Цилиндърът е симетрична пространствена фигура, чиито свойства се разглеждат в старшите класове на училището в курса по геометрия на твърдото тяло. За да се опише, се използват такива линейни характеристики като височина и радиус на основата. В тази статия ще разгледаме въпроси относно това какво е аксиалното сечение на цилиндъра и как да изчислим неговите параметри чрез основните линейни характеристики на фигурата.
Геометрична фигура
Първо, нека дефинираме фигурата, която ще бъде разгледана в статията. Цилиндърът е повърхност, образувана от успоредно преместване на сегмент с фиксирана дължина по определена крива. Основното условие за това движение е сегментът от равнината на кривата да не принадлежи.
Фигурата по-долу показва цилиндър, чиято крива (водач) е елипса.
Тук отсечка с дължина h е нейната образуваща и нейната височина.
Вижда се, че цилиндърът се състои от две еднакви основи (в случая елипси), които лежат в успоредни равнини, и странична повърхност. Последният принадлежи на всички точки на генериращите прави.
Преди да пристъпим към разглеждането на аксиалното сечение на цилиндрите, ще ви кажем какви видове са тези фигури.
Ако генериращата линия е перпендикулярна на основите на фигурата, тогава те говорят за прав цилиндър. В противен случай цилиндърът ще бъде наклонен. Ако свържете централните точки на двете основи, тогава получената права линия се нарича оста на фигурата. Следващата фигура показва разликата между прави и наклонени цилиндри.
Вижда се, че за права фигура дължината на генериращия сегмент съвпада със стойността на височината h. За наклонен цилиндър височината, тоест разстоянието между основите, винаги е по-малка от дължината на генериращата.
Аксиален разрез на прав цилиндър
Аксиална секция е всяка част от цилиндър, която съдържа неговата ос. Тази дефиниция означава, че аксиалното сечение винаги ще бъде успоредно на генериращата.
В прав цилиндър оста минава през центъра на окръжността и е перпендикулярна на нейната равнина. Това означава, че разглежданата окръжност ще се пресича по диаметъра си. Фигурата показва половината от цилиндъра, която е получена в резултат на пресичането на фигурата с равнина, минаваща през оста.
Не е трудно да се разбере, че аксиалното сечение на десен кръгъл цилиндър е правоъгълник. Неговите страни са диаметърът d на основата и височината h на фигурата.
Пишем формули за площта на аксиалното сечение на цилиндъра и дължината h d на неговия диагонал:
Правоъгълникът има два диагонала, но и двата са равни един на друг. Ако радиусът на основата е известен, тогава не е трудно да се пренапишат тези формули през него, като се има предвид, че е половината от диаметъра.
Аксиален разрез на наклонен цилиндър
На снимката по-горе е показан наклонен цилиндър, изработен от хартия. Ако изпълните аксиалното му сечение, тогава вече няма да получите правоъгълник, а успоредник. Неговите страни са известни величини. Единият от тях, както в случая на сечение на прав цилиндър, е равен на диаметъра d на основата, докато другият е дължината на генериращия сегмент. Нека го обозначим b.
За да се определят недвусмислено параметрите на паралелограма, не е достатъчно да се знаят дължините на страните му. Имаме нужда и от ъгъл между тях. Да приемем, че острият ъгъл между водача и основата е α. Това също ще бъде ъгълът между страните на паралелограма. Тогава формулата за площта на аксиалното сечение на наклонения цилиндър може да бъде написана, както следва:
Диагоналите на аксиалното сечение на наклонен цилиндър са малко по-трудни за изчисляване. Паралелограмът има два диагонала с различни дължини. Даваме изрази без деривация, които ни позволяват да изчислим диагоналите на паралелограма от известни страни и остър ъгъл между тях:
l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));
l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))
Тук l 1 и l 2 са дължините съответно на малкия и големия диагонал. Тези формули могат да бъдат получени независимо, ако разглеждаме всеки диагонал като вектор чрез въвеждане на правоъгълна координатна система в равнината.
Проблем с прав цилиндър
Ще покажем как да използваме придобитите знания за решаване на следния проблем. Нека бъде даден кръгъл прав цилиндър. Известно е, че аксиалното сечение на цилиндъра е квадрат. Каква е площта на този участък, ако цялата фигура е 100 cm 2?
За да изчислите желаната площ, трябва да намерите или радиуса, или диаметъра на основата на цилиндъра. За да направите това, използваме формулата за общата площ S f на фигурата:
Тъй като аксиалното сечение е квадрат, това означава, че радиусът r на основата е половината от височината h. Като се има предвид това, можем да пренапишем равенството по-горе като:
S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2
Сега можем да изразим радиуса r, имаме:
Тъй като страната на квадратно сечение е равна на диаметъра на основата на фигурата, следната формула ще бъде валидна за изчисляване на нейната площ S:
S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)
Виждаме, че необходимата площ се определя еднозначно от повърхността на цилиндъра. Замествайки данните в равенство, стигаме до отговора: S = 21,23 cm 2.
Площта на всяка основа на цилиндъра е π r 2, площта на двете бази ще бъде 2π r 2 (фиг.).Площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на площта на правоъгълник, чиято основа е 2π r, а височината е равна на височината на цилиндъра з, т.е. 2π rh.
Общата повърхност на цилиндъра ще бъде: 2π r 2+2π rh= 2π r(r+ з).
Взема се площта на страничната повърхност на цилиндъра зона за почистванестраничната му повърхност.
Следователно площта на страничната повърхност на десен кръгъл цилиндър е равна на площта на съответния правоъгълник (фиг.) и се изчислява по формулата
S b.c. = 2πRH, (1)
Ако добавим площта на двете основи на цилиндъра към площта на страничната повърхност на цилиндъра, получаваме общата повърхност на цилиндъра
S пълен \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).
Прав обем на цилиндъра
Теорема. Обемът на десен цилиндър е равен на произведението на площта на основата му и височината , т.е.където Q е основната площ и H е височината на цилиндъра.
Тъй като площта на основата на цилиндъра е Q, има поредици от описани и вписани многоъгълници с площи Q ни Q' нтакъв, че
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q н= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' н= Q.
Нека построим поредици от призми, чиито основи са описаните и вписани многоъгълници, разгледани по-горе, и чиито странични ръбове са успоредни на образуващата на дадения цилиндър и имат дължина H. Тези призми са описани и вписани за дадения цилиндър. Техните обеми се намират по формулите
V н= Q н H и V' н= Q' нХ.
следователно,
V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q н H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' н H = QH.
Последствие.
Обемът на десен кръгъл цилиндър се изчислява по формулата
V = π R 2 H
където R е радиусът на основата и H е височината на цилиндъра.
Тъй като основата на кръгъл цилиндър е окръжност с радиус R, тогава Q \u003d π R 2 и следователно
Цилиндърът е фигура, състояща се от цилиндрична повърхност и две окръжности, разположени успоредно. Изчисляването на площта на цилиндъра е проблем в геометричния клон на математиката, който се решава доста просто. Има няколко метода за решаването му, които в резултат винаги се свеждат до една формула.
Как да намерите площта на цилиндъра - правила за изчисление
- За да разберете площта на цилиндъра, трябва да добавите две основни области с площта на страничната повърхност: S \u003d S страна. + 2 S основна. В по-подробен вариант тази формула изглежда така: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
- Площта на страничната повърхност на дадено геометрично тяло може да се изчисли, ако са известни неговата височина и радиусът на окръжността, лежаща в основата. В този случай можете да изразите радиуса от обиколката, ако е даден. Височината може да бъде намерена, ако стойността на генериращата е посочена в условието. В този случай генериращата ще бъде равна на височината. Формулата за страничната повърхност на дадено тяло изглежда така: S= 2 π rh.
- Площта на основата се изчислява по формулата за намиране на площта на кръг: S osn= π r 2 . При някои задачи може да не е даден радиусът, но е дадена обиколката. С тази формула радиусът се изразява доста лесно. С=2π r, r= С/2π. Трябва също да се помни, че радиусът е половината от диаметъра.
- Когато извършвате всички тези изчисления, числото π обикновено не се превежда в 3,14159 ... Просто трябва да го добавите до числовата стойност, която е получена в резултат на изчисленията.
- Освен това е необходимо само да се умножи намерената основна площ по 2 и да се добави към полученото число изчислената площ на страничната повърхност на фигурата.
- Ако проблемът показва, че цилиндърът има аксиално сечение и това е правоъгълник, тогава решението ще бъде малко по-различно. В този случай ширината на правоъгълника ще бъде диаметърът на кръга, който лежи в основата на тялото. Дължината на фигурата ще бъде равна на генератора или височината на цилиндъра. Необходимо е да се изчислят желаните стойности и да се заменят с вече известна формула. В този случай ширината на правоъгълника трябва да бъде разделена на две, за да се намери площта на основата. За да се намери страничната повърхност, дължината се умножава по два радиуса и по число π.
- Можете да изчислите площта на дадено геометрично тяло чрез неговия обем. За да направите това, трябва да извлечете липсващата стойност от формулата V=π r 2 h.
- Няма нищо трудно при изчисляването на площта на цилиндъра. Трябва само да знаете формулите и да можете да извлечете от тях количествата, необходими за изчисленията.
Цилиндр (произлиза от гръцки език, от думите "пързалка", "ролка") е геометрично тяло, което е ограничено отвън от повърхност, наречена цилиндрична повърхност и две равнини. Тези равнини пресичат повърхността на фигурата и са успоредни една на друга.
Цилиндрична повърхност е повърхност, която се получава от права линия в пространството. Тези движения са такива, че избраната точка от тази права линия се движи по плосък тип крива. Такава права линия се нарича генератриса, а крива се нарича направляваща.
Цилиндърът се състои от двойка основи и странична цилиндрична повърхност. Цилиндрите са от няколко вида:
1. Кръгла, прав цилиндър. За такъв цилиндър основата и водачът са перпендикулярни на генератора и има
2. Наклонен цилиндър. Той има ъгъл между генериращата линия и основата не е права.
3. Цилиндър с различна форма. Хиперболична, елиптична, параболична и други.
Площта на цилиндъра, както и общата повърхност на всеки цилиндър, се намират чрез добавяне на площите на основите на тази фигура и площта на страничната повърхност.
Формулата за изчисляване на общата площ на цилиндър за кръгъл, прав цилиндър е:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
Площта на страничната повърхност е малко по-трудна за намиране от площта на целия цилиндър; тя се изчислява чрез умножаване на дължината на образуващата по периметъра на сечението, образувано от равнината, която е перпендикулярна на генератриса.
Данните за цилиндъра за кръгъл, прав цилиндър се разпознават от развитието на този обект.
Развитието е правоъгълник, който има височина h и дължина P, която е равна на периметъра на основата.
От това следва, че страничната площ на цилиндъра е равна на площта на размаха и може да се изчисли по тази формула:
Ако вземем кръгъл, прав цилиндър, тогава за него:
P = 2p R и Sb = 2p Rh.
Ако цилиндърът е наклонен, тогава площта на страничната повърхност трябва да бъде равна на произведението на дължината на неговата образуваща и периметъра на сечението, което е перпендикулярно на тази образуваща.
За съжаление, няма проста формула за изразяване на страничната повърхност на наклонен цилиндър по отношение на неговата височина и основните му параметри.
За да изчислите цилиндъра, трябва да знаете няколко факта. Ако сечение със своята равнина пресича основите, тогава такова сечение винаги е правоъгълник. Но тези правоъгълници ще бъдат различни, в зависимост от позицията на секцията. Едната от страните на аксиалното сечение на фигурата, която е перпендикулярна на основите, е равна на височината, а другата е равна на диаметъра на основата на цилиндъра. И площта на такъв участък, съответно, е равна на произведението на едната страна на правоъгълника от другата, перпендикулярна на първата, или на произведението на височината на тази фигура от диаметъра на нейната основа.
Ако сечението е перпендикулярно на основите на фигурата, но не минава през оста на въртене, тогава площта на тази секция ще бъде равна на произведението на височината на този цилиндър и определена хорда. За да получите акорд, трябва да построите кръг в основата на цилиндъра, да начертаете радиус и да отделите върху него разстоянието, на което се намира секцията. И от тази точка трябва да начертаете перпендикуляри на радиуса от пресечната точка с окръжността. Пресечните точки са свързани с центъра. И основата на триъгълника е желаната, която се търси, звучи така: „Сумата от квадратите на два крака е равна на хипотенузата на квадрат“:
C2 = A2 + B2.
Ако секцията не засяга основата на цилиндъра, а самият цилиндър е кръгъл и прав, тогава площта на този участък се намира като площ на кръга.
Площта на кръг е:
S обк. = 2p R2.
За да намерите R, трябва да разделите дължината му C на 2p:
R = C \ 2n, където n е pi, математическа константа, изчислена за работа с кръгови данни и равна на 3,14.
Има голям брой проблеми, свързани с цилиндъра. В тях трябва да намерите радиуса и височината на тялото или вида на неговото сечение. Освен това понякога трябва да изчислите площта на цилиндъра и неговия обем.
Какво тяло е цилиндър?
В хода на училищната програма се изучава кръгъл, тоест цилиндър, който е такъв в основата. Но те също така отличават елипсовиден вид на тази фигура. От името става ясно, че основата му ще бъде елипса или овал.
Цилиндърът има две основи. Те са равни една на друга и са свързани чрез сегменти, които съчетават съответните точки на основите. Те се наричат цилиндрови генератори. Всички генератори са успоредни един на друг и равни. Те образуват страничната повърхност на тялото.
Като цяло цилиндърът е наклонено тяло. Ако генераторите образуват прав ъгъл с основите, тогава те вече говорят за права фигура.
Интересното е, че кръговият цилиндър е тяло на революция. Получава се чрез завъртане на правоъгълник около една от страните му.
Основните елементи на цилиндъра
Основните елементи на цилиндъра са както следва.
- Височина. Това е най-краткото разстояние между основите на цилиндъра. Ако е права, тогава височината съвпада с образуващата.
- Радиус. Съвпада с този, който може да се извърши в основата.
- ос. Това е права линия, която съдържа центровете на двете основи. Оста винаги е успоредна на всички генератори. В десен цилиндър тя е перпендикулярна на основите.
- Аксиален разрез. Образува се, когато цилиндърът пресича равнината, съдържаща оста.
- Тангентна равнина. Той минава през един от генераторите и е перпендикулярен на аксиалното сечение, което се изтегля през този генератор.
Как цилиндърът е свързан с призма, вписана в него или описана близо до него?
Понякога има проблеми, при които е необходимо да се изчисли площта на цилиндъра, докато някои елементи на призмата, свързани с него, са известни. Как са свързани тези цифри?
Ако призма е вписана в цилиндър, тогава нейните основи са равни многоъгълници. Освен това те са вписани в съответните основи на цилиндъра. Страничните ръбове на призмата съвпадат с генераторите.
Описаната призма има правилни многоъгълници в основата си. Те са описани близо до кръговете на цилиндъра, които са неговите основи. Равнините, които съдържат лицата на призмата, докосват цилиндъра по протежение на генераторите.
В областта на страничната повърхност и основата за десен кръгъл цилиндър
Ако разгънете страничната повърхност, ще получите правоъгълник. Страните му ще съвпадат с образуващата и обиколката на основата. Следователно страничната площ на цилиндъра ще бъде равна на произведението на тези две количества. Ако напишете формулата, ще получите следното:
S страна \u003d l * n,
където n е образуващата, l е обиколката.
Освен това последният параметър се изчислява по формулата:
l = 2 π*r,
тук r е радиусът на окръжността, π е числото "pi", равно на 3,14.
Тъй като основата е кръг, нейната площ се изчислява с помощта на следния израз:
S главен \u003d π * r 2.
Върху площта на цялата повърхност на десен кръгъл цилиндър
Тъй като се образува от две основи и странична повърхност, тези три количества трябва да се добавят. Тоест, общата площ на цилиндъра ще бъде изчислена по формулата:
S етаж = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .
Често се пише в различна форма:
S етаж = 2 π * r (n + r).
Върху областите на наклонен кръгъл цилиндър
Що се отнася до основите, всички формули са еднакви, защото все още са кръгове. Но страничната повърхност вече не дава правоъгълник.
За да изчислите страничната повърхност на наклонен цилиндър, ще трябва да умножите стойностите на генератора и периметъра на секцията, който ще бъде перпендикулярен на избраната генерираща.
Формулата изглежда така:
S страна \u003d x * P,
където x е дължината на образуващата на цилиндъра, P е периметърът на сечението.
Между другото, напречното сечение е по-добре да изберете такова, че да образува елипса. Тогава изчисленията на неговия периметър ще бъдат опростени. Дължината на елипсата се изчислява по формула, която дава приблизителен отговор. Но често е достатъчно за задачите на училищния курс:
l \u003d π * (a + b),
където "a" и "b" са полуосите на елипсата, тоест разстоянията от центъра до нейните най-близки и най-отдалечени точки.
Площта на цялата повърхност трябва да се изчисли с помощта на следния израз:
S етаж = 2 π * r 2 + x * R.
Какви са някои секции на десен кръгъл цилиндър?
Когато сечението минава през оста, тогава неговата площ се определя като произведението на генератрисата и диаметъра на основата. Това е така, защото има формата на правоъгълник, чиито страни съвпадат с обозначените елементи.
За да намерите площта на напречното сечение на цилиндър, който е успореден на аксиалния, ще ви е необходима и формула за правоъгълник. В тази ситуация едната му страна все още ще съвпада с височината, а другата ще бъде равна на хордата на основата. Последният съвпада с линията на сечението по основата.
Когато сечението е перпендикулярно на оста, тогава изглежда като кръг. Освен това площта му е същата като в основата на фигурата.
Възможно е също да се пресича под някакъв ъгъл спрямо оста. След това в секцията се получава овал или част от него.
Примери за задачи
Задача номер 1.Даден е прав цилиндър, чиято основна площ е 12,56 cm 2. Необходимо е да се изчисли общата площ на цилиндъра, ако височината му е 3 см.
Решение. Необходимо е да се използва формулата за общата площ на кръгъл десен цилиндър. Но липсват данни, а именно радиусът на основата. Но площта на кръга е известна. От него е лесно да се изчисли радиусът.
Оказва се, че е равно на квадратния корен от частното, което се получава чрез разделяне на основната площ на пи. Разделянето на 12,56 на 3,14 е 4. Корен квадратен от 4 е 2. Следователно радиусът ще има тази стойност.
Отговор: S етаж \u003d 50,24 cm 2.
Задача номер 2.Цилиндър с радиус 5 см се отрязва от равнина, успоредна на оста. Разстоянието от секцията до оста е 3 см. Височината на цилиндъра е 4 см. Необходимо е да се намери площта на секцията.
Решение. Формата на секцията е правоъгълна. Едната му страна съвпада с височината на цилиндъра, а другата е равна на хордата. Ако първата стойност е известна, тогава втората трябва да бъде намерена.
За да направите това, трябва да направите допълнителна конструкция. В основата рисуваме два сегмента. И двамата ще започнат от центъра на кръга. Първият ще завършва в центъра на хордата и е равен на известното разстояние до оста. Вторият е в края на акорда.
Получавате правоъгълен триъгълник. В него са известни хипотенузата и един от катетите. Хипотенузата е същата като радиуса. Вторият крак е равен на половината хорда. Неизвестният крак, умножен по 2, ще даде необходимата дължина на акорда. Нека изчислим стойността му.
За да намерите неизвестния катет, трябва да квадратирате хипотенузата и известния катет, да извадите втория от първия и да вземете квадратния корен. Квадратите са 25 и 9. Разликата им е 16. След извличане на корен квадратен остава 4. Това е желаният крак.
Акордът ще бъде равен на 4 * 2 = 8 (см). Сега можете да изчислите площта на напречното сечение: 8 * 4 \u003d 32 (cm 2).
Отговор: S сек е 32 см 2.
Задача номер 3.Необходимо е да се изчисли площта на аксиалното сечение на цилиндъра. Известно е, че в него е вписан куб с ръб 10 см.
Решение. Аксиалното сечение на цилиндъра съвпада с правоъгълник, който минава през четирите върха на куба и съдържа диагоналите на неговите основи. Страната на куба е образуващата на цилиндъра, а диагоналът на основата съвпада с диаметъра. Произведението на тези две количества ще даде площта, която трябва да откриете в задачата.
За да намерите диаметъра, ще трябва да използвате знанието, че основата на куба е квадрат, а диагоналът му образува равностранен правоъгълен триъгълник. Неговата хипотенуза е необходимият диагонал на фигурата.
За да го изчислите, ви е необходима формулата на питагоровата теорема. Трябва да квадратирате страната на куба, да я умножите по 2 и да вземете корен квадратен. Десет на втора степен е сто. Умножено по 2 е двеста. Корен квадратен от 200 е 10√2.
Сечението отново е правоъгълник със страни 10 и 10√2. Площта му е лесно да се изчисли чрез умножаване на тези стойности.
Отговор. S сек \u003d 100√2 см 2.