Bendra problemos formuluotė: kai kurių įvykių tikimybės yra žinomos, tačiau reikia apskaičiuoti kitų įvykių, kurie yra susiję su šiais įvykiais, tikimybes. Atliekant šias užduotis, reikalingi tokie tikimybių veiksmai, kaip tikimybių sudėjimas ir dauginimas.
Pavyzdžiui, medžiojant paleidžiami du šūviai. Renginys A- pataikyti į antį iš pirmo šūvio, įvykis B– pataikė iš antro šūvio. Tada įvykių suma A ir B- pataikyti iš pirmo ar antro šūvio arba iš dviejų šūvių.
Kitokio tipo užduotys. Pateikiami keli įvykiai, pavyzdžiui, moneta metama tris kartus. Reikia rasti tikimybę, kad arba herbas bus numestas visus tris kartus, arba kad herbas bus nupieštas bent kartą. Tai tikimybių dauginimo problema.
Nenuoseklių įvykių tikimybių pridėjimas
Tikimybių sudėjimas naudojamas, kai reikia apskaičiuoti atsitiktinių įvykių sąjungos tikimybę arba loginę sumą.
Įvykių suma A ir Bžymėti A + B arba A ∪ B... Dviejų įvykių suma yra įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta bent vienas iš įvykių. Tai reiškia kad A + B- įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvykis įvyko stebėjimo metu A arba renginys B, arba tuo pačiu metu A ir B.
Jei įvykiai A ir B yra tarpusavyje nesuderinami ir pateikiamos jų tikimybės, tada tikimybė, kad vienas iš šių įvykių įvyks atlikus vieną testą, apskaičiuojama pridedant tikimybes.
Tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų tarpusavyje nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:
Pavyzdžiui, medžiojant paleidžiami du šūviai. Renginys A- pataikyti į antį iš pirmo šūvio, įvykis V- pataikymas iš antrojo šūvio, įvykis ( A+ V) – pataikymas iš pirmo ar antro šūvio arba iš dviejų šūvių. Taigi, jei du įvykiai A ir V- tada nesuderinami įvykiai A+ V- bent vieno iš šių įvykių arba dviejų įvykių pradžia.
1 pavyzdys. Dėžutėje yra 30 vienodo dydžio kamuoliukų: 10 raudonų, 5 mėlynų ir 15 baltų. Apskaičiuokite tikimybę, kad nežiūrint bus paimtas spalvotas (ne baltas) rutulys.
Sprendimas. Tarkime, kad įvykis A- „raudonas kamuolys paimtas“, ir įvykis V- "paimamas mėlynas kamuolys". Tada įvykis yra „paimamas spalvotas (ne baltas) kamuolys“. Raskite įvykio tikimybę A:
ir įvykius V:
Renginiai A ir V- tarpusavyje nesuderinama, nes jei paimamas vienas rutulys, tada negalima paimti skirtingų spalvų kamuoliukų. Todėl naudojame tikimybių pridėjimą:
Kelių nenuoseklių įvykių tikimybių sudėjimo teorema. Jei įvykiai sudaro visą įvykių rinkinį, tada jų tikimybių suma yra 1:
Priešingų įvykių tikimybių suma taip pat lygi 1:
Priešingi įvykiai sudaro visą įvykių rinkinį, o viso įvykių rinkinio tikimybė yra 1.
Priešingų įvykių tikimybės dažniausiai žymimos mažomis raidėmis p ir q... Visų pirma,
iš kurių išplaukia šios priešingų įvykių tikimybės formulės:
2 pavyzdys. Taikinys šaudykloje yra padalintas į 3 zonas. Tikimybė, kad tam tikras šaulys šaudys į taikinį pirmoje zonoje yra 0,15, antroje zonoje - 0,23, trečioje zonoje - 0,17. Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys į taikinį, ir tikimybę, kad šaulys nepataikys į taikinį.
Sprendimas: Raskime tikimybę, kad šaulys pataikys į taikinį:
Raskime tikimybę, kad šaulys nepataikė į taikinį:
Sunkesnės užduotys, kuriose reikia taikyti ir tikimybių sudėjimą, ir daugybą – puslapyje „Įvairios tikimybių sudėjimo ir daugybos problemos“.
Abipusiai suderinamų įvykių tikimybių pridėjimas
Du atsitiktiniai įvykiai vadinami jungtiniais, jei vieno įvykio įvykis neatmeta galimybės įvykti antrojo įvykio tame pačiame stebėjime. Pavyzdžiui, metant kauliuką, įvykis A svarstomas skaičiaus 4 kritimas, o įvykis V- iškrito lyginis skaičius. Kadangi skaičius 4 yra lyginis skaičius, abu įvykiai yra suderinami. Praktikoje yra užduočių, skirtų vieno iš abipusiai bendrų įvykių tikimybei apskaičiuoti.
Bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybė, kad įvyks vienas iš bendrų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, iš kurios atimama abiejų įvykių bendro įvykio tikimybė, tai yra tikimybių sandauga. Bendrų įvykių tikimybių formulė yra tokia:
Nuo įvykių A ir V suderinamas, įvykis A+ Vįvyksta, jei įvyksta vienas iš trijų galimų įvykių: arba AB... Pagal nesuderinamų įvykių pridėjimo teoremą apskaičiuojame taip:
Renginys Aįvyks, jei įvyks vienas iš dviejų nenuoseklių įvykių: arba AB... Tačiau vieno įvykio iš kelių nesuderinamų įvykių tikimybė yra lygi visų šių įvykių tikimybių sumai:
Taip pat:
Išreiškimus (6) ir (7) pakeitę išraiška (5), gauname bendrų įvykių tikimybių formulę:
Naudojant (8) formulę, reikia turėti omenyje, kad įvykiai A ir V gal būt:
- nepriklausomi vienas nuo kito;
- viena nuo kitos priklausomos.
Tikimybių formulė viena kitai nepriklausomiems įvykiams:
Tikimybių formulė viena kitai priklausomiems įvykiams:
Jei įvykiai A ir V yra nenuoseklūs, tada jų sutapimas yra neįmanomas atvejis ir todėl P(AB) = 0. Ketvirtoji nenuoseklių įvykių tikimybės formulė yra tokia:
3 pavyzdys. Automobilių lenktynėse važiuojant pirmąja mašina yra tikimybė laimėti, važiuojant antruoju automobiliu. Rasti:
- tikimybė, kad laimės abu automobiliai;
- tikimybė, kad laimės bent vienas automobilis;
1) Tikimybė, kad laimės pirmasis automobilis nepriklauso nuo antrojo automobilio rezultato, todėl įvykiai A(laimi pirmas automobilis) ir V(laimi antrasis automobilis) – nepriklausomi renginiai. Raskime tikimybę, kad laimės abu automobiliai:
2) Raskime tikimybę, kad laimės vienas iš dviejų automobilių:
Sunkesnės užduotys, kuriose reikia taikyti ir tikimybių sudėjimą, ir daugybą – puslapyje „Įvairios tikimybių sudėjimo ir daugybos problemos“.
Pats išspręskite tikimybių pridėjimo uždavinį, tada pamatykite sprendimą
4 pavyzdys. Mestos dvi monetos. Renginys A- iškritimas iš herbo ant pirmosios monetos. Renginys B- antrosios monetos iškritimas iš herbo. Raskite įvykio tikimybę C = A + B .
Tikimybių daugyba
Tikimybių daugyba naudojamas apskaičiuojant įvykių loginės sandaugos tikimybę.
Be to, atsitiktiniai įvykiai turi būti nepriklausomi. Du įvykiai vadinami vienas nuo kito nepriklausomais, jei vieno įvykio įvykis neturi įtakos antrojo įvykio tikimybei.
Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema. Dviejų nepriklausomų įvykių vienu metu tikimybė A ir V yra lygus šių įvykių tikimybių sandaugai ir apskaičiuojamas pagal formulę:
5 pavyzdys. Moneta metama tris kartus iš eilės. Raskite tikimybę, kad herbas bus numestas visus tris kartus.
Sprendimas. Tikimybė, kad ant pirmojo monetos metimo herbas atsiras, antrą kartą, trečią kartą. Raskime tikimybę, kad herbas bus nupieštas visus tris kartus:
Pats išspręskite tikimybių daugybos uždavinius, tada pamatykite sprendimą
6 pavyzdys. Komplekte yra devynių naujų teniso kamuoliukų dėžutė. Žaidimui paimami trys kamuoliai, po žaidimo jie grąžinami atgal. Renkantis kamuoliukus neskiriami sužaisti ir nežaisti. Kokia tikimybė, kad po trijų žaidimų dėžėje neliks kamuolių?
7 pavyzdys. Ant suskaidytos abėcėlės kortelių parašytos 32 rusiškos abėcėlės raidės. Atsitiktinai viena po kitos išimamos penkios kortos ir dedamos ant stalo atsiradimo tvarka. Raskite tikimybę, kad raidės sudarys žodį „pabaiga“.
8 pavyzdys. Iš pilnos kortų kaladės (52 lapai) iš karto išimamos keturios kortos. Raskite tikimybę, kad visos keturios šios kortos yra skirtingų spalvų.
9 pavyzdys. Ta pati problema kaip ir 8 pavyzdyje, bet išėmus kiekviena korta grąžinama į kaladę.
Sunkesnės užduotys, kuriose reikia taikyti ir tikimybių sudėtį, ir daugybą, taip pat apskaičiuoti kelių įvykių sandaugą – puslapyje „Įvairios tikimybių sudėties ir daugybos problemos“.
Tikimybę, kad įvyks bent vienas iš tarpusavyje nepriklausomų įvykių, galima apskaičiuoti iš 1 atėmus priešingų įvykių tikimybių sandaugą, tai yra naudojant formulę.
Pradėkime nuo nepriklausomų įvykių. Renginiai yra nepriklausomas jei atsiradimo tikimybė bet kuris iš jų nepriklauso nuo likusių nagrinėjamo rinkinio įvykių atsiradimo/nepasirodymo (visais įmanomais deriniais).
Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema: nepriklausomų įvykių bendro atsiradimo tikimybė A ir V yra lygus šių įvykių tikimybių sandaugai: P (AB) = P (A) × P (B)
Grįžkime prie paprasčiausio 1-osios pamokos pavyzdžio, kuriame mestos dvi monetos ir šie įvykiai:
- dėl metimo galvos nukris ant 1-osios monetos;
- Dėl metimo galvos nukris ant 2-osios monetos.
Raskime įvykio А 1 А 2 tikimybę (ant 1 monetos pasirodo erelis ir ant 2-osios monetos atsiras erelis - prisimename, kaip tai skaitomarenginių gamyba !) ... Tikimybė patekti ant vienos monetos galvų niekaip nepriklauso nuo kitos monetos metimo rezultato, todėl įvykiai A1 ir A2 yra nepriklausomi. Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
P (A 1 A 2) = P (A 1) × P (A 2) = × =
Taip pat:
= × = × = yra tikimybė, kad 1-oji moneta nusileis ir ant 2-osios uodegos;
= × = × = - tikimybė, kad ant 1-osios monetos atsiras galvutės ir ant 2-osios uodegos;
= × = × = yra tikimybė, kad ant 1-osios monetos atsiras uodegos ir ant 2-ojo erelio.
Atkreipkite dėmesį, kad įvykiai,,, forma pilna grupė o jų tikimybių suma lygi vienetui: + + + = = 1
Daugybos teorema akivaizdžiai tęsiasi iki 6 O daugiau nepriklausomų renginių, pavyzdžiui, jei renginiai A, B, C yra nepriklausomi, tada jų bendro puolimo tikimybė yra lygi: P (ABC) = P (A) × P (B) × P (C).
3 problema
Kiekvienoje iš trijų dėžučių yra 10 dalių. Pirmoje dėžutėje yra 8 standartinės dalys, antroje - 7, trečioje - 9. Iš kiekvienos dėžės atsitiktine tvarka paimama viena dalis. Raskite tikimybę, kad visos detalės bus standartinės.
Sprendimas: tikimybė paimti standartinę ar nestandartinę dalį iš bet kurios dėžės nepriklauso nuo to, kurios dalys paimamos iš kitų dėžių, todėl problema susijusi su nepriklausomais įvykiais. Apsvarstykite šiuos nepriklausomus įvykius:
S 1- iš 1 dėžės išimta standartinė dalis;
S 2- iš 2 dėžės išimta standartinė dalis;
S 3- iš 3 dėžės pašalinta standartinė dalis.
Pagal klasikinį apibrėžimą: P (S 1) = = 0,8; P (S 2) = = 0,7; P (S 3)= = 0,9; - atitinkamos tikimybės.
Mus dominantis renginys (standartinė dalis bus pašalinta iš 1 dėžutėsir nuo 2 standartoir nuo 3 standarto) išreikštas gaminiu S 1 S 2 S 3.
Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
R( S 1 S 2 S 3) = P (S 1) × P (S 2) × P (S 3) = 0,8 × 0,7 × 0,9 = 0,504- tikimybė, kad iš 3 dėžių bus pašalinta viena standartinė dalis.
Atsakymas: tikimybė, kad visos dalys bus standartinės, yra 0,504
4 problema (už nepriklausomą sprendimą)
Trijose urnose yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš kiekvienos urnos atsitiktinai paimamas vienas rutulys. Raskite tikimybę, kad: a) visi trys rutuliai bus balti; b) visi trys rutuliai bus vienodos spalvos.
Pagal gautą informaciją atspėkite, kaip elgtis su daiktu „būti“. Apytikslis sprendimo pavyzdys yra sukurtas akademiniu stiliumi, o pamokos pabaigoje pateikiamas išsamus visų įvykių sąrašas.
Priklausomi įvykiai... Renginys X yra vadinami priklausomas jei jos tikimybė P (X) priklauso iš vieno arba b O daugiau jau įvykusių įvykių. Pavyzdžių toli ieškoti nereikia – tiesiog nueikite iki artimiausios parduotuvės:
X- Rytoj 19.00 bus parduodama šviežia duona.
Šio įvykio tikimybė priklauso nuo daugelio kitų įvykių: ar rytoj bus pristatyta šviežia duona, ar ji bus išparduota iki 19 valandos ar ne ir pan. Atsižvelgiant į įvairias aplinkybes, šis įvykis gali būti patikimas P (X)= 1 ir neįmanoma P (X)= 0. Taigi įvykis X yra priklausomas.
Kitas pavyzdys, V- studentas gaus paprastą egzamino bilietą.
Jei neinate pirmas, tada renginys V bus priklausomas, nes jos tikimybė P (B) priklausys nuo to, kokius bilietus jau ištraukė bendramoksliai.
Įvykiai A, B, C ... vadinami priklausomas vienas nuo kito, jeigu bent vieno iš jų atsiradimo tikimybė kinta priklausomai nuo kitų įvykių atsiradimo ar neįvykimo. Renginiai vadinami nepriklausomas jeigu kiekvienos iš jų atsiradimo tikimybės nepriklauso nuo kitų atsiradimo ar neįvykimo.
Sąlyginė tikimybė(PA (B) – sąlyginė įvykio B tikimybė, palyginti su A) yra įvykio B tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad įvykis A jau įvyko. sąlyginės tikimybės pavyzdys Sąlyginė įvykio B tikimybė, jei įvykis A jau įvyko, pagal apibrėžimą yra lygi PA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)> 0).
Priklausomų įvykių tikimybių dauginimas: tikimybė, kad du įvykiai įvyks kartu, yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito įvykio tikimybe, apskaičiuota darant prielaidą, kad pirmasis įvykis jau įvyko:
P (AB) = P (A) PA (B)
Pavyzdys... Kolektorius turi 3 kūginius ir 7 elipsinius volelius. Kolektorius paėmė vieną ritinėlį, o paskui kitą. Raskite tikimybę, kad pirmasis iš paimtų ritinių yra kūgio formos, o antrasis – elipsės formos.
Sprendimas: Tikimybė, kad pirmasis volas bus kūginis (įvykis A), P (A) = 3/10. Tikimybė, kad antrasis volas bus elipsinis (įvykis B), apskaičiuojama darant prielaidą, kad pirmasis volas yra kūginis, tai yra , sąlyginė tikimybė PA (B) = 7/9.
Pagal daugybos formulę norima tikimybė P (AB) = P (A) PA (B) = (3/10) * (7/9) = 7/30 Atkreipkite dėmesį, kad išlaikę žymėjimą galime nesunkiai rasti : P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30
Renginių nepriklausomumo sąlyga. Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimas. Pavyzdžiai.
Įvykis B nepriklauso nuo įvykio A, jei
P (B / A) = P (B) t.y. įvykio B tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvykis A.
Šiuo atveju įvykis A nepriklauso nuo įvykio B, tai yra, įvykių nepriklausomumo savybė yra abipusė.
Dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi jų tikimybių sandaugai:
P (AB) = P (A) P (B).
1 pavyzdys:Įrenginys, veikiantis laiko t metu, susideda iš trijų mazgų, kurių kiekvienas, nepriklausomai nuo kitų, gali sugesti (sugesti) per laiką t. Bent vieno mazgo gedimas sukelia viso įrenginio gedimą. Laikui t pirmojo mazgo patikimumas (tikimybė be gedimų) yra lygus p 1 = 0,8; antras p 2 = 0,9 trečias p 3 = 0,7. Raskite viso įrenginio patikimumą.
Sprendimas.Žymi:
A - prietaisų veikimas be problemų,
A 1 – pirmojo mazgo veikimas be gedimų,
A 2 – antrojo mazgo veikimas be gedimų,
A 3 - trečiojo mazgo veikimas be gedimų,
iš kur pagal nepriklausomų įvykių daugybos teoremą
P (A) = P (A 1) P (A 2) P (A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504
2 pavyzdys... Raskite tikimybę, kad skaičius pasirodys kartu išmetus dvi monetas.
Sprendimas... Pirmosios monetos figūros atsiradimo tikimybė (įvykis A) P (A) = 1/2; antrosios monetos skaitmens atsiradimo tikimybė (įvykis B) - P (B) = 1/2.
Įvykiai A ir B yra nepriklausomi, todėl randame norimą tikimybę
pagal formulę:
P (AB) = P (A) P (B) = 1/2 * 1/2 = 1/4
Įvykių suderinamumas ir nenuoseklumas. Dviejų bendrų įvykių tikimybių pridėjimas. Pavyzdžiai.
Vadinami du renginiai Bendras jeigu vieno iš jų išvaizda neturi įtakos ir neatmeta kitos išvaizdos. Bendri įvykiai gali būti realizuoti vienu metu, pavyzdžiui, skaičiaus atsiradimas ant vieno kaulo arba
jokiu būdu neturi įtakos skaičių išvaizdai ant kito kaulo. Įvykiai nenuoseklūs jei viename reiškinyje ar viename bandyme jie negali būti realizuoti vienu metu, o vieno iš jų atsiradimas pašalina kito atsiradimą (pataikyti į taikinį ir trūkti nesuderinami).
Tikimybė, kad įvyks bent vienas iš dviejų bendrų įvykių A arba B, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro įvykimo tikimybės:
P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB).
Pavyzdys... Pirmajam sportininkui tikimybė pataikyti į taikinį yra 0,85, o antrajam - 0,8. Sportininkai nepriklausomai vienas nuo kito
paleido po vieną šūvį. Raskite tikimybę, kad bent vienas sportininkas pasieks taikinį?
Sprendimas... Įveskime tokį užrašą: įvykiai A – „pataikė pirmas sportininkas“, B – „pataikė antras sportininkas“, C – „pataikė bent vienas iš sportininkų“. Akivaizdu, kad A + B = C, o įvykiai A ir B yra sujungti. Pagal formulę gauname:
P (C) = P (A) + P (B) - P (AB)
P (C) = P (A) + P (B) -P (A) P (B),
kadangi A ir B yra nepriklausomi įvykiai. Pakeitę šias reikšmes P (A) = 0,85, P (B) = 0,8 į P (C) formulę, randame norimą tikimybę
P (C) = (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 = 0,97
Klasikinis tikimybės apibrėžimas.
Įvykio tikimybė yra kiekybinis matas, įvedamas norint palyginti įvykius pagal jų atsiradimo tikimybės laipsnį.
Įvykis, vaizduojamas kaip kelių elementarių įvykių rinkinys (suma), vadinamas sudėtiniu įvykiu.
Įvykis, kurio negalima suskaidyti į paprastesnius, vadinamas elementariu.
Įvykis vadinamas neįmanomu, jei jis niekada neįvyksta tam tikro eksperimento (testo) sąlygomis.
Tikėtini ir neįmanomi įvykiai nėra atsitiktiniai.
Bendri renginiai- keli įvykiai vadinami jungtiniais, jei po eksperimento įvykęs vienas iš jų neatmeta kitų atsiradimo.
Nesuderinami įvykiai- keli įvykiai tam tikrame eksperimente vadinami nenuosekliais, jei vieno iš jų atsiradimas neleidžia atsirasti kitiems. Vadinami du renginiai priešingas, jei vienas iš jų įvyksta tada ir tik tada, kai neįvyksta kitas.
Įvykio A tikimybė yra P (A) – vadinamas skaičiaus santykiu m elementarūs įvykiai (rezultatai), palankūs įvykiui įvykti A, prie numerio n visų elementariųjų įvykių tam tikro tikimybinio eksperimento sąlygomis.
Iš apibrėžimo išplaukia šios tikimybės savybės:
1. Atsitiktinio įvykio tikimybė yra teigiamas skaičius nuo 0 iki 1:
2. Tam tikro įvykio tikimybė yra 1: (3)
3. Jei įvykis neįmanomas, tai jo tikimybė yra
4. Jei įvykiai nesuderinami, tada
5. Jeigu įvykiai A ir B yra jungtiniai, tai jų sumos tikimybė lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro atsiradimo tikimybės:
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB)(6)
6. Jei ir yra priešingi įvykiai, tada (7)
7. Įvykių tikimybių suma А 1, А 2, ..., А n visos grupės sudarymas yra lygus 1:
P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n) = 1.(8)
Ekonomikos studijose reikšmės ir formulės gali būti interpretuojamos skirtingai. At statistinis apibrėžimasįvykio tikimybė suprantama kaip eksperimento, kurio metu įvykis įvyko lygiai vieną kartą, rezultatų stebėjimų skaičius. Šiuo atveju ryšys vadinamas santykinis įvykio dažnis (dažnis).
Renginiai A, B yra vadinami nepriklausomas jei kiekvieno iš jų tikimybės nepriklauso nuo to, ar įvyko kitas įvykis, ar ne. Nepriklausomų įvykių tikimybės vadinamos besąlyginis.
Renginiai A, B yra vadinami priklausomas jei kiekvieno iš jų tikimybė priklauso nuo to, ar įvyko kitas įvykis, ar ne. Įvykio B tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad jau įvyko kitas įvykis A, vadinama sąlyginė tikimybė.
Jei du įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tada lygybės yra teisingos:
P (B) = P (B / A), P (A) = P (A / B) arba P (B / A) - P (B) = 0(9)
Dviejų priklausomų įvykių A, B sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito tikimybe:
P (AB) = P (B) ∙ P (A / B) arba P (AB) = P (A) ∙ P (B / A) (10)
Įvykio B tikimybė, jei įvyks A:
Dviejų sandaugos tikimybė nepriklausomasįvykiai A, B yra lygūs jų tikimybių sandaugai:
P (AB) = P (A) ∙ P (B)(12)
Jei keli įvykiai yra poromis nepriklausomi, tada jų nepriklausomumas visumoje iš čia neišplaukia.
Renginiai А 1, А 2, ..., А n (n> 2) yra vadinami nepriklausomais visumoje, jei kiekvieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kuris nors kitas įvykis, ar ne.
Kelių, visumoje nepriklausomų, įvykių bendro įvykio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:
Р (А 1 ∙ А 2 ∙ А 3 ∙… ∙ А n) = Р (А 1) ∙ Р (А 2) ∙ Р (А 3) ∙ ... ∙ Р (А n). (13)
Matematikos USE užduotyse yra ir sudėtingesnių tikimybių uždavinių (nei nagrinėjome 1 dalyje), kur reikia taikyti sudėjimo, tikimybių daugybos taisyklę ir atskirti bendrus ir nesuderinamus įvykius.
Taigi teorija.
Bendri ir nesuderinami renginiai
Įvykiai vadinami nenuosekliais, jei įvykęs vienas iš jų pašalina kitų atsiradimą. Tai yra, gali įvykti tik vienas konkretus įvykis arba kitas.
Pavyzdžiui, metant kauliuką, galima atskirti tokius įvykius kaip lyginis taškų skaičius ir nelyginis taškų skaičius. Šie įvykiai yra nesuderinami.
Įvykiai vadinami bendrais įvykiais, jei vieno iš jų įvykimas neatmeta kito.
Pavyzdžiui, metant kauliuką, galima išskirti tokius įvykius kaip nelyginis taškų skaičius ir trijų taškų kartotinis. Kai metimas tris kartus, įvyksta abu įvykiai.
Įvykių suma
Kelių įvykių suma (arba derinys) yra įvykis, susidedantis iš bent vieno iš šių įvykių.
Kuriame dviejų nesuderinamų įvykių suma yra šių įvykių tikimybių suma:
Pavyzdžiui, tikimybė gauti 5 ar 6 taškus ant kauliuko su vienu metimu bus, nes abu įvykiai (5 metimas, 6 metimas) yra nesuderinami ir tikimybė, kad įvyks vienas ar antrasis įvykis, apskaičiuojama taip:
Tikimybė dviejų bendrų renginių suma yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, neatsižvelgiant į jų bendrą atsiradimą:
Pavyzdžiui, prekybos centre du vienodi automatai parduoda kavą. Tikimybė, kad iki dienos pabaigos aparate baigsis kava, yra 0,3. Tikimybė, kad abiejuose aparatuose pritrūks kavos, yra 0,12. Raskime tikimybę, kad iki dienos pabaigos kava baigsis bent viename iš aparatų (tai yra arba viename, arba kitame, arba abiejuose iš karto).
Pirmojo įvykio „kava baigiasi pirmame aparate“ tikimybė, taip pat antrojo įvykio „kava baigiasi antrame aparate“ tikimybė yra lygi 0,3 pagal sąlygą. Renginiai vyksta bendradarbiaujant.
Pirmųjų dviejų įvykių bendro realizavimo tikimybė pagal sąlygą yra 0,12.
Tai reiškia, kad tikimybė, kad iki dienos pabaigos bent viename iš aparatų pritrūks kavos
Priklausomi ir nepriklausomi renginiai
Du atsitiktiniai įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų įvykimas nekeičia kito įvykimo tikimybės. Kitu atveju įvykiai A ir B vadinami priklausomais.
Pavyzdžiui, jei vienu metu metami du kauliukai, vieno iš jų kritimas, tarkime, 1, o antrojo 5, yra nepriklausomi įvykiai.
Tikimybių sandauga
Kelių įvykių produktas (arba susikirtimas) yra įvykis, susidedantis iš visų šių įvykių bendro pasirodymo.
Jei atsitiks du nepriklausomi renginiai A ir B su tikimybėmis atitinkamai P (A) ir P (B), tada įvykių A ir B tikimybė vienu metu yra lygi tikimybių sandaugai:
Pavyzdžiui, mus domina šešių iškritimas ant kauliuko du kartus iš eilės. Abu įvykiai yra nepriklausomi ir kiekvieno iš jų realizavimosi tikimybė atskirai yra. Tikimybė, kad įvyks abu šie įvykiai, bus apskaičiuojama naudojant aukščiau pateiktą formulę:.
Peržiūrėkite užduočių, skirtų temai parengti, pasirinkimą.