एक रैखिक फलन y = kx + b के रूप का एक फलन होता है, जो सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर दिया जाता है। यहाँ k ढाल (वास्तविक संख्या) है, b मुक्त पद (वास्तविक संख्या) है, x स्वतंत्र चर है।
विशेष स्थिति में, यदि k = 0 है, तो हमें एक स्थिर फलन y = b प्राप्त होता है, जिसका ग्राफ निर्देशांक (0; b) के साथ एक बिंदु से गुजरने वाली ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है।
यदि b = 0 है, तो हमें फलन y = kx प्राप्त होता है, जो एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता है।
गुणांक बी का ज्यामितीय अर्थ उस खंड की लंबाई है जो ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा से कट जाता है, मूल से गिना जाता है।
गुणांक k का ज्यामितीय अर्थ - बैल अक्ष की सकारात्मक दिशा में सीधी रेखा के झुकाव का कोण, वामावर्त गिना जाता है।
रैखिक कार्य गुण:
1) एक रैखिक फलन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण वास्तविक अक्ष है;
2) यदि k 0 है, तो रैखिक फलन के मानों का परिसर संपूर्ण वास्तविक अक्ष है। यदि k = 0 है, तो रैखिक फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी में संख्या b होती है;
3) रैखिक फलन की समता और विषमता गुणांक k और b के मानों पर निर्भर करती है।
a) b 0, k = 0, इसलिए, y = b सम है;
b) b = 0, k 0, इसलिए y = kx विषम है;
ग) b 0, k ≠ 0, इसलिए y = kx + b एक सामान्य फलन है;
d) b = 0, k = 0, इसलिए y = 0 सम और विषम दोनों फलन है।
4) रैखिक फलन में आवर्त गुण नहीं होता है;
ऑक्स: y = kx + b = 0, x = -b / k, इसलिए (-b / k; 0) भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
ओए: y = 0k + b = b, इसलिए (0; b) y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
नोट: यदि b = 0 और k = 0, तो फ़ंक्शन y = 0 चर x के किसी भी मान के लिए गायब हो जाता है। यदि b 0 और k = 0, तो फ़ंक्शन y = b चर x के किसी भी मान के लिए लुप्त नहीं होता है।
6) संकेत स्थिरता के अंतराल गुणांक k पर निर्भर करते हैं।
ए) के> 0; केएक्स + बी> 0, केएक्स> -बी, एक्स> -बी / के।
y = kx + b - x के लिए धनात्मक (-b / k; + ),
y = kx + b - (-∞; -b / k) से x के लिए ऋणात्मक।
बी) के< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b - (-∞; -b / k) से x के लिए धनात्मक है,
y = kx + b - (-b / k; + ∞) से x के लिए ऋणात्मक।
सी) के = 0, बी> 0; y = kx + b पूरे डोमेन पर धनात्मक है,
के = 0, बी< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) रैखिक फलन की एकरसता के अंतराल गुणांक k पर निर्भर करते हैं।
k> 0, इसलिए y = kx + b पूरे डोमेन में बढ़ता है,
क< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा होता है। एक सीधी रेखा बनाने के लिए दो बिंदुओं को जानना काफी है। निर्देशांक तल पर सीधी रेखा की स्थिति गुणांक k और b के मानों पर निर्भर करती है। नीचे एक तालिका है जो इसे चित्र 1 में स्पष्ट रूप से दर्शाती है। (चित्र 1)
उदाहरण: निम्नलिखित रैखिक फलन पर विचार करें: y = 5x - 3।
3) सामान्य कार्य;
4) गैर-आवधिक;
5) निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:
ऑक्स: 5x - 3 = 0, x = 3/5, इसलिए (3/5; 0) भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
ओए: y = -3, इसलिए (0; -3) y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है;
6) y = 5x - 3 - x के लिए धनात्मक (3/5; + ∞),
y = 5x - 3 - x के लिए ऋणात्मक (-∞; 3/5);
7) y = 5x - 3 परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है;
साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।
5. एकपदीसंख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक कारकों का गुणनफल कहलाता है। गुणकएकपदी का संख्यात्मक गुणनखंड कहलाता है।
6. मानक रूप में एकपदी लिखने के लिए, आपको यह करना होगा: 1) संख्यात्मक कारकों को गुणा करें और उनके उत्पाद को पहले स्थान पर रखें; 2) समान आधारों के साथ डिग्री गुणा करें और परिणामी उत्पाद को संख्यात्मक कारक के बाद रखें।
7. बहुपद कहलाता हैकई एकपदी का बीजगणितीय योग।
8. एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए,बहुपद के प्रत्येक पद से एकपदी को गुणा करना और परिणामी उत्पादों को जोड़ना आवश्यक है।
9. एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए,एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना और परिणामी गुणनफल जोड़ना आवश्यक है।
10. आप किन्हीं दो बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, और इसके अलावा, केवल एक।
11. दो रेखाओं में या तो केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, या उनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं।
12. दो ज्यामितीय आकृतियों को समान कहा जाता है यदि उन्हें ओवरलैप किया जा सकता है।
13. किसी खण्ड का वह बिन्दु जो उसे आधे में अर्थात् दो बराबर खण्डों में विभाजित करता है, खण्ड का मध्य बिन्दु कहलाता है।
14. कोण के शीर्ष से निकलने वाली और इसे दो बराबर कोणों में विभाजित करने वाली किरण को कोण का समद्विभाजक कहा जाता है।
15. चपटा कोण 180° का होता है।
16. एक कोण समकोण कहलाता है यदि वह 90° का हो।
17. एक कोण को न्यूनकोण कहा जाता है यदि वह 90 ° से कम हो, अर्थात समकोण से कम हो।
18. एक कोण को अधिक कोण कहा जाता है यदि यह 90 ° से अधिक है, लेकिन 180 ° से कम है, अर्थात समकोण से अधिक है, लेकिन तैनात कोण से कम है।
19. दो कोने जिनमें एक पक्ष उभयनिष्ठ होता है, और अन्य दो एक दूसरे के विस्तार होते हैं, आसन्न कहलाते हैं।
20. आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
21. दो कोनों को लंबवत कहा जाता है यदि एक कोने के किनारे दूसरे के किनारों के विस्तार होते हैं।
22. ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।
23. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को लंब (या परस्पर .) कहा जाता है
लंबवत) यदि वे चार समकोण बनाते हैं।
24. तीसरी के लंबवत दो सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
25 गुणनखंड a बहुपद- का अर्थ है इसे कई एकपदी और बहुपदों के गुणनफल के रूप में निरूपित करना।
26. एक बहुपद के गुणनखंड की विधियाँ:
क) कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड को हटाना,
बी) संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्रों का उपयोग करना,
ग) समूहन की विधि।
27. कोष्ठक के बाहर उभयनिष्ठ गुणनखंड का गुणनखंडन करके एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए, आपको चाहिए:
ए) इस सामान्य कारक का पता लगाएं,
बी) इसे कोष्ठक के बाहर रखें,
c) बहुपद के प्रत्येक पद को इस गुणनखंड से विभाजित करें और प्राप्त परिणामों को जोड़ें।
त्रिभुजों के लिए समानता परीक्षण
1) यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं।
2) यदि एक त्रिभुज की एक भुजा और दो आसन्न कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजा और दो आसन्न कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं।
3) यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं।
शैक्षिक न्यूनतम
1. संक्षिप्त गुणन सूत्रों द्वारा गुणनखंडन:
ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी)
ए 3 - बी 3 = (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2)
ए 3 + बी 3 = (ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2)
2. संक्षिप्त गुणन के सूत्र:
(ए + बी) 2 = ए 2 + 2एबी + बी 2
(ए - बी) 2 = ए 2 - 2 एबी + बी 2
(ए + बी) 3 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3
(ए - बी) 3 = ए 3 - 3 ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3
3. त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं मंझलात्रिकोण।
4. त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली सीधी रेखा पर खींचे गए लम्ब को कहते हैं कदत्रिकोण।
5. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।
6. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींचा गया द्विभाजक माध्यिका और ऊँचाई है।
7. परिधिकिसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दूरी पर स्थित तल के सभी बिंदुओं से मिलकर बनी ज्यामितीय आकृति कहलाती है।
8. केंद्र को वृत्त के किसी बिंदु से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं RADIUSहलकों .
9. एक वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है राग.
वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली जीवा कहलाती है व्यास
10. प्रत्यक्ष आनुपातिकता वाई = केएक्स , कहाँ पे एक्स - स्वतंत्र चर, प्रति - एक गैर-शून्य संख्या ( प्रति - आनुपातिकता का गुणांक)।
11. प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफमूल के माध्यम से एक सीधी रेखा है।
12. रैखिक कार्यएक फ़ंक्शन कहलाता है जिसे सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है वाई = केएक्स + बी , कहाँ पे एक्स - स्वतंत्र चर, प्रति तथा बी - कुछ नंबर।
13. रैखिक कार्य ग्राफसीधी रेखा है।
14 एक्स - फ़ंक्शन तर्क (स्वतंत्र चर)
पर - फ़ंक्शन मान (आश्रित चर)
15. पर बी = 0फ़ंक्शन रूप लेता है वाई = केएक्स, इसका ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है।
पर कश्मीर = 0फ़ंक्शन रूप लेता है वाई = बी, इसका ग्राफ बिंदु से गुजरने वाली एक क्षैतिज रेखा है ( 0; बी).
रैखिक फलन के ग्राफ़ और गुणांक k और b . के चिह्नों के बीच पत्राचार
1. समतल में दो सीधी रेखाएं कहलाती हैं समानांतर,अगर वे ओवरलैप नहीं करते हैं।
एक रैखिक फलन y = kx + b के रूप का एक फलन है, जहाँ x एक स्वतंत्र चर है, k और b कोई भी संख्या है।
एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा है।
1. फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए,हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित दो बिंदुओं के निर्देशांक चाहिए। उन्हें खोजने के लिए, आपको x के दो मान लेने होंगे, उन्हें फ़ंक्शन के समीकरण में स्थानापन्न करना होगा, और उनसे y के संगत मानों की गणना करनी होगी।
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = x + 2 को प्लॉट करने के लिए, x = 0 और x = 3 लेना सुविधाजनक है, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक y = 2 और y = 3 के बराबर होंगे। हमें अंक ए (0; 2) और बी (3; 3) मिलते हैं। हम उन्हें जोड़ते हैं और फ़ंक्शन y = x + 2 का ग्राफ प्राप्त करते हैं:
2.
सूत्र y = kx + b में, संख्या k को आनुपातिकता गुणांक कहा जाता है:
यदि k> 0, तो फलन y = kx + b बढ़ जाता है
अगर को
गुणांक बी ओए अक्ष के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ की शिफ्ट दिखाता है:
यदि b> 0 है, तो फलन y = kx + b का आलेख, y = kx के फलन के ग्राफ से प्राप्त होता है।
अगर बी
नीचे दिया गया चित्र y = 2x + 3; वाई = ½ एक्स + 3; वाई = एक्स + 3
ध्यान दें कि इन सभी कार्यों में गुणांक k शून्य के ऊपर,और कार्य हैं की बढ़ती।इसके अलावा, k का मान जितना अधिक होगा, OX अक्ष की धनात्मक दिशा में सीधी रेखा के झुकाव का कोण उतना ही अधिक होगा।
सभी फलनों में b = 3 - और हम देखते हैं कि सभी ग्राफ OY अक्ष को बिंदु (0; 3) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अब फलन y = -2x + 3 के आलेखों पर विचार करें; वाई = - ½ एक्स + 3; वाई = -एक्स + 3
इस बार, सभी कार्यों में, गुणांक k शून्य से कम,और कार्य कमी।गुणांक b = 3, और ग्राफ़, जैसा कि पिछले मामले में था, OY अक्ष को बिंदु (0; 3) पर प्रतिच्छेद करते हैं
फलन y = 2x + 3 के आलेखों पर विचार करें; वाई = 2x; वाई = 2x-3
अब फलनों के सभी समीकरणों में गुणांक k 2 के बराबर है। और हमें तीन समानांतर सीधी रेखाएँ मिली हैं।
लेकिन बी गुणांक अलग हैं, और ये रेखांकन ओए अक्ष को अलग-अलग बिंदुओं पर काटते हैं:
फलन y = 2x + 3 (b = 3) का आलेख OY अक्ष को बिंदु (0; 3) पर काटता है
फलन y = 2x (b = 0) का आलेख, OY अक्ष को मूल बिंदु (0; 0) पर प्रतिच्छेद करता है।
फलन y = 2x-3 (b = -3) का आलेख OY अक्ष को बिंदु (0; -3) पर काटता है
इसलिए, यदि हम गुणांक k और b के संकेतों को जानते हैं, तो हम तुरंत कल्पना कर सकते हैं कि फ़ंक्शन y = kx + b का ग्राफ कैसा दिखता है।
अगर कश्मीर 0
अगर के> 0 और बी> 0, तो फलन y = kx + b के आलेख का रूप है:
अगर के> 0 और बी, तो फलन y = kx + b के आलेख का रूप है:
अगर k है, तो फलन y = kx + b के आलेख का रूप है:
अगर कश्मीर = 0, तो फ़ंक्शन y = kx + b फ़ंक्शन y = b में बदल जाता है और इसका ग्राफ इस तरह दिखता है:
फलन y = b के ग्राफ के सभी बिंदुओं के निर्देशांक b के बराबर हैं यदि बी = 0, तो फलन y = kx (प्रत्यक्ष आनुपातिकता) का आलेख मूल बिन्दु से होकर गुजरता है:
3. अलग से, हम समीकरण x = a का आलेख देखते हैं।इस समीकरण का ग्राफ ओए अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है, जिसके सभी बिंदुओं पर एक भुज x = a है।
उदाहरण के लिए, समीकरण x = 3 का आलेख इस तरह दिखता है:
ध्यान!समीकरण x = a एक फ़ंक्शन नहीं है, क्योंकि तर्क का एक मान फ़ंक्शन के विभिन्न मानों से मेल खाता है, जो फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुरूप नहीं है।
4. दो पंक्तियों की समानता के लिए शर्त:
फलन y = k 1 x + b 1 का आलेख फलन y = k 2 x + b 2 के आलेख के समानांतर है, यदि k 1 = k 2
5. दो सीधी रेखाओं के लंबवत होने की स्थिति:
फ़ंक्शन y = k 1 x + b 1 का ग्राफ फ़ंक्शन y = k 2 x + b 2 के ग्राफ के लंबवत है यदि k 1 * k 2 = -1 या k 1 = -1 / k 2
6. निर्देशांक अक्षों के साथ फलन y = kx + b के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु।
ओए अक्ष के साथ। ओए अक्ष से संबंधित किसी भी बिंदु का भुज शून्य होता है। इसलिए, ओए अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु को खोजने के लिए, आपको एक्स के बजाय फ़ंक्शन के समीकरण में शून्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हमें y = b मिलता है। यही है, ओए अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु में निर्देशांक (0; बी) हैं।
OX-अक्ष के साथ: OX-अक्ष के किसी भी बिंदु की कोटि शून्य होती है। इसलिए, OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, आपको y के बजाय फ़ंक्शन के समीकरण में शून्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हमें 0 = kx + b प्राप्त होता है। इसलिए एक्स = -बी / के। अर्थात्, OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु में निर्देशांक होते हैं (-b / k; 0):
रैखिक प्रकार्यफॉर्म का एक फ़ंक्शन कहा जाता है वाई = केएक्स + बीसभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर दिया जाता है। यहाँ क- ढलान (वास्तविक संख्या), बी – मुक्त अवधि (वास्तविक संख्या), एक्सस्वतंत्र चर है।
किसी विशेष मामले में, यदि कश्मीर = 0, हमें एक निरंतर कार्य मिलता है वाई = बी, जिसका ग्राफ निर्देशांक के साथ एक बिंदु से गुजरने वाली ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है (0; बी).
अगर बी = 0, तो हमें फ़ंक्शन मिलता है वाई = केएक्स, जो है प्रत्यक्ष आनुपातिकता।
बी – खंड की लंबाई, जो मूल से गिनते हुए, ओए अक्ष के साथ रेखा द्वारा काटा जाता है।
गुणांक का ज्यामितीय अर्थ क – झुकाव कोणऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के लिए एक सीधी रेखा, वामावर्त में गिना जाता है।
रैखिक कार्य गुण:
1) एक रैखिक फलन का प्रांत संपूर्ण वास्तविक अक्ष होता है;
2) अगर कश्मीर 0, तो रैखिक फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी संपूर्ण वास्तविक अक्ष है। अगर कश्मीर = 0, तब रैखिक फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी में संख्या होती है बी;
3) एक रैखिक कार्य की समता और विषमता गुणांक के मूल्यों पर निर्भर करती है कतथा बी.
ए) बी 0, के = 0,इसलिए, वाई = बी - सम;
बी) बी = 0, के 0,इसलिए वाई = केएक्स - विषम;
सी) बी 0, के 0,इसलिए y = kx + b एक सामान्य फलन है;
डी) बी = 0, के = 0,इसलिए y = 0 - सम और विषम दोनों फलन।
4) रैखिक फ़ंक्शन में आवधिकता गुण नहीं होता है;
5) निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:
बैल: वाई = केएक्स + बी = 0, एक्स = -बी / के, इसलिए (-बी / के; 0)- भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु।
ओए: वाई = 0k + बी = बी, इसलिए (0; बी)- निर्देशांक अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु।
नोट: अगर बी = 0तथा कश्मीर = 0, फिर समारोह वाई = 0चर के किसी भी मूल्य के लिए गायब हो जाता है एक्स... अगर बी 0तथा कश्मीर = 0, फिर समारोह वाई = बीचर के किसी भी मूल्य के लिए गायब नहीं होता है एक्स.
6) अचर चिह्न के अंतराल गुणांक k पर निर्भर करते हैं।
ए) के> 0; केएक्स + बी> 0, केएक्स> -बी, एक्स> -बी / के।
वाई = केएक्स + बी- सकारात्मक है एक्ससे (-बी / के; + ),
वाई = केएक्स + बी- नकारात्मक है एक्ससे (-∞; -बी / के).
बी) क< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
वाई = केएक्स + बी- सकारात्मक है एक्ससे (-∞; -बी / के),
वाई = केएक्स + बी- नकारात्मक है एक्ससे (-बी / के; + ).
सी) के = 0, बी> 0; वाई = केएक्स + बीपरिभाषा के पूरे क्षेत्र पर सकारात्मक है,
के = 0, बी< 0; y = kx + b पूरे डोमेन में नकारात्मक है।
7) रैखिक फलन की एकरसता के अंतराल गुणांक पर निर्भर करते हैं क.
कश्मीर> 0, इसलिए वाई = केएक्स + बीपरिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है,
क< 0 , इसलिए वाई = केएक्स + बीपरिभाषा के पूरे क्षेत्र में घट जाती है।
8) एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा होता है। एक सीधी रेखा बनाने के लिए दो बिंदुओं को जानना काफी है। निर्देशांक तल पर सीधी रेखा की स्थिति गुणांकों के मान पर निर्भर करती है कतथा बी... नीचे एक तालिका है जो इसे स्पष्ट रूप से दर्शाती है।
जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, द्विघात फ़ंक्शन के गुणों और ग्राफ़ के लिए कार्य गंभीर कठिनाइयों का कारण बनते हैं। यह बल्कि अजीब है, क्योंकि 8 वीं कक्षा में द्विघात कार्य पारित किया जाता है, और फिर 9वीं कक्षा की पूरी पहली तिमाही परवलय के गुणों को "मजबूर" कर दिया जाता है और इसके रेखांकन विभिन्न मापदंडों के लिए प्लॉट किए जाते हैं।
यह इस तथ्य के कारण है कि छात्रों को परवलय बनाने के लिए मजबूर करते हुए, वे व्यावहारिक रूप से रेखांकन को "पढ़ने" के लिए समय नहीं देते हैं, अर्थात वे चित्र से प्राप्त जानकारी को समझने का अभ्यास नहीं करते हैं। जाहिर है, यह माना जाता है कि, एक दर्जन रेखांकन बनाने के बाद, एक स्मार्ट छात्र स्वयं सूत्र में गुणांक और ग्राफ की उपस्थिति के बीच संबंध खोजेगा और तैयार करेगा। व्यवहार में, यह काम नहीं करता है। इस तरह के सामान्यीकरण के लिए, गणितीय लघु-अनुसंधान के गंभीर अनुभव की आवश्यकता होती है, जो निश्चित रूप से, अधिकांश नौवीं कक्षा के छात्रों के पास नहीं होता है। इस बीच, जीआईए गुणांक के संकेतों को अनुसूची के अनुसार सटीक रूप से निर्धारित करने का प्रस्ताव करता है।
हम स्कूली बच्चों से असंभव की मांग नहीं करेंगे और ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए केवल एक एल्गोरिदम की पेशकश करेंगे।
तो, फॉर्म का एक फ़ंक्शन वाई = कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सीद्विघात कहलाता है, इसका आलेख परवलय होता है। जैसा कि नाम से पता चलता है, मुख्य शब्द है कुल्हाड़ी 2... अर्थात् एशून्य नहीं होना चाहिए, अन्य गुणांक ( बीतथा साथ) शून्य के बराबर हो सकता है।
आइए देखें कि इसके गुणांकों के संकेत परवलय की उपस्थिति को कैसे प्रभावित करते हैं।
गुणांक के लिए सबसे सरल संबंध ए... अधिकांश स्कूली बच्चे आत्मविश्वास से उत्तर देते हैं: "अगर ए> 0, तो परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि ए < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ए > 0.
वाई = 0.5x 2 - 3x + 1
इस मामले में ए = 0,5
और अब के लिए ए < 0:
वाई = - 0.5x2 - 3x + 1
इस मामले में ए = - 0,5
गुणांक का प्रभाव साथट्रेस करना भी काफी आसान है। आइए कल्पना करें कि हम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना चाहते हैं एक्स= 0. सूत्र में शून्य रखें:
आप = ए 0 2 + बी 0 + सी = सी... परिणाम यह निकला वाई = सी... अर्थात् साथ y-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि है। आमतौर पर, इस बिंदु को चार्ट पर खोजना आसान होता है। और निर्धारित करें कि यह शून्य से ऊपर है या नीचे। अर्थात् साथ> 0 या साथ < 0.
साथ > 0:
वाई = एक्स 2 + 4x + 3
साथ < 0
वाई = एक्स 2 + 4x - 3
तदनुसार, यदि साथ= 0, तो परवलय अनिवार्य रूप से मूल बिंदु से होकर गुजरेगा:
वाई = एक्स 2 + 4x
पैरामीटर के साथ और अधिक कठिन बी... जिस बिंदु पर हम इसे पाएंगे वह न केवल पर निर्भर करता है बीलेकिन से भी ए... यह परवलय का शीर्ष है। इसका भुज (अक्ष के अनुदिश निर्देशांक) एक्स) सूत्र द्वारा पाया जाता है एक्स इन = - बी / (2ए)... इस तरह, बी = - 2х •... यही है, हम निम्नानुसार कार्य करते हैं: चार्ट पर हम परवलय के शीर्ष को पाते हैं, हम इसके भुज का चिन्ह निर्धारित करते हैं, अर्थात हम शून्य के दाईं ओर देखते हैं ( एक्स इन> 0) या बाईं ओर ( एक्स इन < 0) она лежит.
हालाँकि, यह सब नहीं है। हमें गुणांक के चिन्ह पर भी ध्यान देना चाहिए ए... यानी यह देखने के लिए कि परवलय की शाखाओं को कहां निर्देशित किया जाता है। और उसके बाद ही सूत्र के अनुसार बी = - 2х •चिन्ह को पहचानें बी.
आइए एक उदाहरण पर विचार करें:
शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, जिसका अर्थ है ए> 0, परवलय अक्ष को पार करता है परशून्य से नीचे का मतलब साथ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, एक्स इन> 0. इसलिए बी = - 2х • = -++ = -. बी < 0. Окончательно имеем: ए > 0, बी < 0, साथ < 0.