Coefficient d'application des fonctions élémentaires. Fonctions élémentaires de base et leurs propriétés

1) Domaine fonctionnel et plage de fonctions.

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides X(variable X), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles oui, ce que la fonction accepte.

En mathématiques élémentaires, les fonctions sont étudiées uniquement sur l’ensemble des nombres réels.

2) Zéros de fonction.

La fonction zéro est la valeur de l'argument pour laquelle la valeur de la fonction est égale à zéro.

3) Intervalles de signe constant d'une fonction.

Les intervalles de signe constant d'une fonction sont des ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de la fonction sont uniquement positives ou uniquement négatives.

4) Monotonie de la fonction.

Une fonction croissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à une plus grande valeur de la fonction.

Une fonction décroissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.

5) Fonction paire (impaire).

Une fonction paire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(-x) = f(x). Le graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Une fonction impaire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition, l'égalité est vraie f(-x) = - f(x). Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

6) Fonctions limitées et illimitées.

Une fonction est dite bornée s'il existe un nombre positif M tel que |f(x)| ≤ M pour toutes les valeurs de x. Si un tel nombre n’existe pas, alors la fonction est illimitée.

7) Périodicité de la fonction.

Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre T non nul tel que pour tout x du domaine de définition de la fonction, ce qui suit est valable : f(x+T) = f(x). Ce plus petit nombre est appelé la période de la fonction. Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).

19. Fonctions élémentaires de base, leurs propriétés et graphiques. Application des fonctions en économie.

Fonctions élémentaires de base. Leurs propriétés et graphiques

1. Fonction linéaire.

Fonction linéaire est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels.

Nombre UN appelée pente de la droite, elle est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de cette droite à la direction positive de l'axe des x. Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite. Il est défini par deux points.

Propriétés d'une fonction linéaire

1. Domaine de définition - l'ensemble de tous les nombres réels : D(y)=R

2. L'ensemble des valeurs est l'ensemble de tous les nombres réels : E(y)=R

3. La fonction prend une valeur nulle lorsque ou.

4. La fonction augmente (diminue) sur tout le domaine de définition.

5. Une fonction linéaire est continue sur tout le domaine de définition, différentiable et .

2. Fonction quadratique.

Une fonction de la forme où x est une variable, les coefficients a, b, c sont des nombres réels, est appelée quadratique

Considérant les fonctions d'une variable complexe, Liouville a défini les fonctions élémentaires un peu plus largement. Fonction élémentaire oui variable X- fonction analytique, qui peut être représentée comme une fonction algébrique de X et fonctions , et est le logarithme ou l'exposant d'une fonction algébrique g 1 de X .

Par exemple, péché( X) - fonction algébrique de e jeX .

Sans limiter la généralité de la considération, on peut considérer les fonctions comme algébriquement indépendantes, c'est-à-dire si l'équation algébrique est satisfaite pour tout X, alors tous les coefficients du polynôme sont égaux à zéro.

Différenciation des fonctions élémentaires

Où z 1 "(z) est égal à ou g 1 " / g 1 ou z 1 g 1" selon qu'il s'agit d'un logarithme z 1 ou exponentielle, etc. En pratique, il est pratique d'utiliser une table de dérivées.

Intégration de fonctions élémentaires

Le théorème de Liouville est à la base de la création d'algorithmes d'intégration symbolique de fonctions élémentaires, mis en œuvre par exemple dans

Calcul des limites

La théorie de Liouville ne s'applique pas au calcul des limites. On ne sait pas s'il existe un algorithme qui, étant donné une séquence donnée par une formule élémentaire, donne une réponse si elle a une limite ou non. Par exemple, la question reste ouverte de savoir si la séquence converge.

Littérature

J.Liouville. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. Mathématiques. Bd. 13, p. 93-118. (1835)
J.F. Ritt. Intégration en termes finis. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
A.G. Khovansky. Théorie topologique de Galois : résolvabilité et insolvabilité des équations sous forme finie Ch. 1.M, 2007

Remarques

Fondation Wikimédia. 2010.

Excitation élémentaire
Résultat élémentaire

Voyez ce qu'est « Fonction élémentaire » dans d'autres dictionnaires :

fonction élémentaire- Une fonction qui, si elle est divisée en fonctions plus petites, ne peut pas être définie de manière unique dans la hiérarchie de transmission numérique. Par conséquent, du point de vue du réseau, il est indivisible (ITU T G.806). Sujets : télécommunications, concepts de base FR fonction d'adaptationA... Guide du traducteur technique

fonction d'interaction entre les niveaux du réseau- Une fonction élémentaire qui assure l'interaction d'informations caractéristiques entre deux couches du réseau. (UIT T G.806). Sujets : télécommunications, concepts de base de la couche EN... ... Guide du traducteur technique

Connaissance fonctions élémentaires de base, leurs propriétés et graphiques pas moins important que de connaître les tables de multiplication. Ils sont comme la fondation, tout repose sur eux, tout se construit à partir d'eux et tout dépend d'eux.

Dans cet article nous allons lister toutes les principales fonctions élémentaires, fournir leurs graphiques et donner sans conclusion ni preuve propriétés des fonctions élémentaires de base selon le schéma :

comportement d'une fonction sur les frontières du domaine de définition, asymptotes verticales (si nécessaire, voir l'article classification des points de discontinuité d'une fonction) ;
pair et impair;
intervalles de convexité (convexité vers le haut) et de concavité (convexité vers le bas), points d'inflexion (si nécessaire, voir l'article convexité d'une fonction, direction de convexité, points d'inflexion, conditions de convexité et d'inflexion) ;
asymptotes obliques et horizontales ;
points singuliers de fonctions ;
propriétés particulières de certaines fonctions (par exemple, la plus petite période positive des fonctions trigonométriques).

Si vous êtes intéressé par ou, vous pouvez consulter ces sections de la théorie.

Fonctions élémentaires de base sont : fonction constante (constante), racine nième, fonction puissance, fonction exponentielle, fonction logarithmique, fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.

Navigation dans les pages.

Fonction permanente.

Une fonction constante est définie sur l'ensemble de tous les nombres réels par la formule , où C est un nombre réel. Une fonction constante associe chaque valeur réelle de la variable indépendante x à la même valeur de la variable dépendante y - la valeur C. Une fonction constante est également appelée constante.

Le graphique d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des x et passant par le point de coordonnées (0,C). À titre d'exemple, nous montrerons des graphiques de fonctions constantes y=5, y=-2 et, qui dans la figure ci-dessous correspondent respectivement aux lignes noire, rouge et bleue.

Propriétés d'une fonction constante.

Domaine : l'ensemble des nombres réels.
La fonction constante est paire.
Plage de valeurs : un ensemble constitué du nombre singulier C.
Une fonction constante est non croissante et non décroissante (c’est pourquoi elle est constante).
Cela n’a aucun sens de parler de convexité et de concavité d’une constante.
Il n'y a pas d'asymptote.
La fonction passe par le point (0,C) du plan de coordonnées.

nième racine.

Considérons la fonction élémentaire de base, donnée par la formule , où n est un nombre naturel supérieur à un.

Racine du nième degré, n est un nombre pair.

Commençons par la nième fonction racine pour les valeurs paires de l'exposant racine n.

A titre d'exemple, voici une image avec des images de graphiques de fonctions et , ils correspondent aux lignes noires, rouges et bleues.

Les graphiques des fonctions racine de degré pair ont une apparence similaire pour d'autres valeurs de l'exposant.

Propriétés de la nième fonction racine pour n pair.

Racine du nième degré, n est un nombre impair.

La nième fonction racine avec un exposant racine impair n est définie sur l’ensemble des nombres réels. Par exemple, voici les graphiques de fonctions et , elles correspondent aux courbes noire, rouge et bleue.

Pour les autres valeurs impaires de l'exposant racine, les graphiques de fonctions auront une apparence similaire.

Propriétés de la nième fonction racine pour n impair.

Fonction de puissance.

La fonction puissance est donnée par une formule de la forme .

Considérons la forme des graphiques d'une fonction puissance et les propriétés d'une fonction puissance en fonction de la valeur de l'exposant.

Commençons par une fonction puissance avec un exposant entier a. Dans ce cas, l'apparence des graphiques des fonctions puissance et les propriétés des fonctions dépendent de la régularité ou de l'impair de l'exposant, ainsi que de son signe. Par conséquent, nous considérerons d'abord les fonctions puissance pour les valeurs positives impaires de l'exposant a, puis pour les exposants pairs positifs, puis pour les exposants négatifs impairs, et enfin, pour a pair négatif.

Les propriétés des fonctions puissance avec des exposants fractionnaires et irrationnels (ainsi que le type de graphiques de ces fonctions puissance) dépendent de la valeur de l'exposant a. Nous les considérerons, premièrement, pour a de zéro à un, deuxièmement, pour a supérieur à un, troisièmement, pour a de moins un à zéro, quatrièmement, pour a inférieur à moins un.

À la fin de cette section, par souci d’exhaustivité, nous décrirons une fonction puissance d’exposant nul.

Fonction puissance avec un exposant positif impair.

Considérons une fonction puissance avec un exposant positif impair, c'est-à-dire avec a = 1,3,5,....

La figure ci-dessous montre des graphiques de fonctions de puissance – ligne noire, – ligne bleue, – ligne rouge, – ligne verte. Pour a=1 on a fonction linéaire y=x.

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant positif impair.

Fonction puissance avec un exposant même positif.

Considérons une fonction puissance avec un exposant pair positif, c'est-à-dire pour a = 2,4,6,....

A titre d'exemple, nous donnons des graphiques de fonctions puissance – ligne noire, – ligne bleue, – ligne rouge. Pour a=2 on a une fonction quadratique dont le graphique est parabole quadratique.

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant pair positif.

Fonction puissance avec un exposant négatif impair.

Regardez les graphiques de la fonction puissance pour les valeurs négatives impaires de l'exposant, c'est-à-dire pour a = -1, -3, -5,....

La figure montre des graphiques de fonctions de puissance à titre d'exemples - ligne noire, - ligne bleue, - ligne rouge, - ligne verte. Pour a=-1 on a proportionnalité inverse, dont le graphique est hyperbole.

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant négatif impair.

Fonction puissance avec un exposant même négatif.

Passons à la fonction puissance pour a=-2,-4,-6,….

La figure montre des graphiques de fonctions de puissance – ligne noire, – ligne bleue, – ligne rouge.

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant pair négatif.

Une fonction puissance avec un exposant rationnel ou irrationnel dont la valeur est supérieure à zéro et inférieure à un.

Note! Si a est une fraction positive avec un dénominateur impair, alors certains auteurs considèrent que le domaine de définition de la fonction puissance est l'intervalle. Il est précisé que l’exposant a est une fraction irréductible. Désormais, les auteurs de nombreux manuels d'algèbre et de principes d'analyse NE DÉFINISSENT PAS les fonctions puissance avec un exposant sous la forme d'une fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument. Nous nous en tiendrons précisément à ce point de vue, c'est-à-dire que nous considérerons l'ensemble des domaines de définition des fonctions puissance à exposants fractionnaires positifs. Nous recommandons aux élèves de se renseigner auprès de votre professeur sur ce point subtil afin d'éviter les désaccords.

Considérons une fonction puissance avec un exposant rationnel ou irrationnel a, et .

Présentons des graphiques de fonctions puissance pour a=11/12 (ligne noire), a=5/7 (ligne rouge), (ligne bleue), a=2/5 (ligne verte).

Une fonction puissance avec un exposant rationnel ou irrationnel non entier supérieur à un.

Considérons une fonction puissance avec un exposant rationnel ou irrationnel non entier a, et .

Présentons des graphiques de fonctions puissance données par les formules (lignes noires, rouges, bleues et vertes respectivement).

Pour les autres valeurs de l'exposant a, les graphiques de la fonction auront un aspect similaire.

Propriétés de la fonction puissance en .

Une fonction puissance avec un exposant réel supérieur à moins un et inférieur à zéro.

Note! Si a est une fraction négative de dénominateur impair, alors certains auteurs considèrent que le domaine de définition d'une fonction puissance est l'intervalle . Il est précisé que l’exposant a est une fraction irréductible. Désormais, les auteurs de nombreux manuels d'algèbre et de principes d'analyse NE DÉFINISSENT PAS les fonctions puissance avec un exposant sous la forme d'une fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument. Nous adhérerons précisément à ce point de vue, c'est-à-dire que nous considérerons les domaines de définition des fonctions puissance avec des exposants négatifs fractionnaires comme un ensemble, respectivement. Nous recommandons aux élèves de se renseigner auprès de votre professeur sur ce point subtil afin d'éviter les désaccords.

Passons à la fonction puissance, kgod.

Pour avoir une bonne idée de la forme des graphiques de fonctions puissance pour , nous donnons des exemples de graphiques de fonctions (courbes noires, rouges, bleues et vertes, respectivement).

Propriétés d'une fonction puissance d'exposant a, .

Une fonction puissance avec un exposant réel non entier inférieur à moins un.

Donnons des exemples de graphiques de fonctions puissance pour , ils sont représentés respectivement par des lignes noires, rouges, bleues et vertes.

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant négatif non entier inférieur à moins un.

Lorsque a = 0, nous avons une fonction - c'est une ligne droite dont le point (0;1) est exclu (il a été convenu de n'attacher aucune signification à l'expression 0 0).

Fonction exponentielle.

L'une des principales fonctions élémentaires est la fonction exponentielle.

Le graphique de la fonction exponentielle, où et prend différentes formes selon la valeur de la base a. Voyons cela.

Considérons d’abord le cas où la base de la fonction exponentielle prend une valeur de zéro à un, c’est-à-dire .

A titre d'exemple, nous présentons des graphiques de la fonction exponentielle pour a = 1/2 – ligne bleue, a = 5/6 – ligne rouge. Les graphiques de la fonction exponentielle ont une apparence similaire pour les autres valeurs de la base de l'intervalle.

Propriétés d'une fonction exponentielle de base inférieure à un.

Passons au cas où la base de la fonction exponentielle est supérieure à un, c'est-à-dire .

A titre d'illustration, nous présentons des graphiques de fonctions exponentielles - ligne bleue et - ligne rouge. Pour d'autres valeurs de base supérieures à un, les graphiques de la fonction exponentielle auront un aspect similaire.

Propriétés d'une fonction exponentielle de base supérieure à un.

Fonction logarithmique.

La fonction élémentaire de base suivante est la fonction logarithmique, où , . La fonction logarithmique est définie uniquement pour les valeurs positives de l'argument, c'est-à-dire pour .

Le graphique d'une fonction logarithmique prend différentes formes selon la valeur de la base a.

La section contient du matériel de référence sur les principales fonctions élémentaires et leurs propriétés. Une classification des fonctions élémentaires est donnée. Vous trouverez ci-dessous des liens vers des sous-sections qui traitent des propriétés de fonctions spécifiques : graphiques, formules, dérivées, primitives (intégrales), développements en séries, expressions via des variables complexes.

Contenu

Pages de référence pour les fonctions de base

Classification des fonctions élémentaires

Fonction algébrique est une fonction qui satisfait l'équation :
,
où est un polynôme dans la variable dépendante y et la variable indépendante x. On peut l'écrire ainsi :
,
où sont les polynômes.

Les fonctions algébriques sont divisées en polynômes (fonctions rationnelles entières), fonctions rationnelles et fonctions irrationnelles.

Fonction rationnelle entière, qu'on appelle aussi polynôme ou polynôme, est obtenu à partir de la variable x et d'un nombre fini de nombres en utilisant les opérations arithmétiques d'addition (soustraction) et de multiplication. Après avoir ouvert les parenthèses, le polynôme est réduit à la forme canonique :
.

Fonction rationnelle fractionnaire, ou simplement fonction rationnelle, est obtenu à partir de la variable x et d'un nombre fini de nombres en utilisant les opérations arithmétiques d'addition (soustraction), de multiplication et de division. La fonction rationnelle peut être réduite à la forme
,
où et sont des polynômes.

Fonction irrationnelle est une fonction algébrique qui n'est pas rationnelle. En règle générale, par fonction irrationnelle, on entend les racines et leurs compositions avec des fonctions rationnelles. Une racine de degré n est définie comme la solution de l'équation
.
Il est désigné comme suit :
.

Fonctions transcendantales sont appelées fonctions non algébriques. Ce sont des fonctions exponentielles, trigonométriques, hyperboliques et leurs fonctions inverses.

Aperçu des fonctions élémentaires de base

Toutes les fonctions élémentaires peuvent être représentées comme un nombre fini d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division effectuées sur une expression de la forme :
zt.
Les fonctions inverses peuvent également être exprimées en termes de logarithmes. Les fonctions élémentaires de base sont listées ci-dessous.

Fonction de puissance :
y(x) = xp,
où p est l'exposant. Cela dépend de la base du degré x.
L’inverse de la fonction puissance est également la fonction puissance :
.
Pour une valeur entière non négative de l'exposant p, c'est un polynôme. Pour une valeur entière p - une fonction rationnelle. Avec un sens rationnel - une fonction irrationnelle.

Fonctions transcendantales

Fonction exponentielle :
y(x) = une x ,
où a est la base du diplôme. Cela dépend de l'exposant x.
La fonction inverse est le logarithme pour baser a :
X = Connectez-vous un y.

Exposant, e à la puissance x :
y(x) = ex,
Il s'agit d'une fonction exponentielle dont la dérivée est égale à la fonction elle-même :
.
La base de l'exposant est le nombre e :
≈ 2,718281828459045... .
La fonction inverse est le logarithme népérien - le logarithme à la base du nombre e :
X = ln y ≡ log e y.

Fonctions trigonométriques:
Sinus : ;
Cosinus : ;
Tangente : ;
Cotangente : ;
Ici, i est l'unité imaginaire, i 2 = -1.

Fonctions trigonométriques inverses :
Arc sinus : x = arcsin y, ;
Arc cosinus : x = arccos et, ;
Arctangente : x = arctan y, ;
Arc tangent : x = arcctg y, .

Les fonctions élémentaires de base, leurs propriétés inhérentes et les graphiques correspondants constituent l'une des bases de la connaissance mathématique, d'une importance similaire à la table de multiplication. Les fonctions élémentaires sont la base, le support de l'étude de toutes les questions théoriques.

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L'article ci-dessous fournit des éléments clés sur le thème des fonctions élémentaires de base. Nous allons introduire des termes, leur donner des définitions ; Étudions en détail chaque type de fonctions élémentaires et analysons leurs propriétés.

On distingue les types de fonctions élémentaires de base suivants :

Définition 1

fonction constante (constante);
nième racine;
fonction de puissance;
fonction exponentielle;
fonction logarithmique ;
fonctions trigonométriques;
fonctions trigonométriques fraternelles.

Une fonction constante est définie par la formule : y = C (C est un certain nombre réel) et a également un nom : constante. Cette fonction détermine la correspondance de toute valeur réelle de la variable indépendante x avec la même valeur de la variable y - la valeur de C.

Le graphique d'une constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par un point de coordonnées (0, C). Pour plus de clarté, nous présentons des graphiques de fonctions constantes y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (indiquées respectivement en noir, rouge et bleu dans le dessin).

Définition 2

Cette fonction élémentaire est définie par la formule y = x n (n est un nombre naturel supérieur à un).

Considérons deux variantes de la fonction.

nième racine, n – nombre pair

Pour plus de clarté, nous indiquons un dessin qui montre des graphiques de telles fonctions : y = x, y = x 4 et y = x8. Ces caractéristiques sont codées par couleur : respectivement noir, rouge et bleu.

Les graphiques d'une fonction de degré pair ont une apparence similaire pour d'autres valeurs de l'exposant.

Définition 3

Propriétés de la nième fonction racine, n est un nombre pair

domaine de définition – l'ensemble de tous les nombres réels non négatifs [ 0 , + ∞) ;
lorsque x = 0, la fonction y = x n a une valeur égale à zéro ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni paire ni impaire) ;
plage : [ 0 , + ∞) ;
cette fonction y = x n à exposants racines paires augmente dans tout le domaine de définition ;
la fonction a une convexité avec une direction ascendante dans tout le domaine de définition ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
le graphique de la fonction pour n pair passe par les points (0 ; 0) et (1 ; 1).

nième racine, n – nombre impair

Une telle fonction est définie sur l’ensemble des nombres réels. Pour plus de clarté, considérons les graphiques des fonctions y = x 3 , y = x 5 et x9. Dans le dessin, elles sont indiquées par des couleurs : le noir, le rouge et le bleu sont respectivement les couleurs des courbes.

D'autres valeurs impaires de l'exposant racine de la fonction y = x n donneront un graphique d'un type similaire.

Définition 4

Propriétés de la nième fonction racine, n est un nombre impair

domaine de définition – l'ensemble de tous les nombres réels ;
cette fonction est étrange ;
plage de valeurs – l'ensemble de tous les nombres réels ;
la fonction y = x n pour les exposants racine impairs augmente sur tout le domaine de définition ;
la fonction a une concavité sur l'intervalle (- ∞ ; 0 ] et une convexité sur l'intervalle [ 0 , + ∞) ;
le point d'inflexion a des coordonnées (0 ; 0) ;
il n'y a pas d'asymptote ;
Le graphique de la fonction pour n impair passe par les points (- 1 ; - 1), (0 ; 0) et (1 ; 1).

Fonction de puissance

Définition 5

La fonction puissance est définie par la formule y = x a.

L'apparence des graphiques et les propriétés de la fonction dépendent de la valeur de l'exposant.

lorsqu'une fonction puissance a un exposant entier a, alors le type de graphique de la fonction puissance et ses propriétés dépendent du fait que l'exposant soit pair ou impair, ainsi que du signe de l'exposant. Examinons tous ces cas particuliers plus en détail ci-dessous ;
l'exposant peut être fractionnaire ou irrationnel - en fonction de cela, le type de graphiques et les propriétés de la fonction varient également. Nous analyserons des cas particuliers en posant plusieurs conditions : 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
une fonction puissance peut avoir un exposant nul ; nous analyserons également ce cas plus en détail ci-dessous.

Analysons la fonction puissance y = x a, lorsque a est un nombre positif impair, par exemple a = 1, 3, 5...

Pour plus de clarté, nous indiquons les graphiques de telles fonctions puissance : y = x (couleur graphique noir), y = x 3 (couleur bleue du graphique), y = x 5 (couleur rouge du graphique), y = x 7 (couleur graphique vert). Lorsque a = 1, on obtient la fonction linéaire y = x.

Définition 6

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est impair positif

la fonction est croissante pour x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
la fonction a une convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] et une concavité pour x ∈ [ 0 ; + ∞) (hors fonction linéaire) ;
le point d'inflexion a des coordonnées (0 ; 0) (hors fonction linéaire) ;
il n'y a pas d'asymptote ;
points de passage de la fonction : (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analysons la fonction puissance y = x a, lorsque a est un nombre pair positif, par exemple a = 2, 4, 6...

Pour plus de clarté, nous indiquons les graphiques de ces fonctions de puissance : y = x 2 (couleur graphique noir), y = x 4 (couleur bleue du graphique), y = x 8 (couleur rouge du graphique). Lorsque a = 2, on obtient une fonction quadratique dont le graphique est une parabole quadratique.

Définition 7

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est même positif :

domaine de définition : x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
décroissant pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
la fonction a une concavité pour x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
points de passage de la fonction : (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

La figure ci-dessous montre des exemples de graphiques de fonction de puissance y = x a lorsque a est un nombre négatif impair : y = x - 9 (couleur graphique noir) ; y = x - 5 (couleur bleue du graphique) ; y = x - 3 (couleur rouge du graphique) ; y = x - 1 (couleur graphique vert). Lorsque a = - 1, on obtient une proportionnalité inverse dont le graphique est une hyperbole.

Définition 8

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est impair négatif :

Lorsque x = 0, on obtient une discontinuité de seconde espèce, puisque lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pour a = - 1, - 3, - 5, …. Ainsi, la droite x = 0 est une asymptote verticale ;

plage : y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
la fonction est impaire car y (- x) = - y (x) ;
la fonction est décroissante pour x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
la fonction a une convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0) et une concavité pour x ∈ (0 ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, quand a = - 1, - 3, - 5, . . . .

points de passage de la fonction : (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

La figure ci-dessous montre des exemples de graphiques de la fonction puissance y = x a lorsque a est un nombre pair négatif : y = x - 8 (couleur graphique noir) ; y = x - 4 (couleur bleue du graphique) ; y = x - 2 (couleur rouge du graphique).

Définition 9

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est pair négatif :

domaine de définition : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Lorsque x = 0, on obtient une discontinuité de seconde espèce, puisque lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pour a = - 2, - 4, - 6, …. Ainsi, la droite x = 0 est une asymptote verticale ;

la fonction est paire car y(-x) = y(x);
la fonction est croissante pour x ∈ (- ∞ ; 0) et décroissante pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
la fonction a une concavité en x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – droite y = 0, car :

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 quand a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

points de passage de la fonction : (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Dès le début, faites attention à l'aspect suivant : dans le cas où a est une fraction positive de dénominateur impair, certains auteurs prennent l'intervalle - ∞ comme domaine de définition de cette fonction puissance ; + ∞ , stipulant que l'exposant a est une fraction irréductible. À l'heure actuelle, les auteurs de nombreuses publications pédagogiques sur l'algèbre et les principes d'analyse NE DÉFINISSENT PAS les fonctions puissance, où l'exposant est une fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument. De plus, nous respecterons exactement cette position : nous prendrons l'ensemble [ 0 ; + ∞) . Recommandation aux étudiants : renseignez-vous sur l’avis de l’enseignant sur ce point afin d’éviter les désaccords.

Alors, regardons la fonction puissance y = x a , lorsque l'exposant est un nombre rationnel ou irrationnel, à condition que 0< a < 1 .

Illustrons les fonctions puissance avec des graphiques y = x a lorsque a = 11 12 (couleur graphique noir) ; a = 5 7 (couleur rouge du graphique) ; a = 1 3 (couleur bleue du graphique) ; a = 2 5 (couleur verte du graphique).

Autres valeurs de l'exposant a (à condition de 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Définition 10

Propriétés de la fonction puissance à 0< a < 1:

plage : y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la fonction est croissante pour x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la fonction est convexe pour x ∈ (0 ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;

Analysons la fonction puissance y = x a, lorsque l'exposant est un nombre rationnel ou irrationnel non entier, à condition que a > 1.

Illustrons avec des graphiques la fonction puissance y = x a dans des conditions données en utilisant comme exemple les fonctions suivantes : y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (couleur noir, rouge, bleu, vert des graphiques, respectivement).

D'autres valeurs de l'exposant a, à condition que a > 1, donneront un graphique similaire.

Définition 11

Propriétés de la fonction puissance pour a > 1 :

domaine de définition : x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
plage : y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
la fonction est croissante pour x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la fonction a une concavité pour x ∈ (0 ; + ∞) (quand 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
points de passage de la fonction : (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Attention ! Lorsque a est une fraction négative avec un dénominateur impair, dans les travaux de certains auteurs, il existe une opinion selon laquelle le domaine de définition dans ce cas est l'intervalle - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) avec la mise en garde que l'exposant a est une fraction irréductible. À l'heure actuelle, les auteurs de matériel pédagogique sur l'algèbre et les principes d'analyse NE DÉFINISSENT PAS les fonctions puissance avec un exposant sous la forme d'une fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument. De plus, nous adhérons exactement à ce point de vue : nous prenons l’ensemble (0 ; + ∞) comme domaine de définition des fonctions puissance à exposants fractionnaires négatifs. Recommandation aux étudiants : Clarifiez la vision de votre professeur à ce stade pour éviter les désaccords.

Continuons le sujet et analysons la fonction puissance y = x a à condition : - 1< a < 0 .

Présentons un dessin de graphiques des fonctions suivantes : y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (couleur noir, rouge, bleu, vert de les lignes, respectivement).

Définition 12

Propriétés de la fonction puissance à - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quand - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

plage : y ∈ 0 ; + ∞ ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;

Le dessin ci-dessous montre des graphiques des fonctions de puissance y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (couleurs noir, rouge, bleu et vert des courbes, respectivement).

Définition 13

Propriétés de la fonction puissance pour un< - 1:

domaine de définition : x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quand a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
la fonction est décroissante pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
la fonction a une concavité pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – ligne droite y = 0 ;
point de passage de la fonction : (1 ; 1) .

Lorsque a = 0 et x ≠ 0, on obtient la fonction y = x 0 = 1, qui définit la droite dont le point (0 ; 1) est exclu (il a été convenu que l'expression 0 0 n'aura aucun sens ).

La fonction exponentielle a la forme y = a x, où a > 0 et a ≠ 1, et le graphique de cette fonction semble différent en fonction de la valeur de la base a. Considérons des cas particuliers.

Tout d'abord, regardons la situation où la base de la fonction exponentielle a une valeur de zéro à un (0< a < 1) . Un bon exemple sont les graphiques des fonctions pour a = 1 2 (couleur bleue de la courbe) et a = 5 6 (couleur rouge de la courbe).

Les graphiques de la fonction exponentielle auront une apparence similaire pour les autres valeurs de la base sous la condition 0< a < 1 .

Définition 14

Propriétés de la fonction exponentielle lorsque la base est inférieure à un :

plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
une fonction exponentielle dont la base est inférieure à un est décroissante sur tout le domaine de définition ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – droite y = 0 avec variable x tendant vers + ∞ ;

Considérons maintenant le cas où la base de la fonction exponentielle est supérieure à un (a > 1).

Illustrons ce cas particulier avec un graphique de fonctions exponentielles y = 3 2 x (couleur bleue de la courbe) et y = e x (couleur rouge du graphique).

D'autres valeurs de la base, des unités plus grandes, donneront un aspect similaire au graphique de la fonction exponentielle.

Définition 15

Propriétés de la fonction exponentielle lorsque la base est supérieure à un :

domaine de définition – l'ensemble des nombres réels ;
plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
une fonction exponentielle dont la base est supérieure à un augmente à mesure que x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
la fonction a une concavité en x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – droite y = 0 avec variable x tendant vers - ∞ ;
point de passage de la fonction : (0 ; 1) .

La fonction logarithmique a la forme y = log a (x), où a > 0, a ≠ 1.

Une telle fonction n'est définie que pour les valeurs positives de l'argument : pour x ∈ 0 ; + ∞ .

Le graphique d'une fonction logarithmique a une apparence différente, basée sur la valeur de la base a.

Considérons d'abord la situation où 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

D'autres valeurs de base, et non des unités plus grandes, donneront un type de graphique similaire.

Définition 16

Propriétés d'une fonction logarithmique lorsque la base est inférieure à un :

domaine de définition : x ∈ 0 ; + ∞ . Comme x tend vers zéro à partir de la droite, les valeurs de la fonction tendent vers +∞ ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
logarithmique
la fonction a une concavité pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;

Regardons maintenant le cas particulier où la base de la fonction logarithmique est supérieure à un : a > 1 . Le dessin ci-dessous montre des graphiques des fonctions logarithmiques y = log 3 2 x et y = ln x (couleurs bleue et rouge des graphiques, respectivement).

D'autres valeurs de base supérieures à un donneront un type de graphique similaire.

Définition 17

Propriétés d'une fonction logarithmique lorsque la base est supérieure à un :

domaine de définition : x ∈ 0 ; + ∞ . Comme x tend vers zéro à partir de la droite, les valeurs de la fonction tendent vers - ∞ ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ (l'ensemble des nombres réels) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
la fonction logarithmique est croissante pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
la fonction est convexe pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
point de passage de la fonction : (1 ; 0) .

Les fonctions trigonométriques sont sinus, cosinus, tangente et cotangente. Regardons les propriétés de chacun d'eux et les graphiques correspondants.

En général, toutes les fonctions trigonométriques sont caractérisées par la propriété de périodicité, c'est-à-dire lorsque les valeurs des fonctions sont répétées pour différentes valeurs de l'argument, différant les unes des autres par la période f (x + T) = f (x) (T est la période). Ainsi, l'item « plus petite période positive » est ajouté à la liste des propriétés des fonctions trigonométriques. De plus, nous indiquerons les valeurs de l'argument pour lesquelles la fonction correspondante devient nulle.

Fonction sinus : y = sin(x)

Le graphique de cette fonction est appelé onde sinusoïdale.

Définition 18

Propriétés de la fonction sinus :

domaine de définition : l'ensemble des nombres réels x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
la fonction disparaît lorsque x = π · k, où k ∈ Z (Z est l'ensemble des nombres entiers) ;
la fonction est croissante pour x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z et décroissant pour x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ;
la fonction sinusoïdale a des maxima locaux aux points π 2 + 2 π · k ; 1 et minima locaux aux points - π 2 + 2 π · k ; - 1, k ∈Z;
la fonction sinus est concave lorsque x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z et convexe lorsque x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z ;
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction cosinus : y = cos(x)

Le graphique de cette fonction s’appelle une onde cosinusoïdale.

Définition 19

Propriétés de la fonction cosinus :

domaine de définition : x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
plus petite période positive : T = 2 π ;
plage de valeurs : y ∈ - 1 ; 1 ;
cette fonction est paire, puisque y (- x) = y (x) ;
la fonction est croissante pour x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z et décroissant pour x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z ;
la fonction cosinus a des maxima locaux aux points 2 π · k ; 1, k ∈ Z et minima locaux aux points π + 2 π · k ; - 1, k ∈z;
la fonction cosinus est concave lorsque x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z et convexe lorsque x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées π 2 + π · k ; 0 , k ∈Z
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction tangente : y = t g (x)

Le graphique de cette fonction s'appelle tangente.

Définition 20

Propriétés de la fonction tangente :

domaine de définition : x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, où k ∈ Z (Z est l'ensemble des nombres entiers) ;
Comportement de la fonction tangente sur la frontière du domaine de définition lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Ainsi, les droites x = π 2 + π · k k ∈ Z sont des asymptotes verticales ;
la fonction disparaît lorsque x = π · k pour k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction augmente comme - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z ;
la fonction tangente est concave pour x ∈ [π · k ; π 2 + π · k) , k ∈ Z et convexe pour x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Fonction cotangente : y = c t g (x)

Le graphique de cette fonction est appelé cotangentoïde. .

Définition 21

Propriétés de la fonction cotangente :

domaine de définition : x ∈ (π · k ; π + π · k) , où k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;

Comportement de la fonction cotangente sur la frontière du domaine de définition lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Ainsi, les droites x = π · k k ∈ Z sont des asymptotes verticales ;

plus petite période positive : T = π ;
la fonction disparaît lorsque x = π 2 + π · k pour k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction est décroissante pour x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z ;
la fonction cotangente est concave pour x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z et convexe pour x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
Il n’y a pas d’asymptote oblique ou horizontale.

Les fonctions trigonométriques inverses sont l'arc sinus, l'arc cosinus, l'arc tangente et l'arc cotangente. Souvent, en raison de la présence du préfixe « arc » dans le nom, les fonctions trigonométriques inverses sont appelées fonctions d'arc. .

Fonction arc sinus : y = a r c sin (x)

Définition 22

Propriétés de la fonction arc sinus :

cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction arc sinus a une concavité pour x ∈ 0 ; 1 et convexité pour x ∈ - 1 ; 0 ;
les points d'inflexion ont des coordonnées (0 ; 0), qui sont également le zéro de la fonction ;
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction arc cosinus : y = a r c cos (x)

Définition 23

Propriétés de la fonction arc cosinus :

domaine de définition : x ∈ - 1 ; 1 ;
plage : y ∈ 0 ; π ;
cette fonction est de forme générale (ni paire, ni impaire) ;
la fonction est décroissante sur tout le domaine de définition ;
la fonction arc cosinus a une concavité en x ∈ - 1 ; 0 et convexité pour x ∈ 0 ; 1 ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées 0 ; π2;
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction arctangente : y = a r c t g (x)

Définition 24

Propriétés de la fonction arctangente :

domaine de définition : x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
plage de valeurs : y ∈ - π 2 ; π2;
cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction est croissante sur tout le domaine de définition ;
la fonction arctangente a une concavité pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] et une convexité pour x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
le point d'inflexion a pour coordonnées (0 ; 0), qui est aussi le zéro de la fonction ;
les asymptotes horizontales sont des droites y = - π 2 comme x → - ∞ et y = π 2 comme x → + ∞ (sur la figure, les asymptotes sont des lignes vertes).

Fonction arc tangente : y = a r c c t g (x)

Définition 25

Propriétés de la fonction arccotangente :

domaine de définition : x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
plage : y ∈ (0; π) ;
cette fonction est d'une forme générale ;
la fonction est décroissante sur tout le domaine de définition ;
la fonction arc cotangente a une concavité pour x ∈ [ 0 ; + ∞) et convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
le point d'inflexion a pour coordonnées 0 ; π2;
les asymptotes horizontales sont des droites y = π en x → - ∞ (ligne verte sur le dessin) et y = 0 en x → + ∞.

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