В този урок ще разгледаме и разберем за себе си концепцията за съседни ъгли. Помислете за една теорема, която ги засяга. Нека представим понятието "вертикални ъгли". Помислете за основните факти относно тези ъгли. След това формулираме и доказваме две следствия за ъгъла между ъглополовящите на вертикалните ъгли. В края на урока ще разгледаме няколко проблема, свързани с тази тема.
Нека започнем нашия урок с концепцията за "съседни ъгли". На фигура 1 са показани разгънатият ъгъл АС и лъчът ОВ, който разделя този ъгъл на 2 ъгъла.
Ориз. 1. Ъгъл АС
Да разгледаме ъглите ∠AOB и ∠BOC. Съвсем очевидно е, че те имат обща страна VO, а страните AO и OS са противоположни. Гредите OA и OC се допълват взаимно, което означава, че лежат на една и съща права линия. Ъглите AOB и ∠BOC са съседни.
Определение: Ако два ъгъла имат обща страна, а другите две страни са допълващи се лъчи, тогава тези ъгли се наричат съседен.
Теорема 1: Сборът от съседни ъгли е 180°.
Ориз. 2. Чертеж към теорема 1
∠MOL + ∠LON = 180 o. Това твърдение е вярно, тъй като OL лъчът разделя разгънатия ъгъл ∠MON на два съседни ъгъла. Тоест, ние не знаем градусните мерки на нито един от съседните ъгли, а знаем само тяхната сума - 180 о.
Помислете за пресечната точка на две прави. Фигурата показва пресечната точка на две прави линии в точка О.
Ориз. 3. Вертикални ъгли ∠BOA и ∠СОD
Определение: Ако страните на единия ъгъл са продължение на втория ъгъл, тогава такива ъгли се наричат вертикални. Ето защо на фигурата са показани две двойки вертикални ъгли: ∠AOB и ∠СОD, както и ∠AOD и ∠BOC.
Теорема 2: Вертикалните ъгли са равни.
Използваме фигура 3. Разгледайте разгърнатия ъгъл АС. ∠AOV = ∠AOS - ∠VOS = 180 o - β. Помислете за разширения ъгъл ∠BOD. ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 180 о - β.
От тези съображения заключаваме, че ∠AOB = ∠СОD = α. По същия начин, ∠AOD = ∠BOC = β.
Следствие 1: Ъгълът между симетралите на съседни ъгли е 90°.
Ориз. 4. Чертеж за следствие 1
Тъй като OL е ъглополовящата на ъгъла BOA, ъгълът ∠LOB =, подобно на ∠BOK =. ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = 
... Сумата от ъглите α + β е 180 °, тъй като тези ъгли са съседни.
Следствие 2: Ъгълът между симетралите на вертикалните ъгли е 180°.
Ориз. 5. Чертеж за следствие 2
KO - ъглополовяща ∠AOB, LO - ъглополовяща ∠COD. Очевидно ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. Сумата от ъглите α + β е 180 °, тъй като тези ъгли са съседни.
Нека разгледаме някои задачи:
Намерете ъгъла, съседен на АOC, ако ∠АОС = 111 о.
Нека завършим чертежа за задачата:
Ориз. 6. Чертеж например 1
Тъй като ∠AOC = β и ∠СOD = α са съседни ъгли, то α + β = 180 о. Това е 111 о + β = 180 о.
Следователно β = 69 o.
Този тип задача използва теоремата за сумата на съседните ъгли.
Един от съседните ъгли е прав, какъв (остър, тъп или прав) е другият ъгъл?
Ако един от ъглите е прав и сборът от двата ъгъла е 180 °, тогава другият ъгъл също е прав. Тази задача проверява знанията за сумата от съседни ъгли.
Вярно ли е, че ако съседните ъгли са равни, значи са прави?
Нека направим уравнението: α + β = 180 °, но тъй като α = β, тогава β + β = 180 °, което означава β = 90 °.
Отговор: Да, твърдението е правилно.
Дадени са два равни ъгъла. Вярно ли е, че съседните на тях ъгли също ще бъдат равни?
Ориз. 7. Чертеж например 4
Ако два ъгъла са равни на α, тогава съответните съседни ъгли ще бъдат 180 ° - α. Тоест те ще бъдат равни помежду си.
Отговор: Твърдението е правилно.
- Александров A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. и др. Геометрия 7. - М .: Образование.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-то изд. - М .: Образование.
- \ Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов, под редакцията на V.A. Садовничи. - М .: Образование, 2010.
- Измерване на линейни сегменти ().
- Обобщаващ урок по геометрия в 7. клас ().
- Права линия, сегмент ().
- No 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов, под редакцията на V.A. Садовничи. - М .: Образование, 2010.
- Намерете два съседни ъгъла, ако единият е 4 пъти по-голям от другия.
- Даден е ъгъл. Изградете съседни и вертикални ъгли за него. Колко от тези ъгли можете да построите?
- * В кой случай се получават повече двойки вертикални ъгли: когато три прави линии се пресичат в една точка или в три точки?
1. Съседни ъгли.
Ако разширим страната на който и да е ъгъл извън неговия връх, получаваме два ъгъла (фиг. 72): ∠ABS и ∠СВD, при които едната страна BC е обща, а другите две, AB и BD, образуват права линия.
Два ъгъла, в които едната страна е обща, а другите две образуват права линия, се наричат съседни ъгли.
Съседните ъгли могат да се получат и по този начин: ако начертаем лъч от някаква точка на права линия (не лежаща на тази права линия), тогава получаваме съседни ъгли.
Например, ∠ADF и ∠FDB са съседни ъгли (фиг. 73).
Съседните ъгли могат да имат голямо разнообразие от позиции (фиг. 74).
Съседните ъгли дават плосък ъгъл, така че сумата от два съседни ъгъла е 180°
От тук прав ъгъл може да се определи като ъгъл, равен на съседния му ъгъл.
Познавайки големината на един от съседните ъгли, можем да намерим големината на другия съседен ъгъл.
Например, ако един от съседните ъгли е 54 °, тогава вторият ъгъл ще бъде:
180 ° - 54 ° = l26 °.
2. Вертикални ъгли.
Ако разширим страните на ъгъла извън неговия връх, получаваме вертикални ъгли. На фигура 75 ъглите EOF и AOC са вертикални; ъглите AOE и COF също са вертикални.
Два ъгъла се наричат вертикални, ако страните на единия ъгъл са разширения на страните на другия ъгъл.
Нека ∠1 = \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 ° (фиг. 76). Съседният ∠2 ще бъде 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 °, тоест 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 °.
По същия начин можете да изчислите на какво са равни ∠3 и ∠4.
∠3 = 180 ° - 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 ° = \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 °;
∠4 = 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 ° = 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 ° (фиг. 77).
Виждаме, че ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.
Можете да решите още няколко от същите задачи и всеки път ще получите същия резултат: вертикалните ъгли са равни един на друг.
Въпреки това, за да се гарантира, че вертикалните ъгли винаги са равни един на друг, не е достатъчно да се вземат предвид отделни числени примери, тъй като изводите, направени от конкретни примери, понякога могат да бъдат погрешни.
Необходимо е да се провери валидността на свойството на вертикалните ъгли чрез доказателство.
Доказателството може да се извърши по следния начин (фиг. 78):
∠а +∠° С= 180°;
∠b +∠° С= 180°;
(тъй като сумата от съседни ъгли е 180 °).
∠а +∠° С = ∠b +∠° С
(тъй като лявата страна на това равенство е равна на 180 °, а дясната му страна също е равна на 180 °).
Това равенство включва същия ъгъл С.
Ако извадим еднакво от равни стойности, то ще остане еднакво. Резултатът ще бъде: ∠а = ∠б, тоест вертикалните ъгли са равни един на друг.
3. Сборът от ъглите, които имат общ връх.
На чертежа 79 1, ∠2, ∠3 и ∠4 са разположени от едната страна на права линия и имат общ връх на тази права линия. Като цяло тези ъгли съставляват разширения ъгъл, т.е.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 °.
На чертежа 80 1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имат общ връх. Сумата на тези ъгли е общият ъгъл, т.е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360 °.
Други материалиГеометрията е много многостранна наука. Тя развива логиката, въображението и интелигентността. Разбира се, поради своята сложност и огромен брой теореми и аксиоми, учениците не винаги го харесват. Освен това е необходимо постоянно да доказвате заключенията си, като използвате общоприети стандарти и правила.
Съседните и вертикални ъгли са неразделна част от геометрията. Със сигурност много ученици просто ги обожават, защото свойствата им са ясни и лесни за доказване.
Оформяне на ъгли
Всеки ъгъл се образува от пресичането на две прави линии или чрез изтегляне на два лъча от една точка. Те могат да бъдат наречени една буква или три, които последователно обозначават точките на изграждане на ъгъла.
Ъглите се измерват в градуси и могат (в зависимост от тяхната стойност) да се наричат по различен начин. И така, има прав ъгъл, остър, тъп и разгънат. Всяко от имената съответства на определена степенна мярка или неин интервал.
Ъгъл се нарича остър, чиято мярка не надвишава 90 градуса.
Тъп ъгъл е повече от 90 градуса.
Ъгъл се нарича прав, когато градусната му мярка е 90.
В случай, че се образува от една плътна линия, а степента му е 180, се нарича разгъната.
Ъглите, които имат обща страна, другата страна на която продължава една друга, се наричат съседни. Те могат да бъдат както остри, така и тъпи. Пресечната точка на линията образува съседни ъгли. Техните свойства са както следва:
- Сборът от тези ъгли ще бъде равен на 180 градуса (има теорема, която доказва това). Следователно едно от тях може лесно да бъде изчислено, ако другото е известно.
- От първата точка следва, че съседните ъгли не могат да се образуват от два тъпи или два остри ъгъла.
Благодарение на тези свойства винаги можете да изчислите градусната мярка на ъгъл, като имате стойността на друг ъгъл или поне съотношението между тях.
Вертикални ъгли
Ъглите, чиито страни са продължение една на друга, се наричат вертикални. Всяка от техните разновидности може да действа като такава двойка. Вертикалните ъгли винаги са равни един на друг.
Те се образуват в пресечната точка на прави линии. Съседните ъгли винаги присъстват заедно с тях. Ъгъл може да бъде едновременно съседен на единия и вертикален до другия.
При пресичане на произволна линия се вземат предвид и още няколко вида ъгли. Такава права се нарича секуща и образува съответни едностранни и кръстосани ъгли. Те са равни. Те могат да се разглеждат в светлината на свойствата, които имат вертикалните и съседните ъгли.
По този начин темата за ъглите изглежда доста проста и ясна. Всички техни свойства са лесни за запомняне и доказване. Решаването на задачи не е трудно, стига ъглите да съответстват на числова стойност. Още по-нататък, когато започне изучаването на греха и cos, ще трябва да запомните много сложни формули, техните заключения и последствия. До този момент можете просто да се насладите на лесни задачи, в които трябва да намерите съседни ъгли.
ГЛАВА I.
ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ.
§единадесет. СЛЕДНИ И ВЕРТИКАЛНИ ЪГЛИ.
1. Съседни ъгли.
Ако разширим страната на някакъв ъгъл отвъд неговия връх, получаваме два ъгъла (фиг. 72): / A BC и / CBD, при който едната страна на BC е обща, а другите две AB и BD са в права линия.
Два ъгъла, в които едната страна е обща, а другите две образуват права линия, се наричат съседни ъгли.
Съседните ъгли могат да се получат и по този начин: ако начертаем лъч от някаква точка на права линия (не лежаща на тази права линия), тогава получаваме съседни ъгли.
Например, /
ADF и /
FDВ - съседни ъгли (фиг. 73).
Съседните ъгли могат да имат голямо разнообразие от позиции (фиг. 74).
Съседните ъгли се събират в плосък ъгъл, така че с umma на два съседни ъгъла е 2д.
От тук прав ъгъл може да се определи като ъгъл, равен на съседния му ъгъл.
Познавайки големината на един от съседните ъгли, можем да намерим големината на другия съседен ъгъл.
Например, ако един от съседните ъгли е 3/5 д, тогава вторият ъгъл ще бъде:
2д- 3 / 5 д= l 2/5 д.
2. Вертикални ъгли.
Ако разширим страните на ъгъла извън неговия връх, получаваме вертикални ъгли. На чертеж 75 ъглите EOF и AOC са вертикални; ъглите AOE и COF също са вертикални.
Два ъгъла се наричат вертикални, ако страните на единия ъгъл са разширения на страните на другия ъгъл.
Позволявам / 1 = 7 / 8 д(фиг. 76). В съседство с него / 2 ще бъде равно на 2 д- 7 / 8 д, т.е. 1 1/8 д.
По същия начин можете да изчислите какви са /
3 и /
4.
/
3 = 2д - 1 1 / 8 д = 7 / 8 д; /
4 = 2д - 7 / 8 д = 1 1 / 8 д(фиг. 77).
Ние виждаме това / 1 = / 3 и / 2 = / 4.
Можете да решите още няколко от същите задачи и всеки път ще получите същия резултат: вертикалните ъгли са равни един на друг.
Въпреки това, за да се гарантира, че вертикалните ъгли винаги са равни един на друг, не е достатъчно да се вземат предвид отделни числени примери, тъй като изводите, направени от конкретни примери, понякога могат да бъдат погрешни.
Необходимо е да се провери валидността на свойството на вертикалните ъгли чрез разсъждение, чрез доказателство.
Доказателството може да се извърши по следния начин (фиг. 78):
/
а +/
° С = 2д;
/
b +/
° С = 2д;
(тъй като сборът на съседните ъгли е 2 д).
/ а +/ ° С = / b +/ ° С
(тъй като лявата част на това равенство е 2 д, а дясната му страна също е равна на 2 д).
Това равенство включва същия ъгъл С.
Ако извадим еднакво от равни стойности, то ще остане еднакво. Резултатът ще бъде: / а = / б, тоест вертикалните ъгли са равни един на друг.
Когато разглеждахме въпроса за вертикалните ъгли, първо обяснихме кои ъгли се наричат вертикални, т.е. определениевертикални ъгли.
След това изразихме съждение (изявление) за равенството на вертикалните ъгли и се убедихме в валидността на това съждение чрез доказателство. Такива съждения, чиято валидност трябва да се докаже, се наричат теореми... Така в този раздел дадохме определение на вертикалните ъгли, а също така изразихме и доказахме теорема за тяхното свойство.
В бъдеще, когато изучаваме геометрията, постоянно ще трябва да се натъкваме на определения и доказателства на теореми.
3. Сборът от ъглите, които имат общ връх.
Чертеж 79 /
1, /
2, /
3 и /
4 са разположени от едната страна на права линия и имат общ връх на тази права линия. Като цяло тези ъгли съставляват разширения ъгъл, т.е.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2д.
Чертеж 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имат общ връх. Заедно тези ъгли съставляват пълния ъгъл, т.е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4д.
Упражнения.
1. Един от съседните ъгли е 0,72 д.Изчислете ъгъла, съставен от ъглополовящите на тези съседни ъгли.
2. Докажете, че ъглополовящите на два съседни ъгъла образуват прав ъгъл.
3. Докажете, че ако два ъгъла са равни, то и съседните им ъгли са равни.
4. Колко двойки съседни ъгли има на чертеж 81?
5. Може ли двойка съседни ъгли да се състои от два остри ъгъла? от два тъпи ъгъла? от прав и тъп ъгъл? от прав и остър ъгъл?
6. Ако един от съседните ъгли е прав, тогава какво можете да кажете за стойността на съседния ъгъл?
7. Ако в пресечната точка на две прави прави един ъгъл на права линия, тогава какво можете да кажете за стойността на другите три ъгъла?
Първи стъпки с ъглите
Нека ни бъдат дадени два произволни лъча. Нека да наслагваме началото им едно върху друго. Тогава
Определение 1
Ъгъл ще означава два лъча с еднакъв произход.
Определение 2
Точката, която е началото на лъчите в дефиниция 3, се нарича връх на този ъгъл.
Ъгълът ще бъде обозначен със следните три точки: връх, точка на един от лъчите и точка на другия лъч, а върхът на ъгъла е изписан в средата на обозначението му (фиг. 1).
Нека сега да определим каква е стойността на ъгъла.
За да направите това, трябва да изберете някакъв "референтен" ъгъл, който ще приемем като единица. Най-често този ъгъл е ъгъл, равен на частта $ \ frac (1) (180) $ от сплескания ъгъл. Тази стойност се нарича степен. След като изберем такъв ъгъл, сравняваме ъглите с него, чиято стойност трябва да се намери.
Има 4 вида ъгли:
Определение 3
Ъгъл се нарича остър, ако е по-малък от $90 ^ 0 $.
Определение 4
Ъгъл се нарича тъп, ако е по-голям от $ 90 ^ 0 $.
Определение 5
Ъгъл се нарича разгънат, ако е равен на $ 180 ^ 0 $.
Определение 6
Ъгъл се нарича прав ъгъл, ако е равен на $ 90 ^ 0 $.
В допълнение към видовете ъгли, описани по-горе, можете да изберете видовете ъгли един спрямо друг, а именно вертикални и съседни ъгли.
Съседни ъгли
Помислете за разгънатия $ COB $ ъгъл. Начертайте лъч $ OA $ от неговия връх. Този лъч ще раздели оригиналния на два ъгъла. Тогава
Определение 7
Два ъгъла ще се наричат съседни, ако едната двойка от страните им е развит ъгъл, а другата двойка съвпада (фиг. 2).
В този случай ъглите $ COA $ и $ BOA $ са съседни.
Теорема 1
Сумата от съседни ъгли е $ 180 ^ 0 $.
Доказателство.
Помислете за фигура 2.
По дефиниция 7, ъгълът $ COB $ в него ще бъде $ 180 ^ 0 $. Тъй като втората двойка страни на съседни ъгли съвпадат, лъчът $OA $ ще раздели разгънатия ъгъл на 2, следователно
$ ∠COA + ∠BOA = 180 ^ 0 $
Теоремата е доказана.
Помислете за решаване на проблем, използвайки тази концепция.
Пример 1
Намерете ъгъла $ C $ от снимката по-долу
По дефиниция 7 виждаме, че ъглите $ BDA $ и $ ADC $ са съседни. Следователно, по теорема 1 получаваме
$ ∠BDA + ∠ADC = 180 ^ 0 $
$ ∠ADC = 180 ^ 0-∠BDA = 180〗 0-59 ^ 0 = 121 ^ 0 $
По теоремата за сбора от ъгли в триъгълник имаме
$ ∠A + ∠ADC + ∠C = 180 ^ 0 $
$ ∠C = 180 ^ 0-∠A-∠ADC = 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 = 40 ^ 0 $
Отговор: $ 40 ^ 0 $.
Вертикални ъгли
Помислете за разгънатите ъгли $ AOB $ и $ MOC $. Нека подравним техните върхове един с друг (тоест поставяме точката $ O "$ върху точката $ O $), така че нито една от страните на тези ъгли да не съвпада. Тогава
Определение 8
Два ъгъла ще се наричат вертикални, ако двойките на техните страни са разгънати ъгли и стойностите им съвпадат (фиг. 3).
В този случай ъглите $ MOA $ и $ BOC $ са вертикални, а ъглите $ MOB $ и $ AOC $ също са вертикални.
Теорема 2
Вертикалните ъгли са равни един на друг.
Доказателство.
Да разгледаме фигура 3. Нека докажем например, че ъгълът $MOA $ е равен на ъгъла $BOC$.