Питагоровата теорема е извеждането на формулата. Питагоровата теорема: предистория, доказателства, примери за практическо приложение

В едно можете да сте сигурни сто процента, че на въпроса какъв е квадратът на хипотенузата, всеки възрастен ще отговори смело: "Сборът от квадратите на краката." Тази теорема е здраво засадена в умовете на всеки образован човек, но е достатъчно само да помолите някой да я докаже и тогава могат да възникнат трудности. Затова нека си спомним и разгледаме различни начини за доказване на питагоровата теорема.

Кратък преглед на биографията

Питагоровата теорема е позната на почти всички, но по някаква причина биографията на човека, който я е създал, не е толкова популярна. Ние ще го оправим. Ето защо, преди да изучавате различните начини за доказване на питагоровата теорема, трябва накратко да се запознаете с неговата личност.

Питагор - философ, математик, мислител, родом от Днес е много трудно да се разграничи неговата биография от легендите, които са се развили в памет на този велик човек. Но както следва от писанията на неговите последователи, Питагор от Самос е роден на остров Самос. Баща му е бил обикновен каменорезец, но майка му е от знатно семейство.

Според легендата раждането на Питагор е предсказано от жена на име Пития, в чиято чест е кръстено момчето. Според нейното предсказание, роденото момче трябвало да донесе много ползи и добрини на човечеството. Което всъщност е и направил.

Раждането на теорема

В младостта си Питагор се премества в Египет, за да се срещне с известните египетски мъдреци там. След среща с тях той е приет да учи, където научава всички големи постижения на египетската философия, математика и медицина.

Вероятно именно в Египет Питагор е вдъхновен от величието и красотата на пирамидите и създава великата си теория. Това може да шокира читателите, но съвременните историци смятат, че Питагор не е доказал своята теория. Но той само предал знанията си на своите последователи, които по-късно завършили всички необходими математически изчисления.

Както и да е, днес не е известна една техника за доказване на тази теорема, а няколко наведнъж. Днес можем само да гадаем как точно древните гърци са правили своите изчисления, така че тук ще разгледаме различни начини за доказване на питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Преди да започнете каквито и да е изчисления, трябва да разберете коя теория да докажете. Питагоровата теорема звучи така: „В триъгълник, в който един от ъглите е 90 o, сумата от квадратите на катета е равна на квадрата на хипотенузата“.

Има общо 15 различни начина за доказване на Питагоровата теорема. Това е доста голям брой, така че нека обърнем внимание на най-популярните от тях.

Метод първи

Нека първо дефинираме какво имаме. Тези данни ще се прилагат и за други начини за доказване на питагоровата теорема, така че трябва незабавно да запомните всички налични обозначения.

Да предположим, че е даден правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза, равни на c. Първият метод за доказване се основава на факта, че квадратът трябва да бъде начертан от правоъгълен триъгълник.

За да направите това, трябва да начертаете сегмент, равен на крака в дължината на крака a и обратно. Така че трябва да се получат две равни страни на квадрата. Остава само да нарисувате две успоредни линии и квадратът е готов.

Вътре в получената фигура трябва да нарисувате друг квадрат със страна, равна на хипотенузата на оригиналния триъгълник. За да направите това, от върховете ac и sv, трябва да начертаете два успоредни сегмента, равни на c. Така получаваме три страни на квадрата, едната от които е хипотенузата на оригиналния правоъгълен триъгълник. Остава само да нарисуваме четвъртия сегмент.

Въз основа на получената фигура можем да заключим, че площта на външния квадрат е (a + b) 2. Ако погледнете вътре във фигурата, можете да видите, че освен вътрешния квадрат, тя има четири правоъгълни триъгълника. Площта на всеки е 0,5 пр.

Следователно площта е: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

Следователно (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

И следователно с 2 \u003d a 2 + в 2

Теоремата е доказана.

Метод втори: подобни триъгълници

Тази формула за доказателство на питагоровата теорема е получена въз основа на твърдение от раздела по геометрия за подобни триъгълници. Той казва, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална на неговата хипотенуза и отсечката на хипотенузата, произлизаща от върха на ъгъл от 90 o.

Първоначалните данни остават същите, така че нека започнем веднага с доказателството. Нека начертаем отсечка CD, перпендикулярна на страната AB. Въз основа на горното твърдение, краката на триъгълниците са равни:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

За да се отговори на въпроса как да се докаже питагоровата теорема, доказателството трябва да се постави чрез квадратура на двете неравенства.

AC 2 \u003d AB * HELL и SV 2 = AB * DV

Сега трябва да добавим получените неравенства.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), където AD + DV = AB

Оказва се, че:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

И следователно:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Доказателството на питагоровата теорема и различните начини за нейното решаване изискват универсален подход към този проблем. Тази опция обаче е една от най-простите.

Друг метод за изчисление

Описанието на различни начини за доказване на Питагоровата теорема може да не каже нищо, докато не започнете да практикувате сами. Много методи включват не само математически изчисления, но и изграждане на нови фигури от оригиналния триъгълник.

В този случай е необходимо да завършите друг правоъгълен триъгълник VSD от крака на самолета. По този начин сега има два триъгълника с общ катет BC.

Знаейки, че площите на подобни фигури имат съотношение като квадратите на техните подобни линейни размери, тогава:

S avs * s 2 - S avd * в 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (от 2 до 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

от 2 до 2 = 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

Тъй като тази опция едва ли е подходяща от различни методи за доказване на Питагоровата теорема за 8 клас, можете да използвате следната техника.

Най-лесният начин за доказване на питагоровата теорема. Отзиви

Историците смятат, че този метод е използван за първи път за доказване на теорема в древна Гърция. Това е най-простото, тъй като не изисква абсолютно никакви изчисления. Ако нарисувате правилно картина, тогава доказателството на твърдението, че a 2 + b 2 \u003d c 2 ще бъде ясно видимо.

Условията за този метод ще бъдат малко по-различни от предишния. За да докажем теоремата, да предположим, че правоъгълният триъгълник ABC е равнобедрен.

Вземаме хипотенузата AC като страна на квадрата и начертаваме трите му страни. Освен това е необходимо да нарисувате две диагонални линии в получения квадрат. Така че вътре в него получавате четири равнобедрени триъгълника.

Към краката AB и CB също трябва да нарисувате квадрат и да нарисувате по една диагонална линия във всеки от тях. Начертаваме първата линия от връх A, втората - от C.

Сега трябва внимателно да разгледате получената снимка. Тъй като върху хипотенузата AC има четири триъгълника, равни на първоначалния, и два на катета, това показва истинността на тази теорема.

Между другото, благодарение на този метод за доказване на питагоровата теорема се роди известната фраза: „Питагорейските панталони са равни във всички посоки“.

Доказателство от Дж. Гарфийлд

Джеймс Гарфийлд е 20-ият президент на Съединените американски щати. Освен че остави своя отпечатък в историята като владетел на Съединените щати, той беше и надарен самоук.

В началото на кариерата си той е обикновен учител в народно училище, но скоро става директор на едно от висшите учебни заведения. Желанието за саморазвитие му позволи да предложи нова теория за доказателство на питагоровата теорема. Теоремата и пример за нейното решение са както следва.

Първо трябва да нарисувате два правоъгълни триъгълника върху лист хартия, така че кракът на един от тях да е продължение на втория. Върховете на тези триъгълници трябва да бъдат свързани, за да се получи трапец.

Както знаете, площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височина.

S=a+b/2 * (a+b)

Ако разгледаме получения трапец като фигура, състояща се от три триъгълника, тогава неговата площ може да се намери, както следва:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Сега трябва да изравним двата оригинални израза

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

Може да се напише повече от един том от учебник за питагоровата теорема и как да се докаже. Но има ли смисъл, когато това знание не може да се приложи на практика?

Практическо приложение на Питагоровата теорема

За съжаление, съвременните училищни програми предвиждат използването на тази теорема само в геометрични задачи. Завършилите скоро ще напуснат стените на училището, без да знаят как могат да приложат знанията и уменията си на практика.

Всъщност всеки може да използва питагоровата теорема в ежедневието си. И не само в професионалните дейности, но и в обикновените домакински задължения. Нека разгледаме няколко случая, когато теоремата на Питагор и методите за нейното доказателство могат да бъдат изключително необходими.

Връзка на теоремата и астрономията

Изглежда как звездите и триъгълниците могат да бъдат свързани на хартия. Всъщност астрономията е научна област, в която Питагоровата теорема се използва широко.

Например, помислете за движението на светлинен лъч в пространството. Знаем, че светлината се движи в двете посоки с еднаква скорост. Наричаме траекторията AB, по която се движи светлинният лъч л. И половината от времето, необходимо на светлината да стигне от точка А до точка Б, нека се обадим т. И скоростта на лъча - ° С. Оказва се, че: c*t=l

Ако погледнете същия този лъч от друга равнина, например от космическа обшивка, която се движи със скорост v, тогава при такова наблюдение на телата скоростта им ще се промени. В този случай дори неподвижните елементи ще се движат със скорост v в обратна посока.

Да кажем, че комичният лайнер плава вдясно. Тогава точки A и B, между които лъчът се втурва, ще се преместят наляво. Освен това, когато лъчът се движи от точка A до точка B, точка A има време да се премести и съответно светлината вече ще пристигне в нова точка C. За да намерите половината от разстоянието, което точка A е изместила, трябва да умножите скорост на облицовката с половината от времето на движение на гредата (t ").

И за да разберете колко далеч може да пътува лъч светлина през това време, трябва да обозначите половината път на новия бук и да получите следния израз:

Ако си представим, че точките на светлината C и B, както и пространствената линия, са върховете на равнобедрен триъгълник, тогава отсечката от точка A до линията ще го раздели на два правоъгълни триъгълника. Следователно, благодарение на Питагоровата теорема, можете да намерите разстоянието, което може да измине един лъч светлина.

Този пример, разбира се, не е най-успешният, тъй като само малцина могат да имат късмета да го изпробват на практика. Следователно ние разглеждаме по-обикновени приложения на тази теорема.

Обхват на предаване на мобилен сигнал

Съвременният живот вече не може да се представи без съществуването на смартфони. Но колко биха били полезни, ако не можеха да свързват абонати чрез мобилни комуникации?!

Качеството на мобилните комуникации директно зависи от височината, на която се намира антената на мобилния оператор. За да изчислите колко далеч от мобилна кула телефонът може да получи сигнал, можете да приложите питагоровата теорема.

Да кажем, че трябва да намерите приблизителната височина на неподвижна кула, така че да може да разпространява сигнал в радиус от 200 километра.

AB (височина на кулата) = x;

BC (радиус на предаване на сигнала) = 200 km;

OS (радиус на земното кълбо) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Прилагайки теоремата на Питагор, установяваме, че минималната височина на кулата трябва да бъде 2,3 километра.

Питагоровата теорема в ежедневието

Колкото и да е странно, питагоровата теорема може да бъде полезна дори в ежедневни въпроси, като например определяне на височината на килера. На пръв поглед няма нужда да използвате такива сложни изчисления, защото можете просто да направите измервания с ролетка. Но мнозина са изненадани защо възникват определени проблеми по време на процеса на сглобяване, ако всички измервания са направени повече от точно.

Факт е, че гардеробът се сглобява в хоризонтално положение и едва след това се издига и се монтира до стената. Следователно страничната стена на шкафа в процеса на повдигане на конструкцията трябва свободно да преминава както по височина, така и по диагонал на стаята.

Да предположим, че има гардероб с дълбочина 800 мм. Разстояние от пода до тавана - 2600 мм. Опитен производител на мебели ще каже, че височината на шкафа трябва да бъде 126 мм по-малка от височината на стаята. Но защо точно 126 мм? Нека да разгледаме един пример.

С идеални размери на шкафа, нека проверим действието на питагоровата теорема:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 = 2600 mm - всичко се сближава.

Да кажем, че височината на шкафа не е 2474 мм, а 2505 мм. Тогава:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Следователно този шкаф не е подходящ за монтаж в тази стая. Тъй като при повдигането му във вертикално положение може да се причини увреждане на тялото му.

Може би, като разгледахме различни начини за доказване на питагоровата теорема от различни учени, можем да заключим, че тя е повече от вярна. Сега можете да използвате получената информация в ежедневието си и да сте напълно сигурни, че всички изчисления ще бъдат не само полезни, но и правилни.

Когато за първи път започнахте да изучавате квадратни корени и как да решавате ирационални уравнения (равенства, съдържащи неизвестно под знака на корена), вероятно сте получили първата идея за практическата му употреба. Възможността за извличане на корен квадратен от числата също е необходима за решаване на задачи по прилагането на питагоровата теорема. Тази теорема свързва дължините на страните на всеки правоъгълен триъгълник.

Нека дължините на краката на правоъгълния триъгълник (тези две страни, които се събират под прав ъгъл) се обозначават с буквите и , а дължината на хипотенузата (най-дългата страна на триъгълника, разположена срещу правия ъгъл) ще бъде обозначена чрез писмото. Тогава съответните дължини са свързани със следната връзка:

Това уравнение ви позволява да намерите дължината на страната на правоъгълен триъгълник в случай, че дължината на другите му две страни е известна. Освен това ви позволява да определите дали разглежданият триъгълник е правоъгълен, при условие че дължините и на трите страни са известни предварително.

Решаване на задачи с помощта на питагоровата теорема

За да затвърдим материала, ще решим следните задачи за приложението на питагоровата теорема.

Така дадено:

Дължината на един от краката е 48, хипотенузата е 80.
Дължината на катета е 84, хипотенузата е 91.

Нека да стигнем до решението:

а) Заместването на данните в уравнението по-горе дава следните резултати:

48 2 + б 2 = 80 2

2304 + б 2 = 6400

б 2 = 4096

б= 64 или б = -64

Тъй като дължината на страната на триъгълник не може да бъде изразена като отрицателно число, втората опция автоматично се отхвърля.

Отговор на първата снимка: б = 64.

б) Дължината на катета на втория триъгълник се намира по същия начин:

84 2 + б 2 = 91 2

7056 + б 2 = 8281

б 2 = 1225

б= 35 или б = -35

Както и в предишния случай, отрицателното решение се изхвърля.

Отговор на втората снимка: б = 35

Дадено ни е:

Дължините на по-малките страни на триъгълника са съответно 45 и 55, а по-големите са 75.
Дължините на по-малките страни на триъгълника са съответно 28 и 45, а по-големите са 53.

Ние решаваме проблема:

а) Необходимо е да се провери дали сумата от квадратите на дължините на по-малките страни на даден триъгълник е равна на квадрата от дължината на по-големия:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Следователно първият триъгълник не е правоъгълен триъгълник.

б) Извършва се същата операция:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Следователно вторият триъгълник е правоъгълен триъгълник.

Първо, намерете дължината на най-големия сегмент, образуван от точки с координати (-2, -3) и (5, -2). За да направим това, използваме добре познатата формула за намиране на разстоянието между точките в правоъгълна координатна система:

По същия начин намираме дължината на отсечката, затворена между точките с координати (-2, -3) и (2, 1):

Накрая определяме дължината на отсечката между точките с координати (2, 1) и (5, -2):

Тъй като има равенство:

тогава съответният триъгълник е правоъгълен триъгълник.

По този начин можем да формулираме отговора на задачата: тъй като сумата от квадратите на страните с най-къса дължина е равна на квадрата на страната с най-голяма дължина, точките са върховете на правоъгълен триъгълник.

Основата (разположена строго хоризонтално), ъгълът (разположен строго вертикално) и кабелът (опънат диагонално) образуват съответно правоъгълен триъгълник, теоремата на Питагор може да се използва за намиране на дължината на кабела:

По този начин дължината на кабела ще бъде приблизително 3,6 метра.

Дадено: разстоянието от точка R до точка P (катета на триъгълника) е 24, от точка R до точка Q (хипотенуза) - 26.

И така, ние помагаме на Витя да реши проблема. Тъй като страните на триъгълника, показани на фигурата, трябва да образуват правоъгълен триъгълник, можете да използвате питагоровата теорема, за да намерите дължината на третата страна:

И така, ширината на езерото е 10 метра.

Сергей Валериевич

ИЗМЕРВАНЕ НА ПЛОЩАТА НА ГЕОМЕТРИЧНИТЕ ФИГУРИ.

§ 58. ТЕОРЕМАТА НА ПИТАГОР 1 .

__________
1 Питагор е гръцки учен, живял преди около 2500 години (564-473 г. пр. н. е.).
_________

Нека е даден правоъгълен триъгълник, чиито страни но, бИ от(разработка 267).

Нека построим квадрати от страните му. Площите на тези квадрати са съответно но 2 , б 2 и от 2. Нека докажем това от 2 = а 2 +b 2 .

Нека построим два квадрата MKOR и M"K"O"R" (фиг. 268, 269), като вземем за страна на всеки от тях отсечка, равна на сбора от катетите на правоъгълен триъгълник ABC.

След като завършихме конструкциите, показани на чертежи 268 и 269 в тези квадрати, ще видим, че квадратът MKOR е разделен на два квадрата с площи но 2 и б 2 и четири равни правоъгълни триъгълника, всеки от които е равен на правоъгълен триъгълник ABC. Квадратът M"K"O"R" е разделен на четириъгълник (той е защрихован на чертеж 269) и четири правоъгълни триъгълника, всеки от които също е равен на триъгълника ABC. Защрихованият четириъгълник е квадрат, тъй като страните му са равни (всяка е равна на хипотенузата на триъгълника ABC, т.е. от) и ъглите са прави / 1 + / 2 = 90°, откъдето / 3 = 90°).

По този начин сумата от площите на квадратите, изградени върху краката (в чертеж 268 тези квадрати са защриховани) е равна на площта на квадрата MKOR без сумата от площите на четири равни триъгълника и площта на Квадратът, изграден върху хипотенузата (в чертеж 269 този квадрат също е защрихован) е равен на площта на квадрата M "K" O "R", равен на квадрата на MKOR, без сумата от площите на четири от еднакви триъгълници. Следователно площта на квадрата, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката.

Получаваме формулата от 2 = а 2 +b 2, където от- хипотенуза, ноИ б- катета на правоъгълен триъгълник.

Питагоровата теорема може да бъде обобщена по следния начин:

Квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на катета.

От формулата от 2 = а 2 +b 2 можете да получите следните формули:

но 2 = от 2 - б 2 ;
б 2 = от 2 - но 2 .

Тези формули могат да се използват за намиране на неизвестната страна на правоъгълен триъгълник, като се имат предвид две от неговите страни.
Например:

а) ако са дадени крака но= 4 см, б\u003d 3 см, тогава можете да намерите хипотенузата ( от):
от 2 = а 2 +b 2 , т.е. от 2 = 4 2 + 3 2 ; с 2 = 25, откъдето от= √25 =5 (см);

б) ако е дадена хипотенузата от= 17 см и крак но= 8 см, тогава можете да намерите друг крак ( б):

б 2 = от 2 - но 2 , т.е. б 2 = 17 2 - 8 2 ; б 2 = 225, откъдето б= √225 = 15 (см).

Последица: Ако в два правоъгълни триъгълника ABC и A 1 B 1 C 1 хипотенуза отИ от 1 са равни, а кракът бтриъгълник ABC е по-голям от катета б 1 триъгълник A 1 B 1 C 1,
след това кракът нотриъгълник ABC по-малък от катета но 1 триъгълник A 1 B 1 C 1 . (Направете чертеж, илюстриращ това следствие.)

Всъщност, въз основа на питагоровата теорема, получаваме:

но 2 = от 2 - б 2 ,
но 1 2 = от 1 2 - б 1 2

В написаните формули минусите са равни, а изваждането в първата формула е по-голямо от изважданото във втората формула, следователно първата разлика е по-малка от втората,
т.е. но 2 < но 12 . Където но< но 1 .

Упражнения.

1. Използвайки чертеж 270, докажете теоремата на Питагор за равнобедрен правоъгълен триъгълник.

2. Единият катет на правоъгълен триъгълник е 12 см, другият е 5 см. Изчислете дължината на хипотенузата на този триъгълник.

3. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 см, единият катет е 8 см. Изчислете дължината на другия катет на този триъгълник.

4. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 37 см, единият му катет е 35 см. Изчислете дължината на другия катет на този триъгълник.

5. Конструирайте квадрат, два пъти по-голям от площта на дадения.

6. Построете квадрат, удвоен по площ от дадения. Инструкция.Начертайте диагонали в този квадрат. Квадратите, изградени върху половинките на тези диагонали, ще бъдат желаните.

7. Катетите на правоъгълен триъгълник са съответно 12 см и 15 см. Изчислете дължината на хипотенузата на този триъгълник с точност до 0,1 см.

8. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 20 см, единият му катет е 15 см. Изчислете дължината на другия катет с точност до 0,1 см.

9. Колко дълга трябва да бъде стълбата, за да може да се прикрепи към прозорец, намиращ се на височина 6 м, ако долният край на стълбата трябва да е на 2,5 м от сградата? (По дяволите. 271.)

Потенциалът за творчество обикновено се приписва на хуманитарните науки, оставяйки естественонаучния анализ, практическия подход и сухия език на формулите и числата. Математиката не може да бъде класифицирана като хуманитарни науки. Но без творчество в "кралицата на всички науки" няма да стигнете далеч - хората знаят за това от дълго време. От времето на Питагор например.

Училищните учебници, за съжаление, обикновено не обясняват, че в математиката е важно не само да се тъпчат теореми, аксиоми и формули. Важно е да разберете и почувствате основните му принципи. И в същото време се опитайте да освободите ума си от клишета и елементарни истини – само в такива условия се раждат всички велики открития.

Такива открития включват това, което днес познаваме като Питагоровата теорема. С негова помощ ще се опитаме да покажем, че математиката не само може, но и трябва да бъде забавна. И че това приключение е подходящо не само за маниаци с дебели очила, а за всички, които са силни духом и силни духом.

От историята на въпроса

Строго погледнато, въпреки че теоремата се нарича "Питагорова теорема", самият Питагор не я е открил. Правоъгълният триъгълник и неговите специални свойства са изследвани много преди него. Има две полярни гледни точки по този въпрос. Според една от версиите Питагор е първият, който намира пълно доказателство на теоремата. Според друго доказателството не принадлежи на авторството на Питагор.

Днес вече не можете да проверите кой е прав и кой крив. Известно е само, че доказателството на Питагор, ако някога е съществувало, не е оцеляло. Има обаче предположения, че известното доказателство от Елементите на Евклид може да принадлежи на Питагор и Евклид само го е записал.

Днес е известно също, че проблемите за правоъгълния триъгълник се срещат в египетски източници от времето на фараона Аменемхет I, върху вавилонските глинени плочки от управлението на цар Хамурапи, в древноиндийския трактат Сулва сутра и древнокитайското произведение Джоу -би суан джин.

Както можете да видите, питагоровата теорема е занимавала умовете на математиците от древни времена. Приблизително 367 различни доказателства, които съществуват днес, служат като потвърждение. Никоя друга теорема не може да се конкурира с нея в това отношение. Известни автори на доказателства включват Леонардо да Винчи и 20-ият президент на Съединените щати Джеймс Гарфийлд. Всичко това говори за изключителната важност на тази теорема за математиката: повечето от геометричните теореми са извлечени от нея или по един или друг начин са свързани с нея.

Доказателства на Питагоровата теорема

Училищните учебници дават предимно алгебрични доказателства. Но същността на теоремата е в геометрията, така че нека първо разгледаме онези доказателства на известната теорема, които се основават на тази наука.

Доказателство 1

За най-простото доказателство на Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник трябва да зададете идеални условия: нека триъгълникът да бъде не само правоъгълен, но и равнобедрен. Има основание да се смята, че именно такъв триъгълник е бил първоначално разглеждан от древните математици.

Изявление "квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сумата от квадратите, построени върху неговите катета"може да се илюстрира със следния чертеж:

Погледнете равнобедрения правоъгълен триъгълник ABC: Върху хипотенузата AC можете да построите квадрат, състоящ се от четири триъгълника, равни на оригиналния ABC. И на краката AB и BC, построени върху квадрат, всеки от които съдържа два подобни триъгълника.

Между другото, тази рисунка е в основата на множество анекдоти и карикатури, посветени на питагоровата теорема. Може би най-известният е "Питагорейските панталони са равни във всички посоки":

Доказателство 2

Този метод съчетава алгебра и геометрия и може да се разглежда като вариант на древноиндийското доказателство на математика Бхаскари.

Построете правоъгълен триъгълник със страни а, б и в(Фиг. 1). След това изградете два квадрата със страни, равни на сбора от дължините на двата крака - (а+б). Във всеки от квадратите направете конструкции, както на фигури 2 и 3.

В първия квадрат постройте четири от същите триъгълници като на фигура 1. В резултат се получават два квадрата: единият със страна a, вторият със страна б.

Във втория квадрат, построени четири подобни триъгълника образуват квадрат със страна, равна на хипотенузата ° С.

Сборът от площите на построените квадрати на фиг. 2 е равен на площта на квадрата, който построихме със страна c на фиг. 3. Това може лесно да се провери чрез изчисляване на площите на квадратите на фиг. 2 по формулата. И площта на вписания квадрат на фигура 3. като се извадят площите на четири равни правоъгълни триъгълника, вписани в квадрата от площта на голям квадрат със страна (а+б).

Като оставим всичко това, имаме: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Разгънете скобите, направете всички необходими алгебрични изчисления и вземете това a 2 + b 2 = a 2 + b 2. В същото време площта на вписаното на фиг.3. квадратът може да се изчисли и по традиционната формула S=c2. Тези. a2+b2=c2Доказахте питагоровата теорема.

Доказателство 3

Същото древно индийско доказателство е описано през 12 век в трактата „Короната на знанието“ („Сиддханта Широмани“), като като основен аргумент авторът използва призив, насочен към математическите таланти и способности за наблюдение на учениците и последователи: „Вижте!”.

Но ще анализираме това доказателство по-подробно:

Вътре в квадрата постройте четири правоъгълни триъгълника, както е показано на чертежа. Страната на големия квадрат, която е и хипотенузата, е обозначена от. Да наречем краката на триъгълника ноИ б. Според чертежа страната на вътрешния квадрат е (а-б).

Използвайте формулата за квадратна площ S=c2за изчисляване на площта на външния квадрат. И в същото време изчислете същата стойност, като добавите площта на вътрешния квадрат и площта на четирите правоъгълни триъгълника: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Можете да използвате и двете опции, за да изчислите площта на квадрат, за да сте сигурни, че дават същия резултат. И това ви дава право да го запишете c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В резултат на решението ще получите формулата на Питагоровата теорема c2=a2+b2. Теоремата е доказана.

Доказателство 4

Това любопитно древно китайско доказателство се нарича "Столът на булката" - заради фигурата, подобна на стол, която е резултат от всички конструкции:

Той използва чертежа, който вече видяхме на фигура 3 във второто доказателство. И вътрешният квадрат със страна c е конструиран по същия начин, както в древноиндийското доказателство, дадено по-горе.

Ако мислено отрежете два зелени правоъгълни триъгълника от чертежа на фиг. 1, прехвърлите ги на противоположните страни на квадрата със страна c и прикрепите хипотенузите към хипотенузите на люляковите триъгълници, ще получите фигура, наречена „булка на булката стол” (фиг. 2). За по-голяма яснота можете да направите същото с хартиени квадрати и триъгълници. Ще видите, че "столът на булката" се образува от два квадрата: малки със страна би голям със страна а.

Тези конструкции позволиха на древните китайски математици и на нас, които ги следвахме, да стигнем до извода, че c2=a2+b2.

Доказателство 5

Това е друг начин за намиране на решение на питагоровата теорема въз основа на геометрията. Нарича се методът на Гарфийлд.

Построете правоъгълен триъгълник ABC. Трябва да докажем това BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

За да направите това, продължете крака ACи изградете сегмент CD, което е равно на крака АБ. Долен перпендикуляр АДраздел ED. Сегменти EDИ ACса равни. Свържи точките ЕИ IN, както и ЕИ ОТи вземете чертеж като снимката по-долу:

За да докажем кулата, отново прибягваме до метода, който вече тествахме: намираме площта на получената фигура по два начина и приравняваме изразите един към друг.

Намерете площта на многоъгълник ЛЕГЛОможе да стане чрез добавяне на площите на трите триъгълника, които го образуват. И един от тях ERU, е не само правоъгълна, но и равнобедрена. Да не забравяме и това AB=CD, AC=EDИ BC=CE- това ще ни позволи да опростим записа и да не го претоварим. Така, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

В същото време е очевидно, че ЛЕГЛОе трапец. Следователно, ние изчисляваме неговата площ по формулата: SABED=(DE+AB)*1/2AD. За нашите изчисления е по-удобно и по-ясно да представим сегмента АДкато сбор от отсечките ACИ CD.

Нека напишем и двата начина за изчисляване на площта на фигура, като поставим знак за равенство между тях: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Използваме равенството на вече известните ни и описани по-горе отсечки, за да опростим дясната страна на нотацията: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. И сега отваряме скобите и трансформираме равенството: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. След като завършихме всички трансформации, получаваме точно това, от което се нуждаем: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Доказахме теоремата.

Разбира се, този списък с доказателства далеч не е пълен. Питагоровата теорема може да се докаже и с помощта на вектори, комплексни числа, диференциални уравнения, стереометрия и други подобни. И дори физици: ако, например, течността се излива в квадратни и триъгълни обеми, подобни на показаните на чертежите. Чрез изливане на течност е възможно да се докаже равенството на площите и самата теорема като резултат.

Няколко думи за питагорейските тризнаци

Този въпрос е малко или не се изучава в училищната програма. Междувременно е много интересно и е от голямо значение в геометрията. Питагоровите тройки се използват за решаване на много математически задачи. Идеята за тях може да ви бъде полезна в по-нататъшното обучение.

И така, какво представляват питагорейските тризнаци? Така наречените естествени числа, събрани по тройки, сборът от квадратите на две от които е равен на третото число на квадрат.

Питагорейските тройки могат да бъдат:

примитивни (и трите числа са относително прости);
непримитивни (ако всяко число от тройка се умножи по същото число, получавате нова тройка, която не е примитивна).

Още преди нашата ера древните египтяни са били очаровани от манията за числата на питагорейските тройки: в задачите са разглеждали правоъгълен триъгълник със страни от 3,4 и 5 единици. Между другото, всеки триъгълник, чиито страни са равни на числата от питагоровата тройка, по подразбиране е правоъгълен.

Примери за питагорейски тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.н.

Практическо приложение на теоремата

Питагоровата теорема намира приложение не само в математиката, но и в архитектурата и строителството, астрономията и дори литературата.

Първо, относно конструкцията: питагоровата теорема намира широко приложение в нея в проблеми с различни нива на сложност. Например вижте романския прозорец:

Да обозначим ширината на прозореца като б, то радиусът на големия полукръг може да бъде обозначен като Ри изразявайте чрез b: R=b/2. Радиусът на по-малките полукръгове също може да бъде изразен чрез b: r=b/4. В този проблем се интересуваме от радиуса на вътрешния кръг на прозореца (нека го наречем стр).

Питагоровата теорема е полезна за изчисляване Р. За да направите това, използваме правоъгълен триъгълник, който е обозначен с пунктирана линия на фигурата. Хипотенузата на триъгълник се състои от два радиуса: б/4+стр. Единият крак е радиус б/4, друг б/2-стр. Използвайки питагоровата теорема, пишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. След това отваряме скобите и получаваме b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Нека трансформираме този израз в bp/2=b 2 /4-bp. И тогава разделяме всички термини на б, ние даваме подобни за получаване 3/2*p=b/4. И в крайна сметка намираме това p=b/6- от което се нуждаехме.

Използвайки теоремата, можете да изчислите дължината на гредите за двускатен покрив. Определете колко висока е необходима мобилна кула, за да достигне сигналът до определено населено място. И дори стабилно инсталирайте коледно дърво на градския площад. Както можете да видите, тази теорема живее не само на страниците на учебниците, но често е полезна в реалния живот.

Що се отнася до литературата, питагоровата теорема вдъхновява писателите от древността и продължава да го прави и днес. Например немският писател от деветнадесети век Аделберт фон Шамисо е вдъхновен от нея да напише сонет:

Светлината на истината няма скоро да се разсее,
Но след като блесна, е малко вероятно да се разсее
И, както преди хиляди години,
Няма да предизвика съмнения и спорове.

Най-мъдрият, когато докосне окото
Светлина на истината, слава на боговете;
И сто бика, намушкани, лъжат -
Връщащият се подарък на късметлия Питагор.

Оттогава биковете реват отчаяно:
Завинаги възбуди бикове племе
събитие, споменато тук.

Те смятат, че е крайно време
И отново ще бъдат принесени в жертва
Някаква страхотна теорема.

(превод от Виктор Топоров)

А през ХХ век съветският писател Евгений Велтистов в книгата си „Приключенията на електрониката“ посвети цяла глава на доказателствата на питагоровата теорема. И половин глава от история за двуизмерен свят, който би могъл да съществува, ако питагоровата теорема стане основен закон и дори религия за един свят. Би било много по-лесно да се живее в него, но и много по-скучно: например там никой не разбира значението на думите „кръгла“ и „пухкаво“.

А в книгата „Приключенията на електрониката“ авторът, през устата на учителя по математика Таратара, казва: „Основното в математиката е движението на мисълта, новите идеи“. Именно този творчески полет на мисълта поражда питагоровата теорема - не напразно тя има толкова много разнообразни доказателства. Помага да излезете отвъд обичайното и да погледнете на познатите неща по нов начин.

Заключение

Тази статия е създадена, за да можете да погледнете отвъд училищната програма по математика и да научите не само онези доказателства на питагоровата теорема, които са дадени в учебниците "Геометрия 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) и "Geometry 7-11 ” (А. В. Погорелов), но и други любопитни начини за доказване на известната теорема. И също така вижте примери за това как Питагоровата теорема може да се приложи в ежедневието.

Първо, тази информация ще ви позволи да претендирате за по-високи резултати в часовете по математика - информацията по темата от допълнителни източници винаги е високо оценена.

Второ, искахме да ви помогнем да усетите колко интересна е математиката. Да се убеди на конкретни примери, че в него винаги има място за творчество. Надяваме се, че Питагоровата теорема и тази статия ще ви вдъхновят да направите свои собствени изследвания и вълнуващи открития в математиката и други науки.

Кажете ни в коментарите дали сте намерили доказателствата, представени в статията, интересни. Намерихте ли тази информация за полезна в обучението си? Кажете ни какво мислите за Питагоровата теорема и тази статия - ще се радваме да обсъдим всичко това с вас.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.