16.1. Разширяване на елементарни функции в ред на Тейлър и
Маклорин
Нека покажем, че ако на множеството е дефинирана произволна функция 
, в близост до точката 
има много производни и е сбор от степенен ред:
тогава могат да се намерят коефициентите на тази серия.
Заместител в степеновия ред 
... Тогава 
.
Намерете първата производна на функцията 
:
В 
:
.
За втората производна получаваме:
В 
:
.
Продължаване на тази процедура нслед като получим: 
.
Така получаваме степенен ред от вида:
,
което се нарича до Тейлърза функция 
в близост до точката 
.
Специален случай на поредицата Тейлър е Серия Маклоренпри 
:
Останалата част от серията на Тейлър (Маклаурин) се получава чрез изхвърляне на основните редове нпърви членове и означени като 
... След това функцията 
може да се запише като сбор нранни членове на редица 
и остатъкът 
:,
.
Остатъкът обикновено е 
изразени в различни формули.
Един от тях е под формата на Лагранж:
, където 
.
.
Имайте предвид, че на практика серия Maclaurin се използва по-често. По този начин, за да се напише функцията 
под формата на сбор от степенен ред е необходимо:
1) намерете коефициентите от реда на Маклорин (Тейлър);
2) намиране на областта на сходимост на получения степенен ред;
3) докаже, че даденият ред се сближава към функцията 
.
Теорема1
(необходимо и достатъчно условие за сближаването на реда на Маклорен). Нека радиусът на сходимост на реда 
... За да може тази серия да се сближи в интервала 
да функционира 
, необходимо и достатъчно е условието да бъде изпълнено: 
в посочения интервал.
Теорема 2.Ако производните на произволен ред на функцията 
в някакъв интервал 
ограничени по абсолютна стойност със същото число М, това е 
, то в този интервал функцията 
може да се разшири в серия Maclaurin.
Пример1
.
Разширете в ред Тейлър около точката 
функция.
Решение.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Регион на конвергенция 
.
Пример2
.
Функция за разширяване 
в реда на Тейлър около точката 
.
Решение:
Намерете стойността на функцията и нейните производни при 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Заменяме тези стойности последователно. Получаваме:
или 
.
Нека намерим областта на сходимост на тази серия. Според характеристиката на д'Аламбер, поредицата се сближава, ако
.
Следователно, за всяка 
тази граница е по-малка от 1 и следователно областта на сближаване на серията ще бъде: 
.
Нека разгледаме няколко примера за разширяване в редица основни елементарни функции на Маклорен. Припомнете си, че серията Maclaurin:
.
се сближава на интервала 
да функционира 
.
Имайте предвид, че за да разширите функцията в серия, е необходимо:
а) намерете коефициентите на реда на Маклорен за тази функция;
б) изчислете радиуса на сходимост за получената серия;
в) докаже, че полученият ред се сближава към функцията 
.
Пример 3.Помислете за функцията 
.
Решение.
Нека изчислим стойността на функцията и нейните производни при 
.
Тогава числовите коефициенти на серията са:
за всеки н.Заменете намерените коефициенти в реда на Маклорен и получете: 
Намерете радиуса на сближаване на получената серия, а именно:
.
Следователно редът се сближава на интервала 
.
Тази серия се сближава с функцията 
за всякакви стойности 
защото всяка празнина 
функция 
и неговите производни по абсолютна стойност са ограничени от броя 
.
Пример4
.
Помислете за функцията 
.
Решение.
:
Лесно е да се види, че производните на четен ред 
, а производните са от нечетен ред. Заместваме намерените коефициенти в реда на Маклорен и получаваме разширението:
Нека намерим интервала на сходимост на тази серия. Въз основа на д'Аламбер:
за всеки 
... Следователно редът се сближава на интервала 
.
Тази серия се сближава с функцията 
, тъй като всички негови производни са ограничени до едно.
Пример5
.
.
Решение.
Нека намерим стойността на функцията и нейните производни при 
:
Така коефициентите на тази серия: 
и 
, следователно:
Аналогично с предишната серия, областта на сближаване 
... Поредицата се сближава с функцията 
, тъй като всички негови производни са ограничени до едно.
Имайте предвид, че функцията 
нечетно и серия разширяване в нечетни степени, функцията 
- четно и серия разширение в четни степени.
Пример6
.
Биномен ред: 
.
Решение.
Нека намерим стойността на функцията и нейните производни при 
:
От това става ясно, че:
Заменете тези стойности на коефициентите в реда на Маклорин и получете разширението на тази функция в степенен ред:
Намерете радиуса на сходимост на тази серия:
Следователно редът се сближава на интервала 
... В граничните точки при 
и 
редът може или не може да се сближи в зависимост от степента 
.
Изследваният ред се сближава на интервала 
да функционира 
, тоест сумата на таксата 
при 
.
Пример7
.
Нека разширим в серия на Маклорен функцията 
.
Решение.
За да разширим тази функция в серия, ние използваме биномния ред за 
... Получаваме: 
Въз основа на свойството на степенния ред (степенният ред може да бъде интегриран в областта на неговата конвергенция), намираме интеграла от лявата и дясната страна на тази серия:
Нека намерим областта на сходимост на тази серия: 
,
т. е. областта на сходимост на тази серия е интервалът 
... Нека дефинираме сходимостта на редицата в краищата на интервала. В 
... Този ред е хармоничен ред, тоест се разминава. В 
получаваме числов ред с общ термин 
.
Редът на Лайбниц се сближава. По този начин областта на сходимост на тази серия е интервалът 
.
16.2. Прилагане на мощностен ред при приблизителни изчисления
При приблизителните изчисления силовите редове играят изключително важна роля. С тяхна помощ бяха съставени таблици на тригонометрични функции, таблици на логаритми, таблици със стойности на други функции, които се използват в различни области на знанието, например в теорията на вероятностите и математическата статистика. В допълнение, разширяването на функциите в степенен ред е полезно за тяхното теоретично изследване. Основният проблем при използване на степенни редове в приблизителните изчисления е въпросът за оценка на грешката при замяна на сумата на ред със сумата на първия му нчленове.
Помислете за два случая:
функцията се разширява в редуващи се серии;
функцията се разширява в постоянна серия.
Изчисляване с помощта на редуващи се серии
Нека функцията 
разширено в ред с променлива мощност. След това, когато се изчислява тази функция за конкретна стойност 
получаваме числов ред, към който може да се приложи тестът на Лайбниц. В съответствие с тази характеристика, ако сборът на поредицата се заменя със сумата от първата нтермини, тогава абсолютната грешка не надвишава първия член от остатъка от тази серия, тоест: 
.
Пример8
.
Изчисли 
с точност до 0,0001.
Решение.
Ще използваме серия Maclaurin за 
, замествайки стойността на ъгъла в радиани:
Ако сравним първия и втория член от серията с дадена точност, тогава:.
Третият срок на разширяване:
по-малка от определената точност на изчисление. Следователно, за да се изчисли 
достатъчно е да оставите двама членове на поредицата, т.е
.
По този начин 
.
Пример9
.
Изчисли 
с точност 0,001.
Решение.
Ще използваме формулата на биномния ред. За да направите това, пишете 
като: 
.
В този израз 
,
Нека сравним всеки от членовете на поредицата с посочената точност. Това е ясно 
... Следователно, за да се изчисли 
достатъчно е да оставите трима членове на реда.
или 
.
Изчисляване с помощта на положителни серии
Пример10
.
Изчислете числото 
с точност до 0,001.
Решение.
В един ред за функцията 
заместител 
... Получаваме:
Нека преценим грешката, която възниква, когато сборът от редицата се замени със сумата от първата 
членове. Нека запишем очевидното неравенство:
това е 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Според състоянието на проблема трябва да намерите нтака че да е валидно следното неравенство: 
или 
.
Лесно е да се провери за това н= 6:
.
следователно, 
.
Пример11
.
Изчисли 
с точност 0,0001.
Решение.
Имайте предвид, че за изчисляване на логаритмите може да се приложи серия за функцията 
, но тази серия се сближава много бавно и за да се постигне дадена точност ще е необходимо да се вземат 9999 члена! Следователно, за изчисляване на логаритми, като правило, серия за функцията 
който се сближава на интервала 
.
Да изчислим 
използвайки този ред. Позволявам 
, тогава 
.
следователно, 
,
За да се изчисли 
с дадена точност вземаме сбора от първите четири члена: 
.
Остатък от реда 
изхвърлете. Нека оценим грешката. Очевидно е, че 
или 
.
Така в поредицата, използвана за изчислението, беше достатъчно да се вземат само първите четири члена вместо 9999 в серията за функцията 
.
Въпроси за самотест
1. Какво е сериал на Тейлър?
2. Какъв вид имаше поредицата Маклорен?
3. Формулирайте теорема за разширяването на функция в ред на Тейлър.
4. Напишете разширението на основните функции в серия Маклорен.
5. Посочете областите на сближаване на разглеждания ред.
6. Как да оценим грешката в приблизителните изчисления с помощта на степенен ред?
Ако функцията f (x) има производни на всички порядки в някакъв интервал, съдържащ точка а, тогава формулата на Тейлър може да се приложи към нея:
,
където r n- така нареченият остатък или остатъкът от серията, той може да се изчисли по формулата на Лагранж:
, където числото x е между x и a.
Правила за въвеждане на функции:
Ако за някаква стойност х r n→ 0 за н→ ∞, тогава в предела формулата на Тейлър се превръща за тази стойност в конвергентна Серията Тейлър:
,
По този начин функцията f (x) може да бъде разширена в ред на Тейлър в разглежданата точка x, ако:
1) има производни на всички поръчки;
2) конструираният ред се сближава в тази точка.
За a = 0 получаваме серия, наречена близо до Маклорин:
,
Разширяване на най-простите (елементарни) функции в серията Maclaurin:
Индикативни функции
, R = ∞
Тригонометрични функции 
, R = ∞ 
, R = ∞
, (-π / 2< x < π/2), R=π/2
Функцията actgx не се разширява в степени на x, тъй като ctg0 = ∞
Хиперболични функции
Логаритмични функции
, -1
Биномен ред
.
Пример №1. Разширете функция в степенна серия f (x) = 2х.
Решение... Нека намерим стойностите на функцията и нейните производни при х=0
е (х) = 2х, е ( 0)
= 2 0
=1;
f "(x) = 2х ln2, f "( 0)
= 2 0
ln2 = ln2;
f "" (x) = 2хв 22, f "" ( 0)
= 2 0
ln 2 2 = ln 2 2;
…
е (n) (x) = 2хвътрешен н 2, f (n) ( 0)
= 2 0
вътрешен н 2 = ln н 2.
Замествайки получените стойности на производните във формулата на реда на Тейлър, получаваме:
Радиусът на сближаване на тази серия е равен на безкрайност, така че това разширение е валидно за -∞<х<+∞.
Пример №2. Напишете поредицата на Тейлър в степени ( х+4) за функцията f (x) =д х.
Решение... Намерете производните на функцията e хи техните стойности в точката х=-4.
е (х)= д х, е (-4)
= д -4
;
f "(x)= д х, f "(-4)
= д -4
;
f "" (x)= д х, f "" (-4)
= д -4
;
…
е (n) (x)= д х, f (n) ( -4)
= д -4
.
Следователно, необходимата серия на Тейлър на функцията има формата:
Това разлагане е валидно и за -∞<х<+∞.
Пример №3. Функция за разширяване е (х)= ln хв серия по правомощия ( Х- 1),
(т.е. в поредицата на Тейлър в близост до точката х=1).
Решение... Намерете производните на тази функция.
f (x) = lnx,,,,
f (1) = ln1 = 0, f "(1) = 1, f" "(1) = - 1, f" "" (1) = 1 * 2, ..., f (n) = (- 1) n-1 (n-1)!
Замествайки тези стойности във формулата, получаваме необходимия ред на Тейлър:
Използвайки теста на д'Аламбер, човек може да се увери, че редът се сближава за ½x-1½<1 . Действительно,
Редът се сближава, ако ½ Х- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При х= 2 получаваме редуваща се серия, удовлетворяваща условията на теста на Лайбниц. За x = 0 функцията е недефинирана. По този начин областта на сходимост на реда на Тейлър е полуотвореният интервал (0; 2).
Пример №4. Разширете функцията в серия от мощности. Пример №5. Разширете функцията Maclaurin. Коментирайте
.
Този метод се основава на теоремата за уникалност за разширяване на функция в степенен ред. Същността на тази теорема е, че в близост до една и съща точка не могат да се получат две различни степенни реда, които да се сближат към една и съща функция, независимо как се извършва нейното разширяване. Пример № 5а. Разширете функцията в серия на Маклорен, посочете областта на конвергенция. Дробът 3 / (1-3x) може да се разглежда като сума от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател 3x, ако |3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Пример №6. Разширете функцията в ред на Тейлър в близост до точката x = 3. Пример №7. Запишете реда на Тейлър в степени (x -1) на функцията ln (x + 2). Пример №8. Разширете функцията f (x) = sin (πx / 4) в ред на Тейлър в близост до точката x = 2. Пример №1. Изчислете ln (3) с точност до 0,01. Пример №2. Изчислете с точност до 0,0001. Пример №3. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 sin (x) x до 10 -5. Пример №4. Оценете интеграла ∫ 0 1 4 e x 2 с точност до 0,001.
Как да вмъкнете математически формули в уебсайт? Ако някога ви се наложи да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е, както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на картинки, които Wolfram Alpha автоматично генерира. В допълнение към простотата, този универсален метод ще ви помогне да подобрите видимостта на вашия сайт в търсачките. Работи от дълго време (и мисля, че ще работи завинаги), но е морално остаряло. Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax, специална библиотека на JavaScript, която показва математически нотации в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране. Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете скрипт на MathJax към вашия сайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) качете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете с всички страници на вашия сайт. Вторият метод, който е по-сложен и отнема много време, ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският сървър MathJax по някаква причина стане временно недостъпен, това по никакъв начин няма да засегне вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства, аз избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте моя пример и след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт. Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две версии на кода, взети от главния сайт на MathJax или от страницата с документация:
Един от тези варианти на код трябва да бъде копиран и поставен в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете Най-лесният начин да свържете MathJax е в Blogger или WordPress: в таблото за управление на вашия сайт добавете джаджа, предназначена да вмъкне JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за зареждане, представен по-горе, в него и поставете джаджата по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, защото скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса на маркиране MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вградите математически формули в уеб страниците на вашия уебсайт. Всеки фрактал се изгражда по определено правило, което се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация. Итеративният алгоритъм за конструиране на гъбата на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на неговите лица, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 съседни кубчета. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Правейки същото с всеки от тези кубчета, получаваме комплект, който вече се състои от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба на Менгер. Студентите по висша математика трябва да знаят, че сумата от определен степенен ред, принадлежащ на интервала на сходимост на дадения ни ред, е непрекъсната и безкраен брой пъти диференцирана функция. Възниква въпросът: възможно ли е да се твърди, че дадена произволна функция f (x) е сумата от определен степенен ред? Тоест, при какви условия f-ija f (x) може да бъде представена от степенен ред? Значението на такъв въпрос се крие във факта, че е възможно приблизително да се замени f-yu f (x) със сумата от първите няколко члена от степенния ред, тоест с полином. Тази замяна на функция с доста прост израз - полином - е удобна и при решаване на някои задачи, а именно: при решаване на интеграли, при изчисляване и т.н. Доказано е, че за някои fu и f (x), в които е възможно да се изчислят производни до (n + 1)-ти ред, включително последния, в околност (α - R; x 0 + R) на някаква точка x = α е валидна формулата: Тази формула е кръстена на известния учен Брук Тейлър. Серията, която се получава от предишната, се нарича серия Maclaurin: Правилото, което позволява да се извърши разширението в серията Maclaurin: R n (x) -> 0 като n -> безкрайност. Ако такъв съществува, в него функцията f (x) трябва да съвпада със сумата от реда на Маклорен. Нека сега разгледаме сериите на Маклорен за отделни функции. 1. И така, първият ще бъде f (x) = e x. Разбира се, по своите характеристики такава функция има производни от различни порядки и f (k) (x) = e x, където k е равно на всички. Заместете x = 0. Получаваме f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1,2 ... Въз основа на горното, редът e x ще изглежда така: 2. Ред на Маклорен за функцията f (x) = sin x. Нека веднага изясним, че f-s за всички неизвестни ще имат производни, освен f "(x) = cos x = sin (x + n / 2), f" "(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), където k е равно на всяко естествено число. Тоест, след като направим прости изчисления, можем да стигнем до заключението че редът за f (x) = sin x ще бъде от този вид: 3. Сега нека се опитаме да разгледаме f-yu f (x) = cos x. За всички неизвестни има производни от произволен ред и | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так: И така, ние изброихме най-важните функции, които могат да бъдат разширени в серия на Маклорин, но те са допълнени от сериите на Тейлър за някои функции. Сега ще ги изброим и тях. Също така си струва да се отбележи, че редовете на Тейлър и Маклорин са важна част от семинара за решаване на редове по висша математика. И така, класацията на Тейлър. 1. Първият ще бъде редът за f-ii f (x) = ln (1 + x). Както в предишните примери, за дадено f (x) = ln (1 + x), можем да добавим серия, използвайки общата форма на реда на Маклорен. обаче, серия Maclaurin може да се получи много по-просто за тази функция. След като интегрираме определена геометрична серия, получаваме серия за f (x) = ln (1 + x) от такава извадка: 2. И вторият, който ще бъде окончателен в нашата статия, ще бъде редът за f (x) = arctan x. За x, принадлежащ на интервала [-1; 1], разлагането е валидно: Това е всичко. Тази статия разглежда най-използваните серии на Тейлър и Маклорин във висшата математика, по-специално в икономическите и техническите университети. Декомпозиция на функция в поредица от Тейлър, Маклорен и Лоран на сайт за обучение на практически умения. Това разширяване на функцията в редица дава идея на математиците да оценят приблизителната стойност на функция в определен момент от нейната област на дефиниция. Много по-лесно е да се изчисли такава стойност на функция, в сравнение с използването на таблицата Бредис, толкова неуместна в ерата на изчисленията. Разширяването на функция в ред на Тейлър означава изчисляване на коефициентите пред линейните функции на тази серия и записването им в правилната форма. Учениците бъркат тези два реда, без да разбират кой е общият случай и кой е частният случай на втория. Припомняме веднъж завинаги, редът на Маклорен е частен случай на реда на Тейлър, тоест това е редът на Тейлър, но в точката x = 0. Всички кратки забележки за разширението на известни функции като e ^ x , Sin (x), Cos (x) и други, това са разширенията в редицата на Тейлър, но в точката 0 за аргумента. За функции на сложен аргумент, редът на Лоран е най-честата задача в TFKP, тъй като представлява двустранна безкрайна серия. Това е сборът от два реда. Каним ви да разгледате пример за разлагане директно на сайта, много лесно е да направите това, като щракнете върху „Пример“ с произволен номер и след това върху бутона „Решение“. Именно към такова разширяване на функцията в серия е свързана мажорираща серия, която ограничава първоначалната функция в определен регион по оста на ординатата, ако променливата принадлежи на областта на абсцисата. Векторният анализ се сблъсква с друга интересна дисциплина в математиката. Тъй като всеки термин трябва да бъде проучен, това отнема много време за процеса. Всяка серия на Тейлър може да бъде свързана с поредица на Маклорен, като се заменя x0 с нула, но за серия на Маклорин обратното представяне на реда на Тейлър понякога не е очевидно. Сякаш не се изисква да го правите в чист вид, но е интересно за общото саморазвитие. Всяка серия на Лоран съответства на двустранен безкраен степенен ред в цели степени на z-a, с други думи, серия от същия тип Тейлър, но малко по-различна при изчисляването на коефициентите. Ще говорим за областта на сближаване на редицата на Лоран малко по-късно, след няколко теоретични изчисления. Както през миналия век, стъпаловидно разширяване на функция в редица трудно може да се постигне само чрез привеждане на членовете до общ знаменател, тъй като функциите в знаменателите са нелинейни. Приблизителното изчисляване на функционалната стойност изисква формулиране на задачи. Помислете за факта, че когато аргументът на реда на Тейлър е линейна променлива, тогава разширяването се извършва в няколко действия, но напълно различна картина, когато сложна или нелинейна функция действа като аргумент на разширената функция, тогава процесът Представянето на такава функция в степенен ред е очевидно, тъй като такова По този начин е лесно да се изчисли, макар и приблизителна, но стойността във всяка точка от областта на дефиницията, с минимална грешка, която има малък ефект върху по-нататъшните изчисления. Това важи и за серията Maclaurin. когато е необходимо да се изчисли функцията в нулевата точка. Въпреки това, самата поредица на Лоран тук е представена чрез плоско разлагане с въображаеми единици. Също така не без успех ще бъде правилното решение на проблема в хода на общия процес. В математиката този подход не е известен, но обективно съществува. В резултат на това можете да стигнете до заключението за така наречените точкови подмножества и при разширяването на функция в серия трябва да приложите методи, известни за този процес, като например прилагането на теорията на производните. За пореден път се убеждаваме в коректността на учителя, който направи своите предположения за резултатите от пост-изчислителните изчисления. Нека да отбележим, че серията на Тейлър, получена според всички канони на математиката, съществува и е дефинирана по цялата числова ос, но скъпи потребители на услугата на сайта, не забравяйте вида на оригиналната функция, защото може да се окаже че първоначално е необходимо да се зададе обхвата на дефиницията на функцията, тоест да се напишат и изключат от по-нататъшни разсъждения онези точки, в които функцията не е дефинирана в диапазона от реални числа. Тоест ще покаже бързината ви в решаването на проблема. Конструирането на ред на Маклорен с нулева стойност на аргумента не е изключение. В същото време никой не е отменил процеса на намиране на областта на дефиниране на функция и трябва да подходите към това математическо действие с цялата сериозност. Ако редът на Лоран съдържа основната част, параметърът "a" ще се нарече изолирана особена точка, а редът на Лоран ще бъде разширен в пръстен - това е пресечната точка на областите на сближаване на нейните части, от които съответстват ще последва теорема. Но не всичко е толкова сложно, колкото може да изглежда на пръв поглед за неопитен ученик. След като се изучава само редът на Тейлър, може лесно да се разбере редът на Лоран - обобщен случай за разширяване на пространството от числа. Всяко разширяване на функция в серия може да се извърши само в точка от домейна на функцията. Трябва да се вземат предвид свойствата на такива функции, например периодичност или безкрайна диференцируемост. Предлагаме ви също да използвате таблицата с готови разширения на елементарни функции в серия Тейлър, тъй като една функция може да бъде представена до десетки различни степенни редове, което може да се види от приложението на нашия онлайн калкулатор. Онлайн серията Maclaurin е лесна за определяне, ако използвате уникалната услуга на сайта, просто трябва да въведете правилната записана функция и ще получите предоставения отговор за броени секунди, той ще бъде гарантирано точен и в стандартна писмена форма. Можете да пренапишете резултата веднага в чисто копие за предаване на учителя. Би било правилно първо да се определи аналитичността на разглежданата функция в пръстени и след това недвусмислено да се твърди, че тя е разширима в ред на Лоран във всички такива пръстени. Важно е да не губите от поглед членовете на поредицата Лоран, съдържащи отрицателни степени. Съсредоточете се върху това колкото е възможно повече. Използвайте теоремата на Лоран за разширяването на функция в редица в цели степени.
Решение... В разширението (1) заменяме x с -x 2, получаваме:
, -∞
Решение... Ние имаме
Използвайки формула (4), можем да запишем:
замествайки вместо x във формулата -x, получаваме:
От тук намираме: ln (1 + x) -ln (1-x) = -
Разгъване на скобите, пренареждане на членовете на поредицата и намаляване на подобни термини, получаваме
... Тази серия се сближава в интервала (-1; 1), тъй като се получава от две серии, всяка от които се сближава в този интервал.
Формули (1) - (5) могат да се използват и за разширяване на съответните функции в ред на Тейлър, т.е. за разширяване на функциите в цели положителни степени ( Ха). За да направите това, над дадена функция е необходимо да се извършат такива идентични трансформации, за да се получи една от функциите (1) - (5), в която вместо хструва k ( Ха) m, където k е постоянно число, m е цяло положително число. Често е удобно да промените променливата т=Хаи разширете получената функция по отношение на t в серия на Маклорен.
Решение. Първо намерете 1-x-6x 2 = (1-3x) (1 + 2x).
в елементарно:
с областта на конвергенция | x |< 1/3.
Решение... Този проблем може да бъде решен, както преди, като се използва дефиницията на реда на Тейлър, за която е необходимо да се намерят производните на функцията и техните стойности при х= 3. Въпреки това ще бъде по-лесно да се използва съществуващата декомпозиция (5):
=
Получената серия се сближава при или –3
Решение.
Поредицата се сближава при, или -2< x < 5.
Решение... Нека направим замяната t = x-2:
Използвайки разширение (3), в което заместваме π / 4 t на мястото на x, получаваме:
Получената серия се сближава към дадена функция при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Приблизителни изчисления с помощта на Power Series
Силовите редове се използват широко в приблизителните изчисления. С тяхна помощ с дадена точност можете да изчислите стойностите на корените, тригонометричните функции, логаритмите на числата, определени интеграли. Сериите се използват и при интегриране на диференциални уравнения.
Помислете за разширяването на функция в степенен ред:
За да се изчисли приблизителната стойност на функцията в дадена точка хпринадлежащи към областта на конвергенция на посочения ред, първият нчленове ( не ограничено число), а останалите термини се отхвърлят:
За да се оцени грешката на получената приблизителна стойност, е необходимо да се оцени изхвърленият остатък r n (x). За това се използват следните техники:
Решение... Нека използваме декомпозицията, където x = 1/2 (вижте пример 5 в предишната тема):
Нека проверим дали можем да изхвърлим остатъка след първите три члена на разширението, за това го оценяваме, използвайки сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия:
Така че можем да изхвърлим този остатък и да получим
Решение... Нека използваме биномиалния ред. Тъй като 5 3 е кубът от цяло число, най-близо до 130, препоръчително е числото 130 да се представи като 130 = 5 3 +5. 
тъй като вече четвъртият член на получения редуващ се ред, отговарящ на критерия на Лайбниц, е по-малък от необходимата точност:
следователно, той и членовете, които го следват, могат да бъдат отхвърлени.
Много практически необходими определени или неправилни интеграли не могат да бъдат изчислени по формулата на Нютон-Лайбниц, тъй като нейното приложение е свързано с намиране на антипроизводна, която често няма израз в елементарни функции. Също така се случва намирането на антидеривата да е възможно, но ненужно трудоемко. Въпреки това, ако интегралната функция може да бъде разширена в степенен ред и границите на интегриране принадлежат на интервала на сближаване на този ред, тогава е възможно приблизително изчисление на интеграла с предварително определена точност.
Решение... Съответният неопределен интеграл не може да се изрази в елементарни функции, т.е. е "нечуплив интеграл". Тук е невъзможно да се приложи формулата на Нютон-Лайбниц. Нека изчислим приблизително интеграла.
Чрез разделяне на поредицата за грях хна х, получаваме: 
Интегрирайки тази серия член по член (това е възможно, тъй като границите на интегриране принадлежат на интервала на сближаване на тази серия), получаваме:
Тъй като получената серия удовлетворява условията на Лайбниц, достатъчно е да се вземе сумата от първите два члена, за да се получи желаната стойност с дадена точност.
Така намираме 
.
Решение.
... Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след втория член от получената серия.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.
