Цилиндър (кръг цилиндър) - тяло, което се състои от две окръжности, комбинирани чрез паралелен превод, и всички сегменти, свързващи съответните точки на тези окръжности. Кръговете се наричат основи на цилиндъра, а отсечките, свързващи съответните точки на окръжностите на окръжностите, се наричат образуващи на цилиндъра.
Основите на цилиндъра са равни и лежат в успоредни равнини, а образуващите на цилиндъра са успоредни и равни. Повърхността на цилиндъра се състои от основи и странична повърхност. Страничната повърхност се формира от генератори.
Цилиндърът се нарича прав, ако неговите образуващи са перпендикулярни на базовите равнини. Цилиндърът може да се разглежда като твърдо тяло, получено чрез завъртане на правоъгълник около една от страните му като ос. Има и други видове цилиндър - елиптичен, хиперболичен, параболичен. Призмата също се счита за вид цилиндър.
Фигура 2 показва наклонен цилиндър. Неговите основи са окръжности с центрове O и O 1.
Радиус на цилиндъра - радиус на основата му. Височината на цилиндъра е разстоянието между равнините на основите. Оста на цилиндъра се нарича права линия, минаваща през центровете на основите. Тя е успоредна на генериращата. Сечението на цилиндър от равнина, минаваща през оста на цилиндъра, се нарича аксиално сечение. Равнината, минаваща през образуващата на прав цилиндър и перпендикулярна на аксиалното сечение, изтеглено през тази образуваща, се нарича допирателна равнина на цилиндъра.
Равнина, перпендикулярна на оста на цилиндъра, пресича страничната му повърхност в окръжност, равна на обиколката на основата.
Вписана в цилиндър призма е призма, чиито основи са равни многоъгълници, вписани в основите на цилиндъра. Страничните му ребра са образуващи на цилиндъра. Призмата се нарича описана около цилиндъра, ако нейните основи са равни многоъгълници, описани около основите на цилиндъра. Равнините на неговите лица докосват страничната повърхност на цилиндъра.
Площта на страничната повърхност на цилиндъра може да се изчисли чрез умножаване на дължината на образуващата по периметъра на сечението на цилиндъра по равнина, перпендикулярна на образуващата.
Площта на страничната повърхност на прав цилиндър може да бъде намерена по неговия размах. Разгънатият цилиндър е правоъгълник с височина h и дължина P, която е равна на периметъра на основата. Следователно, площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на площта на неговия размах и се изчислява по формулата:
По-специално, за прав кръгъл цилиндър:
P = 2πR и S b = 2πRh.
Общата повърхност на цилиндъра е равна на сумата от площите на страничната му повърхност и основите му.
За прав кръгъл цилиндър:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR (h + R)
Има две формули за намиране на обема на наклонен цилиндър.
Можете да намерите обема, като умножите дължината на генератора по площта на напречното сечение на цилиндъра по равнината, перпендикулярна на генератора.
Обемът на наклонения цилиндър е равен на произведението на площта на основата на височината (разстоянието между равнините, в които лежат основите):
V = Sh = S l sin α,
където l е дължината на образуващата, а α е ъгълът между образуващата и равнината на основата. За прав цилиндър h = l.
Формулата за намиране на обема на кръгъл цилиндър е както следва:
V = π R 2 h = π (d 2/4) h,
където d е диаметърът на основата.
блог.сайт, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
Намерете площта на аксиалното сечение, перпендикулярно на основата на цилиндъра. Едната от страните на този правоъгълник е равна на височината на цилиндъра, а другата е диаметърът на основния кръг. Съответно, площта на напречното сечение в този случай ще бъде равна на произведението на страните на правоъгълника. S = 2R * h, където S е площта на напречното сечение, R е радиусът на основната окръжност, определен от условията на задачата, а h е височината на цилиндъра, също определена от условията на задачата.
Ако сечението е перпендикулярно на основите, но не минава през оста на въртене, правоъгълникът няма да е равен на диаметъра на окръжността. Трябва да се изчисли. За да направите това, проблемът трябва да каже на какво разстояние от оста на въртене преминава равнината на сечението. За удобство на изчисленията начертайте кръг за основата на цилиндъра, начертайте радиус и заделете върху него разстоянието, на което се намира сечението от центъра на кръга. От тази точка начертайте перпендикуляри на пресечната точка с окръжността. Свържете пресечните точки към центъра. Трябва да намерите акордите. Намерете размера на половин хорда по теоремата на Питагор. Той ще бъде равен на корен квадратен от разликата между квадратите на радиуса на окръжността от центъра до линията на сечението. a2 = R2-b2. Целият акорд ще бъде съответно равен на 2a. Изчислете площта на напречното сечение, която е равна на произведението на страните на правоъгълника, тоест S = 2a * h.
Цилиндърът може да бъде разчленен, без да преминава през равнината на основата. Ако напречното сечение е перпендикулярно на оста на въртене, тогава това ще бъде кръг. Площта му в този случай е равна на площта на основите, тоест се изчислява по формулата S = πR2.
Полезен съвет
За да си представите по-точно секцията, направете чертеж и допълнителни конструкции към него.
Източници:
- участък от зоната на цилиндъра
Линията на пресичане на повърхност с равнина принадлежи както на повърхността, така и на равнината на сечение. Линията на пресичане на цилиндрична повърхност с режеща равнина, успоредна на права образуваща, е права линия. Ако равнината на сечението е перпендикулярна на оста на повърхността на въртене, в сечението ще има окръжност. В общия случай линията на пресичане на цилиндрична повърхност с режеща равнина е крива линия.
Ще имаш нужда
- Молив, линийка, триъгълник, шаблони, пергели, измервателен уред.
Инструкции
Върху челната равнина на проекциите П₂ линията на сечението съвпада с проекцията на секачната равнина Σ₂ под формата на права линия.
Определете точките на пресичане на образуващите на цилиндъра с проекцията Σ₂ 1₂, 2₂ и т.н. до точки 10₂ и 11₂.
В равнината П₁ е окръжност. Точки 1₂, 2₂ и т.н., отбелязани в равнината на сечението Σ₂. с помощта на линия на проекционна комуникация те се проектират върху очертанията на този кръг. Определете техните хоризонтални проекции симетрично спрямо хоризонталната ос на окръжността.
По този начин се определят проекциите на необходимото сечение: върху равнината П₂ - права линия (точки 1₂, 2₂… 10₂); на равнината П₁ - окръжност (точки 1₁, 2₁… 10₁).
Използвайки две, построете действителния размер на сечението на дадения цилиндър с равнината на челната проекция Σ. За да направите това, използвайте метода на прожекция.
Начертайте равнината П₄, успоредна на проекцията на равнината Σ₂. На тази нова ос x₂₄ маркирайте точка 1₀. Разстояния между точки 1₂ - 2₂, 2₂ - 4₂ и т.н. от челната проекция на секцията, начертайте по оста x₂₄, начертайте тънки линии на проекционната връзка, перпендикулярна на оста x₂₄.
При този метод равнината П₄ замества равнината П₁, следователно от хоризонталната проекция прехвърлете размерите от оста към точките към оста на равнината П₄.
Например на П₁ за точки 2 и 3 това ще бъде разстоянието от 2₁ и 3₁ до оста (точка А) и т.н.
Като оставите настрана посочените разстояния от хоризонталната проекция, получавате точките 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. След това за по-голяма точност на конструкцията се определят останалите, междинни, точки.
Свързвайки всички точки с извита крива, получавате необходимия действителен размер на секцията на цилиндъра от равнината на предната проекция.
Източници:
- как да сменя самолета
Съвет 3: Как да намерите аксиалната площ на пресечен конус
За да разрешите този проблем, трябва да запомните какво е пресечен конус и какви свойства има. Не забравяйте да направите рисунка. Това ще ви позволи да определите коя геометрична форма е секцията. Напълно възможно е след това решаването на проблема вече да не ви е трудно.
Инструкции
Кръглият конус е тяло, получено чрез завъртане на триъгълник около един от неговите крака. Прави линии, излизащи отгоре конуса основата, която я пресича, се наричат генератори. Ако всички генератори са равни, тогава конусът е прав. В основата на кръга конуслежи кръг. Перпендикулярът, спуснат към основата от върха, е височината конус... Кръгла права конусвисочината съвпада с оста му. Оста е права линия, свързваща се с центъра на основата. Ако хоризонталната отсечена равнина на кръглата конус, тогава горната му основа е кръг.
Тъй като не е посочено в условието на задачата, в този случай е даден конусът, можем да заключим, че това е прав пресечен конус, чието хоризонтално сечение е успоредно на основата. Неговото аксиално сечение, т.е. вертикална равнина, която е през оста на кръга конус, е равнобедрен трапец. Всички аксиални напречни сечениякръгла права конусса равни помежду си. Следователно, за да намерите квадратаксиален напречни сечения, се изисква да се намери квадраттрапец, чиито основи са диаметрите на основите на пресечения конус, а страничните страни са негови генератори. Нарязана височина конусе в същото време височината на трапеца.
Площта на трапеца се определя по формулата: S = ½ (a + b) h, където S - квадраттрапец; a - стойността на долната основа на трапеца; b - стойността на горната му основа; h - височината на трапеца.
Тъй като условието не уточнява кои са дадени, възможно е диаметрите на двете основи на пресечения конусизвестно: AD = d1 - диаметър на долната основа на пресечения конус BC = d2 - диаметър на горната му основа; EH = h1 - височина конус.По този начин, квадратаксиален напречни сечениясъкратен конусе дефинирано: S1 = ½ (d1 + d2) h1
Източници:
- зона на пресечен конус
Цилиндърът е пространствена фигура и се състои от две равни основи, които са кръгове и странична повърхност, която свързва линиите, които определят основите. Да изчисля квадрат цилиндър, намерете площите на всичките му повърхности и ги съберете.
Цилиндърът е геометрично тяло, ограничено от две успоредни равнини и цилиндрична повърхност. В тази статия ще говорим за това как да намерим площта на цилиндъра и с помощта на формулата ще решим например няколко проблема.
Един цилиндър има три повърхности: отгоре, отдолу и отстрани.
Горната и долната част на цилиндъра са кръгове и са лесни за идентифициране.
Известно е, че площта на кръг е равна на πr 2. Следователно, формулата за площта на два кръга (горната и долната част на цилиндъра) ще бъде πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Третата, странична повърхност на цилиндъра, е извитата стена на цилиндъра. За да представим по-добре тази повърхност, нека се опитаме да я трансформираме, за да получим разпознаваема форма. Представете си, че цилиндърът е обикновена тенекия, която няма горен капак и дъно. Нека направим вертикален разрез на страничната стена от горната до долната част на кутията (Стъпка 1 на снимката) и се опитаме да отворим (изправим) получената фигура колкото е възможно повече (Стъпка 2).
След пълното отваряне на получения буркан ще видим вече познатата форма (Стъпка 3), това е правоъгълник. Площта на правоъгълник е лесна за изчисляване. Но преди това нека се върнем за момент към оригиналния цилиндър. Върхът на оригиналния цилиндър е кръг и знаем, че обиколката се изчислява по формулата: L = 2πr. Той е отбелязан в червено на фигурата.
Когато страничната стена на цилиндъра е напълно отворена, виждаме, че обиколката става дължината на получения правоъгълник. Страните на този правоъгълник ще бъдат обиколката (L = 2πr) и височината на цилиндъра (h). Площта на правоъгълника е равна на произведението на неговите страни - S = дължина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В резултат на това получихме формула за изчисляване на площта на страничната повърхност на цилиндъра.
Формула на страничната повърхност на цилиндъра
S страна. = 2πrh
Пълна площ на цилиндъра
И накрая, ако съберем площите и на трите повърхности, получаваме формулата за общата повърхност на цилиндъра. Повърхността на цилиндъра е равна на площта на горната част на цилиндъра + площта на основата на цилиндъра + площта на страничната повърхност на цилиндъра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Понякога този израз се записва с идентичната формула 2πr (r + h).
Формулата за общата повърхност на цилиндъра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h)
r е радиусът на цилиндъра, h е височината на цилиндъра
Примери за изчисляване на повърхността на цилиндъра
За да разберем горните формули, нека се опитаме да изчислим повърхността на цилиндъра с помощта на примери.
1. Радиусът на основата на цилиндъра е 2, височината е 3. Определете площта на страничната повърхност на цилиндъра.
Общата повърхност се изчислява по формулата: S страна. = 2πrh
S страна. = 2 * 3,14 * 2 * 3
S страна. = 6,28 * 6
S страна. = 37,68
Страничната повърхност на цилиндъра е 37,68.
2. Как да намерим повърхността на цилиндъра, ако височината е 4, а радиусът е 6?
Общата повърхност се изчислява по формулата: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Името на науката "геометрия" се превежда като "измерване на земята". Роден е с усилията на първите древни геодезисти. И беше така: по време на наводненията на свещения Нил, водни потоци понякога отмиваха границите на земеделските парцели и новите граници можеше да не съвпадат със старите. Данъците се плащали от селяните в хазната на фараона пропорционално на размера на разпределението на земята. Специални хора бяха ангажирани с измерването на обработваемата земя в новите граници след разлива. В резултат на тяхната дейност възниква нова наука, която се развива в Древна Гърция. Там тя получава името и придобива почти модерен вид. По-късно терминът става международно наименование за науката за плоски и обемни фигури.
Планиметрията е клон на геометрията, който се занимава с изучаване на плоски фигури. Друг клон на науката е стереометрията, която изследва свойствата на пространствените (обемни) фигури. Цилиндърът, описан в тази статия, също принадлежи към такива форми.
Има много примери за присъствието на цилиндрични предмети в ежедневието. Почти всички части на въртене - валове, втулки, шейни, оси и др. имат цилиндрична (много по-рядко - конична) форма. Цилиндърът се използва широко в строителството: кули, опори, декоративни колони. И освен това ястия, някои видове опаковки, тръби с всички възможни диаметри. И накрая – прочутите шапки, които отдавна са се превърнали в символ на мъжката елегантност. Списъкът е безкраен.
Дефиниране на цилиндър като геометрична форма
Обичайно е да наричаме цилиндър (кръг цилиндър) фигура, състояща се от две окръжности, които при желание се комбинират с помощта на паралелен трансфер. Именно тези кръгове са основите на цилиндъра. Но линиите (отсечки от права линия), свързващи съответните точки, се наричат "генератори".
Важно е основите на цилиндъра да са винаги равни (ако това условие не е изпълнено, тогава имаме пред нас пресечен конус, нещо друго, но не цилиндър) и са в успоредни равнини. Сегментите, свързващи съответните точки на окръжностите, са успоредни и равни.
Множеството от безкраен набор от генератори не е нищо повече от страничната повърхност на цилиндъра - един от елементите на тази геометрична фигура. Другият му важен компонент са кръговете, разгледани по-горе. Те се наричат бази.
Видове цилиндри
Най-простият и често срещан тип цилиндър е кръгъл. Образува се от два правилни кръга, които действат като основи. Но вместо тях може да има други фигури.
Основите на цилиндрите могат да образуват (с изключение на кръгове) елипси, други затворени форми. Въпреки това, цилиндърът може да не е задължително да има затворена форма. Например основата на цилиндър може да бъде парабола, хипербола или друга отворена функция. Такъв цилиндър ще бъде отворен или разширен.
По ъгъла на наклон на генераторите към основите цилиндрите могат да бъдат прави или наклонени. За прав цилиндър образуващите са строго перпендикулярни на равнината на основата. Ако даденият ъгъл се различава от 90 °, цилиндърът е наклонен.
Какво е повърхност на революция
Правият кръгъл цилиндър без съмнение е най-често срещаната революционна повърхност, използвана в инженерството. Понякога по технически причини се използват заострени, сферични, някои други видове повърхности, но 99% от всички въртящи се валове, оси и т.н. направени точно под формата на цилиндри. За да разберем по-добре какво представлява повърхността на въртене, можем да разгледаме как се образува самият цилиндър.
Да кажем, че има определена права линия аразположени вертикално. ABCD - правоъгълник, едната от страните на който (отсечка AB) лежи върху права линия а... Ако завъртите правоъгълника около права линия, както е показано на фигурата, обемът, който той ще заема, докато се върти, ще бъде нашето тяло на въртене - прав кръгъл цилиндър с височина H = AB = DC и радиус R = AD = BC.
В този случай в резултат на въртенето на формата - правоъгълника - се получава цилиндър. Чрез завъртане на триъгълник можете да получите конус, завъртайки полукръг - топка и т.н.
Площ на цилиндъра
За да се изчисли повърхността на обикновен десен кръгъл цилиндър, е необходимо да се изчислят площите на основите и страничната повърхност.
Първо, нека да разгледаме как се изчислява страничната повърхност. Това е произведението на обиколката и височината на цилиндъра. Обиколката от своя страна е равна на двойното произведение на универсалното число Ппо радиуса на окръжността.
Площта на кръг, както знаете, е равна на продукта Пна квадрат радиус. И така, събирайки формулите за площта на определяне на страничната повърхност с удвоен израз за площта на основата (има две от тях) и извършвайки прости алгебрични трансформации, получаваме крайния израз за определяне на повърхността площ на цилиндъра.
Определяне на обема на фигурата
Обемът на цилиндъра се определя по стандартната схема: повърхността на основата се умножава по височината.
Така крайната формула изглежда така: желаната се дефинира като произведението на телесната височина от универсалното число Пи по квадрата на радиуса на основата.
Получената формула, трябва да кажа, е приложима за решаване на най-неочаквани проблеми. По същия начин, както обемът на цилиндър, например, се определя обемът на електрическото окабеляване. Това понякога е необходимо за изчисляване на масата на проводниците.
Единствените разлики във формулата са, че вместо радиуса на един цилиндър, диаметърът на сърцевината на проводника се намалява наполовина и броят на жилата в жицата се появява в израза н... Освен това дължината на проводника се използва вместо височината. По този начин обемът на "цилиндъра" се изчислява не от един, а от броя на плетените проводници.
Такива изчисления често се изискват на практика. В крайна сметка значителна част от резервоарите за вода са направени под формата на тръба. И често е необходимо да се изчисли обемът на цилиндъра дори в домакинство.
Въпреки това, както вече споменахме, формата на цилиндъра може да бъде различна. И в някои случаи се изисква да се изчисли на какво е равен обемът на наклонен цилиндър.
Разликата е, че повърхността на основата се умножава не по дължината на генератрисата, както в случая на прав цилиндър, а по разстоянието между равнините - перпендикулярен сегмент, изграден между тях.
Както се вижда от фигурата, такъв сегмент е равен на произведението на дължината на генератрисата от синуса на ъгъла на наклона на генератрисата към равнината.
Как да изградим разгънат цилиндър
В някои случаи е необходимо да се изреже размах на цилиндъра. Фигурата по-долу показва правилата, по които се изгражда заготовка за производството на цилиндър с дадена височина и диаметър.
Трябва да се има предвид, че фигурата е показана без да се вземат предвид шевовете.
Разлики в скосените цилиндри
Нека си представим определен прав цилиндър, ограничен от едната страна от равнина, перпендикулярна на образуващата. Но равнината, която ограничава цилиндъра от друга страна, не е перпендикулярна на образуващата и не е успоредна на първата равнина.
Фигурата показва скосен цилиндър. Самолет апод определен ъгъл, различен от 90 ° спрямо генераторите, той пресича фигурата.
Тази геометрична форма е по-често срещана на практика под формата на тръбни съединения (колена). Но има дори сгради, построени под формата на скосен цилиндър.
Скосена геометрия на цилиндъра
Наклонът на една от равнините на скосения цилиндър леко променя реда на изчисляване както на повърхността на такава фигура, така и на нейния обем.
Площта на всяка основа на цилиндъра е π r 2, площта на двете бази ще бъде 2π r 2 (фиг.).Площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на площта на правоъгълника, чиято основа е 2π r, а височината е равна на височината на цилиндъра з, т.е. 2π rh.
Общата повърхност на цилиндъра е: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ з).
Площта на страничната повърхност на цилиндъра се приема като зона за сканиранестраничната му повърхност.
Следователно площта на страничната повърхност на прав кръгъл цилиндър е равна на площта на съответния правоъгълник (фиг.) и се изчислява по формулата
S б.ц. = 2πRH, (1)
Ако добавим площите на двете му основи към площта на страничната повърхност на цилиндъра, тогава получаваме площта на общата повърхност на цилиндъра
S пълен = 2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Прав обем на цилиндъра
Теорема. Обемът на прав цилиндър е равен на произведението на неговата основна площ на неговата височина , т.е.където Q е основната площ, а H е височината на цилиндъра.
Тъй като площта на основата на цилиндъра е Q, има поредици от описани и вписани многоъгълници с площи Q ни Q ' нтакъв, че
\ (\ lim_ (n \ стрелка надясно \ infty) \) Q н= \ (\ lim_ (n \ дясна стрелка \ infty) \) Q ’ н= Q.
Нека построим поредица от призми, чиито основи са гореописаните и вписани многоъгълници, а страничните ръбове са успоредни на образуващата на дадения цилиндър и имат дължина H. Тези призми са описани и вписани за този цилиндър. Техните обеми се намират по формулите
V н= Q н H и V ' н= Q ' нХ.
следователно,
V = \ (\ lim_ (n \ стрелка надясно \ infty) \) Q н H = \ (\ lim_ (n \ дясна стрелка \ infty) \) Q ' н H = QH.
Последица.
Обемът на прав кръгъл цилиндър се изчислява по формулата
V = π R 2 H
където R е радиусът на основата и H е височината на цилиндъра.
Тъй като основата на кръгъл цилиндър е окръжност с радиус R, тогава Q = π R 2 и следователно