С началото на изучаването на геометрията всички деца се запознават с понятия като площ и периметър. Ако се научат бързо да намират втората стойност, тъй като няма нужда от умножение, тогава по-младите оценки стигат до стойността на площта по-късно. Като начало, детето трябва да разбере добре какво е паралелепипед, какви лица има и как изглежда в пространството. Едва тогава си струва да преминете към директно умножение и формулата на площта. Как да разберете този процес постепенно, ще видите в тази статия.
Паралелепипедът също е зоноедър. Зоноедърът е форма, за която всяко лице има точкова симетрия. Това означава, че гледайки централната точка на лицето от две противоположни посоки, независимо от тези посоки, винаги ще виждате точно едно и също нещо.
Както при повечето геометрични форми, ние се интересуваме от характеристики като общата повърхност и обема на паралелепипеда. Общата повърхност на кутията е просто сумата от площите на всяка от шестте лица на кутията, всяка от които е кутия. Както при всеки четириъгълник, площта на успоредника е произведението на дължината и височината на основата. Едната страна на успоредника е основата на успоредника, а височината е най-краткото разстояние между страната, избрана за основата, и противоположната на нея страна.
Как да намерите площта на кутия: лицата на фигура
За да разберете точно как се намира зоната на всяка форма, просто трябва да намерите нейните страни. Паралелепипедът има дванадесет ръба и шест лица. Опитайте се да забележите колко от тях са равни? Ако намерите площта на квадрат, тогава ще ви трябва само една стойност, тъй като страните му са равни, докато паралелепипедът може да има собствена стойност за височина, ширина и дължина. Просто трябва да знаете тези три стойности, за да намерите площта на цялата фигура.
Не забравяйте също, че противоположните ръбове на кутията ще бъдат еднакви и следователно ще имат една и съща площ. Обемът на паралелепипеда е произведението на площта на основата на паралелепипеда и неговата височина. Основата на паралелепипед може да бъде всяка от шестте му страни. Височината на кутията е най-краткото разстояние между лицето, избрано като основа на кутията, и лицето срещу нея. Принципът е илюстриран по-долу.
Разбира се, методът, използван за намиране на обема на паралелепипед, ще зависи много от информацията, която даваме. Например, можем да изберем три ръба, които се срещат в един от осемте върха на кутията под формата на триизмерни вектори. Намирането на 3D точков продукт на три вектора е обяснено на страницата за 3D точков продукт, която можете да намерите в раздела Вектори и векторна аритметика. Паралелепипедът е геометрично тяло, ограничено от шест паралелограма, успоредни на успоредни равнини.
Погледнете фигурата за това, което се нарича ширина, дължина и височина на формата.
- а - височината на паралелепипеда;
- b - дължината му. Най-голямата стойност винаги е най-дългата;
- c - ширината на фигурата.
Обърнете внимание, че ако стойността "a" беше два пъти по-дълга от b, тогава тя вече би била дълга, а не височина. Същото може да бъде и с останалите страни. Всички количества са чисто относително понятие, основното е да разберете принципа на тяхното дефиниране.
Паралелепипедът има дванадесет ръба, четири от които са успоредни и равни по дължина. Ако три ръба се появяват във връх като вектори, обемът на паралелния лен се получава от количеството на късния продукт. Повърхността се определя от сбора на отделните повърхности на паралелограма.
И специални формипаралелен лен. Паралелепипедът е специален с паралелограм като основа. Също така в този общ случай P е пространствен пълнител. Обемът на геометричните обекти се изчислява с помощта на методи на аналитична геометрия.
Как да намерите площта на паралелепипед: формула
След като знаете стойностите, можете лесно да намерите площта на кутията. Изглежда така:
- S = (ab + bc + ac) x 2
Тоест, трябва да умножите всички известни стойности помежду си, да добавите получените стойности и след това да умножите по още две. Удвояването се получава, защото паралелепипедът е твърда фигура и има абсолютно същите страни.
Обем на паралелотоп
Обемът на паралелотоп се изчислява чрез избор на произволен връх и всичките 3 насочени вектора, изходящи от него.
Обем на призмата
Обемът на призмата с триъгълник като основа е половината от обема на паралелотопа. За общите призми основната повърхност винаги може да бъде разделена на триъгълници и обемът на отделните призми с триъгълници като основна страна може да бъде изчислен.Обем на пирамида
Обемът на пирамидата може да се изчисли като. Тетраедърът е пирамида, базирана на триъгълник. Тетраедърът е еднозначно дефиниран от четири точки. Формулата за обема на тетраедър е много подобна на формулата за обема на пирамида. Тази статия предоставя формула за изчисляване на обема на тетраедър до половината от обема на пирамида. В края на статията обаче изчислението на обема на пирамидата е представено като „приложение на проучваното до момента“, а формулата за изчисляване на тетраедъра се умножава по 2. Можем ли да разгледаме например изчисляването на обема на тетраедър като приложение на формулата за обема на пирамида?
Разгледайте един пример:
Паралелепипедът е с височина само 2 см, дължината му е цели 22 см, а ширината му е 5 см. Като цяло това е дълга фигура, много сплескана на височина, ако се опитате да си я представите наум. Опитайте се да намерите площта на дадена кутия.
- Първо, умножавате всички известни количества, тоест 2 * 22, 2 * 5 и 5 * 22. Получените стойности са съответно 10 см, 44 см и 110 см.
- Съберете всички решения, които сте получили. 10 + 44 + 110 получавате 164 см.
- Остава само да умножите 164 см по две. Оказва се, че площта на паралелепипеда е 328 cm.
Толкова е лесно да разберете площта на фигура. Малко по-късно можете да усложните задачата и да намерите една от страните с известна област. Това ще затвърди знанията на детето и няма да му позволи да забрави за формулата, по която се намира районът.
Това е многоъгълник с три страни и три ъгъла. Точката, където двете страни се срещат, се нарича ъгъл. Сумата от двете страни на триъгълник винаги е по-голяма от третата. Сумата на ъглите на триъгълника е 180º. Много често се класифицира триъгълниците по страни и ъгли.
Тази права линия минава през ъгъла и през средата на противоположната страна. Има три медиани и три са отрязани в точка, наречена център на тежестта на триъгълника. Това е линията, която разделя ъгъла на две равни части. Има три ъглополовящи и те се изрязват в точка, наречена стимул. Този момент има особеността, че като го центрираме, можем да начертаем вътрешен кръг към триъгълника и да докоснем три страни на триъгълника.
Какво общо имат тухлите, телевизионните кутии и къщите? (Фиг. 1.)
Ориз. 1. Тухла, къща и ТВ бокс
Това е перпендикулярна линия в средата на отсечката. Симетралите на страните на триъгълника се пресичат в точка, наречена квартал. Като създадем центъра в тази точка, можем да начертаем окръжност, минаваща през трите върха на триъгълника. Права линия минава през ъгъл и е перпендикулярна на противоположната страна. Има три височини и се изрязват в точка, наречена ортоцентър.
Най-известният триъгълник е правоъгълникът на триъгълника. Основна страна правоъгълен триъгълникнаречена хипотенуза, а малката страна се нарича катета. Този триъгълник има много важен имот: ако начертаем квадрати отстрани, сумата от площта на квадратите, нанесени в краката, е равна на площта на квадрата, нанесена при хипотенузата.
Възможно ли е да се разбере нещо за тях, което е свързано с всеки един от тези елементи?
Това е задачата на математиката: да изучава нещо общо в напълно различни неща.
Например топката и глобусът са топки, а Земята е почти топка. (фиг. 2.)
Ориз. 2. Топка и глобус
Многоъгълници: те са затворени геометрични фигуриобразувани от сегменти от прави линии. Ако всички страни и всички ъгли на многоъгълника са равни, многоъгълникът се нарича правилен многоъгълник. Най-важните са многоъгълниците: триъгълник и четириъгълник.
Паралелограми: Те са четириъгълници, които са успоредни един на друг. Правоъгълник, квадрат и ромб са паралелограми. Трапец: Четириъгълник с две успоредни страни. Кръг: Това е затворена линия, която има свойството, че всички точки на тази права са на едно и също разстояние от фиксирана точка.
Но обратно към тухлата, сградата и кутията. Как можете да ги опишете?
Това са фигури, ограничени от равнини (фиг. 3). Всяко лице е правоъгълник. Всички такива фигури се наричат правоъгълни паралелепипеди.
Ориз. 3. Лица на правоъгълен паралелепипед
Отсечката от правата, минаваща от центъра към окръжността, се нарича радиус. Линеен сегмент, преминаващ от една точка на окръжност към друга, минаващ през центъра, се нарича диаметър. Кръговете имат много забележително свойство: ако измерим обиколката на кръг и го разделим на диаметъра му, той винаги дава едно и също число.
Повърхнина, ограничена от окръжност, се нарича кръг. Елипса. Това е затворена линия със свойството, че сумата от разстоянията в две дадени точки е постоянна. Отсечката, която свързва двете най-отдалечени точки, се нарича главна ос. Отсечка, която свързва две по-малко отдалечени точки, се нарича строителна ос.
Името показва, че има и неправоъгълни паралелепипеди. Наистина, лицата на паралелепипед могат да бъдат не само правоъгълници, но и произволни паралелограми (фиг. 4).
Ориз. 4. Произволен паралелограм
Точно както можете да направите правилен успоредник от правоъгълник, така е лесно да направите „наклонен паралелепипед“ от правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).
Центърът е точката на срязване на осите. Върховете са четирите точки, където осите пресичат елипсата. Фокусите са две точки, разположени на главната ос, на еднакво разстояние от центъра и отговарящи на условието, че сумата от разстоянията от тези точки до която и да е точка от елипсата е постоянна.
Полиедри: Това са тела с всички плоски лица. Призма: Това е полиедър, чиито основи са равни на многоъгълници и паралелограми. Общият двустранен сегмент се нарича ребра. Призмата е права, ако ръбовете са перпендикулярни на основата. Призмата е правилна, ако е права и основите й са правилни плигони.
Ориз. 5. Наклонен паралелепипед
Първо, трябва да нарисувате най-близката до нас страна, стената, лицето (това е правоъгълник) и след това горната част. Трябва да го нарисувате малко под ъгъл, сякаш го гледате малко отстрани.
Сега трябва да нарисувате десния ръб. Тъй като всички лица са правоъгълници, трябва да се уверите в това противоположни странитези лица бяха успоредни едно на друго.
Обемът на призмата е вертикалната площ на основата. Паралелепипед: Това е призма, чиито проходи са паралелограми. Пирамида: Това е полиедър, чиято основа е многоъгълник, а ръбовете са триъгълници. Пирамидата е правилна, ако основата е правилен многоъгълник и височината минава през центъра.
Пирамида, чиито 4 лица са триъгълник, се нарича тетраедър. Правилният тетраедър е правилен полиедър, образуван от четири равни равностранни триъгълника. Тела с изкривено лице. Цилиндър: Това е твърдото тяло, което се генерира, когато сегмент от линия се измести, поддържайки се в два равни и успоредни кръга.
Ясно е, че гледайки истинска триизмерна фигура е невъзможно да я видите от всички страни наведнъж.
Останалите, "невидими" партии също са необходими. Затова се съгласихме да начертаем онези линии, които не се виждат с пунктирана линия. Необходимо е да завършите рисуването им, като спазвате паралелизъм. (фиг. 6.)
Обемът на цилиндъра е площта на основата във височина. Конус: Това е твърдото тяло, което се генерира, когато сегмент от линия се премести около кръг и в точка. Сфера: Това е повърхност, която има свойството, че всички нейни точки са на едно и също разстояние от точка.
Определете класа на триъгълниците по страните. Определете триъгълници по страните. Класове триъгълници на страните. Намерете третия ъгъл на триъгълника. Намерете четвъртия ъгъл на четириъгълника. За да намерите четвъртия ъгъл на четириъгълник, ако знаем другите три ъгъла, трябва да извадите 360 или броя на градусите от другите три ъгъла. Ако знаем ъгъла, неговият допълнителен ъгъл може да се определи чрез изваждане на ъгъла от 90 °. Допълнителни или допълнителни ъгли.
Ориз. 6. Чертеж на правоъгълен паралелепипед
Това е всичко, изображението на правоъгълния паралелепипед е готово.
Всяка правоъгълна кутия има 8 върха. Често те се обозначават,,, отдолу,,,, - отгоре. (фиг. 7.)
Ориз. 7. Правоъгълен паралелепипед 
Ако знаем ъгъла, неговият допълнителен ъгъл може да бъде намерен чрез изваждане на 90 °. Пример. Какъв е допълнителният ъгъл 43 или? Ако знаем ъгъла, неговият допълнителен ъгъл може да се определи чрез изваждане на 180 °. Изчислете повърхността на квадрата. Как да разберете повърхността на квадрат.
Той е подобен на повърхността на правоъгълник, но основата е със същата дължина като височината. Повърхността на квадрат може да се намери, като се умножи основата сама по себе си. ... Изчислете повърхността на правоъгълника. Как да намерим повърхността на правоъгълник. Повърхността на правоъгълника може да се намери, като се умножи изчислението на повърхността на правоъгълника по височина. Изчислете повърхността на паралелограма.
6 правоъгълника, чиито върхове съвпадат с върховете на паралелепипеда, се наричат лица:
На снимката не всички изглеждат като правоъгълници, това е така, защото не ги гледаме директно, а под ъгъл.
Така че всеки паралелепипед винаги има 8 върха, 6 лица и 12 ръба.
Полиедри. Теорема на Ойлер за многогранници.
Как да намерим повърхността на паралелограма. Повърхността на паралелограма може да се намери, като се умножи основата по височина. ... Изчислете повърхността на трапеца. Трапецът е четириъгълник и има само двойка успоредни страни. Как да определим повърхността на трапец.
- Добавете дължините на двете успоредни страни.
- Разделете на 2, за да получите средната дължина на успоредните страни.
- Умножете това по височината.
Как да разпознаем повърхността на триъгълник. Повърхността на триъгълник може да се намери, като основата се умножи по един и половина пъти повече височина... Намерете повърхността на кръга. Как да намерим повърхността на кръг. Ако знаете диаметъра, радиусът е половината от неговата дължина. ... Изчислете периметъра на квадрата.
Нека разгледаме по-отблизо елементите, за които говорихме: лица, ръбове, върхове.
Сегментът е ограничен от точки. Границата на областта на равнината е линия или няколко сегмента.
От сегментите и техните граници (точки) на равнината събираме многоъгълници (триъгълници, четириъгълници, ... 100-ъгълници).
В пространството имаме равнини, техните граници са ръбове, освен това ръбовете също имат граница - точки, наречени върхове.
Периметърът на квадрат е разстоянието около квадрата. Квадратът има четири страни с еднаква дължина. Изчислете периметъра на правоъгълника. Периметърът на правоъгълника е разстоянието около правоъгълника. Правоъгълникът има четири страни, чиито противоположни страни са равни.
Изчислете периметъра на паралелограма. Периметърът на паралелограма е разстоянието около паралелограма. Паралелограмът има четири страни, чиито противоположни страни са равни. Изчислете обиколката на окръжност. Обиколката на кръг е разстоянието около окръжността. Може да се нарече периметър на окръжност.
Те могат да се използват за събиране на пространствени аналози на многоъгълници – полиедри (фиг. 1). Паралелепипедът е един пример за полиедри.
Ориз. 1. Отсечка, многоъгълник и полиедър
"Най-малкият" многоъгълник е триъгълна пирамида (или тетраедър) (фиг. 2), по аналогия с "най-малкия" многоъгълник - триъгълник.
Ориз. 2. Тетраедър
Интересен факт: във всеки полиедър е валидно следното свойство 
, където е броят на лицата, е броят на върховете, е броят на ръбовете.
Да преброим:
1) Тетраедър: 4 върха, 4 лица и 6 ръба.
Ориз. 3. Тетраедър
2) Кутия: 8 върха, 6 лица и 12 ръба.
Ориз. 4. Паралелепипед
3) Петоъгълна призма: 10 върха, 7 лица и 15 ръба
Фиг. 5. Петоъгълна призма
Броят на върховете и лицата заедно винаги е с 2 повече от броя на ръбовете. И това свойство е валидно за всички полиедри. Това свойство е формулирано от Леонард Ойлер по негово време. Имотът е наречен така: Теорема на Ойлер.
Където: - броя на лицата, - броя на върховете, - броя на ръбовете.
Всички лица на правоъгълен паралелепипед (има 6) са правоъгълници. Всички тези правоъгълници различни ли са? Разбира се, че не.
Като държите кутията в ръцете си, можете да видите, че противоположните лица са равни, тоест те са абсолютно еднакви правоъгълници.
Например, предното лице е същото като задното лице. По същия начин горната и долната повърхност, лявата и дясната, са равни една на друга.
Има ли равни ръбове?
Да, разбира се, можете да видите, че вертикалните ръбове, те са 4, всички са равни един на друг. По същия начин има още две четворки с еднакви ръбове.
Въпрос: ако трябва да залепите такъв хартиен паралелепипед, колко хартия е необходима? И как е необходимо да се залепи правоъгълен паралелепипед или друг полиедър?
Първо, трябва да развиете правоъгълния паралелепипед (фиг. 8).
Ориз. 8. Разгъване на правоъгълен паралелепипед
Вече можете да видите 6 лица на него, по двойки равни едно на друго. Ако го огънете по линиите, ще получите правоъгълен паралелепипед.
Площта на това почистване е количеството хартия, от което се нуждаете. Това се нарича повърхностна площ. Очевидно е равно на сбора от площите на всичките шест лица.
Сега можете да изведете формулата за повърхността на правоъгълен паралелепипед.
Три ръба, излизащи от един връх, могат да имат различни дължини. Нека бъдат обозначени, и. (фиг. 9.)
Ориз. 9. Правоъгълен паралелепипед със страни, и
Всички останали ръбове са равни на една от тези стойности. Необходимо е да намерите областите на всички лица и да ги добавите.
Площта на долната повърхност е равна, така че това е правоъгълник. Горният ръб е абсолютно същият, площта му също е равна. Дясното и лявото лице имат области. Отпред и отзад - всяка.
Като добавим всички тези области, получаваме площта на повърхността:
Колко боя е необходима за боядисване на картонена кутия, ако височината, ширината и дължината на кутията са съответно 20, 30 и 60 см? Разходът на боя е 1 g на всеки 100 cm 2.
Решение
Каква област трябва да боядисате? Очевидно това е повърхността на кутията, защото ще боядисаме нейната повърхност.
Намерете повърхността на кутията. Кутията е правоъгълен паралелепипед. Площта на повърхността е сумата от площите на всички лица, а лицата са равни по двойки.
Разход на боя - 1 g на 100 cm 2. За да намерите необходимото количество боя, разделете общата площ на 100:
Оказва се, че за боядисване на кутия са необходими 72 грама боя.
Заключение
В този урок бяха изучавани правоъгълен паралелепипед, неговите основни свойства и елементи. Освен това е изведена формулата за нейната повърхност и е решен проблемът с прилагането на тази формула.
Библиография
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - Москва: Мнемозина, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006г.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Образование, 1989г.
4. Рурукин A.N., Чайковски I.V. Задачи за курса по математика 5-6 клас - ЗШ МИФИ, 2011г.
5) Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Наръчник за ученици от 6 клас на задочно училище МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011г.
6. Шеврин L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Математика: Учебник-придружител за 5-6 клас гимназия... Библиотека на учителя по математика. - Образование, 1989г.
2. Портал "Първи септември" ()
3. Портал "Презентации за ученици" ()
Домашна работа
1. Колко боя е необходима за боядисване на куб с височина, ширина и дължина съответно 20, 45 и 60 см? Разходът на боя е 5 грама на всеки 100 cm 2.