Матрицата $A^(-1)$ се нарича обратна на квадратната матрица $A$, ако $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, където $E $ е идентичната матрица, чийто ред е равен на реда на матрицата $A$.
Несингулярна матрица е матрица, чиято детерминанта не е равна на нула. Съответно, изродена матрица е тази, чиято детерминанта е равна на нула.
Обратната матрица $A^(-1)$ съществува, ако и само ако матрицата $A$ е неособена. Ако обратната матрица $A^(-1)$ съществува, тогава тя е уникална.
Има няколко начина да намерите обратното на матрица и ще разгледаме два от тях. На тази страница ще разгледаме метода на съчетаната матрица, който се счита за стандартен в повечето курсове по висша математика. Вторият начин за намиране на обратната матрица (метод на елементарните трансформации), който включва използването на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордън, е разгледан във втората част.
Присъединен (обединен) матричен метод
Нека е дадена матрицата $A_(n\times n)$. За да се намери обратната матрица $A^(-1)$, са необходими три стъпки:
- Намерете детерминанта на матрицата $A$ и се уверете, че $\Delta A\neq 0$, т.е. че матрицата A е неизродена.
- Съставете алгебрични допълнения $A_(ij)$ на всеки елемент от матрицата $A$ и запишете матрицата $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ от намереното алгебрични допълнения.
- Напишете обратната матрица, като вземете предвид формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Матрицата $(A^(*))^T$ често се нарича присъединена (взаимна, свързана) матрица на $A$.
Ако решението се взема ръчно, тогава първият метод е добър само за матрици с относително малки порядки: втори (), трети (), четвърти (). За намиране на обратната матрица за матрица от по-висок порядък се използват други методи. Например методът на Гаус, който е разгледан във втората част.
Пример №1
Намерете матрица, обратна на матрицата $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(масив) \вдясно)$.
Тъй като всички елементи на четвъртата колона са равни на нула, тогава $\Delta A=0$ (т.е. матрицата $A$ е изродена). Тъй като $\Delta A=0$, няма матрица, обратна на $A$.
Пример №2
Намерете матрицата, обратна на матрицата $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Използваме метода на съчетаната матрица. Първо, нека намерим детерминанта на дадената матрица $A$:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Тъй като $\Delta A \neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че продължаваме с решението. Намиране на алгебрични допълнения
\begin(подравнен) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(подравнен)
Съставете матрица от алгебрични допълнения: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Транспонирайте получената матрица: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (резултантният матрицата често се нарича присъединена или обединена матрица към матрицата $A$). Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, имаме:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Така че е намерена обратната матрица: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \вдясно) $. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A^(-1)\cdot A=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заменим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ но като $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ край(масив)\вдясно)$:
Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Пример №3
Намерете обратното на матрицата $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.
Нека започнем с изчисляване на детерминанта на матрицата $A$. И така, детерминантата на матрицата $A$ е:
$$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Тъй като $\Delta A\neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че продължаваме с решението. Намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от дадената матрица:
Ние съставяме матрица от алгебрични допълнения и я транспонираме:
$$ A^*=\left(\begin(масив) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, получаваме:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Така че $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A\cdot A^(-1)=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заменим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, но като $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Проверката е премината успешно, обратната матрица $A^(-1)$ е намерена правилно.
Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Пример №4
Намерете матрица, обратна на $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(масив) \вдясно)$.
За матрица от четвърти порядък намирането на обратната матрица с помощта на алгебрични събирания е малко трудно. Такива примери обаче се срещат в контролните работи.
За да намерите обратната матрица, първо трябва да изчислите детерминанта на матрицата $A$. Най-добрият начин да направите това в тази ситуация е да разширите детерминанта в ред (колона). Избираме произволен ред или колона и намираме алгебричното допълнение на всеки елемент от избрания ред или колона.
Нека има квадратна матрица от n-ти ред
Матрицата A -1 се нарича обратна матрицапо отношение на матрицата A, ако A * A -1 = E, където E е идентичната матрица от n-ти ред.
Матрица за идентичност- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, преминаващи от горния ляв ъгъл към долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:
обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици, които имат еднакъв брой редове и колони.
Теорема за условието за съществуване на обратна матрица
За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да е неизродена.
Матрицата A = (A1, A2,...A n) се нарича неизродениако векторите на колоните са линейно независими. Броят на линейно независими вектори на колона на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.
Алгоритъм за намиране на обратната матрица
- Напишете матрицата A в таблицата за решаване на системи от уравнения по метода на Гаус и вдясно (на мястото на десните части на уравненията) й припишете матрица E.
- Използвайки трансформациите на Йордан, приведете матрица A към матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
- Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че матрицата за идентичност E да се получи под матрицата A на оригиналната таблица.
- Напишете обратната матрица A -1, която е в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.
За матрица A намерете обратната матрица A -1
Решение: Записваме матрицата A и отдясно присвояваме матрицата на идентичност E. Използвайки трансформациите на Йордан, намаляваме матрицата A до матрицата на идентичността E. Изчисленията са показани в Таблица 31.1.
Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.
В резултат на умножението на матрицата се получава матрицата за идентичност. Следователно изчисленията са правилни.
Отговор: 
Решение на матрични уравнения
Матричните уравнения могат да изглеждат така:
AX = B, XA = B, AXB = C,
където A, B, C са дадени матрици, X е желаната матрица.
Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по обратни матрици.
Например, за да намерите матрицата от уравнение, трябва да умножите това уравнение по отляво.
Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.
Други уравнения се решават по подобен начин.
Решете уравнението AX = B, ако 
Решение: Тъй като обратното на матрицата е равно (виж пример 1)
Матричен метод в икономическия анализ
Заедно с други те също намират приложение матрични методи. Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за целите на анализа на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се сравни функционирането на организациите и техните структурни подразделения.
В процеса на прилагане на матричните методи за анализ могат да се разграничат няколко етапа.
На първия етапсе извършва формирането на система от икономически показатели и въз основа на нея се съставя матрица от изходни данни, която представлява таблица, в която номерата на системата са показани в отделните й редове (i = 1,2,....,n), а по вертикалните графики - номера на индикаторите (j = 1,2,....,m).
На втория етапза всяка вертикална колона се разкрива най-голямата от наличните стойности на индикаторите, която се приема като единица.
След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-голямата стойност и се формира матрица от стандартизирани коефициенти.
На третия етапвсички компоненти на матрицата са на квадрат. Ако те имат различно значение, тогава на всеки индикатор на матрицата се присвоява определен коефициент на тежест к. Стойността на последния се определя от експерт.
На последния четвърти етапнамерени стойности на оценките Rjгрупирани в ред на нарастване или намаляване.
Горните матрични методи трябва да се използват, например, при сравнителен анализ на различни инвестиционни проекти, както и при оценка на други показатели за икономическа ефективност на организациите.
Определение 1:Матрицата се нарича изродена, ако нейният детерминант е нула.
Определение 2:Матрицата се нарича неособена, ако нейният детерминант не е равен на нула.
Матрицата "А" се нарича обратна матрица, ако условието A*A-1 = A-1 *A = E (матрица за идентичност) е изпълнено.
Квадратната матрица е обратима само ако е неособена.
Схема за изчисляване на обратната матрица:
1) Изчислете детерминантата на матрицата "A", ако ∆ A = 0, тогава обратната матрица не съществува.
2) Намерете всички алгебрични допълнения на матрицата "A".
3) Съставете матрица от алгебрични допълнения (Aij)
4) Транспониране на матрицата на алгебричните допълнения (Aij )T
5) Умножете транспонираната матрица по реципрочната стойност на детерминантата на тази матрица.
6) Извършете проверка:
На пръв поглед може да изглежда, че е трудно, но всъщност всичко е много просто. Всички решения се основават на прости аритметични операции, основното при решаването е да не се бъркате със знаците "-" и "+" и да не ги губите.
А сега нека заедно с вас решим практическа задача, като изчислим обратната матрица.
Задача: намерете обратната матрица "A", показана на снимката по-долу:
1. Първото нещо, което трябва да направите, е да намерите детерминанта на матрицата "A":
Обяснение:
Опростихме нашата детерминанта, използвайки нейните основни функции. Първо добавихме към 2-ри и 3-ти ред елементите от първия ред, умножени по едно число.
Второ, променихме 2-ра и 3-та колона на детерминантата и според нейните свойства сменихме знака пред нея.
Трето, извадихме общия фактор (-1) на втория ред, като по този начин отново променихме знака и той стана положителен. Ние също така опростихме ред 3 по същия начин, както в самото начало на примера.
Имаме триъгълен детерминант, в който елементите под диагонала са равни на нула, а по свойство 7 той е равен на произведението на елементите на диагонала. В резултат на това получихме ∆ A = 26, следователно обратната матрица съществува.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1 * (9 + 2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Следващата стъпка е съставяне на матрица от получените допълнения:
5. Умножаваме тази матрица по реципрочната стойност на детерминанта, тоест по 1/26:
6. Е, сега просто трябва да проверим:
По време на проверката получихме матрица за идентичност, следователно решението беше взето абсолютно правилно.
2 начин за изчисляване на обратната матрица.
1. Елементарно преобразуване на матрици
2. Обратна матрица чрез елементарен преобразувател.
Елементарната матрична трансформация включва:
1. Умножаване на низ по ненулево число.
2. Добавяне към произволен ред от друг ред, умножено по число.
3. Размяна на редовете на матрицата.
4. Прилагайки верига от елементарни трансформации, получаваме друга матрица.
НО -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2. А -1*A=E
Нека да разгледаме това на практичен пример с реални числа.
Упражнение:Намерете обратната матрица.
решение:
Да проверим:
Малко уточнение относно решението:
Първо сменихме редове 1 и 2 от матрицата, след което умножихме първия ред по (-1).
След това първият ред беше умножен по (-2) и добавен към втория ред на матрицата. След това умножихме 2-рия ред по 1/4.
Последният етап на трансформацията беше умножението на втория ред по 2 и добавянето от първия. В резултат на това имаме идентична матрица отляво, следователно обратната матрица е матрицата отдясно.
След проверка се убедихме в правилността на решението.
Както можете да видите, изчисляването на обратната матрица е много просто.
В заключение на тази лекция бих искал да отделя малко време на свойствата на такава матрица.
Помислете за проблема за дефиниране на операцията, обратна на умножението на матрицата.
Нека A е квадратна матрица от порядък n. Матрица A^(-1) , която заедно с дадената матрица A удовлетворява следните равенства:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
Наречен обратен. Матрицата А се нарича обратимо, ако има обратен за него, в противен случай - необратими.
От дефиницията следва, че ако съществува обратна матрица A^(-1), тогава тя е квадратна от същия ред като A . Въпреки това, не всяка квадратна матрица има обратна. Ако детерминантата на матрица A е равна на нула (\det(A)=0) , тогава няма обратна за нея. Действително, прилагайки теоремата за детерминантата на произведението на матриците за идентичната матрица E=A^(-1)A, получаваме противоречие
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
тъй като детерминантът на матрицата за идентичност е равен на 1. Оказва се, че разликата от нула на детерминанта на квадратна матрица е единственото условие за съществуването на обратна матрица. Припомнете си, че квадратна матрица, чиято детерминанта е равна на нула, се нарича изродена (единствена), в противен случай - неособена (неособена).
Теорема 4.1 за съществуването и единствеността на обратната матрица. квадратна матрица A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), чиято детерминанта не е нула, има обратна матрица и освен това само една:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
където A^(+) е матрицата, транспонирана за матрицата, съставена от алгебричните допълнения на елементите на матрицата A.
Матрицата A^(+) се нарича прикачена матрицапо отношение на матрицата A .
Наистина, матрицата \frac(1)(\det(A))\,A^(+)съществува при условието \det(A)\ne0 . Трябва да покажем, че е обратен на A , т.е. отговаря на две условия:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(подравнен)
Нека докажем първото равенство. Съгласно т. 4 от Забележки 2.3 от свойствата на детерминанта следва, че AA^(+)=\det(A)\cdot E. Така
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
което трябваше да се покаже. Второто равенство се доказва по подобен начин. Следователно, при условие \det(A)\ne0, матрицата A има обратна
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Доказваме уникалността на обратната матрица чрез противоречие. Нека освен матрицата A^(-1) съществува още една обратна матрица B\,(B\ne A^(-1)) такава, че AB=E . Умножавайки двете страни на това равенство вляво по матрицата A^(-1) , получаваме \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Следователно B=A^(-1) , което противоречи на предположението B\ne A^(-1) . Следователно обратната матрица е уникална.
Забележки 4.1
1. От определението следва, че матриците A и A^(-1) са пермутируеми.
2. Матрицата, обратна на неизродена диагонал, също е диагонална:
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.
3. Матрицата, обратна на недегенерирана долна (горна) триъгълна матрица, е долна (горна) триъгълна.
4. Елементарните матрици имат обратни, които също са елементарни (виж т. 1 от Забележки 1.11).
Свойства на обратната матрица
Операцията за инверсия на матрицата има следните свойства:
\begin(подравнен)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \удебелен(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(подравнен)
ако операциите, посочени в равенства 1-4, имат смисъл.
Нека докажем свойство 2: ако произведението AB на неособени квадратни матрици от същия ред има обратна матрица, тогава (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
Всъщност детерминантата на произведението на матрици AB не е равна на нула, тъй като
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), където \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Следователно обратната матрица (AB)^(-1) съществува и е уникална. Нека покажем по дефиниция, че матрицата B^(-1)A^(-1) е обратна по отношение на матрицата AB . Наистина ли.
Намиране на обратната матрица- проблем, който най-често се решава по два метода:
- методът на алгебричните събирания, при който се изисква намиране на детерминанти и транспонирани матрици;
- Гаусово елиминиране на неизвестни, което изисква елементарни трансформации на матрици (добавяне на редове, умножение на редове по едно и също число и т.н.).
За тези, които са особено любопитни, има и други методи, например методът на линейните трансформации. В този урок ще анализираме трите споменати метода и алгоритмите за намиране на обратната матрица чрез тези методи.
обратна матрица НО, такава матрица се нарича
НО
. (1)
обратна матрица , което се изисква да се намери за дадена квадратна матрица НО, такава матрица се нарича
продуктът, чрез който матриците НОвдясно е матрицата за идентичност, т.е.
. (1)
Матрицата за идентичност е диагонална матрица, в която всички диагонални записи са равни на единица.
Теорема.За всяка неособена (неизродена, неособена) квадратна матрица може да се намери обратна матрица и освен това само една. За специална (изродена, единична) квадратна матрица обратната матрица не съществува.
Квадратната матрица се нарича неспециални(или неизродени, неединствено число) ако неговият детерминант не е равен на нула, и специален(или изродени, единствено число), ако неговият детерминант е нула.
Обратната матрица може да се намери само за квадратна матрица. Естествено, обратната матрица също ще бъде квадратна и от същия ред като дадената матрица. Матрица, за която може да се намери обратна матрица, се нарича обратима матрица.
За обратна матрица има подходяща аналогия с реципрочната стойност на числото. За всяко число а, което не е равно на нула, съществува число бче работата аи бравно на едно: аб= 1 . номер бсе нарича обратно число на число б. Например за числото 7 обратното е числото 1/7, тъй като 7*1/7=1.
Намиране на обратната матрица по метода на алгебричните събирания (матрица на съюза)
За неособена квадратна матрица НОобратната е матрицата
където е детерминантата на матрицата НО, а е матрицата, свързана с матрицата НО.
Съвместен с квадратна матрица Ае матрица от същия ред, чиито елементи са алгебричните допълнения на съответните елементи на детерминантата на матрицата, транспонирана спрямо матрицата A. Така, ако
тогава 
и 
Алгоритъм за намиране на обратната матрица по метода на алгебричните събирания
1. Намерете детерминанта на тази матрица А. Ако детерминантата е равна на нула, намирането на обратната матрица спира, тъй като матрицата е изродена и за нея няма обратна.
2. Намерете матрица, транспонирана спрямо А.
3. Изчислете елементите на матрицата на съюза като алгебрични допълнения на маритата, намерени в стъпка 2.
4. Приложете формула (2): умножете реципрочната стойност на детерминантата на матрицата А, към матрицата на съюза, намерена в стъпка 4.
5. Проверете резултата, получен в стъпка 4, като умножите тази матрица Акъм обратната матрица. Ако продуктът на тези матрици е равен на матрицата за идентичност, тогава обратната матрица е намерена правилно. В противен случай започнете процеса на решение отново.
Пример 1За матрица
намерете обратната матрица.
Решение. За да се намери обратната матрица, е необходимо да се намери детерминантата на матрицата НО. По правилото на триъгълниците намираме:
Следователно, матрицата НОе неособен (неизроден, неособен) и има обратен за него.
Нека намерим матрицата, свързана с дадената матрица НО.
Нека намерим матрицата, транспонирана по отношение на матрицата А:
Ние изчисляваме елементите на матрицата на съюза като алгебрични допълнения на матрицата, транспонирана по отношение на матрицата А:
Следователно, матрицата е конюгирана с матрицата А, има формата
Коментирайте.Редът на изчисляване на елементите и транспонирането на матрицата може да бъде различен. Човек може първо да изчисли алгебричните допълнения на матрицата Аи след това транспонирайте матрицата на алгебричните допълнения. Резултатът трябва да бъде същите елементи от матрицата на съюза.
Прилагайки формула (2), намираме матрицата, обратна на матрицата НО:
Намиране на обратната матрица чрез гаусово елиминиране на неизвестните
Първата стъпка за намиране на обратната матрица чрез елиминиране на Гаус е да присвоите на матрицата Аидентична матрица от същия ред, като ги разделя с вертикална черта. Получаваме двойна матрица. Умножете двете части на тази матрица по , След което получаваме
,
Алгоритъм за намиране на обратната матрица чрез гаусово елиминиране на неизвестни
1. Към матрицата Азадайте матрица на идентичност от същия ред.
2. Трансформирайте получената двойна матрица, така че матрицата за идентичност да се получи в лявата й част, след което обратната матрица автоматично ще бъде получена в дясната част на мястото на матрицата за идентичност. Матрица Аот лявата страна се преобразува в идентичната матрица чрез елементарни трансформации на матрицата.
2. Ако в процес на матрична трансформация Ав матрицата за идентичност във всеки ред или във всяка колона ще има само нули, тогава детерминантът на матрицата е равен на нула и, следователно, матрицата Аще бъде изродено и няма обратна матрица. В този случай по-нататъшното намиране на обратната матрица спира.
Пример 2За матрица
намерете обратната матрица.
и ще го трансформираме така, че матрицата за идентичност да се получи от лявата страна. Да започнем трансформацията.
Умножете първия ред на лявата и дясната матрица по (-3) и го добавете към втория ред, а след това умножете първия ред по (-4) и го добавете към третия ред, след което получаваме
.
Така че, ако е възможно, да няма дробни числа по време на следващите трансформации, първо ще създадем единица във втория ред от лявата страна на двойната матрица. За да направите това, умножете втория ред по 2 и извадете третия ред от него, след което получаваме
.
Нека добавим първия ред към втория и след това умножим втория ред по (-9) и го добавим към третия ред. Тогава получаваме
.
След това разделете третия ред на 8
.
Умножете третия ред по 2 и го добавете към втория ред. Оказва се:
.
Разменяйки местата на втория и третия ред, накрая получаваме:
.
Виждаме, че матрицата за идентичност се получава от лявата страна, следователно обратната матрица се получава от дясната страна. По този начин:
.
Можете да проверите правилността на изчисленията, като умножите оригиналната матрица по намерената обратна матрица:
Резултатът трябва да бъде обратна матрица.
Пример 3За матрица
намерете обратната матрица.
Решение. Съставяне на двойна матрица
и ние ще го трансформираме.
Умножаваме първия ред по 3, а втория по 2 и изваждаме от втория, а след това умножаваме първия ред по 5, а третия по 2 и изваждаме от третия ред, след което получаваме
.
Умножаваме първия ред по 2 и го добавяме към втория, а след това изваждаме втория от третия ред, след което получаваме
.
Виждаме, че в третия ред от лявата страна всички елементи се оказаха равни на нула. Следователно матрицата е изродена и няма обратна матрица. Спираме по-нататъшното намиране на обратната мария.