§ 87. Събиране на дроби.
Събирането на дроби има много прилики със събирането на цяло число. Събирането на дроби е действие, състоящо се в това, че няколко дадени числа (членове) се комбинират в едно число (сума), което съдържа всички единици и дроби от единиците на термините.
Ще разгледаме три случая последователно:
3. Събиране на смесени числа.
1. Събиране на дроби със същите знаменатели.
Помислете за пример: 1/5 + 2/5.
Вземете отсечката AB (фиг. 17), вземете го като единица и го разделете на 5 равни части, тогава частта AC от този сегмент ще бъде равна на 1/5 от отсечката AB, а частта от същия сегмент CD ще бъде равно на 2/5 AB.
Чертежът показва, че ако вземете сегмента AD, тогава той ще бъде равен на 3/5 AB; но отсечката AD е просто сумата от отсечките AC и CD. Следователно можем да напишем:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Като се имат предвид тези членове и получената сума, виждаме, че числителят на сбора е получен от събирането на числителите на членовете, а знаменателят остава непроменен.
От тук получаваме следното правило: за да съберете дроби със същия знаменател, добавете техните числители и оставете същия знаменател.
Нека разгледаме пример:
2. Събиране на дроби с различни знаменатели.
Събираме дробите: 3/4 + 3/8 Първо, те трябва да бъдат намалени до най-малкия общ знаменател:
Междинната връзка 6/8 + 3/8 не може да бъде написана; написахме го тук за яснота.
По този начин, за да добавите дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги доведете до най-малкия общ знаменател, да добавите техните числители и да подпишете общ знаменател.
Помислете за пример (ще напишем допълнителни фактори върху съответните дроби):
3. Събиране на смесени числа.
Съберете числата: 2 3/8 + 3 5/6.
Първо, привеждаме дробните части на нашите числа към общ знаменател и ги пренаписваме отново:
Сега нека добавим последователно целите и дробните части:
§ 88. Изваждане на дроби.
Изваждането на дроби се дефинира по същия начин като изваждането на цели числа. Това е действие, чрез което за дадена сума от два члена и един от тях се намира друг член. Нека разгледаме три случая последователно:
3. Изваждане на смесени числа.
1. Изваждане на дроби със същия знаменател.
Нека разгледаме пример:
13 / 15 - 4 / 15
Вземете отсечката AB (фиг. 18), вземете го като единица и го разделете на 15 равни части; тогава част от AC на този сегмент ще бъде 1/15 от AB, а част от AD от същия сегмент ще съответства на 13/15 AB. Нека оставим настрана отсечката ED, равно на 4/15 AB.
Трябва да извадим 4/15 от 13/15. На чертежа това означава, че трябва да извадите сегмента ED от сегмента AD. В резултат на това сегментът AE ще остане, което е 9/15 от сегмента AB. Така че можем да напишем:
Нашият пример показва, че числителят на разликата се получава чрез изваждане на числителите, но знаменателят остава същият.
Следователно, за да извадите дроби със същия знаменател, трябва да извадите числителя на извадените от числителя на намаленото и да оставите същия знаменател.
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели.
Пример. 3/4 - 5/8
Първо, привеждаме тези дроби до най-малкия общ знаменател:
Междинно ниво 6/8 - 5/8 е написано тук за яснота, но може да бъде пропуснато по-нататък.
По този начин, за да извадите дроб от дроб, първо трябва да ги доведете до най-малкия общ знаменател, след това да извадите числителя на извадените от числителя на намаленото и да подпишете общия знаменател под тяхната разлика.
Нека разгледаме пример:
3. Изваждане на смесени числа.
Пример. 10 3/4 - 7 2/3.
Нека приведем дробните части на намаленото и извадените до най-малкия общ знаменател:
Изваждаме цялото от цялото и дробта от дроба. Но има моменти, когато дробната част на изваденото е по-голяма от дробната част на намаленото. В такива случаи трябва да вземете една единица от цялата част на намаленото, да я разделите на онези части, в които е изразена дробната част, и да я добавите към дробната част на намалената. И тогава изваждането ще се извърши по същия начин, както в предишния пример:
§ 89. Умножение на дроби.
Когато изучаваме умножението на дроби, ще разгледаме следните въпроси:
4. Умножение на дроб по дроб.
5. Умножение на смесени числа.
6. Концепцията за интерес.
7. Намиране на процента от дадено число. Нека ги разгледаме последователно.
1. Умножение на дроб по цяло число.
Умножаването на дроб по цяло число има същото значение като умножаването на цяло число по цяло число. Умножаването на дроб (множител) по цяло число (множител) означава съставяне на сбор от същите членове, в който всеки член е равен на множителя, а броят на членовете е равен на множителя.
Така че, ако трябва да умножите 1/9 по 7, това може да се направи по следния начин:
Лесно получихме резултата, тъй като действието беше сведено до събиране на дроби със същите знаменатели. следователно,
Разглеждането на това действие показва, че умножаването на дроб по цяло число е еквивалентно на увеличаване на тази дроб толкова пъти, колкото има единици в цялото число. И тъй като увеличаването на фракцията се постига или чрез увеличаване на нейния числител
или като намалим знаменателя му, тогава можем или да умножим числителя по цяло число, или да разделим знаменателя на него, ако такова деление е възможно.
От тук получаваме правилото:
За да умножите дроб по цяло число, умножете числителя по това цяло число и оставете знаменателя същият или, ако е възможно, разделете знаменателя на това число, оставяйки числителя непроменен.
При умножаване са възможни съкращения, например:
2. Намиране на частта от дадено число.Има много задачи, при решаването на които трябва да намерите или изчислите част от дадено число. Разликата между тези задачи от другите е, че те дават броя на някои обекти или мерни единици и е необходимо да се намери част от това число, което също е обозначено тук с определена дроб. За да улесним разбирането, първо ще дадем примери за подобни проблеми, а след това ще ви запознаем с начина за решаването им.
Цел 1.Имах 60 рубли; Похарчих 1/3 от тези пари за закупуване на книги. Колко струваха книгите?
Цел 2.Влакът трябва да измине разстоянието между градовете А и Б, равно на 300 км. Той вече е изминал 2/3 от това разстояние. Колко километра е?
Цел 3.В селото има 400 къщи, от които 3/4 тухлени, останалите дървени. Колко тухлени къщи има?
Ето някои от многото проблеми за намиране на част от дадено число, с които трябва да се изправим. Обикновено се наричат задачи за намиране на частта от дадено число.
Решение на проблем 1.От 60 рубли. похарчих за книги 1/3; Така че, за да намерите цената на книгите, трябва да разделите числото 60 на 3:
Решение на проблем 2.Смисълът на проблема е, че трябва да намерите 2/3 от 300 км. Нека изчислим първата 1/3 от 300; това се постига чрез разделяне на 300 км на 3:
300: 3 = 100 (това е 1/3 от 300).
За да намерите две трети от 300, трябва да удвоите полученото коефициент, тоест да умножите по 2:
100 x 2 = 200 (това е 2/3 от 300).
Решение на проблем 3.Тук трябва да определите броя на тухлените къщи, които са 3/4 от 400. Нека намерим първо 1/4 от 400,
400: 4 = 100 (това е 1/4 от 400).
Да изчисля три четвъртиот 400, полученият коефициент трябва да се утрои, тоест да се умножи по 3:
100 x 3 = 300 (това е 3/4 от 400).
Въз основа на решението на тези проблеми можем да изведем следното правило:
За да намерите стойността на дроб от дадено число, трябва да разделите това число на знаменателя на дроба и да умножите полученото частно по неговия числител.
3. Умножение на цяло число по дроб.
По-рано (§ 26) беше установено, че умножението на цели числа трябва да се разбира като събиране на същите членове (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). В този параграф (т. 1) беше установено, че умножаването на дроб по цяло число означава намиране на сумата от същите членове, равна на тази дроб.
И в двата случая умножението се състоеше в намиране на сбора от едни и същи членове.
Сега преминаваме към целочислено умножение с дроб. Тук ще се срещнем с такова, например, умножение: 9 • 2/3. Съвсем очевидно е, че предишната дефиниция за умножение не отговаря на този случай. Това може да се види от факта, че не можем да заменим такова умножение чрез добавяне на числа, равни едно на друго.
Поради това ще трябва да дадем нова дефиниция на умножението, тоест, с други думи, да отговорим на въпроса какво трябва да се разбира под умножение с дроб, как трябва да се разбира това действие.
Значението на умножаването на цяло число по дроб се изяснява от следното определение: умножаването на цяло число (множител) по дроб (множител) означава намиране на тази част от множителя.
А именно, умножаването на 9 по 2/3 означава намиране на 2/3 от девет единици. В предишния параграф такива задачи бяха решени; така че е лесно да разберем, че ще стигнем до 6.
Но сега възниква интересен и важен въпрос: защо на пръв поглед е такъв различни действиякак да намеря сумата равни числаи намирането на част от число, в аритметиката, се наричат една и съща дума "умножение"?
Това се случва, защото предишното действие (повтаряне на числото от сумите няколко пъти) и новото действие (намиране на част от число) дават отговор на еднородни въпроси. Това означава, че тук изхождаме от съображенията, че еднородните въпроси или проблеми се решават с едно и също действие.
За да разберете това, помислете за следния проблем: „1 метър плат струва 50 рубли. Колко ще струват 4 м такъв плат?"
Този проблем се решава чрез умножаване на броя на рублите (50) по броя на метри (4), т.е. 50 x 4 = 200 (рубли).
Да вземем същия проблем, но в него количеството плат ще бъде изразено като дробно число: „1 м плат струва 50 рубли. Колко ще струва 3/4 м от такъв плат? "
Този проблем също трябва да бъде решен чрез умножаване на броя на рублите (50) по броя на метри (3/4).
Възможно е и още няколко пъти, без да променяте значението на задачата, да промените числата в нея, например, вземете 9/10 m или 2 3/10 m и т.н.
Тъй като тези задачи имат едно и също съдържание и се различават само по числа, ние наричаме действията, използвани за решаването им, с една и съща дума – умножение.
Как се прави цяло число, умножено по дроб?
Да вземем числата, срещнати в последния проблем:
50 • 3 / 4 = ?
Според дефиницията трябва да намерим 3/4 от 50. Първо намираме 1/4 от 50, а след това 3/4.
1/4 от числото 50 е 50/4;
3/4 от числото 50 е.
Следователно.
Помислете за друг пример: 12 • 5/8 =?
1/8 от 12 е 12/8,
5/8 от числото 12 са.
следователно,
От тук получаваме правилото:
За да умножите цяло число по дроб, трябва да умножите цялото число по числителя на дроба и да направите това произведение числител и да подпишете знаменателя на тази дроб като знаменател.
Нека напишем това правило с букви:
За да стане това правило напълно ясно, трябва да се помни, че една дроб може да се разглежда като частно. Ето защо е полезно да се сравни намереното правило с правилото за умножение на число по частно, което е представено в § 38
Трябва да се помни, че преди да извършите умножението, трябва да направите (ако е възможно) намаления, Например:
4. Умножение на дроб по дроб.Умножаването на дроб по дроб има същото значение като умножаването на цяло число по дроб, тоест когато умножавате дроб по дроб, трябва да намерите фракцията във фактора от първата дроб (умножение).
А именно, умножаването на 3/4 по 1/2 (половината) означава намиране на половината от 3/4.
Как се извършва умножението на дроб по дроб?
Да вземем пример: 3/4 по 5/7. Това означава, че трябва да намерите 5/7 от 3/4. Намерете първо 1/7 от 3/4, а след това 5/7
1/7 от 3/4 ще се изрази така:
5/7 от 3/4 ще се изрази така:
По този начин,
Друг пример: 5/8 по 4/9.
1/9 от 5/8 е,
4/9 от числото 5/8 е.
По този начин,
Като се имат предвид тези примери, може да се изведе следното правило:
За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителя по числителя и знаменателя по знаменателя и да направите първия продукт числител, а вторият знаменател на продукта.
Това правило в общ изгледможе да се напише така:
При умножаване е необходимо да се правят (ако е възможно) намаления. Нека разгледаме някои примери:
5. Умножение на смесени числа.Тъй като смесените числа могат лесно да бъдат заменени с неправилни дроби, това обстоятелство обикновено се използва при умножаване на смесени числа. Това означава, че в случаите, когато множителят, или факторът, или и двата фактора са изразени със смесени числа, тогава те се заменят с неправилни дроби. Да умножим, например, смесените числа: 2 1/2 и 3 1/5. Нека преобразуваме всеки от тях в неправилна дроб и след това ще умножим получените дроби според правилото за умножение на дроб по дроб:
Правило.За да умножите смесени числа, първо трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и след това да ги умножите според правилото за умножение на дроб по дроб.
Забележка.Ако един от факторите е цяло число, тогава умножението може да се извърши въз основа на закона за разпределение, както следва:
6. Концепцията за интерес.При решаване на задачи и извършване на различни практически изчисления ние използваме всички видове дроби. Но трябва да се има предвид, че много количества позволяват не всякакви, а естествени подразделения за тях. Например, можете да вземете една стотна (1/100) от рубла, тя ще бъде копейка, две стотни са 2 копейки, три стотни - 3 копейки. Можете да вземете 1/10 от рубла, това ще бъде "10 копейки, или стотинка. Можете да вземете четвърт рубла, тоест 25 копейки, половин рубла, тоест 50 копейки (петдесет копейки). Но те практически не вземат, например, 2/7 рубли, тъй като рублата не е разделена на седми.
Мерната единица за тегло, тоест килограм, позволява преди всичко десетични деления, например 1/10 kg или 100 g. И такива фракции от килограм като 1/6, 1/11, 1/13 са необичайни.
Като цяло нашите (метрични) мерки са десетични и позволяват десетични деления.
Все пак трябва да се отбележи, че е изключително полезно и удобно в голямо разнообразие от случаи да се използва един и същ (еднаквен) метод за подразделяне на количествата. Дългогодишният опит показа, че толкова добре доказано разделение е "стотното" разделение. Помислете за няколко примера от голямо разнообразие от области на човешката практика.
1. Цената на книгите е паднала с 12/100 от предишната цена.
Пример. Предишната цена на книгата е 10 рубли. Спадна с 1 рубла. 20 копейки
2. Спестовните банки изплащат на вложителите 2/100 от сумата, разпределена за спестявания през годината.
Пример. Касиерът има 500 рубли, доходът от тази сума за годината е 10 рубли.
3. Броят на завършилите едно училище е 5/100 от общия брой ученици.
ПРИМЕР В училището са учили само 1200 ученици, от които 60 са завършили училището.
Една стотна от числото се нарича процент..
Думата "процент" е заимствана от латински език и нейният корен "cent" означава сто. Заедно с предлога (procentum) тази дума означава „над сто“. Значението на този израз следва от факта, че първоначално в древен Римлихвите са парите, които длъжникът плаща на кредитора „за всеки сто“. Думата "цент" се чува в такива познати думи: центнер (сто килограма), сантиметър (казаният сантиметър).
Например, вместо да кажем, че заводът за последния месец е дал скрап 1/100 от всичките си продукти, ще кажем това: заводът за последния месец е дал един процент скрап. Вместо да кажем: заводът е произвел 4/100 повече от установения план, ще кажем: заводът надхвърли плана с 4 процента.
Горните примери могат да бъдат посочени по различен начин:
1. Цената на книгите е спаднала с 12 процента спрямо предишната цена.
2. Спестовните банки изплащат на вложителите 2 процента годишно от сумата, отпусната за спестявания.
3. Броят на завършилите едно училище е 5 процента от всички ученици в училището.
За да се съкрати буквата, е обичайно да се пише символът % вместо думата "процент".
Трябва обаче да се помни, че при изчисленията знакът % обикновено не се записва; той може да бъде записан в формулировката на проблема и в крайния резултат. Когато извършвате изчисления, трябва да напишете дроб със знаменател 100 вместо цяло число с този знак.
Трябва да можете да замените цяло число с посочената икона с дроб със знаменател 100:
Обратно, трябва да свикнете да пишете цяло число с посочения знак вместо дроб със знаменател 100:
7. Намиране на процента от дадено число.
Цел 1.Училището получи 200 куб.м. м дърва за огрев, като брезовите дърва представляват 30%. Колко брезови дърва имаше?
Смисълът на тази задача е, че брезовите дърва за огрев са били само част от дървата за огрев, които са били доставени на училището, и тази част се изразява като дроб от 30/100. Това означава, че сме изправени пред задачата да намерим частта от число. За да го решим, трябва да умножим 200 по 30/100 (задачите за намиране на част от число се решават чрез умножаване на числото по дроб.).
Това означава, че 30% от 200 е равно на 60.
Частта 30/100, срещана в този проблем, може да бъде намалена с 10. Човек можеше да извърши това намаляване от самото начало; решението на проблема не би се променило.
Цел 2.В лагера имаше 300 деца на различна възраст. Децата на 11 години са 21%, децата на 12 години са 61% и накрая 13-годишните са 18%. Колко деца от всяка възраст имаше в лагера?
В този проблем трябва да извършите три изчисления, т.е. да намерите последователно броя на децата на 11 години, след това на 12 години и накрая на 13 години.
Това означава, че тук ще трябва да намерите частта от числото три пъти. Хайде да го направим:
1) Колко деца са били на 11 години?
2) Колко деца са били на 12 години?
3) Колко деца са били на 13 години?
След решаване на задачата е полезно да добавите намерените числа; тяхната сума трябва да бъде 300:
63 + 183 + 54 = 300
Трябва също да обърнете внимание на факта, че сумата на лихвите, дадена в условието на задачата, е 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Това предполага, че общ бройдецата в лагера са приети за 100%.
3 случай 3.Работникът получаваше 1200 рубли на месец. От тях той похарчи 65% за храна, 6% - за апартамент и отопление, 4% - за газ, ток и радио, 10% - за културни нужди и 15% - спести. Колко пари са похарчени за нуждите, посочени в задачата?
За да решите тази задача, трябва да намерите частта от числото 1 200 5 пъти. Нека го направим.
1) Колко пари бяха похарчени за храна? Проблемът казва, че този разход е 65% от общите приходи, тоест 65/100 от числото 1200. Нека направим изчислението:
2) Колко пари са платени за апартамент с отопление? Разсъждавайки като предишното, стигаме до следното изчисление:
3) Колко пари платихте за газ, ток и радио?
4) Колко пари бяха похарчени за културни нужди?
5) Колко пари е спестил работникът?
Полезно е да добавите числата, намерени в тези 5 въпроса, за да тествате. Сумата трябва да бъде 1200 рубли. Всички печалби се приемат като 100%, което е лесно да се провери чрез сумиране на процентите, дадени в формулировката на проблема.
Решихме три проблема. Въпреки факта, че тези проблеми се занимаваха с различни неща (доставка на дърва за огрев за училището, брой деца на различна възраст, разходи на работника), те бяха решени по един и същи начин. Това се случи, защото във всички задачи беше необходимо да се намерят няколко процента от дадените числа.
§ 90. Деление на дроби.
Когато изучаваме разделянето на дроби, ще разгледаме следните въпроси:
2. Деление на дроб на цяло число
4. Деление на дроб на дроб.
5. Деление на смесени числа.
Нека ги разгледаме последователно.
1. Деление на цяло число на цяло число.
Както беше посочено в раздела за цели числа, деленето е действие, състоящо се в това, че за дадено произведение на два фактора (делимо) и един от тези фактори (делител) се намира друг фактор.
Разгледахме деленето на цяло число на цяло число в отдела за цели числа. Там се сблъскахме с два случая на деление: деление без остатък или „изцяло“ (150: 10 = 15) и деление с остатък (100: 9 = 11 и 1 в остатък). Следователно можем да кажем, че в областта на целите числа точното деление не винаги е възможно, тъй като делимото не винаги е произведение на делителя на цяло число. След въвеждането на умножение с дроб, можем да разгледаме всеки случай на деление на цели числа като възможен (само деление на нула е изключено).
Например, разделянето на 7 на 12 означава намиране на число, чието произведение на 12 би било 7. Това число е 7/12, защото 7/12 • 12 = 7. Друг пример: 14:25 = 14/25, защото 14/25 x 25 = 14.
По този начин, за да разделите цяло число на цяло число, трябва да съставите дроб, чийто числител е делимото, а знаменателят е делителят.
2. Деление на дроб на цяло число.
Разделете дроба 6/7 на 3. Съгласно дефиницията, дадена по-горе, тук имаме произведението (6/7) и един от факторите (3); изисква се да се намери такъв втори фактор, който от умножение по 3 би дал даденото произведение 6/7. Очевидно трябва да е три пъти по-малко от това парче. Това означава, че поставената пред нас задача е да намалим дроба 6/7 с 3 пъти.
Вече знаем, че намаляването на дроб може да се извърши или чрез намаляване на числителя, или чрез увеличаване на знаменателя. Следователно може да се напише:
В този случай числителят на 6 се дели на 3, така че числителят трябва да бъде намален с 3 пъти.
Да вземем друг пример: разделете 5/8 на 2. Тук числителят на 5 не се дели равномерно на 2, така че трябва да умножите знаменателя по това число:
Въз основа на това можем да формулираме правило: за да разделите дроб на цяло число, трябва да разделите числителя на дроба на това цяло число(ако е възможно), оставяйки същия знаменател или умножете знаменателя на дробта по това число, оставяйки същия числител.
3. Деление на цяло число на дроб.
Да предположим, че се изисква да се раздели 5 на 1/2, тоест да се намери число, което след умножение по 1/2 ще даде на произведението 5. Очевидно това число трябва да е по-голямо от 5, тъй като 1/2 е редовно дроб, а при умножаване на числото за обикновена дроб произведението трябва да е по-малко от умножимото. За да стане по-ясно, нека напишем нашите действия, както следва: 5: 1/2 = х следователно, x • 1/2 = 5.
Трябва да намерим такъв номер х , което, ако се умножи по 1/2, би дало 5. Тъй като умножаването на някакво число по 1/2 - това означава намиране на 1/2 от това число, тогава, следователно, 1/2 от неизвестното число х е равно на 5, а цялото число х два пъти повече, тоест 5 • 2 = 10.
Така че 5: 1/2 = 5 • 2 = 10
Да проверим:
Да вземем друг пример. Да предположим, че искате да разделите 6 на 2/3. Нека се опитаме първо да намерим желания резултат с помощта на чертежа (фиг. 19).
Фиг. 19
Нека начертаем отсечка AB, равно на около 6 единици, и да разделим всяка единица на 3 равни части. Във всяка единица три трети (3/3) в целия сегмент AB е 6 пъти повече, т.е. д. 18/3. Свързваме с помощта на малки скоби 18 получени сегмента от 2; ще има само 9 сегмента. Това означава, че дробът 2/3 се съдържа в 6 единици 9 пъти, или, с други думи, дробът 2/3 е 9 пъти по-малък от 6 цели единици. следователно,
Как можете да получите този резултат без чертеж, като използвате само изчисления? Ще спорим по следния начин: изисква се да се раздели 6 на 2/3, тоест трябва да се отговори на въпроса колко пъти 2/3 се съдържат в 6. Нека първо разберем: колко пъти е 1/3 съдържащи се в 6? В цяла единица - 3 трети, а в 6 единици - 6 пъти повече, тоест 18 трети; за да намерим това число, трябва да умножим 6 по 3. Това означава, че 1/3 се съдържа в 6 единици 18 пъти, а 2/3 се съдържат в 6 не 18 пъти, а наполовина по-малко пъти, тоест 18: 2 = 9. Следователно, когато разделяме 6 на 2/3, направихме следното:
От това получаваме правилото за делене на цяло число на дроб. За да разделите цяло число на дроб, трябва да умножите това цяло число по знаменателя на дадената дроб и, като направите това произведение числител, да го разделите на числителя на дадената дроб.
Нека напишем правилото с букви:
За да стане това правило напълно ясно, трябва да се помни, че една дроб може да се разглежда като частно. Ето защо е полезно да се сравни намереното правило с правилото за делене на число на частно, което е представено в § 38. Имайте предвид, че същата формула е получена там.
При разделяне са възможни съкращения, например:
4. Деление на дроб на дроб.
Да предположим, че искате да разделите 3/4 на 3/8. Какво ще бъде числото, което ще бъде резултатът от деленето? Той ще отговори на въпроса колко пъти дроб 3/8 се съдържа в дроб 3/4. За да разберем този въпрос, нека направим чертеж (фиг. 20).
Вземете отсечката AB, вземете го като единица, разделете го на 4 равни части и маркирайте 3 такива части. Сегментът AC ще бъде равен на 3/4 от сегмента AB. Нека сега разделим всеки от четирите първоначални сегмента наполовина, след което сегментът AB ще бъде разделен на 8 равни части и всяка такава част ще бъде равна на 1/8 от сегмента AB. Нека свържем 3 такива сегмента с дъги, тогава всеки от сегментите AD и DC ще бъде равен на 3/8 от сегмента AB. Чертежът показва, че отсечката, равна на 3/8, се съдържа в отсечката, равна на 3/4, точно 2 пъти; следователно, резултатът от разделянето може да бъде записан, както следва:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Да вземем друг пример. Нека разделим 15/16 на 3/32:
Можем да разсъждаваме по следния начин: трябва да намерите число, което след умножение по 3/32 ще даде продукт, равен на 15/16. Нека напишем изчисленията така:
15 / 16: 3 / 32 = х
3 / 32 •х = 15 / 16
3/32 неизвестно число х са 15/16
1/32 от неизвестно число х е,
32/32 числа х грим.
следователно,
По този начин, за да разделите дроб на дроб, трябва да умножите числителя на първата дроб по знаменателя на втората и да умножите знаменателя на първата дроб по числителя на втората и да направите първия продукт числител, и вторият, знаменателят.
Нека напишем правилото с букви:
При разделяне са възможни съкращения, например:
5. Деление на смесени числа.
При разделяне на смесени числа те първо трябва да се превърнат в неправилни дроби, а след това да се разделят получените дроби според правилата за разделяне на дробни числа. Нека разгледаме пример:
Нека преобразуваме смесените числа в неправилни дроби:
Сега да разделим:
По този начин, за да разделите смесени числа, трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и след това да разделите по правилото за деление на дробите.
6. Намиране на число за дадена дроб.
Сред различните задачи за дроби понякога има такива, в които е дадена стойността на част от неизвестно число и се изисква да се намери това число. Този тип задача ще бъде обратна по отношение на задачата за намиране на частта от дадено число; там беше дадено число и се изискваше да се намери определена част от това число, тук е дадена част от число и се изисква да се намери самото това число. Тази идея ще стане още по-ясна, ако се обърнем към решението на този тип проблеми.
Цел 1.През първия ден стъклопакетите са остъклили 50 прозореца, което е 1/3 от всички прозорци в построената къща. Колко прозорци има в тази къща?
Решение.Проблемът казва, че 50 остъклени прозорци съставляват 1/3 от всички прозорци в къщата, което означава, че има общо 3 пъти повече прозорци, т.е.
Къщата имаше 150 прозореца.
Цел 2.В магазина са продадени 1500 кг брашно, което е 3/8 от общото количество брашно на магазина. Каква беше оригиналната доставка на брашно в магазина?
Решение.От постановката на задачата се вижда, че продадените 1500 кг брашно съставляват 3/8 от общия запас; Това означава, че 1/8 от този запас ще бъде 3 пъти по-малко, тоест, за да го изчислите, трябва да намалите 1500 с 3 пъти:
1500: 3 = 500 (това е 1/8 от запаса).
Очевидно целият запас ще бъде 8 пъти по-голям. следователно,
500 • 8 = 4000 (кг).
Първоначалният склад на брашно в магазина беше 4000 кг.
От разглеждането на този проблем може да се изведе следното правило.
За да намерите число за дадена стойност на неговата дроб, достатъчно е тази стойност да се раздели на числителя на дроба и резултатът да се умножи по знаменателя на дроба.
Решихме две задачи за намиране на число от дадена дроб. Такива проблеми, както се вижда особено ясно от последното, се решават с две действия: деление (когато се намери една част) и умножение (когато се намери цялото число).
Въпреки това, след като проучихме деленето на дроби, горните проблеми могат да бъдат решени с едно действие, а именно: деление на дроб.
Например, последната задача може да бъде решена в една стъпка по следния начин:
V допълнителни задачиза да намерим число по неговата дроб, ще решим с едно действие - деление.
7. Намиране на числото по неговия процент.
В тези задачи ще трябва да намерите число, като знаете няколко процента от това число.
Цел 1.В началото текуща годинаПолучих 60 рубли от спестовната каса. доход от сумата, която сложих в спестявания преди година. Колко пари вложих в спестовна каса? (Касовете дават на вносителите 2% доход годишно.)
Смисълът на проблема е, че определена сума пари беше внесена от мен в спестовна каса и остана там една година. След една година получих 60 рубли от нея. доход, който е 2/100 от парите, които влагам. Колко пари вложих?
Следователно, знаейки част от тези пари, изразена по два начина (в рубли и в дроби), трябва да намерим цялата, досега неизвестна сума. Това е обикновена задача за намиране на число от дадена дроб. Следните задачи се решават чрез деление:
Това означава, че 3000 рубли са вкарани в спестовната каса.
Цел 2.Рибарите изпълниха месечния план с 64% за две седмици, като уловиха 512 тона риба. Какъв беше планът им?
От постановката на проблема се знае, че рибарите са изпълнили част от плана. Тази част е равна на 512 тона, което е 64% от плана. Не знаем колко тона риба трябва да се приготви по план. Намирането на този номер ще бъде решението на проблема.
Такива задачи се решават чрез разделяне на:
Това означава, че по план трябва да се приготвят 800 тона риба.
Цел 3.Влакът тръгна от Рига за Москва. Когато премина 276-ия километър, един от пътниците попита минаващия кондуктор каква част от пътя вече са изминали. На това кондукторът отговори: „Вече сме изминали 30% от целия маршрут“. Какво е разстоянието от Рига до Москва?
От постановката на проблема се вижда, че 30% от маршрута от Рига до Москва е 276 км. Трябва да намерим цялото разстояние между тези градове, тоест за дадена част да намерим цялото:
§ 91. Взаимно реципрочни числа. Замяна на деление с умножение.
Вземете дроба 2/3 и преместете числителя в знаменателя, така че ще получите 3/2. Получихме обратното на тази дроб.
За да получите обратното на дадената дроб, трябва да поставите нейния числител на мястото на знаменателя, а знаменателят на мястото на числителя. По този начин можем да получим реципрочната стойност на всяка дроб. Например:
3/4, обратна 4/3; 5/6, обратен 6/5
Две дроби със свойството, че числителят на първата е знаменател на втората, а знаменателят на първата е числителят на втората, се наричат взаимно обратни.
Сега нека помислим коя дроб ще бъде обратната на 1/2. Очевидно ще бъде 2/1 или просто 2. Търсейки обратното на дадената дроб, получаваме цяло число. И този случай не е изолиран; напротив, за всички дроби с числител 1 (едно), целите числа ще бъдат обратни, например:
1/3, обратна 3; 1/5, обратен 5
Тъй като при търсене на реципрочни дроби се срещнахме и с цели числа, по-нататък ще говорим не за реципрочни дроби, а за реципрочни числа.
Нека да разберем как да напишем обратното число на цяло число. За дроби това може да се реши просто: трябва да поставите знаменателя на мястото на числителя. По същия начин можете да получите обратното число за цяло число, тъй като всяко цяло число може да има знаменател 1. Следователно, числото, обратно на 7, ще бъде 1/7, защото 7 = 7/1; за числото 10 обратното ще бъде 1/10, тъй като 10 = 10/1
Тази мисъл може да се изрази и по друг начин: обратното на дадено число се получава чрез разделяне на едно на дадено число... Това твърдение е вярно не само за цели числа, но и за дроби. Всъщност, ако искаме да запишем обратното число на дроб 5/9, тогава можем да вземем 1 и да го разделим на 5/9, т.е.
Сега нека посочим едно Имотвзаимно реципрочни числа, които ще ни бъдат полезни: произведението на взаимно реципрочни числа е равно на единица.Наистина:
Използвайки това свойство, можем да намерим реципрочни числа по следния начин. Да предположим, че трябва да намерите обратното на 8.
Нека го обозначим с буквата х , след това 8 • х = 1, следователно х = 1/8. Нека намерим друго число, обратното на 7/12, обозначаваме го с буква х , след това 7/12 • х = 1, следователно х = 1: 7/12 или х = 12 / 7 .
Въведохме тук понятието за взаимно реципрочни числа, за да допълним малко информацията за разделянето на дроби.
Когато разделим числото 6 на 3/5, правим следното:
Обърнете внимание на израза и го сравнете с дадения:.
Ако вземем израза отделно, без връзка с предишния, тогава е невъзможно да се реши въпросът откъде идва: от разделяне на 6 на 3/5 или от умножаване на 6 на 5/3. И в двата случая резултатът е един и същ. Така че можем да кажем че разделянето на едно число на друго може да бъде заменено с умножаване на дивидента по обратното на делителя.
Примерите, които даваме по-долу, напълно подкрепят това заключение.
30 юли 2011 г
Дробите са обикновени числа, те също могат да се добавят и изваждат. Но поради факта, че имат знаменател, те изискват по-сложни правила, отколкото за цели числа.
Помислете за най-простия случай, когато има две дроби с един и същ знаменател. Тогава:
За да добавите дроби със същия знаменател, добавете техните числители и оставете знаменателя непроменен.
За да извадите дроби със същия знаменател, извадете числителя на втората от числителя на първата дроб и оставете знаменателя непроменен.
Във всеки израз знаменателите на дробите са равни. Чрез дефиницията за събиране и изваждане на дроби получаваме:
Както можете да видите, нищо сложно: просто добавете или извадете числителите и това е всичко.
Но дори в такива прости действия хората успяват да направят грешки. Това, което най-често се забравя е, че знаменателят не се променя. Например, когато се добавят, те също започват да добавят и това е фундаментално погрешно.
Отървавам се от лош навикдобавянето на знаменателите е достатъчно лесно. Опитайте се да направите същото за изваждане. В резултат на това знаменателят ще бъде нула, а дробът (внезапно!) Ще загуби смисъла си.
Затова запомнете веднъж завинаги: знаменателят не се променя при събиране и изваждане!
Освен това мнозина правят грешки, когато добавят няколко отрицателни дроби. Има объркване със знаците: къде да поставите минус и къде да поставите плюс.
Този проблем също е много лесен за решаване. Достатъчно е да запомните, че минусът пред знака на дроба винаги може да се прехвърли в числителя - и обратно. И разбира се, не забравяйте две прости правила:
- Плюс и минус дава минус;
- Два отрицания правят утвърдително.
Нека анализираме всичко това с конкретни примери:
Задача. Намерете значението на израза:
В първия случай всичко е просто, но във втория добавяме минусите към числителите на дробите:
Какво да направите, ако знаменателите са различни
Не можете директно да добавяте дроби с различни знаменатели. Поне за мен този метод е непознат. Въпреки това, оригиналните дроби винаги могат да бъдат пренаписани, така че знаменателите да станат еднакви.
Има много начини за преобразуване на дроби. Три от тях са разгледани в урока "Свеждане на дроби до общ знаменател", така че тук няма да се спираме на тях. Нека разгледаме по-добре примери:
Задача. Намерете значението на израза:
В първия случай привеждаме дробите до общ знаменател, използвайки метода на кръстосано кръстосване. Във втория ще търсим LCM. Забележете, че 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последните множители в тези разложения са равни, а първите са взаимно прости. Следователно LCM (6; 9) = 2 3 3 = 18.
Какво да направите, ако дроб има цяла част
Мога да ви зарадвам: различните знаменатели за дроби все още не са най-голямото зло. много повече грешкивъзниква, когато цялата част е избрана в събираемите дроби.
Разбира се, има собствени алгоритми за събиране и изваждане за такива дроби, но те са доста сложни и изискват дълго учене... По-добро използване проста схемаПо-долу:
- Преобразувайте всички дроби, съдържащи цяло число, в неправилни. Получаваме нормални термини (дори и с различни знаменатели), които се изчисляват по правилата, разгледани по-горе;
- Всъщност изчислете сумата или разликата на получените дроби. В резултат на това практически ще намерим отговора;
- Ако това е всичко, което се изискваше в задачата, ние извършваме обратното преобразуване, т.е. отърваваме се от неправилната дроб, като подчертаваме цялата част в нея.
Правилата за преминаване към неправилни дроби и открояване на цялата част са описани подробно в урока „Какво е числова дроб”. Ако не си спомняте, не забравяйте да го повторите. Примери:
Задача. Намерете значението на израза:
Тук всичко е просто. Знаменателите във всеки израз са равни, така че остава да преобразуваме всички дроби в неправилни и да преброим. Ние имаме:
За да опростя нещата, пропуснах някои от очевидните стъпки в последните примери.
Малка бележка за две скорошни примери, където дробите с подчертана цяла част се изваждат. Минусът пред втората дроб означава, че се изважда цялата дроб, а не само цялата й дроб.
Прочетете отново това изречение, разгледайте примерите - и помислете за него. Това е мястото, където начинаещите правят огромен брой грешки. Те обичат да дават такива задачи контролни работи... Също така ще ги срещнете много пъти в тестовете за този урок, които ще бъдат публикувани скоро.
Резюме: обща изчислителна схема
В заключение ще дам общ алгоритъм, който ще ви помогне да намерите сумата или разликата на две или повече дроби:
- Ако една или повече дроби имат цяла част, преобразувайте тези дроби в неправилни;
- Приведете всички дроби до общ знаменател по удобен за вас начин (освен ако, разбира се, авторите на проблема не са направили това);
- Съберете или извадете получените числа според правилата за събиране и изваждане на дроби със същите знаменатели;
- Намалете резултата, ако е възможно. Ако фракцията е грешна, изберете цялата част.
Не забравяйте, че е по-добре да изберете цялата част в самия край на задачата, непосредствено преди да запишете отговора.
азЗа да добавите дроби със същия знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателят същият.
Примери.
II.Ако трябва да добавите дроби с различни знаменатели, тогава първо дробите водят до най-малкия общ знаменател, а след това добавете дроби със същите знаменатели.
Примери.
III.За да извадите дроби със същия знаменател, извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и оставете знаменателя същия.
Примери.
IV.Ако трябва да извадите дроби с различни знаменатели, тогава първо ги довеждат до общ знаменател и след това изваждат дроби със същите знаменатели.
Примери.
V.При извършване на събиране или изваждане на смесени числа тези действия се извършват отделно за цели части и за дробни части, след което резултатът се записва като смесено число.
Примери.
да,трябва да добавите отделно цели части и отделно дробни части от смесено число.
Не,няма нужда да рисувате поотделно цели и дробни части от смесени числа.
Важно:не започвайте да събирате, докато не преобразувате дробните части на вашите смесени числа в най-малкия общ знаменател (LCN).
Не забравяйте, че единицата може да бъде представена като обикновена дроб, чиито числител и знаменател са произволни равен приятелна приятел с числа.
Важно:не започвайте да изваждате, докато не намалите дробните части на вашите смесени числа до най-малкия общ знаменател (LCN) и се уверите, че от числителя на първата дроб, можете да извадите числителя на втората дроб. Ами ако не можете да извадите?
След това "заемате" от цялата част на намалената една цяла единица, представяте я като неправилна дроб със същия знаменател (NOZ) и добавяте тази неправилна дроб (разделена единица) към дробната част на намалената.
математика. 5 клас. Тест 4 ... Опция 2 .
1. За да доведете дробите до най-малкия общ знаменател, трябва: 1) да намерите LCM на знаменателите на тези дроби, това ще бъде техният най-малък общ знаменател; 2) разделете най-малкия общ знаменател на знаменателите на тези дроби и намерете допълнителен фактор за всяка дроб; 3) умножете числителя и знаменателя на всяка дроб по нейния допълнителен фактор.Намалете до най-малкия общ знаменател на дроба:
2. Намалете смесените числа до най-малкия общ знаменател:
3 ... На координатния лъч по-малката фракция е изобразена вляво от по-голямата фракция, а по-голямата фракция е изобразена ... от по-малката фракция.
а)наляво; V)напред; С)отзад; Д)по-горе; д)повече вдясно.
4. Запишете във възходящ ред на дроба:
5. Заменете звездичката с число, за да получите правилното равенство.
А) 10; AT 7; В) 2; Г) 20; Д) 25.
6 ... Използвайки букви, правилото за събиране на две дроби със същите знаменатели може да се запише, както следва:
7. За да добавите дроби с различни знаменатели, трябва: 1) да доведете дробите до най-малкия общ знаменател; 2) извършете събирането на получените дроби по правилото за събиране на дроби със същите знаменатели.Добавете дроби с различни знаменатели:
8. За да извадите дроби с различни знаменатели, трябва: 1) да доведете дробите до най-малкия общ знаменател; 2) извършете действието на изваждане на получените дроби по правилото за изваждане на дроби със същите знаменатели.Извадете дроби с различни знаменатели:
9 ... Извършете добавяне:
10. Изчисли:
11 ... Изчисли:
12. Намерете площта на правоъгълник със страни 7 см и 9 см.
а) 63 см²; V) 32 см; С) 72 см²; Д) 16 см; д) 54 см².
Отговорите на тестовете ще намерите на страницата " Отговори " .
Страница 1 от 1 1
Примерите за дроби са един от основните елементи на математиката. Има много различни видове дробни уравнения. По-долу е подробни инструкциичрез решаване на примери от този тип.
Как се решават примери с дроби - общи правила
За да решавате примери с дроби от всякакъв тип, било то събиране, изваждане, умножение или деление, трябва да знаете основните правила:
- За да добавите дробни изрази със същия знаменател (знаменателят е числото в долната част на дроба, числителят е в горната част), трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя същият.
- За да извадите втория от един дробен израз (със същия знаменател), трябва да извадите техните числители и да оставите знаменателя същият.
- За да добавите или извадите дробни изрази с различни знаменатели, трябва да намерите най-малкия общ знаменател.
- За да намерите дробното произведение, трябва да умножите числителите и знаменателите, като същевременно намалите, ако е възможно.
- За да разделите дроб на дроб, трябва да умножите първата дроб по обърнатата втора.
Как се решават примери с дроби - практика
Правило 1, пример 1:
Изчислете 3/4 +1/4.
Съгласно правило 1, ако дробите от две (или повече) имат един и същ знаменател, просто трябва да добавите техните числители. Получаваме: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ако дробът има същия числител и знаменател, тази дроб ще бъде 1.
Отговор: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Правило 2, пример 1:
Изчислете: 3/4 - 1/4
Използвайки правило номер 2, за да решите това уравнение, трябва да извадите 1 от 3 и да оставите знаменателя същият. Получаваме 2/4. Тъй като две 2 и 4 могат да бъдат отменени, можем да отменим и да получим 1/2.
Отговор: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.
Правило 3, Пример 1
Изчислете: 3/4 + 1/6
Решение: Използвайки 3-то правило, намерете най-малкия общ знаменател. Най-малкият общ знаменател е числото, което се дели на знаменателите на всички дробни изрази в примера. По този начин трябва да намерим такова минимално число, което ще се дели както на 4, така и на 6. Това число е 12. Записваме като знаменател 12. 12 разделяме на знаменателя на първата дроб, получаваме 3, умножаваме по 3 , напишете в числителя 3 * 3 и знак +. Разделяме 12 на знаменателя на втората дроб, получаваме 2, умножаваме 2 по 1, записваме 2 * 1 в числителя. И така, получихме нова дроб със знаменател равен на 12 и числител равен на 3 * 3 + 2 * 1 = 11. 11/12.
Отговор: 11/12
Правило 3, Пример 2:
Изчислете 3/4 - 1/6. Този пример е много подобен на предишния. Правим всички същите действия, но в числителя вместо знака + пишем знака минус. Получаваме: 3 * 3-2 * 1/12 = 9-2 / 12 = 7/12.
Отговор: 7/12
Правило 4, Пример 1:
Изчислете: 3/4 * 1/4
Използвайки четвъртото правило, умножаваме знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората и числителя на първата дроб по числителя на втората. 3 * 1/4 * 4 = 3/16.
Отговор: 3/16
Правило 4, Пример 2:
Изчислете 2/5 * 10/4.
Тази фракция може да бъде съкратена. В случай на произведение числителят на първата дроб и знаменателят на втората и числителят на втората дроб и знаменателят на първата се отменят.
2 се намалява от 4. 10 се намалява от 5. получаваме 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.
Отговор: 2/5 * 10/4 = 1
Правило 5, Пример 1:
Изчислете: 3/4: 5/6
Използвайки 5-то правило, получаваме: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Намалете дроба, както в предишния пример и вземете 9/10.
Отговор: 9/10.
Как да решаваме примери за дроби - дробни уравнения
Дробните уравнения са примери, при които в знаменателя има неизвестно. За да решите такова уравнение, трябва да използвате определени правила.
Нека разгледаме пример:
Решете уравнението 15 / 3x + 5 = 3
Не забравяйте, че не можете да разделите на нула, т.е. знаменателят не трябва да е нула. При решаването на подобни примери това трябва да се посочи. За това има ODZ (диапазон от допустими стойности).
Значи 3x + 5 ≠ 0.
Следователно: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
За x = 5/3 уравнението просто няма решение.
След като посочи ОДЗ, по най-добрия начинрешаването на това уравнение ще се отърве от дробите. За да направите това, първо представяме всички недробни стойности като дроб, в този случай числото 3. Получаваме: 15 / (3x + 5) = 3/1. За да се отървете от дроби, трябва да умножите всяка от тях по най-малкия общ знаменател. В този случай това би било (3x + 5) * 1. Последователност:
- Умножете 15 / (3x + 5) по (3x + 5) * 1 = 15 * (3x + 5).
- Разширете скобите: 15 * (3x + 5) = 45x + 75.
- Правим същото с дясната страна на уравнението: 3 * (3x + 5) = 9x + 15.
- Приравняване на лявата и дясната страна: 45x + 75 = 9x +15
- Преместете x наляво, числата вдясно: 36x = - 50
- Намерете x: x = -50/36.
- Намаляване: -50/36 = -25/18
Отговор: ODZ x ≠ 5/3. х = -25/18.
Как се решават примери с дроби - дробни неравенства
Дробни неравенства като (3x-5) / (2-x) ≥0 се решават с помощта на числовата ос. Нека разгледаме този пример.
Последователност:
- Приравняване на числителя и знаменателя на нула: 1,3x-5 = 0 => 3x = 5 => x = 5/3
2.2-x = 0 => x = 2 - Начертаваме оста на числата, като изписваме получените стойности върху нея.
- Начертайте кръг под стойността. Кръгът е два вида - пълен и празен. Запълнен кръг означава това дадена стойносте включен в гамата от решения. Празен кръг показва, че тази стойност не е включена в диапазона от решения.
- Тъй като знаменателят не може да бъде нула, ще има празен кръг под 2-ра.
- За да определите знаците, заменете всяко число, по-голямо от две в уравнението, например 3. (3 * 3-5) / (2-3) = -4. стойността е отрицателна, така че пишем минус над областта след двете. След това заместете x всяка стойност на интервала от 5/3 до 2, например 1. Стойността отново е отрицателна. Пишем минус. Повторете същото с площта до 5/3. Заменете произволно число по-малко от 5/3, например 1. Отново минус.
- Тъй като се интересуваме от x стойностите, при които изразът ще бъде по-голям или равен на 0 и няма такива стойности (има минуси навсякъде), това неравенство няма решение, тоест x = Ø ( празен комплект).
Отговор: x = Ø
Една от най-важните науки, чието приложение може да се види в дисциплини като химия, физика и дори биология, е математиката. Изучаването на тази наука ви позволява да развиете някои умствени качества, да подобрите и способността да се концентрирате. Една от темите, които заслужават специално внимание в курса "Математика" е събирането и изваждането на дроби. За много ученици научаването му е трудно. Може би нашата статия ще ви помогне да разберете по-добре тази тема.
Как да извадим дроби със същите знаменатели
Дробите са едни и същи числа, с които можете да извършвате различни действия. Те се различават от цели числа по наличието на знаменател. Ето защо, когато извършвате действия с дроби, трябва да проучите някои от техните характеристики и правила. Най-простият случай е изваждането на обикновени дроби, чиито знаменатели са представени като едно и също число. Това действие няма да е трудно, ако знаете едно просто правило:
- За да извадите втората от една дроб, е необходимо да извадите числителя на извадената дроб от числителя на намалената дроб. Записваме това число в числителя на разликата и оставяме знаменателя същият: k / m - b / m = (k-b) / m.
Примери за изваждане на дроби, чиито знаменатели са еднакви
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Изваждаме числителя на извадената дроб „3“ от числителя на намалената дроб „7“, получаваме „4“. Записваме това число в числителя на отговора, а в знаменателя поставяме същото число, което е било в знаменателите на първата и втората дроби - "19".
Снимката по-долу показва още няколко подобни примера. 
Помислете за по-сложен пример, при който дроби със същите знаменатели се изваждат:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
От числителя на намалената дроб "29" чрез изваждане на свой ред числителите на всички следващи дроби - "3", "8", "2", "7". В резултат на това получаваме резултата "9", който записваме в числителя на отговора, а в знаменателя записваме числото, което е в знаменателите на всички тези дроби - "47".
имащи същия знаменател
Добавянето и изваждането на обикновени дроби се извършва по същия принцип.
- За да съберете дроби, чиито знаменатели са еднакви, трябва да съберете числителите. Полученото число е числителят на сбора, а знаменателят остава същият: k / m + b / m = (k + b) / m.
Нека да видим как изглежда на пример:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Към числителя на първия член на дроба - "1" - добавете числителя на втория член на дроба - "2". Резултатът - "3" - се записва в числителя на сбора, а знаменателят е същият като при дробите - "4". 
Дроби с различни знаменатели и тяхното изваждане
Вече разгледахме действието с дроби, които имат един и същ знаменател. Както виждате, знаейки прости правила, доста лесно е да се решат такива примери. Но какво, ако трябва да извършите действие с дроби, които имат различни знаменатели? Много гимназисти са объркани от тези примери. Но дори и тук, ако знаете принципа на решението, примерите вече няма да представляват трудности за вас. Тук също има правило, без което решаването на такива дроби е просто невъзможно.
Ще говорим по-подробно как да направите това.
Свойство на фракция
За да доведете няколко дроби до един и същ знаменател, трябва да използвате основното свойство на дробта в решението: след разделяне или умножение на числителя и знаменателя по същия номерполучавате дроб, равна на дадената.
Така, например, дробът 2/3 може да има знаменатели като "6", "9", "12" и т.н., тоест може да има формата на произволно число, кратно на "3". След като умножим числителя и знаменателя по "2", получаваме дроб 4/6. След като умножим числителя и знаменателя на първоначалната дроб по "3", получаваме 6/9, а ако извършим същото действие с числото "4", получаваме 8/12. С едно равенство може да се запише така:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Как да преобразуваме множество дроби в един и същ знаменател
Нека помислим как да доведем няколко дроби до един и същ знаменател. Например вземете дробите, показани на снимката по-долу. Първо, трябва да определите кое число може да стане знаменател за всички тях. За да го улесним, разлагаме на множители наличните знаменатели.
Знаменателят на 1/2 и 2/3 не може да бъде разложен на множители. Знаменателят 7/9 има два фактора 7/9 = 7 / (3 x 3), знаменателят на дроб 5/6 = 5 / (2 x 3). Сега трябва да определите кои фактори ще бъдат най-малки за всички тези четири дроби. Тъй като първата дроб в знаменателя съдържа числото "2", което означава, че трябва да присъства във всички знаменатели, има две тройки в дроба 7/9, което означава, че и двете трябва да присъстват в знаменателя. Като се има предвид горното, ние определяме, че знаменателят се състои от три фактора: 3, 2, 3 и е равен на 3 x 2 x 3 = 18. 
Помислете за първата дроб - 1/2. Неговият знаменател съдържа "2", но няма нито една цифра "3", а трябва да има две. За да направите това, умножаваме знаменателя по две тройки, но според свойството на дроба трябва да умножим числителя по две тройки:
1/2 = (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) = 9/18.
По същия начин изпълняваме действия с останалите фракции.
- 2/3 - едно три и едно две липсват в знаменателя:
2/3 = (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 или 7 / (3 x 3) - две липсват в знаменателя:
7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18. - 5/6 или 5 / (2 x 3) - в знаменателя липсва тройка:
5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.
Заедно изглежда така: 
Как да изваждате и събирате дроби с различни знаменатели
Както бе споменато по-горе, за да добавяте или изваждате дроби с различни знаменатели, те трябва да бъдат намалени до един и същ знаменател и след това да използвате правилата за изваждане на дроби с един и същ знаменател, което вече беше описано.
Нека разгледаме пример: 4/18 - 3/15.
Намерете кратно на 18 и 15:
- Числото 18 е съставено от 3 x 2 x 3.
- Числото 15 е съставено от 5 x 3.
- Общото кратно ще бъде 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
След намиране на знаменателя е необходимо да се изчисли множителя, който ще бъде различен за всяка дроб, тоест числото, с което не само знаменателят, но и числителят ще трябва да се умножи. За да направите това, числото, което намерихме (общото кратно), се разделя на знаменателя на дроба, за която трябва да се определят допълнителни фактори.
- 90 разделено на 15. Полученото число "6" ще бъде коефициент за 3/15.
- 90 разделено на 18. Полученото число "5" ще бъде множител за 4/18.
Следващата стъпка в нашето решение е да доведем всяка дроб до знаменателя "90".
Вече обсъдихме как се прави това. Нека да видим как е написано това в пример:
(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Ако дробите са с малки числа, тогава общият знаменател може да се определи, както в примера, показан на снимката по-долу. 
Събирането на дроби с различни знаменатели се извършва по подобен начин.
Изваждане и събиране на дроби с цели части
Вече разгледахме подробно изваждането на дроби и тяхното събиране. Но как се изважда, ако дробът има цяла част? Отново, нека използваме няколко правила:
- Всички дроби, които имат цяло число, трябва да бъдат преобразувани в неправилни. Говорейки с прости думи, премахнете цялата част. За да направите това, умножете числото на цялата част по знаменателя на дроба, добавете получения продукт към числителя. Числото, което ще се получи след тези действия, е числителят на неправилната дроб. Знаменателят остава непроменен.
- Ако дробите имат различни знаменатели, трябва да ги доведете до еднакви.
- Събирайте или извадете със същите знаменатели.
- Ако получите неправилна дроб, изберете цялата част.
Има и друг начин, по който можете да събирате и изваждате дроби с цели части. За това действията се извършват отделно с цели части и поотделно действията с дроби, като резултатите се записват заедно. 
Горният пример се състои от дроби, които имат един и същ знаменател. В случай, че знаменателите са различни, те трябва да бъдат намалени до еднакви и след това да извършат действията, както е показано в примера.
Изваждане на дроби от цяло число
Друг от видовете действия с дроби е случаят, когато дробът трябва да се извади от На пръв поглед този пример изглежда труден за решаване. Тук обаче всичко е доста просто. За да го решите, е необходимо да преобразувате цяло число във дроб и със същия знаменател, който е в дроба за изваждане. След това правим изваждане, подобно на изваждане със същите знаменатели. Например, изглежда така:
7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Изваждането на дроби (клас 6), дадено в тази статия, е основа за решаване на по-сложни примери, които се разглеждат в следващите класове. Познанията по тази тема впоследствие се използват за решаване на функции, производни и т.н. Ето защо е много важно да разберете и разберете действията с дроби, обсъдени по-горе.