Общата формулировка на проблема: вероятностите за някои събития са известни, но вероятностите за други събития, които са свързани с тези събития, трябва да бъдат изчислени. В тези задачи има нужда от такива действия върху вероятностите като събиране и умножение на вероятности.
Например при лов се правят два изстрела. Събитие А- удряне на патица от първия изстрел, събитие Б- удар от втория изстрел. След това сборът от събития Аи Б- удар от първи или втори изстрел или от два изстрела.
Задачи от различен тип. Дават се няколко събития, например монетата се хвърля три пъти. Необходимо е да се намери вероятността или гербът да бъде изпуснат и трите пъти, или гербът да бъде изтеглен поне веднъж. Това е проблем с умножаването на вероятностите.
Добавяне на вероятностите за непоследователни събития
Добавянето на вероятности се използва, когато трябва да изчислите вероятността за обединение или логическа сума от случайни събития.
Сума от събития Аи Бобозначават А + Били А ∪ Б... Сборът от две събития е събитие, което се случва, ако и само когато се случи поне едно от събитията. Означава, че А + Б- събитие, което се случва, ако и само когато е настъпило събитие по време на наблюдение Аили събитие Б, или в същото време Аи Б.
Ако събитията Аи Бса взаимно несъвместими и техните вероятности са дадени, тогава вероятността едно от тези събития да настъпи в резултат на един тест се изчислява чрез добавяне на вероятностите.
Теорема за добавяне за вероятности.Вероятността да се случи едно от двете взаимно несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития:
Например по време на лов се правят два изстрела. Събитие А- удряне на патица от първия изстрел, събитие V- удар от втория изстрел, събитие ( А+ V) - удар от първия или втория изстрел или от два изстрела. Така че, ако две събития Аи V- тогава несъвместими събития А+ V- началото на поне едно от тези събития или две събития.
Пример 1.В кутията има 30 топки с еднакъв размер: 10 червени, 5 сини и 15 бели. Изчислете вероятността цветна (не бяла) топка да бъде взета без да гледате.
Решение. Да предположим, че събитието А- "червената топка е взета" и събитието V- "взета е синя топка." Тогава събитието е „взема се цветна (не бяла) топка“. Намерете вероятността за събитие А:
и събития V:
Събития Аи V- взаимно несъвместими, тъй като ако се вземе една топка, тогава не можете да вземете топки с различни цветове. Следователно използваме добавянето на вероятности:
Теоремата за събиране на вероятности за няколко непоследователни събития.Ако събитията съставляват пълния набор от събития, тогава сумата от техните вероятности е 1:
Сумата от вероятностите за противоположни събития също е равна на 1:
Противоположните събития образуват пълен набор от събития и вероятността за пълен набор от събития е 1.
Вероятностите за противоположни събития обикновено се обозначават с малки букви стри q... По-специално,
от което следват следните формули за вероятността от противоположни събития:
Пример 2.Мишената в стрелбището е разделена на 3 зони. Вероятността даден стрелец да стреля по целта в първата зона е 0,15, във втората зона - 0,23, в третата зона - 0,17. Намерете вероятността стрелецът да уцели целта и вероятността стрелецът да пропусне целта.
Решение: Нека намерим вероятността стрелецът да уцели целта:
Нека намерим вероятността стрелецът да пропусне целта:
По-трудни задачи, в които трябва да приложите както събиране, така и умножение на вероятности - на страницата "Различни задачи за събиране и умножение на вероятности".
Добавяне на вероятности за взаимно съвместими събития
Две случайни събития се наричат съвместни, ако настъпването на едно събитие не изключва появата на второ събитие в същото наблюдение. Например, когато хвърляте зарове, събитието Ападането на числото 4 се разглежда и събитието V- отпадна четно число. Тъй като числото 4 е четно число, двете събития са съвместими. На практика има задачи за изчисляване на вероятностите за едно от съвместните събития.
Теорема за събиране на вероятността за съвместни събития.Вероятността да се случи едно от съвместните събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития, от която се изважда вероятността за общото настъпване на двете събития, тоест произведението на вероятностите. Формулата за вероятностите за съвместни събития е както следва:
От събитията Аи Vсъвместим, събитие А+ Vвъзниква, ако се случи едно от трите възможни събития: или АБ... Съгласно теоремата за събиране на несъвместими събития изчисляваме, както следва:
Събитие Аще се случи, ако настъпи едно от двете несъвместими събития: или АБ... Въпреки това, вероятността за възникване на едно събитие от няколко несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на всички тези събития:
По същия начин:
Замествайки изрази (6) и (7) в израз (5), получаваме формулата за вероятност за съвместни събития:
Когато се използва формула (8), трябва да се има предвид, че събитията Аи Vможе би:
- взаимно независими;
- взаимно зависими.
Формула за вероятност за взаимно независими събития:
Формула за вероятност за взаимно зависими събития:
Ако събитията Аи Vса непоследователни, то тяхното съвпадение е невъзможен случай и следователно, П(АБ) = 0. Четвъртата формула за вероятност за непоследователни събития е както следва:
Пример 3.В автомобилно състезание, когато карате първата кола, има шанс за победа, когато шофирате във втората кола. Намирам:
- вероятността и двете коли да спечелят;
- вероятността поне една кола да спечели;
1) Вероятността първата кола да спечели не зависи от резултата на втората кола, следователно от събитията А(първата кола печели) и V(втора кола победи) - независими събития. Нека намерим вероятността и двете коли да спечелят:
2) Нека намерим вероятността една от двете коли да спечели:
По-трудни задачи, в които трябва да приложите както събиране, така и умножение на вероятности - на страницата "Различни задачи за събиране и умножение на вероятности".
Решете сами проблема със събирането на вероятности и след това вижте решението
Пример 4.Хвърлят се две монети. Събитие А- падане от герба на първата монета. Събитие Б- падане от герба на втората монета. Намерете вероятността за събитие ° С = А + Б .
Умножение на вероятностите
Умножението на вероятностите се използва при изчисляване на вероятността на логическия продукт на събитията.
Освен това случайните събития трябва да са независими. Две събития се наричат взаимно независими, ако настъпването на едно събитие не влияе на вероятността за настъпване на второто събитие.
Теорема за умножение за вероятности за независими събития.Вероятност за едновременно възникване на две независими събития Аи Vе равно на произведението на вероятностите за тези събития и се изчислява по формулата:
Пример 5.Монетата се хвърля три пъти подред. Намерете вероятността гербът да бъде изпуснат и трите пъти.
Решение. Вероятността при първото хвърляне на монетата да се появи гербът, вторият, третият път. Нека намерим вероятността гербът да бъде нарисуван и три пъти:
Решете сами задачи за умножение на вероятностите и след това вижте решението
Пример 6.Включва кутия с девет нови тенис топки. Вземат се три топки за играта, след играта се връщат обратно. При избора на топки не се разграничават изиграни и неизиграни. Каква е вероятността след три игри да не останат топки в полето?
Пример 7. 32 букви от руската азбука са написани на картите на разделената азбука. Пет карти се изваждат на случаен принцип една след друга и се поставят на масата по реда на появяване. Намерете вероятността буквите да образуват думата "край".
Пример 8.От пълно тесте карти (52 листа) се изваждат четири карти наведнъж. Намерете вероятността и четирите от тези карти да са от различни цветове.
Пример 9.Същият проблем като в пример 8, но след като бъде извадена, всяка карта се връща в тестето.
По-трудни задачи, в които трябва да приложите както събиране, така и умножение на вероятности, както и да изчислите произведението на няколко събития - на страницата "Различни задачи за събиране и умножение на вероятности".
Вероятността да се случи поне едно от взаимно независимите събития може да се изчисли чрез изваждане от 1 на произведението на вероятностите за противоположни събития, тоест като се използва формулата.
Да започнем с независими събития. Събитията са независими ако вероятността за възникване Всеки от тях не зависиот появата/непоявата на останалите събития от разглеждания набор (във всички възможни комбинации).
Теорема за умножение за вероятностите на независими събития: вероятност за съвместно възникване на независими събития Аи Vе равно на произведението на вероятностите за тези събития: P (AB) = P (A) × P (B)
Нека се върнем към най-простия пример от 1-ви урок, в който се хвърлят две монети и следните събития:
- в резултат на хвърлянето глави ще паднат върху 1-вата монета;
- В резултат на хвърлянето главите ще паднат върху 2-рата монета.
Да намерим вероятността за събитието А 1 А 2 (на 1-ва монета се появява орел ина 2-та монета ще се появи орел - помним как се четепроизводство на събития !) ... Вероятността за получаване на глави на една монета не зависи по никакъв начин от резултата от хвърлянето на друга монета, следователно събития A1 и A2 са независими. Чрез теоремата за умножение за вероятностите на независими събития:
P (A 1 A 2) = P (A 1) × P (A 2) = × =
По същия начин:
= × = × = е вероятността първата монета да падне опашки ина 2-ра опашка;
= × = × = - вероятността главите да се появят на 1-ва монета ина 2-ра опашка;
= × = × = е вероятността да се появят опашки на първата монета ина 2-ри орел.
Имайте предвид, че събитията,,, форма пълна групаи сумата от техните вероятности е равна на едно: + + + = = 1
Теоремата за умножение се простира по очевиден начин до 6 Опо-независими събития, например ако събития А, Б, Вса независими, тогава вероятността за тяхното съвместно настъпление е равна на: P (ABC) = P (A) × P (B) × P (C).
Проблем 3
Всяка от трите кутии съдържа 10 части. В първата кутия има 8 стандартни части, във втората - 7, в третата - 9. От всяка кутия се взема на случаен принцип по една част. Намерете вероятността всички детайли да бъдат стандартни.
Решение: вероятността за извличане на стандартна или нестандартна част от която и да е кутия не зависи от това кои части са извлечени от други кутии, следователно проблемът е за независими събития. Помислете за следните независими събития:
S 1- стандартна част е премахната от 1-ва кутия;
S 2- стандартна част е премахната от 2-ра кутия;
S 3- стандартна част е премахната от 3-та кутия.
Според класическата дефиниция: P (S 1) = = 0,8; P (S 2) = = 0,7; P (S 3)= = 0,9; - съответните вероятности.
Интересно за нас събитие (стандартна част ще бъде премахната от 1-ва кутияи от 2-ри стандарти от 3-ти стандарт)изразено от продукта S 1 S 2 S 3.
Чрез теоремата за умножение за вероятностите на независими събития:
R( S 1 S 2 S 3) = P (S 1) × P (S 2) × P (S 3) = 0,8 × 0,7 × 0,9 = 0,504- вероятността една стандартна част да бъде премахната от 3 кутии.
Отговор: вероятността всички части да бъдат стандартни е 0,504
Проблем 4 (за независимо решение)
Три урни съдържат 6 бели и 4 черни топки. От всяка урна се взема на случаен принцип по една топка. Намерете вероятността: а) и трите топки да бъдат бели; б) и трите топки ще бъдат от един и същи цвят.
Въз основа на получената информация познайте как да се справите с елемента "be". Приблизителна извадка от решението е проектирана в академичен стил, като в края на урока е даден подробен списък на всички събития.
Зависими събития... Събитие хса наречени пристрастен ако е неговата вероятност P (X) Зависиот един или б Ооще събития, които вече са се състояли. Не е нужно да търсите далеч за примери - просто отидете до най-близкия магазин:
х- Утре от 19.00 часа ще има пресен хляб в продажба.
Вероятността за това събитие зависи от много други събития: дали утре ще бъде доставен пресен хляб, дали ще бъде разпродаден преди 19 часа или не и т.н. В зависимост от различни обстоятелства това събитие може да бъде едновременно надеждно P (X)= 1 и невъзможно P (X)= 0. По този начин събитието хе пристрастен.
Друг пример, V- студентът ще получи обикновен билет за изпита.
Ако не отидете първи, тогава събитието Vще бъде зависим, тъй като неговата вероятност P (B)ще зависи от това кои билети вече са изтеглени от състудентите.
Събития A, B, C ... се наричат зависимедин от друг, ако вероятността за настъпване на поне едно от тях се променя в зависимост от настъпването или ненастъпването на други събития. Събитията се наричат независимиако вероятностите за възникване на всеки от тях не зависят от появата или невъзникването на останалите.
Условна вероятност(PA (B) -условна вероятност за събитие B спрямо A) е вероятността за събитие B, изчислена при допускането, че събитие A вече е настъпило. пример за условна вероятност Условната вероятност за събитие B, при условие че събитие A вече е настъпило, по дефиниция е равна на PA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)> 0).
Умножение на вероятностите за зависими събития:вероятността за съвместно настъпване на две събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях на условната вероятност на другото, изчислена при допускането, че първото събитие вече е настъпило:
P (AB) = P (A) PA (B)
Пример... Колекторът има 3 конични и 7 елипсовидни ролки. Колекторът взе една ролка и после друга. Намерете вероятността първата от взетите ролки да е конична, а втората да е елипсовидна.
Решение:Вероятността първата ролка да е конична (събитие A), P (A) = 3/10 Вероятността втората ролка да е елиптична (събитие B), изчислена при допускането, че първата ролка е конична, т.е. , условна вероятност PA (B) = 7/9.
Съгласно формулата за умножение, желаната вероятност P (AB) = P (A) PA (B) = (3/10) * (7/9) = 7/30. Имайте предвид, че, запазвайки нотацията, можем лесно да намерим : P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30
Условието за независимост на събитията. Умножение на вероятностите за независими събития. Примери.
Събитие Б не зависи от събитие А ако
P (B / A) = P (B), т.е. вероятността за събитие B не зависи от това дали събитие A.
В този случай събитие A не зависи от събитие B, тоест свойството на независимост на събитията е взаимно.
Вероятността на произведението на две независими събития е равна на произведението на техните вероятности:
P (AB) = P (A) P (B).
Пример 1:Устройството, работещо през времето t, се състои от три възела, всеки от които, независимо от другите, може да се повреди (откаже) през времето t. Отказът на поне един възел води до повреда на устройството като цяло. За времето t надеждността (вероятността за безотказна работа) на първия възел е равна на p 1 = 0,8; втори p 2 = 0,9 трети p 3 = 0,7. Намерете надеждността на устройството като цяло.
Решение.обозначаващ:
A - безпроблемна работа на устройствата,
A 1 - безотказна работа на първия възел,
A 2 - безотказна работа на втория възел,
A 3 - безотказна работа на третия възел,
откъдето, по теоремата за умножение за независими събития
P (A) = P (A 1) P (A 2) P (A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504
Пример 2... Намерете вероятността числото да се появи заедно с едно хвърляне на две монети.
Решение... Вероятността за появата на фигурата на първата монета (събитие A) P (A) = 1/2; вероятността за появата на цифрата на втората монета (събитие B) - P (B) = 1/2.
Събития A и B са независими, така че намираме желаната вероятност
по формулата:
P (AB) = P (A) P (B) = 1/2 * 1/2 = 1/4
Съвместимост и несъответствие на събитията. Добавянето на вероятностите за две съвместни събития. Примери.
Извикват се две събития ставаако появата на единия от тях не влияе и не изключва появата на другия. Съвместни събития могат да се реализират едновременно, като например появата на число върху една кост или
по никакъв начин не оказва влияние върху появата на числа на другата кост. Събитията са непоследователниако в едно явление или в един тест те не могат да се реализират едновременно и появата на едното от тях изключва появата на другото (удрянето в целта и пропускането са несъвместими).
Вероятността за настъпване на поне едно от две съвместни събития A или B е равна на сумата от вероятностите за тези събития без вероятността за съвместното им настъпване:
P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB).
Пример... Вероятността за уцелване на целта за първия атлет е 0,85, а за втория - 0,8. Спортисти независимо един от друг
стреля един по един. Намерете вероятността поне един спортист да уцели целта?
Решение... Нека въведем следното обозначение: събития A – „ударен от първия атлет“, B – „ударен от втория атлет“, C – „ударен от поне един от атлетите“. Очевидно A + B = C и събитията A и B са съвместни. В съответствие с формулата получаваме:
P (C) = P (A) + P (B) - P (AB)
P (C) = P (A) + P (B) -P (A) P (B),
тъй като A и B са независими събития. Замествайки тези стойности P (A) = 0,85, P (B) = 0,8 във формулата за P (C), намираме желаната вероятност
P (C) = (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 = 0,97
Класическата дефиниция на вероятността.
Вероятността за събитие е количествена мярка, която се въвежда за сравняване на събития според степента на вероятността от настъпване.
Събитие, представено като набор (сума) от няколко елементарни събития, се нарича съставно събитие.
Събитие, което не може да бъде разделено на по-прости, се нарича елементарно.
Едно събитие се нарича невъзможно, ако никога не се случва при условията на даден експеримент (тест).
Вероятните и невъзможните събития не са случайни.
Съвместни събития- няколко събития се наричат съвместни, ако в резултат на експеримента възникването на едно от тях не изключва появата на други.
Несъвместими събития- няколко събития се наричат непоследователни в даден експеримент, ако появата на едно от тях изключва появата на други. Извикват се две събития срещуположно,ако едно от тях се случи, само ако другото не се случи.
Вероятността за събитие А е P (A) – наречено съотношение на числото мелементарни събития (резултати), благоприятстващи настъпването на събитието А,към номера нна всички елементарни събития при условията на даден вероятностен експеримент.
Следните свойства на вероятността следват от определението:
1. Вероятността за случайно събитие е положително число между 0 и 1:
2. Вероятността за определено събитие е 1: (3)
3. Ако дадено събитие е невъзможно, тогава неговата вероятност е
4. Ако събитията са несъвместими, тогава
5. Ако събития A и B са съвместни, тогава вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития без вероятността за съвместното им настъпване:
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB)(6)
6. Ако и са противоположни събития, тогава (7)
7. Сборът от вероятностите за събития А 1, А 2, ..., А nобразуването на пълна група е равно на 1:
P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n) = 1.(8)
В икономическите изследвания стойностите и във формулата могат да се тълкуват по различен начин. В статистическа дефинициявероятността за събитие се разбира като броя на наблюденията на резултатите от експеримента, в който събитието се е случило точно веднъж. В този случай връзката се нарича относителна честота (честота) на събитието
Събития А, Бса наречени независимиако вероятностите за всеки от тях не зависят от това дали се е случило друго събитие или не. Вероятностите за независими събития се наричат безусловен.
Събития А, Бса наречени зависимако вероятността за всяко от тях зависи от това дали се е случило друго събитие или не. Вероятността за събитие B, изчислена при предположението, че вече се е случило друго събитие A, се нарича условна вероятност.
Ако две събития A и B са независими, тогава равенствата са верни:
P (B) = P (B / A), P (A) = P (A / B) или P (B / A) - P (B) = 0(9)
Вероятността на произведението на две зависими събития A, B е равна на произведението на вероятността за едно от тях на условната вероятност на другото:
P (AB) = P (B) ∙ P (A / B)или P (AB) = P (A) ∙ P (B / A) (10)
Вероятността за събитие Б, при условие че се случи събитие А:
Вероятността на произведението на две независимисъбития A, B е равно на произведението на техните вероятности:
P (AB) = P (A) ∙ P (B)(12)
Ако няколко събития са независими по двойки, тогава тяхната независимост в съвкупността не следва от тук.
Събития А 1, А 2, ..., А n (n> 2)се наричат независими в съвкупността, ако вероятността за всяко от тях не зависи от това дали някое от другите събития е настъпило или не.
Вероятността за съвместно настъпване на няколко събития, независими в съвкупността, е равна на произведението на вероятностите за тези събития:
Р (А 1 ∙ А 2 ∙ А 3 ∙… ∙ А n) = Р (А 1) ∙ Р (А 2) ∙ Р (А 3) ∙ ... ∙ Р (А n). (13)
В задачите на USE по математика има и по-сложни проблеми с вероятностите (отколкото разгледахме в част 1), където трябва да приложите правилото за събиране, умножение на вероятностите и да правите разлика между съвместни и несъвместими събития.
Така че теорията.
Съвместни и несъвместими събития
Събитията се наричат непоследователни, ако възникването на едно от тях изключва появата на други. Тоест може да се случи само едно конкретно събитие или друго.
Например, чрез хвърляне на зар могат да се разграничат събития като четен брой точки и нечетен брой точки. Тези събития са непоследователни.
Събитията се наричат съвместни, ако настъпването на едно от тях не изключва възникването на другото.
Например, чрез хвърляне на зар могат да се разграничат събития като нечетен брой точки и кратно на три точки. При три хвърляния се случват и двете събития.
Сума от събития
Сборът (или комбинацията) от няколко събития е събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития.
При което сбор от две несъвместими събития е сумата от вероятностите за тези събития:
Например, вероятността да получите 5 или 6 точки на зар с едно хвърляне ще бъде, защото и двете събития (хвърляне 5, хвърляне 6) са несъвместими и вероятността да се случи едно или второ събитие се изчислява по следния начин:
Вероятността сборът от две съвместни събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития, без да се отчита съвместното им настъпване:
Например в търговски център две еднакви вендинг машини продават кафе. Вероятността машината да остане без кафе до края на деня е 0,3. Вероятността да остане без кафе и в двете машини е 0,12. Да намерим вероятността до края на деня кафето да свърши поне в една от машините (тоест или в едната, или в другата, или и в двете наведнъж).
Вероятността за първото събитие „кафето свърши в първата машина“, както и вероятността за второ събитие „кафето свърши във втората машина“ е равна на 0,3 според условието. Събитията са съвместни.
Вероятността за съвместна реализация на първите две събития по условие е 0,12.
Това означава, че има вероятност до края на деня поне една от машините да остане без кафе
Зависими и независими събития
Две случайни събития A и B се наричат независими, ако настъпването на едно от тях не променя вероятността за настъпване на другото. В противен случай събития А и В се наричат зависими.
Например, ако два зара се хвърлят едновременно, изпадането на един от тях, да речем 1, а на втория 5, са независими събития.
Произведение на вероятностите
Продуктът (или пресечната точка) на няколко събития е събитие, състоящо се в съвместната поява на всички тези събития.
Ако се случат две независими събития A и B с вероятности, съответно, P (A) и P (B), тогава вероятността за настъпване на събития A и B е едновременно равна на произведението на вероятностите:
Например, ние се интересуваме от изпадането на шестици на заровете два пъти подред. И двете събития са независими и вероятността за реализиране на всяко от тях поотделно е. Вероятността и двете събития да се случат ще се изчисли по горната формула:.
Вижте селекция от задачи за разработване на темата.