- образователни: учат учениците да намират площта на многоъгълник, използвайки методите, които са избрали, да формират първоначални представяния
- полигонни, графични и измервателни умения;
- развиване: развитието на начини на умствена дейност на учениците при изпълнение на задачи от наблюдение, изчисления до изясняване на моделите за изчисляване на площта на многоъгълник;
- възпитателно: разкриване на субективния опит на учениците, насърчаване на действия, стремежи на учениците като основа за възпитаване на положителни личностни черти;
- методически: създаване на условия за изява на познавателна активност на учениците.
Оборудване за урок:
- Дизайн на дъската: отляво - многоъгълни форми, отдясно - празно платно на дъската за писане в урока, в центъра - многоъгълник-правоъгълник.
- Листовка "За изследване".
- Инструменти на учителя и учениците (креда, показалка, линийка, изследователски лист, фигури, хартия за рисуване, маркер).
Метод на урока:
- За взаимодействието на учителя и учениците – диалог-комуникация;
- Според метода на решаване на задачи - частично-търсени;
- Според начина на умствена дейност - (УУД) развиващо обучение.
Формата на урока е фронтална, по двойки, индивидуална.
Видът на урока е урок за овладяване на нови знания, умения и способности.
Структурата на урока е постепенно задълбочаване в темата, гъвкава, диалогична.
По време на занятията
Поздравления.
Урокът е красив и носи радост, когато мислим и работим заедно. Днес ще разгледаме фигурите, ще определим имената им, ще помислим, ще търсим и ще намерим решения. Пожелаваме си успешна работа.
Актуализация на знанията.
Помислете за фигурите (многоъгълници на дъската).
Всички те са заедно. Защо? Каква е тяхната обща черта? (Полигони).
Наименувайте този многоъгълник (5-ъгълник, 6-ъгълник...)
Знаете ли каква е площта на многоъгълника?
След това покажете на една от фигурите.
(Обобщение от учителя: площта е част от равнина вътре в затворена геометрична фигура.)
На руски език тази дума има няколко значения.
(Ученикът в речника въвежда значенията.)
- Част от равнина вътре в затворена геометрична фигура.
- Голяма незастроена и равна площ.
- Място за всякакви цели.
Коя стойност се използва в математиката?
В математиката се използва първата стойност.
(На дъската има фигура).
Многоъгълник ли е? да.
Назовете формата по различен начин. правоъгълник.
Покажете дължина, ширина.
Как да намерим площта на многоъгълник?
Напишете формулата с помощта на букви и символи.
Ако дължината на нашия правоъгълник е 20 см, ширината е 10 см. Каква е площта?
Площта е 200 см 2
Помислете как да прикрепите линийка, така че фигурата да бъде разделена на:
Видяхте ли от какви части се състои фигурата? А сега, напротив, ще сглобим цялото на части.
(Части от фигурата лежат на чиновете. Децата сглобяват правоъгълник от тях).
Направете изводи от вашите наблюдения.
Цялата фигура може да бъде разделена на части и от части да се образува цяло.
Къщите, базирани на триъгълници и четириъгълници, бяха фигури, силуети. Ето какви се оказаха.
(Демонстрация на рисунки, направени от ученици вкъщи. Анализира се една от произведенията).
Какви фигури използвахте? Имате сложен многоъгълник.
Постановка на учебната задача.
В урока трябва да отговорим на въпроса: как да намерим площта на сложен многоъгълник?
Защо човек трябва да намери района?
(Отговори на децата и обобщение от учителя).
Задачата за определяне на областта възникна от практиката.
(Показан е планът на училищния обект.)
За да построят училище, те първо създадоха план. Тогава територията беше разделена на участъци от определен район, бяха поставени сгради, цветни лехи, стадион. В този случай сайтът има определена форма - формата на многоъгълник.
Решението на образователния проблем.
(Модели се раздават за изследване.)
Пред вас има фигура. Назовете я.
Многоъгълник, шестоъгълник.
Намерете площта на многоъгълника. Какво трябва да се направи за това?
Разделете на правоъгълници.
(В случай на затруднение ще има друг въпрос: „От какви форми се състои многоъгълникът?“).
От два правоъгълника.
Разделете формата на правоъгълници с помощта на линийка и молив. Определете получените части с номера 1 и 2.
Да направим измервания.
Намерете площта на първата фигура.
(Учениците предлагат следните решения и ги записват на дъската.)
- S 1 = 5? 2 = 10 см 2
- S 2 = 5? 1 = 5 см 2
Познавайки площта на частите, как да намерите площта на цялата фигура?
S = 10 + 5 = 15 см 2
- S 1 = 6? 2 = 12 см 2
- S 2 \u003d 3? 1 = 3 см 2
- S = 12 + 3 = 15 см 2.
Сравнете резултатите и направете заключение.
Нека следваме нашите стъпки
Как се намира площта на многоъгълник?
На плаката е съставен и изписан алгоритъм :?
1. Разделете фигурата на части
2. Намерете площите на частите на тези многоъгълници (S 1, S 2).
3. Намерете площта на целия многоъгълник (S 1 + S 2).
Говорете алгоритъма.
(Няколко ученици произнасят алгоритъма).
Намерихме два начина, а може би има още?
И можете да завършите фигурата.
Колко правоъгълника получихте?
Нека обозначим части 1 и 2. Нека направим измервания.
Намерете площта на всяка част от многоъгълника.
- S1=6? 5=30 см 2
- S 2 = 5? 3 \u003d 15 см 2
Как да намерим площта на нашия шестоъгълник?
S = 30 - 15 \u003d 15 см 2
Нека създадем алгоритъм:
Завърши фигурата до правоъгълник
Намерени S 1 и S 2 .
Открихме разликата S 1 - S 2.
Сравнете два алгоритма. Направете заключение. Какви действия са еднакви? Къде се различаваха нашите действия?
Затворете очи, наведете глави. Мислено повторете алгоритъма.
Извършихме научноизследователска работа различни начинии сега можем да намерим площта на всеки многоъгълник.
Проверка на производителността.
Тествай се.
Ето полигоните.
Намерете площта на една фигура по избор, докато можете да използвате различни методи.
Работата се извършва самостоятелно. Децата избират фигура. Намерете района по един от начините. Проверката е ключът на дъската.
Какво може да се каже за формата? (Различна форма)
Каква е площта на тези многоъгълници? (Площите на тези многоъгълници са равни)
Оценете резултатите.
Който има право - слага "+".
Кой има съмнения, трудности - “?”
Консултантите оказват помощ на момчетата, търсят грешки, помагат да ги коригират.
Домашна работа:
Съставете своите изследователски листове, изчислете площта на многоъгълник по различни начини.
Резюме на урока.
И така, момчета, какво ще кажете на родителите си за това как да намерят площта на геометрична фигура - многоъгълник.
Урок от поредицата " Геометрични алгоритми»
Здравейте скъпи читателю.
Решаването на много задачи от изчислителна геометрия се основава на намирането полигонна площ. В този урок ще изведем формула за изчисляване на площта на многоъгълник, използвайки координатите на неговите върхове, и ще напишем функция за изчисляване на тази площ.
Задача. Изчислете площта на многоъгълник, дадено от координатите на неговите върхове, по посока на часовниковата стрелка.
Информация от изчислителна геометрия
За да извлечем формулата за площта на многоъгълник, се нуждаем от информация от изчислителната геометрия, а именно концепцията за ориентирана площ на триъгълник.
Ориентираната площ на триъгълник е обичайната площ, снабдена със знак. Знак за ориентирана зона на триъгълник ABCсъщото като ориентирания ъгъл между векторите и . Тоест неговият знак зависи от реда, в който са изброени върховете.
На ориз. 1 триъгълник ABC е правоъгълен триъгълник. Неговата ориентирана площ е равна на (тя е по-голяма от нула, тъй като двойката , е положително ориентирана). Същата стойност може да се изчисли и по друг начин.
Позволявам Ое произволна точка от равнината. На нашата фигура площта на триъгълник ABC се получава чрез изваждане на площите на OAB и OCA от площта на триъгълника OBC. По този начин просто имате нужда добавяне на ориентирани зонитриъгълници OAB, OBC и OCA. Това правило работи за всеки избор на точка О.
По същия начин, за да изчислите площта на всеки многоъгълник, трябва да добавите ориентираните зони на триъгълниците
Сборът ще бъде площта на многоъгълника, взета със знак плюс, ако многоъгълникът е отляво при преминаване на многоъгълника (обратно на часовниковата стрелка, заобикаляйки границата), и със знак минус, ако е отдясно (обхождане на часовниковата стрелка) .
И така, изчисляването на площта на многоъгълник се свежда до намиране на площта на триъгълник. Нека видим как да го изразим в координати.
Кръстосаното произведение на два вектора в равнина е площта на паралелограма, изграден върху тези вектори.
Векторният продукт, изразен чрез координатите на векторите:
Ако координатите на върховете са дадени в обратен ред на часовниковата стрелка, тогава числото С,изчислено по тази формула ще бъде положително. В противен случай тя ще бъде отрицателна и за да получим обичайната геометрична площ, трябва да вземем нейната абсолютна стойност.
Така че, помислете за програма за намиране на площта на многоъгълник, дадена от координатите на върховете.
Програма geom6; Const n_max=200; ( максимална суматочки+1) тип b=запис x,y:real; край; myArray= масив от b; var input:text; A:myArray; s:реален; i,n:цяло число; процедура ZapMas(var n:integer; var A:myArray); (Попълване на масив) begin assign(input,"input.pas"); нулиране (вход); readln(вход, n); за i:=1 до n четене (вход, a[i].x,a[i].y); затваряне (въвеждане); край; функция Квадрат(A:myarray): реално; (Изчисляване на площта на полигона) var i:integer; П: истински начало a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; за i:=1 до n do s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Квадрат:= S край; (Квадрат) begin (основен) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:=Квадрат(а); writeln("S= ",s:6:2); край.
Координатите на върховете се четат от файла input.pas., съхраняван в масив Акато записи с две полета. За удобство на заобикалянето на многоъгълника в масива се въвеждат n + 1 елемента, чиято стойност е равна на стойността на първия елемент от масива.
Входни данни:
5
0.6 2.1 1.8 3.6 2.2 2.3 3.6 2.4 3.1 0.5
Изход:
S = 3,91
Решихме задачата за намиране на площта на многоъгълник по координатите на неговите върхове. Задачите стават все по-трудни. Ако имате коментари към тази статия или желания, пишете в коментарите. Ще съм ви много благодарен за съдействието.
Ще се видим на следващия урок.
\[(\Large(\text(Основни факти за района)))\]
Можем да кажем, че площта на многоъгълника е стойност, обозначаваща частта от равнината, заета от даден многоъгълник. Единицата за площ се приема като площ на квадрат със страна \(1\) cm, \(1\) mm и т.н. (единичен квадрат). Тогава площта ще бъде измерена съответно в cm\(^2\), mm\(^2\).
С други думи, можем да кажем, че площта на фигура е стойност, чиято числова стойност показва колко пъти единичен квадрат се вписва в дадена фигура.
Свойства на района
1. Площта на всеки многоъгълник е положителна стойност.
2. Равни многоъгълници имат равни площи.
3. Ако един многоъгълник е съставен от няколко многоъгълника, тогава неговата площ е равна на сбора от площите на тези многоъгълници.
4. Площта на квадрат със страна \(a\) е \(a^2\) .
\[(\Large(\text(Площ на правоъгълник и успоредник)))\]
Теорема: площ на правоъгълник
Площта на правоъгълник със страни \(a\) и \(b\) е \(S=ab\) .
Доказателство
Нека построим правоъгълника \(ABCD\) към квадрат със страна \(a+b\) , както е показано на фигурата:
Този квадрат се състои от правоъгълник \(ABCD\), друг правоъгълник, равен на него, и два квадрата със страни \(a\) и \(b\) . По този начин,
\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(многоред*)\)
Определение
Височината на паралелограма е перпендикулярът, изтеглен от върха на успоредника към страната (или продължението на страната), която не съдържа този връх.
Например височината \(BK\) пада върху страната \(AD\) , а височината \(BH\) пада върху продължението на страната \(CD\) :
Теорема: площ на паралелограма
Площта на успоредник е равна на произведението на височината и страната, към която е начертана тази височина.
Доказателство
Начертайте перпендикуляри \(AB"\) и \(DC"\), както е показано на фигурата. Обърнете внимание, че тези перпендикуляри са равни на височината на успоредника \(ABCD\) .
Тогава \(AB"C"D\) е правоъгълник, следователно \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .
Имайте предвид, че правоъгълните триъгълници \(ABB"\) и \(DCC"\) са равни. По този начин,
\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)
\[(\Large(\text(Площ на триъгълник)))\]
Определение
Ще наречем страната, към която е начертана надморската височина в триъгълника, основата на триъгълника.
Теорема
Площта на триъгълник е половината от произведението на неговата основа и височината, изтеглена към тази основа.
Доказателство
Нека \(S\) е площта на триъгълника \(ABC\) . Нека вземем страната \(AB\) за основа на триъгълника и начертаем височината \(CH\) . Нека докажем това \ Завършваме триъгълника \(ABC\) до паралелограма \(ABDC\), както е показано на фигурата:
Триъгълниците \(ABC\) и \(DCB\) са равни по три страни (\(BC\) е тяхната обща страна, \(AB = CD\) и \(AC = BD\) като противоположни странипаралелограм \(ABDC\) ), така че техните площи са равни. Следователно площта \(S\) на триъгълника \(ABC\) е равна на половината от площта на паралелограма \(ABDC\), т.е. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).
Теорема
Ако два триъгълника \(\триъгълник ABC\) и \(\триъгълник A_1B_1C_1\) имат еднакви височини, тогава техните площи са свързани като основите, към които са изтеглени тези височини.
Последица
Медианата на триъгълника го разделя на два триъгълника с еднаква площ.
Теорема
Ако два триъгълника \(\триъгълник ABC\) и \(\триъгълник A_2B_2C_2\) имат един и същ ъгъл, тогава техните площи са свързани като произведения на страните, образуващи този ъгъл.
Доказателство
Нека \(\angle A=\angle A_2\) . Нека комбинираме тези ъгли, както е показано на фигурата (точката \(A\) е подравнена с точката \(A_2\)):
Начертайте височини \(BH\) и \(C_2K\) .
Триъгълниците \(AB_2C_2\) и \(ABC_2\) имат еднаква височина \(C_2K\) , следователно: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]
Триъгълниците \(ABC_2\) и \(ABC\) имат еднаква височина \(BH\) , следователно: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]
Умножавайки последните две равенства, получаваме: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( или ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]
Питагорова теорема
В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равно на суматаквадрати с дължина на краката:
Обратното също е вярно: ако в триъгълник квадратът на дължината на едната страна е равен на сбора от квадратите на дължините на другите две страни, тогава такъв триъгълник е правоъгълен.
Теорема
Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката.
Теорема: Формулата на Херон
Нека \(p\) е полупериметърът на триъгълник, \(a\) , \(b\) , \(c\) са дължините на страните му, тогава неговата площ е равна на \
\[(\Large(\text(Площ на ромб и трапец)))\]
Коментирайте
Защото ромбът е паралелограм, тогава същата формула е вярна и за него, т.е. Площта на ромб е равна на произведението на височината и страната, към която е нарисувана тази височина.
Теорема
Площта на изпъкнал четириъгълник, чиито диагонали са перпендикулярни, е половината от произведението на диагоналите.
Доказателство
Помислете за четириъгълника \(ABCD\) . Означете \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\):
Имайте предвид, че този четириъгълник е съставен от четири правоъгълни триъгълници, следователно, неговата площ е равна на сумата от площите на тези триъгълници:
\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(многоредов*)\)
Следствие: площ на ромб
Площта на ромб е половината от произведението на диагоналите му: \
Определение
Височината на трапец е перпендикуляр, изтеглен от върха на едната основа към другата основа.
Теорема: площ на трапец
Площта на трапец е половината от сбора на основите по височината.
Доказателство
Помислете за трапец \(ABCD\) с основи \(BC\) и \(AD\) . Начертайте \(CD"\паралелен AB\), както е показано на фигурата:
Тогава \(ABCD"\) е паралелограм.
Начертаваме също \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) са височините на трапеца).
Тогава \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)
Защото трапецът се състои от успоредник \(ABCD"\) и триъгълник \(CDD"\) , тогава неговата площ е равна на сумата от площите на успоредника и триъгълника, тоест:
\ \[=\dfrac12 CH\ляво(BC+AD"+D"D\вдясно)=\dfrac12 CH\ляво(BC+AD\вдясно)\]
Всеки, който е учил математика и геометрия в училище, познава тези науки поне повърхностно. Но с времето, ако не се практикуват, знанията се забравят. Мнозина дори вярват, че просто са загубили времето си в изучаване на геометрични изчисления. Те обаче грешат. Технически работнициизвършват ежедневна работа, свързана с геометрични изчисления. Що се отнася до изчисляването на площта на многоъгълник, това знание също намира своето приложение в живота. Те ще са необходими поне за изчисляване на площта поземлен имот. Така че нека се научим как да намерим площта на многоъгълник.
Дефиниция на многоъгълник
Първо, нека дефинираме какво е многоъгълник. Това е плоска геометрична фигура, която се образува в резултат на пресичане на три или повече линии. Друго просто определение: многоъгълникът е затворена полилиния. Естествено, при пресичането на линиите се образуват пресечни точки, броят им е равен на броя на линиите, които образуват многоъгълник. Точките на пресичане се наричат върхове, а отсечките, образувани от правите, се наричат страни на многоъгълника. Съседните сегменти на многоъгълник не са на една и съща права линия. Отсечките, които не са съседни, са тези, които не минават през общи точки.
Сборът от площите на триъгълниците
Как да намерим площта на многоъгълник? Площта на многоъгълника е вътрешната част на равнината, която е образувана в пресечната точка на сегментите или страните на многоъгълника. Тъй като многоъгълникът е комбинация от форми като триъгълник, ромб, квадрат, трапец, просто няма универсална формула за изчисляване на неговата площ. На практика най-универсалният метод е разделянето на многоъгълник на по-прости фигури, чиято площ не е трудно да се намери. Събиране на сумите от площите на тези прости фигури, вземете площта на многоъгълника.
През областта на кръга
В повечето случаи многоъгълникът има правилна формаи образува фигура с равни страни и ъгли между тях. Изчисляването на площта в този случай е много лесно с помощта на вписана или описана окръжност. Ако площта на кръга е известна, тогава тя трябва да се умножи по периметъра на многоъгълника и след това полученият продукт, разделен на 2. В резултат на това се получава формулата за изчисляване на площта на такъв многоъгълник : S = ½∙P∙r., където P е площта на окръжността, а r е периметърът на многоъгълника.
Методът за разделяне на многоъгълник на „удобни“ форми е най-популярен в геометрията, той ви позволява бързо и правилно да намерите площта на многоъгълника. 4-ти клас гимназияобикновено изучава такива методи.
Площ, една от основните величини, свързани с геометрични фигури. В най-простите случаи се измерва с броя на единичните квадрати, запълващи плоска фигура, тоест квадрати със страна, равна на една дължина. Изчислението на П. е било още в древността ... ...
Този термин има други значения, вижте Област (значения). Площта на плоска фигура е добавена числова характеристика на фигура, която принадлежи изцяло на една равнина. В най-простия случай, когато фигурата може да бъде разделена на крайни ... ... Уикипедия
I Площта е една от основните величини, свързани с геометричните форми. В най-простите случаи се измерва с броя на единичните квадрати, запълващи плоска фигура, тоест квадрати със страна, равна на една дължина. Изчисление P ... ... ... Голяма съветска енциклопедия
Този термин има други значения, вижте Област (значения). Площна единица L² SI единици m² ... Wikipedia
Ж. 1. Част земна повърхност, пространство, естествено ограничено или специално разпределено за някаква цел. отт. Водно пространство. отт. Голямо, равно място, простор. 2. Равно незастроено обществено пространство ... ... Модерен РечникРуски език Ефремова
Тази статия се предлага за изтриване. Обяснение на причините и съответна дискусия можете да намерите на страницата на Уикипедия: Да бъде изтрита / 2 септември 2012 г. Докато процесът на обсъждане не приключи, статията може да бъде подобрена, но трябва да бъде ... ... Уикипедия
Две фигури в R2 с равни площи и съответно два многоъгълника M1 и M2, така че да могат да бъдат нарязани на многоъгълници, така че частите, които съставляват M 1, са съответно конгруэнтни на частите, които съставляват M 2. За, еднаква площ ... ... Математическа енциклопедия
B=7, G=8, B + G/2 − 1= 10 Теоремата на Пик е класически резултат от комбинаторната геометрия и геометрията на числата. Площ на многоъгълник с цяло число ... Wikipedia
Този термин има други значения, вижте теоремата на Пик. V = 7, Г = 8, В + Г/2 − 1 = 10 Формулата на Пик (или теоремата на Пик) е класически резултат от комбинаторната геометрия и геометрията на числата. Квадрат ... Уикипедия
Област (свързано отворено множество) на границата на изпъкнало тяло в евклидово пространство E 3. Цялата граница на изпъкнало тяло се нарича. пълен V. п. Ако тялото е крайно, тогава пълно V. p. затворен. Ако тялото е безкрайно, тогава пълният V. p. безкраен... ... Математическа енциклопедия