Въведение
Вижте го: това две книги ли са или една (виж фиг. 1, 2)? Книгата е една, формите са различни. В някои случаи е удобно за една форма, в други за друга. Se-year-nya ще говорим за едно и също число.
Ориз. 1. "Vol-sheb-nick Izu-mrud-no-go-ro-da"
Ще представим процедура за това, като използваме следния пример. Процедурата може да бъде разделена на три етапа. В случай, че има равни членове, трябва да вземем повдигнатия до най-висока степен. Както виждаме, сега имаме две дроби, еквивалентни на първата, които имат общ знаменател.
Разглеждане на темата за сравняване на дроби с различни знаменатели с помощта на пример
В този случай няма общи фактори, достатъчно е да се изчисли произведението и на двете. Не забравяйте, че можем да имаме полином от втора степен, когато той няма реални корени. В този случай няма общи фактори, така че е достатъчно да се изчисли произведението и на двата.
Ориз. 2. "Vol-sheb-nick Izu-mrud-no-go-ro-da" (от дата 1984)
Числово представяне
Информацията едно към едно може да бъде дадена в различна форма, например числото "три за dtsat" ще изглежда така: 13, XIII, тринадесет.
Ако имате нужда-ще-се-ся-завършете наслояването на нишките. До-пу-стим, добавете две-двадесет и седем.
тринадесет + двадесет и седем= четиридесет
Както виждаме, сега имаме две дроби, еквивалентни на първата, които имат общ знаменател. Как да добавяте и изваждате общи дялове. Обикновените дроби могат да се добавят или изваждат само ако имат общи знаменатели. "Дъното на знаменателя". Дроби с един и същ знаменател имат общи знаменатели.
Например тези дроби имат общ знаменател 4, така че могат да се добавят. Когато събирате дроби с общи знаменатели, добавете числители. "Чисителят" на общата дроб е горното число. По същия начин можете да извадите дроби с общи знаменатели, като извадите числителите един от друг.
XIII + XXVII = XL
Най-удобно е да завършите изчисленията, ако използвате запис de-si-tich-naya. Например има две чанти (виж фиг. 3). В едната има 2 пуда зърно, в другата 32 кг. Това е един и същ номер, различни обозначения. Добавете 3 кг към всяка торба. В първия чувал имаме 2 пуда и 3 кг. Във втория - 35 кг (виж фиг. 4). Кой запис е по-лесен? Хубаво, но втори рай.
Ако двете фракции нямат общ знаменател, все още можете да ги събирате и изваждате, но първо трябва да ги промените, така че да имат общ знаменател. Има просто правило, което работи за всякакви две фракции. Това правило се основава на факта, че ако умножите числителя и знаменателя на дроб по едно и също число, дробта не се променя.
За да добавите фракции, използвайки това правило, вие. Умножете числителя на всяка фракция по знаменателя на другата фракция, след което добавете два отговора. Умножете знаменателите заедно. Защото фракциите вече имат общ знаменател и могат да се добавят. Например, за да добавите тези дроби.
Ориз. 3. Торби със зърно
Ориз. 4. Торби със зърно
Представяне на число с помощта на дроби
По-удобно е да се представят нецели числа с помощта на дроу-бит. In-te-res-но това число едно към едно на число може да бъде представено с помощта на eq-wi-va-tape-dro-bei. И така, в-lo-wi-well на тортата, можем да я получим, като разчупим тортата на две части и вземем една от тях, или можете да я разделите на 6 части и да вземете 3 (виж фиг. 5).
Първо прилагаме правилото. Разделът Метод по-долу показва как можете да използвате Algematics, за да ви помогне да събирате и изваждате дроби. Това ще поправи и вашата работа. Въведете смесени числа като сбор от цяло число и дроб в скоби.
Използвайте командата, за да преобразувате смесени числа в неподходящи дроби в най-малки термини. Използвайте командата за показване на работа за добавяне или изваждане на две обикновени дроби. Стъпките по-долу ви показват как да добавяте или изваждате общи дялове, показващи работа, и как да добавяте или изваждате смесени числа.
Ориз. 5. Ек-ви-ва-лентови фракции
Ще получим eq-wi-wa-tape дроби. Нека сега трябва да напластим тортата и тортата (виж фиг. 6). В тази форма не можем да го направим (това е същото като трупането на пудове и килограми). Можем да сгънем части едно към едно, например шест. Заменете с eq-va-va-tap-beat (вижте фигура 7) (вижте фиг. 8).
Уверете се, че това квадратче за отметка не е избрано. Добавянето на дроби с едни и същи знаменатели е доста лесно, когато следвате правилата. Този урок обхваща събирането на дроби с един знаменател. Ще включим цялата информация, която ви е необходима, за да направите работата с общи знаменатели проблематична!
Инструкции за събиране на дроби със същия знаменател
Уравнението по-горе показва правилото за добавяне. Така че, ако имате работа с един и същ знаменател, отговорът е сборът от числителите върху техния общ знаменател. И така, всичко, което трябва да направим, е да съберем частите и да запазим началната си точка. За да добавите дроби, знаменателите трябва да са равни. Следвайте тези стъпки, за да добавите две фракции.
Ориз. 6. Draw-beat
Ориз. 7. Za-me-na eq-wi-va-tape-noy dro-beat
Искате ли да практикувате добавяне на фракции със същия знаменател?
Искате ли да бъдете свирка на фракциите? Би било чудесно, ако правилото, споменато по-горе, е всичко, което трябва да знаете за добавянето на фракции. Но има още няколко неща, за които трябва да поговорим, за да завършим този урок. Числовите фактори са числа, които, когато се умножат заедно, ще бъдат равни на това число.
Това, което търсим е прости числа, които са общи фактори както в числителя, така и в знаменателя на дроба. Ако намерим тези общи фактори, можем да ги анулираме. Резултатите ще бъдат най-малката дробна еквивалентна фракция. Тъй като 2 е общ фактор както в числителя, така и в знаменателя на нашия пример, това показва, че нашият отговор не е дроб в най-простата си форма. Следователно ще отменим едно от двете в числителя и знаменателя, като го разделим на 2. Резултатите представляват намалената дроб в най-простата й форма.
Ориз. 8. Брой дърпани
Разгледайте още няколко примера.
Пример № 1 Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели с помощта на еквивалентни дроби
Пример 1.Биене на думи и четене и четене нарисуване с различни-nam-me-na-te-la-mi с помощта на eq-wi-va-tape-wood hit.
Изчисли:.
Решение
Пишем за всяка дроб за няколко eq-v-v-va-v-le-n-ts, докато срещнем два от едни и същи различни реда.
Каквото и да правите със знаменателя на дроби, трябва да го правите и със знаменателя на дроба. Следователно, ако трябва да разделите числителя на число, трябва да разделите и знаменателя на същото число. По този начин няма да се промените обща стойностфракции.
В тази задача 2 и 3 можете да намерите и двата фактора както в числителя, така и в знаменателя на дроба. Моля, имайте предвид, че отменяме само индивидуални! Може би си спомняте, че грешните дроби са там, където има числителя по-голямо значениеотколкото стойността на знаменателя. Така че всеки път, когато добавите две дроби и отговорът ви се окаже грешна дроб, трябва да опростите отговора си. Резултатите ще бъдат представени като смесено число.
Сега е лесно да завършите изчисленията.
И така, ad-ve-de-nie dro-beat към обикновения-me-na-te-lyu - za-me-na draw-beat на такива равни -другите съдържат едно към едно know-me-na- тел.
За да сравним-thread, lay-live или you-honor the fraction, ние трябва да ги доведем до общоизвестните-na-te-lyu.
За да донесете dro-beat на общия zn-me-na-te-lyu, можете да напишете tse-poch-ku ek-vi-va-tape и след това да вземете такива дроби, от които един върху -един на един подписва-ме-на-тези-дали.
За да преобразувате грешната фракция в смесено число, просто разделете числителя на знаменателя. Резултатите ще бъдат цяла част и дробна част. Както можете да видите, това е доста проста операция. Сега имате лесен начин да събирате дроби със същите знаменатели.
Най-малкият общ знаменател на два или повече ненулеви знаменатели всъщност е най-малкото цяло число, което се дели на всеки от знаменателите. Има два често използвани метода за намиране на най-малкия общ знаменател. Всъщност това е същата основна идея като за цели числа.
1) Наслояване на половин нишка:
Решение
Sna-cha-la for-p-shem tse-poch-ku eq-wi-va-tape-dro-bei за, за това, числото-li-tel и знаменателя на дроба home-many-press за 2, 3, 4 и т.н.
Същият про-де-ла-ем за дроби:.
Както можете да видите, има cov-pa-de-zn-me-na-te-lei (и). Сега ще заменим оригиналните дроби eq-vi-va-lent-ny-mi и ще можете да изчислите:.
Забележка. В примерите по-долу ще добавим три фракции вместо обичайните две, защото принципите са едни и същи. Това ще ви даде по-добро разбиране на процеса. И в раздела „Издърпайте всички заедно“ ще добавим четири фракции. За да намерите най-малкия общ знаменател, просто избройте кратността на всеки знаменател, след което намерете най-малкото числокойто се появява във всеки списък.
Първо изброяваме кратността на всеки знаменател. ... Този метод работи наистина добре. Но добавянето на дроби с големи числа в знаменателя може да стане доста объркано. Така че задръжте тази мисъл за момент, докато търсим друг начин да намерим най-малкия общ знаменател за събиране на същите тези дроби.
Пример № 2 Произведение на знаменателите
Определете значението на разликата:.
Решение
В качеството на общоизвестния-me-na-te-la, можете да използвате и pro-from-ve-de-de-noe zn-me-na-te-lei ex-course -nyh draw-beat. При-ние-дем дроби и до знак-ме-на-те-лю. За да направите това, добавяме числото и знаменателя на първата дроб към 12, а на втората към 16.
За да намерите най-малкия общ знаменател с помощта на този метод, умножете всеки от знаменателите по прости числа. Пребройте колко пъти всяко просто число се появява във всяка от факторизациите.
- За всяко просто число вземете най-голямото от тези числа.
- Запишете това просто число толкова пъти, колкото сте преброили за него в стъпка #.
- Най-малкият общ знаменател е произведението на всички записани прости числа.
- Първичното разлагане на 5 е 5.
- Първичното разлагане на 6 е 2 x 3.
- Първичното разлагане на 15 е 3 x 5.
По същия начин, както умело сме пропуснали числото и знаменателя на дроб със същото число, можем също да ги разделим на същото число. В нашия пример числото и знаменателят са разделени на 8, вие сте пълни с de-le-ni:.
Такова определение, както сме-пълни-ни-ли, на-зи-ва-ем-ся с-красиви-дроби. Съвместно теглене на дроб - означава разделяне за изливане както на числото-ли-тел, така и на деноминацията-на-тел по число едно към едно (не е равно на 0).
Причината, поради която можем да използваме различни методи, че метод № 1 работи чудесно за малки числа. Сега нека направим сложната част, много проста - преобразувайте всяка фракция в еквивалентната фракция, като използвате наскоро намерения най-малък общ знаменател, който е 30.
Стъпка № 2 за добавяне на дроби с различни знаменатели казва: "Повторете записването на всяка еквивалентна дроб, като използвате най-малкия общ знаменател като знаменател." Така че нека го направим! Ще бъде малко подробно, така че затворете!
Пример №3. Намаляване на дроби до общ знаменател по два начина
Намерете значението на израза:.
1 начин - използвайте-използвайте-we-em-Xia нашия голям-vil: pro-of-ve-de-zn-me-na-te-lei yav-la-et-sya общ zn-me -on-te- lem draw-beat. Умножаваме числото и знаменателя на първата дроб по 105, а на втората по 70.
Както виждаме, числата 595 и 105 са за-кан-чи-ва-ся с 5 и това означава, че са разделени на 5, тоест можем да намалим дроба:.
Нека пренапишем всяка фракция като еквивалентна фракция
След това умножаваме това по 6 пъти числителя на 1, което ни дава нов числител 6. Нов числител = числител. Освен това ще използваме метод № 2, за да намерим най-ниския общ знаменател, защото той работи най-добре във всеки случай. Ако имате проблеми с някоя част от това упражнение, моля, прочетете отново раздела по-горе, който го обхваща. Ще обсъдим всяка стъпка за добавяне на тези фракции, без да се позоваваме на правилата по същия начин, както в "реалния свят".
Вижте как работи и ще се оправите! По този начин умножаваме всяко число по прости числа. Сега имаме най-малкия общ знаменател, 72. Тъй като нашият отговор е грешна дроб, сега имаме три варианта. Не забравяйте, че винаги изпращайте отговора си във формата, посочена във вашите инструкции.
Също така имайте предвид, че числото и знаменателят са разделени на 7 и добавяме дроб:
2 начина - you-p-shem tse-poch-ki eq-wi-va-tape-draw-beys за и:
Вече на този етап има co-pa-de-nie zn-me-na-te-lei. For-me-nim дроби ги eq-wi-va-lent-ny-mi:
Както виждате, вторият начин ни даде отговор по-бързо от първия.
Броят на общите знаменатели за две дроби
Да-ча-те сега, до-ма-ем, колко е обща дума за два дроу-бита.
Алгебрични дроби Алгебрични дроби Сблъсквали сте се с дроби много пъти от началото на вашето обучение по математика. Те се намират във формули и в много ежедневни практически задачи. Въпреки това, дробите на аритметиката са строго числа. Сега ще изучаваме операциите върху дроби, чиито компоненти са алгебрични изрази.
- Факторът е числителят и знаменателят на дроба.
- Опростяване на алгебричните дроби.
Какъв е общият знаменател на равенство-хит и? You-p-shem a chain-poch-ku eq-wi-va-tape-draw-bey за и:
Виждаме няколко чифта дроу-бити с един-на-да-зна-ме-на-те-ла-ми (и, и, и). Ако продължим с веригата от eq-vi-va-tape-dro-bei, тогава ще получим безкраен брой такива cov-pa -de-niy zn-me-na-te-lei. Тоест, два дроу-бита имат безкраен набор от общи деноминации и всеки от тях ни подхожда.
Дробът е в опростен вид, ако числителят и знаменателят не съдържат общ множител. За да получите опростена форма на дроб, приложете следното правило. За да опростите напълно коефициента на дроба, числителя и знаменателя, след това разделете и числителя, и знаменателя на всички общи множители.
След това разделете по общи фактори, докато давате. Сега разделете числителя и знаменателя на общ фактор, за да получите. Имайте предвид, че въпреки че успяхме да изчислим числителя и знаменателя, все още не можем да разделим, тъй като няма такъв фактор и за двете. Тази фракция вече е в опростен вид.
Например pro-of-ve-de-nie-me-na-te-lei на първоначалното draw-bei е общ знаменател, но не най-малкото, виждаме общ знаменател, който е по-малък, - 12 .
Най-малък общ знаменател (примери № 4 и № 5)
Има ли начин да се намери най-малкото общоизвестно? Да, такъв начин съществува.
Да-ча-те ще разгледаме следващия пример.
Фактът, че дадена фракция може да изисква която и да е от техниките за разлагане на множители, които сте научили, допълнително подчертава важността на владеенето на факторинг. Решение Тук можете да използвате "проба и грешка" за числителя и "групиране" за знаменателя.
Решение. Този тип проблем изисква специално внимание, тъй като е често срещана причина за грешката. На пръв поглед факторите могат погрешно да се считат за общи или една фракция може погрешно да се счита за вече опростена. Моля, имайте предвид, че факторите не могат да бъдат разделени, тъй като знаците не позволяват те да бъдат идентични. Ако обаче от един от факторите се отчете отрицателна 1, тогава могат да бъдат постигнати същите фактори и разделение.
Пример 4.
Решение
Ние ще последваме-see-ren-no-mu al-go-rit-mu и вие-ние-пишете tse-poch-ki eq-vi-va-tape-dro-bey:
Можем ли по някакъв начин да опростим нашия ал-го ритъм? Да, можем. Це-поч-ка с голям зн-ме-на-те-лем ко-ро-че, затова ще работим с нея. Вземете-най-големия-ме-на-тел и ние ще го сложим сами с нас (така не пропускаме числото 180), pro-ve - копаем на всяка стъпка, разделяме числото на по-малък номинал (45).
60 не се дели на 45, което означава, че няма да е често срещан знак за начални удари на равенство.
60 + 60 = 120, отново не се дели на 45. Продължете да добавяте 60.
120 + 60 = 180 разделения в 45, 180: 45 = 4.
Тогава общият знаменател е 180.
Изчислете стойността на израза:.
Решение
Взимаме голям знак-мен-на-тел (35) и го съхраняваме при себе си, докато резултатът се раздели на по-малък знак-на-тел (21).
35 не се дели на 21.
35 + 35 = 70 не се дели на 21.
70 + 35 = 105 се разделя на 21 (105: 21 = 5), което означава, че 105 е общ знаменател.
Приписваме и двете дроби на деноминацията от 105, за това числото и знаменателят на първата дроб се умножават по 5, а на втората - по 3:.
Пример 5
Изчислете стойността на израза:.
Решение
Когато know-me-na-te-are-big-sh, вземането на нишката на предишното me-to-dy е до сто-но-трудно. След това ще мислим така, че числото се дели на 210, то трябва да съдържа кратност от 210. В този случай броят на ras-kla-dy-va-et-Xia на много:.
Така че всички многобройни числа 210 също са включени в числото .
Трябва да намерим число, което съдържа всички набори от 210 и 1155.
Skon-stru-i-ru-em необходимото число, съдържащо всички набори както от първото, така и от второто число:.
Нито едно от многото-t-lei не може да бъде премахнато - това е най-малкото число, което се дели еднократно на 210 и на 1155 Това е най-малкият общ знаменател. Разделянето на прости множества - дали не само ви позволява да намерите най-малкия общ знаменател, но и zy-va-et, върху колко много е необходимо-ho-di-mo да се спрем на всяка дроб. И така, в първия know-me-na-te-le към общото знание-me-na-te-la, а не hva-ta-това е много 11, а във втория - 2.
Изчислете стойността на израза:.
Решение
Ras-kla-dy-va-em всеки знак-ме-на-тел на много.
Общ знаменател: .
Пример №6
Изчислете стойността на израза:.
Решение
Sna-cha-la raz-we-натискаме всеки знак-me-na-tel върху много:
Con-stru-and-ru-we сме най-малкият общ знаменател, той трябва да съдържа всички много-zh-te-lee на всеки zn-me-na -te-la.
Знайте-чит, първият zn-me-na-te-la няма много-zh-te-lei 5 и 7, а вторият - 2 и 11.
заключения
За да сравните фракции-thread, lay-live или you-honor с различни знаци-me-on-te-la-mi, тяхната потребност да-ди-мо е необходимо да се доведе до общото познание me-na-te-lyu. Така че можете да съставите eq-wi-va-lent-nye дроби, да работите с повече знания-на-те-лем, да изчислявате -на-главните-имена-на-те-лей, а също и да намерите най-малките общи познания-на-телела, чрез разделяне на много дали първоначалните знаци-me-na-te-lei.
Разглеждане на темата за сравняване на дроби с различни знаменатели с помощта на пример
Ориз. 1. Сравнение на draw-hit с различни-n-me-na-te-la-mi
Да-ваи-тези, в-про-бу-ем, вземете например как можете да сравните две дроби с различни знаци-me-na-te-la-mi (фиг. 1).
Ако съдите по снимката, тогава може да изглежда, че първата фракция е едно към едно, но повече в-ло-же-ние ма-те-ма-ти-че-ско-со-бом. За na-cha-la da-wai-te запомнете, че: n когато се сравняват-не-нии изравни-бити с един-ко-ти-зна-ме-на-те-ла-ми повече от тази дроб, броят на някои повече(фиг. 2).
Ориз. 2. Сравнение на равенство-хит с едно-към-ти-ми-ме-на-те-ла-ми
Сравнение на дроби с различни знаменатели чрез намиране на LCM и NOZ
Know-cheat, за да сравним две дроби с различни-num-li-te-la-mi и zn-me-na-te-la-mi, трябва да ги доведем до около -mu know-me-na- те-лю. Как може да се направи това? Ver-nem-Xia към нашия dro-bei и use-use основното свойство на dro-beat. Трябва да изживеем умно както числото, така и знаменателя за едно и също число и да получим дроб, равна на даденото. Yes-wai-te smart-натиснете числото-li-tel и знаменателя на първата дроб за знаменателя на втората. И след това числото-ли-тел и знаменателят на втората дроб върху знаменателя на първата. (6 и 8 са до-до-половина-ни-тел-ни-т-ли-те-ли). Сега имаме две дроби с един-на-се-зна-ме-на-те-ла-ми и можем да ги сравним.
Научи-ти-за-той вече знаеш-за-мо-до-нас-да-ло, този на два удара на равенство с един-на-да-знаеш-ме-на-те-ла-ми повече от това , числото-ли-тел е малко-рояк повече.
Yes-wai-te ще разгледа-smot-rim друг начин-so-sob-de-nia към общото знание-me-na-te-lyu, по-удобно е да го използвате в случай, че знаете много големи числа . Той ос-но-ван по дефиницията на де-ле-нии на общия зн-ме-на-те-ла дро-бей.
Вземете мем, който вече познавам няколко дроу-бита и. За да намерим общ знаменател, трябва да намерим най-малкото общо кратно за 8 и 6., което означава, и трябва да добавим и двете дроби към знаменателя. on-te-lyu 24.