Internetinė limito skaičiuoklė svetainėje, skirta studentams ir moksleiviams, kad jie galėtų visiškai konsoliduoti išklausytą medžiagą ir lavinti praktinius įgūdžius. Kaip mūsų šaltinyje naudoti internetinę limito skaičiuoklę? Tai galima padaryti net labai paprastai, tereikia turimame laukelyje įvesti originalią funkciją, iš parinkiklio pasirinkti reikiamą kintamojo ribinę reikšmę ir paspausti mygtuką „Sprendimas“. Jei tam tikru momentu jums reikia apskaičiuoti ribinę vertę, tuomet turite įvesti šio taško reikšmę - skaitinę arba simbolinę. Internetinis limito skaičiuotuvas padės rasti ribinę vertę tam tikrame taške, kuri yra funkcijos apibrėžimo diapazono riba, ir šią reikšmę, kur tiriamos funkcijos reikšmė skuba, kai jos argumentas yra linkęs į tam tikrą tašką. , yra ribos sprendimas. Pagal internetinį limitų skaičiuotuvą mūsų svetainėje galime pasakyti taip - internete yra daugybė analogų, galite rasti vertų, to reikia sunkiai ieškoti. Bet tada jūs susidursite su faktu, kad viena svetainė skiriasi nuo kitos. Daugelis jų iš viso nesiūlo internetinės limitų skaičiuoklės, kaip ir mes. Jei kurioje nors gerai žinomoje paieškos sistemoje, ar tai būtų „Yandex“, ar „Google“, svetainių ieškote pagal frazę „Internetinis limito skaičiuotuvas“, tada svetainė bus rodoma pirmose paieškos rezultatų eilutėse. Tai reiškia, kad šios paieškos sistemos mumis pasitiki, o mūsų svetainėje yra tik kokybiškas turinys, o svarbiausia – naudingas mokyklų ir universitetų studentams! Pakalbėkime toliau apie ribinių skaičiuoklių ir apskritai apie perėjimo prie ribos teoriją. Labai dažnai funkcijos ribos apibrėžime formuluojama mikrorajonų sąvoka. Čia funkcijų ribos, kaip ir šių ribų sprendimas, tiriamos tik taškuose, kurie riboja funkcijų apibrėžimo sritį, žinant, kad kiekvienoje tokio taško kaimynystėje yra taškai iš šios funkcijos srities. . Tai leidžia kalbėti apie kintamosios funkcijos polinkį į tam tikrą tašką. Jei tam tikru funkcijos srities tašku yra riba ir internetinis limito skaičiuotuvas pateikia išsamų funkcijos ribos sprendimą šiuo metu, tada funkcija šiuo metu pasirodo esanti tęstinė. Tegul mūsų internetinė limito skaičiuoklė su sprendimu duos teigiamų rezultatų, o mes tai patikrinsime kitose svetainėse. Tai gali įrodyti mūsų išteklių kokybę, ir, kaip daugelis jau žino, jis yra geriausias ir nusipelno didžiausio pagyrimo. Kartu su išsamiu sprendimu ir savarankiškai, tačiau atidžiai prižiūrint profesionaliam mokytojui, galima ištirti internetinio skaičiuotuvo ribas. Dažnai šis veiksmas duoda laukiamų rezultatų. Visi studentai tik svajoja, kad internetinė limito skaičiuoklė su sprendimu išsamiai aprašytų jų sunkią problemą, kurią dėstytoja iškėlė semestro pradžioje. Bet tai nėra taip paprasta. Pirmiausia turite išstudijuoti teoriją, o tada naudoti nemokamą skaičiuotuvą. Kaip ir internetinius limitus, skaičiuoklė detaliai pateiks reikiamus įrašus, o rezultatu būsite patenkinti. Tačiau apibrėžimo srities ribinis taškas gali nepriklausyti šiai apibrėžimo sričiai, ir tai įrodo detalus internetinio limito skaičiuoklės apskaičiavimas. Pavyzdys: galime svarstyti funkcijos ribą atviro segmento, kuriame apibrėžta mūsų funkcija, galuose. Šiuo atveju pačios segmento ribos neįtraukiamos į apibrėžimo sritį. Šia prasme šio taško apylinkių sistema yra ypatingas tokios poaibių bazės atvejis. Realiu laiku sukuriamas internetinis limito skaičiuotuvas su detaliu sprendimu, o formulės taikomos tam tikra analitine forma. Funkcijos riba naudojant internetinį ribų skaičiuotuvą su detaliu sprendimu yra sekos ribos sampratos apibendrinimas: iš pradžių funkcijos riba taške buvo suprantama kaip diapazono elementų sekos riba. funkcijos reikšmių, sudarytų iš funkcijos srities elementų sekos taškų vaizdų, konverguojančių į tam tikrą tašką (ribą, kurioje jis laikomas); jei tokia riba yra, tada sakoma, kad funkcija konverguoja į nurodytą reikšmę; jei tokios ribos nėra, tada sakoma, kad funkcija skiriasi. Apskritai, perėjimo iki ribos teorija yra pagrindinė visos matematinės analizės samprata. Viskas paremta būtent ribiniais perėjimais, tai yra, matematinės analizės mokslo pamatuose klojamas detalus ribų sprendimas, o internetinė limitų skaičiuoklė padeda pamatus mokinių mokymui. Internetinė limito skaičiuoklė su išsamiu sprendimu svetainės svetainėje yra unikali paslauga, skirta gauti tikslų ir greitą atsakymą realiuoju laiku. Neretai, tiksliau, labai dažnai, mokiniams iš karto kyla sunkumų spręsdami ribas pradiniame matematinės analizės studijoje. Garantuojame, kad sprendimas su internetine limito skaičiuokle mūsų paslaugoje yra tikslumo ir kokybiško atsakymo garantas.. Atsakymą į išsamų limito sprendimą skaičiuokle gausite per kelias sekundes, galbūt net ir iš karto pasakyk. Jei nurodysite neteisingus duomenis, tai yra simbolius, kurių sistema neleidžia, viskas gerai, paslauga automatiškai praneš apie klaidą. Pataisykite anksčiau įvestą funkciją (arba ribinį tašką) ir gaukite teisingą išsamų sprendimą naudodami internetinę limito skaičiuoklę. Pasitikėkite mumis ir mes niekada jūsų nenuvilsime. Galite lengvai naudotis svetaine, o internetinė limito skaičiuoklė su sprendimu išsamiai aprašys nuoseklius problemos apskaičiavimo veiksmus. Jums tereikia palaukti kelias sekundes ir gauti trokštamą atsakymą. Norint išspręsti ribas naudojant internetinį skaičiuotuvą su detaliu sprendimu, naudojami visi įmanomi gudrybės, ypač labai dažnai naudojamas L'Hôpital metodas, nes jis yra universalus ir leidžia greičiau nei kiti funkcijos ribos skaičiavimo metodai. . Dažnai norint apskaičiuoti skaičių sekos sumą, reikalingas detalus sprendimas internete, naudojant limito skaičiuoklę. Kaip žinote, norint rasti skaitinės sekos sumą, tereikia teisingai išreikšti dalinę šios sekos sumą, o tada viskas paprasta naudojant mūsų nemokamų paslaugų svetainę, nes limitas apskaičiuojamas naudojant internetinę limito skaičiuoklę iš dalinės sumos. bus bendra skaitinės sekos suma. Detalus sprendimas su limitų skaičiuokle internete, naudojantis paslauga, svetainė suteikia studentams galimybę pamatyti problemų sprendimo eigą, todėl ribų teorijos supratimas yra lengvas ir prieinamas beveik kiekvienam. Būkite susikaupę ir neleiskite, kad netinkami dalykai trukdytų blogiems pažymiams. Kaip ir bet kuris išsamus sprendimas naudojant limito skaičiuoklės internetinę paslaugą, užduotis bus pateikta patogia ir suprantama forma, su detaliu sprendimu, laikantis visų sprendimo gavimo taisyklių ir reglamentų.. Tokiu atveju sutaupysite laiko ir pinigų, nes mes neprašome visiškai nieko ... Mūsų svetainėje visą parą visada galima rasti išsamų limitų skaičiuoklių internetu sprendimą. Tiesą sakant, visi internetiniai limitų skaičiuotuvai su sprendimu gali detaliai nepateikti etapinio sprendimo eigos, to nereikėtų pamiršti ir visi turėtų sekti. Kai tik internetinės skaičiuoklės su išsamiu sprendimu ribos paragins spustelėti mygtuką „Sprendimas“, tada pirmiausia viską patikrinkite. tai yra, patikrinkite įvestą funkciją, taip pat ribinę vertę ir tik tada tęskite. Taip išvengsite nesėkmingų skaičiavimų agonijos. Ir tada internetinio skaičiuotuvo ribos su išsamiais įstatymais parodys teisingą veiksnį žingsnis po žingsnio. Jei internetinė limito skaičiuoklė staiga nepateikė išsamaus sprendimo, tai gali būti keletas priežasčių. Pirmiausia patikrinkite parašytą funkcinę išraišką. Jame turi būti kintamasis "x", kitaip sistema visą funkciją suvoks kaip konstantą. Toliau patikrinkite ribinę vertę, jei nurodėte kontrolinę vertę arba simbolinę vertę. Jame taip pat turėtų būti tik lotyniškos raidės – tai svarbu! Tada galite pabandyti dar kartą rasti išsamų sprendimą dėl apribojimų internete, naudodamiesi mūsų puikia paslauga, ir pasinaudoti rezultatu. Kai tik jie pasako, kad sprendimo ribos internete detaliai yra labai sunkios – netikėkite, o svarbiausia nepanikuokite, viskas išsprendžiama mokymo kurso metu. Rekomenduojame be panikos skirti vos kelias minutes mūsų paslaugai ir patikrinti užsibrėžtą pratimą. Jei vis dėlto nepavyksta išsamiai išspręsti sprendimo internete ribų, tada padarėte rašybos klaidą, nes kitu atveju svetainė išsprendžia beveik visas problemas be jokių ypatingų sunkumų. Tačiau nereikia galvoti, kad norimą rezultatą galite gauti iš karto be jokių pastangų ir pastangų. Šiaip ar taip, medžiagai išstudijuoti reikia skirti pakankamai laiko. Kiekviena internetinė limito skaičiuoklė su sprendimu gali būti išsamiai parodyta atviro sprendimo kūrimo etape ir daryti prielaidą priešingai. Bet nesvarbu, kaip tai išreikšti, nes mums rūpi pats mokslinio požiūrio procesas. Dėl to parodysime, kaip internetinė limito skaičiuoklė yra išsamiai pagrįsta pagrindiniu matematikos, kaip mokslo, aspektu. Pažymėkite penkis pagrindinius principus ir pradėkite tolesnius veiksmus. Jūsų paklaus, ar sprendimas yra prieinamas su internetine limito skaičiuokle su detaliu sprendimu kiekvienam, ir jūs atsakysite – taip, yra! Galbūt šia prasme ir nėra ypatingo dėmesio rezultatui, tačiau internetiniame limite detaliai įdedama kiek kitokia prasmė, nei gali atrodyti pirmuosiuose disciplinos studijų etapuose. Laikydamiesi subalansuoto požiūrio ir tinkamai suderindami jėgas, galite greitai patys nustatyti internetinę ribą. Realiai atsitiks taip, kad internetinė limito skaičiuoklė su išsamiu sprendimu pradės greičiau proporcingai atvaizduoti visus žingsnis po žingsnio skaičiavimo veiksmus.
Ribų teorija yra viena iš matematinės analizės šakų. Ribų sprendimo problema yra gana plati, nes yra dešimtys būdų, kaip išspręsti įvairių tipų ribas. Yra dešimtys niuansų ir gudrybių, kaip išspręsti tą ar kitą ribą. Nepaisant to, mes vis tiek stengsimės suprasti pagrindinius apribojimų tipus, su kuriais dažniausiai susiduriama praktikoje.
Pradėkime nuo pačios ribos sąvokos. Bet pirmiausia trumpas istorinis fonas. 19 amžiuje gyveno prancūzas Augustinas Louis Cauchy, kuris padėjo matematinės analizės pagrindus ir pateikė griežtus apibrėžimus, ypač ribos apibrėžimą. Turiu pasakyti, kad tas pats Košy sapnavo, sapnuos ir sapnuos košmaruose visiems fizikos ir matematikos fakultetų studentams, nes jis įrodė daugybę matematinės analizės teoremų, o viena teorema yra šlykštesnė už kitą. Šiuo atžvilgiu mes nenagrinėsime griežto ribos apibrėžimo, bet stengsimės padaryti du dalykus:
1. Supraskite, kas yra riba.
2. Išmokite susidoroti su pagrindiniais apribojimų tipais.
Atsiprašau už kai kuriuos nemoksliškus paaiškinimus, svarbu, kad medžiaga būtų suprantama net arbatinukui, o tai iš tikrųjų yra projekto užduotis.
Taigi kokia yra riba?
Ir iš karto pavyzdys, kodėl gauruota močiutė...
Bet kokia riba susideda iš trijų dalių:
1) Gerai žinoma ribos piktograma.
2) Šiuo atveju įrašai po ribos piktograma. Įrašas yra „x linkęs į vieną“. Dažniausiai – tiksliai, nors vietoje „x“ praktikoje yra kiti kintamieji. Praktiniuose pratimuose vieneto vietoje gali būti absoliučiai bet koks skaičius, taip pat begalybė ().
3) Šiuo atveju funkcijos po ribiniu ženklu.
Pats įrašas 
skamba taip: "funkcijos riba, kai x linkusi į vienybę".
Išanalizuokime kitą svarbų klausimą – ką reiškia posakis „x siekia vienam"? O kas vis dėlto yra „stengtis“?
Ribos sąvoka yra sąvoka, jei galiu taip pasakyti, dinamiškas... Sukurkime seką: pirma, tada,, ..., 
, ….
Tai yra, išraiška „x siekiaį vieną "turėtų būti suprantama taip -" x "nuosekliai perima vertybes, kurios yra be galo artimos vienybei ir praktiškai su ja sutampa.
Kaip išspręsti aukščiau pateiktą pavyzdį? Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, jums tereikia pakeisti vieną funkcijoje po ribos ženklu:
Taigi pirmoji taisyklė yra tokia: Kai suteikiama kokia nors riba, pirmiausia mes tiesiog bandome prijungti skaičių prie funkcijos.
Mes apsvarstėme paprasčiausią ribą, tačiau praktikoje net ir tokių yra, be to, ne taip jau retai!
Pavyzdys su begalybe:
Išsiaiškinkime, kas tai yra? Tai yra atvejis, kai jis didėja neribotai, tai yra: pirma, tada, tada, tada ir taip iki begalybės.
Kas šiuo metu nutinka funkcijai?
, , 
, …
Taigi: jei, tada funkcija linkusi į minus begalybę:
Grubiai tariant, pagal pirmąją mūsų taisyklę vietoj „x“ į funkciją pakeičiame begalybę ir gauname atsakymą.
Kitas pavyzdys su begalybe:
Vėl pradedame didėti iki begalybės ir žiūrime į funkcijos elgseną: 
Išvada: kai funkcija didėja neribotai:
Ir dar viena pavyzdžių serija:
Pabandykite mintyse išanalizuoti šiuos dalykus ir prisiminkite paprasčiausius ribų tipus:
, , , , 
, , , , 
,
Jei bet kur kyla abejonių, galite pasiimti skaičiuotuvą ir šiek tiek pasitreniruoti.
Tokiu atveju pabandykite sukurti seką,,. Jei tada,,.
Pastaba: Griežtai kalbant, šis būdas sudaryti sekas iš kelių skaičių yra neteisingas, tačiau jis yra gana tinkamas suprasti paprasčiausius pavyzdžius.
Taip pat atkreipkite dėmesį į toliau pateiktą dalyką. Net jei limitas duotas su dideliu skaičiumi viršuje, bet net su milijonu:, tai nesvarbu 
, nes anksčiau ar vėliau „X“ įgaus tokias milžiniškas vertes, kad milijonas, palyginti su jais, bus tikras mikrobas.
Ką reikia atsiminti ir suprasti iš aukščiau pateiktų dalykų?
1) Kai suteikiama bet kokia riba, pirmiausia bandome prijungti skaičių prie funkcijos.
2) Turite suprasti ir nedelsiant išspręsti pačias paprasčiausias ribas, pvz 
, ir kt.
Dabar mes apsvarstysime ribų grupę, kai funkcija yra trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario
Pavyzdys:
Apskaičiuokite limitą 
Pagal mūsų taisyklę bandysime į funkciją pakeisti begalybę. Ką mes gauname viršuje? Begalybė. O kas vyksta apačioje? Taip pat begalybė. Taigi mes turime vadinamąjį rūšies neapibrėžtumą. Galima būtų manyti, kad ir atsakymas yra paruoštas, tačiau apskritai taip nėra, reikia pritaikyti tam tikrą sprendimo techniką, kurią mes dabar apsvarstysime.
Kaip išspręsti tam tikro tipo ribas?
Pirmiausia žiūrime į skaitiklį ir randame didžiausią galią: 
Didžiausias skaitiklio laipsnis yra du.
Dabar žiūrime į vardiklį ir taip pat randame didžiausią galią: 
Didžiausia vardiklio galia yra du.
Tada pasirenkame didžiausią skaitiklio ir vardiklio laipsnį: šiame pavyzdyje jie yra vienodi ir lygūs dviem.
Taigi, sprendimo būdas yra toks: norint atskleisti neapibrėžtumą, reikia skaitiklį ir vardiklį padalyti iš didžiausios laipsnio.
Taip yra, atsakymas, o ne begalybė.
Kas iš esmės svarbu kuriant sprendimą?
Pirmiausia nurodome neapibrėžtumą, jei toks yra.
Antra, patartina pertraukti sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų. Dažniausiai naudoju ženklą, jis neturi jokios matematinės reikšmės, o reiškia, kad sprendimas buvo nutrauktas dėl tarpinio paaiškinimo.
Trečia, riboje pageidautina pažymėti, ko ir kur siekiama. Kai darbas atliktas rankomis, patogiau tai daryti taip: 
Pažymėjimui geriausia naudoti paprastą pieštuką.
Žinoma, jūs nieko negalite padaryti, bet tada galbūt mokytojas pastebės sprendimo trūkumus arba pradės užduoti papildomus klausimus. Ar tau to reikia?
2 pavyzdys
Raskite ribą 
Vėlgi, skaitiklyje ir vardiklyje randame didžiausią galią: 
Maksimalus skaitiklio laipsnis: 3
Didžiausias vardiklio laipsnis: 4
Mes renkamės didžiausias vertė, šiuo atveju keturi.
Pagal mūsų algoritmą, norėdami atskleisti neapibrėžtumą, skaitiklį ir vardiklį padalijame iš.
Visas užduoties dizainas gali atrodyti taip:
Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš
3 pavyzdys
Raskite ribą 
Didžiausias „x“ laipsnis skaitiklyje: 2
Didžiausias "x" laipsnis vardiklyje: 1 (gali būti parašytas kaip)
Norėdami atskleisti neapibrėžtumą, skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš. Švarus sprendimas gali atrodyti taip:
Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš
Įrašymas reiškia ne padalijimą iš nulio (negalima dalyti iš nulio), o dalijimą iš be galo mažo skaičiaus.
Taigi, atskleisdami rūšies neapibrėžtumą, galime gauti baigtinis skaičius, nulis arba begalybė.
Tipo ribos su neapibrėžtumu ir jų sprendimo būdas
Kita ribų grupė yra šiek tiek panaši į ką tik nagrinėtas ribas: skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario, tačiau „x“ nebelinksta į begalybę, o į baigtinis skaičius.
4 pavyzdys
Išspręskite ribą 
Pirmiausia pabandykime trupmenoje pakeisti -1: 
Tokiu atveju gaunamas vadinamasis neapibrėžtumas.
Pagrindinė taisyklė: jei skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario ir yra formos neaiškumų, tada jos atskleidimui reikia išskirti skaitiklį ir vardiklį.
Norėdami tai padaryti, dažniausiai turite išspręsti kvadratinę lygtį ir (arba) naudoti sutrumpintas daugybos formules. Jei pamiršote šiuos dalykus, apsilankykite puslapyje Matematinės formulės ir lentelės ir perskaityti mokomąją medžiagą Karštų formulių mokyklinis matematikos kursas... Beje, geriausia spausdinti, to reikia labai dažnai, o informacija iš popieriaus geriau įsisavinama.
Taigi, mes nustatome savo limitą 
Išskirkime skaitiklį ir vardiklį
Norėdami išskirti skaitiklį, turite išspręsti kvadratinę lygtį: 
Pirmiausia randame diskriminantą:
Ir jo kvadratinė šaknis:.
Jei diskriminantas yra didelis, pavyzdžiui, 361, mes naudojame skaičiuotuvą, kvadratinės šaknies funkcija yra prieinama paprasčiausiu skaičiuotuvu.
! Jei šaknis nėra visiškai išskirta (gaunamas trupmeninis skaičius su kableliu), labai tikėtina, kad diskriminantas apskaičiuotas neteisingai arba darbe yra rašybos klaida.
Toliau randame šaknis: 
Šiuo būdu:
Viskas. Skaitiklis buvo išplėstas.
Vardiklis. Vardiklis jau yra pats paprasčiausias veiksnys, ir jokiu būdu negalima jo supaprastinti.
Akivaizdu, kad jis gali būti sutrumpintas:
Dabar išraiškoje pakeičiame -1, kuri lieka po ribos ženklu:
Natūralu, kad teste, teste, egzamine sprendimas niekada nėra aprašytas taip išsamiai. Galutinėje versijoje dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:
Išskaidykite skaitiklį. 
5 pavyzdys
Apskaičiuokite limitą 
Pirma, „švarus“ sprendimas
Išskirkime skaitiklį ir vardiklį.
Skaitiklis:
Vardiklis: 
, 
Kas svarbu šiame pavyzdyje?
Pirma, turėtumėte gerai suprasti, kaip atskleidžiamas skaitiklis, pirmiausia iš skliausteliuose ištraukėme 2, o tada panaudojome kvadratų skirtumo formulę. Tai formulė, kurią reikia žinoti ir pamatyti.
Iš aukščiau esančio straipsnio galite sužinoti, kokia yra riba ir su kuo ji valgoma – tai LABAI svarbu. Kodėl? Gali nesuprasti, kas yra determinantai ir sėkmingai juos išspręsti, gali visai nesuprasti, kas yra išvestinė ir rasti juos geriausių penketuke. Bet jei nesupranti, kokia yra riba, tada bus sunku išspręsti praktines užduotis. Taip pat nebus nereikalinga susipažinti su sprendinių projekto pavyzdžiais ir mano rekomendacijomis dėl projektavimo. Visa informacija pateikiama paprasta ir prieinama forma.
O šios pamokos tikslams mums reikia šios mokymo medžiagos: Nuostabios ribos ir Trigonometrinės formulės... Juos galima rasti puslapyje. Instrukcijas geriausia atsispausdinti – taip daug patogiau, be to, dažnai prie jų tenka prieiti neprisijungus.
Kodėl nuostabios ribos tokios nuostabios? Šių ribų nuostabumas slypi tame, kad jas įrodė didžiausi garsių matematikų protai, o dėkingi palikuonys neturi kęsti siaubingų ribų su krūva trigonometrinių funkcijų, logaritmų, laipsnių. Tai yra, kai surandame ribas, naudosime jau paruoštus rezultatus, kurie buvo teoriškai įrodyti.
Yra keletas puikių apribojimų, tačiau praktiškai 95% atvejų neakivaizdinių studijų studentai turi dvi nepaprastas ribas: Pirma nuostabi riba, Antra nuostabi riba... Reikėtų pažymėti, kad tai istoriškai nusistovėję pavadinimai ir, pavyzdžiui, kalbėdami apie „pirmąją nuostabią ribą“, tai reiškia labai apibrėžtą dalyką, o ne kokią nors atsitiktinę ribą, paimtą iš lubų.
Pirma nuostabi riba
Apsvarstykite šią ribą: (vietoj gimtosios raidės „jis“ naudosiu graikišką raidę „alfa“, tai patogesnė medžiagos pateikimo požiūriu).
Pagal mūsų ribų nustatymo taisyklę (žr Ribos. Sprendimų pavyzdžiai) bandome į funkciją pakeisti nulį: skaitiklyje gauname nulį (nulio sinusas lygus nuliui), vardiklyje, aišku, irgi nulis. Taigi susiduriame su rūšies neapibrėžtumu, kurio, laimei, nereikia atskleisti. Matematinės analizės metu įrodoma, kad:
Šis matematinis faktas vadinamas Pirma nuostabi riba... Aš nepateiksiu analitinio ribos įrodymo, bet mes apsvarstysime jos geometrinę reikšmę pamokoje apie be galo mažos funkcijos.
Dažnai praktinėse užduotyse funkcijos gali būti išdėstytos skirtingai, tai nieko nekeičia:
- ta pati pirmoji nuostabi riba.
Bet jūs negalite patys pertvarkyti skaitiklio ir vardiklio! Jei riba nurodyta formoje, tai ji turi būti išspręsta ta pačia forma, nieko nepertvarkant.
Praktikoje kaip parametras gali veikti ne tik kintamasis, bet ir elementari funkcija, kompleksinė funkcija. Tik svarbu, kad ji siektų nulio..
Pavyzdžiai:
, , 
, 
Čia , , , 
ir viskas gerai – taikoma pirmoji nuostabi riba.
Tačiau kitas įrašas yra erezija:
Kodėl? Kadangi daugianomas nelinkęs į nulį, jis linkęs į penkis.
Beje, klausimas pildymui, o kokia ta riba 
? Atsakymą rasite pamokos pabaigoje.
Praktikoje ne viskas taip sklandžiai, beveik niekada studentui nebus pasiūlyta išspręsti nemokamą limitą ir gauti lengvą testą. Hmm... Rašau šias eilutes, ir man į galvą šovė labai svarbi mintis – juk „laisvi“ matematiniai apibrėžimai ir formulės, atrodo, geriau įsimena mintinai, tai gali suteikti neįkainojamos pagalbos teste, kai klausimas bus nuspręsta tarp „du“ ir „trys“, o mokytojas nuspręs užduoti mokiniui kokį nors paprastą klausimą arba pasiūlys išspręsti paprasčiausią pavyzdį („gal jis (a) vis tiek žino ką?!“).
Pereikime prie praktinių pavyzdžių:
1 pavyzdys
Raskite ribą
Jei riboje pastebime sinusą, tai iš karto turėtų paskatinti mus pagalvoti apie galimybę pritaikyti pirmą reikšmingą ribą.
Pirmiausia bandome pakeisti 0 išraiškoje po ribos ženklu (tai darome mintyse arba pagal juodraštį):
Taigi, mes turime tokio neapibrėžtumo, jo būtinai nurodykite kuriant sprendimą. Išraiška po ribos ženklu atrodo kaip pirmoji pastebima riba, tačiau tai nėra tiksliai ji, ji yra po sinusu, o vardiklyje.
Tokiais atvejais turime patys suorganizuoti pirmąjį reikšmingą ribą, naudojant dirbtinį triuką. Samprotavimo linija gali būti tokia: „po sinusu, kurį turime, tai reiškia, kad ir mes turime patekti į vardiklį“.
Ir tai daroma labai paprastai:
Tai yra, vardiklis šiuo atveju dirbtinai padauginamas iš 7 ir dalinamas iš tų pačių septynių. Dabar įrašas įgavo pažįstamą formą.
Kai užduotis sudaroma ranka, patartina paprastu pieštuku pažymėti pirmąją žymią ribą:
Kas nutiko? Tiesą sakant, apibraukta išraiška virto vienetu ir kūrinyje išnyko: 
Dabar belieka atsikratyti trijų aukštų frakcijos: 
Jei pamiršote kelių lygių trupmenų supaprastinimą, atnaujinkite žinyno medžiagą. Karštų formulių mokyklinis matematikos kursas .
Paruošta. Galutinis atsakymas:
Jei nenorite naudoti pieštuko ženklų, sprendimą galite padaryti taip:
“
Pasinaudojus pirmąja nuostabia riba 
“
2 pavyzdys
Raskite ribą
Riboje vėl matome trupmeną ir sinusą. Bandome pakeisti nulį skaitiklyje ir vardiklyje:
Iš tiesų turime neapibrėžtumo, todėl turime pabandyti suorganizuoti pirmąją nepaprastą ribą. Pamokoje Ribos. Sprendimų pavyzdžiai Atsižvelgėme į taisyklę, kad kai turime neapibrėžtumo, turime išskirti skaitiklį ir vardiklį. Čia - tas pats, laipsnius pateiksime produkto (veiksnių) pavidalu:
Panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, pieštuku nubrėžiame nepaprastas ribas (čia yra dvi) ir nurodome, kad jos linkusios susivienyti:
Tiesą sakant, atsakymas yra paruoštas:
Tolesniuose pavyzdžiuose aš neužsiimsiu menais „Paint“, manau, kaip teisingai sudaryti sprendimą užrašų knygelėje - jūs jau suprantate.
3 pavyzdys
Raskite ribą
Pakeiskite nulį išraiškoje po ribos ženklu:
Gauta neaiškumų, kuriuos reikia atskleisti. Jei riboje yra liestinė, tai beveik visada ji paverčiama sinusu ir kosinusu pagal gerai žinomą trigonometrinę formulę (beje, maždaug tą patį daro ir su kotangentu, žr. metodinę medžiagą Karštos trigonometrinės formulės Puslapyje Matematinės formulės, lentelės ir pamatinė medžiaga).
Tokiu atveju:
Nulio kosinusas lygus vienetui, ir jo lengva atsikratyti (nepamirškite pažymėti, kad jis linkęs į vienetą):
Taigi, jei riboje kosinusas yra DAUGIKLIS, tai, grubiai tariant, jis turi būti paverstas vienetu, kuris sandaugoje išnyksta.
Čia viskas pasirodė lengviau, be daugybos ir dalybos. Pirmoji nepaprasta riba taip pat virsta viena ir išnyksta kūrinyje:
Dėl to gaunama begalybė, taip pat atsitinka.
4 pavyzdys
Raskite ribą
Bandome pakeisti nulį skaitiklyje ir vardiklyje:
Gaunamas neapibrėžtis (nulio kosinusas, kaip prisimename, yra lygus vienetui)
Mes naudojame trigonometrinę formulę. Užsirašyti! Dėl tam tikrų priežasčių šios formulės naudojimo ribos yra labai dažnos.
Perkeliame pastovius veiksnius už ribos piktogramos ribų:
Suorganizuokime pirmąjį nuostabų limitą:
Čia turime tik vieną nepaprastą ribą, kuri virsta vienetu ir išnyksta kūrinyje:
Atsikratykime trijų aukštų struktūros:
Riba iš tikrųjų išspręsta, nurodome, kad likęs sinusas linkęs į nulį:
5 pavyzdys
Raskite ribą 
Šis pavyzdys yra sudėtingesnis, pabandykite tai išsiaiškinti patys:
Kai kurias ribas galima sumažinti iki 1-osios nuostabios ribos pakeitus kintamąjį, apie tai galite perskaityti šiek tiek vėliau straipsnyje Riboti sprendimo būdus.
Antra nuostabi riba
Matematinės analizės teorijoje įrodyta, kad:
Šis faktas vadinamas antra nuostabi riba.
Nuoroda: 
Yra neracionalus skaičius.
Kaip parametras gali veikti ne tik kintamasis, bet ir sudėtinga funkcija. Tik svarbu, kad ji siektų begalybės..
6 pavyzdys
Raskite ribą
Kai po ribos ženklu esanti išraiška yra galiojanti, tai yra pirmasis požymis, kad reikia pabandyti nustatyti antrą reikšmingą ribą.
Bet pirmiausia, kaip visada, bandome pakeisti be galo didelį skaičių išraiškoje, kokiu principu tai daroma, išardyta pamokoje Ribos. Sprendimų pavyzdžiai.
Tai nesunku pastebėti laipsnio bazė, o eksponentas yra , tai yra, yra formos neapibrėžtumas:
Šis neapibrėžtumas tik atskleidžiamas antrosios nepaprastos ribos pagalba. Tačiau, kaip dažnai nutinka, antroji nepaprasta riba yra ne ant sidabrinio padėklo ir turi būti dirbtinai organizuota. Galime ginčytis taip: šiame pavyzdyje parametras reiškia, kad mes taip pat turime organizuoti rodiklį. Norėdami tai padaryti, pakeliame bazę iki galios, o kad išraiška nepasikeistų, pakeliame ją į galią:
Kai užduotis atliekama ranka, pieštuku pažymime:
Beveik viskas paruošta, baisus laipsnis virto gražiu laišku:
Tokiu atveju pati ribos piktograma perkeliama į indikatorių:
7 pavyzdys
Raskite ribą
Dėmesio! Šio tipo apribojimai yra labai dažni, todėl labai atidžiai išstudijuokite šį pavyzdį.
Stengiamės pakeisti be galo didelį skaičių išraiškoje po ribos ženklu:
Rezultatas – netikrumas. Tačiau antroji nepaprasta riba taikoma rūšių neapibrėžtumui. Ką daryti? Turite konvertuoti laipsnio bazę. Ginčijamės taip: mūsų vardiklyje tai reiškia, kad skaitiklyje taip pat reikia organizuoti.
Funkcijos riba- numeris a bus tam tikros kintamosios reikšmės riba, jei ją keičiant ši kintamojo reikšmė be galo artėja a.
Arba, kitaip tariant, skaičius A yra funkcijos riba y = f (x) taške x 0 jei bet kuriai taškų sekai iš funkcijos srities, kuri nėra lygi x 0, ir kuris susilieja su tašku x 0 (lim x n = x0), atitinkamų funkcijos reikšmių seka suartėja su skaičiumi A.
Funkcijos grafikas, kurio argumento, linkusio į begalybę, riba yra L:
Reikšmė A yra funkcijos riba (ribinė reikšmė). f (x) taške x 0 jei kokiai nors taškų sekai 
kuri susilieja su x 0 bet kuriame nėra x 0 kaip vienas iš jo elementų (t. y. pradurtoje kaimynystėje x 0), funkcijos reikšmių seka 
susilieja su A.
Funkcijos Koši riba.
Reikšmė A bus funkcijos riba f (x) taške x 0 jei už bet kurį į priekį paimtą neneigiamą skaičių ε bus rastas atitinkamas neneigiamas skaičius δ = δ(ε) toks, kad kiekvienam argumentui x tenkinantis sąlygą 0 < | x - x0 | < δ , nelygybė | f (x) A |< ε .
Tai bus labai paprasta, jei suprasite limito esmę ir pagrindines jo nustatymo taisykles. Kokia yra funkcijos riba f (x) adresu x siekiantis a yra lygus A, parašyta taip:
Be to, vertė, į kurią linksta kintamasis x, gali būti ne tik skaičius, bet ir begalybė (∞), kartais + ∞ arba -∞, arba ribos gali nebūti.
Norėdami suprasti, kaip rasti funkcijos ribas, geriausia matyti sprendimų pavyzdžius.
Būtina rasti funkcijos ribas f (x) = 1 /x adresu:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Raskime pirmosios ribos sprendimą. Norėdami tai padaryti, galite tiesiog pakeisti x skaičius, į kurį linksta, t.y. 2, gauname:
Raskite antrąją funkcijos ribą... Čia vietoj grynos formos pakeiskite 0 x tai neįmanoma, nes negalite padalyti iš 0. Bet galime imti reikšmes, artimas nuliui, pavyzdžiui, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 ir pan., ir funkcijos reikšmė f (x) padidės: 100; 1000; 10 000; 100 000 ir pan. Taigi galima suprasti, kad už x→ 0 funkcijos, kuri yra po ribiniu ženklu, reikšmė didės neribotai, t.y. siekti begalybės. Tai reiškia:
Kalbant apie trečiąją ribą. Tokia pati situacija kaip ir ankstesniu atveju, pakeisti neįmanoma ∞ gryniausia forma. Turime apsvarstyti neriboto padidėjimo atvejį x... 1000 pakeičiame po vieną; 10 000; 100000 ir tt, mes turime tą funkcijos reikšmę f (x) = 1 /x sumažės: 0,001; 0,0001; 0,00001; ir taip toliau, linkę į nulį. Taigi:
Būtina apskaičiuoti funkcijos ribą 
Pradėdami spręsti antrąjį pavyzdį, matome neapibrėžtumą. Iš čia randame aukščiausią skaitiklio ir vardiklio laipsnį - tai yra x 3, išimame jį iš skaitiklio ir vardiklio skliaustų ir sumažiname juo:
Atsakymas 
Pirmas žingsnis rasti šią ribą, vietoj to pakeiskite reikšmę 1 x, dėl to turime neapibrėžtumo. Norėdami tai išspręsti, skaitiklį sudedame į veiksnius, tai padarysime kvadratinės lygties šaknų paieškos metodu x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4 * 1 * (- 3) = 4 +12 = 16→ √ D =√16 = 4
x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Taigi skaitiklis būtų toks:
Atsakymas 
Tai yra jo konkrečios reikšmės apibrėžimas arba tam tikra sritis, į kurią patenka funkcija, kurią riboja riba.
Norėdami išspręsti apribojimus, vadovaukitės taisyklėmis:
Supratę esmę ir pagrindinį limito sprendimo taisyklės, gausite pagrindinį supratimą, kaip juos išspręsti.