Kvadrātiskā L forma no n Mainīgie ir summa, kuras katrs vārds ir vai nu viena no šiem mainīgajiem kvadrāts, vai divu dažādu mainīgo reizinājums.
Pieņemot, ka kvadrātiskā formā L Līdzīgu terminu samazināšana jau ir veikta, šīs formas koeficientiem ieviesīsim šādu apzīmējumu: koeficientu for apzīmē ar , bet koeficientu reizinājumā apzīmē ar . Tā kā šī reizinājuma koeficientu varētu apzīmēt arī ar , t.i. Mūsu ieviestais apzīmējums pieņem vienādības derīgumu. Terminu tagad var rakstīt formā
un visa kvadrātiskā forma L– visu iespējamo terminu summas veidā, kur i Un j jau pieņem vērtības neatkarīgi viens no otra
no 1 līdz n:
(6.13)
Koeficientus var izmantot, lai izveidotu kvadrātveida matricu n kārtībā; tas tiek saukts kvadrātiskās formas L matrica, un tā rangs ir rangsšī kvadrātiskā forma. Ja jo īpaši, , t.i. matrica nav deģenerēta, tad tā ir kvadrātiskā forma L sauca nav deģenerēts. Tā kā , tad matricas A elementi, kas ir simetriski attiecībā pret galveno diagonāli, ir vienādi viens ar otru, t.i. matrica A - simetrisks. Un otrādi, jebkurai simetriskai matricai A n kārtas var norādīt precīzi definētu kvadrātveida formu (6.13). n mainīgie, kuriem ir matricas A elementi ar to koeficientiem.
Kvadrātformu (6.13) var attēlot matricas formā, izmantojot 3.2. sadaļā ieviesto matricas reizināšanu. Ar X apzīmēsim kolonnu, kas sastāv no mainīgajiem
X ir matrica ar n rindām un vienu kolonnu. Transponējot šo matricu, mēs iegūstam matricu 
, kas sastāv no vienas līnijas. Kvadrātformu (6.13) ar matricu tagad var uzrakstīt kā šādu reizinājumu:
Patiešām:
un tiek noteikta formulu (6.13) un (6.14) līdzvērtība.
Pierakstiet to matricas formā.
○ Atradīsim kvadrātiskās formas matricu. Tās diagonālie elementi ir vienādi ar kvadrātā ielikto mainīgo koeficientiem, t.i. 4, 1, –3 un citi elementi – kvadrātformas atbilstošo koeficientu pusēm. Tāpēc
. ●
Noskaidrosim, kā mainās kvadrātiskā forma mainīgo lielumu nedeģenerētas lineāras transformācijas apstākļos.
Ņemiet vērā, ka, ja matricas A un B ir tādas, ka to reizinājums ir definēts, tad vienādība ir spēkā:
(6.15)
Patiešām, ja ir definēts reizinājums AB, tad tiks definēts arī reizinājums: matricas kolonnu skaits ir vienāds ar matricas rindu skaitu. Matricas elements, kas stāv tajā i rinda un j kolonnā, matricā AB atrodas j rinda un i kolonnā. Tāpēc tas ir vienāds ar atbilstošo elementu produktu summu j-matricas A rinda un i matricas B kolonna, t.i. vienāds ar līnijas atbilstošo elementu reizinājumu summu j matricas kolonna un i matricas rinda. Tas pierāda vienlīdzību (6.15).
Ļaujiet matricas kolonnas mainīgajiem 
Un 
ir saistīti ar lineāro sakarību X = CY, kur C = ( c ij) 
ir kāda nevienskaitļa matrica n-tais pasūtījums. Tad kvadrātveida forma
vai 
, Kur.
Matrica būs simetriska, jo, ņemot vērā vienādību (6.15), kas acīmredzami ir derīga jebkuram skaitam faktoru, un vienādību , kas ir ekvivalenta matricas A simetrijai, mums ir:
Tātad ar nedeģenerētu lineāru transformāciju X=CY kvadrātiskās formas matrica iegūst formu
komentēt. Kvadrātiskās formas rangs nemainās, veicot nedeģenerētu lineāro transformāciju.
Piemērs. Dota kvadrātiskā forma
Atrodiet kvadrātisko formu, kas iegūta no dotās lineārās transformācijas
, .
○ Dotās kvadrātiskās formas matrica 
, un lineārās transformācijas matrica 
. Tāpēc saskaņā ar (6.16) vēlamās kvadrātiskās formas matrica
un kvadrātveida formai ir forma . ●
Ar dažām labi izvēlētām lineārām transformācijām kvadrātiskās formas formu var ievērojami vienkāršot.
Kvadrātiskā forma 
sauca kanonisks(vai ir kanoniskais skatījums), ja visi tā koeficienti pie i≠ j:
,
un tā matrica ir pa diagonāli.
Sekojošā teorēma ir patiesa.
Teorēma 6.1. Jebkuru kvadrātisko formu var reducēt uz kanonisku formu, izmantojot mainīgo lielumu nedeģenerētu lineāru transformāciju.
Piemērs. Samaziniet kvadrātisko formu līdz kanoniskajai formai
○ Pirmkārt, mēs atlasām mainīgā lieluma pilnu kvadrātu, kura kvadrāta koeficients atšķiras no nulles:
.
Tagad atlasīsim tā mainīgā kvadrātu, kura kvadrāta koeficients atšķiras no nulles:
Tātad, nedeģenerēta lineāra transformācija
samazina šo kvadrātisko formu līdz kanoniskajai formai
.●
Kvadrātiskās formas kanoniskā forma nav unikāli definēta, jo to pašu kvadrātisko formu daudzos veidos var reducēt uz kanonisko formu. Tomēr kanoniskajām formām, kas iegūtas ar dažādām metodēm, ir vairākas kopīgas īpašības. Formulēsim vienu no šīm īpašībām kā teorēmu.
Teorēma 6.2.(kvadrātisko formu inerces likums).
Kvadrātiskās formas pozitīvo (negatīvo) koeficientu terminu skaits nav atkarīgs no formas redukcijas metodes līdz šai formai.
Piemēram, kvadrātveida forma
ko 131. lappusē aplūkotajā piemērā ievedām veidlapā
tas bija iespējams, pielietojot nedeģenerētu lineāru transformāciju
vest pie prāta
.
Kā redzat, pozitīvo un negatīvo koeficientu skaits (attiecīgi divi un viens) ir saglabāts.
Ņemiet vērā, ka kvadrātiskās formas rangs ir vienāds ar kanoniskās formas koeficientu skaitu, kas nav nulle.
Kvadrātiskā forma 
tiek saukts par pozitīvu (negatīvu) noteiktu, ja visām mainīgo vērtībām, no kurām vismaz viena nav nulle,
(
).
Kvadrātformas jēdziens. Kvadrātiskās formas matrica. Kvadrātiskās formas kanoniskā forma. Lagranža metode. Kvadrātiskās formas normāls skats. Kvadrātformas rangs, rādītājs un paraksts. Pozitīva noteikta kvadrātiskā forma. Kvadriķi.
Kvadrātiskās formas jēdziens: funkcija vektora telpā, ko definē homogēns otrās pakāpes polinoms vektora koordinātēs.
Kvadrātiskā forma no n nezināms 
sauc par summu, kuras katrs loceklis ir vai nu viena no šiem nezināmajiem kvadrāts, vai arī divu dažādu nezināmo reizinājums.
Kvadrātiskā matrica: Matricu noteiktā bāzē sauc par kvadrātiskās formas matricu. Ja lauka raksturlielums nav vienāds ar 2, varam pieņemt, ka kvadrātiskās formas matrica ir simetriska, tas ir.
Uzrakstiet kvadrātiskās formas matricu:
Tāpēc
Vektora matricas formā kvadrātiskā forma ir:
A, kur 
Kvadrātiskās formas kanoniskā forma: Kvadrātisku formu sauc par kanonisku, ja viss 
t.i.
Jebkuru kvadrātisko formu var reducēt uz kanonisku formu, izmantojot lineāras transformācijas. Praksē parasti tiek izmantotas šādas metodes.
Lagranža metode : pabeigtu kvadrātu secīga atlase. Piemēram, ja
Tad līdzīga procedūra tiek veikta ar kvadrātveida formu 
utt Ja kvadrātiskā formā viss ir bet 
tad pēc sākotnējās pārveidošanas jautājums nonāk līdz izskatāmajai procedūrai. Tātad, ja, piemēram, tad mēs pieņemam 
Kvadrātiskās formas parastā forma: Parastā kvadrātiskā forma ir kanoniskā kvadrātiskā forma, kurā visi koeficienti ir vienādi ar +1 vai -1.
Kvadrātformas rangs, rādītājs un paraksts: Kvadrātiskās formas rangs A sauc par matricas rangu A. Kvadrātiskās formas pakāpe nemainās nezināmo nedeģenerēto transformāciju gadījumā.
Negatīvo koeficientu skaitu sauc par negatīvās formas indeksu.
Pozitīvo vārdu skaitu kanoniskā formā sauc par kvadrātiskās formas pozitīvo inerces indeksu, negatīvo vārdu skaitu par negatīvo indeksu. Atšķirību starp pozitīvo un negatīvo indeksu sauc par kvadrātiskās formas parakstu
Pozitīva noteikta kvadrātiskā forma:Īsta kvadrātiskā forma 
tiek saukts par pozitīvu noteiktu (negatīvu noteiktu), ja jebkurai mainīgo reālajai vērtībai, kas vienlaikus nav nulle,
. (36)
Šajā gadījumā matricu sauc arī par pozitīvu noteiktu (negatīvu noteiktu).
Pozitīvo noteikto (negatīvo noteikto) formu klase ietilpst nenegatīvo (resp. nepozitīvo) formu klasē.
Kvadriči: Kvadriķis - n-dimensiju hipervirsmas iekšā n+1 dimensijas telpa, kas definēta kā otrās pakāpes polinoma nulles kopa. Ja ievadāt koordinātas ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (eiklīda vai afīna telpā), kvadrātveida vispārīgais vienādojums ir
Šo vienādojumu var pārrakstīt kompaktāk matricas apzīmējumā:
kur x = ( x 1 , x 2 , x n+1) — rindas vektors, x T ir transponēts vektors, J— izmēru matrica ( n+1) × ( n+1) (tiek pieņemts, ka vismaz viens no tā elementiem nav nulle), P ir rindas vektors, un R- nemainīgs. Visbiežāk tiek ņemti vērā kvadrāti pār reāliem vai kompleksiem skaitļiem. Definīciju var attiecināt arī uz kvadrātiem projekcijas telpā, skatīt zemāk.
Vispārīgāk, polinoma vienādojumu sistēmas nulles ir pazīstamas kā algebriskā dažādība. Tādējādi kvadrāts ir otrās pakāpes un 1. kodimensijas (afīna vai projekcijas) algebriskais variants.
Plaknes un telpas transformācijas.
Plaknes transformācijas definīcija. Kustību sensors. kustības īpašības. Divu veidu kustības: pirmā veida kustība un otrā veida kustība. Kustību piemēri. Kustības analītiskā izpausme. Plaknes kustību klasifikācija (atkarībā no fiksēto punktu un nemainīgo līniju klātbūtnes). Plaknes kustību grupa.
Plaknes transformācijas definīcija: Definīcija. Tiek saukta plaknes transformācija, kas saglabā attālumu starp punktiem kustība(vai lidmašīnas kustība). Plaknes transformāciju sauc afīns, ja tas jebkurus trīs punktus, kas atrodas uz vienas taisnes, pārveido par trim punktiem, kas arī atrodas uz vienas taisnes un vienlaikus saglabā trīs punktu vienkāršo attiecību.
Kustības definīcija: Tās ir formas transformācijas, kas saglabā attālumus starp punktiem. Ja divas figūras ir precīzi saskaņotas viena ar otru caur kustību, tad šīs figūras ir vienādas, vienādas.
Kustības īpašības: Katra plaknes orientāciju saglabājoša kustība ir vai nu paralēla translācija, vai katra plaknes orientāciju mainoša kustība ir vai nu aksiāla simetrija, vai slīdoša simetrija. Pārvietojoties, punkti, kas atrodas uz taisnas līnijas, pārvēršas par punktiem, kas atrodas uz taisnes, un tiek saglabāta to relatīvo pozīciju secība. Pārvietojoties, tiek saglabāti leņķi starp puslīnijām.
Divu veidu kustības: pirmā veida kustība un otrā veida kustība: Pirmā veida kustības ir tās kustības, kas saglabā noteiktas figūras pamatu orientāciju. Tos var realizēt ar nepārtrauktām kustībām.
Otrā veida kustības ir tās kustības, kas maina pamatu orientāciju uz pretējo. Tos nevar realizēt ar nepārtrauktām kustībām.
Pirmā veida kustību piemēri ir translācija un rotācija ap taisnu līniju, savukārt otrā veida kustības ir centrālās un spoguļsimetrijas.
Jebkura pirmā veida kustību sastāvs ir pirmā veida kustība.
Otrā veida kustību pāra skaita sastāvs ir 1. veida kustība, un 2. veida kustību nepāra skaita sastāvs ir 2. veida kustība.
Kustību piemēri:Paralēlā pārsūtīšana. Dotais vektors ir dots a. Paralēlā pārnešana uz vektoru a ir plaknes kartēšana uz sevi, kurā katrs punkts M ir kartēts ar punktu M 1, lai vektors MM 1 būtu vienāds ar vektoru a.
Paralēlā tulkošana ir kustība, jo tā ir plaknes kartēšana uz sevi, saglabājot attālumus. Šo kustību var vizuāli attēlot kā visas plaknes nobīdi noteiktā vektora a virzienā pēc tā garuma.
Pagriezt. Apzīmēsim punktu O uz plaknes ( pagrieziena centrs) un iestatiet leņķi α ( griešanās leņķis). Plaknes pagriešana ap punktu O ar leņķi α ir plaknes kartēšana uz sevi, kurā katrs punkts M ir kartēts ar punktu M 1 tā, ka OM = OM 1 un leņķis MOM 1 ir vienāds ar α. Šajā gadījumā punkts O paliek savā vietā, t.i., tiek kartēts uz sevi, un visi pārējie punkti griežas ap punktu O tajā pašā virzienā - pulksteņrādītāja virzienā vai pretēji pulksteņrādītāja virzienam (attēlā parādīta griešanās pretēji pulksteņrādītāja virzienam).
Rotācija ir kustība, jo tā attēlo plaknes kartēšanu uz sevi, kurā tiek saglabāti attālumi.
Kustības analītiskā izpausme: analītiskajam savienojumam starp priekšattēla koordinātām un punkta attēlu ir forma (1).
Plaknes kustību klasifikācija (atkarībā no fiksētu punktu un nemainīgu līniju klātbūtnes): Definīcija:
Punkts plaknē ir nemainīgs (fiksēts), ja noteiktā transformācijā tas transformējas par sevi.
Piemērs: ar centrālo simetriju simetrijas centra punkts ir nemainīgs. Griežoties, rotācijas centra punkts ir nemainīgs. Ar aksiālo simetriju nemainīgā līnija ir taisna līnija - simetrijas ass ir nemainīgu punktu taisna līnija.
Teorēma: Ja kustībai nav viena nemainīga punkta, tad tai ir vismaz viens nemainīgs virziens.
Piemērs: Paralēlā pārsūtīšana. Patiešām, šim virzienam paralēlas taisnes ir nemainīgas kā skaitlis kopumā, lai gan tas nesastāv no nemainīgiem punktiem.
Teorēma: Ja stars kustas, stars pārvēršas sevī, tad šī kustība ir vai nu identiska transformācija, vai simetrija attiecībā pret taisni, kurā atrodas dotais stars.
Tāpēc, pamatojoties uz nemainīgu punktu vai figūru klātbūtni, ir iespējams klasificēt kustības.
| Kustības nosaukums | Nemainīgi punkti | Nemainīgas līnijas |
| Pirmā veida kustība. | ||
| 1. - pagrieziens | (centrā) - 0 | Nē |
| 2. Identitātes transformācija | visi plaknes punkti | viss taisni |
| 3. Centrālā simetrija | punkts 0 - centrs | visas līnijas, kas iet caur punktu 0 |
| 4. Paralēlā pārnešana | Nē | viss taisni |
| Otrā veida kustība. | ||
| 5. Aksiālā simetrija. | punktu kopums | simetrijas ass (taisna līnija) visas taisnes |
Plaknes kustības grupa:Ģeometrijā liela nozīme ir figūru paškompozīciju grupām. Ja plaknē (vai telpā) ir noteikta figūra, tad var uzskatīt visu to plaknes (vai telpas) kustību kopumu, kuru laikā figūra pārvēršas par sevi.
Šis komplekts ir grupa. Piemēram, vienādmalu trijstūrim plakņu kustību grupa, kas pārveido trīsstūri par sevi, sastāv no 6 elementiem: rotācijas pa leņķiem ap punktu un simetrijas ap trim taisnēm.
Tie ir parādīti attēlā. 1 sarkana līnija. Regulāra trīsstūra pašlīdzinājumu grupas elementus var norādīt dažādi. Lai to izskaidrotu, numurēsim regulāra trijstūra virsotnes ar skaitļiem 1, 2, 3. Jebkura trijstūra pašlīdzināšana aizved punktus 1, 2, 3 uz tiem pašiem punktiem, bet ņemti citā secībā, t.i. var nosacīti rakstīt vienā no šīm iekavām:
utt.
kur skaitļi 1, 2, 3 norāda to virsotņu numurus, kurās apskatāmās kustības rezultātā nonāk virsotnes 1, 2, 3.
Projektīvās telpas un to modeļi.
Projektīvās telpas jēdziens un projektīvās telpas modelis. Projektīvās ģeometrijas pamatfakti. Līniju kopums, kas centrēts punktā O, ir projektīvās plaknes modelis. Projektīvie punkti. Pagarinātā plakne ir projektīvās plaknes modelis. Paplašināta trīsdimensiju afīna jeb Eiklīda telpa ir projektīvās telpas modelis. Plakanu un telpisku figūru attēli paralēlā noformējumā.
Projektīvās telpas jēdziens un projektīvās telpas modelis:
Projektīvā telpa virs lauka ir telpa, kas sastāv no līnijas (viendimensijas apakštelpas) no kādas lineāras telpas virs noteiktā lauka. Tiek sauktas tiešās telpas punkti projektīvā telpa. Šo definīciju var vispārināt līdz patvaļīgai struktūrai
Ja tai ir dimensija , tad projektīvās telpas dimensiju sauc par skaitli , bet pati projektīvā telpa tiek apzīmēta un saukta saistīta ar (lai to norādītu, tiek pieņemts apzīmējums).
Tiek saukta pāreja no dimensiju vektora telpas uz atbilstošo projektīvo telpu projekcijas telpa.
Punktus var aprakstīt, izmantojot viendabīgas koordinātas.
Projektīvās ģeometrijas pamatfakti: Projektīvā ģeometrija ir ģeometrijas nozare, kas pēta projekcijas plaknes un telpas. Projektīvās ģeometrijas galvenā iezīme ir dualitātes princips, kas daudziem dizainiem piešķir elegantu simetriju. Projektīvo ģeometriju var pētīt gan no tīri ģeometriskā viedokļa, gan no analītiskā (izmantojot viendabīgas koordinātas) un salgebriskā viedokļa, uzskatot projekcijas plakni kā struktūru virs lauka. Bieži un vēsturiski īstā projekcijas plakne tiek uzskatīta par Eiklīda plakni, pievienojot "līnija bezgalībā".
Tā kā to figūru īpašības, ar kurām nodarbojas Eiklīda ģeometrija, ir metriska(leņķu, segmentu, laukumu specifiskās vērtības), un skaitļu līdzvērtība ir līdzvērtīga tiem kongruence(t.i., ja figūras var pārtulkot vienu citā, izmantojot kustību, vienlaikus saglabājot metriskās īpašības), ģeometriskām figūrām ir vairāk “dziļi guļošu” īpašību, kas tiek saglabātas vispārīgāka veida transformācijās nekā kustībā. Projektīvā ģeometrija nodarbojas ar klasē nemainīgu figūru īpašību izpēti projektīvās pārvērtības, kā arī pašas šīs pārvērtības.
Projektīvā ģeometrija papildina Eiklīda ģeometriju, nodrošinot skaistus un vienkāršus risinājumus daudzām problēmām, kuras sarežģī paralēlu līniju klātbūtne. Konisko griezumu projektīvā teorija ir īpaši vienkārša un eleganta.
Ir trīs galvenās pieejas projektīvajai ģeometrijai: neatkarīga aksiomatizācija, Eiklīda ģeometrijas papildināšana un struktūra virs lauka.
Aksiomatizācija
Projektīvo telpu var definēt, izmantojot citu aksiomu kopu.
Coxeter nodrošina:
1. Ir taisna līnija un punkts, kas nav uz tās.
2. Katrai līnijai ir vismaz trīs punkti.
3. Caur diviem punktiem var novilkt tieši vienu taisni.
4. Ja A, B, C, Un D- dažādi punkti un AB Un CD krustojas, tad A.C. Un BD krustojas.
5. Ja ABC ir plakne, tad plaknē ir vismaz viens punkts ABC.
6. Divas dažādas plaknes krustojas vismaz divus punktus.
7. Pilna četrstūra trīs diagonāles punkti nav kolineāri.
8. Ja trīs punkti atrodas uz taisnes X X
Projektīvo plakni (bez trešās dimensijas) nosaka nedaudz atšķirīgas aksiomas:
1. Caur diviem punktiem var novilkt tieši vienu taisni.
2. Jebkuras divas taisnes krustojas.
3. Ir četri punkti, no kuriem trīs nav kolineāri.
4. Pilnu četrstūru trīs diagonāles punkti nav kolineāri.
5. Ja trīs punkti atrodas uz taisnes X ir invarianti attiecībā pret φ projektivitāti, tad visi punkti uz X invariants attiecībā pret φ.
6. Desarga teorēma: Ja divi trijstūri ir perspektīvi caur punktu, tad tie ir perspektīvi caur taisni.
Trešās dimensijas klātbūtnē Desarga teorēmu var pierādīt, neieviešot ideālu punktu un taisni.
Pagarināta plakne - projektīvās plaknes modelis: Afīnā telpā A3 ņemam līniju kūli S(O) ar centru O punktā un plakni Π, kas neiet caur kūļa centru: O 6∈ Π. Līniju saišķis afīnā telpā ir projektīvās plaknes modelis. Definēsim plaknes Π punktu kopas kartēšanu uz savienojošās S taisnu līniju kopu (Braņā, lūdzieties, ja jums ir šāds jautājums, piedodiet man)
Paplašināta trīsdimensiju afīna jeb Eiklīda telpa - projekcijas telpas modelis:
Lai kartēšanu padarītu surjektīvu, mēs atkārtojam afīnās plaknes Π formāli pagarināšanu līdz projektīvajai plaknei Π, papildinot plakni Π ar nepareizu punktu kopu (M∞), lai: ((M∞)) = P0(O). Tā kā kartē katras plakņu saišķa S(O) plaknes apgrieztais attēls ir taisne uz plaknes d, tad ir acīmredzams, ka paplašinātās plaknes visu nepareizo punktu kopa: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), attēlo nepareizu paplašinātās plaknes taisni d∞, kas ir vienskaitļa plaknes Π0 apgrieztais attēls: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Vienosimies, ka šeit un turpmāk pēdējo vienādību P0(O) = Π0 sapratīsim punktu kopu vienādības nozīmē, bet apveltīta ar citu struktūru. Papildinot afīnās plakni ar nepareizu līniju, mēs nodrošinājām, ka kartēšana (I.21) kļuva objektīva visu paplašinātās plaknes punktu kopā:
Plakanu un telpisku figūru attēli paralēlas projektēšanas laikā:
Stereometrijā tiek pētītas telpiskās figūras, bet zīmējumā tās attēlotas kā plakanas figūras. Kā plaknē jāattēlo telpiskā figūra? Parasti ģeometrijā šim nolūkam tiek izmantota paralēlā konstrukcija. Lai p ir kāda plakne, l- taisne, kas to šķērso (1. att.). Caur patvaļīgu punktu A, kas nepieder pie līnijas l, novelciet līniju paralēli līnijai l. Šīs taisnes krustpunktu ar plakni p sauc par punkta paralēlo projekciju A uz plakni p taisnes virzienā l. Apzīmēsim to A". Ja punkts A pieder pie līnijas l, tad ar paralēlo projekciju A tiek uzskatīts, ka taisnes krustpunkts atrodas plaknē p l ar plakni lpp.
Tādējādi katrs punkts A telpa tās projekcija tiek salīdzināta A" uz plaknes p. Šo atbilstību sauc par paralēlo projekciju uz plakni p taisnes virzienā l.
Projektīvo transformāciju grupa. Pieteikums problēmu risināšanai.
Plaknes projektīvās transformācijas jēdziens. Plaknes projektīvo transformāciju piemēri. Projektīvo transformāciju īpašības. Homoloģija, homoloģijas īpašības. Projektīvo transformāciju grupa.
Plaknes projektīvās transformācijas jēdziens: Projektīvās transformācijas jēdziens vispārina centrālās projekcijas jēdzienu. Ja veicam plaknes α centrālo projekciju uz kādu plakni α 1, tad α 1 projekciju uz α 2, α 2 projekciju uz α 3, ... un, visbeidzot, kādu plakni α n atkal uz α 1, tad visu šo projekciju sastāvs ir plaknes α projektīvā transformācija; Šādā ķēdē var iekļaut arī paralēlas projekcijas.
Projektīvās plaknes transformāciju piemēri: Pabeigtas plaknes projektīvā transformācija ir tās savstarpēja kartēšana uz sevi, kurā tiek saglabāta punktu kolinearitāte jeb, citiem vārdiem sakot, jebkuras līnijas attēls ir taisna līnija. Jebkura projektīvā transformācija ir centrālo un paralēlo projekciju ķēdes kompozīcija. Afīna transformācija ir īpašs projektīvās transformācijas gadījums, kurā līnija bezgalībā pārvēršas par sevi.
Projektīvo transformāciju īpašības:
Projektīvās transformācijas laikā trīs punkti, kas neatrodas uz taisnes, tiek pārveidoti par trim punktiem, kas neatrodas uz līnijas.
Projektīvās transformācijas laikā rāmis kļūst par rāmi.
Projektīvās transformācijas laikā līnija pāriet taisnā līnijā, un zīmulis nonāk zīmulī.
Homoloģija, homoloģijas īpašības:
Plaknes, kurā ir nemainīgu punktu līnija un līdz ar to nemainīgu līniju zīmulis, projekcijas transformāciju sauc par homoloģiju.
1. Taisne, kas iet caur nesakrītošiem atbilstošiem homoloģijas punktiem, ir nemainīga taisne;
2. Taisnes, kas iet caur nesakrītošiem atbilstošiem homoloģijas punktiem, pieder vienam un tam pašam zīmulim, kura centrs ir nemainīgs punkts.
3. Punkts, tā attēls un homoloģijas centrs atrodas uz vienas taisnes.
Projektīvo transformāciju grupa: aplūkosim projektīvās plaknes P 2 projektīvo kartēšanu uz sevi, tas ir, šīs plaknes projektīvo transformāciju (P 2 ’ = P 2).
Tāpat kā iepriekš, projekcijas plaknes P 2 projektīvo transformāciju f 1 un f 2 sastāvs f ir secīgas transformāciju f 1 un f 2 izpildes rezultāts: f = f 2 °f 1 .
1. teorēma: visu projektīvās plaknes P 2 projektīvo transformāciju kopa H ir grupa attiecībā pret projektīvo transformāciju sastāvu.
Ievads……………………………………………………………………………………… ........................3
1 Teorētiskā informācija par kvadrātveida formām………………………………4
1.1. Kvadrātformas definīcija………………………………………….…4
1.2. Kvadrātiskās formas reducēšana uz kanonisku formu…………………6
1.3. Inerces likums…………………………………………………………….….11
1.4. Pozitīvās noteiktās formas…………………………………………18
2 Kvadrātformu praktiskā pielietošana ……………………………22
2.1 Tipisku problēmu risināšana………………………………………………………………22
2.2. Patstāvīga risinājuma uzdevumi………………………….…………26
2.3 Pārbaudes uzdevumi…………………………………………………………………27
Secinājums…………………………………………………………………29
Izmantotās literatūras saraksts…………………………………………………………30
IEVADS
Sākotnēji kvadrātisko formu teorija tika izmantota, lai pētītu līknes un virsmas, kas noteiktas ar otrās kārtas vienādojumiem, kas satur divus vai trīs mainīgos. Vēlāk šī teorija atrada citus pielietojumus. Jo īpaši, matemātiski modelējot ekonomiskos procesus, mērķfunkcijās var būt kvadrātveida termini. Daudzi kvadrātformu pielietojumi prasīja vispārējas teorijas konstruēšanu, ja mainīgo lielumu skaits ir vienāds ar jebkuru
, un kvadrātiskās formas koeficienti ne vienmēr ir reāli skaitļi.Kvadrātisko formu teoriju pirmais izstrādāja franču matemātiķis Lagrenžs, kuram īpaši piederēja daudzas idejas šajā teorijā, viņš ieviesa svarīgo reducētās formas jēdzienu, ar kuras palīdzību viņš pierādīja klašu skaita ierobežotību; dotā diskriminanta binārās kvadrātiskās formas. Pēc tam šo teoriju ievērojami paplašināja Gauss, kurš ieviesa daudz jaunu jēdzienu, uz kuru pamata viņš varēja iegūt pierādījumus sarežģītām un dziļām skaitļu teorijas teorēmām, kas izvairījās no viņa priekšgājējiem šajā jomā.
Darba mērķis ir izpētīt kvadrātformu veidus un veidus, kā kvadrātformas reducēt uz kanonisko formu.
Šajā darbā izvirzīti šādi uzdevumi: atlasīt nepieciešamo literatūru, apsvērt definīcijas, atrisināt vairākas problēmas un sagatavot testus.
1 TEORĒTISKĀ INFORMĀCIJA PAR KVADRĀTISKAJĀM FORMĀM
1.1. KVADRĀTISKĀS FORMAS DEFINĪCIJA
Kvadrātiskā forma
Nezināmo ir summa, kuras katrs loceklis ir vai nu viena no šiem nezināmajiem kvadrāts, vai divu dažādu nezināmo reizinājums. Kvadrātiskajai formai ir divas formas: reālā un kompleksā, atkarībā no tā, vai tās koeficienti ir reāli vai kompleksi skaitļi.Apzīmējot koeficientu pie
caur , un ražojot
, cauri 
, kvadrātveida formu var attēlot kā: . No koeficientiem
iespējams izveidot secības kvadrātveida matricu; to sauc par kvadrātveida formas matricu, un tās rangu sauc par kvadrātformas rangu. Ja jo īpaši , kur , tas ir, matrica ir nedeģenerēta, tad kvadrātisko formu sauc par nedeģenerētu. Jebkurai kārtas simetriskai matricai to var norādīt pilnībā definētā kvadrātiskā formā:
(1.1) - nezināmie, kuriem ir matricas elementi ar to koeficientiem. Tagad apzīmēsim ar
kolonna, kas sastāv no nezināmajiem: . ir matrica ar rindām un vienu kolonnu. Transponējot šo matricu, mēs iegūstam matricu:
, kas sastāv no vienas līnijas. Kvadrātforma (1.1) ar matricu
tagad var rakstīt kā produktu:.1.2. SAMAZINĀŠANA UZ KVADRĀTISKAJĀ FORMĀ
UZ KANONISKO SKATU
Pieņemsim, ka kvadrātiskā forma
no nezināmā jau ir reducēts ar nedeģenerētu lineāru transformāciju uz kanonisko formu , kur ir jaunie nezināmie. Daži no koeficientiem var būt nulle. Pierādīsim, ka nulle nevienlīdzīgo koeficientu skaits noteikti ir vienāds ar formas rangu. Šīs kvadrātiskās formas matricai ir diagonāla forma
,
un prasība, lai šai matricai būtu rangs
, ir līdzvērtīgs pieņēmumam, ka tā galvenajā diagonālē ir elementi, kas nav tieši nulle.Teorēma. Jebkuru kvadrātisko formu var reducēt līdz tās kanoniskajai formai ar kādu nedeģenerētu lineāru transformāciju. Ja aplūko reālu kvadrātisko formu, tad visus norādītās lineārās transformācijas koeficientus var uzskatīt par reāliem.
Pierādījums. Šī teorēma ir patiesa kvadrātveida formām vienā nezināmā gadījumā, jo jebkurai šādai formai ir forma
, kas ir kanonisks. Ieviesīsim pierādījumu ar indukcijas palīdzību, tas ir, pierādīsim teorēmu kvadrātveida formām nezināmajos, ņemot vērā, ka formām ar mazāku nezināmo skaitu tā jau ir pierādīta.Ļaujiet kvadrātveida formai (1.1) no
Pakalpojuma mērķis. Tiešsaistes kalkulators, ko izmanto, lai atrastu Hesenes matricas un funkcijas veida noteikšana (izliekta vai ieliekta) (sk. piemēru). Risinājums ir sastādīts Word formātā. Viena mainīgā f(x) funkcijai tiek noteikti izliekuma un ieliekuma intervāli.Funkciju ievadīšanas noteikumi:
Divreiz nepārtraukti diferencējama funkcija f(x) ir izliekta (ieliekta) tad un tikai tad Hesenes matrica funkcija f(x) attiecībā pret x ir pozitīva (negatīva) pusnoteikta visiem x (sk. vairāku mainīgo funkcijas lokālo ekstrēmu punktus).
Funkciju kritiskie punkti:
- ja Hess ir pozitīvs noteikts, tad x 0 ir funkcijas f(x) lokālais minimālais punkts,
- ja Hess ir negatīvs noteiktais, tad x 0 ir funkcijas f(x) lokālais maksimālais punkts,
- ja Hess nav noteikta zīme (ņem gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības) un nav deģenerēts (det G(f) ≠ 0), tad x 0 ir funkcijas f(x) seglu punkts.
Matricas noteiktības kritēriji (Silvestra teorēma)
Pozitīva pārliecība:- visiem matricas diagonālajiem elementiem jābūt pozitīviem;
- visām vadošajām galvenajām kvalifikācijām jābūt pozitīvām.
Pozitīva pusnoteiktība:
- visi diagonālie elementi nav negatīvi;
- visi galvenie noteicošie faktori nav negatīvi.
Kvadrātveida simetriskā matrica ar n kārtu, kuras elementi ir otrās kārtas mērķa funkcijas parciālie atvasinājumi, sauc par Hesenes matricu un ir apzīmēts:
Lai simetriskā matrica būtu pozitīva noteikta, ir nepieciešams un pietiekami, lai visi tās diagonālie minori būtu pozitīvi, t.i. 
matricai A = (a ij) ir pozitīvi.
Negatīvā noteiktība.
Lai simetriskā matrica būtu negatīva noteikta, ir nepieciešams un pietiekami, lai notiktu šādas nevienādības:
(-1) k D k > 0, k=1,..., n.
Citiem vārdiem sakot, lai būtu kvadrātiskā forma negatīvs noteikts, nepieciešams un pietiekami, lai kvadrātiskās formas matricas leņķisko minoru zīmes mijas, sākot ar mīnusa zīmi. Piemēram, diviem mainīgajiem lielumiem D 1< 0, D 2 > 0.
Ja hesiešu valoda ir daļēji noteikta, tad tas var būt arī lēciena punkts. Nepieciešama papildu izpēte, ko var veikt, izmantojot kādu no šīm iespējām:
- Samazinoša secība. Tiek veikta mainīgo lielumu maiņa. Piemēram, divu mainīgo funkcijai tas ir y=x, kā rezultātā mēs iegūstam viena mainīgā x funkciju. Tālāk mēs pārbaudām funkcijas uzvedību līnijās y=x un y=-x. Ja pirmajā gadījumā funkcijai pētāmajā punktā būs minimums, bet otrā gadījumā maksimums (vai otrādi), tad pētāmais punkts ir seglu punkts.
- Hesenes īpašvērtību atrašana. Ja visas vērtības ir pozitīvas, funkcijai pētāmajā punktā ir minimums, ja visas vērtības ir negatīvas, ir maksimums.
- Funkcijas f(x) izpēte punkta ε tuvumā. Mainīgos x aizstāj ar x 0 +ε. Tālāk ir jāpierāda, ka viena mainīgā ε funkcija f(x 0 +ε) ir vai nu lielāka par nulli (tad x 0 ir minimālais punkts), vai mazāka par nulli (tad x 0 ir maksimālais punkts).
Piezīme. Atrast apgrieztā hesiešu valoda pietiek atrast apgriezto matricu.
Piemērs Nr.1. Kuras no šīm funkcijām ir izliektas vai ieliektas: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Risinājums. 1. Atradīsim daļējus atvasinājumus. 
2. Atrisināsim vienādojumu sistēmu.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x1 -6x2 +6 = 0
Mēs iegūstam:
a) No pirmā vienādojuma izsakām x 1 un aizstājam to ar otro vienādojumu:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x2 +8 = 0
Kur x 2 = 4
Mēs aizstājam šīs vērtības x 2 izteiksmē x 1. Mēs iegūstam: x 1 = 9/2
Kritisko punktu skaits ir 1.
M 1 (9/2;4)
3. Atradīsim otrās kārtas parciālos atvasinājumus.
4. Aprēķināsim šo otrās kārtas parciālo atvasinājumu vērtību kritiskajos punktos M(x 0 ;y 0).
Mēs aprēķinām vērtības punktam M 1 (9 / 2 ;4) 
Mēs veidojam Hesenes matricu:
D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Tā kā diagonālajām nepilngadīgajām zīmēm ir dažādas zīmes, neko nevar teikt par funkcijas izliekumu vai ieliekumu.
Homogēnu 2. pakāpes polinomu vairākos mainīgos sauc par kvadrātformu.
Mainīgo kvadrātiskā forma sastāv no divu veidu terminiem: mainīgo kvadrātu un to pāru reizinājuma ar dažiem koeficientiem. Kvadrātiskā forma parasti tiek uzrakstīta kā šāda kvadrātveida diagramma:
Līdzīgu terminu pārus raksta ar vienādiem koeficientiem tā, ka katrs no tiem veido pusi no mainīgo atbilstošā reizinājuma koeficienta. Tādējādi katra kvadrātiskā forma ir dabiski saistīta ar tās koeficientu matricu, kas ir simetriska.
Kvadrātisko formu ir ērti attēlot šādā matricas apzīmējumā. Apzīmēsim ar X mainīgo kolonnu caur X - rindu, t.i., matricu, kas transponēta ar X. Tad
Kvadrātiskās formas ir sastopamas daudzās matemātikas nozarēs un tās lietojumos.
Skaitļu teorijā un kristalogrāfijā kvadrātiskās formas tiek aplūkotas, pieņemot, ka mainīgajiem ir tikai veselas vērtības. Analītiskajā ģeometrijā kvadrātiskā forma ir daļa no līknes (vai virsmas) vienādojuma. Šķiet, ka mehānikā un fizikā kvadrātiskā forma izsaka sistēmas kinētisko enerģiju, izmantojot vispārināto ātrumu komponentus utt. Bet turklāt kvadrātisko formu izpēte ir nepieciešama arī analīzē, pētot daudzu mainīgo funkcijas, jautājumos kam ir svarīgi noskaidrot, kā šī funkcija noteiktā punkta tuvumā atšķiras no lineārās funkcijas, kas to tuvina. Šāda veida problēmas piemērs ir funkcijas maksimālā un minimuma izpēte.
Apsveriet, piemēram, problēmu, kas saistīta ar maksimālā un minimuma izpēti divu mainīgo funkcijai, kurai ir nepārtraukti daļēji atvasinājumi. Nepieciešams nosacījums, lai punkts sniegtu funkcijas maksimumu vai minimumu, ir tāds, ka secības daļējie atvasinājumi punktā ir vienādi ar nulli. Pieņemsim, ka šis nosacījums ir izpildīts. Dosim mainīgajiem x un y mazus pieaugumus un k un ņemsim vērā atbilstošo funkcijas pieaugumu. Saskaņā ar Teilora formulu šis pieaugums līdz nelielām augstākām kārtām ir vienāds ar kvadrātisko formu, kur ir otrās atvasinājumu vērtības. aprēķināts punktā Ja šī kvadrātiskā forma ir pozitīva visām un k vērtībām (izņemot ), tad funkcijai punktā ir minimums, ja tas ir negatīvs, tad tai ir maksimums. Visbeidzot, ja veidlapai ir gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības, nebūs ne maksimuma, ne minimuma. Līdzīgā veidā tiek pētītas arī lielāka skaita mainīgo funkcijas.
Kvadrātisko formu izpēte galvenokārt sastāv no formu ekvivalences problēmas izpētes attiecībā uz vienu vai otru mainīgo lineāro transformāciju kopu. Divas kvadrātiskās formas tiek uzskatītas par līdzvērtīgām, ja vienu no tām var pārvērst otrā, izmantojot kādu no dotās kopas transformācijām. Ar līdzvērtības problēmu cieši saistīta ir formas samazināšanas problēma, t.i. pārveidojot to kādā, iespējams, vienkāršākā formā.
Dažādos jautājumos, kas saistīti ar kvadrātiskām formām, tiek aplūkotas arī dažādas mainīgo lielumu pieļaujamo transformāciju kopas.
Analīzes jautājumos tiek izmantotas jebkuras nespeciālas mainīgo transformācijas; analītiskās ģeometrijas vajadzībām vislielāko interesi rada ortogonālās transformācijas, t.i., tās, kas atbilst pārejai no vienas mainīgo Dekarta koordinātu sistēmas uz citu. Visbeidzot, skaitļu teorijā un kristalogrāfijā tiek aplūkotas lineāras transformācijas ar veselu skaitļu koeficientiem un ar determinantu, kas vienāds ar vienību.
Mēs izskatīsim divas no šīm problēmām: jautājumu par kvadrātiskās formas reducēšanu līdz tās vienkāršākajām formām, izmantojot jebkādas nevienskaitļa transformācijas, un to pašu jautājumu par ortogonālajām transformācijām. Vispirms noskaidrosim, kā kvadrātiskās formas matrica tiek pārveidota mainīgo lineārās transformācijas laikā.
Pieņemsim , kur A ir formas koeficientu simetriska matrica, X ir mainīgo kolonna.
Veiksim mainīgo lineāru transformāciju, rakstot to saīsināti kā . Šeit C apzīmē šīs transformācijas koeficientu matricu, X ir jaunu mainīgo kolonna. Tad un tāpēc transformētās kvadrātiskās formas matrica ir
Matrica automātiski izrādās simetriska, ko ir viegli pārbaudīt. Tādējādi kvadrātiskās formas reducēšanas uz vienkāršāko formu problēma ir līdzvērtīga simetriskas matricas reducēšanas problēmai līdz vienkāršākai formai, reizinot to kreisajā un labajā pusē ar savstarpēji transponētām matricām.