testu, taču lielākā daļa no tiem ir varbūtības (piemēram, Millera–Rabina tests) un tiek izmantoti kriptogrāfijas vajadzībām. 2002. gadā tika pierādīts, ka primalitātes testa problēma kopumā ir polinomi atrisināma, bet piedāvātajam deterministiskajam Agrawal–Kajal–Saxena testam ir diezgan liela skaitļošanas sarežģītība, kas apgrūtina tā praktisko pielietojumu.

Dažām skaitļu klasēm ir specializēti efektīvas pirmkārtības testi (skatīt tālāk).

Pirmskaitļu kopas bezgalība

Ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu. Vecāko zināmo pierādījumu šim faktam sniedza Eiklīds Elementos (IX grāmata, 20. apgalvojums). Viņa pierādījumus var īsi reproducēt šādi:

Matemātiķi piedāvāja citus pierādījumus. Viens no tiem (norādījis Eilers) parāda, ka pirmā apgriezto vērtību summa n pirmskaitļi, aug neierobežoti pieaugot n.

Mersenna skaitļi labvēlīgi atšķiras no citiem ar efektīvu pirmatnības testu: Luka-Lemēra testu. Pateicoties viņam, Mersenna pirmskaitļi ilgu laiku ir saglabājuši rekordu kā lielākie zināmie pirmskaitļi.

Par pirmskaitļu atrašanu, kas pārsniedz 100 000 000 un 1 000 000 000 aiz komata, EZF piešķīra naudas balvas attiecīgi 150 000 un 250 000 ASV dolāru apmērā. EZF jau iepriekš ir piešķīrusi balvas par 1 000 000 un 10 000 000 decimālciparu pirmskaitļu atrašanu.

Īpaša veida pirmskaitļi

Ir vairāki skaitļi, kuru izcilību var efektīvi noteikt, izmantojot specializētus algoritmus.

Lai meklētu norādīto tipu pirmskaitļus, pašlaik tiek izmantoti izplatīti skaitļošanas projekti GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen vai Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Daži īpašumi

• Ja p ir pirmskaitlis un p dala ab, tad p dala a vai b. Pierādījumu šim faktam sniedza Eiklīds, un to sauc par Eiklida lemmu. To izmanto aritmētikas pamatteorēmas pierādīšanā.
• Atskaitījumu gredzens $\backslash mathbb(Z)\_n$ ir lauks tad un tikai tad $n$- vienkāršs.
• Katra lauka raksturlielums ir nulle vai pirmskaitlis.
• Ja $lpp$- vienkārši, bet $a$- tad dabiski $a^p-a$ jebkurš vesels skaitlis, tad nu $lpp$(Fermata mazā teorēma).
• Ja $G$ ir ierobežota grupa, kuras secība $|G|$ jebkurš vesels skaitlis, tad nu $lpp$, Tas $G$ satur kārtības elementu $lpp$(Košī teorēma).
• Ja $G$ ir ierobežota grupa, un $p^n$- maksimālā pakāpe $lpp$, kas sadala $|G|$, Tas $G$ ir pasūtījuma apakšgrupa $p^n$, ko sauc par Sylow apakšgrupu, turklāt Sylow apakšgrupu skaits ir vienāds ar $pk+1$ kādam veselam $k$(Silova teorēma).
• Dabiski $p\; >\; 1$ ir vienkārši tad un tikai tad $(p-1)!\; +1$ jebkurš vesels skaitlis, tad nu $lpp$(Vilsona teorēma).
• Ja $n\; >\; 1$- dabiski, tad ir vienkāršs $lpp$, tāds, ka (Bertāna postulāts).
• Pirmskaitļu apgriezto vērtību virkne atšķiras. Turklāt, kad $x\backslash to\backslash infty$
• Jebkura formas aritmētiskā progresija $a,\; a\; +\; q,\; a\; +\; 2\; q,\; a\; +\; 3\; q,\; ...$, Kur $a,\; q\; >\; 1$- veseli skaitļi pirmskaitļi, satur bezgalīgi daudz pirmskaitļu (Dirihlē teorēma par pirmskaitļiem aritmētiskā progresijā).
• Katru pirmskaitli, kas ir lielāks par 3, var attēlot kā $6k+1$ vai $6k-1$, Kur $k$- kāds naturāls skaitlis. Tādējādi, ja starpība starp vairākiem secīgiem pirmskaitļiem (ja k>1) ir vienāda, tad tā noteikti ir 6 reizināta - piemēram: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Ja $p\; >\; 3$- tad vienkārši $p^2-1$ ir 24 reizinājums (attiecas arī uz visiem nepāra skaitļiem, kas nedalās ar 3).
• Zaļā-Tao teorēma. Ir patvaļīgi garas galīgas aritmētiskās progresijas, kas sastāv no pirmskaitļiem.
• $n^k-1$, Kur n>2, Pierādījums. Ļaujiet>1. Citiem vārdiem sakot, skaitlis, kas seko pirmajam skaitlim, nevar būt kvadrāts vai lielāka pakāpe ar bāzi, kas ir lielāka par 2. No tā izriet arī tas, ka, ja pirmskaitļam ir forma $2^k-1$, Tas Pierādījums. Ļaujiet- pirmskaitlis (skat. Mersena skaitļus).
• Nevienam pirmskaitļam nevar būt forma $n^(2k+1)+1$, Kur n>1, Pierādījums. Ļaujiet>0. Citiem vārdiem sakot, skaitlis pirms pirmskaitļa nevar būt kubs vai lielāka nepāra pakāpe ar bāzi, kas ir lielāka par 1.

Formulas pirmskaitļu atrašanai

Dažādos laikos tika mēģināts norādīt izteiksmi, kuras vērtības, ņemot vērā dažādas tajā iekļauto mainīgo vērtības, būtu pirmskaitļi. L. Eilers norādīja uz polinomu $\backslash textstyle\; n^2-n+41,$ņemot vienkāršas vērtības pie n = 0, 1, 2, …, 40. Tomēr, kad n = 41 polinoma vērtība ir salikts skaitlis. Var pierādīt, ka vienā mainīgajā n nav neviena polinoma, kas ņemtu primārās vērtības visiem veseliem skaitļiem n. P. Fermā ierosināja, ka visi skaitļi formā 2 2 k + 1 vienkāršs; tomēr Eilers atspēkoja šo hipotēzi, pierādot, ka skaitlis 2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - savienojums.

Tomēr ir polinomi, kuru pozitīvo vērtību kopa ar mainīgo lielumu nenegatīvām vērtībām sakrīt ar pirmskaitļu kopu. Viens piemērs ir polinoms

• $\backslash begin\; (līdzināt)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1) (h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(līdzināt) satur 26 mainīgos un ar pakāpi 25. Mazākā pakāpe zināmajiem šāda veida polinomiem ir 5 ar 42 mainīgajiem; mazākais mainīgo skaits ir 10 ar pakāpi aptuveni 1,6·10 45. Šis rezultāts ir īpašs gadījums jebkuras uzskaitāmās kopas Diofantīna īpašībai, ko pierādījis Jurijs Matijasevičs.

Atvērtie jautājumi

Joprojām ir daudz atklātu jautājumu par pirmskaitļiem, no kuriem slavenākos Edmunds Landau uzskaitīja Piektajā starptautiskajā matemātikas kongresā:

Atklāta problēma ir arī bezgalīga skaita pirmskaitļu esamība daudzās veselu skaitļu secībās, tostarp Mersenna skaitļos, Fibonači skaitļos, Fermā skaitļos utt.

Lietojumprogrammas

Publiskās atslēgas kriptogrāfijā tiek izmantoti lieli pirmskaitļi (apmēram 10 300). Pirmskaitļi tiek izmantoti arī hash tabulās un pseidogadījuma skaitļu ģenerēšanai (īpaši Mersenne Twister PRNG).

Variācijas un vispārinājumi

• Gredzenu teorijā ir definēts vispārējās algebras atzars, pirmelementa un pirmideāla jēdziens.
• Mezglu teorijā vienkārša mezgla jēdziens ir definēts kā netriviāls mezgls, ko nevar attēlot kā netriviālu mezglu savienotu summu.

Skatīt arī

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Pirmskaitlis"

Piezīmes

|heading3= Paplašināšanas rīki
skaitļu sistēmas |heading4= Ciparu hierarhija |saraksts4=

$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash lpunkti$ Veseli skaitļi $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash lpunkti$ Racionālie skaitļi $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Reāli skaitļi

$-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash lpunkti$

Sarežģīti skaitļi

$1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash punkti$ Kvarterniji $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; punkti$ Octonions $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash \; punkti$ Cedenions |heading5= Citi
numuru sistēmas |heading6= Skat. arī

Galvenā informācija Faktorizācijas formas Ar ierobežotiem dalītājiem Skaitļi ar daudziem dalītājiem Saistīts ar alikvotu sekvences Cits

Izvilkums, kas raksturo galveno skaitli

Saņēmusi ziņas par Natašas slimību, grāfiene, joprojām ne visai vesela un vāja, kopā ar Petju un visu māju ieradās Maskavā, un visa Rostovas ģimene pārcēlās no Marijas Dmitrijevnas uz savu māju un pilnībā apmetās Maskavā.
Natašas slimība bija tik nopietna, ka viņas un ģimenes laimei domas par visu, kas bija viņas slimības cēlonis, viņas rīcība un šķiršanās ar līgavaini kļuva sekundāras. Viņai bija tik slikti, ka nevarēja iedomāties, cik viņa ir vainīga pie visa notikušā, kamēr viņa neēda, negulēja, manāmi zaudēja svaru, klepoja un bija, kā ārsti lika justies, briesmas. Viss, par ko man bija jādomā, bija palīdzēt viņai. Ārsti apmeklēja Natašu gan atsevišķi, gan konsultācijās, daudz runāja franču, vācu un latīņu valodā, viens otru nosodīja, izrakstīja visdažādākās zāles pret visām viņiem zināmajām slimībām; taču nevienam no viņiem nebija tāda vienkāršā doma, ka viņi nevar zināt slimību, ar kuru slimoja Nataša, tāpat kā neviena slimība, kas skar dzīvu cilvēku, nav zināma: jo katram dzīvam cilvēkam ir savas īpašības un vienmēr ir īpašs un savs jaunums. , sarežģīta, medicīnai nezināma slimība, nevis plaušu, aknu, ādas, sirds, nervu u.c. slimība, kas reģistrēta medicīnā, bet slimība, kas sastāv no viena no neskaitāmajiem savienojumiem, kas cieš no šiem orgāniem. Šī vienkāršā doma ārstiem nevarēja ienākt prātā (tāpat kā burvim nevar ienākt prātā doma, ka viņš nevar mest maģiju), jo viņu dzīves uzdevums bija dziedināt, tāpēc, ka viņi par to saņēma naudu, un tāpēc, ka viņi pavadīja savas dzīves labākos gadus šo lietu. Bet galvenais ir tas, ka šī doma ārstiem nevarēja ienākt prātā, jo viņi redzēja, ka tie neapšaubāmi ir noderīgi un patiešām noderēja visiem Rostoviem mājās. Tās bija noderīgas nevis tāpēc, ka lika pacientam norīt pārsvarā kaitīgas vielas (šis kaitējums bija maz jūtīgs, jo kaitīgās vielas tika dotas mazos daudzumos), bet gan bija noderīgas, vajadzīgas, neizbēgamas (kādēļ ir un būs vienmēr iedomātie dziednieki, zīlnieki, homeopāti un alopāti), jo viņi apmierināja pacienta un cilvēku, kuri mīl pacientu, morālās vajadzības. Viņi apmierināja mūžīgo cilvēka vajadzību pēc cerības uz atvieglojumu, vajadzību pēc līdzjūtības un aktivitātes, ko cilvēks izjūt ciešanu laikā. Viņi apmierināja, ka mūžīgai, cilvēciskai - bērnā pamanāmai visprimitīvākajā veidolā - vajag noberzt vietu, kas ir sasista. Bērns tiek nogalināts un uzreiz ieskrien mātes, aukles rokās, lai varētu skūpstīt un berzēt sāpošo vietu, un viņam kļūst vieglāk, kad sāpošā vieta tiek noberzta vai bučota. Bērns netic, ka viņa stiprākajiem un gudrākajiem nav līdzekļu, lai palīdzētu viņa sāpēm. Un cerība uz atvieglojumu un līdzjūtības izpausme, kamēr māte berzē viņa kamolu, viņu mierina. Ārsti Natašai noderēja, jo skūpstīja un berzēja bobu, apliecinot, ka tagad pāries, ja kučieris aiziet uz Arbatas aptieku un paņems septiņu grivnu vērtus pulverus un tabletes glītā kastītē par rubli, un ja šie pūderi pāries. noteikti būs pēc divām stundām, ne vairāk un ne mazāk, pacients to uzņems vārītā ūdenī.
Ko darītu Sonja, grāfs un grāfiene, kā viņi skatītos uz vājo, kūstošo Natašu, neko nedarot, ja nebūtu šīs tabletes pa stundām, iedzertu kaut ko siltu, vistas kotleti un visas dzīves detaļas, ko nosaka ārsts, kuru uzdevums bija novērot un mierināt? Jo stingrāki un sarežģītāki bija šie noteikumi, jo mierīgāk tie bija apkārtējiem. Kā grāfs panes savas mīļotās meitas slimību, ja viņš nezinātu, ka Natašas slimība viņam izmaksāja tūkstošiem rubļu un ka viņš nežēlos vēl tūkstošus, lai darītu viņai labu: ja viņš nezinātu, ka, ja viņa neatveseļosies, viņš vai viņš nepažēlotu vēl tūkstošus un neizvedīs viņu uz ārzemēm un tur konsultēs; ja viņam nebūtu bijusi iespēja pastāstīt sīkāk par to, kā nesaprata Metivjē un Fellers, bet Frīzs saprata, un Mudrovs slimību definēja vēl labāk? Ko darītu grāfiene, ja viņa dažreiz nevarētu strīdēties ar slimo Natašu, jo viņa pilnībā neievēroja ārsta norādījumus?
"Tu nekad nekļūsi vesels," viņa sacīja, aizmirstot savas bēdas no neapmierinātības, "ja jūs neklausīsit ārstu un neiedzersit zāles nepareizā laikā!" Galu galā par to nevar jokot, kad varēja saslimt ar pneimoniju,” sacīja grāfiene un šī ne vienam vien vārdam nesaprotamā vārda izrunā jau atrada lielu mierinājumu. Ko Sonija darītu, ja viņai nebūtu priecīgas apziņas, ka viņa sākumā trīs naktis neizģērbās, lai būtu gatava precīzi izpildīt visus ārsta rīkojumus, un ka tagad viņa naktīs neguļ, lai nepalaistu garām pulkstenis, kurā jāiedod mazkaitīgas tabletes no zelta kastītes? Pat pati Nataša, kura, lai gan teica, ka nekādas zāles viņu neizārstēs un tas viss ir muļķības, bija priecīga, redzot, ka viņas labā ir tik daudz ziedojuši, ka viņai bija jālieto zāles noteiktos laikos, un pat viņa bija laimīga. bija tā, ka, neievērojot norādījumus, viņa varēja parādīt, ka netic ārstēšanai un nenovērtē savu dzīvību.
Ārsts gāja katru dienu, taustīja viņas pulsu, skatījās uz mēli un, nepievēršot uzmanību viņas nogalinātajai sejai, jokoja ar viņu. Bet, kad viņš izgāja citā istabā, grāfiene steidzīgi sekoja viņam ārā, un viņš, uzmetot nopietnu skatienu un domīgi pakratījis galvu, sacīja, ka, lai gan pastāv briesmas, viņš cer, ka šīs pēdējās zāles iedarbosies un ka viņš gaidīt un redzēt; ka slimība ir morālāka, bet...
Grāfiene, cenšoties noslēpt šo rīcību no sevis un no ārsta, ieslidināja viņam rokā zelta gabalu un katru reizi ar nomierinātu sirdi atgriezās pie pacienta.
Natašas slimības pazīmes bija tādas, ka viņa maz ēda, maz gulēja, klepoja un nekad neuzmundrināja. Ārsti teica, ka paciente nevar palikt bez medicīniskās palīdzības, un tāpēc viņu turēja piesmakušajā pilsētas gaisā. Un 1812. gada vasarā Rostovs neaizbrauca uz ciemu.
Neraugoties uz lielo norīto tablešu, pilienu un pulveru skaitu no burciņām un kastēm, no kurām šo džemu medniece Šosas kundze savāca lielu kolekciju, neskatoties uz to, ka nebija ierastās ciema dzīves, jaunība darīja savu: Natašas skumjas sākās tikt pārklāta ar iespaidu slāni par dzīvi, ko viņa bija nodzīvojusi, tā pārstāja būt tik mokoša sāpes viņas sirdī, tas sāka kļūt par pagātni, un Nataša sāka fiziski atgūties.

Nataša bija mierīgāka, bet ne jautrāka. Viņa ne tikai izvairījās no visiem ārējiem prieka apstākļiem: ballēm, slidošanas, koncertiem, teātra; bet viņa nekad nav smējusies tik stipri, lai no viņas smiekliem nebūtu dzirdamas asaras. Viņa nevarēja dziedāt. Tiklīdz viņa sāka smieties vai mēģināja dziedāt pie sevis vienatnē, asaras viņu žņaudza: nožēlas asaras, atmiņu asaras par šo neatgriezenisko, tīro laiku; neapmierinātības asaras, ka viņa par velti sabojājusi savu jauno dzīvi, kas varēja būt tik laimīga. Īpaši smiekli un dziedāšana viņai šķita kā bēdu zaimošana. Viņa nekad nav domājusi par koķetēriju; viņai pat nebija jāatturas. Viņa teica un juta, ka tajā laikā viņai visi vīrieši bija tieši tādi paši kā jezga Nastasja Ivanovna. Iekšējā apsardze stingri aizliedza viņai prieku. Un viņai nebija visas vecās dzīves intereses no šī meitenīgā, bezrūpīgā, cerību pilnā dzīvesveida. Visbiežāk un sāpīgāk viņa atcerējās rudens mēnešus, medības, tēvoci un Ziemassvētku laiku, ko pavadīja kopā ar Nikolaju Otradnoje. Ko viņa dotu, lai atgrieztu tikai vienu dienu no tā laika! Bet tas bija beidzies uz visiem laikiem. Toreiz viņu nemaldināja priekšnojauta, ka tas brīvības un atvērtības visiem priekiem stāvoklis vairs neatgriezīsies. Bet man bija jādzīvo.
Viņai bija prieks domāt, ka viņa nav labāka, kā viņa bija domājusi iepriekš, bet gan sliktāka un daudz sliktāka par visiem, visiem, kas ir pasaulē. Bet ar to nepietika. Viņa to zināja un jautāja sev: "Kas tālāk?" Un tad nekas nebija. Dzīvē nebija prieka, un dzīve pagāja. Acīmredzot Nataša vienkārši centās nevienam nekļūt par apgrūtinājumu un nevienu netraucēt, taču viņai pašai neko nevajadzēja. Viņa attālinājās no visiem mājās, un tikai kopā ar savu brāli Petju viņa jutās viegli. Viņa mīlēja būt kopā ar viņu vairāk nekā ar citiem; un dažreiz, kad viņa bija ar viņu aci pret aci, viņa smējās. Viņa gandrīz nekad neizgāja no mājas, un no tiem, kas pie viņiem ieradās, viņa bija tikai laimīga ar Pjēru. Nevarēja pret viņu izturēties maigāk, rūpīgāk un tajā pašā laikā nopietnāk, nekā pret viņu izturējās grāfs Bezukhovs. Nataša Osa apzināti juta šo uzrunas maigumu un tāpēc guva lielu prieku savā sabiedrībā. Bet viņa pat nebija viņam pateicīga par maigumu; nekas labs no Pjēra puses viņai nešķita kā piepūle. Pjēram šķita tik dabiski būt laipnam pret visiem, ka viņa laipnībai nebija nekāda nopelna. Dažkārt Nataša pamanīja Pjēra apmulsumu un neveiklību viņas klātbūtnē, it īpaši, kad viņš gribēja viņas labā izdarīt kaut ko patīkamu vai baidījās, ka sarunā kaut kas Natašai radīs smagas atmiņas. Viņa to pamanīja un attiecināja to uz viņa vispārējo laipnību un kautrību, kam, pēc viņas domām, tāpat kā ar viņu, vajadzēja būt ar visiem. Pēc šiem negaidītajiem vārdiem, ka, ja viņš būtu brīvs, viņš būtu uz ceļiem, lūdzot viņas roku un mīlestību, kas teikti tik spēcīgas sajūsmas brīdī par viņu, Pjērs nekad neko neteica par savām jūtām pret Natašu; un viņai bija skaidrs, ka tie vārdi, kas viņu toreiz tik ļoti mierināja, tika teikti tāpat kā visādi bezjēdzīgi vārdi, lai mierinātu raudošu bērnu. Ne tāpēc, ka Pjērs bija precēts vīrietis, bet tāpēc, ka Nataša starp sevi un viņu visaugstākajā mērā izjuta morālo barjeru spēku, kuru neesamību viņa juta kopā ar Kiraginu, viņai neienāca prātā, ka viņa varētu izkļūt no attiecībām ar Pjēru. ne tikai mīlestība no viņas puses vai, vēl mazāk, no viņa puses, bet pat tāda maiga, sevi atpazīstoša, poētiska vīrieša un sievietes draudzība, kuras piemērus viņa zināja.
Pētera gavēņa beigās Maskavā ieradās Rostovu Otradnenska kaimiņiene Agrafena Ivanovna Belova, lai paklanītos Maskavas svētajiem. Viņa aicināja Natašu gavēt, un Nataša ar prieku izmantoja šo ideju. Neraugoties uz ārsta aizliegumu agri no rīta iziet ārā, Nataša uzstāja uz gavēni un nevis gavēšanu tā, kā viņi parasti gavēja Rostovu mājā, proti, apmeklēt trīs dievkalpojumus mājās, bet gan gavēt tā, kā gavēja Agrafena Ivanovna, tas ir. , visu nedēļu neizlaižot nevienu vesperu, masu vai matiņu.
Grāfienei patika šī Natašas dedzība; Savā dvēselē pēc neveiksmīgas medicīniskās ārstēšanas viņa cerēja, ka lūgšana viņai palīdzēs saņemt vairāk zāļu, un, kaut arī ar bailēm un slēpšanu no ārsta, viņa piekrita Natašas vēlmei un uzticēja viņu Belovai. Agrafena Ivanovna ieradās pamodināt Natašu pulksten trijos naktī un lielākoties konstatēja, ka viņa vairs neguļ. Nataša baidījās pārgulēt matiņu laikā. Steidzīgi nomazgājusi seju un pazemīgi ģērbusies savā sliktākajā kleitā un vecajā mantilā, drebēdams no svaiguma, Nataša izgāja pamestajās ielās, ko caurspīdīgi apgaismoja rīta ausma. Pēc Agrafena Ivanovnas ieteikuma Nataša gavēja nevis savā draudzē, bet gan baznīcā, kurā, pēc dievbijīgās Belovas teiktā, bija ļoti stingrs un augstvērtīgs priesteris. Baznīcā vienmēr bija maz cilvēku; Nataša un Belova ieņēma savu ierasto vietu Dievmātes ikonas priekšā, kas bija iestrādāta kreisā kora aizmugurē, un Natašu pārņēma jauna sajūta pirms lielā, nesaprotamā, kad šajā neparastajā rīta stundā skatoties uz Dievmātes melno, sveču apgaismoto seju, kas deg viņa priekšā un no loga krītošā rīta gaisma, viņa klausījās dievkalpojuma skaņās, kurām centās sekot, tās saprotot. Kad viņa tos saprata, viņas lūgšanai pievienojās personiskā sajūta ar savām niansēm; kad viņa nesaprata, viņai bija vēl saldāk domāt, ka vēlme visu saprast ir lepnums, ka visu saprast nav iespējams, ka vajag tikai ticēt un nodoties Dievam, kurš tajos brīžos — viņa juta — valdīja viņas dvēselē. Viņa krustu šķērsu, paklanījās un, kad nesaprata, viņa tikai, šausmās par savu negantību, lūdza, lai Dievs viņai piedod par visu, par visu un apžēlo. Lūgšanas, kurām viņa veltīja sevi visvairāk, bija grēku nožēlas lūgšanas. Atgriežoties mājās agrā rīta stundā, kad uz darbu gāja tikai mūrnieki, sētnieki slaucīja ielu un visi mājās vēl gulēja, Nataša piedzīvoja jaunu sajūtu par iespēju laboties no saviem netikumiem un netikumiem. jaunas, tīras dzīves un laimes iespēja.
Visas nedēļas laikā, kurā viņa vadīja šo dzīvi, šī sajūta pieauga ar katru dienu. Un laime pievienoties vai sazināties, kā viņai stāstīja Agrafena Ivanovna, priecīgi spēlējoties ar šo vārdu, viņai šķita tik liela, ka viņai šķita, ka viņa nenodzīvos, lai redzētu šo svētlaimīgo svētdienu.
Taču pienāca laimīgā diena, un, kad Nataša šajā neaizmirstamajā svētdienā atgriezās no dievgalda, baltā muslīna kleitā, pirmo reizi pēc daudziem mēnešiem viņa jutās mierīga un nebija apgrūtināta ar dzīvi, kas viņu gaidīja.
Ārsts, kurš ieradās tajā dienā, apskatīja Natašu un lika viņai turpināt lietot pēdējos pulverus, ko viņš izrakstīja pirms divām nedēļām.
"Mums jāturpina, no rīta un vakarā," viņš teica, acīmredzot apzinīgi apmierināts ar saviem panākumiem. - Tikai lūdzu esiet uzmanīgāks. — Esiet mierīgs, grāfiene, — ārsts jokojot sacīja, veikli paceļot zeltu plaukstas mīkstumā, — drīz viņš atkal sāks dziedāt un rotaļāties. Pēdējās zāles viņai ir ļoti, ļoti labas. Viņa ir ļoti atsvaidzināta.
Grāfiene paskatījās uz saviem nagiem un nospļāva, ar jautru seju atgriezusies viesistabā.

Jūlija sākumā Maskavā izplatījās arvien satraucošākas baumas par kara gaitu: tika runāts par suverēna aicinājumu tautai, par paša suverēna ierašanos no armijas uz Maskavu. Un tā kā manifests un aicinājums netika saņemti pirms 11. jūlija, par tiem un par situāciju Krievijā klīda pārspīlētas baumas. Viņi teica, ka suverēns dodas prom, jo ​​armijai draud briesmas, viņi teica, ka Smoļenska ir padota, ka Napoleonam ir miljons karaspēka un ka tikai brīnums var glābt Krieviju.
11. jūlijā, sestdien, manifests saņemts, bet vēl nav iespiests; un Pjērs, kurš ciemojās pie Rostoviem, apsolīja nākt vakariņās nākamajā dienā, svētdienā, un atnest manifestu un aicinājumu, ko viņš saņems no grāfa Rastopčina.
Šo svētdien rostovieši, kā ierasts, devās uz misi Razumovski dzimtajā baznīcā. Bija karsta jūlija diena. Jau pulksten desmitos, kad rostovieši izkāpa no karietes baznīcas priekšā, karstā gaisā, tirgoņu saucienos, pūļa gaišajās un vieglajās vasaras kleitās, putekļainās lapās. bulvāra kokos, mūzikas skaņās un gājienā soļojošā bataljona baltajās biksēs, bruģa pērkonā un karstās saules spožajā spīdējumā bija tā vasarīgā kūtrums, gandarījums un neapmierinātība ar tagadni, kas īpaši asi jūtams skaidrā karstā dienā pilsētā. Razumovska baznīcā bija visa Maskavas muižniecība, visi rostoviešu paziņas (šogad, it kā kaut ko gaidot, pilsētā palika daudz bagātu ģimeņu, kas parasti brauca uz ciemiem). Pagājusi garām liverētā kājnieka, kurš šķīra pūli pie mātes, Nataša dzirdēja kāda jauna vīrieša balsi, kas par viņu runāja pārāk skaļā čukstā:
- Šī ir Rostova, tā pati...
- Viņa ir zaudējusi tik daudz svara, bet viņa joprojām ir laba!
Viņa dzirdēja vai viņai šķita, ka tika minēti Kuragina un Bolkonska vārdi. Tomēr viņai vienmēr tā šķita. Viņai vienmēr šķita, ka visi, skatoties uz viņu, domā tikai par to, kas ar viņu noticis. Dvēselē ciešot un izdzisusi, kā vienmēr pūlī, Nataša purpursarkanā zīda kleitā ar melnām mežģīnēm staigāja tā, kā sievietes var staigāt – jo mierīgāk un majestātiskāk, jo sāpīgāk un kaunīgāk viņa bija savā dvēselē. Viņa zināja un nekļūdījās, ka ir laba, taču tas viņu tagad neiepriecināja kā agrāk. Gluži pretēji, tas viņu mocīja pavisam nesen un īpaši šajā gaišajā, karstajā vasaras dienā pilsētā. "Vēl viena svētdiena, vēl viena nedēļa," viņa teica sev, atceroties, kā viņa bija šeit tajā svētdienā, "un joprojām tā pati dzīve bez dzīves un visi tie paši apstākļi, kādos bija tik viegli dzīvot agrāk. Viņa ir laba, viņa ir jauna, un es zinu, ka tagad es esmu labs, pirms es biju slikts, bet tagad es esmu labs, es zinu," viņa domāja, "un tāpēc labākie gadi paiet veltīgi, nevienam." Viņa stāvēja blakus mātei un pārmija vārdus ar tuvumā esošajiem paziņām. Nataša aiz ieraduma apskatīja dāmu tualetes, nosodīja izturēšanos [uzvedību] un nepiedienīgo veidu, kā krustoties ar roku vienas dāmas mazajā telpā, kas stāvēja netālu, atkal ar īgnumu domāja, ka viņa tiek tiesāta, ka viņa arī sprieda, un pēkšņi, dzirdot dievkalpojuma skaņas, viņa pārbijās par savu riebumu, šausminājās, ka viņas agrākā tīrība atkal ir zudusi.
Skaistais, klusais vecais vīrs kalpoja ar maigu svinīgumu, kam ir tik majestātiska, nomierinoša iedarbība uz lūdzēju dvēselēm. Karaliskās durvis aizvērās, priekškars lēnām aizvērās; noslēpumaini klusa balss kaut ko teica no turienes. Natašas krūtīs bija viņai nesaprotamas asaras, un viņu satrauca priecīga un sāpīga sajūta.
"Māciet man, kas man jādara, kā es varu uzlaboties mūžīgi, uz visiem laikiem, kas man jādara ar savu dzīvi..." viņa domāja.
Diakons izgāja pie kanceles, iztaisnoja garos matus no apakšas, īkšķi plaši turēdams, un, uzlikusi krustu uz krūtīm, skaļi un svinīgi sāka lasīt lūgšanas vārdus:
- "Lūgsim To Kungu ar mieru."
“Lūgsimies mierā – visi kopā, bez šķiru atšķirības, bez naidīguma un brāļu mīlestības vienoti,” domāja Nataša.
- Par debesu pasauli un mūsu dvēseļu glābšanu!
"Par eņģeļu mieru un visu bezķermeņu radījumu dvēselēm, kas dzīvo virs mums," lūdza Nataša.
Kad viņi lūdza par armiju, viņa atcerējās savu brāli un Denisovu. Kad viņi lūdza par tiem, kas kuģo un ceļo, viņa atcerējās princi Andreju un lūdza par viņu, un lūdza, lai Dievs viņai piedod par ļaunumu, ko viņa bija viņam nodarījusi. Kad viņi lūdza par tiem, kas mūs mīlēja, viņa lūdza par savu ģimeni, par savu tēvu, māti, Sonju, pirmo reizi apzinoties visu savu vainu viņu priekšā un izjutusi visu savas mīlestības spēku pret viņiem. Kad viņi lūdza par tiem, kas mūs ienīda, viņa izdomāja sev ienaidniekus un ienaidniekus, lai lūgtu par viņiem. Viņa pieskaitīja ienaidniekiem kreditorus un visus, kas kārtoja viņas tēvu, un katru reizi, kad viņa domāja par ienaidniekiem un naidniekiem, viņa atcerējās Anatolu, kurš viņai bija nodarījis tik daudz ļauna, un, lai gan viņš nebija nīdējs, viņa priecīgi lūdza Dievu. viņam kā ienaidniekam. Tikai lūgšanas laikā viņa jutās spējīga skaidri un mierīgi atcerēties gan princi Andreju, gan Anatolu kā cilvēkus, pret kuriem viņas jūtas tika iznīcinātas salīdzinājumā ar baiļu un cieņas sajūtu pret Dievu. Kad viņi lūdza par karalisko ģimeni un Sinodi, viņa īpaši zemu paklanījās un sakrustoja sevi, sakot, ka, ja viņa nesaprot, viņa nevar šaubīties un joprojām mīl valdošo Sinodi un lūdza par to.
Pabeidzis litāniju, diakons sakrustoja orarionu ap krūtīm un sacīja:
- "Mēs nododam sevi un savu dzīvi Kristum Dievam."
"Mēs nodosim sevi Dievam," savā dvēselē atkārtoja Nataša. "Mans Dievs, es nododu sevi tavai gribai," viņa domāja. - Es neko nevēlos, es neko nevēlos; iemāci man, ko darīt, kur izmantot manu gribu! Ņem mani, ņem mani! - Nataša teica ar maigu nepacietību dvēselē, nekrustot sevi, nolaižot plānās rokas un it kā gaidot, ka neredzams spēks viņu paņems un atbrīvos no viņas pašas, no nožēlas, vēlmēm, pārmetumiem, cerībām un netikumiem.
Vairākas reizes dievkalpojuma laikā grāfiene atskatījās uz savas meitas maigo, dzirkstošo acu seju un lūdza, lai Dievs viņai palīdz.